T.C.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
BAZI FARK DİZİ UZAYLARI ÜZERİNDE MATRİS
DÖNÜŞÜMLERİ
YÜKSEK LİSANS
MERVE İLKHAN
ARALIK 2014 DÜZCE
KABUL VE ONAY BELGESİ
Merve İLKHAN tarafından hazırlanan “Bazı Fark Dizi Uzayları Üzerinde Matris Dönüşümleri” isimli lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 01/12/2014 tarih ve 2014/1117 sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.
Üye (Tez Danışmanı) Yrd. Doç. Dr. E. Evren KARA
Düzce Üniversitesi
Üye
Prof. Dr. Metin BAŞARIR Abant İzzet Baysal Üniversitesi
Üye
Yrd. Doç. Dr. Arzu ÖZKOÇ Düzce Üniversitesi
Tezin Savunulduğu Tarih : 29.12.2014
ONAY
Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Merve İLKHAN’ın Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onamıştır.
Prof. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
BEYAN
Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.
29 Aralık 2014
i
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanması süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımlarından dolayı çok değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Emrah Evren KARA’ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.
Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Yüksek lisans öğrenimim boyunca beni 2210-A kodlu bursu ile finansal açıdan destekleyen TÜBİTAK’a teşekkür ederim.
ii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
TEŞEKKÜR SAYFASI ………..………..……..i
İÇİNDEKİLER ……….…….ii
ÇİZELGE LİSTESİ ………..iii
ÖZET ………...…....1
ABSTRACT
……….……...2
EXTENDED ABSTRACT ……...……….……….……..…..3
1. GİRİŞ ………..….5
2. KURAMSAL KAVRAMLAR...7
2.1. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER..……….….7
3.
�
�� FARK DİZİ UZAYI...22
3.1. KAPSAMA BAĞINTILARI ……….………26
3.2. �� � UZAYININ -, -, -DUALLERİ VE SCHAUDER BAZI………...30
3.3. �� � UZAYI ÜZERİNDE BAZI MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ……….33
4.
�
�� VE � � FARK DİZİ UZAYLARI...42
4.1. KAPSAMA BAĞINTILARI ……….………45
4.2. �� � VE � � UZAYLARININ -, -, -DUALLERİ VE SCHAUDER BAZI….………...………….………..47
4.3. �� � VE � � UZAYLARI ÜZERİNDE BAZI MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ………...49
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...56
6. KAYNAKLAR ...57
iii
ÇİZELGE LİSTESİ
Sayfa No Çizelge 2.1. Çeşitli Üçgensel Matrislerin Matris Etki Alanları 19
1
ÖZET
BAZI FARK DİZİ UZAYLARI ÜZERİNDE MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ
Merve İLKHAN Düzce Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Emrah Evren KARA Aralık 2014, 60 sayfa
Bu tez çalışmasında yeni bir fark matrisi olan = matrisi, her ℕ için >
ve \ olmak üzere her , ℕ için
= {
, =
− , = −
, < − yada >
şeklinde tanımlanmıştır. Daha sonra matrisi kullanılarak ∞ için ℓ , ve dizi uzayları oluşturulmuştur. Bu uzaylar ile ilgili bazı teoremler ve kapsama bağıntıları verilmiştir. Ayrıca bu uzayların -, -,γ- dualleri belirlenmiş ve Schauder bazları bulunmuştur. Son olarak bu uzaylar ile bazı klasik dizi uzayları arasındaki matris dönüşümlerinin sınıfları karakterize edilmiştir.
2
ABSTRACT
MATRIX TRANSFORMATIONS ON SOME DIFFERENCE SEQUENCE SPACES
Merve İLKHAN Düzce University
Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Emrah Evren KARA December 2014, 60 pages
In this study, a new band matrix = was defined as
= {
, =
− , = −
, < − or >
for all , ℕ, where > for all ℕ and \ . Later, by using the matrix
, the sequence spaces ℓ , and were constructed for ∞. Some
theorems and inclusion relations related to these spaces were given. Also, -, -,γ- duals of these spaces were determined and their Schauder basis were found. Finally, classes of matrix mappings between these spaces and some classical sequence spaces were characterized.
3
EXTENDED ABSTRACT
MATRIX TRANSFORMATIONS ON SOME DIFFERENCE SEQUENCE SPACES
Merve İLKHAN Düzce University
Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Emrah Evren KARA December 2014, 60 pages
1. INTRODUCTION:
Since the most general linear transformation between two sequence spaces is given by an infinite matrix, matrix transformations between sequence spaces are important. In the literature, many new sequence spaces were defined by using infinite matrices, especially infinite triangle matrices and some topological and geometrical properties of these spaces were examined.
This study is composed of five chapters. The first chapter is an introductory about the whole thesis. In the second chapter, some basic definitions and theorems are given. The third and the fourth chapters are the original parts of the thesis. In the last chapter, some special cases of sequence spaces defined in the third and the fourth chapters are given. Also, some suggestions are made about subjects which can be studied on these spaces.
2. MATERIAL AND METHODS:
Firstly, we examined some papers in the literature related to new sequence spaces constructed by means of the matrix domain of a special triangle. We investigated what kind of properties concerning these new sequence spaces were studied by authors. After that, we determined which of these properties can be carried to our new sequence spaces constructed by a new band matrix.
3. RESULTS AND DISCUSSIONS: The following results are obtained:
4
New sequence spaces ℓ ∞ , and are constructed.
Some inclusion relations related to these new spaces are examined. -, -,γ- duals of these spaces are determined.
Schauder basis of these spaces are established.
The classes of matrix mappings from the spaces ℓ ∞ ,
and to the sequence spaces ℓ , , , ℓ∞, , , are characterized. Also, the classes of matrix mappings from the spaces ℓ , , , ℓ∞ to the
sequence spaces ℓ ∞ , and are characterized.
The norm of bounded and linear operators defined from the spaces
ℓ ∞ , and to the spaces ℓ , ℓ∞ is given.
4. CONCLUSION AND OUTLOOK:
The main purpose of this study is to introduce the sequence spaces ℓ ∞ ,
and which are the matrix domains of the band matrix in the absolutely -summable, null and convergent sequence spaces ℓ , and , respectively. The subject of this thesis is a study of which is considered to make in the branch of Functional Analysis.
5
1.
GİRİŞ
= , = , , , … satır ve sütun sayısı sonsuz olan kompleks terimli bir matris olsun. � tüm kompleks terimli dizilerin uzayı olmak üzere , ile � uzayının herhangi iki alt cümlesi olan dizi uzayları gösterilsin. � uzayının her bir alt cümlesi ℂ kompleks sayılar cismi üzerinde bir vektör uzayı olduğundan her = dizisi
=
[ ]
şeklinde vektörel olarak yazılabilir. Böylece klasik matris çarpımı kullanılarak
= [ ⋱ … ⋱ …][ ] = [ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ] = [ ∑∞ = ∑ ∞ = ∑ ∞ = ∑ ∞ = ] elde edilir. Her ℕ için ∑∞= serisinin yakınsak olduğu kabul edilir. Her
ℕ için ∑∞
= = olmak üzere = dizisi dizi uzayının bir elemanı
ise matrisine dizi uzayından dizi uzayına bir matris dönüşümü denir. Bu dönüşüm lineer bir dönüşümdür.
6
uzaylar üzerindeki matris dönüşümlerinin sınıfları karakterize edilmiştir. Örneğin; Kızmaz [1] Δ fark matrisini kullanarak fark dizi uzayları olan
Δ = { = �: − − },
Δ = { = �: − − }
ve
ℓ∞ Δ = { = �: − − ℓ∞}
uzaylarını tanımlamıştır. Bu uzaylar literatürde bilinen ilk fark dizi uzaylarıdır. Ayrıca Kızmaz [1] bu uzaylar üzerindeki bazı matris dönüşümlerini de incelemiştir. Daha sonra çeşitli fark matrisleri kullanılarak birçok yeni fark dizi uzayları tanımlanmış ve bu uzaylar üzerindeki matris dönüşümlerinin taşıması gereken şartlar belirlenmiştir.
Bu tez çalışmasının amacı yeni bir fark matrisi olan matrisini tanımlayıp bu matris
yardımıyla < ∞ olmak üzere ℓ , ℓ∞ , ve uzaylarını
oluşturmaktır. İlk olarak bu uzaylar arasındaki bazı kapsama bağıntıları verilecek ve bu uzayların dualleri belirlenecektir. Daha sonra bu uzaylar üzerinde tanımlanan matris dönüşümlerinin bazı sınıfları karakterize edilecektir.
7
2. KURAMSAL KAVRAMLAR
2.1. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER
Bu bölümde çalışma için gerekli olan tanım ve teoremler verilecektir.
Tanım 2.1.1 boş olmayan bir cümle ve �, reel veya kompleks sayılar cismi olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa ye � üzerinde lineer uzay (veya vektör uzayı) denir: L, + işlemine göre değişmeli bir gruptur. Yani,
G1) Her , için + dir (kapalılık özelliği).
G2) Her , için + + = + + dir (birleşme özelliği).
G3) Her için + = + = olacak şekilde vardır (özdeş eleman
varlığı).
G4) Her için + − = − + = olacak şekilde − vardır (ters
elemanın varlığı).
G5) Her , için + = + dir (değişme özelliği).
, ve , � olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır: L1) . dir (skalerle çarpmaya göre kapalılık).
L2) . + = . + . dir.
L3) + . = . + . dir.
L4) . = . . dir.
L5) . = dir. (Burada 1, � nin birim elemanıdır) [2]. Tanım 2.1.2 Boş olmayan bir kümesi ve bir
8
dönüşümü verilsin. Eğer bu dönüşümü ∀ , , için
M1) , = ⇔ = ;
M2) , = , ;
M3) , , + , (üçgen eşitsizliği)
özelliklerini sağlıyorsa üzerinde uzaklık fonksiyonu ya da metrik adını alır ve bu durumda , ikilisine bir metrik uzay denir [3].
Tanım 2.1.3 Bir , metrik uzayındaki her Cauchy dizisi içinde bir limite sahipse, bu , metrik uzayına tam metrik uzay adı verilir [3].
Tanım 2.1.4 , bir � cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.
‖. ‖: ℝ+ { }, ‖ ‖
dönüşümü ∀ , ve ∀ � için
N1) ‖ ‖ = ⟺ = ,
N2) ‖ ‖ = | |‖ ‖,
N3) ‖ + ‖ ‖ ‖ + ‖ ‖ (üçgen eşitsizliği)
özelliklerini sağlıyorsa üzerinde norm adını alır ve bu durumda , ‖. ‖ ikilisine bir normlu vektör uzayı adı verilir [3].
Tanım 2.1.5 Bir , ∥. ∥ normlu uzayındaki her Cauchy dizisi içinde bir noktaya yakınsıyorsa, bu , ∥. ∥ normlu uzayına tam normlu uzay veya Banach uzayı denir [4].
Tanım 2.1.6 � = ℝ veya ℂ olmak üzere bir vektör uzayı olsun.
. , . : × �
dönüşümü aşağıdaki özelliklere sahip ise . , . ye üzerinde bir iç çarpım, , . , . ikilisine de iç çarpım uzayı (veya ön Hilbert uzayı) denir.
9
İ1) Her için , ve , = ⟺ = ,
İ2) Her , için , = ,̅̅̅̅̅̅̅ (kompleks eşlenik),
İ3) Her , ve � için , = , ,
İ4) Her , , için + , = , + , [3].
Tanım 2.1.7 , . , . bir iç çarpım uzayı ve olsun. vektörünün normu
‖ ‖ = , ⁄ . olarak tanımlanır [3].
Önerme 2.1.1 (Paralelkenar Kuralı) , . , . bir iç çarpım uzayı üzerindeki (2.1)
normu her , için
‖ + ‖ + ‖ − ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ . eşitliğini sağlar [3].
Teorem 2.1.1 , ∥. ∥ normlu uzayının bir iç çarpım uzayı olması için gerek ve yeter şart ∀ , vektörleri için paralelkenar kuralının sağlanmasıdır [3].
Tanım 2.1.8 Bir , . , . iç çarpım uzayı (2.1) normuna göre tam ise, yani , . , . içindeki her Cauchy dizisi yakınsaksa, bu iç çarpım uzayına Hilbert uzayı denir [3]. Örnek 2.1.1 (�� Hilbert uzayı) ∑ | |∞= yakınsak olmak üzere reel veya kompleks
= = , , … dizilerinin ℓ cümlesi lineer uzaydır. , ℓ olmak üzere
, = ∑ ̅
∞ =
olarak tanımlanırsa bu seri yakınsak ve ℓ bir iç çarpım uzayıdır. İç çarpım normu
‖ ‖ = , / = (∑| |
∞ =
)
/
10 , = ‖ − ‖ = (∑| − | ∞ = ) /
norm metriğine göre ℓ tamdır. Dolayısıyla ℓ bir Hilbert uzayıdır. < ∞ olması halinde ℓ = { = , , … : ∑| | < ∞, � ∞ = } cümlesinde in normu ‖ ‖ = (∑| | ∞ = ) /
olarak tanımlanırsa ℓ Banach uzayıdır. Ancak ≠ olması halinde ℓ Hilbert uzayı değildir [2].
Tanım 2.1.9 ℕ için ler herhangi sayılar olsun. . … … şeklindeki bir çarpıma bir sonsuz çarpım denir ve bu
∏
∞ =
şeklinde gösterilir.
Böyle bir çarpımın anlamlı olabilmesi için hiçbir çarpanın sıfır olmaması gerekir, aksi taktirde, diğer terimler ne olursa olsun, çarpımın değeri sıfır olur. Ayrıca sonsuz bir çarpımda, bir yerden sonraki bütün terimlerin mutlak değer bakımından, birden küçük sabit bir sayıdan küçük kalması yine çarpımın sıfır olmasını gerektirir [5].
Tanım 2.1.10 ∏∞
= = . . … sonsuz çarpımında bir yerden itibaren, örneğin
> için hiçbir çarpan sıfır değilse, ve bu yerden sonraki
= + . + … , >
11 ∏
∞ =
sonsuz çarpımı yakınsaktır denir.
Yakınsak sonsuz bir çarpımda genel terim daima e yaklaşır [5]. Teorem 2.1.2 Pozitif terimli bir ∏∞ +
= sonsuz çarpımının yakınsak olması için
gerek ve yeter şart ∑∞
= serisinin yakınsak olmasıdır [5].
Tanım 2.1.11 � = ℝ veya � = ℂ olmak üzere
� = { = �: : ℕ �, = }
kümesine bütün dizilerin kümesi denir. � kümesi,
, + ve ( , )
ikili işlemleri ile � üzerinde bir vektör uzayıdır. � nın herhangi bir alt vektör uzayına bir dizi uzayı denir [6].
Örnek 2.1.2
ℓ∞ = { = �: sup
ℕ| | < ∞ },
= { = �: yakınsak yani lim∞ mevcut },
= { = �: lim∞ = }, ℓ = { = �: ∑ | | < ∞ ∞ = } , < ∞ = { = �: (∑ = ) ℓ∞}, = { = �: (∑ = ) },
12
= { = �: (∑
=
) }
uzayları birer dizi uzayıdırlar [6].
Tez çalışması boyunca aksi belirtilmedikçe, ℓ uzayından söz edildiğinde < ∞ olduğu anlaşılacak ve ile de nin eşleniği gösterilecektir. Yani = ise = ∞ ve < < ∞ ise = / − dir. Ayrıca ℱ ile ℕ nin bütün sonlu alt kümelerinin ailesi gösterilecektir.
Tanım 2.1.12 bir lineer topolojik uzay olsun. ∀� ℕ için = şeklinde tanımlanan : ℂ dönüşümü sürekliyse ya bir -uzayı denir. Tam lineer metrik bir
-uzayına bir -uzayı, normlu -uzayına da bir -uzayı denir [7]. Örnek 2.1.3 � uzayı , = ∑ | �− �|
� +| �− �|
∞
= metriğine göre bir -uzayıdır [8].
Örnek 2.1.4 ℓ∞, ve uzayları ∥ ∥∞= sup ℕ| | normuna göre, < ∞ için ℓ uzayı da ∥ ∥ = ∑∞= | | ⁄ normuna göre birer -uzayıdırlar [9].
Tanım 2.1.13 ve ′ aynı bir � cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. : ′
operatörü her , ve her � için
+ = + ve =
şartlarını sağlıyorsa ye lineer operatör denir [10].
Teorem 2.1.3 -uzayları arasında tanımlanan lineer dönüşümler süreklidirler [11]. Tanım 2.1.14 ve normlu uzaylar, : lineer bir operatör olsun. Her için
‖ ‖ ‖ ‖
olacak şekilde > reel sayısı varsa ye sınırlı lineer operatör denir [10].
ve iki Banach uzayı ise � X, Y ile den ye tanımlı tüm sınırlı lineer operatörlerin kümesi gösterilecektir.
13
Tanım 2.1.15 ve normlu uzaylar, : lineer bir operatör olsun.
‖ ‖ = sup {‖‖ ‖ :‖ , ≠ } = sup{‖ ‖: , ‖ ‖ }
olmak üzere ‖ ‖ ye operatörünün normu denir [10]. Tanım 2.1.16 : lineer operatörü verilsin.
Çek = { : = }
kümesine operatörünün sıfır uzayı veya çekirdeği denir [10].
Lemma 2.1.1 lineer operatörünün bire-bir olması için gerek ve yeter şart Çek = { } olmasıdır [10].
Tanım 2.1.17 normlu uzayından normlu uzayına lineer bir izometrik izomorfizm, normu koruyan yani her için
‖ ‖ = ‖ ‖
olan bire-bir ve örten : lineer operatörüdür. Bu durumda ve uzaylarına lineer izomorfiktirler denir ve ≅ ile gösterilir [10].
Tanım 2.1.18 = reel ya da kompleks sayıların sonsuz bir matrisi olsun. >
olan ∀ , ℕ için = ise = matrisine alt üçgensel matris denir. <
olan ∀ , ℕ için = ise = matrisine üst üçgensel matris denir [11]. Teorem 2.1.4 = alt üçgensel matris olsun. Her ℕ için ≠ ise matrisinin alt üçgensel tek bir sol tersi vardır ve bu durumda köşegen elemanları ⁄ dir [11].
Tanım 2.1.19 ve iki dizi uzayı ve = reel ya da kompleks sayıların sonsuz
bir matrisi olsun. Her bir ℕ için = ∑∞= yakınsak ise =
yazılır. Eğer = iken = ise o zaman ya dizi uzayından
dizi uzayına bir matris dönüşümüdür denir ve bu durum : olarak gösterilir. dizisine de in -dönüşümü denir.
14
Tanım 2.1.20 = reel ya da kompleks sayıların sonsuz bir matrisi olsun.
∀ = , , , … için = ∑∞
= mevcut ve lim ∞ = ℂ ise
= dizisine sayısı için -toplanabilirdir denir. Bu durum in -limiti dir diye ifade edilir ve − lim ∞ = olarak gösterilir [9].
Aşağıda bazı matris sınıflarının karakterize edilmesi için gerekli şartlar verilmiştir. sup ℕ ∑| | < ∞ ∞ = , . Her bir ℕ i⋮in lim∞ mevcut, . Her bir ℕ i⋮in lim∞ = , . sup � ℱ ∑ |∑� | < ∞ ∞ = , . sup � ℱ ∑ |∑� | < ∞ ∞ = , . sup , ℕ| | < ∞, . sup ℕ ∑| | < ∞ ∞ = , . lim∞∑| | = ∑ | lim∞ | ∞ = ∞ = , . lim∞∑| | = ∞ = , . lim∞∑ mevcut ∞ = , .
15 lim∞∑ = ∞ = . . Lemma 2.1.2 < < ∞ olsun.
(i) = (ℓ , ℓ∞) ⟺ ( . ) şartının sağlanmasıdır.
(ii) = (ℓ , ) ⟺ ( . ) ve ( . ) şartlarının sağlanmasıdır.
(iii) = (ℓ , ) ⟺ ( . ) ve ( . ) şartlarının sağlanmasıdır.
(iv) = (ℓ , ℓ ) ⟺ (2.6) şartının sağlanmasıdır.
(v) = ℓ , ℓ∞ ⟺ (2.8) şartının sağlanmasıdır.
(vi) = ℓ , ⟺ ( . ) ve (2.8) şartlarının sağlanmasıdır.
(vii) = ℓ , ⟺ ( . ) ve (2.8) şartlarının sağlanmasıdır. (viii) = ℓ , ℓ ⟺ = alınarak (2.9) şartının sağlanmasıdır.
(ix) = ℓ∞, ℓ∞ ⟺ = alınarak ( . ) şartının sağlanmasıdır.
(x) = ℓ∞, ⟺ ( . ) ve (2.10) şartlarının sağlanmasıdır.
(xi) = ℓ∞, ⟺ ( . ) ve (2.11) şartlarının sağlanmasıdır.
(xii) = ℓ∞, ℓ ⟺ = alınarak (2.6) şartının sağlanmasıdır. [13,14].
Lemma 2.1.3 < ∞ olsun.
(i) = (ℓ∞, ℓ ) = ( , ℓ ) = ( , ℓ ) ⟺ (2.7) şartının sağlanmasıdır.
(ii) = (ℓ , ℓ ) ⟺ (2.9) şartının sağlanmasıdır.
(iii) = , ℓ∞ = , ℓ∞ ⟺ = alınarak ( . ) şartının sağlanmasıdır.
[13,14].
Lemma 2.1.4
(i) = , ⟺ = alınarak ( . ) ve ( . ) şartlarının
sağlanmasıdır.
(ii) = , ⟺ = alınarak ( . ) ve ( . ) şartlarının
16
(iii) = , ⟺ = alınarak ( . ), ( . ) ve (2.13) şartlarının sağlanmasıdır.
(iv) = , ⟺ = alınarak ( . ), ( . ) ve (2.12) şartlarının
sağlanmasıdır. [13,14].
Aşağıda bazı üçgensel matrislerin tanımları verilmiştir. Tanım 2.1.21 ∀ , ℕ için
Δ = { − − ,, < − yada >−
şeklinde tanımlanan Δ = Δ matrisine fark matrisi denir [7]. Tanım 2.1.22 ∀ , ℕ için
Δ = { − − − , max{ , − }
, < max{ , − } yada >
şeklinde tanımlanan ∆ = Δ matrisine . mertebeden fark matrisi denir [7]. Tanım 2.1.23 ∀ , ℕ için
, = { ,, = −=
, < − yada > , ℝ\{ }
şeklinde tanımlanan , = ( , ) matrisine genelleştirilmiş fark matrisi denir [7].
Tanım 2.1.24 ̃ = ve ̃ = pozitif reel sayıların yakınsak birer dizisi olsun.
∀ , ℕ için
̃, ̃ = { ,, = −=
17
şeklinde tanımlanan ̃, ̃ = ( ̃, ̃ ) matrisine dizisel genelleştirilmiş fark matrisi denir [15]. Tanım 2.1.25 ∀ , ℕ için , , = { , = , = − , , < − yada >= − , , ℝ\{ }
şeklinde tanımlanan , , = ( , , ) matrisine genelleştirilmiş üçlü fark matrisi denir [16].
Tanım 2.1.26 , . Fibonacci sayısı olmak üzere ∀ , ℕ için
̂ = {
− + , = −
+ , =
, < − yada >
şeklinde tanımlanan ̂ = ̂ matrisine Fibonacci fark matrisi denir [17]. Tanım 2.1.27 ∀ , ℕ �⋮�
= { + ,
, >
şeklinde tanımlanan = matrisine 1. mertebeden Cesàro ortalaması denir [18]. Tanım 2.1.28 ℝ olsun. ∀ , ℕ için
= { − − ,
, >
şeklinde tanımlanan = matrisine . mertebeden Euler ortalaması denir [19]. Tanım 2.1.29 Her ℕ için ≠ olmak üzere tüm = dizilerinin kümesi
18
= { ,, >
şeklinde tanımlanan , = ( ) matrisine genelleştirilmiş ağırlıklı ortalama denir [7].
Tanım 2.1.30 = matrisi herhangi bir sabit ℝ ve ∀ , ℕ için
= { ++ ,
, >
şeklinde tanımlanan matristir [7].
Tanım 2.1.30 > olmak üzere = negatif olmayan reel sayıların bir dizisi ve
her ℕ için
= ∑
=
olsun. Bu durumda ∀ , ℕ için
= { , ,
, >
şeklinde tanımlanan = matrisine = dizisiyle ilişkili Riesz ortalaması denir [7].
Tanım 2.1.31 bir dizi uzayı olmak üzere bir sonsuz matrisinin uzayındaki matris etki alanı (domain) olan kümesi
= { = �: }
olarak tanımlanır [7].
Literatürde, üçgensel bir sonsuz matrisinin bilinen dizi uzayındaki matris etki alanı olan uzayı kullanılarak birçok yeni dizi uzayı tanımlanmıştır. Aşağıdaki tabloda bunlardan bazıları gösterilmiştir.
19
Çizelge 2.1. Çeşitli Üçgensel Matrislerin Matris Etki Alanları.
Tanım 2.1.32 dizi uzayının , ve ile gösterilen -, ve −dualleri sırasıyla,
= { = �: ∀ = için = ℓ }, = { = �: ∀ = için = } ve Kaynak ℓ , ∞ , ∞ [18] , , ℓ∞ ̅, , ̅, , ̅, ∞ [20] , , ℓ∞ ∆ ∆ , ∆ , ℓ∞ ∆ [1] , , � , , � , [21] ℓ , , , ℓ∞ , ℓ̂ , ̂ , ̂, ℓ̂∞ [22] , , ℓ , , ; , , ; , , ; ℓ [23] , ̃ , ̃ [24] , , � [25] ℓ , ∞ , ∞ [26,27] , , � [28] ℓ , ∞ , ∞ [29] ℓ , < ∞ ∆ [30,31] ℓ , < < ∆ [32] , , ℓ∞ ∆ ∆ , ∆ , ℓ∞ ∆ [33,34] , , ℓ∞ ∆ ∆ , ∆ , ℓ∞ ∆ [35] ℓ , < ∞ ∆ ℓ ∆ [36] , Λ , [37] ℓ , ∞ Λ ℓ , ℓ∞ [38]
20 = { = �: ∀ = için = } şeklinde tanımlıdır [7]. Örnek 2.1.5 < < ∞ olsun. ℓ∞= = = ℓ , ℓ = ℓ∞, ℓ = ℓ ℓ∞ = = = ℓ , ℓ = ℓ∞, ℓ = ℓ ℓ∞ = = = ℓ , ℓ = ℓ∞, ℓ = ℓ dır [7].
Teorem 2.1.5 Her , ℕ için = üçgensel matrisinin tersi = olsun
ve = � olmak üzere = matrisi
= {∑= ,
, >
şeklinde tanımlansın. Bu durumda, bir dizi uzayı olmak üzere
= { = �: , },
= { = �: , ℓ∞ }
dır [39].
Tanım 2.1.33 , ∥. ∥ normlu bir uzay ve , da bir dizi olsun. Eğer her için = ∑∞
= yani,
lim∞‖ − ∑
=
‖ =
olacak şekilde skalerlerinin tek bir dizisi varsa dizisine için bir Schauder bazı denir [7].
21
iken = oluyorsa dizi uzayına solid uzay denir [40].
uzayı solid uzaydır fakat uzayı solid uzay değildir. Gerçekten, + ve her
22
3.
�
�� FARK DİZİ UZAYI
Bu bölümde yeni bir fark matrisi olan matrisi tanımlanacak ve bu matris yardımıyla yeni fark dizi uzayları olan ℓ < ∞ ve ℓ∞ uzayları oluşturulacaktır.
Ayrıca bu uzaylar ile ilgili bazı kapsama bağıntıları verilecektir. ∞ için ℓ uzayının -, ve −dualleri belirlenecek ve ardından < ∞ için Schauder bazı oluşturulacaktır. Son olarak bu uzaylarla ilişkili bazı matris dönüşümleri karakterize edilecek ve bu uzaylar üzerinde tanımlı bir sınırlı lineer operatörün normu bulunacaktır. Aksi belirtilmedikçe bölüm boyunca < ∞ olarak alınacaktır.
Tanım 3.1 ∀ ℕ için > ve = \ olsun. = fark matrisi
∀ , ℕ için = { , = − , = − , < − yada >
şeklinde tanımlanan bir matristir.
fark matrisinin − = ters matrisi ∀ , ℕ için
= {∏= ,
, >
şeklindedir.
Tanım 3.2 fark matrisi kullanılarak ℓ ve ℓ∞ fark dizi uzayları
ℓ = { = �: ∑ | − − |
∞ =
< ∞} ve
23
ℓ∞ = { = �:sup
ℕ| − − |< ∞} şeklinde tanımlanır.
Ayrıca tanım 2.1.31 kullanılarak ℓ ve ℓ∞ dizi uzayları
ℓ = (ℓ ) , < ∞ ve ℓ∞ = ℓ∞
şeklinde tekrar tanımlanabilir.
ℓ uzayı
ℓ ( ̂) = { = �: ̂ ℓ }
ve
= { = �: ∆ ℓ }
uzaylarından daha genel ve daha kapsamlıdır. Çünkü ∀ ℕ için = ��
��+ alınırsa
= ̂ ve = , , , … alınırsa = ∆ elde edilir. Dolayısıyla ℓ uzayı ℓ ( ̂) ve uzaylarını içerir.
Aksi belirtilmedikçe = dizisinin -dönüşüm dizisi = ile gösterilecektir. Yani ∀ ℕ için
= = { − − ,
, = . olarak alınacaktır.
Teorem 3.1 ∞ olsun. ℓ uzayı
‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ� = { (∑| | ∞ = ) ⁄ , < ∞ sup ℕ| | , = ∞
24
İspat: Öncelikle norm şartlarının sağlandığı gösterilecektir.
N1) ‖ ‖ℓ� = olsun. O halde ‖ ‖ℓ� = ve ‖. ‖ℓ� bir norm olduğundan = dır. üçgensel olduğundan Teorem 2.1.4 den tersi vardır. Bu yüzden = dır. Diğer taraftan = ise ‖ ‖ℓ� = olduğu açıktır.
N2) � ve ℓ olsun. Bu durumda, ‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ� = | |‖ ‖ℓ� = | |‖ ‖ℓ� olur. N3) , ℓ için ‖ + ‖ℓ� = ‖ + ‖ℓ� = ‖ + ‖ℓ� ‖ ‖ℓ� + ‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ� + ‖ ‖ℓ� olup üçgen eşitsizliği sağlanır.
Dolayısıyla ∞ için ℓ , ‖. ‖ℓ� ikilisi bir normlu uzaydır.
Bu uzayın bir Banach uzayı olduğunu göstermek için , ℓ uzayında bir Cauchy dizisi ve her ℕ için = olsun. O halde , ℓ uzayında bir dizidir. Ayrıca
‖ − ‖ℓ� = ‖ − ‖ℓ� = ‖ − ‖ℓ� = ‖ − ‖ℓ�
olup , ℓ uzayında bir Cauchy dizidir. ℓ , ‖. ‖ℓ� bir Banach uzayı olduğundan
lim ∞ = olacak şekilde ℓ vardır. = − olsun. Böylece
lim∞‖ − ‖ℓ� = lim∞‖ − ‖ℓ� = lim∞‖ − ‖ℓ� = lim∞‖ − ‖ℓ� = dır. Bu ise ℓ olmak üzere lim ∞ = olduğunu gösterir. Dolayısıyla ℓ uzayı bir Banach uzayıdır.
Teorem 3.2 ∞ için ℓ uzayı ℓ uzayına lineer olarak izomorfiktir, yani
25
İspat: ∞ için ℓ ve ℓ uzayları arasında bire-bir, örten ve normu koruyan
lineer bir dönüşümün mevcut olduğu gösterilmelidir. dönüşümü ℓ den ℓ ye
= = ( ) şeklinde tanımlansın. O halde her ℓ için = ℓ
dir. Bu şekilde tanımlanan dönüşümünün lineer olduğu açıktır. Ayrıca, = iken = olduğundan Lemma 2.1.1 e göre dönüşümü bire-birdir.
∞ için = ℓ olsun ve = dizisi ∀ ℕ için
= ∑ ∏
= =
. olarak tanımlansın. (3.1) ve (3.2) kullanılarak ∀ ℕ için
= − − = ∑ ∏ = = − ∑ ∏ − = − = = ∏ = + ∑ ∏ = − = − ∑ ∏ − = − = =
elde edilir. Bu ise = demektir. ℓ olduğundan ℓ olur. Böylece her bir ℓ için = olacak şekilde ℓ vardır. Dolayısıyla örtendir.
∞ ve her ℓ için ‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ� olduğundan
‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ� = ‖ ‖ℓ�
dir. O halde dönüşümü normu korur ve böylece bir izometrik izomorfizmdir. Bu da ispatı tamamlar.
≠ durumunda ℓ uzayının bir Hilbert uzayı olmadığı Örnek 2.1.1 de gösterilmiştir. Şimdi, benzer sonuç ℓ uzayı için de verilecektir.
Teorem 3.3 ≠ durumunda ℓ uzayı bir iç çarpım uzayı değildir. Böylece, ≠ için ℓ bir Hilbert uzayı değildir.
26
İspat: ℓ uzayının ‖ ‖ℓ = ‖ ‖ℓ normu ile bir Banach uzayı olduğu
Teorem 3.1 den dolayı açıktır. Ayrıca bu norm her ℓ için
‖ ‖ℓ = , ℓ⁄ = , ℓ⁄ = ‖ ‖ℓ
şeklinde elde edilebilir. Böylece ℓ bir Hilbert uzayıdır.
Şimdi = ve = dizileri = { , = ( + ) ∏ = , ℕ ve = { , = (− + ) ∏ = , ℕ
şeklinde tanımlansın. Bu dizilerin -dönüşüm dizileri
= , , , , … ve = , − , , , … dir. Ayrıca ≠ için
‖ + ‖ℓ� + ‖ − ‖ℓ� = ≠ ( ⁄ ) = ‖ ‖
ℓ� + ‖ ‖ℓ�
olur. Bu ise Paralelkenar kuralının sağlanmadığını gösterir. Dolayısıyla bu norm bir iç çarpım tarafından elde edilemez. Böylece ≠ durumunda ℓ bir Banach uzayıdır fakat bir Hilbert uzayı değildir.
3.1. KAPSAMA BAĞINTILARI
Bu bölümde ℓ ( ∞ ) uzayı ile ilgili bazı kapsama bağıntıları verilecektir. Teorem 3.1.1 < < ∞ için ℓ ⊂ ℓ kapsaması kesin olarak sağlanır.
27
İspat: < < ∞ olsun. ℓ ise ℓ dir. ℓ ⊂ ℓ olduğundan aynı
zamanda ℓ dır. Böylece ℓ dir. Dolayısıyla ℓ ⊂ ℓ elde edilir.
Bu kapsamanın kesin olduğunu göstermek için ℓ uzayında olup ℓ uzayında olmayan bir = dizisi verilsin. Yani ℓ \ℓ olsun (ℓ ⊂ ℓ kapsaması kesin olarak sağlandığı için böyle bir = dizisi vardır). = dizisi (3.2) deki gibi
tanımlansın. Bu durumda ∀ ℕ için = dir. Dolayısıyla = dir. Ayrıca
ℓ \ℓ olduğundan ℓ \ℓ dir. O halde dizisi ℓ uzayındadır fakat ℓ uzayında değildir. Bu ise ℓ ⊂ ℓ kapsamasının kesin olduğunu gösterir. Teorem 3.1.2. < ∞ için ℓ ⊂ ℓ∞ kapsaması kesin olarak sağlanır.
İspat: ℓ ise ℓ ve ℓ ⊂ ℓ∞ olduğundan ℓ∞ dır. Böylece ℓ∞ olur. O halde ℓ ⊂ ℓ∞ kapsaması sağlanır. Bu kapsamanın kesin
olarak sağlandığını görmek için = dizisi ∀ ℕ için
= ∑ − ∏
= =
şeklinde tanımlansın. Bu durumda ∀ ℕ için
= ∑ − ∏ = = − ∑ − ∏ − = − = = − ∏ = + ∑ − ∏ = − = − ∑ − ∏ − = − = = − + ∑ − ( ∏ = − ∏ − = ) − = = −
olup − ℓ∞\ℓ dir. Bu ise ℓ∞\ℓ olması demektir. Dolayısıyla
ℓ∞ \ℓ olup ℓ ⊂ ℓ∞ kapsaması kesin olarak sağlanır.
Teorem 3.1.3 ∞ için ℓ ⊂ ℓ kapsaması kesin olarak sağlanır.
İspat: ∞ olmak üzere ℓ ⊂ ℓ kapsamasının sağlandığını göstermek için her ℓ için ‖ ‖ℓ� ‖ ‖ℓ� olacak şekilde bir > reel sayısının varolduğunu göstermek yeterlidir.
28
ℓ ve ∞ olsun. \ olduğundan
� \ dır. Bu durumda,
∀ ℕ için ve
� olacak şekilde , > sayıları vardır. Böylece
‖ ‖ℓ� = (∑| | ∞ = ) ⁄ = (∑ | − − | ∞ = ) ⁄ (∑| | ∞ = ) ⁄ + (∑ | − | ∞ = ) ⁄ ( ∑| | ∞ = ) ⁄ + ( ∑| − | ∞ = ) ⁄ = + ‖ ‖ℓ� ve ‖ ‖ℓ∞ = sup ℕ| |= sup ℕ | − � − | ( + ‖ ‖ℓ∞
elde edilir. = + olarak alınırsa istenilen > reel sayısı bulunmuş olur. Bu kapsamanın kesin olduğunu göstermek için aşağıdaki üç farklı durum incelenecektir.
i) ∀ ℕ için < < ise; = (∏ � = ) = ∞
olsun. ⁄ > olduğundan ℓ dir. Fakat
= , , , … ℓ olup ℓ dir. ∀� ℕ için = √
+ < olsun. Bu
durumda
� = + olup ∑
∞
= serisi ıraksak olduğundan Teorem 2.1.2 den ∏
�
∞ =
sonsuz çarpımı da ıraksaktır. Böylece ℓ∞ dır. Diğer taraftan ℓ∞ olup
ℓ∞ dır.
ii) ∀ ℕ için = ise;
Bu durumda herhangi bir = dizisinin -dönüşüm dizisinin terimleri ∀ ℕ için
= − −
şeklindedir. = , , , … olarak alınırsa ℓ fakat = , , , … ℓ
29
= + olsun. Bu dizi ℓ∞ uzayında değildir fakat = , , , … ℓ∞
olduğundan ℓ∞ dir.
iii) ∀ ℕ için > ise;
∀ için = + > ve = olsun. Bu durumda =
+ ℓ ve
= + ℓ dir. O halde ℓ dir.
∀ için = + > iken = seçilsin. Bu durumda ℓ∞ fakat
= + ℓ∞ olup ℓ∞ dir.
Sonuç olarak, her bir durumda ∞ için ℓ \ℓ dizisi mevcuttur.
Dolayısıyla ∞ için ℓ ⊂ ℓ kapsaması kesin olarak sağlanır.
Teorem 3.1.4 ℓ∞ ve ℓ uzayları birbirini kapsamaz.
İspat: Bu teoremi ispat etmek için ℓ \ℓ∞ ve ℓ∞\ℓ olacak şekilde
ve dizilerinin mevcut olduğunu göstermek yeterlidir.
∀� ℕ i⋮in = √+ olmak üzere = (∏
�
= ) olsun. Bu durumda ℓ∞ olup
= , , , … ℓ dir. Dolayısıyla ℓ dir.
= − ℓ∞ için = ( ) dizisi = { − ( + ) ,, = ℕ şeklindedir. ∀ ℕ için | − + � | > olduğundan ∑ | | ∞ = serisi
30
3.2. �� � UZAYININ -, −, −DUALLERİ VE SCHAUDER BAZI
Öncelikle ∞ için ℓ uzayının -dualinin belirlenmesinde kullanılacak olan
bir lemma ispat edilecektir.
Lemma 3.2.1 = � olsun ve = matrisi = − olarak yani
∀ , ℕ için
= { ,, >
şeklinde tanımlansın. Bu durumda ∞ için (ℓ ) olması için gerek ve
yeter şart (ℓ , ℓ ) olmasıdır.
İspat: = � dizisinin -dönüşüm dizisi olsun. ∀ ℕ için
= − =
olur. Bu eşitlikten dolayı ℓ iken = ℓ olması ancak ve ancak
ℓ iken ℓ olması ile sağlanır. Bu ise (ℓ ) olması için gerek ve yeter şartın (ℓ , ℓ ) olduğunu gösterir.
Sonuç 3.2.1 ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ ve ̂ kümeleri ̂ = { = �: sup � ℱ∑ |∑ ∏� = | ∞ = < ∞},
̂ = { = �: her bir ℕ için ∑ ∏
= ∞ = mevcut }, ̂ = { = �: sup ℕ∑ |∑ ∏= = = | < ∞}, ̂ = { = �: lim∞∑ |∑ ∏ = = | = = ∑ |∑ ∏ = ∞ = | ∞ = < ∞ },
31 ̂ = { = �: sup ℕ∑ | ∏= | < ∞ ∞ = } ve ̂ = { = �: sup , ℕ|∑ ∏= = | < ∞}
olarak tanımlansın. Bu durumda aşağıdaki ifadeler doğrudur: (a) < ∞ için (ℓ ) = ̂ ve ℓ = ̂ dir.
(b) < < ∞ için (ℓ ) = ̂ ̂ , ℓ∞ = ̂ ̂ ve
ℓ = ̂ ̂ dır.
(c) < ∞ için (ℓ ) = ̂ ve ℓ = ̂ dır.
İspat: Bu sonucun ispatı Lemma 2.1.2, Teorem 2.1.5 ve Lemma 3.2.1 kullanılarak kolaylıkla görülür.
Aşağıdaki teoremde ℓ uzayının Schauder bazı verilmektedir. Teorem 3.2.1 Her sabit ℕ için ℓ dizisi
( ) = {∏= , , <
ℕ .
şeklinde tanımlansın. Bu durumda ( ) dizisi ℓ uzayının bir bazıdır ve her ℓ
= ∑ .
∞ =
şeklinde tek bir gösterime sahiptir.
İspat ( ) ℓ ve (3.3) den ( ) = olduğundan her bir ℕ için
32 ℓ ve ∀ ℕ için = ∑ = olsun. Bu durumda ( ) = ∑ ( ) = = ∑ = ve böylece ( − ) = { ,, >
olur. > için bir ℕ sayısı
∑ | |
∞ = +
olacak şekilde vardır. Bu durumda her için
‖ − ‖ℓ � = ( ∑ | | ∞ = + ) ⁄ ∑ | | ∞ = + ⁄ <
elde edilir. Bu ise lim ∞‖ − ‖
ℓ� = olduğunu gösterir. Böylece = ∑∞
= şeklindedir.
Bu gösterimin tek olduğunu göstermek için = ∑∞
= olsun. ℓ den
ℓ ye tanımlı lineer dönüşümü Teorem 2.1.3 den dolayı sürekli olduğundan
= ∑ ( ) = ∞ = ∑ = ∞ = ℕ
33
3.3. �� � UZAYI ÜZERİNDE BAZI MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ
Bu bölümde, ∞ için {ℓ , , , ℓ∞} ve {ℓ , ℓ∞} olmak üzere
(ℓ , ), ( , ℓ ) sınıfları karakterize edilecektir ve �(ℓ , ) sınıfına ait bir matris operatörün normu verilecektir. Burada matrisi = dizisi ile verilen fark matrisidir.
Bölüm boyunca kısalık olması bakımından verilen bir = matrisi için , = ∑ = gösterimi kullanılacaktır.
İlk olarak ∞ olmak üzere ℓ uzayından ℓ , , , ℓ∞ uzaylarına tanımlı
matris dönüşümlerini karakterize etmek için kullanılacak olan bir teorem verilecektir.
Teorem 3.3.1 ∞ ve keyfi bir dizi uzayı olsun. Bu durumda
= (ℓ , ) olması için gerek ve yeter şart ∀ , , ℕ için
= { ∑ ∏ = = , , > ve = ∑ ∏ = ∞ =
olmak üzere ∀ ℕ için
= (ℓ , ) . = (ℓ , ) . olmasıdır.
İspat: Teoremin ispatında Kirişçi ve Başar [22] tarafından verilen ispat yöntemi
kullanılacaktır. = (ℓ , ) ve = ℓ olsun. (3.2) den
∀ , ℕ için ∑ = = ∑ ∑ ∏ = = = = ∑ ∑ ∏ = = = = ∑ = = .
34
elde edilir. mevcut olduğundan her ℕ için matrisi (ℓ , ) sınıfına aittir.
(3.7) de ∞ alındığında = olur. Bu ise (ℓ , ) sonucunu verir.
Tersine (3.5) ve (3.6) sağlansın ve herhangi bir ℓ verilsin. O zaman her bir
ℕ için ℕ ℓ dır. Bu ise (3.5) ile birlikte ∀ ℕ için
= ℕ ℓ olduğunu gösterir. Böylece mevcuttur. (3.7) de ∞
alınırsa = olur. Dolayısıyla (ℓ , ) dır.
Aşağıdaki teoremler Lemma 2.1.2 ve Teorem 3.3.1 kullanılarak elde edilir. Teorem 3.3.2
(i) = ℓ , ℓ∞ olması için gerek ve yeter şart
lim∞ mevcut ∀ , ℕ , . sup , ℕ| | < ∞ . ve sup , ℕ| | < ∞ ∀ ℕ . olmasıdır.
(ii) = ℓ , olması için gerek ve yeter şart ( . ), ( . ), ( . )
şartlarının sağlanması ve
lim∞ = ∀ ℕ . olmasıdır.
(iii) = ℓ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.9), (3.10) şartlarının sağlanması ve
35 olmasıdır.
(iv) = ℓ , ℓ olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.10)
şartlarının sağlanması ve sup ℕ∑| | < ∞ ∞ = . olmasıdır. Teorem 3.3.3 < < ∞ olsun.
(i) = (ℓ , ℓ∞) olması için gerek ve yeter şart (3.8) şartının
sağlanması ve sup ℕ∑| | < ∞, ∞ = . sup ℕ∑| | < ∞ ∞ = . olmasıdır.
(ii) = (ℓ , ) olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), (3.14) ve (3.15) şartlarının sağlanmasıdır.
(iii) = (ℓ , ) olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12), (3.14) ve (3.15) şartlarının sağlanmasıdır.
(iv) = (ℓ , ℓ ) olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.14) şartlarının sağlanması ve sup � ℱ∑ |∑� ℕ | < ∞ . ∞ = olmasıdır.
36
Teorem 3.3.4
(i) = ℓ∞ , ℓ∞ olması için gerek ve yeter şart (3.8), =
alındığında (3.15) şartlarının sağlanması ve
her bir ℕ i⋮in lim∞∑| | = ∑| |
∞ = ∞ = . olmasıdır.
(ii) = ℓ∞ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), (3.17)
şartlarının sağlanması ve lim∞∑| | = ∑| | ∞ = ∞ = . olmasıdır.
(iii) = ℓ∞ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12), (3.17) şartlarının sağlanması ve lim∞∑| | = ∞ = . olmasıdır.
(iv) = ℓ∞ , ℓ olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.17)
şartlarının sağlanması ve
sup
�,� ℱ|∑ ∑� � | < ∞ .
olmasıdır.
37
Sonuç 3.3.1
(i) = ℓ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.9), (3.10)
ve (3.12) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(ii) = ℓ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.9), (3.10) ve (3.11) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(iii) = ℓ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.9) ve (3.10) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
Sonuç 3.3.2 < < ∞ olsun.
(i) = (ℓ , ) olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12), (3.14)
ve (3.15) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(ii) = (ℓ , ) olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), (3.14) ve (3.15) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(iii) = (ℓ , ) olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.14) ve (3.15) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
Sonuç 3.3.3
(i) = ℓ∞ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12),
(3.17) ve (3.19) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(ii) = ℓ∞ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), (3.17)
ve (3.18) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(iii) = ℓ∞ , olması için gerek ve yeter şart (3.8), = için (3.15) ve (3.17) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
Şimdi, ∞ olmak üzere ℓ , , , ℓ∞ uzaylarından ℓ uzayına tanımlı matris
dönüşümleri karakterize edilecektir.
Teorem 3.3.5 = matrisi verilsin ve = matrisi ∀ , ℕ için
= − − , + .
38
( , ℓ ) olması için gerek ve yeter şart ( , ℓ ) olmasıdır. İspat: = olsun. ( . ) eşitliği kullanılarak ∀ , ℕ için
∑ = ∑ (− − , + )
= =
elde edilir. Bu son eşitlikte ∞ alındığında = olur. Böylece
∞ olmak üzere için ℓ ⇔ ℓ dir. Bu ise ispatı tamamlar.
Aşağıdaki teoremler Lemma 2.1.2 (v), Lemma 2.1.3 ve Teorem 3.3.8 kullanılarak elde edilir.
Teorem 3.3.6 = ve = sonsuz matrisleri Teorem 3.3.8 de verilen ilişkili matrisler olsun. < < ∞ için:
(i) = (ℓ∞, ℓ ) = ( , ℓ ) = ( , ℓ ) olması için gerek ve
yeter şart sup � ℱ∑ |∑� | < ∞ ∞ = . olmasıdır.
(ii) = (ℓ , ℓ ) olması için gerek ve yeter şart
sup ℕ∑| | < ∞ ∞ = . olmasıdır.
Teorem 3.3.7 = ve = matrisleri Teorem 3.3.8 de verilen ilişkili matrisler olsun. Bu durumda:
(i) = ℓ∞, ℓ = , ℓ = , ℓ olması için gerek ve
yeter şart = alındığında . şartının sağlanmasıdır.
(ii) = ℓ , ℓ olması için gerek ve yeter şart = alındığında
39
Teorem 3.3.8 = ve = matrisleri Teorem 3.3.8 de verilen ilişkili matrisler olsun. Bu durumda:
(i) = ℓ∞, ℓ∞ = , ℓ∞ = , ℓ∞ olması için gerek ve
yeter şart sup ℕ∑| | < ∞ ∞ = olmasıdır.
(ii) = ℓ , ℓ∞ olması için gerek ve yeter şart
sup
, ℕ| | < ∞
olmasıdır.
Şimdi, ∞ ve {ℓ , ℓ∞} olmak üzere �(ℓ , ) sınıfına ait bir matrisin
normu verilecektir. Bunun için öncelikle aşağıdaki lemma verilecektir. Lemma 3.3.1 (i) = �(ℓ , ℓ∞) ise ‖ ‖ = ‖ ‖(ℓ�,ℓ∞) = { sup, ℕ| | , = ise sup ℕ∑| | ∞ = , < ∞ ise dır. (ii) = �(ℓ , ℓ ) ise ‖ ‖ = ‖ ‖(ℓ�,ℓ ) = { sup ℕ∑| | ∞ = , = ise sup � ℱ∑ |∑� | ∞ = , < ∞ ise
40 dır [4,8].
Teorem 3.3.9 ve , = ve = dizileri ile verilen iki fark matrisi olsun. Bu durumda:
(i) ∞ olmak üzere = �(ℓ , ℓ∞ ) ise
‖ ‖ = ‖ ‖(ℓ� ,ℓ∞ ) = { sup , ℕ|∑ ∏= ∞ = ( − − , )| , = ise sup ℕ∑ |∑ ∏= ( − − , ) ∞ = | ∞ = , < ∞ ise dir. (ii) = �(ℓ , ℓ ) ise ‖ ‖ = ‖ ‖(ℓ� ,ℓ ) = { sup ℕ∑ |∑ ∏= ( − − , ) ∞ = | ∞ = , = ise sup � ℱ∑ |∑ ∑ ∏= ( − − , ) ∞ = � | ∞ = , < ∞ ise dir.
İspat: ∞ için Teorem 3.2 den : ℓ ℓ bir izometrik izomorfizmdir.
= − olsun.
ℓ →
− .
ℓ → = −
Yukarıdaki diyagramdan ∞ ve {ℓ , ℓ∞} olmak üzere
41
‖ ‖(ℓ�, ) = {‖ ‖‖ ‖(ℓ� ,ℓ∞ ) , = ℓ∞
(ℓ� ,ℓ ) , = ℓ elde edilir.
42
4.
�
�� VE � � FARK DİZİ UZAYLARI
Bu bölümde fark matrisi kullanılarak yeni fark dizi uzayları olan ve uzayları tanımlanacaktır. Ayrıca bu uzaylar ile ilgili bazı kapsama bağıntıları verilecektir. Daha sonra bu uzayların -, ve −dualleri belirlenecek ve Schauder bazı oluşturulacaktır. Son olarak bu uzaylarla ilişkili bazı matris dönüşümleri karakterize edilecek ve bu uzaylar üzerinde tanımlı bir sınırlı lineer operatörün normu hesaplanacaktır.
Tanım 4.1 ve fark dizi uzayları
= { = �: lim∞( − − ) = }
ve
= { = �: lim∞( − − ) mevcuttur}
şeklinde tanımlıdır.
Ayrıca Tanım 2.1.31 kullanılarak ve dizi uzayları
= ve =
şeklinde tekrar tanımlanabilir.
Teorem 4.1 λ { , c} olsun. uzayı
‖ ‖ = ‖ ‖ℓ∞ = supℕ| − − |
normlu ile bir Banach uzayıdır.
İspat: Öncelikle norm şartlarının sağlandığı gösterilecektir.
N1) ‖ ‖ = olsun. O halde ‖ ‖ℓ∞= ve ‖. ‖ℓ∞ bir norm olduğundan = dır. üçgensel olduğundan Teorem 2.1.4 den tersi vardır. Bu yüzden = dır. Ayrıca
43 = ise ‖ ‖ = olduğu açıktır.
N2) � ve olsun. Bu durumda, ‖ ‖ = ‖ ‖ℓ∞ = ‖ ‖ℓ∞ = | |‖ ‖ℓ∞ = | |‖ ‖ olur. N3) , için ‖ + ‖ = ‖ + ‖ℓ∞= ‖ + ‖ℓ∞ ‖ ‖ℓ∞+ ‖ ‖ℓ∞ = ‖ ‖ + ‖ ‖ olup üçgen eşitsizliği sağlanır.
Norm şartları sağlandığından λ { , c} için , ‖. ‖ bir normlu uzaydır.
Bu uzayın bir Banach uzayı olduğunu göstermek için , uzayında bir Cauchy dizisi ve her ℕ için = olsun. O halde , uzayında bir dizidir. Ayrıca
‖ − ‖ = ‖ − ‖ℓ∞ = ‖ − ‖ℓ∞ = ‖ − ‖ℓ∞
olup , uzayında bir Cauchy dizisidir. , ‖. ‖ℓ∞ bir Banach uzayı olduğundan
lim ∞ = olacak şekilde bir vardır. = − olsun. O halde
lim∞‖ − ‖ = lim∞‖ − ‖ℓ∞ = lim∞‖ − ‖ℓ∞ = lim∞‖ − ‖ℓ∞ =
dır. Bu ise, olmak üzere lim ∞ = olduğunu gösterir.
Teorem 4.2 λ { , c} olmak üzere λ fark dizi uzayı λ uzayına lineer olarak izomorfiktir, yani λ ≅ λ dır.
İspat: λ { , c} olmak üzere λ ve λ uzayları arasında bire-bir, örten ve normu koruyan lineer bir dönüşümün mevcut olduğu gösterilmelidir. dönüşümü λ den
λ ya = = ( ) şeklinde tanımlansın. O halde her λ için
= λ dır. Bu şekilde tanımlanan dönüşümünün lineer olduğu açıktır. Ayrıca = iken = olduğundan Lemma 2.1.1 e göre dönüşümü bire-birdir.
44
= λ olsun. (3.1) ve (3.2) kullanılarak ∀ ℕ için
= − − = ∑ ∏ = = − ∑ ∏ − = − = = ∏ = + ∑ ∏ = − = − ∑ ∏ − = − = =
elde edilir. Bu ise = demektir. λ olduğundan λ olur. Böylece her bir λ için = olacak şekilde λ vardır. Dolayısıyla örtendir.
Her λ için ‖ ‖λ = ‖ ‖ℓ∞olduğundan
‖ ‖ℓ∞ = ‖ ‖ℓ∞ = ‖ ‖λ
dir. O halde dönüşümü normu korur ve böylece bir izometrik izomorfizmdir. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.3 c uzayı solid değildir.
İspat: = = ( + ∑ (∏
�
= )
= ) ve = = − dizileri verilsin.
∀ ℕ için | | | | dir. = , , , … olduğundan dir. Fakat
= +
� − olduğundan dir. Dolayısıyla c uzayı solid
değildir.
Teorem 4.4 inf ℕ ise c uzayı solid değildir.
İspat: ve = , , , … , , … olmak üzere = (∑ (∏ �
= )
= )
olsun. = olduğundan dir. Ayrıca = = −
ve ∀ ℕ için | | | | dir. Dolayısıyla c uzayı solid değildir.
45
4.1. KAPSAMA BAĞINTILARI
Bu bölümde ve uzayları ile ilgili bazı kapsama bağıntıları verilecektir. Teorem 4.1.1 ⊂ kapsaması kesin olarak sağlanır.
İspat: olsun. O halde dır. Ayrıca ⊂ olduğundan yani
dir. Dolayısıyla ⊂ dir.
⊂ kapsaması kesin olduğundan \ olacak şekilde bir = dizisi vardır.
= dizisi ∀ ℕ için (3.2) deki gibi tanımlansın. Böylece = yani
= dir. \ olduğundan \ olur. Sonuç olarak \ olup
⊂ kapsaması kesindir.
Teorem 4.1.2 λ { , c} olsun.
(i) inf ℕ > ise = dir.
(ii) inf ℕ ise ⊂ kapsaması kesindir.
İspat: λ { , c} olsun. , � \ olduğundan = matrisi sup ℕ∑| | ∞ = sup ℕ + supℕ < ∞,
her bir ℕ i⋮in lim∞ = ,
lim∞∑ =
∞ =
lim∞ − lim∞ mevcuttur
şartlarını sağlar. Böylece , dır. O halde her için dır. Dolayısıyla
dir. Bu ise ⊂ olduğunu gösterir.
(i) inf ℕ > olsun. Bu durumda sup ℕ∑∞ | | < ∞
= dır. Gerçekten de
46 sup ℕ∑| | ∞ = = sup ℕ{ , + , + + , … , … + … + + , … } sup
ℕ{inf ,inf + , inf +
+ , … , inf … + … + + , … }
= inf supℕ{ , + , + + , … , … + …
+ + , … }
= inf supℕ{∑ (inf )= } = inf ∑(inf ) < ∞ ∞
=
dır. Ayrıca − = ters matrisi
her bir ℕ i⋮in lim∞ = lim∞∏
=
= ,
lim∞∑
inf lim∞∑ (inf ) < ∞ =
∞ =
şartlarını sağlar. Böylece − , dır. ve = olsun. − ,
olduğundan = − dır. Bu ise ⊂ olduğunu gösterir. Sonuç olarak
inf ℕ > ise = dir.
(iii) ∀ ℕ için olsun. = (∏ �
= ) dizisi için
= , , , … dır. O halde dir. Sonuç olarak inf ℕ ise
⊂ kapsaması kesindir.
Teorem 4.1.3 inf ℕ ise λ { , c} için ℓ∞ ve uzayları birbirini
47
İspat: = = − ℓ∞\ dizisi için
lim∞( − − ) = lim∞(( + ) − )
mevcut olmadığından yakınsak değil yani dir. O halde dir.
∀ ℕ için olsun. = ( + ∑ (∏
�
= )
= ) dizisi için
= , , , … olduğundan dir. Kabulden dolayı
� olduğundan
ℓ∞dır.
Ayrıca inf ℕ > ise = olduğundan ⊂ ℓ∞ olur.
4.2. �� � , � � UZAYLARININ -, −, −DUALLERİ VE SCHAUDER BAZI Öncelikle λ { , c} için uzayının -dualinin belirlenmesinde kullanılacak olan bir lemma verilecektir.
Lemma 4.2.1 = � olsun ve = matrisi = − olarak yani
∀ , ℕ için
= { ,, >
şeklinde tanımlansın. Bu durumda λ { , c} olmak üzere olması için
gerek ve yeter şart , ℓ olmasıdır.
İspat: λ { , c} ve = � dizisinin -dönüşüm dizisi olsun. ∀ ℕ için
= − =
olur. O halde iken = ℓ olması ancak ve ancak iken
ℓ olması ile sağlanır. Bu ise olması için gerek ve yeter şartın , ℓ olduğunu gösterir.
48 = { = �: sup � ℱ∑ |∑ ∏� = | ∞ = < ∞}, = { = �: sup ℕ∑ |∑ ∏= = = | < ∞},
= { = �: her bir ℕ i⋮in lim∞∑ ∏
= =
mevcuttur} ve
= { = �: her bir ℕ i⋮in lim∞∑ ∑ ∏
= = =
mevcuttur} olarak tanımlansın. Bu durumda aşağıdaki ifadeler doğrudur:
(a) = = dir.
(b) = ve = dır.
(c) = = dir.
İspat: Bu sonucun ispatı = alındığında Lemma 2.1.3 ün (i) ve (iii) kısımları, Lemma 2.1.4 ün (ii) ve (iv) kısımları, Teorem 2.1.5 ve Lemma 4.2.1 kullanılarak kolaylıkla görülür.
Aşağıdaki teoremde λ { , c} için uzayının Schauder bazı verilmektedir. Teorem 4.2.1 λ { , c} olsun. Her sabit ℕ için dizisi
( ) = {∏= , , <
ℕ
49
= ∑
∞ =
şeklinde tek bir gösterime sahiptir.
İspat: Bu teoremin ispatı Teorem 3.2.1 in ispatına benzer şekilde yapılır.
4.3. �� � ve � � UZAYLARI ÜZERİNDE BAZI MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ
Bu bölümde, λ { , c} ve {ℓ , , , ℓ∞} olmak üzere , ve ,
sınıfları karakterize edilecektir. Ayrıca � , sınıfına ait bir matris operatörünün normu bulunacaktır. Burada matrisi = dizisi ile verilen fark matrisidir.
Bölüm boyunca kısalık olması bakımından verilen bir = matrisi için , = ∑ = gösterimi kullanılacaktır.
İlk olarak λ { , c} olmak üzere uzayından ℓ , , , ℓ∞ uzaylarına tanımlı matris
dönüşümlerini karakterize etmek için kullanılacak bir teorem verilecektir.
Teorem 4.3.1 λ { , c} ve keyfi bir dizi uzayı olsun. Bu durumda
= , olması için gerek ve yeter şart ∀ , , ℕ için
= { ∑ ∏ = = , , > ve = ∑ ∏ = ∞ =
olmak üzere ∀ ℕ için
= ,
= ,
olmasıdır.
İspat: Bu teoremin ispatı Teorem 3.3.1 in ispatına benzer şekilde yapılır.
50
Lemma 2.1.4 ve Teorem 4.3.1 kullanılarak elde edilir. Teorem 4.3.2
(i) = , ℓ∞ olması için gerek ve yeter şart (13) ve =
alındığında (3.14), (3.15) şartlarının sağlanmasıdır.
(ii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11) ve =
alındığında (3.14), (3.15) şartlarının sağlanmasıdır.
(iii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12) ve = alındığında (3.14), (3.15) şartlarının sağlanmasıdır.
(iv) = , ℓ olması için gerek ve yeter şart (3.8) ve =
alındığında (3.14), (3.16) şartlarının sağlanmasıdır. Teorem 4.3.3
(i) = , ℓ∞ olması için gerek ve yeter şart (3.8), =
alındığında (3.14), (3.15) şartlarının sağlanması ve her bir ℕ için lim∞∑
∞ =
mevcut . olmasıdır.
(ii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), =
alındığında (3.14), (3.15) ve (4.1) şartlarının sağlanması ve lim∞∑
∞ =
mevcut . olmasıdır.
(iii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), = alındığında (3.14), (3.15) ve (4.1) şartlarının sağlanması ve
lim∞∑
∞ =
= . olmasıdır.
51
(iv) = , ℓ olması için gerek ve yeter şart (3.8), =
alındığında (3.14), (3.16) ve (4.1) şartlarının sağlanmasıdır. Aşağıdaki sonuçlar Teorem 4.3.2 ve Teorem 4.3.3 den elde edilir. Sonuç 4.3.1
(i) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12) ve
= için (3.14), (3.15) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(ii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11) ve
= için (3.14), (3.15) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır. (iii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8) ve = için (3.14), (3.15) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
Sonuç 4.3.2
(i) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.12), =
için (3.14), (3.15) ve (4.1), (4.3) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(ii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8), (3.11), =
için (3.14), (3.15) ve (4.1), (4.2) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
(iii) = , olması için gerek ve yeter şart (3.8) ve = için (3.14), (3.15) ve (4.1) şartlarının yerine , alındığında sağlanmasıdır.
Şimdi, λ { , c} olmak üzere ℓ , , , ℓ∞ uzaylarından uzayına tanımlı matris
dönüşümleri karakterize edilecektir.
Teorem 4.3.4 = matrisi verilsin ve = matrisi ∀ , ℕ için
= − − , +
şeklinde tanımlansın. herhangi bir dizi uzayı ve λ { , c} olmak üzere , olması için gerek ve yeter şart , λ olmasıdır.
