Lineer olmayan fark sisteminin çözümleri ve davranışları

(1)

FEN B İL İM L E R İ EN STİT Ü SÜ

L İN E E R O LM AYAN F A R K SİST EM İN İN Ç Ö Z Ü M LE R İ VE D A V R A N IŞLA RI

Gülnihal K IL IK L I Y Ü K S E K L İSA N S T E Z İ M atem atik Anabilim Dalı

Temmuz-2011 KO NYA Her H akkı Saklıdır

(2)

(3)

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

D EC LA RA TIO N PA G E

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Gülnihal KILIKLI 20.07.2011

(4)

Y Ü K S E K LİSA N S T E Z İ

L İN E E R OLM AYAN F A R K SİST EM İN İN Ç Ö Z Ü M LE R İ VE D A V R A N IŞLA RI Gülnihal K IL IK L I

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü M atem atik Anabilim Dalı

Danışman: Y rd. Doç. Dr. Kem al U SLU 2011, 46 Sayfa

Jü ri

Y rd. Doç. Dr. Kem al U SLU Diğer Üyenin Unvanı Adı SOYADI Diğer Üyenin Unvanı Adı SOYADI

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, çalışma ile ilgili genel bilgi verildi.

İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalardan kısaca bahsedildi. Üçüncü bölümde, çalışma için gerekli temel kavramlar hakkında bilgi verildi.

Dördüncü x n+ 1= ^ ~ , y n+ı = f , z „ +1 = - ^ , n = 0 , l , 2 ,. . . , x n+ 1= - ^ — , yn+1 = yn z n x n y n - 1 y n - ı B B X f i—± rı -1 o A B B X fi—± r\ -i o a -i r> > %n+1 — t Tl — 0, 1, 2, %n+1 — > y n+1 — > ^n+1 — > ^ — 0,1,2, . . . A — 1, B — z n —l x n y n -2 y n -2 z n - 2 x n .y n -3 A B

l için fark denklem sistemlerinin çözümlerinin periyodikliği araştırıldı. xn+1 = --- , yn+1 = --- ,z n+1 =

y-n-k z n - k

----— , ti = 0, l ,2 ,... A = l , 5 = l ve A, 5 £ R - { 0} olduğu durumlarda genel rasyonel fark denklem

x n y n - ( k + 1)

sisteminin çözümlerinin de periyodik olduğu ve bu denklem sisteminin kararlılığı gösterildi.

Beşinci bölümde, dördüncü bölümdeki fark denklem sistemleri ile ilgili örneklere yer verildi. A nahtar Kelim eler: Asimtotik Kararlılık, Periyodiklik, Rasyonel Fark Denklem Sistemi

(5)

M S T H E SIS

ON TH E SO LU TIO N S OF A SY ST E M OF THE RA TIO N A L D IF FE R E N C E EQ U ATIO N S

Gülnihal K IL IK L I

T HE GRA DUATE SC H O O L OF N A TU RA L AND A PPLIED SC IE N C E OF S E L Ç U K U N IV ER SITY

TH E D E G R E E OF M A ST E R OF SC IE N C E OF PH ILO SO PH Y IN M EC H A N IC A L E N G IN E ER IN G

Advisor: Y rd. Doç. Dr. Kem al U SLU 2011, 46 Pages

Ju ry

Y rd. Doç. Dr. Kem al U SLU Diğer Üyenin Unvanı Adı SOYADI Diğer Üyenin Unvanı Adı SOYADI

This study consists o f fifth sections.

In the first section, we have given general information about study.

In the second section, we have given some information about some difference equations studied before. In the third section, we have give information about necessary concepts for our study.

In the fourth section, we have investigated the periodical solutions of a system o f difference equations

A B B X yi—i „ . „ A B B X yi—i

% n+l y n+ 1 ~ ~ > Zn+1 ™ " > Tl — 0 , 1 , 2 , , X n + 1 — — , y n + i — ” , Zn + 1 ™ " , f t —

yn z n x n y n - 1 y n —l z n - 1 x n y n-2

0 ,1 ,2 ,. . xn+1 = yn+1 = — ,zn+1 = gXn ~ 1 , n = 0 ,1 ,2 ,. . . .<4 = 1 ,B = 1 . Then we have investigated

y n- 2 z n- 2 x n,yn- 3

A B

the periodical solutions o f a system o f general rational difference equation xn+1 = --- , yn+1 = --- ,z n +1 =

y-n-k z n -k

—gXn~ 1— , n = 0 ,1 ,2 ,... 4 = 1 , B = 1 ve 4 , B £ R — { 0} and its stability.

x n y n -(k + 1)

In the fifth section, we have given the numerical examples for this system of difference equations.

Keywords: Asymptotic Stability , Periodicity, System O f The Rational Difference Equation

(6)

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal U SLU yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışmada bana yol gösteren saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal U SL U ’ya, yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Necati TA ŞKA RA ’ya ve arkadaşım Daime SOLMAZ’ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Gülnihal KILIKLI KONYA- 2011

(7)

Ö ZET ıv A B ST R A C T ... v ÖNSÖZ ... vı İÇ İN D E K İL E R ... vıı SİM G E L E R ...ıx 1. G İR İŞ ... 1

2. F A R K D E N K L E M S İS T E M L E R İ İL E İL G İL İ Y A PILM IŞ Ç A L IŞM A L A R .. .2

3. F A R K D E N K L E M L E R İ... 5

3.1. Lineer Fark Denklemleri...6

3.2. Fark Denklemler İçin Genel Tanım ve Teoremler... 7

4. F A R K D E N K L EM SİST E M LE R İN İN P E R İY O D İK L İĞ İ... 12

1 1 x 4.1.xn+1 = — , yn+1 = —,z n+1 = — ri- ^ — Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği..12

Vn z n x n V n - 1 4.2 .x n+1 = — , yn+1 = —,z n+1 = — nz1^, . Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği 15 Vn z n x n V n - 1 1 1 x 4.3. xn+1 = ---, yn+1 = ---,z n+1 = —— — Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği V n - 1 z n - 1 x n V n -2 ...17

4.4. xn+1 = A , yn+1 = —— ,z n+1 = BXn~ 1 Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği V n - 1 z n - 1 x n V n - 2 ...20

1 1 x 4.5. xn+1 = ---, yn+1 = ---,z n+1 = — — — Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği V n -2 z n - 2 x n V n - 3 ...23

A B B Xjı— ı 4.6. xn+1 = ---, yn+1 = ---, zn+1 = — n— Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği V n- 2 z n -2 x n V n- 3 ...26

4.7. xn+1 = --- , yn+1 = ---,z n+1 = --- Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği V n —k z n - k x n V n - ( k + 1) .29 4.8. xn+1 = --- , yn+1 = ---,z n+1 = --- Fark Denklem Sisteminin Periyodikliği V n —k z n - k x n V n - ( k + 1) ve Kararlılığı...32

4.8.1. xn+1 = A , yn+1 = — — ,z n+1 = —BXn~ 1— Fark Denklem Sisteminin y-n-k z n - k x n .y n - ( k + 1) Periyodikliği...32

4.8.2. xn+1 = A , yn+1 = — — ,z n+1 = —BXn~ 1— Fark Denklem Sisteminin y-n-k z n - k x n .y n - ( k + 1) Kararlılığı... 35

5. N Ü M E R İK Ö R N E K L E R VE Ş E K İL L E R İ... 37

6. SO N U ÇLA R VE Ö N E R İL E R ...43

(8)

7. K A Y N A K L A R ...44 Ö Z G E Ç M İŞ...46

(9)

Simgeler

E : Reel sayılar

N : Doğal sayılar

E 2 : İki boyutlu reel sayılar kümesi

V : Her 3 : Bazı < : Küçük > : Büyük < : Küçük eşit > : Büyük eşit = : Eşit * : Eşit değil A- B : A fark B ix

(10)

1. G İR İŞ Bu tezde; 0,1, 2,... n = 0 , 1 ,2,... n = 0 , 1 ,2,... xn+1 xn+1 xn+1 A B Bxn_ 1 V n + l ~ ’ z n + l II = yn A B y n - 1 A > 7 1 -2 Y n + 1 ~ Y n + 1 ~ z n - l "< z n + 1 — %n Y n - 1 Bxn_ 1 B z n - 2"< z n + 1 — %n Vn-2 Bxn_ 1 %n Vn- 3

fark denklem sistemlerinin A = 1,B = 1 ve A - { 0} olduğu durumlarda periyodikliği araştırıldı. Sonra bu sistemlerin en genel hali olan

A B Bxn_ 1

*n+1= --- - yn+1= --- -^n+1= --- 71 = 0 ,1 ,2 ,. . . A , B6 İ - { 0 }

V n - k z n - k %n V n - ( k + 1)

genel rasyonel fark denklem sistemine ulaşılarak bu sistemin de çözümlerinin A = 1, B = 1 ve A , B G E — { 0 } olduğu durumlarda periyodikliği incelendi.

Daha sonra

A B Bxn_ 1

*n+1 = --- , yn+1= --- ,^ n +1= ---, 71 = 0 ,1 ,2 ,. .. A, B G E — { 0 }

V n - k z n - k %n V n - ( k + 1)

genel rasyonel fark denklem sisteminin özel şartlar altında kararlılığı incelendi.

Son olarak bu genel rasyonel fark denklem sistemine ait teoremlerin ispatları somut örneklerle pekiştirildi.

(11)

2.BÖ LÜ M

FA R K D EN K LE M S İST E M L E R İ İL E İL G İL İ Y A PIL M IŞ Ç A LIŞM A LA R

Fark denklemlerinin yeni çalışma alanlarından olan global asimptotik kararlılık ile ilgili literatürde son yıllarda yapılmış oldukça fazla sayıda çalışma vardır. Bunları ayrı-ayrı başlıklar altında ve tarih sırası ile özetleyelim:

X "I-1

Schinas (1997), yapmış olduğu çalışmada xn+x = —— Lyness fark denkleminin

x n- 1

çözümlerinin periyodikliğinden ve denklem sabitinden hareketle,

a yn + A bx71 + A X n +1 = --- . y n +1= ---. n = 0,1,2, ... x n - 1 V n - 1 ^■nYn A bnxn + A %n+1 — < yn+1 — > 71 — 0, 1, 2, ... %rı-1 Yrı-l

m ax{ ünyn.A } m ax{ b nXw A }

%rı+1 — < yn+1 — >71 — 0, 1, 2, ...

x n - l V n - 1

denklem sistemleri ve rasyonel formdaki benzer bazı fark denklemlerinin, fark denklem sistemlerinin ve maksimumlu fark denklem sistemlerinin denklem sabitlerini ve çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Çalışma sonucunda; çeşitli fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin denge noktalarını, denklemlerin katsayılarının sabit olması veya periyodik birer dizi olması gibi durumlarda katsayılara ve denklemin genel terimlerine bağlı olarak elde etmiştir.

Grove ve arkadaşları (2001), a, b, c ve d reel sayılar ve başlangıç şartları x 0 ve y0 keyfi reel sayılar olmak üzere, xn+* = — + — , yn+, = — + — , n = l, 2 ,. . . fark

Xn y n x n y n

denklem sisteminin , her için iyi tanımlı olduğu ( ) değerlerinin kümesini ve çözümlerinin davranışlarını araştırdılar. Bu fark denklem sisteminde, z n = — dönüşümü

y-n

yaparak Riccati fark denklemine ulaştılar ve bu denklemin karakteristik denkleminin çözümlerinden hareketle a, b, c ve d reel sayıları için şartlar

elde ettiler, yani denklemin good küme ve forbidden kümesine ulaştılar. Denklemin çözümleri hakkında bazı şartlar altında genellemeler elde ettiler.

a b c d

Grove, Ladas, McGrath, Teixeira (2001), xn+x = ----1---- , y n+x = ---1---- rasyonel

x n yn x n yn

(12)

Clark ve Kulenovic (2002), n = 0, 1, 2, ... için, a, b, c ve d pozitif sayılar ve x0 , y0 başlangıç şartları negatif olmayan sayılar olmak üzere,xn+]_ = y n+ı = b+- x fark denklem sisteminin çözümlerinin global kararlılık özelliklerini ve asimptotik davranışını incelemişlerdir

Çınar (2004), bu çalışmasında xn+ı = — — n = 0,1, 2 ,. . . fark denkleminin

— 1 + x nxn_ ^

çözümlerini, bu çözümlerin başlangıç şartlarına göre durumları ve bu çözümlerin lokal asimptotik kararlılığını incelemiştir.

1 1 1

Çınar ve Yalçınkaya (2004), çalışmalarında xn+ı = —, y n+ı = --- ,z n+ı = --- fark

z n x n - i x n - i

denklem sisteminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini incelediler ve (xn, yn, zn } çözümlerinin üç periyotlu olduğunu ispat ettiler.

1 v

Çınar (2004), xn+ı = — , y n+ı = ---— fark denklem sisteminin çözümlerinin

Vn x n - 1 V n - 1

dört periyotlu olduğunu elde etmiştir.

Çınar ve Yalçınkaya (2004), literatürde üç değişkenli fark denklem sistemleri üzerine

1 1 1

yapılan ilk çalışmalardan olan makalelerinde, xn+ı = — , yn+ı = --- , zn+ı = --- fark

z n x n - ı y n - ı x n - ı

denklem sisteminin pozitif çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelediler. {xn} ve {zn} çözümlerinin üç periyotlu, {yn} çözümlerinin ise on iki periyotlu olduğunu ispat ettiler.

Camouzis ve Papaschinopoulos (2004), çalışmalarında pozitif başlangıç şartlar altında xn+ı = 1 H— ^-—, xn+ı = 1 H— fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin

y n - m x n - m

davranışlarını incelemişlerdir.

A B

Douraki, Dehghan, Razzghi (2006), xn+j _ = ---1--- ; 4 , 5 e ( 0, oo ) ;

x n - k x n -3k

x_ 3 k+j_ , x_ 3k+2 ,. . ., x0 e ( 0, oo) çözümlerinin k periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

Özban (2006) çalışmasında, tüm başlangıç şartları ve parametreler pozitif olmak üzere xn+ı = 1 + , y n+ı = 1 H--- —--- fark denklem sistemini çözümlerinin

V n - k x n - m V n - m - k

periyodikliğini araştırmış ve ispat etmiştir.

Iricanin ve Stevic (2006), aşağıda verilen fark denklem sisteminin pozitif çözümlerini elde etmişlerdir. x. 1 4- r (2) (1) _ n+1 “ n- 1 ,X 1 4- r (3) (2) _ ' *n X, n+1 X,_{n - 1}(4) n + 1 X,_{n - 1}(2)

(13)

X._{n + 1}(1) _ 1 + X ® + X.,_{n - 1}0) ₍₂₎ 1 + x ® + x. X._{n - 2}(4) ,X. ,( 4) n - 1 n + 1 X._{n - 2}(5) , X .(fc) _ n + 1 1 + x i 1-) + X.,(_{n - 1}2) X,_{n - 2}(3) /ceJV.

Papaschinopoulos ve arkadaşları (2007), yaptıkları çalışmada a ¿,ö¿, ( i = 1 ,2 ,...,k ) ‘ler pozitif sabitler, k > 3 tamsayı ve bütün başlangıç şartları da pozitif olmak üzere,

x x (n + 1) x2(n + 1) a l i c i n ) + bk xk- ı ( j ı — 1) ’ a 1x 1( n ) + xk ( n - l ) ’ X j ( n + 1 ) = ai - 1 X j_ 2 ( n - 1 ) ,i = 3,4, ...,k

denklem sistemini çözümlerini incelemişlerdir.

Şimşek ve ark. (2009), yaptıkları çalışmada, pozitif başlangıç değerleri altında xn+i = m a x f — , — }, yn+i = m a x f — , — } fark denklem sisteminin çözümlerini

x n ) l y „ y n J

incelemişlerdir.

Taşkara N., Uslu K. and Tollu D.T. (2011), bu çalışmalarında, xn+ı = p - ~ ( k+1 ) ,k g R[ ,x _ k _ ı ,x _ k, .. . £ ! başlangıç şartları olmak üzere fark

in+^n-Cfc+l)

denkleminin periyodikliği ve genelleştirilmiş çözümü için gerek ve yeter şartları incelemişlerdir. Ayrıca, genel çözümün ( k + 1 ) periyotlu olduğunu da göstermişlerdir.

(14)

3. FA R K D E N K L E M L E R İ

Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan genel tanım ve teoremler verilmiştir.

T anım 3.1. Verilen bir fark denklemdeki bağımlı değişkenin en büyük ve en küçük indisleri arasındaki farka mertebe denir. (Elaydi, 1995)

T anım 3.2. F (n ,y n, y n+1, . . . , y n+k) = 0 şeklinde k. mertebeden bir fark denkleminin genel ifadesinde eşitliğin sağ tarafı “0” ise bu fark denklemine homojen (otonom) fark denklemi, denir. “0”dan farklı ise homojen olmayan fark denklemi denir. (Elaydi, 1995)

T anım 3.3. Eğer bir fark denklemi y n veya herhangi bir fark ifadesinin 2. ya da daha yüksek dereceden kuvvetini içeriyorsa ya da yn ile y n+m’nin ( 0 < m < k) çarpımını içeriyorsa bu fark denklemine lineer olmayan fark denklemi denir. Aksi durumda ise lineer fark denklemi denir. (Elaydi, 1995)

x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumda, y(x) bağımlı değişkeninin değişimi

y ( x ) , y "(x), ..., y n(x) , ... türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x ’in kesikli

değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz.

Bu bölümde x ’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

T anım 3.4. n bağımsız değişken ve buna bağılı değişkende y olmak üzere, bağımlı ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin gibi farklarını içine alan bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat edilir ise n ’ nin sürekli olduğu halde Diferansiyel Denklemler ile arasında büyük benzerlikler vardır. (Elaydi, 1995)

Örneğin;

^oVn &lYn+1 ~ fn

birinci mertebeden fark denklemidir,

^oyrı-l O-lVu O-iyrı+l ~ 9n

(15)

3 .1. L in eer F a rk D enklem leri

T anım 3.1.1. Bir fark denkleminde bağımlı değişken birinci derecedense bu denkleme Lineer Fark Denklemi denir. Genel olarak lineer fark denklemleri:

y n+k + a k_ 1 y n+k- ı H--- 1- a 0 yn = F(n)

şeklinde gösterilir

Lineer fark denklemleri katsayılarının durumuna göre isimlendirilirler: a. Eğer F (n ) = 0 ise denkleme Lineer Homojen Fark Denklemi denir.

b. a 0 , a j_ , a2 ,. . . , a k katsayıları sabit iseler, denkleme Sabit Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir.

c. a 0 , a j_ , a2 ,. . . , a k katsayıları bağımsız değişkenin fonksiyonları iseler denkleme Değişken Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir. (Elaydi, 1995)

Ö rn e k 3.1.1. yn+2 — ayn = 0 ; a, y0 ,yj_ £ E fark denkleminin genel çözümünü elde ediniz. Çözüm . Bu denklem ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer homojen bir fark denklemdir. Şimdi, başlangıç şartları için sırayla değerleri elde edilsin. Bunun için

başlangıç şartlarını denklemde yerine yazarak iterasyona başlarsak:

yz = a y o Vs = a y ı y 4 = a y 2 = a ( a y 0) = a 2y 0 ys = a y 3 = a ( a y x) = a 2y 1 ye = a y 4 = a ( a2y 0) = a3y0 yy = a y5 = a ( a2y x) = o?y1

sonuçları bulunur. Bu şekilde iterasyona devam edilirse görülür ki;

(16)

3.2 .F ark D enklem leri İçin Genel T anım ve T eorem ler

Teorem 3.2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, f : I X I ^ I sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her x_ ı , x0 £ / başlangıç şartları için

xn+ı = f (xn, xn _ ı ) n = 0,1, 2 ,... (3.2.1)

denklemi bir tek {xn}®=_ ı çözümüne sahiptir. (Elaydi, 1995)

T anım 3.2.1. Eğer x noktası için f (x, x) = x ise x ‘e f ’ nin denge noktası denir. Eğer Vn > 0 için x = xn ise o zaman x ’ e f ’ nin sabit noktası denir. (Elaydi, 1995)

4

Ö rn e k 3.2.1. xn+ı = — fark denkleminin denge noktasının + 1 olduğunu gösteriniz.

x n

_ _ _ \ _

Çözüm : f (x,x) = x = - ise x = + 2 dir.

T anım 3.2.2. Eğer V n > 0 için x _ ı , x 0 £ / iken xn £ / olacak şekilde bir / c l alt aralığı varsa, bu aralığa (3.1) denkleminin değişmez aralığı denir. (Elaydi, 1995)

T anım 3.2.3 x (3.2.1) denkleminin denge noktası olmak üzere:

(a) Eğer x _ ı , x0 £ ] olmak üzere her e > 0 için, | x0 — x | + | x_ ı — x | < S iken her n > 0 için , | xn — x | < £ olacak şekilde bir 5 > 0 sayısı varsa, x denge noktası kararlıdır denir.

(b) Eğer x denge noktası kararlı ve x _ ı , x0 £ / iken li mn^ 00 xn = x olacak şekilde, | x0 — x | + | x_j_ — x | < 7 şartını sağlayan y > 0 sayısı varsa, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

(c) Eğer her x_ ı , x0 £ / iken limn^ 0 xn = x ise, x denge noktasına çekim noktası denir.

(d) Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

(e) Eğer x denge noktası kararlı değil ise, kararsızdır denir.

(f) Eğer x_ ı , x0 £ ] iken | x0 — x | + | x_ ı — x | < r ve bazı N > -1 sayıları için| xw — x | > r olacak şekilde bir r > 0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller denir. (Elaydi, 1995)

T anım 3.2.4. Eğer {xn} dizisi için xn+p = xn ise, {xn} dizisi p periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır. (Elaydi, 1995)

(17)

T anım 3.2.5. Eğer {xn} dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için xn+p = xn ise, {xn} dizisine er geç p periyotludur denir ve p sayısı bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır. (Elaydi, 1995)

T anım 3.2.6. (3.2.1) denkleminde, / (xn, x n_ 1 ) fonksiyonunuf (u,v) şeklinde alalım:

d/ (x, x) d /( x , x)

r = ---- --- ve s =

---ou ov

olmak üzere;

y n+ı = ryn + syn _ı (3.2.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme (3.2.1) denkleminin x denge noktası civarındaki lineer denklemi adı verilir.

(3.2.2) denkleminin karakteristik denklemi ise:

A2 - r A - s ( 3 .2 3 )

dır. (Elaydi, 1995)

4

Ö rn e k 3.2.3. xn+1 = — denkleminin periyodunun 2 olduğunu gösterelim. x 0 başlangıç şartı

x n

olmak üzere, için iterasyon yöntemiyle

4 4 4 4

-V* - -- -v -- -- - -v* 'V' -- -- - -- - -v*

A ı — f A O — — A nf A o — — — A ı

x0 x x x 2 x 0

Olup, bu şekilde iterasyona devam edilirse,

( 4 4

]— , x 0, — ,

(x0 x 0

xn ) , x 0, , x 0, ...

(18)

Teorem 3.2.2. (L ineer K a ra rlılık Teorem i):

Eğer (3.2.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise, x d eng e noktası lokal asimptotik kararlıdır.

a. Eğer (3.2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

b. (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den küçük olması için gerek ve yeter şart |r | < 1 — s < 2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

c. (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den büyük olması için

noktası repellerdir.

d. Her x_ ı , x0 £ / için eğer li m n ^00xn = x ise; o zaman x denge noktası global çekimlidir denir.

e. Eğer x denge noktası kararlı ve global çekimli ise x ’ e global asimptotik kararlıdır denir.

f. (3.2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar r2 + 4s > 0 ve |r | > | 1 — s | olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır (Chatterjee ve ark. 2003).

Aşağıda lineer olmayan fark denklem sistemleri ile ilgili temel teorem ve tanımlar, Nasri ve ark.(2005) çalışmasından alınmıştır.

xn+1 — / l (xn< yn< zn)

fark denklem sistemi verilsin.

T anım 3.2.7. Eğer x ,y ,z aşağıdaki şartları sağlarsa, (x ,y ,z ) £ / ı X / 2 X / 3 noktası (3.2.4) denklem sisteminin denge noktası olarak adlandırılır.

gerek ve yeter şartlar |s | > 1 ve |r | < | 1 — s | olmasıdır. Bu durumda, x denge

(3.2.4)

x = f ı (* , y , z) yx = f2 ( * ,y, 0 z = f3 (x ,y ,z )

(19)

T anım 3.2.8. Ve > 0 için \\(x0, y 0, z 0) — (x ,y ,z )\\ < S iken (V (x0, y 0, z 0) E lı x l2 x l 3)

V n > 0 için H(xm yn,zn) — (x , y , z ) \\ < e

olacak şekilde S > 0 mevcut ise (3.2.4) sisteminin denge noktası olan ( x , y , z ) kararlıdır denir. Aksi halde ise kararsızdır.

T anım 3.2.9. Eğer sistemin denge noktasiı kararlı ve V(x0, y 0, z 0) E lı X l2 X l 3 için

\\(xQ,yQ,z 0) — (x ,y ,z ) \\ < y

olacak şekilde y > 0 varsa ve

1 i m H O ^ y ^ z ^ — (x ,y ,z ) \\ = 0

7 1 -» 00

ise (3.2.4) sisteminin denge noktası asimtotik kararlıdır denir.

T anım 3.2.10. Eğer sistemin denge noktası kararlı ve V (x 0 , y 0, z 0) E lı X l2 X l 3 için

1 i m H O n ^ z ^ — (x ,y ,z ) \\ = 0

7 1 -» 00

ise (3.2.4) sisteminin denge noktası olan ( x , y , z ) global asimtotik kararlıdır denir. Teorem 3.2.3. (3.2.4) denklem sisteminin ( x , y , z ) denge noktasındajakobiyen matrisi

] (x , y , z )

' ( d f ı \ ( df A ( d f A

( dx ) (x,y,z) ( d y ) (x,y,z) ' d z ' (x,y,z)

f d f 2\ ( d f 2\ ( d f 2\

( dx ) (x,y,z) ( d y ) (x,y,z) ( d z ) (x,y,Z)

i d f s \ i d f s \ i d f s \

( dx ) (x,y,z) ( d y )(x y z) ( d z ) (x,y,z)_

olup, bu jakobiyen matrisin karakteristik polinomu

P(A) = d e t [ ] ( x ,y ,z ) — Al]=0

(20)

Bu durumda aşağıdaki eşitlikler doğrudur;

i. P(A) nın bütün kökleri 1 den küçükse denge noktası ( x ,y ,z ) kararlıdır.

(21)

4. B Ö LÜ M F A R K D EN K LE M SİST E M L E R İN İN PE R İY O D İK L İĞ İ 4.1. x n+! = — , y n+! = —, z n+! = FA R K D E N K L E M SİSTEM İN İN yn Zfi %nyn—l P E R İY O D İK L İĞ İ Bu bölümde; x _ x , Xg, y _ 1 , y 0 , z 0 e (0, oo) (4 .1 .1 ) olmak üzere, 1 1 xn_ 1 x n+1 — < yn+1 — < zn+1 — > 71 — 0 , 1 , 2 , ... (4 .1 .2 ) yn zn %n Vn-1

fark denklem sisteminin çözümleri araştırılmıştır.

Teorem 4.1.1. x_ 1 , x0 , y_ x , y0 , z0 e ( 0, oo) olmak üzere, (4.1.2) denklem sisteminin çözümünün (xn, yn,z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri dört periyotlu ve periyodiktir.

İsp at: (4.1.1) hipotezi altında (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece (4.1.2) denklem sistemi yardımıyla aşağıdaki eşitlikler elde edilir:

_ 1 x n + 1 — ~ 7 T ’ Vn xn+2 — z n> x n - 1 1 z n x n - l z " + 1 ~~ * n y „ - ı II X > s ‘ £ 1 M z n + 2 ~ %n> •*71-1 1 1 x n z n + 3 ~ V n ~ Vn> z n + 4 ~ z n> X n + 3 x n y „ - ı xn+4 %rı>

(22)

Teorem 4.1.2. x_ ±, x 0, y _ ±, y 0, z 0 e ( 0,oo ) , x_ ± = r, x 0 = s, y _ ± = p, y 0 = q, z 0 = h başlangıç şartları altında (4.1.2) denklem sisteminin çözümlerinin {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0, 1, 2, ... için (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

1 1 r x4n+1 t y4n+l — z 4n+l _{sp ’} x4n+2 = h, sp V4n+2 ~ < r z 4n+2 = s, r 1 1 x4n+3 _{s p ’} y4n+3 — z 4n+3 t x4n+4 — y4n+4 — z 4n+4 ~

İsp at: (4.1.1) hipotezine göre (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım:

1 1 r x4n-3 ~ > q y4n-3 ~ h ’ z 4n-3 s p ’ x4n-2 = h, y4n-2 sp t r z 4n-2 = s, r 1 1 x4n-l ~ _> sp y4n-l st z 4n-l t x4rı S, y4n = q> z 4n = h.

Böylece yukarıda n-1 için kabul ettiğimiz eşitliklerden faydalanarak n için aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

x4n+1 — Y4n x4n+2 y4n+l = h, Y4n+1 ~ z 4n h ’ y4n+2 1 sp z 4n+l 7 z 4n+l ~ x4rı-l r sp x4n y4n-l ş $P S , z 4n+2 x4n x4n+l y4n i , S, x4n+3 — y4n+2 SP y4n+3 —z 4n+2 z 4n+3 ~ x4n+1 x4n+2 y4n+l h _ 9 n h

(23)

_ _ 1 _ ^ _ 1 _ _ _ x4n+2 _ h _ ,

x4n+4 = ~ = s , y 4n+4 = ~ = tf, z 4n+4 = ~ ~ = r SV = h.

y 4n+3 z 4n+3 x4n+3 y 4 n + 2 --- —

sV r

(24)

Bu bölümde A ve B sıfırdan farklı birer reel sayı ve ;

x _ x, Xg, y _ 1, y 0 , z 0 e (0, oo) (4.2.1)

başlangıç şartları olmak üzere ,

A B Bxn_1

xn+1 > Vn+1 > z n+1 > 0, 1,2, ... (4.2.2)

yn z n xn Vrı-l

fark denklem sisteminin çözümleri araştırılmıştır.

Teorem 4.2.1. A , B E R — {0 }, x_ 1 , x 0,y _ 1 , y 0 , z 0 e ( 0, oo ) olmak üzere, (4.2.2) denklem sisteminin çözümünün {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri dört periyotlu ve periyodiktir.

4 .2 .

xn+

! =

y n+

! =

— , z n+

! =

-—Xn^~

F A R K D E N K L E M SİSTEMİNİN yn Zn Xn yn—1 PER İY O D İK LİĞİ A B Bxn_ 1 x n +1— V n 7 n +1 z n z n + l x n y n- ı A zn J n + 2 x n y n- ı z n + 2 1 Co X _s ■*71+2 — ’ x n - l A ’ Axn_ ± A B x n + 3 — < An j n —1 >71 + 3 = x n z n + 3 " ~ Vn ■*71+4 x n> yn+4 ■~ yn> z n + 4 — z n,

olup, Tanım (3.2.4)’den denklem sisteminin çözümlerinin dört periyotlu olduğu görülür. Teorem 4.2.2. A,B E R — { 0 } ve x_ x, x 0, y _ x, y 0 , z 0 e ( 0, o ) , x _ x = r, x 0 = s, y _ x =

P, y 0 = q, z 0 = h başlangıç şartları altında (4.2.2) denklem sisteminin

çözümlerinin {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0 , 1, 2, ... için (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

(25)

A B Br x47i+l — q y47l+l — Z47l+1 — ~~sp Ah sp Bs x4n+2 ~ g < y47l+2 — _r < z47i+2 — ’ Ar A B x47l+3 — ~ZZ’ sp y47l+3 — z 4n+3 ~ _q x47l+4 S, y47l+4 — z 4n+4 = h

-İsp at: (4.2.1) hipotezine göre (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece

n=0 için teoremin sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım:

A B Br x47i-3 t y47l-3 ~ h ’ z47l-3 s p ’ Ah sp Bs x471-2 _{~ ’~B} Ar y47l-2 t r A z471-2 _{~ ~ Â ’} B x471-1 sp ’ y47l-l st z471-1 t x4rı S, y47i z 4n

x4n+1 x4n+2 A y4n A y4n+l A t y 4n+1 Ah y47i+2 B z 4rı B B h ’ z47i+l sp r Bx, z47i+l 471-1 , z47l+2 *4n 7471-1 Bx4n x47i+l y47i _ Br s p ’ Bs T ~ Bs T ’ A x47l+3 — x47l+4 y47l+2 V4n+3 Ar s p ' B y47l+3 — z47l+2 A t s y47i+4 B z4n+3 q> Bx. z 4n+3 ~ 471+1 B — _B x47l+2 y47l+l B h z47l+4 Bx.4 n + 2 x4n+3 y^ n+2= — = hA rsp_{sp r} #t"

(26)

Bu bölümde;

x _ ! , Xg, y _2, y _ i , y0, z_ 1( z0 e (0, oo) (4.3.1) 4 .3 .

xn+

1 = — ,

y n+

1 =

— , z n+

1 = F A R K D E N K L E M SİSTEMİNİN

Vil—1 Zfi—1 yn—2

PER İY O D İK LİĞİ

olmak üzere,

1 1 x n _ !

-*7i+i ' y?7+i ' ^7i+i > ^ 0 , 1 , 2 , . . . (4 .3 .2 )

J n - l zn - l -*7i y-n-2

fark denklem sisteminin pozitif çözümleri araştırılmıştır.

Teorem 4.3.1. x- j_ , x o, y - 2 , y - 1 , y o , z - j_ , z o e ( O, oo) olmak üzere, (4.3.2) denklem

sisteminin çözümünün {xn, yn, z n j olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri altı periyotlu ve periyodiktir.

1 1 xn_1 -*7i+l — > y n + 1 — > z n + l — > y n - l 7i—1 x n j n - 2 _ 1 _ 1 _ ■*71+2 — > J n + 2 ~ z n + 2 ~ x n> j n n ■*7i y n —2 1 ■*71+3 — z n - l > y n + 3 ~ “ > z n + 3 ~ ~ > ■*71-1 y 71-1 _ _ 1 _ 1 ■*71+4 — z n> y n + 4 — z n + 4 ~ < ■*7i y n -*7i-l ■*71+5 — ~ ~ < y?7+5 — y7i-l» z n + 5 ~ z n - l > 71 y7l-2 ■*71+6 — -*7i< y?7+6 — y n. z n + 6 ~ z n>

(27)

Teorem 4.3.2. x_ ±, x 0, y _ 2 , y_ ı , y 0 , z _ ı , z 0 e ( 0,oo ) , x_ ı = r, x 0 = s, y _2 = l, y _ ı =

P, yo = q, z _ı = m, z0 = h başlangıç şartları ile (4.3.2) denklem sisteminin

çözümlerinin {xn, yn,z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0 , 1, 2, ... için (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

-'-6 n + l — < V x 6 n + 4 x6n+s - si> x 6 n + 6 ~ S , _l y e n + ı = m _ 1 y6n+2 ~ sl Vön+3 = _r _ 1 V ö n + 4 ~ Vön+S = V’ V ö n + 6 = R ’ z&n+1 - s l’ z 6 n + 2 ~ S , z 6 n + 3 ~ ’ V z 6 n + 4 ~ ’ q Z 6 n + S ~ 7U, z 6 n + 6 ~

h-İspat: (4.3.1) hipotezine göre (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım:

x 6 n - 5 ~ > V x 6 n - 4 ~ > q x 6 n - 2 — h ’ x6n-l ~ s l ’ x 6rı S , m h ’ sl y6n-5 = yön—4 ~ y^n-3 = ~ r _ 1 y ^ n- 2 — y s n - l = V ’ y6n ~ z 6 n - 5 ~ s j, z 6 n - 4 ~ S , z 6 n - 3 ~ ’ V z 6 n - 2 ~ ’ q z 6 n —l — 7YI, z 6 n

ti-Böylece yukarıda n-1 için kabul ettiğimiz eşitliklerden faydalanarak n için aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

(28)

-*671+1 ■*6n+2 — yeTi-ı v ı _ ı yen 9 ■*671+3 — yen +ı yen +ı y6n+2 ~ sl z 6 n + l z 6 n + 2 ~ x 6 n - l _ r x 6 n V 671-2 ■*671 ^ -*67i+iy67i-l A = S , V z 6 n + 3 ~ -*671+1 p ‘ 1 p ı ■*671+4 — y67l+2 ı = K ■*671+5 — y67i+3 ■*671+6 — yen+4 = S , yen+4 ~ y6n+5 ~ z 6 n + 2 $ z 6 n + 3 = P, y6n+6 ~ z 6 n + 4 = z 6 n + 4 ~ ■*671+2 1 <7 1 x67l+3y67l+l m — m z 6 n + 5 ~ ■*671+3 m x 6n+4y6n+2 y,z. h = m, z 6 n + 6 ~ ■*671+4 h x 6 n + s y 6 n + 3 1 _ Ş İ sl r = h.

(29)

4.4. x n+! = — , y n+! = — , z n+! = FA R K D E N K L E M SİSTEM İN İN

yn—1 Zfi—1 %nyn—2

PE R İY O D İK L İĞ İ Bu bölümde; x _ x, x 0, y _ 2 , y _ 1 , y 0 , z _ v z 0 e (0, oo) (4.4.1) olmak üzere, A B Bxn_ l Xn+ 1 = ---, yn+ 1 = --- ,z n +1 = ---, n = 0 ,1 ,2 ,... A, B E R — { 0} (4.4.2) Y r ı - l z n - 1 x n V n - 2

Teorem 4.4.1. A,B E R — { 0}, x_ 1, x 0, y _ 2 , y _ 1, y 0 , z_ 1, z 0 e ( 0, o ) olmak üzere, (4.4.2) denklem sisteminin çözümünün {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri altı periyotlu ve periyodiktir.

xn+1 A y n- 1 _ A xn+2 ~ < yn xn+3 — xn+4 — xn+5 A%n-1 B ’ A zn ~B~’ i4xn_ı xn y n - 2 xn+6 — xn> V n + 1 B t z n- 1 B >71+2 — y 71+3 — 71 xn y n-2 X.71-1 yn+4 A X r yn+5 _ y-n-ı. V n + 6 ~ y n . z n + l Bx Tt-ı xn yn-2 Bxr, z n + 2 ~ z n+ 3 ,1 ’ B y n- ı _ B z n + 4 ~ “ T"» yn z n + 5 ~ z n - l > z n + 6 ~ z n>

olup denklem sisteminin çözümlerinin altı periyotlu olduğu görülür.

Teorem 4.4.2. { } ,

(30)

sisteminin çözümlerinin {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0, 1, 2, ... için (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

A B Br x 6n+l ~ • V y (m+\ mt Z6n+1 = l î ’ A B Bs x6n+2 ~ ~ > q y (m+2 ~ h ’ z 6n+2 ~ ’ mA sl B x6n+3 ~ g < Vön+3 t r z 6n+3 ~ _V Ah A B x6n+4 ~ g < y (m+4 t s z 6n+4 ~ >_q Ar X6n+S = l î ’ y6n+5 = p, mA z 6n+5 ~ q ’ x 6n+6 ~ S, y6n+6 := q> z 6n+6 ~ h.

A B Br x 6 n - 5 ~ p ’ y 6 n —S m ’ Z 6 n - S = l î ’ A B Bs x 6 n - 4 t y 6 n - 4 ~ h ’ z 6 n - 4 ~ ~ Â ’ m A sl B x 6 n - 3 = ~ B ’ y 6 n —3 r t z 6 n —3 _{~ V} A h A B x 6 n - 2 ~ ~ B ’ y 6 n —2 st z 6 n —2 t Ar mA x 6 n - l = l î ’ V ö n - l = p, z 6 n —l = ~B~’ x 6 n s, y 6 n = q> z 6 n = h.

A A B B Bx6n_1 Br

x 6 n + l ~ ~ — > y 6 n + l ~ ~ /o n + ı — > ^ön+ı z 6 n + l 71

(31)

x 6 n + 2 x 6 n + 3 x 6 n + 4 x 6 n + 5 x 6 n + 6 A _ A _ B _ B ~ — y 6 n + 2 ~ ~ — T " ' y ö n R z 6 n A mA y6n+l b A Ah J ö n + 2 B A Ar y6n+3 y6n+4 B sl '> y6n+3 B A n > yön+4 z 6 n + 2 $ B ~T> y6n+5 z 6 n + 3 P> A B y6n+6 — “ — R> z 6 n + 4 Bx,6 n Bs Bs 671+2 x 6n+iy6n-l A p ^ z 6 n + 3 P ‘ B - o p B x 6n+2j6n A a V Bx,_{6 n + l} Bx, z 6 n + 4 z 6n + 5 z 6 n + 6 6 n + 2 B 7İ q _ BB x 6n+3y6n+l UlA R. R B m Bx₆₇₁₊₃ B_~B~mA X 6 n + 4 V 6 n + 2 A ÎL — B h Bx_{6 n + 4} R — __________ __ B B x 6 n + s Y 6 n + 3 A r s l ^ sl r m, = h.

(32)

Bu bölümde; x _ x, Xg, y _ 3, y _ 2 , y _ ı , y 0 , z_2, z _ 1( z0 e (0, oo) (4.5.1) olmak üzere, 1 1 xn_1 -*7i+ı < y?7+ı < z n+ı > ^ 0, 1 ,2 ,... (4.5.2) y-n-2 z n - 2 -*7i V n - 3

fark denklem sisteminin periyodikliği araştırılmıştır.

Teorem 4.5.1. x_ ı , x 0, y_ 3 , y_ 2 , y - ı , y0 , z _ 2 , z_ ı , z 0 e ( 0,oo) olmak üzere, (4.5.2) denklem sisteminin çözümünün {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.5.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotlu ve periyodiktir.

4 .5 .

x

n+! = — ,

y

n+! = — ,

z

n+! = F A R K D E N K L E M SİSTEMİNİN

yn—2 Zfi—2 yn—3

PER İY O D İK LİĞİ 1 1 _■*71-] y n + ı z n + l 71 + 1 — ' y - n - 2 t % n -2 ■*71 y « -1 1 yn +2 %n+2 -*7l< 71+2 — < > 7 1 -1 t Z71—1 1 1 1 ■*71 + 3 — ' y n y n +3 z n Z71+3 yn - 2 ■*71+4 — ^ 7 1 -2 ' y n +4 ■*71 V n —3 ^71+4 1 ■*71-1 1 y ? 7 - ı 1 ■*71+5 — Z n —1> y n+s ■*71 ^71+5 ~~ y n ' ■*71+6 — Z n , y n+6= > 7l-2< ^71+6 — ^ 7 1 -2 ' ■*71 + 7 — ^71 + 1' y n+7 II S 1 M ^71 + 7 — Z n -1 > ■*71 + 8 -*7l< y n+s _ yn. ^71+8 — Z n .

(33)

Teorem 4.5.2. x_ ±, x 0, y _3 , y _ 2 , y_ ±, y 0 , z_ 2 , z_ ±, z 0 e ( 0,oo) , x_ ± = r, x 0 = s, y _ 3 =

t, y _2 = l, y _ x = p, y0 = q, z _ 2 = n, z _ x = m, z0 = h başlangıç şartları ile (4.5.2) denklem sisteminin çözümlerinin {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0, 1, 2, ... için (4.5.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

1 1 r -*-871+1 — y < ysn+l ~ < rı z 8 n + l ~ ~1> St 1 1 x 87l+2 — > p y 8 7 l+ 2 —m z 8n + 2 ~ S , 1 1 1 x 87l+3 — > q y 8 7 l+ 3 — ~j^> z 8 n + 3 ~ y< s t 1 x 87l+4 71, y 8 n + 4 ~ > r z 8 n + 4 ~ _V 1 1 x 87i+5 = m > y 8 7 i+ 5 — z 8 n + 5 ~ q x 87l+6 y 871+6 _ ı* z 8 n + 6 ~ 71, r x 8 n + 7 — y 8 n + 7 = V ’ z 8 n + 7 = 7 d , x 87l+8 S , y 8 7 l+ 8 — z 8 n + 8 ~ h

-İsp at: (4.5.1) hipotezine göre (4.5.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım:

1 1 r x 8n-7 — y < ySn-7 - z 8n-7 ~ ~1> _St 1 1 x 87l-6 — _p> y87l-6 —_m z 8n-6 ~ S, 1 1 1 x 87i-5 — > q y87i-5 — z 8n-5 ~ y< s t 1 x 8n-4 y8n-4 = z 8rı-4 ~ >_p 1 1 x 8n-3 = 7d, y87l-3 — z 87l-3 — q x 8n-2 = h, y8n- 2 = l> z 8n-2 = 71, r x 8n-l = y s n - l = V’ z 8n—l = 7d, x 8rı S, y^n ~ z 8rı

(34)

h-Böylece yukarıda n-1 için kabul ettiğimiz eşitliklerden faydalanarak n için aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

-*-871+1 -*871+2 -*871+3 1 v _ 1 y 8 7 i-ı v y&n-2 ı -*871+4 ysn+l -*871+5 -*871+6 -*8 7 1 + 7 = h, y87l+2 1 y87l+3 1 y87i+4 s t y sn + l — ' y 8 7 l + 2 = z 8 7 i-2 n 1 1 y87l+3 St y 8 7 l+ 4 z 8 7 l+ l r y 8 7 l + 6 z 87l+2 ^ ı --- = ı, z 87l+3 1 z 87l+4 P-y87i+5 z 87i+5 z871+1 z871+2 z871+3 — -*87t—1 _ -*871 y 871—3 ^ -*871 x 8 7 l+ l y 8 7 l- 2 i / Z -*871+1 _T _ı z 87i+4 -*871+2 1 p -*871+3 y8 7 l i n V z 87i+5 z871+6 z871+7 z871+8 — -*871+3 1 ı n -*871+4 n -*871+5 y 8 7 i+ 2 77i — m -*871+5 m x 87i+6 y 8 7 i+ 3 h — n h x 87l+6 h x 8 n + 7 y 8 n + 4 — — St r n, m, = h.

(35)

4.6. x n+! = — , y n+! = — , z n+! = FA R K D EN K LE M SİSTEM İN İN yn—2 Zfi—2 xn Vn—3 PE R İY O D İK L İĞ İ Bu bölümde; x_ ı , Xo, y _ 3 , y _ 2, y _ 1 , y 0, z_ 2, z_ 1, zo e ( 0,oo) , A , B e R — { 0 } ( 4 . 6 . 1 ) olmak üzere, A B Bxn_ 1 *71+ 1 > J n + 1 > z n + 1 > 71 0 , 1 , 2 , ... ( 4 . 6 . 2 ) Y n - 2 z n - 2 *7i Y n - 3

Teorem 4.6.1. x_ 1, x 0, y _ 3 , y _ 2 , y _ 1, y 0 , z_ 2, z_ 1, z 0 e ( 0, oo) , A, B E R —{ 0 } olmak üzere, (4.6.2) denklem sisteminin çözümünün {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.6.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotlu ve periyodiktir.

A B *71+1 — *71+2 ~ > 7 1 -2 A Vrı- 1 _ A *71 + 3 — ' yn Az._71-2 *71+4 *71 + 5 — q ' AZr, B ’ AZn-1 B ’ 4*71-1 *71+6 — Xn+1 = x n y„ _ 3 *71 + 8 *71' Y n + 1 ~ >71+2 = z n - 2 B Z n -71-1 _ B J n + 3 ~ J n + 4 71 *71 V n - 3 X.71-1 _ A yn+5 _ X „ J n + 6 — V n -2 > V n + 7 ~ V n - 1 . J n + 8 — y-n. z n + l ~ z n+ 2 z n + 3 z n + 4 " Bx Tt—ı *71 V n —3 5 x „ A ’ B yn-2 B y n- ı _ B z n + 5 ~ “ T"» Vn z n + 6 ~ z n-2> z n + 7 ~ z n - l > z n + 8 ~ z n

(36)

olup, denklem sisteminin çözümlerinin sekiz periyotlu olduğu görülür.

Teorem 4.6.2. x_ x, x 0, y _ 3 , y_ 2 , y_ 1, y 0 , z_ 2, z_ 1, z 0 e ( 0,oo ) , A , B e R - { 0 }, x _ x = r, x0 = s, y_ 3 = t, y_ 2 = l, y_ı = p, y0 = q, z_ 2 = n, z _x = m, z0 = h

başlangıç şartları ile (4.6.2) denklem sisteminin çözümlerinin {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0, 1, 2, ... için (4.6.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

A x 8n+l — y < B Vsn+l ~ < rı Br z 87i+l — 7"< St A ■*8n+2 — < _p B y 871+2 — m Bs z 87l+2 — ^ < A ■*871+3 — < q B y871+3 _ Y ’ B z 87l+3 — Y’ An ■*871+4 — g < s t y8n+4 ~ < r B z 87l+4 — < p mA ■*871+5 — g < y 871+5 — B z 87i+5 — q Ah ■*871+6 — g < y 871+6 _ ı* z 87l+6 — i4r ■*871+7 — ^ < y8n+7 = V’ z 87l+7 = ^ x 8n+8 S, y87l+8 — z 87l+8 —

i4 B Br ■*871-7 — Y ’ y 8 n -l ~ n z 8 7 i-7 S t ’ B Bs ■*871-6 — p y8n-6 ~ m z871-6 ~ ~ Â ’ B B ■*871-5 — q y8n-S — y < z871-5 ~ T An St B ■*871-4 — g < y8n-4 = z871-4 V mA A B ■*871-3 — q ’ y8n-3 ~ Z 87l-'3 R Ah ■*871-2 — q ’ y8n-2 ~ Z 87l-■2 =

(37)

* 8 n - l Ar s t ' *871 S, Van-I V> y^n ~ z8n - l TU, Z8n h

-Böylece yukarıda n-1 için kabul ettiğimiz eşitliklerden faydalanarak n için aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

*871+1 *871+2 *871+3 A A T ’ _ A y s n - l V y&n- 2 A A A A An *871+4 *871+5 y8n+2 B B B ysn+l y8n+2 y8n+3 z 8rı—2 n B B B B B s t Ysn+l B A mA z 87l+l r B A "< y 871+5 *871+6 — *871+7 — A Ah B y 871+6 — — b y87l+3 B A Ar z 87l+3 y87l+4 s t y8n+7 ~ B z 87l+4 = P, *871+8 — A B ~ S> V8n+8 ~ ~ — y8n+5 z 87i+5 z871+1 — z 87i+2 B* 8ti- i _ *871 y 871—3 5*87* *871+1 y 871-2 Bx z 87l+3 871+1 Br s t ’ Bs Bs = â ~ ı = ~ ’ l 1 q A B j B *871+2 y 871-1 _ Bx z 87l+4 871+2 B - _p _Bo *871 + 3 yST* _A _{— q} p ’ _H B X\ z 87i+5 871+3 B 7İ q _ BB *871+4 Vsn+l A n B q B rı Bx , z 87l+6 — 871+4 Aîl b~b *871+5 y87i+2 m â . 1 = n, Bx , z 87l+7 — 871+5 B B m mA B *871+6 y 8 7 l+ 3 A h B _ B h = m, Bx z 87l+8 — 871+6 Ah. B ~B *871+7 y87l+4 Ar_Şt_ s t r = h.

(38)

4.7. x n+! = — , y n+! = — , z n+! = — — — FA R K D EN K LE M SİSTEM İN İN yn—k Zn—k %nyn—(k+1) P E R İY O D İK L İĞ İ Bu bölümde; x _ ı , x 0, j - k-1, y _ fc, y _ fc+1, ... , y _ ı , y 0, z -fc, z -/c+ı< z - / c +2< z - k + 3 > — > z o e (0, ° ° ) (4 .7 .1 ) olmak üzere, 1 1 xn_ 1 x n+l < yn+1 < z n+1 > 0, 1 ,2 , ... (4 .7 .2 ) V n - k Z n - k x n V n - ^ k + l )

Teorem 4.7.1. kel N ve (4.7.1) başlangıç şartları altında, (4.7.2) denklem sisteminin çözümünün {xn, y n, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.7.2) denklem sisteminin bütün çözümleri (2 k + 4) periyotlu ve periyodiktir.

x. xn+1 Y r ı - k x n + k + 1 — < yn x n + k + 2 ~ z n -k > x n + k + 3 — z n -f c + l< x n + k + 4 ~ z n -fc+ 2< x n + 2 k + 4 ~ x n> Y n + 1 V n + k + 1 V n + k + 2 Z-n-k 1 ■ t Z-n-k x n y n - ( k + 1) X n -n - 1 V n + k + 3 ~ „ < X n V n + k + 4 ~ V n - k ’ V n + 2 k + 4 ~ V ri’ zn+l n- 1 X7i y 7 i- ( f c + l) Z7l+2 — -*71' Z7l + 3 yrı-k Z7i+fc+3 — < yn Z7l+fc+4 — Z7l-fc< Z7l+2fc+4 — Z7l ■

(39)

Teorem 4.7.2. k el N ve (4.7.1) şartları altında olmak üzere, x_ 1 = r , x 0 = s , y _ k_ 1 =

v , y - k = u > y ~ k + ı = b , y - k+2 = c ,y _ k+3 = f , y 0 = q ,z _ k = i ,z _ k+1 = d , z _ k+2 =

e , z _ k+3 = g , z 0 = h başlangıç şartları altında (4.7.2) denklem sisteminin

çözümlerinin {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda n = 0, 1, 2, ... için (4.7.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

x n ( 2 k + 4 ) + l ~ > _ 1 x n ( 2 k + 4 ) + k + l — x n (2 k + 4 ) + k + 2 ~ x rı(2 k + 4 )+ k + 3 ~ d , x n ( 2 k + 4 ) + k + 4 ~ x n (2 k + 4 ) + 2 k + 4 ~ S , y n ( 2 f c + 4 ) + l — _ 1 y n ( 2 k + 4 ) + k + l ~ SV z n ( 2 f c + 4 ) + l SV y r ı ( 2 k + 4 ) + k + 2 yrı(2k+ 4')+ k+ 3 r 1 t s y n ( 2 k + 4 ) + k + 4 ~ U , y n ( 2 k + 4 ) + 2 k + 4 = z n (2 k + 4 ) + 2 ~ s ’ z n (2 k + 4 )+ 3 ~ z n (2 fc+ 4 )+ fc+ 3 — > z n (2 fc+ 4 )+ fc+ 4 — z n (2 fc+ 4 )+ 2 fc+ 4 = h .

İsp at: (4.7.1) hipotezine göre (4.7.2) denklem sisteminin bütün çözümleri pozitiftir. Böylece n=0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi (n-1) için teoremin doğru olduğunu varsayalım: x n ( 2 k + 4 ) - 2 k - 3 ~ U x n ( 2 k + 4 ) - k - 3 ~ H X r x n ( 2 k + 4 ) - k - l — d , X r X r ( 2 k + 4 ) —k ~ e > (2/C+4) = s > y n ( 2 k + 4 ) - 2 k - 3 ~ y - n ( 2 k + 4 ) - k - 3 = y n ( 2 k + 4 ) - k - 2 = y n ( 2 k + 4 ) - k - l l 1 h ’ s v t r 1 t s y n ( 2 k + 4 ) - k ~ U , yn(2k+4) — z n (2 k + 4 ')—2 k —3 ~ SV z n ( 2 f c + 4 ) - f c - 3 — S , _ 1 z n ( 2 f c + 4 ) - f c - 2 — _ 1 z n ( 2 f c + 4 ) - f c - l — H z n (2 fc + 4 )-fc — z n (2 fc+ 4 ) — h

-Böylece yukarıda n-1 için kabul ettiğimiz eşitliklerden faydalanarak n için aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

(40)

x n (2 fc+ 4 ) + l — x n (2 fc + 4 )+ fc + l x n (2 k + 4 ) + k + 2 x n (2 k + 4 ) + k + 3 x n (2 k + 4 ) + k + 4 x n (2 k + 4 ) + 2 k + 4 y n ( 2 k + 4 ) + k + 4 z n (2 k + 4 ) + 2 k + 4 1 1 1 1 ~ — 77’ y n ( 2 f c + 4 ) + l — ~ — 7 ' yrı(2k+4)-k u z rı(2k+4)-k *• _ x n ( 2 f c + 4 ) - l _ r z n ( 2 f c + 4 ) + l — X. h ’ ~ - > y n (2 f c + 4 )+ f c + l -y r ı(2 k + 4 ) H z rı(2k+ 4) „ _ x n (2 fc+ 4 ) _ ^ „ z n (2 fc + 4 )+ 2 — “ ~ — "î — x n ( 2 f c + 4 ) + l y n ( 2 k + 4 ) - k U 1 1 s v = = l > y n (2 k + 4 )+ k + 2 = = > y n ( 2 f c + 4 ) + l z n ( 2 f c + 4 ) + l ' 1 ^ _ x n ( 2 f c + 4 ) + l _ u _ 1 z n (2 fc + 4 )+ 3 — 1 ’ x n (2 fc + 4 )+ 2 y n ( 2 f c + 4 ) - f c + l u b 1 _ _ 1 1 — d , y-n(2k+ 4)+ k+ 3 ~ y n ( 2 f c + 4 ) + 2 z n ( 2 f c + 4 ) + 2 5 1 x n (2 fc + 4 )+ fc + l C[ 1 z n (2 fc+ 4 )+ fc+ 3 — 1 1 ~ — y n (2 fc + 4 )+ fc + 4 — — V-,

y-n(2k+4)+3

z n(2fc+4)+3 ^ _ x n(2fc+4)+fc+2 _

İ

_ . z n(2fc+4)+fc+4 — _ 1 _ x n(2fc+4)+fc+3 y n (2fc + 4)+ 2 W _ d 1 _ _ — x n(2fc+4) — y n ( 2 f c + 4 ) + f c + 3 1 yn(2fc+4) — R> h = h, z n(2fc+4)+3 x n(2fc+4)+2fc+2

h

T SV x n(2fc+4)+2fc+3

y-n(2k+4)+k+2

----SV r

(41)

4.8. x n+1 = — , y n+1 = — , z n+1 = B%n~x FA R K D EN K LE M SİSTEM İN İN

y n —k z n —k x n y n —(k+1)

P E R İY O D İK L İĞ İ VE K A R A R L IL IĞ I

A B B x n - 1

4.8.1. x n+1 = --- , y n+1 = --- , z n+1 = --- n--- F a rk D enklem Sistem inin

y n - k z n - k x n y n - ( k +1) Periyodikliği Bu bölümde; x _ ı, x 0, j - k-1, y _ fc, y_ fc+1, ... , y _lt y 0, z _ k, z _ k+1, z _ k+2, z _ k+3, ...,z 0 e (0, oo) (4.8.1) olmak üzere, A B Bxn_ l xn+ 1 = --- - yn+ 1 = --- , zn+ 1 = ---, n = 0 , l , 2 ,. . . A, B e R - { 0 } ( 4 . 8 . 2 ) V n - k z n - k * 7 1 V n - ( k +1)

fark denklem sisteminin periyodikliği araştırılmıştır.

Teorem 4.8.1.1. kelN , A , B e R - { 0 } ve (4.8.1) başlangıç şartları altında (4.8.2) denklem sisteminin çözümünün {xn, yn, z n } olduğunu varsayalım. Bu durumda (4.8.2) denklem sisteminin bütün çözümleri (2 k + 4) periyotlu ve periyodiktir.

*71 + 1 A yn-k _ A *7l+fc + l — ~ 7 ~ ’ yn Az. * 7 l+ /i+ 2 — * 7 l+ /i+ 3 — * 7 l+ /i+ 4 — n - k B ’ AZn-k+l B ’ AZn-k+2 B ’ V n + l J n + k + 1 y n+k+2 B t z n - k B t z n - k *71 y 7 l-(fc + l ) * 7 7 — Bx 71-1 * 7l+ 2fc+ 4 — *71' _ A J n + k + 3 ~ „ < *71 J n + k + A ~ V n -k > V n + 2 k + 4 ~ Y n . z n + l ' z n + 2 ' z n+ 3 71-1 *71 y 7 i- ( f c + l) 5 x „ A ’ B Yn-k _ B z n + k + 3 ~ V n