İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ
ÜZERİNDEKİ ÇALIŞMALAR *
(THE WORKS ON THE DUBLICATION OF THE CUBE)
IN ISLAMIC WORLD
S E V İ M T E K E L İ
Yunanda "Üç Klasik Problem" adı verilen ve hemen hemen Eski Çağda bütün matematikçilerin üzerinde uğraştıkları ve çeşitli çözüm şekilleri bul maya çalıştıkları üç problem vardır. Bunlar,
1) Bir açının üçe bölünmesi, 2) Dairenin dörgenleştirilmesi,
3) Bir küpün iki katına eşit bir küp bulmak veya "Delos Problemi, dir. Sonuncu problemin çözümüne aid tarihi bilgiyi Eratosthenes'e1 atfedilen ve Kral Ptoleme Euergetes'e hitaben yazılmış bir mektupta buluyoruz2. Bunda problemin hikâyesi şu tarzda anlatılmaktadır. Bir tragedia şairinin bildirdiğine göre Kral Minos Oğlu Glaucon için bir mezar hazırlatmak istiyor. Fakat hazırlanan taşın her kenarının 100 ayak uzunluğunda olmasından Kral memnun olmuyor ve bu oran bozulmamak şartı ile taşın hacminin iki katına çı karılmasını istiyor. Bu konuda mimar başarısızlığa uğruyor, çünkü gerçekte ke narlar iki katına çıkarılırsa, o zaman hacim dört katına çıkarılmış oluyordu. Bu problemi geometriciler ele alıyor ve şekli muhafaza etmek şartı ile hacmi nin nasıl iki katına çıkartılabileceğini araştırıyorlar. Böylece bu "bir küpün
iki katını bulma''' problemi adını alıyor. Uzun ve başarısız çalışmalardan
son-* Farsça metnin ve çevirisininin hazırlanması hususundaki yardımlarından dolayı sayın H o c a m Ord. Prof. D r . Aydın Sayılı'ya teşekkür ederim.
1 Cyreneli Eratosthenes (M.Ö.284) İskenderiye Çağının önemli matematikçilerinden biri dir. Ptoleme Euergetes'in oğluna hoca olarak İskenderiyeye çağrılmış, sonra İskenderiye K ü t ü p hanesi m ü d ü r ü olmuştur. Çeşitli eserleri vardır. En önemli çalışması arzın çevresini ölçmesidir. Bak. H e a t h , A History of Greek Mathematics. Cilt I I , Oxford, 1921, S. 104-109.
2 H e a t h , S. 244; P.Brunet ve A.Mieli, Histoire des Sciences Antiqueté, Paris 1935, S. 112; Molla Lutfi'il Maqtûl, Bibliothécaire du Sultan Mahomet II, La Dublication de l'Autel
(Platon et le Problème de Delos) Arapça metin Şerefeddin Yaltkaya tarafından hazırlanmış,
ra Kios'lu Hippochrates3 ilk defa olarak ortalama oran bulmak şartı ile mese leye bir çözüm yolu buluyor.
Bir zaman sonra Delos'lular sunak taşının hacminin iki katına çıkarılma sına dair rehberlerinden emir alıyorlar. Onlar da ayni zorlukla karşılaşıyorlar. Bunun üzerine Eflâtun ve Akademideki diğer geometricilere bir çözüm yolu bulunması için baş vuruyorlar.
Daha sonraları İzmirli Theon4'un Eratosthenes'in bu mektubundan ikti baslar yapmış olduğunu öğreniyoruz. İzmirli Theon bu mektubunda şöyle demektedir. "Salgın hastalıktan kurtulacak olurlarsa mevcut olanın iki katı bir sunak taşı yapmaları lâzım geldiğini Tanrı rahibe vasıtası ile Delos'lulara bildirdiğini Eratosthenes Platonicus adlı yazısında hikaye eder."
"Ehil kişilerin bir hacmin iki katına eşit benzer bir hacmin bulunması hususunda göstermiş oldukları gayretlerinde şaşkınlığa uğradıklarını, bunun üzerine Eflâtun'a bu konuyu sormaya gittiklerini ve Eflâtun'un rahibenin esasında Tanrının hacmi iki katına çıkarılmış bir sunak taşı istemediğini, fa kat bu problemi ortaya atmaktaki asıl maksadının zamanlarında matematik ve geometriyi ihmal ettikleri için Yunanlıları utandırmak olduğunu söylemiş tir."5
Yunan Çağında pek çok kimselerin bir çözüm bulmak için çeşitli yollar izlediklerini biliyoruz6.
3 ChiosluHippochrates 450-430 (M.Ö.)yılları arasında Atinada y a ş a m ı ş t ı r . E n önemliYunan matematikçilerinden biridir. Dörtgenleştirme ve "Küpün iki katını bulma" problemleri üzerinde gayet dikkatli araştırmalar yapmıştır. "Bir küpün iki katını bulma" problemini birbirinin iki k a t ı ve orantılı iki uzunluk bulma şekline sokmuştur. G.Sarton, Introduction to the History
of Science, Cilt I. Baltimore 1927.
4 İzmirli Theon 127-132 (M.Ö.) seneleri civarında İzmirde yaşamıştır. Bir P l a t o n c u filozof t u r . Eflatun'u okumak için gerekli olan matematik bilgi adlı bir eseri vardır. Venus ve Mercury'nin güneş e t f a n n d a dolandığından bahseder. Arz k â i n a t ı n merkezi fakat güneş onun kalbidir. Sar-ton, Cilt I, S. 272.
5 H e a t h , Cilt I, S. 245-246.
6 Archytas dördüncü asrın ikinci yarısında (M.Ö.) yaşamıştır. Zamanı göz önüne alınırsa Archytas'ınki en önemli çözümlerden biridir. Bir düzlemde değil, bir m e k â n d a k i çözümdür. Problemi bir koni, bir silindir ve bir t o r u n kesişmesinden faydalanarak çözmüştür. Eudoxos (367-408 M.Ö.)'un çözümü bir b a k ı m a Archytas'ın çözümünün aynıdır.
Menaechmos dördüncü asrın ikinci yarısında (M.Ö.) yaşamıştır. Çok önemli matematikçiler den biridir. Özellikle koni kesitleri üzerinde çalışmış ve çeşitli koni kesitlerinin kesişmesinden faydalanarak iki çözüm şekli bulmuştur.
Eflâtun'a (428-348 M.Ö.) atfedilen çözümde ise doğruların kesişmesinden faydalanıl-mıştır. Mekanik bir çözümdür. Eratosthenes'inki de mekanik bir çözümdür.
İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ 89 İslâm Dünyasına gelince bu konu ile ilgilenilmediğini görüyoruz. Şimdiye kadar sadece bilinen iki misal vardır. Bunlardan biri İbn al Hüseyin'in misa lidir.7 Diğeri İslâm Geç-Ortaçağında Osmanlılarda Molla Lütfi'nindir.8 Adnan Adıvar, Osmanlı Türklerinde İlim adlı eserinde bu konuya değindiğinde "Vel hasıl bu efsanevî hikâye İzmirli Theon'dan başka Plutarque'm De Genio
Socra-tism de bir diyalog şeklinde geçer. İşte bu hikâyenin araplara geçmemiş oldu
ğunu Julius Lippert Studien auf dem Gebiete der grieshisch-arabischen Litteratur adlı eserinde söylemekte ise de Zekeriya Kazvinî'nin Asâr-ül-Bilâd (nsr. Wüs tenfeld, 385)'ınde bir kaç satırla yazılmış olduğu görülmektedir. Fakat Molla Lutfî'nin risalesi okunursa görülürki, onun me'hazı Asâr-ül-Bilâd olamaz; belki Molla Lutfi İstanbulda Theon'un yahut Plutarque'ın eserlerini elde et miş veyahut bir Bizanslı âlimden meseleyi dinlemiş olabilir."9
Yunanda pek çok çözüm yollan bulunmuş ve üzerinde durulmuş olan bu konunun İslâm Dünyasında bu kadar nadir ele alınmış olması özellikle dikkati çekecek bir durumdur. Bu yüzden Adnan Adıvar ve Corbin Molla Lûtfi'nin bu konuyu işlemesinin nedenini Bizans kültürünün İslâm Dünyasına bir etkisi olarak göstermek isterler.1 0
1966 yazında İstanbul Kütüphanelerinde yapmış olduğumuz araştırma lar durumun böyle olmadığına dair ip ucu verecek niteliktedir. Süleymaniye Kütüphanesinde, Hüseyin Hüsnü Paşa Kataloğunda No. 1292 kayıtlı
Sahâ-viye fi ilm al Hisab adlı bir yazma vardır. Yazarı 16 inci asırda yaşamış olan
Abdülkâdir b.Ali as Sâhâvî'1 1dir. Bu cildin sonunda, katalogda da belirtildiği gi-Nicomedes ikinci asrın birinci yarısında yaşamıştır. Problemi conchoid adlı bir eğrinin yar dımı ile çözmeye çalışmıştır.
Apollonius (262-? M.Ö.), Heron (birinci asrın birinci yarısında) ve Philon'un (ikinci asır) çözümlerine gelince bunlar hemen hemen birbirine benzeyen çözüm şekilleridir.
Diocles ikinci asrın birinci yarısında (M.Ö.) yaşamıştır. Cissoid adını verdiği bir eğri ile çözümlemek istemiştir.
Spirus ile P a p p u s (üçüncü asrın ikinci yarısı (M.Ö.) ise b u n u Diocles tarzında ele almışlar dır. Bak. H e a t h , Cilt I,S. 244-273; B r u n e t ve Mieli, S. 412-415.
7 İbn al Hüseyin, Abu Cafer, Al Hucendî'den biraz sonra yaşamıştır. Üçgenler ve bir kü
pün iki katını bulma ile ilgilenmiştir. Sorton, Cilt I, Baltimore, 1927, S. 718.
8 Molla Lütfi veya Sarı Lütfi F a t i h devrinin en önemli matematikçilerinden biridir. Ali K u ş ç u ' d a n ders almış ve F a t i h ' i n K ü t ü p h a n e memurluğunu yapmış matematiğe ait çeşitli eser ler kaleme almıştır. Bak. Adnan Adıvar, Osmanlı Türklerinde İlim, İstanbul, 1943, S. 44-47.
9 A d n a n Adıvar, S. P. 44-72. 10 Molla Lutfi'l Maqtûl, S. 30.
11 Abdülkâdir b.Ali as Sahâvî 1591 yılı civarında ölmüştür Muhtasar fi İlm al Hisab adlı bir makale kaleme almıştır. As-Sahâvîye adı ile tanılır. Bu eser 1892 yılında Kahirede basıl mıştır. Bak. Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig 1900,
bi,başka makaleler de vardır. Bunlardan biri İki hata kaidesi adı verilen tek
niğe dair bir risale dir. Bu makale çeşitli konulara dair çeşitli yazmalardan ya
pılmış derlemelerden meydana gelmiştir. Bu arada bir küpün iki katını bulma için de iki kaideden söz edilir. Bu kaidelerden biri Mecmuadan diğeri Zeyl-î
Tahrir-î Oklidesden alınmıştır. Bütün çabalarımıza rağmen Mecmuanın kimin
tarafından yazılmış olduğunu bulamadık. Mecmua adı ile başlayan pek çok yazmanın bulunması bu işi gerçekten zor bir duruma sokmaktadır. Mecmua
dan alınmış olan kaide söz konusu edilirken yazar Zeyl-î Tahrir-î Öklides'i
Nasirüddin-î Tûsî'ye atfetmektedir.
Bu çözümlerden Mecmuadaki Heron'un çözümünün ve Zeyl-î Tahrir-î
Oklidesteki ise bir bakıma Philon'un çözümünün aynıdır.1 2
"İki hata kaidesi adı verilen tekniğe dair bir risale"den iki kısım. Bir küpün iki katını bulma kaidesi : Bu bir küpün iki katını bulma kaide
sinin gerçeklenmesidir. AB doğrusunu sunağın bir kenarı olarak farz edelim. AC bunun iki katına eşit olsun. Her ikisi bir dik açı meydana getirsinler. AB CD dörtgenini tamamlayalım. AD köşegenini çizelim ve onu T noktasında ikiye bölelim. DB ve CD doğrularını aynı yönde uzatalım. Cetvelin kenarını A nok tası üzerine koyalım ve cetveli uzatılmış doğrular üzerinde ZT ve HT doğru ları eşit oluncaya kadar hareket ettirelim. Böylece AB,HB,ZC,AC terimleri devamlı bir orantı meydana getirirler
yani A B / B H = Z C / A C 12 Bak. Heath, S. 262-264.
D
FC
z
F
A RM
İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ 91 Zarurî olarak T noktasından geçen çap BC yi çizelim. T noktasından DC
üzerine TF dikmesini çıkaralım. O,CD nin orta noktasına iner.1 3 Şu halde
Oklid'in 2'inci kitabının 6'ınci teoremine1 4 göre
D Z . C Z + F C2= F C Z2
Her iki tarafa FT2yi ilâve edelim.
D Z . Z F + F C2+ F T2= F C Z2+ F T2
Pitagor teoremine göre
F C2+ F T2= C T2
Gine Pitagor teoremine göre1 5
F C Z2+ F T2= Z T2 Şöyle diyebiliriz D H . H B + T B2 ( = C T2) = H T2 ( = Z T2) Şu halde DZ . Z C = D H .HB Şöyle denilebilir D Z / H D yani AB/BH
kitap 6, teorem 41 6 , 1 7 ve kitap 5, teorem 16 göre. 1 8
13 CTF ve FTD dik açılı üçgenlerinde kenar TD=kenar CT ve TF kenarları ise müş terektir. Şu halde benzerlik teoremine göre
D F = F C Ahmed al Mevlevi
14 Bak. Great Books of the western world, Cilt II, S. 33.
15 Yani TF doğrusu DB doğrusuna dikey olarak çıkarılmıştır ve onun yarısından daha büyüktür. Şu halde
DH. H B + B F2= H F2
Sözü geçen teorem 6 ya göre FT2 yi her ikisine ilâve ederiz. Şu halde
DH. H B + B F2+ T F2= H F2+ F T2 B F2+ T F2= T B2
D H . H B + T B2= H F2+ F T2 Pitagor teoremine göre.
Ahmed al Mevlevi
16 Kitap 6, teorem 4, "Eşit açılı üçgenlerde eşit açılar karşısındaki kenarlar birbirleriyle orantılıdır. Bak. Great Books, Cilt II, S. 102.
17 HDZ ve ABD üçgenleri eşit açılı üçgenlerdir. Çünkü D = B = 9 0 °
Geri kalan açılar da eşittir. Şu halde sözü edilmiş teorem 4 de göre iki üçgende karşılıklı ke narlar orantılıdır, yani
DB/AB=DH/BH
ve DZ/DH=AB/BH kitap 5, teorem 16 göre. Ahmed al Mevlevi
18 Eğer dört terim birbirleriyle orantılı iseler, devamlı olarak ta birbirleriyle orantılıdır. Bak. Great Books, Cilt II, S, 92.
D Z / D H yani A B / B H = H B / Z C kitap 6, teorem 16'ya göre.
D Z / D H yani A B / B H = H B / Z C = Z C / C A yukarda söz konusu edilen teorem 4 ve kitap 5, teorem 16'ya göre.1 9 Hoca Nasirüddin Zeyl-î Tahrir-î öklides'te, kitap 12, teorem 15'in isbatında bunu değişik bir tarzda ifade etmiştir.
Mademki A B / C A = A B / H B
ve A B / B H = B H / Z C = Z C / C A ve AB/BH.HB/ZC.ZC/CA beşinci kitabın girişine20 göre.
böylece A B3/ H B3= A B / C A
teorem 36, kitap 11,2 1
Bu istenilendir. Ancak Tanrı doğruyu bilir.
Mecmuadan nakledilmiştir.
Diğer bir tarz : Dördünün devamlı bir oran meydana getirmeleri şartıyla,
iki sınırlanmış doğru arasında bulunan iki doğru bulmamız mümkündür. A dik açısını meydana getiren AB ve AC doğruları olsun (Şekil 2). ABCD paralel kenarını tamamlayalım. Üzerine AB dairesini ve H merkezin de kesişen AD ve BC çaplarını çizelim. AB ve AC yi uzatalım. D noktasın dan BC ye paralel Z D F doğrusunu çizelim BH ve HC doğruları eşit oldu ğundan ZF doğrusu D noktasında ikiye bölünür. Apollonius Koni kesitleri adlı eserinin ikinci bölümünün dördüncü teoreminde2 2 isbat etmiş olduğu tarz da D noktasından geçen, fakat AB ve AC yi kesmeyen bir hiperbol çizeriz. Bu DT hiperbolü olsun.
Eğer AB ve AC doğruları eşit olmuş olsalardı AH çapı BC ye hatta ZF ye dikey olacaktı. AD, ZF ye dik olduğu için ZF daireye ve kitabının ikinci
bölü-19 Geçen ifadeye göre HDZ ve AZC üçgenleri eşit açılı üçgenlerdir. Şu halde, DZ/CZ=DH/AC
sözü geçmiş teorem 4 göre
ve DZ/DH=AB/BH kitap 5, teorem 16 göre.
Ahmed al Mevlevi
20 Bak. Great Books, Cilt II, S. 81 21 Bak. Great Books, Cilt II, S, 334
22 Bir açıyı çevreliyen iki doğru ve açı içerisinde bir nokta verilsin, bu noktadan geçen, hiperbol adı verilen bu iki doğrunun da asimtotları olduğu bir koni kesitini çizmek.Bak. Apollo nius, Conics. Great books of the Western World, Cilt II. S. 685
mündeki sekizinci teoreminde2 3 isbat edildiği gibi ZD ve DF doğrularının eşit liğinden dolayı aynı zamanda hiperbole teget olacaktır. AB, CF, BZ ve AC doğruları eşit olacaktır. ABC, BZD, CDF üçgenlerinin benzerliği ve AB ve AC kenarlarının eşitliği dolayısı ile CF ve BZ doğruları AB ve AC doğruları arasında ve dördü arasında oran bulunacaktır.
Farklı olma durumuna gelince, söz gelimi AB doğrusu daha uzun olsun. A D F açısının dar açı olması dolayısı ile ZF daireyi CD arasında kesecektir. Bunun gerekçesi olarak hiperbolün daireyi kesmemesi ve hiperbol ile ZF doğ rusu arasında bulunan daireden TD yayının ona teget olması lâzımdır. O za man ikisi arasında, D noktası ile DT yayı üzerinde farzedilecek her hangi bir
23 Bir doğru hoperbolü iki noktada keserse, bunun iki yöne doğru uzantısı, asimtotları da keser ve asimtotların ayırdığı parçalar eşit olur. Bak. great Books, Cilt I I . S. 687
A
c
H
E
D
B
1
K
İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ
93
noktayı birleştiren doğrular bulunması mümkün olacaktır. Kitabının birinci makalesinin otuz ikinci teoreminde2 4 isbatlanmış olduğu gibi bu mümkün de ğildir. Kitabının dördüncü makalesinin otuzuncu teoreminde2 5 isbatlanmış olduğu gibi D ve T noktalarında kesişsinler. D ile T yi birleştirdir ve K ve L ye kadar uzatırız. CL ve BK doğrularının aranılan doğrular olduğunu söy leriz. Kitabının ikinci makalesinin sekizinci teoreminde isbatlanmış olduğu gibi bu böyledir. Çünkü asimtotlarla hiperbol arasında bulunan KD ve TL doğruları eşittir.
ve TK . K D = D L .LT
Fakat T K . K D = A K . K B
Çünkü KT ve KA, K noktasından çıkıp daireyi kesen doğrulardır. Aynı sebepten dolayı
DL . L T = L C .AK İki tarafın eşitliğinden dolayı,
AK . K B = A L .CL
AK CL (ikinci) Şu halde
AL KB (üçüncü)
Gine AKL üçgeni benzer CDL üçgenine
AK CD = AB (birinci)
Böylece
AL CL (ikinci) Aynı şekilde AKB üçgeni benzer BKD üçgenine
AK CD = AB (birinci) KB AL CL B D = A C (dördüncü) öyle ise AB ve AC doğruları arasında devamlı oran meydana getiren iki doğru bulmuş olduk. Zeyl-î Oklides'den.
24 Bir hiperbolün tepesinden geçen, ordinatlardan birine paralel ve hiperbole değen bir doğru ile hiperbol arasında başka doğrular bulunamaz. Bak. Great Books, Cilt I I . S. 638.
THE WORKS ON THE DUBLICATION OF THE CUBE
IN ISLAMIC WORLD *
SEVİM T E K E L İ
After Hippochrates had discovered t h a t the dublication of the cube was equivalent to find two mean proportionals in continued proportion between two given straight lines mathematicians produced many solutions in Antiquity1.
From the stand point of solving this problem the Islamic World strangly stands apart from the Antiquity. Up to day, only two examples dealing with this subject were known. The first attributed to İbn al Husain (Xth century A.D). He wrote a memoir on determination two mean proportionals between two lines by a geometrical method. Carra de Vaux prepared its abbreviated French translation named Proportionelles entre deux droits, Bibliotheca Mathe
matical P. 3-4 2. The other named Dublication de l'Autel (Platon et le Prob lème de Délos) edited by Şerefeddin Yaltkaya and translated in French by Adnan Adıvar and H.Corbin attributed to Molla Lutfi, the librarian of Mu hammad, the Conqueror.3
Although the former belongs to the early period this was not followed up by the others. In consequence, Adnan Adıvar and Corbin see, in connection with Molla Lutfî's attempt on the solution of the dublication of the cube in such a late period, Byzantium influence on the Islamic World.4 Similarly, Adnan Adıvar gives the following statement in The Science in Ottoman Turks. "This mythical story was mentioned by Plutarch in De Genio Socratism as a dialogue besides Theon of Smyrna. Although Juluis Lippert says t h a t this * My thanks to Ord. Prof. Dr. Aydın Sayılı for his valuable help in t h e preparation and t h e translation of the Persian text.
1 T.L. H e a t h , Greek Mathematics, Vol. I, 1921, P. 244-270 P.Brunet and A.Mieli, Histoire
des Sciences Antiquité, Paris 1935, P. 412.
2 G.Sarton, Introduction to the History of Science, Vol. I, Baltimore 1927, P.718.
3 Mollâ Lutfî'l Maqtûl, Bibliothécaire du Sultan Mahomet I I , La Dublication de l'Autel
(Platon et le Problème de Délos) Texte Arabe Publié par Şerefettin Yaltkaya, traduction Fran
çaise et introduction p a r Abdulhak Adnan et Henry Corbin, Paris 1940. 4 Molla Lûtfî, P. 30
story was not introduced to the Islamic World in Studien auf dem Gebiete der
griechisch-arabischen ,Litteratur, Zakarîyâ Qazwînî mentions it in few lines in
his Athar al Bilâd. If this text is read it is seen that Athar al Bilâd can not be the origin of this story. Probably Molla Lutfî might have obtained the books of Theon or Plutarch in Istanbul or he might have heard the story from one of the scientists of Byzantium."5
In Süleymaniye Library in Istanbul a manuscript named Fi'Ilm al
Hi-sâb6 registered No. 1292 in the catalogue of Husain Husnî Pasha and written
by Abd al Qâdîr b.Ali al Sakhawi7 lived in 16th century have come to my attention. As it is pointed out in the catalogue this volume contains other texts among which A text about the method named the double false position by which
the unknown is extracted is found. In this text two methods on the dublication
of the cube quoted from Majmua' written in persian and Zail-î Tahrir-î
Uqlî-das are presented. We could not find out who is the author of the former but
he refers Zail-î Tahrir-î Uqlîdas to Naşir al Din al Tusî.
The solution quoted from Majmua' and Zail-î Tahrir-î Uqlîdas are really the same as t h a t of Heron of Smyrna lived in 2th century B.C. and Philon lived in the same century respectively.8
Extracted from "A text about the method named the double false position
by which the unknown is extracted"
The method on finding the dublication of the cube : This is the verification
of this. Let AB be the side of a given cube and AC be equal 2AB. Let AB and AC be placed at right angle. The rectangle ABCD is completed and the radius AD bisected at the point T is drawn. The lines DB and DC are produced. A ruler is placed so that its edge passes through the point A and moved about D till ZT and HT become equal. Thus these four lines AB, HB,ZC, and AC form continued proportion, t h a t is to say,
A B / B H = Z C / A C
Let us draw the diamater BC which passes necessarily through the point T and erect the perpendicular TF on the line DC at the point T. That line, of cours, bisects the line CD.9
5 A.Adıvar, Osmanlı Türklerinde İlim. Istanbul, 1943 P.44-47.
6 H.Suter, Die Mathematiker und Astronomen del Araber und ihre Werke, Abhandlungen
zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Leipzig 1900, P.193.
7 Suter, P. 193. 8 H e a t h , P. 262-264.
İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ
So D Z . C Z + F C2= F C Z2
according to theorem 6 of book 2 of Euclides.1 0 Add F T2 to both sides
D Z . Z F + F C2+ F T2= F C Z2+ F T2 By applying Pythagoras' theorem
F C2+ F T2= C T2 Similarly1 1 F C Z2+ F T2= Z T2 We can say D H . H B + T B 2 ( = C T 2 ) = H T 2 ( = Z T2) So DZ . C Z = D H .HB That is to say D Z / D H e.i AB/BH
according to theorem 4 of book 61 2,1 3 and theorem 16 of book 5 D Z / D H e.i A B / B H = H B / Z C
according to theorem 16 of book 6
D Z / D H e.i A B / B H = H B / Z C = Z C / C A T D = C T i s given and T F i s common so according to t h e similarity D F = F C Ahmad al Mawlawî.
10 Great Books, Vol. I I , P. 33
11 T h a t is to say, TF is perpendicular to DB and T F > 1 /2DB
s o D H . H B + B F2= H F2
according to above mentioned theorem 6 we add F T2 to both sides
D H . H B + B F2 + F T2= H F2+ F T2
s o B F2+ T F2= T B2
according to t h e theorem of Pythagoras D H . H B + T B2= H F2+ F T2
Ahmad al Mawlawî.
12 Great books, Vol. I I , P. 102.
13 The triangles H D Z and A B H are equiangular because D = B = 9 0 °
the remainings are equal. So according above mentioned theorem 4 in equiangular triangles the sides about t h e equal angles are proportional, t h a t is to say,
B D / A B = D H / B H
and D Z / D H = A B / B H according to book 5, theorem 16. Ahmad al Mawlawî.
according to above mentioned theorem 4 and theorem 16 of book 5 1 5.
It has been indicated in a different manner in the Tahrir-î Uqlîdas which Khwâja Naşîr al Din has written for the purpose of proving theorem 15 of book 12
As A B / C A = A B / H B and A B / B H = B H / Z C = Z C / C A and AB/BH.HB/ZC.ZC/CA according to the introduction of book 51 6.
So A B3/ H B3= A B / C A
according to theorem 36 of book 11 1 7.
This is desired. Only God knows the truth. Extracted from Majmua .
An another way. It is possible to find two lines which fall between two
lines in continued proportion.
Let there be the lines AB and AC forming the right angle A. Let the quadrilateral ABCD be completed. The circle AB and the diameters AD and BC intersected at the point H be drawn. We produce the lines AB and AC. The line Z D F , parallel to BC through the point D, is drawn. As BH and HC are equal so the line ZF is bisected at the point D. We draw a hyperbola passing through the point D but not cutting the lines AB and AC as Apollonius proved in proposition 4 18 of the second section of his book named Conies. Let it be the hyperbola DT.
If the lines AB and AC would have been equal to the diameter, AD would be perpendicular ZF and ZF will be tangent to the circle and the hyperbola because of the equality of the lines ZD and DF as proved in proposition
15 H D Z and AZC are equiangular triangles so D Z / C Z = D H / A C according to above mentioned theorem 4. D Z / D H = A B / H B
according to book 5, theorem 16. Ahmed al Mawlawî.
16 Great Books, Vol. I I , P. 81. 17 Great Books, vol. I I . P. 334. 18 Creat Books, Vol. I I , P. 685.
İSLÂM DÜNYASINDA DELOS PROBLEMİ
99
8 19 of the second chapter of his book. The lines AB, CF, BZ and AC are equal. As triangle BZD triangle CDFand A B = A C
so the lines CF and BZ will be proportional; AB and AC also. There will be an equivalance between them.
As for not being equal, t h a t is to say, AB being greater. ZF will cut the circle through CD as the angle A D F is an acute angle. As a result of this the hyperbola will not cut the circle and the arc ZF between the hyperbola and the line ZF will be tangent to t h a t . At t h a t time, there will be lines between them joining the point D and any point supposed on the arc T D . It is not possible as proved in proposition 32 20 of the first chapter of his book. As it is proved in the proposition 30 2 1 of the fourth chapter of his book they intersect each other at the points D and T.
We join the points D T and produce it in K and L. We say t h a t the lines CL and BK are desired lines as proved in the proposition 8 of the second chapter of his book.
KD and TL are equal because, these are the lines between the hyperbola and its asymptotes.
And TK . K D = D L .LT but T K . K D = A K .KB
So the lines KT and KA drawn from the point K cut the circle. D L . L T = L C . A K
DL . L T = L C .AK having the same reason. A K . K B = A L . C L as two sides are equal.
CL (the second)
AK
AL KB (the third)
So
At the same time triangle AKL triangle CDL
so
AK C D = A B (the first) AL CL (the second) Similarly triangle AKL triangle BKD
19 Great Books, Vol. II, P. 685. 20 Great Books, Vol. II, P. 638. 21 Heath, Cilt 2, S. 158.
AL CL B D = A C (the fourth) So we find two lines which form continued proportion between the lines AB and AC. This is what we want. From Zail-i Tahrir-î Uqlidas. therefore
105 b 106 a
106 b 107 a
