BELİRLİ İNTEGRAL 02  

slayt6

Teorem: f:[a,b]  R , g:[a,b]  R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c  [a,b] ve k  R olmak üzere:



f(x) g(x)



.dx f(x).dx g(x).dx tir. 3. tir. f(x).dx k. k.f(x).dx 2. tir. f(x).dx f(x).dx f(x).dx 1. b c b a b a b a b a b c c a b a

















     

slayt7 Örnek: .dx x 2 1

-

a-) b-) c-) .dx 2) x.sgn(x 3 1

-

 .dx x 9 4 2 2





slayt8 Çözüm: bulunur. 0 1 1 | x | x .dx x .dx x .dx x .dx x 2 1 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1             









a-) b-) c-) bulunur. 1 | 2 x | 2 x x.dx x.dx 2).dx -x.sgn(x 3 2 2 2 1 2 3 2 2 1 3 1          







bulunur. 6 27 9 36 3 64 3 8 18 9 27 ).dx x -(9 ).dx x -(9 .dx x -9 4 3 2 3 2 2 4 2 2 _{          }







Alan Hesabı

slayt1

Alan Hesabı

Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız.





b a

f(x).dx

S

Teorem: f:[a,b]  R , f(x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a , x=b ve y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

slayt2

1.Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değer alıyorsa,







b

f(x).dx

S

slayt3

2.Sonuç: f:[a,b] R ,y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise,





d a

.dx

|

f(x)

|

S

slayt4

Örnek1: f(x)=3x2+6x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı

slayt5

Çözüm1:

Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3x2 +6x=0

denkleminin kökleri 3x(x+2)=0  x₁=-2 ve x₂=0 dır. Kökler arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan;

bulunur.

birimkare

4

0

12

8

S

)

3.0

(0

2)

3.(

2)

(

|

)

3x

(x

S

|

)

3x

-(x

6x).dx

(3x

f(x).dx

S

2 3 2 2 2 0 2 3 0 2 -0 2 2 3 2 0 2

-







































 





Slayt6

Örnek2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?

Slayt7

Çözüm2:

Fonksiyon [1/e,1] arasında negatif, [1,e2] arasında pozitif

değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;

bulunur. birimkare e 2 2e e S 2 e e 2 1 e 2e 1 e 2 S 1) (ln1 ) e lne (e 1) (0 e 1 e 1 ln e 1 S | x) (x.lnx | x) (x.lnx | x) (x.lnx | x) (x.lnx S lnx.dx lnx.dx f(x).dx f(x).dx S 3 2 2 2 2 2 2 e 1 e 1 1 e 1 1 e 1 e 1 1 e 1 e 1 1 e 1 2 2 2 2                           _                









3.Sonuç: f:[a,b]R , g:[a,b]R integranellenebilen iki fonksiyon olsun.

Slayt9

Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;





  b a 2 b a 1 f(x).dx , S g(x).dx S







      b a b a b a 2 1 S f(x).dx g(x).dx (f(x) g(x)).dx bulunur. S S

4.Sonuç: Slayt10





    3 2 2 1 x x x x 2 1 S (f(x)-g(x)).dx (g(x)-f(x)).dx S S

slayt11

Örnek1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor:

a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0 , x=/6 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını hesaplayınız.

slayt12 bulunur. birimkare 2 1 3 S 1 0 2 3 2 1 cos0 (sin0 6 π cos 6 π sin S | cosx) (sinx sinx).dx (cosx S 6 π 0 6 π 0               _     



Çözüm1:

a. f(x)=sinx , g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki görülmektedir.

slayt13

b. f(x) = g(x)  sinx = cosx  cos (/2-x) = cosx  x₁= /4 , x₂= 5/4 .

O halde, f(x)=sinx , g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,

bulunur. birimkare 2 2 S 2 2 2 2 2 2 2 2 S 4 π sin -4 π cos -4 5π sin -4 5π cos -S | sinx) (-cosx cosx).dx (sinx S 4 5π 4 π 4 5π 4 π                                



slayt14

Teorem: g:[c,d]  R , x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun.

x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

dir. g(y).dy S d c





Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y2+1 eğrisinin x=1 ile x=5

aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2

dir?

slayt15

Çözüm:

Önce integralin sınırlarını bulalım.

x=1 için, 1=y2+1 y=0

x=5 için, 5=y2+1 y0

olduğundan, y=2 bulunur.

bulunur. br 3 14 A | y 3 y 1).dy (y A 2 2 0 3 2 0 2     



slayt16

5.Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y) eğrisi, y=c , y=d , ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;

dir. g(y).dy S d c



 

slayt17

Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi , x=y2

-2y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım.

Çözüm:

y2-2y=0  y

1=0  y2=2 bulunur.

Buna göre taralı alan;

bulunur. br 3 4 A | 3 y y A ).dy y (2y 2y).dy (y A 2 2 0 3 2 2 0 2 2 0 2        





slayt18

6.Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,







      d c d c e c 2

1 S g(y).dy g(y).dy | g(y)|.dy

S S

slayt19

Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi , x= -y.(y+1).(y-2) dir. Buna göre,taralı alanların toplamı kaç birim karedir? Çözüm: x= -y.(y+1).(y-2)=0  y₁=-1 , y₂=0 , y₃=2 bulunur. Verilen bağıntı denkleminde; -1<y<0 için, f(y)>0 olduğundan aranan alanlar toplamı;

slayt20 bulunur. birimkare 12 37 3 8 12 5 | y 3 y 4 y | y 3 y 4 y A 2y).dy y (-y 2y).dy y (-y f(y).dy f(y).dy A 2 0 2 3 4 0 1 2 3 4 2 0 2 3 0 1 -2 3 2 0 0 1 -                                









7.Sonuç: x=g(y) , x=f(y) eğrileri arasında kalan y=c , y=d doğruları ile sınırlı alan;



 d c .dy | g(y) -f(y) | S

slayt21

Örnek: x=y2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı

bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm: y2=6-y  y2_+y-6=0  y₁ =-3  y₂ =2 bulunur.





bulunur. br 6 125 A | 3 y 2 y 6 .dy ) 6 ( A 2 2 3 -3 2 2 3 -2       



y y y

slayt22

Dönel Cisimlerin Hacimleri

 

f(x) .dx tir. π. .dx y π. V b a 2 b a 2





 

Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a , x=b ve Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin

slayt23

1.Sonuç: [a,b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x) ve y=g(x)olsun. x[a,b] için f(x)g(x)0 ise; y=f(x) ve y=f(x) eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360o _{döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;}



f (x)-g (x)



.dx tir. π. V b a 2 2





Örnek: f(x)=x2 eğrisi, x=0 , x=2 doğruları ve Ox ekseni

etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o

slayt24

Çözüm: Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir.

olur. br 32π | x 1 π. .dx x π. .dx ) (x π. V 5 2 3 2 4 2 2 2 _{  } 





slayt25

2.Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c , y=d doğruları ve Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360o

döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;

dir. .dy x π. V d c 2





slayt26

3.Sonuç: y[c,d] için f(y)g(y)0 ise; x=f(y) ve x=g(y) eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin

hacmi;



f (y) g (y)



.dy dir. π. V d c 2 2



 

slayt27

Örnek1: y=x2 parabolü, x=0 , y=2 doğruları arasında kalan

bölgenin Oy ekseni etrafında 360o _{döndürülmesiyle elde edilen}

dönel cismin hacmini bulunuz.

Çözüm1: olur. br 2π | 2 y π. y.dy π. .dy ) y ( π. V 2 3 0 2 2 2 2 _{  } 





slayt28

Örnek2: x=y2 eğrisi ve y=x2 eğrisi arasında kalan düzlemsel

bölgenin Oy ekseni etrafında 360o _{döndürülmesiyle elde edilen}

slayt29 Çözüm2:





bulunur. br 10 3π V 5 1 2 1 π. | 5 y 2 y π. ).dy y -(y π. .dy ) (y -) y ( π. V 3 1 0 5 2 1 0 4 1 0 2 2 2                   





y=x2  y=(y2)2  y=y4  y-y4 =0  y=0 ve y=1 bulunur.

O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y[0,1] da y=x2

parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y2 parabolünün

slayt30

Örnek3: x+y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o _{döndürülmesiyle elde edilen}

Çözüm3: bulunur. br 15 π 5 8 3 8 3 1 3 1 π. V | x 5 8 x 3 8 x 3 1 3x x π. .dx 4x 4x x 6x 1 π. V ).dx x 4 2x x 4 x 4x (1 π. x).dx x 2 -(1 π. V 3 1 0 2 5 2 3 3 2 1 0 2 1 2 3 2 1 0 2 1 0        _{   }                               







slayt31