Helissel eğrilerin ve altmanifoldların bir karakterizasyonu

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ*FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HELİSSEL EĞRİLERİN VE ALTMANİFOLDLARIN BİR

KARAKTERİZASYONU

DOKTORA TEZİ

Günay ÖZTÜRK

Anabilim Dalı: Matematik

I. Danışmanı: Prof. Dr. Servettin BİLİR

II. Danışmanı: Prof. Dr. Kadri ARSLAN

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Eğriler, yüzeyler ve altmanifoldlar teorisi diferensiyel geometrinin en temel konularını oluşturur. Özellikle eğriler teorisi uygulamalı alanlarda çok yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Eğriler arasında yapılan sınıflandırmalarda en ilgi çekici olan ise bu çalışmada da ele aldığımız helissel eğrilerdir. Günümüzde uygulamalı geometri alanında oldukça sık kullanılan bu tip eğriler yeni araştırmaların baş konusu olmuştur. Bu çalışmada helissel eğriler ve altmanifoldlar ile ilgili araştırmalar yapılarak yeni araştırmalar için bazı sonuçlar verilmiştir.

Araştırma görevlisi olarak çalışmaya başladığım ilk günden bu güne kadar bana destek olarak her konuda yardımlarını esirgemeyen ve bu çalışmayı yöneten I. Danışmanım sayın Prof. Dr. Servettin BİLİR e, bu çalışma konusunu veren ve yöneten, çalışmalarım esnasında her türlü desteği sağlayan ve yardımını esirgemeyen II. Danışmanım sayın Prof. Dr. Kadri ARSLAN a, fikir ve görüşlerinden yararlandığım sayın Doç. Dr. Ahmet KÜÇÜK e ve Yrd. Doç. Dr. Ahmet ZOR a, doktora süresince her kolaylığı sağlayan Matematik Bölümü Başkanları Prof. Haydar SOYSÜREN e ve Prof. Dr. Halis AYGÜN e, birlikte göreve başladığım arkadaşlarım Arş. Gör. İrem ÇİFTÇİ ve Arş. Gör. Evrim GÜVEN e teşekkür ederim. Ayrıca bu çalışma esnasında beni destekleyen ve moralimi her zaman en üst düzeyde tutmamı sağlayan sevgili eşim Aslıhan ÖZTÜRK e teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ... i İÇİNDEKİLER ... ii ŞEKİLLER DİZİNİ ... iii SİMGELER ... iv ÖZET ...v İNGİLİZCE ÖZET ... vi 1. GİRİŞ...1 2. TEMEL KAVRAMLAR ...2 3. _{IE DE EĞRİLER ...10} n 3.1. Giriş ...10 3.2. W-Eğrileri ...10 3.3. TC-Eğrileri...16

3.4. Sonlu Tip Eğriler ...22

3.5. Genel Helisler ...28 3.6. CCR-Eğrileri...31 4. HELİSSEL YÜZEYLER...37 4.1. Giriş ...37 4.2. PHG-Özelikli Yüzeyler ...38 4.3. PGNS-Özelikli Yüzeyler ...48 5. HELİSSEL ALTMANİFOLDLAR ...58 5.1. Giriş ...58 5.2. Helissel Altmanifoldlar...58 5.3. TC-Altmanifoldları ...59 5.4. TC-Yüzeyleri ...65 KAYNAKLAR ...72 ÖZGEÇMİŞ...75

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1. Küresel W-eğrisi...16

Şekil 3.2. Model helis. ...16

Şekil 3.3. m= ve 1 n= değerleri için TC-eğrisi ...18 2 Şekil 3.4. x x2 1 2 2 1 + = birim silindiri üzerinde TC-eğrileri ...19

Şekil 3.5. p= ve 1 q= için tor eğrisi...21 1 Şekil 3.6. Küresel CCR-eğrisi. ...32

Şekil 4.1. k=θ değeri için Blaschke yüzeyi. ...40

Şekil 4.2. k=sins değeri için Blaschke yüzeyi. ...41

SİMGELER ξ A : Şekil operatörü ∞ C : Diferensiyellenebilme d ~ _{: Darboux vektörü}

D _{: M nin} n _{IE deki koneksiyonu} m

n

IE : n-boyutlu Öklid uzayı

G : indirgenmiş metric

H : İkinci temel form

H _{: M nin} n _{IE deki ortalama eğrilik vektörü} m

n

M : n-boyutlu manifold

P : nokta

IR : Reel sayılar kümesi

1 m

S − _{: IE deki (m-1) boyutlu küre} m

) M ( T : Tanjant uzay ) M ( T⊥ : Normal uzay ) M (

T_p : Mp∈ deki tanjant uzay

X : immersiyon

*

x : x in türev dönüşümü

∇ : Kovaryant türev

χ(_{M )} n _{: M nin} n _{C vektör alanları uzayı} ∞

< , > _{: χ(M ) üzerinde iç çarpım fonksiyonu} n

∂ : Kısmi türev ∆ : Laplace operatörü ) M ( N1 n

p : Birinci normal uzay

R~ : Riemann eğrilik tensörü

∇ : van-der Waerden-Bortolotti koneksiyonu

Kısaltmalar

TC-eğrisi : Teğetsel Kübik Eğri

CCR-eğrisi : Eğrilikleri Oranları Sabit Eğri

PHG-yüzey : Noktasal Helissel Geodezikli Yüzey

PGNS-yüzey : Noktasal Geodezik Normal Kesitli Yüzey

HELİSSEL EĞRİLERİN VE ALTMANİFOLDLARIN BİR KARAKTERİZASYONU

Günay ÖZTÜRK

Anahtar Kelimeler: Frenet Eğrisi, Helis, W-eğrisi, Genel Helis, Sonlu Tip Eğri, Teğetsel Kübik Eğri, Harmonik Eğrilik, Darboux Vektörü, Darboux Köşesi, Eğrilikleri Oranları Sabit Eğri, Helissel Daldırma, Normal Kesit, Blaschke Yüzeyi, Helissel Altmanifold, Teğetsel Kübik Altmanifold.

Özet: Bu çalışmada, helissel eğriler, yüzeyler ve altmanifoldlar incelenmiştir. Öncelikle helissel eğriler ele alınarak bu eğrilerin sınıflandırılması yapılmıştır. Bir eğrinin TC-eğrisi olma şartı verilerek bu eğrilerin sonlu tipte olma koşulları araştırılmıştır. Sabit harmonik eğrilikli eğrilerin Darboux köşeye sahip olduğu gösterilmiştir. Eğrilikleri oranları sabit olan eğrilerin sonlu tip eğri olduğu ispatlanmıştır. PGNS-özelikli yüzeyler ile PHG-özelikli yüzeyler arasında bağıntılar kurulmuştur. PHG-özelikli yüzeylerin AW(3)-tipinde olduğu gösterilmiştir. TC-altmanifoldu olma koşulu verilmiş ve bu koşula göre yüzey örnekleri verilerek

bazı yüzeylerin sınıflandırılması yapılmıştır. Son olarak, _{IE te her bir zayıf} 5

A CHARACTERIZATION OF HELICAL CURVES AND SUBMANIFOLDS Günay ÖZTÜRK

Key Words: Frenet Curve, Helix, W-curve, General Helix, Finite Type Curve, Tangentially Cubic Curve, Harmonic Curvature, Darboux Vector, Darboux Vertex, Curve of Constant Curvature Ratios, Helical Immersion, Normal Section, Blaschke Surface, Helical Submanifold, Tangentially Cubic Submanifold.

Abstract: In this thesis, helical curves, surfaces and submanifolds were considered. First, classification of helical curves were given. An equation was given for a curve to be TC-curve and the condition was search for finite type curve to be TC-curve. A curve which has constant harmonic curvatures has the Darboux vertex. It was proved that a curve which has constant curvature ratios are of finite type. The relationship between PGNS-surface and PHG-surface were built. It was showed that the PGH-surfaces are of AW(3)-type. The condition was given for a submanifold to be a TC-submanifold and then a classification of these type of TC-submanifolds were obtained. Finally, it has been shown that every weak PHG-surface is a TC-surface.

1. GİRİŞ

Bu çalışmanın amacı, helissel eğrilerin, yüzeylerin ve altmanifoldların bir karakterizasyonunu belirlemektir. Ayrıca bu tip eğrileri ve yüzeyleri sınıflandırmaktır.

Bu çalışma, birinci bölüm giriş olmak üzere beş bölümden oluşmaktadır.

İkinci bölüm ileriki bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremleri içermektedir.

Üçüncü bölümde _{IE de eğriler ele alınıp, bu eğrilerin W-eğrisi, sonlu tipten eğri,} n

TC-eğrisi, genel helis ve CCR-eğrisi olma koşulları verilmiştir. Bu eğriler arasında bağıntılar bulunup sınıflandırmalar yapılmıştır. TC-eğrilerinin sonlu tip eğri olma koşulları bulunmuştur. Ayrıca tüm CCR-eğrilerinin sonlu tipten olduğu ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde PGNS-özelikli ve PHG-özelikli yüzeylerin sınıflandırması yapılıp bu yüzeyler arasındaki bağıntılar verilmiştir. PHG-özelikli yüzeylerin AW(k)-tipinde olma koşulları incelenmiştir.

Beşinci bölümde TC-altmanifoldları tanımlanarak bu altmanifoldlara örnekler verilmiştir. Sonlu tip altmanifoldların TC-altmanifoldu olma koşulları bulunmuştur. Ayrıca _{IE de zayıf PHG-özelikli yüzeylerin birer TC-yüzeyi olduğu gösterilmiştir.} 5

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan teorem ve tanımlarla bazı temel kavramlar tanıtılmıştır.

Tanım 2.1: _{M , n-boyutlu diferensiyellenebilir (C}n ∞ _{sınıfından) bir manifold olsun. M} n

üzerindeki C∞ vektör alanlarının uzayı χ(_{M ) ve} n _{M den IR ye C}n ∞ _{fonksiyonların}

uzayı C∞(_{M , IR) olmak üzere,} n _{M üzerinde} n

g : χ(_{M ) x χ(}n _{M ) → C}n ∞_{(M , IR)} n

şeklinde bir metrik tanımlı ise _{M ye bir Riemann Manifoldu denir. Burada g ye} n

Riemann metriği (veya metrik tensör) adı verilir [9].

n

M manifoldunun herhangi iki p ve q noktası için _{M üzerinde bu noktaları birleştiren} n

bir eğri bulunabilirse _{M ye bağlantılı manifold adı verilir.} n

Tanım 2.2: _{M diferensiyellenebilir manifold ve} n _{M üzerindeki C}n ∞ _{vektör alanlarının}

uzayı χ(_{M ) olmak üzere,} n

∇ : χ(_{M ) x χ(}n _{M )} n _⎯2_{⎯ →}−lineer_{⎯ χ(M ) ;} n _{(X,Y) (X,Y)= Y} X ∇ ∇ → dönüşümü ∀ f, g ∈ C∞_{(M , IR), ∀} n _{X,Y, Z∈ χ(M ) için,} n i) ∇_X(Y+Z)=∇_XY+∇_XZ ii) ∇_fX+gYZ=f∇_XZ+g∇_YZ iii) Y∇X(fY)=f∇XY+X(f)

lineerlik özeliklerini sağlarsa, ∇ ya _{M üzerinde bir Afin koneksiyon adı verilir [23].} n

Burada ∇ operatörüne X e göre kovaryant türev denir. _X

Tanım 2.3: _{M bir Riemann manifoldu ve ∇ da} n _{M üzerinde tanımlanan bir Afin} n

koneksiyon olsun. O zaman ∀ X,Y∈ χ(_{M ) için, ∇ dönüşümü} n

i) ]∇_XY−∇_YX=[X,Y (sıfır torsiyon özeliği)

ii) X<Y,Z>=<∇_XY,Z>+<Y,∇_XZ> (koneksiyonun metrikle bağdaşma özeliği)

şartlarını sağlıyorsa, ∇ ya _{M üzerinde sıfır torsiyonlu Riemann koneksiyonu (veya} n _M n

nin Levi-Civita Koneksiyonu) adı verilir [9, 23]. Bu koneksiyon kısaca _{M deki} n

Riemann Koneksiyonu olarak adlandırılır.

Tanım 2.4: _{M ve} n _M~n+d _{sırasıyla n ve n+ -boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar d}

olmak üzere f: _{M →} n _M~n+d _{diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. Her p ∈ M için} n

dfp: Tp(M )→ Tn f(p)( M~ n+d)

dönüşümü birebir ise f ye bir daldırma (imersiyon) denir. Ayrıca, f: _{M → χ(}n _{M ) bir} n

homeomorfizm ise f ye bir gömme (imbedding) denir. Eğer Mn ⊆ M~ n+d _ve

f : _{M →} n _M~n+d _{dönüşümü bir gömme ise M ye} n _M~n+d _{nin n-boyutlu bir gömülen}

(immersed) altmanifoldu adı verilir. Bununla beraber f bir daldırma olmak üzere ∀ X,Y

∈ TpM için, n

< dfp(X ), dfp(Y ) >f(p) = < X,Y>p

Tanım 2.5: Mn ⊆ M~ n+d bir altmanifold ve ∇~ da _M~n+d _{de kovaryant türev olsun.}

Böylece her X,Y∈ χ(_{M ) ve her p için} n

p XY) ~ (∇ tanımlıdır. Ayrıca (∇_XY)p ∈ TpM ve hn p( X,Y) ∈ Tp⊥ n M olmak üzere, p XY) ~ (∇ = (∇_XY)p + hp( X,Y) (2.1)

biçiminde Gauss Denklemi elde edilir. Burada h, _{M nin ikinci temel formudur. Eğer} n

0

h= ise _{M ye toplam (total) geodezik denir [9].} n

Önerme 2.6: Mn ⊆ M~ n+d _{bir altmanifold ve g ile g~ de sırasıyla M ve} n _M~n+d _üzerinde

tanımlı metrikler olsun. Böylece h( X,Y), _{M üzerinde bir normal vektör alanı olup} n

simetrik ve 2-lineerdir. Ayrıca ∇ da _{M üzerinde indirgenmiş g = f}n *_{( g~ ) metriğinin bir}

Riemann koneksiyonudur [9].

Tanım 2.7: Mn ⊆ M~ n+d _{bir altmanifold olmak üzere M ye normal bir birim normal} n

vektör alanı ξ olsun. Böylece ∇~_Xξ nın teğet bileşeni −Aξ( X ) ve normal bileşeni DXξ

olmak üzere;

(∇~_Xξ)X=−(Aξ( X ))X+(DXξ)X (2.2)

şeklinde Weingarten Denklemi elde edilir. Burada Aξ ya şekil operatörü, D ye de M n

nin _{NM normal demetindeki (normal) koneksiyonu denir.} n

Önerme 2.8: i) Aξ( X ), ξ ve X üzerinde 2-lineerdir.

ii) _{M nin her bir ξ normal vektörü ve} n _{X,Y tanjant vektörleri için}

g(Aξ( X ), Y ) = g~ (h(X,Y), ξ ) (2.3)

Tanım 2.9: _{M ⊂} n _M~n+d _{altmanifoldunun bir birim normal vektör alanı ξ olsun. Eğer A} ξ

daima özdeşlik fonksiyonu ile orantılı ise yani bir ρ fonksiyonu için

A= ρ I (2.4)

oluyorsa ξ ya _{M nin umbilik kesiti (veya} n _{M , ξ ya göre umbiliktir) denir. Eğer} n _M n

altmanifoldu _{M deki her birim normale göre umbilik ise} n _{M ye toplam (total)} n

umbiliktir denir [9].

Önerme 2.10: T⊥_{M üzerinde indirgenmiş metrikle} n _{M ⊂} n _M~n+d _{nin NM normal} n

demetinde

D : T_{M x} n _{NM →} n _NM n

( X , ξ) → D( X , ξ) = DXξ biçiminde tanımlanan D dönüşümü bir metrik koneksiyondur.

İkinci temel form h nın türevi ∇_Xh;

(∇Xh)(Y,Z) = DX(h(Y,Z)) - h(∇XY,Z) - h(Y, ∇XZ) (2.5)

şeklinde tanımlanır. Burada ∇ ya _{M nin Van-der Waerden-Bortolotti koneksiyonu adı} n

verilir. Eğer ∇ = 0 ise h _{M nin ikinci temel formu paraleldir (veya 1-paraleldir) denir.} n

Böylece _{M nin} n _{NM normal demetinde tanımlanan} n _{∇ normal koneksiyonu;}

) Z , Y )( h (∇_X = (∇_Yh)(X,Z))= (∇ )(_Zh X,Y) (2.6)

h

∇ nın kovaryant türevi ∇∇h ya _{M nin üçüncü temel formu adı verilir ve} n

∀ X,Y,Z , W ∈ χ(_{M ) için} n ) Z , X )( h ( ) Z , Y )( h ( ) Z , Y )( h ( )) Z , Y )( h (( D ) Z , Y )( h ( W Y W X W X X W X W ∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ ∇ − ∇ = ∇ ∇ (2.7) biçiminde tanımlanır.

Eğer ∇∇h= 0 ise _{M ye paralel 3. temel formlu veya 2-paraleldir denir [8, 18].} n

Tanım 2.11: _{M bir Riemann manifoldu ve ∇ da} n _{M üzerinde bir Riemann} n

koneksiyonu olsun. Böylece; β : I ⊆ R → M eğrisi için,

(t)

(t)β′

∇_β′ = 0 (2.8)

eşitliği sağlanıyorsa β ya _{M de bir geodezik eğri ve ∀ X ∈ χ(}n _{M ) için β (0) = p ve} n

p

X

(0)=

β′ olacak şekilde tanımlanan , β :

]

−ε, ε

[

→ _{M geodeziğine (p, X}n

p) nin

belirlediği geodezik adı verilir [9].

Tanım 2.12: β : I ⊆ R → _{M eğrisi, ∀ s ∈ I için} n _{β′ ≠0 şartını sağlıyorsa β ya bir (s)}

regüler eğri denir [32].

Tanım 2.13: _{M bir Riemann manifoldu ve ξ bir normal vektör alanı olsun. Eğer} n _M n

ye teğet herhangi bir X vektör alanı için D_Xξ = 0 ise ξ ya paralel normal vektör alanı

denir [9].

Tanım 2.14: _{M ,} n _M~n+d _{nin n-boyutlu bir altmanifoldu ve e}

1,e2,…,en de TpM nin n

H = n 1 ) e , h(e _i n 1 i i

∑

= (2.9)

biçiminde tanımlanan H ∈ NpM vektörüne n M nin ortalama eğrilik vektörü adı n

verilir.

Eğer H=0 ise _{M altmanifolduna minimaldir denir. Ayrıca H ya} n _{M nin ortalama} n

eğriliği adı verilir [9].

n

M üzerinde teğet ve normal vektörler, sırasıyla, e1, e2,…, en ve en+1, en+2,…, en+d olmak

üzere, { e1, e2,…, en, en+1, en+2,…, en+d } M nin ortonormal lokal çatısı olsun. Vektör n

değerli bir V fonksiyonu üzerinde ∆ Laplace operatörü,

[

]

∑

= ∇ ∇ ∇ − ∇ = n 1 i e e e V ~ ~ V ~ ∆V i i i i e (2.10)

şeklinde tanımlanır. Eğer H vektörü en+1 vektörüne paralel seçilirse, yani H = αen+1,

(α= H ) ise,

[

]

∑

= ∇ + + ∇ ∇ − ∇ = n 1 i 1 n e e 1 n e (αe ) ~ ~ ) e (α ~ ∆H i i i i e (2.11)

dır. Burada α skalar değerli bir fonksiyon olup

[

]

∑

= ∇ −∇ ∇ ∇ = n 1 i e e e (α) ~ ~ ) (α ~ ∆α i i i i e =

∑

[

]

= ∇ ∇ ∇ − ∇ n 1 i e e ei(α) i i(α) i e =

∑

[

]

= − ∇ n 1 i i i i eie (α) e (e (α)) (2.12)

dır. Eğer ∆ H = 0 şartını sağlıyorsa _{M ye harmonik ortalama eğriliklidir (yani,} n

biharmonik altmanifold) denir [26].

Ayrıca D normal koneksiyonuna karşılık gelen DD operatörü için,

DD_{H =}

∑

(

)

= ∇ − n 1 i e e eH D D H D i i i i e =

∑

[

]

= ∇ + + α − α n 1 i 1 n e e 1 n e ( e ) D D ( e ) D i i i i e =

∑

[

]

= + + + ∇ + +α − α −α α ∆ n 1 i 1 n e e 1 n e i 1 n e 1 n D e 2(e )D e D D e e ) ( i i i i i e elde edilir [26].

Tanım 2.15: _{M , N nin bir altmanifoldu olsun. Böylece N nin eğrilik tensörü} n _R~ _olmak

üzere ∀X,Y, Z ∈ χ(_{M ) için,}n Z ~ ~ Y)Z (X, R~ =∇_X∇_Y − ∇~_Y∇~_XZ−∇~_[X,Y]Z (2.13)

biçiminde tanımlanır. Ayrıca _{M nin eğrilik tensörü R olmak üzere,} n

W) Z, Y; (X,

R~ =R(X,Y;Z,W) +<h(X,Z),h(Y,W)>-<h(X,W),h(Y,Z)> (2.14)

dir. Bu denklem Gauss denklemi olarak adlandırılır. Bununla beraber R~(X,Y)Z nin

normal bileşeni,

( R~(X,Y)Z)⊥ = (∇_Xh)( Y , Z ) − (∇_Yh)( X , Z ) (2.15)

olup buna Codazzi denklemi adı verilir.

Ayrıca _{M nin normal vektör alanları ξ ve η için} n _{M nin normal demeti} n _NM n

üzerindeki eğrilik tensörü RD ise,

biçiminde tanımlanır. Burada [ , ] Lie parantez operatörü olup,

[Aξ ,Aη] = Aξ Aη − AηAξ (2.17)

dir.

Yukarıdaki (2.16) denklemi Ricci denklemi olarak adlandırılır. Eğer ∀ X , Y , Z ∈ χ(_{M ) için,} n [ ] 0 D D D -D D Y) (X, RD _{= X Y Y X − X,Y = (2.18)}

ise _{M altmanifolduna flat normal koneksiyonludur denir [9].} n

n

M ⊆ IEm bağlantılı bir yüzey olsun. e3, H ortalama eğrilik vektörü yönünde bir vektör

ve 6 e A = 7 e A =…= m e

A = 0 olmak üzere {e3, e4, e5,…, em} M üzerinde ortalama n

vektörler olsun.

3

e

A in karakteristik vektörleri olacak şekilde TpM nin bir ortonormal n

bazı {e1, e2} olsun. Lineer dönüşümler ve bunların matrisleri yardımıyla

A1:=A = e₃ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ µ 0 0 λ , A2 := A = e₄ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − f a a f , A3 := A = e₅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − g b b g (2.19)

elde edilir. _{M yüzeyi normal flat (yani R}n D _{= 0) ise M nin şekil operatörü matrisleri} n

köşegenleştirilebilir ve böylece A1:=A = e₃ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ µ 0 0 λ , A2 :=A = e₄ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − f 0 0 f , A3 :=A = e₅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − g 0 0 g (2.20) biçimine dönüşür [9].

3. _{IE DE EĞRİLER} n

3.1. Giriş

Bu bölümde _{IE de W-eğrileri (vida eğrileri ya da helisler), TC-eğrileri (teğetsel kübik} n

eğriler), sonlu tip eğriler, genel helisler ve CCR-eğrileri (eğrilikleri oranları sabit olan eğriler) incelenmiştir.

3.2. W-Eğrileri

Tanım 3.2.1: I⊂IR olmak üzere _γ:I→IEn _{birim hızlı bir eğri olsun. Eğer I∀s∈ için}

γ nın yüksek mertebeden türevleri _γ′(s),_{γ ′′}(s),...,_γ(d)(s) _{lineer bağımsız olup} ) s ( ),..., s ( ), s ( _{γ ′′ γ}(d+1)

γ′ vektörleri lineer bağımlı ise γ eğrisine d-mertebeli Frenet eğrisi

denir [24].

n

IE nin d-mertebeli her bir γ Frenet eğrisi üzerinde

{

E₁,E₂,...,E_d

}

biçiminde

oluşturulan ortonormal d-çatısı ve k1,...,kd−1:I→IR Frenet eğrilik fonksiyonları için;

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − d 1 d 2 1 1 d 1 d 2 2 1 1 ' d ' 1 d ' 2 ' 1 E E E E 0 k 0 0 0 k 0 0 0 0 0 0 0 k 0 0 0 k 0 k 0 0 0 k 0 v E E E E M M L L M M O M M M L L L M M _(3.1)

dır. Burada v, γ eğrisinin hızıdır. Gram-Schmidt ortonormalleştirme işlemi yardımıyla, γ′ = 1 v (3.2)

∑

− = > γ < − γ = k 1 1 i i i i ) k ( ) k ( d v v v , v (3.3) 1 1 k k 1 d v v v k − − = k k d v v E = (3.4)

elde edilir. Burada k∈

{

2,3,...,d

}

ve k_d =k_d+1 =...=k_n−1 =0 dır [22].

Önerme 3.2.2: _{γ:I⊂IR→IE}n−1 _⊂IEn _{bir regüler eğri ve}

{

}

n 2,...,E

E γ nın, γ(s)

noktasındaki dik çatı alanı olsun. Bu taktirde,

∑

= ∆ = γ n 2 j j kj ) k ( _{E k=1,2,…,n} dır. Burada 1 n 2 1 nn 2 1 33 1 22 =k , ∆ =k k ,...,∆ =k k ...k − ∆

dır. ∆_nj(2≤ j≤n) ler, k ler veya _j k lerle bunların s yay parametresine göre _j

türevlerinden oluşur [24].

Tanım 3.2.3: _{γ:I⊂IR →IE}n _{d-mertebeli regüler bir eğri ve γ nın Frenet eğrilikleri}

i

k ler (1≤i≤d−1) sabit ise, γ ya helis veya vida eğrisi denir [16].

Bu eğriler Öklit dönüşümlerinin 1-parametreli grubunun yörüngeleri olduklarından F. Klein ve S. Lie bunları W-eğrileri olarak adlandırmışlardır [27].

Mertebesi 1 e eşit olan W-eğrisi düz doğru, mertebesi 2 ye eşit olan W-eğrisi çember ve mertebesi 3 e eşit olan W-eğrisi ise dik dairesel helisdir.

Önerme 3.2.4: _γ:I→IEn _{yay parametresiyle parametrelendirilmiş herhangi bir eğri}

olsun. γ nın eğrilikleri k1,...,km m∈

{

1.,2,...,n−1

}

sabit ise o zaman 1) i∈

{

1,2,...,d

}

için

∑

−

∏

= − = − + = γ i1 1 j i 1 i 1 j j j 2 i 2 1 ij ) i ( _{P (k ,k ,...,k )E ( k )E (3.5)} veya 2) i∈

{

d+1,d+2,...,m+1

}

için

∑

= − = γ d 1 j j 1 d 2 1 ij ) i ( _{P (k ,k ,...,k )E (3.6)}

dır. Burada P ler polinomlar ve _ij d=min

(

{

k∈

{

1,2,...,m

}

:k_k =0

} {

∪ m+1

}

)

dır [15].

Önerme 3.2.5: _γ:I→IEn _{yay parametresiyle parametrelendirilmiş bir eğri olsun. Bu}

taktirde m∈

{

1.,2,...,n−1

}

ise k₁,...,k_m eğriliklerinin sabit olması için gerek ve yeter şart _{γ ′′, γ ′′′,..., γ}(m+1) _{lerin sabit olmasıdır [15].}

Öklit uzayında birim hızlı ve 2k-mertebeli bir W-eğrisi

∑

= µ + µ + = γ k 1 i i i i i 0 (a cos s b sin s) a ) s ( (3.7)

∑

= µ + µ + + = γ k 1 i i i i i 0 0 b s (a cos s b sin s) a ) s ( (3.8)

biçiminde parametrelendirilir. Burada a₀,b₀,a₁,...,a_k,b₁,...,b_k lar Öklit uzayında sabit vektörler ve µ1 <µ2 <...<µk lar pozitif reel sayılardır [21].

Bir W-eğrisinin kapalı olması için gerek ve yeter şart mertebesinin çift ve µ lerin reel _i

sayıların rasyonel çarpımları olmasıdır. Bununla beraber Öklit uzayındaki metrikle,

mertebesi 2k olan _{IE daki} 2k _{2π uzunluğundaki birim hızlı kapalı bir W-eğrisi r}

+ ∈ − − = γ ) k IR r s t sin t 1 r s t cos t 1 ,..., r s t sin t 1 r s t cos t 1 ( k r ) s ( k k k k 1 1 1 1 (3.9)

biçimindedir. Burada t₁,t₂,...,t_k pozitif tamsayılardır [11].

n 2

IE nin bir alt kümesi olan ve

) u sin r , u cos r ,..., u sin r , u cos r , u sin r , u cos r ( ) u ,..., u , u ( x _{1 2 n} = _{1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n} (3.10)

şeklinde parametrelendirilmiş yüzeye _{IE de düz tor denir. Burada} 2n _{u IR}

i∈ dir.

Benzer şekilde, _IE2n+1 _{nin bir alt kümesi olan ve}

) a , u sin r , u cos r ,..., u sin r , u cos r , u sin r , u cos r ( ) u ,..., u , u ( x _{1 2 n} = _{1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n} (3.11)

şeklinde parametrelendirilmiş yüzeye _IE2n+1 _{de düz tor denir. Burada u IR}

i∈ ve a reel

bir sabittir.

) t m ,..., t m , t m ( x ) t ( = _{1 2 n} β (3.12)

tipinde tüm eğriler sabit eğriliklere sahiptir, yani W-eğrisidir [35].

Önerme 3.2.6: _β∈IEm_{bir W-eğrisidir⇔}

i) m=2n koşulunda, düz tor üzerinde burulmuş geodezik, ya da

ii) m=2n+1 koşulunda, düz tor üzerinde burulmuş geodezik ile parametrenin bir lineer

fonksiyonu ile çarpımıdır [31].

Örnek 3.2.7: _β:I→IE4 _{Frenet eğrisi}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = β cos(m s) m r ), s m sin( m r ), s m cos( m r ), s m sin( m r r r 1 ) s ( ₂ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 (3.13)

şeklinde parametrelendirilsin. O zaman β eğrisi bir küresel W-eğrisidir. Burada

) r r ( m m m r m r 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 + = +

dır [31]. Bu eğrinin x₄ = a izdüşümü Şekil 3.1 de verilmiştir. 0

Örnek 3.2.8: _{IE te bir} 5 _{γ eğrisi}

t sin B t cos A ) t ( _{i i} i = + γ , i =1,2,3,4,5 (3.14)

şeklinde tanımlansın. Burada A , _i B sabitleri _i

∑

A2 = 1

i ,

∑

B = 1

2

i ,

∑

AiBi = 0 ,

Örnek 3.2.9: _{IE te bir γ eğrisi} 5 i i i i i(t)=A cost+B sint+Ct+D γ , i=1,2,3,4,5 (3.15)

şeklinde tanımlansın. Burada A , _i B ve _i C sabitleri _i

∑

2 = 2 i a A ,

∑

2 = 2 i a B , C2 1 a2 0 i = − >

∑

∑

A_iB_i = 0 ,

∑

A_iC_i = 0,

∑

B_iC_i = 0

biçiminde verildiğinde γ 3-mertebeli bir W-eğrisi (helis) dir [7].

Örnek 3.2.10: (_{S te Helisler)} 3 _{S , 4-boyutlu Öklit uzayı} 3 _{IE te gömülmüş bir birim 3-}4

küre olsun. _S3 _⊂IE4 _{te model helis s yay parametresiyle}

(

cos cos(as),cos sin(as),sin cos(bs),sin sin(bs)

)

) s ( = φ φ φ φ γ (3.16) şeklinde verilir ve 1 sin b cos a2 2_φ+ 2 2_φ= dır. γ eğrisi, + 2 = 2φ 2 2 1 x cos x , + 2 = 2φ 4 2 3 x sin

x düz tor yüzeyinde yatar.

γ eğrisinin eğriliği ve torsiyonu

) b 1 )( 1 a ( 2 _{− −} 2 = κ , τ=ab

dır. Böylece γ , _S3 _⊂IE4 _{te W-eğrisidir [38]. Bu eğrinin x 0}

4 = a izdüşümü Şekil 3.2

Şekil 3.1: Küresel W-eğrisi Şekil 3.2: Model helis

3.3. TC-Eğrileri n IE IR I : ⊂ →

γ birim hızlı bir eğri olsun. γ eğrisinin Frenet çatısı E₁,E₂,...,E_n ve

eğrilikleri de k₁,...,k_n−1 ile tanımlandığında

) s ( E ) s ( ₁ ' ₌ γ (3.17) ) s ( E ) s ( k ) s ( _{1 2} '' ₌ γ (3.18) ) s ( E ) s ( k ) s ( k ) s ( E ) s ( k ) s ( E ) s ( k ) s ( ' _{2 1 2 3} 1 1 2 1 ''' _{=− + +} γ (3.19) ) s ( E ) s ( k ) s ( k ) s ( k E )) s ( k ) s ( k ) s ( k ) s ( k 2 ( ) s ( E )) s ( k ) s ( k ) s ( k ) s ( k ( ) s ( E ) s ( k ) s ( k 3 ) s ( 4 3 2 1 3 ' 2 1 2 ' 1 2 2 2 1 '' 1 3 1 1 ' 1 1 ) iv ( + + + − + − + − = γ (3.20) elde edilir.

Tanım 3.3.1: _{γ:I⊂ IR→IE}n _{bir regüler eğri olsun. Eğer γ eğrisinin dördüncü türevi}

) s ( ) iv (

γ , birinci türevi _γ'(s) _{ye dik ise, γ eğrisine IE nin bir teğetsel kübik eğrisi (TC-}n

eğrisi) denir.

) s ( k ) s ( k 3 ) s ( ), s ( 0 ' 1 1 ' ) iv ( _{γ >=−} γ =< (3.21) şeklindedir.

(3.21) eşitliği göz önüne alınırsa yay uzunluğu parametrizasyonuyla verilen bir γ

eğrisinin TC-eğrisi olması için gerek ve yeter şart eğrinin sabit k eğriliğine sahip ₁

olmasıdır [34].

Düzlemde sadece çember ve düz doğru TC-eğrisidir. Tüm W-eğrileri birer TC-eğrisidir.

3-boyutlu Öklit uzayı _{IE de sabit} 3 1

k eğrilikli eğrilerin karakterizasyonu ilk olarak E. Salkowski tarafından verilmiştir [37].

Bu eğrilerin parametrik gösterimi

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{− +} − + + + + − + − = sint 2 1 t ) n 2 1 sin( ) n 2 1 ( 4 n 1 t ) n 2 1 sin( ) n 2 1 ( 4 n 1 m 1 1 ) t ( x 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{− +} − + + + + − + − = cost 2 1 t ) n 2 1 cos( ) n 2 1 ( 4 n 1 t ) n 2 1 cos( ) n 2 1 ( 4 n 1 m 1 1 ) t ( y 2 (3.22) nt 2 cos m 1 m 4 1 ) t ( z 2 + = biçimindedir. Burada ; m IR/

{ }

0 2 1

n≠ ∈ dır. m= ve 1 n= değerleri için TC-eğrisi 2

Şekil 3.3: m=1 ve n=2 değerleri için TC-eğrisi TC-eğrisi S )) s ( ), s ( ), s ( ( ) s ( = γ₁ γ₂ γ₃ ⊂ γ

için _γ(iv)(s) _{dördüncü türevi S yüzeyine ortogonal olmalıdır. Bu ise} (iv)_{(s) 0}

3 = γ ve 3 3 1 0 3(s)=a +a s+...+a s γ

fonksiyonunun kübik olduğunu gösterir.

Diğer iki (γ₁(s),γ₂(s)) fonksiyonları S yüzeyinin (γ₁(s),γ₂(s),0) parametrizasyonu ile verilen dayanak eğrisine ortogonaldir.

Böylece bu parametrizasyon dayanak eğrisinin teğetsel kübik parametrizasyonudur.

Örnek 3.3.2: TC-eğrilerinin özel aileleri, x x2 1

2 2

1 + = birim silindiri üzerinde alınabilir

ve bu eğriler,

(

3

)

3 2 2 1 0 a t a t a t a ), b at sin( ), b at cos( ) t ( = + + + + + γ , (3.23)

b) çember parametrizasyonu ile

(

3

)

3 2 2 1 0 a t a t a t a ), D t C sin(ln ), D t C cos(ln ) t ( = + + + + + + + γ (3.24) şeklindedir [34]. (Şekil 3.4). Şekil 3.4: x x2 1 2 2

1 + = birim silindiri üzerinde TC-eğrileri

Tanım 3.3.3: Polinom spirali, eğrilik fonksiyonları, yay-uzunluğu parametresinin polinom fonksiyonları olan bir düzlem eğrisidir. Böylece tüm polinom spiralleri

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = β

∫

∫

s 0 k s 0 k(t)dt, sin(P (t)dt P cos( ) s ( (3.25)

parametrizasyonu ile verilebilir [18]. Burada eğrilik fonksiyonu

) t ( P ) s ( ' k = κ_γ (3.26)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =x(s,v)

∫

cos(P (t)dt,

∫

sin(P (t)dt,v : S s 0 k s 0 k (3.27)

parametrizasyonu ile verilmiş S silindir yüzeyi ele alınsın.

Eğer S nin c(t) dayanak eğrisi bir TC-eğrisi ise o zaman (3.21) ve (3.26) eşitliklerinden

0 ) t ( P ) s ( '' k ' _{= =} κ_γ

elde edilir. Böylece P_k(t)=at+b olur. Buna göre S dik dairesel silindire dönüşür ve S üzerindeki TC-eğrileri Örnek 3.3.2 den

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + = γ

_∫

_∫

3 3 2 2 1 0 s 0 s 0 t a t a t a a , dt ) b at sin( , dt ) b at cos( ) s ( (3.28) formunda olur.

Örnek 3.3.4: b, 0<b<1, yarıçaplı standart dönel tor yüzeyi üzerinde bir (p,q) tor eğrisi (p,q≠ ) 0

(

(1 bcos(qt)),cos(pt),(1 bcos(qt)sin(pt),bsin(qt)

)

) t

( = + +

β (3.29)

şeklinde parametrelendirilmiştir [19]. Eğer _{2 2}

2 q p p b +

= ise β eğrisi bir TC-eğrisi olur

Şekil 3.5: p=1 ve q=2 için tor eğrisi Örnek 3.3.5: Dayanak eğrisi

s 3 h cos ) s ( h =

hipersikloidi olan silindir yüzeyi üzerinde

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − + = γ 3 3 1 0 a s ... a s a s sin s 3 h sin 3 s cos s 3 h cos s cos s 3 h sin 3 s sin s 3 h cos ) s ( (3.30)

3.4. Sonlu Tip Eğriler ) s ( f

f = , r2π periyotlu periyodik bir fonksiyon olmak üzere )f(s nin Fourier serisine

açılımı ... r s 2 sin b r s sin b ... r s 2 cos a r s cos a 2 a ) s ( f = 0 + 1 + 2 + + 1 + 2 + (3.31) biçimindedir. Burada a ve _k b , _k

∫

π π − π = r r k _r ds, ks cos ) s ( f r 1 a k=0,1,2,... (3.32)

∫

π π − π = r r k ds, r ks sin ) s ( f r 1 b k=1,2,... (3.33)

ile verilen Fourier sabitleridir.

n

IE de 2π yay uzunluklu kapalı bir eğri γ olsun. Bu taktirde r _x:γ→IEn _{bir izometrik}

daldırma ise x in yer vektörünün j-inci türevi

j j ) j ( ds x d x =

dır. Böylece x in Laplace operatörü

2 2 ds d − = ∆ olduğundan , x ) 1 ( H j (2j 2) j _{= −} + ∆ j=0,1,2,... dır.

Eğer x sonlu tipten ise, x koordinat fonksiyonları aşağıdaki sabit katsayılı adi _i diferensiyel denklemi sistemini sağlar;

0 x c x c ... x c x (2) i k ) 4 ( i 1 k ) k 2 ( i 1 ) 2 k 2 ( i + + + + − + = i=1,2,...,m.

Burada k≥ tamsayılar ve 1 c1,...,ck lar sabitlerdir.

i

x çözümleri 2π periyotlu periyodik fonksiyonlar olduğundan her bir r x aşağıdaki i

periyodik çözümlerin sonlu bir lineer kombinasyonudur;

Z m , n , r s m sin , r s n cos , 1 i i _{⎟ i i∈} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

bu sebeple her bir x koordinat fonksiyonu _i

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = A A q p t A A i i _r ts sin ) t ( b r ts cos ) t ( a c x (3.34)

biçimindedir. Burada c_i, a_A(t), b_A(t) (A=1,...,n) uygun sabitler ve p_A ,q_A

tamsayıdır. Böylece her bir x koordinat fonksiyonu sonlu Fourier toplamına sahiptir. _i

Benzer şekilde her bir x_i koordinat fonksiyonu sonlu toplamlı Fourier açılımına sahipse

x daldırması sonlu tiptendir [11]. Böylece aşağıdaki teorem elde edilir.

Teorem 3.4.1: γ , _{IE de} n _{2π yay uzunluklu kapalı bir eğri olsun. Bu taktirde r}

n

IE :

∑

∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = γ 1 t t t 0 r ts sin b r ts cos a a ) s ( (3.35)

eşitliğinin toplam kısmında sadece sonlu sayıda sıfır olmayan terim olmalıdır [10]. Böylece Teorem 3.4.1 den aşağıdaki sonuç elde edilir.

Önerme 3.4.2: _{IE deki her kapalı k-tipindeki} n _{γ eğrisi}

(

)

∑

= λ + λ + = γ k 1 i t i t i 0 a cos s b sin s a ) s ( i i (3.36)

formunda yazılabilir. Burada

{

t₁,...,t_k

}

sıralı indisler ve a0,a1,...,ak , b1,...,bk lar aynı

anda sıfır olmayacak şekilde _{IE de vektörlerdir. Üstelik, eğer} n

k

t

q= , γ eğrisinin en üst

sınırı ise o zaman a_q = b_q ≠0 dır [12].

Önerme 3.4.3: _{IE deki her null k-tipindeki bir} n _{γ eğrisi}

(

)

∑

= λ + λ + + = γ k 1 i t i t i 0 0 b s a cos s b sin s a ) s ( i i (3.37)

formunda yazılabilir. Burada

{

t₁,...,t_k

}

sıralı indisler ve a₀,b₀,a₁,...,a_k,b₁,...,b_k lar aynı

anda sıfır olmayacak ve b₀ ≠ olacak şekilde 0 _{IE de vektörlerdir. Üstelik, eğer} n

k

t

q= ,

γ eğrisinin en üst sınırı ise o zaman a_q = b_q ≠0 dır [12].

Önerme 3.4.4: 1) _{IE nin her k-tipindeki eğrisi,} n _{IE nin afin 2k alt uzayında yatar [12].} n

Örnek 3.4.5: γ eğrisi 3-tipinde bir eğri olsun ve ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ + θ + + θ + − = γ ) 2 r s p cos( ) uv p p ( p 2 ), r s p sin( v ) r s p sin( u ), r s p cos( v ) r s p cos( u ) s ( 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 (3.38)

parametrizasyonuyla verilsin. Burada p₁ <p₂ <p₃, 2p₂ =p₁+p₃, r=p₃u+p₁v, 0 u> , v> dır. O zaman 0 γ , 2 2 3 1 2 2 2 2 _{z (u v)} p p p y x + + = +

elipsoidi üzerinde yatan 3-tipinde bir eğri olur. Teorem 3.4.6: 2-tipinde bir eğri

1) kapalı vida (helis) eğrisidir,

2) _{IE te} 3 _{( IR )} 0 + ∈ ε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ε − + ε − ε + ε = γ_ε sins sin3s 12 , s 3 cos s cos 12 , s sin 36 12 ) s ( 2 2 2 (3.39)

1-parametreli eğri ailesinin bir eğrisine eşittir, 3) _{IE te} 4 ) s 3 sin s sin ) ( 12 1 s cos 6 , s 3 cos s sin 6 s cos ) ( 12 1 , s sin s cos , s sin ( ) s ( 2 2 2 2 2 2 , , , , + ε − δ − ϕ + δϕ + δϕ − ε − δ − ϕ δ + ϕ ε α = γϕδε ϕδε (3.40)

3-parametreli eğri ailesinin bir eğrisine eşittir. Burada

(

)

2 1 2 2 2 2 2 2 , , 4 ) 36 ( 12 ε ϕ − + ε + δ + ϕ = α_ϕδε + ∈ ε δ ϕ, , IR0 dır [15].

Teorem 3.4.7: _S2 _⊂IE3_{(2-boyutlu küre) üzerindeki sonlu tipten her kapalı uzay eğrisi}

1-tipinde olup çemberdir [15].

Teorem 3.4.8: _{γ:I⊂IR→IE}n _{kapalı k-tipinden bir eğri olsun. O zaman γ eğrisinin}

TC-eğrisi olması için gerek ve yeter şart a_i = b_i ve <a_i,b_i >=0 olmasıdır.

İspat: _γ⊂IRn _{kapalı k-tipinden bir eğri olsun. Böylece (3.35) denkleminden}

(

)

∑

= λ λ + λ λ − = γ k 1 i t t i t t i '_{(s) a sin s b cos s} i i i i , (3.41)

(

)

∑

= λ λ − λ λ − = γ k 1 i t t 2 i t t 2 i ''_{(s) a cos s b sin s} i i i i ,

(

)

∑

= λ λ − λ λ = γ k 1 i t t 3 i t t 3 i '''_{(s) a sin s b cos s} i i i i , ve

(

)

∑

= λ λ + λ λ = γ k 1 i t t 4 i t t 4 i ) iv ( _{(s) a cos s b sin s} i i i i , (3.42)

elde edilir. Ayrıca (3.40) ve (3.41) kullanılırsa

(

) (

)

(

λ λ + λ λ

)

(

− λ λ + λ λ

)

> < = > λ λ + λ λ − λ λ + λ λ < = > γ γ <

∑∑

∑

∑

= = = = s cos b s sin a , s sin b s cos a s cos b s sin a , s sin b s cos a , j j j j i i i i i i i i i i i i t t j t t j k 1 i k 1 j t t 4 i t t 4 i k 1 i t t i t t i k 1 i t t 4 i t t 4 i ' ) iv (

(

λ + λ

)

(

− λ + λ

)

> < λ λ =

∑∑

= = s cos b s sin a , s sin b s cos a j j i i j i j t j t k 1 i k 1 j t i t i t t 4

∑∑

= = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ λ > < + λ λ > − < + λ λ > < + λ λ > − < λ λ = k 1 i k 1 j i j t t i j t t t t j i t t j i t t 4 ) s cos( ) s sin( b , b ) s sin( ) s sin( a , b ) s cos( ) s cos( b , a ) s sin( ) s cos( a , a j i j i j i j i j i dır. Eğer i= ise j ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ > < λ + − λ λ >= γ γ <

∑

= t i i 2 i 2 i t k 1 i 5 t ' ) iv ( _{(b a cos2 s a ,b} 2 s 2 sin , i i i

bulunur. Ayrıca _<γ(iv),_γ' _>=0 _{göz önüne alınırsa}

i i b

Teorem 3.4.9: _{γ:I⊂IR→IE}n _{eğrisi null k-tipinde bir eğri olsun. Bu taktirde γ}

eğrisinin TC-eğrisi olması için gerek ve yeter şart a_i = b_i , <a_i,b_i >=0 ve

0 b , b a_i+ _{i 0} >= < olmasıdır.

İspat: _γ⊂IEn _{null k-tipinde bir eğri olduğundan (3.36) denkleminden}

(

)

∑

= λ λ + λ λ − + = γ k 1 i t t i t t i 0 '_{(s) b a sin s b cos s} i i i i , (3.43)

(

)

∑

= λ λ − λ λ − = γ k 1 i t t 2 i t t 2 i ''_{(s) a cos s b sin s} i i i i ,

(

)

∑

= λ λ − λ λ = γ k 1 i t t 3 i t t 3 i '''_{(s) a sin s b cos s} i i i i , ve

(

)

∑

= λ λ + λ λ = γ k 1 i t t 4 i t t 4 i ) iv ( _{(s) a cos s b sin s} i i i i , (3.44)

elde edilir. Bununla birlikte (3.42) ve (3.43) kullanılırsa

(

)

(

)

(

)

(

λ λ + λ λ

) (

− λ λ + λ λ

)

> < + + > λ λ + λ λ < = > λ λ + λ λ − + λ λ + λ λ >=< γ γ <

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = k 1 i t t i t t i k 1 i t t 4 i t t 4 i 0 k 1 i t t 4 i t t 4 i k 1 i t t i t t i 0 k 1 i t t 4 i t t 4 i ' ) iv ( s cos b s sin a , s sin b s cos a b , s sin b s cos a s cos b s sin a b , s sin b s cos a , i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

(

)

(

λ + λ

)

(

− λ + λ

)

> < λ λ + > λ + λ λ =

∑∑

∑

= = = s cos b s sin a , s sin b s cos a b , s sin b s cos a j j i i j i i i i t j t j k 1 i k 1 j t i t i t t 4 0 k 1 i t i t i t 4

{

}

∑∑

∑

= = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ λ > < + λ λ > − < + λ λ > < + λ λ > − < λ λ + > < λ + > < λ λ = k 1 i k 1 j i j t t i j t t t t j i t t j i t t 4 k 1 i 0 i t 0 i t t 4 ) s cos( ) s sin( b , b ) s sin( ) s sin( a , b ) s cos( ) s cos( b , a ) s sin( ) s cos( a , a b , b s sin b , a s cos j i j i j i j i j i i i i dır. Eğer i= ise j

{

}

∑

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ > < λ + − λ λ + + > < λ + > < λ λ >= γ γ < k 1 i _{t i i} 2 i 2 i t 5 t 0 i t 0 i t 4 t ' ) iv ( b , a s 2 cos a b ( 2 s 2 sin b , b s sin b , a s cos , i i i i i i

bulunur. Ayrıca 0_<γ(iv),_γ' _{>= göz önüne alınırsa}

i i b a = , <a_i,b_i >=0 ve 0 b , b ai+ i 0 >= < elde edilir. 3.5. Genel Helisler

Tanım 3.5.1: _{γ:I⊂ IR→IE}n _{d-mertebeli birim hızlı regüler bir eğri olsun. Eğer γ}

eğrisinin teğet vektörü, _{IE de verilen bir sabit} n

1

v vektörü ile sabit açı yapıyorsa γ

eğrisine genel helis denir [32].

Tanım 3.5.2: _{γ:I⊂ IR→IE}n _{d-mertebeli birim hızlı regüler bir eğri olsun. Böylece,}

IE I : H_j → ; 22≤ j≤d− , 2 1 1 k k H = ,

{

}

1 j j 2 j 1 j v j k 1 k H H H 1 + − − + ∇ = (3.45)

biçiminde tanımlanan fonksiyonlara γ eğrisinin harmonik eğrilikleri denir. Burada

1 d 1,...,k

k ₋ Frenet eğrilikleri olup sabit olmaları gerekmez [33].

Tanım 3.5.3: Eğer d-mertebeli bir Frenet eğrisi, herhangi bir c sabiti için

∑

− = = 2 d 1 i 2 i c H , (3.46)

Böylece (3.45) ve (3.46) eşitliklerini kullanarak aşağıdaki sonuç elde edilir.

Önerme 3.5.4: _{γ:I⊂IR→IE}2n+1 _{r-mertebeli, birim hızlı bir regüler eğri olsun. Eğer γ}

sabit harmonik eğriliklere sahip ise

, n r 1 ; k k ... k k k k H , n r 1 , 0 H r 2 1 r 2 4 3 2 1 1 r 2 r 2 ≤ ≤ ⋅ ⋅ ⋅ = ≤ ≤ = − − (3.47) dır.

Tanım 3.5.5: γ , _IE2n+1 _{de gömülmüş bir eğri ve eğrilikleri}

n 2 1 n 2 1,...,k ,k k ₋ olsun. , k ... k k a k k a , a k k a , a k k a , k ... k k a 1 n 2 3 1 1 n n 2 1 n 2 k 1 j j 2 1 j 2 j 0 2 1 1 n 2 4 2 0 − − − − − = = = = = M M (3.48)

tanımlansın. _IE2n+1 _{de Darboux vektörü}

n 2 n 2 1 0t a v ... a v a ) s ( d ~ _{= + + +} (3.49)

şeklinde tanımlanır. Burada t_=γ'(s) _{dir [40].}

Önerme 3.5.6: d~(s) nin türevi

n 2 n 2 1 0 t a v ... a v a ) s ( d ~_{′ = ′ + ′ + + ′ (3.50)} dır [40].

Tanım 3.5.7: (Darboux köşe): Eğer d~(s) Darboux vektörünün türevi bir γ(s0) noktasında sıfır oluyorsa bu γ(s₀) noktasına Darboux köşesi denir [40].

Teorem 3.5.8: γ , _IE2n+1 _{de gömülmüş bir eğri ve eğrilikleri}

n 2 1 n 2 1,...,k ,k k ₋ olsun. γ

eğrisi, γ(s₀) noktasında Darboux köşeye sahiptir ancak ve ancak

0 k k ,..., 0 k k , 0 k k n 2 1 n 2 4 3 2 1 ₌ ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ , (3.51) dır [40].

Önerme 3.5.4 ve Teorem 3.5.8 den aşağıdaki önerme verilebilir.

Önerme 3.5.9: _{γ:I⊂IR→IE}2n+1 _{2n-mertebeli, birim hızlı bir regüler eğri olsun. Eğer}

) s ( ₀

γ noktasında H harmonik eğrilikleri sabit ise bu noktada _i γ eğrisi, Darboux köşeye

sahiptir.

İspat: Eğer γ(s0) noktasında H harmonik eğrilikleri sabit ise i

r 2 1 r 2 4 3 2 1 k k , ... , k k , k k ₋

oranları sabittir. Bu oranların, sırasıyla, türevleri alınırsa

0 k k ,..., 0 k k , 0 k k n 2 1 n 2 4 3 2 1 ₌ ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ , elde edilir.

Sonuç 3.5.10: Eğer _{γ:I⊂ IR →IE}2n+1 _{eğrisi (s )} 0

γ noktasında Darboux köşeye sahip

İspat: Eğer _{γ:I⊂ IR →IE}2n+1 _{eğrisi (s )} 0

γ noktasında Darboux köşeye sahip ise

n r 1 , sbt H n r 1 , 0 H 1 r 2 r 2 ≤ ≤ = ≤ ≤ = −

dır. Tanım 3.5.3 gereği, γ eğrisi, (2n-1)-mertebeli genel helistir.

3.6. CCR-Eğrileri

Tanım 3.6.1: _{γ=γ(s):I→IE}m _{eğrisinin eğrilikleri}

1 m 1,...,k k ₋ olmak üzere, tüm i 1 i k k+

oranları sabit ise bu eğriye eğrilikleri oranları sabit eğri (CCR-eğrisi) denir [31].

3

IE te genel helisler κ τ

oranının sabit olması ile karakterize edilir. Bu tanımın ışığında

CCR-eğrileri, _{IE teki genel helislerin} 3 _{IE ye bir genelleştirilmesidir. O zaman CCR-}n

eğrileri, genel helislerin bir alt kümesidir.

Örnek 3.6.2: _β:I→IE4 _{Frenet eğrisi}

∫

+ − = β s 0 1(arcsin(2u)du E ) 2 1 , 0 , 2 3 , 0 ( ) s ( , ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤− ∈ 2 1 , 2 1 s (3.52)

şeklinde parametrelendirilsin. O zaman β eğrisi bir küresel CCR-eğrisidir ve eğrilikleri

sabit değildir. Burada

)) t 2 1 sin( ), t 2 1 cos( ), t 2 3 sin( ), t 2 3 (cos( 2 1 ) t ( E₁ = dır [31]. (Şekil 3.6).

Şekil 3.6: Küresel CCR-eğrisi Sonuç 3.6.3: CCR-eğrileri sabit harmonik eğrilikli olup

, n r 1 ; sbt H , n r 1 ; 0 H 1 r 2 r 2 ≤ ≤ = ≤ ≤ = − dır. Teorem 3.6.4: Ax(t) dt

dx = sabit katsayılı birinci dereceden lineer diferensiyel denklem

sistemi olsun. O zaman bu sistemin homogen çözümü

∑

= λ = n 1 i t i iu e i d x (3.53)

şeklindedir. Burada u ler sistemin sabit katsayılar matrisinin özvektörleri, _i λ ler _i

Teorem 3.6.5: _{IE deki tüm CCR-eğrileri sonlu tiptendir.} n

İspat: k(s) pozitif bir fonksiyon olmak üzere =

∫

s 0 du ) u ( k ) s ( g fonksiyonu tanımlansın. ) s (

α yay uzunluğu ile parametrize edilmiş bir eğri ve eğrilikleri a₁,...,a_n−1 ler sabit

olmak üzere,

∫

α = β s 0 1(g(u))du E ) s ( (3.54)

eğrisi ele alınsın. _β&(s)₌E₁α(g(s)) _{ve g(s)=k(s)}

& olduğundan )) s ( g ( E ) s ( E₁β = ₁α

elde edilir. Buradan

) s ( E ). s ( k ) s ( E ) s ( g )) s ( g ( E ) s ( 1 1 1 2 β β β α _{= =} =

β&& & _& &

bulunur. Buna göre a₁E₂α(g(s))k(s)₌k₁β(s)Eβ₂(s) _{ve E (g(s)) E (s)}

2 2 β α _{= alınırsa} ) s ( k a ) s ( k₁β = ₁

elde edilir. Benzer hesaplamalarla i=1,2,…,n-1 için β eğrisinin eğrilikleri

) s ( k a ) s ( kβ_i = _i

şeklinde hesaplanır. O zaman sabit ) s ( k a ) s ( k a k k i 1 i i 1 i ₌ + ₌ β β +

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ) s ( E ) s ( E ) s ( E ) s ( E 0 c 0 0 0 c 0 0 0 c 0 0 0 c 0 1 0 0 0 1 0 ) s ( k ) s ( E ) s ( E ) s ( E ) s ( E n 1 n 2 1 1 n 1 n 2 2 1 n 1 n 2 1 M M K M O M M M M M O M M M K K K & & M M & & (3.55)

şeklinde verilebilir. Böylece

∫

= s 0 1(u)du k ) s ( g

fonksiyonunun ters fonksiyonu için bir parametre değişimi uygulanabilir. Ayrıca k₁(s)

pozitif fonksiyon olduğundan g(s)t= bir parametre değişimidir. Bunun için

) t ( g s₌ −1

ters fonksiyonuna ihtiyaç olur. Böylece t parametresine göre Frenet formülleri

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ ′ − − − − ) t ( E ) t ( E ) t ( E ) t ( E 0 c 0 0 0 c 0 0 0 c 0 0 0 c 0 1 0 0 0 1 0 ) t ( E ) t ( E ) t ( E ) t ( E n 1 n 2 1 1 n 1 n 2 2 n 1 n 2 1 M M K M O M M M M M O M M M K K K M M _(3.56)

Bu sistemin sabit katsayılar matrisi A olsun. Matris ters-simetrik olduğundan özdeğerleri reel değildir. Tek boyutlar için 0 bir özdeğer olur. Çift boyutlar için 0 ın özdeğer olması

sadece 0k_n−1 = durumunda sağlanır. O zaman tüm özdeğerler tek katlıdır (multiplicity

of 1).

Buna göre A matrisinin özdeğerleri λl =al +ibl ≠0 (a,b∈IR,

2 n ,..., 2 , 1 l= ) olmak

üzere, Teorem 3.6.4 den, n=2k için sistemin genel çözümü birinci vektör için

)) u b sin( e u f ) u b cos( e u d ( ) u ( E au _l l l k 1 l l u a l l 1

∑

l l = + = (3.57)

bulunur. Benzer biçimde n=2k+1 için sistemin genel çözümü birinci vektör için

)) u b sin( e u f ) u b cos( e u d ( a ) u ( E au _l l l k 1 l l u a l l 0 1

∑

l l = + + = (3.58)

dır. Burada a₀,u₁,...,u_k lar _{IR de vektörler ve} n l l,f

d keyfi sabitlerdir.

Ayrıca β birim hızlı bir eğri ise, özdeğerlerinin reel kısmı 0 olur. Buna göre (3.57) ve

(3.58) eşitlikleri, sırasıyla, )) u b sin( u f ) u b cos( u d ( ) u ( E _{l l l} k 1 l l l l 1

∑

= + = (3.59) ve )) u b sin( u f ) u b cos( u d ( a ) u ( E _{l l l} k 1 l l l l 0 1

∑

= + + = (3.60)

şeklinde ifade edilebilir. Burada a₀,u₁,...,u_k lar _{IE de vektörler ve} n l l,f

d keyfi

)) u b sin( F ) u b cos( D ( a ) u ( k _{l l} 1 l l l 0

∑

= + + = β (3.61)

bulunur. Benzer şekilde 1n=2k+ için

)) u b sin( F ) u b cos( D ( s b a ) u ( l l k 1 l l l 0 0

∑

= + + + = β (3.62)

elde edilir. Burada _l

l l l u b d F = , _l l l l u b f

D =− sabit olması gerekmeyen vektörlerdir.

Böylece aşağıdaki sonuç elde edilir.

Sonuç 3.6.6: Eğer _{γ=γ(s):I→IE}n _{TC-eğrisi aynı zamanda CCR-eğrisi ise γ eğrisi,}

4. HELİSSEL YÜZEYLER

4.1. Giriş:

Bu bölümde PHG-özelikli yüzeyler, PGNS-özelikli yüzeyler ve 2-PGNS-özelikli yüzeyler incelenmiştir. Bu yüzeyler arasındaki bağıntılar bulunmuştur ve bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Tanım 4.1.1: _γ:I→Mn_{, M de keyfi bir geodezik olsun. Eğer} n _{IE deki} m _{α= γ}

o f eğrisi, d-yinci mertebeden bir eğri ve k₁,...,k_d−₁(≠0),k_d =0 Frenet eğrilikleri sabit ise

m n _IE

M :

f → dönüşümüne d-yinci mertebeden helissel daldırma, _{M ye de} n _{IE nin} m

helissel altmanifoldu denir.

Tanım 4.1.2: Eğer, λ= h(X,X) , p noktasındaki _{M nin birim teğet vektörü X in} n

seçiminden bağımsız ise _x:Mn _→IEm _{izometrik daldırmasına, p noktasında λ}

-izotropiktir denir. Ayrıca λ noktanın seçiminden de bağımsız ise x daldırmasına sabit

izotropiktir denir.

Buna göre _{M yüzeyi p noktasında} n _{λ -izotropiktir ancak ve ancak tüm} n

pM T Z Y, X, ∈ için

∑

A Z=λ2

∑

<X,Y>Z ) Y , X ( h

Ayrıca _{M yüzeyi p noktasında} n _{λ -izotropiktir ancak ve ancak ortonormal vektörler} X,Y ∈T_pM için 0 ) Y , X ( h ), X , X ( h >= < (4.1) dır.

Her bir helissel daldırma λ -izotropiktir [29].

4.2. PHG-Özelikli yüzeyler

Teorem 4.2.1: _Mn _⊂IE5 _{tıkız (kompakt), bağlantılı bir yüzey olsun. M basit} n

geodeziklere sahiptir ⇔ _{M aşağıdaki yüzeylerden biridir:} n

1) _S2_{(r)⊂ IE}3_{, ya da,}

2) _S1_(a)×S1_(b)⊂IE4_{, ya da,}

3) _V2 _⊂IE5 _{Veroneze yüzeyi olup bu yüzey, S}4_(r)⊂IE5 _{de minimaldir [28].}

Böylece aşağıdaki durumlar söz konusudur:

I. durum : _{M nin geodezikleri periyodik değil ise,} n _Mn _=S1_(a)×S1_{(b) dır.}

II. durum : _{M nin geodezikleri periyodik ve rank 2 ise} n _Mn _=S2_{(r)ya da M}n _=V2 _dır.

Tanım 4.2.2: Eğer _p∈Mn _{noktasından geçen M nin her bir geodeziği} n _{IE de bir W-}m

eğrisi (helis) ise _{M ye Noktasal Helissel Geodezikli (PHG-özelikli) bir yüzey adı} n

Teorem 4.2.3: _Mn _{⊂ IE}4 _{tam ve bağlantılı bir yüzey olsun. Bu taktirde M yüzeyi,} n

PHG-özeliklidir⇔ _{M aşağıdaki yüzeylerden biridir;} n

1) _{IE düzlemi,} 2

2) _S2_{(a)⊂ IE}3 _{standart küresi,}

3) _S1_{(a)×IR ⊂IE}3 _{dairesel silindir,}

4)_S1_(a)×S1_{(b)⊂ IE}4 _{standart tor, ya da,}

5) (1 cosks)sin2 ) k 1 , 2 cos ) ks cos 1 ( k 1 , sin ks sin k 1 , cos ks sin k 1 ( ) , s ( x θ = θ θ − θ − θ (4.2)

parametrizasyonu ile verilen Blaschke yüzeyidir [29]. Burada k birinci Frenet eğriliğidir.

Bu yüzeyin k=θ değeri için x₄ = a izdüşümü Şekil 4.1 de ve 0 k=sins değeri için

0

x₂ = a izdüşümü Şekil 4.2 de verilmiştir.

Teorem 4.2.4: _Mn _⊂IE5 _{tıkız ve bağlantılı bir yüzey olsun. M yüzeyi PHG-özelikli} n

bir yüzeydir⇔ _{M aşağıdaki yüzeylerden birisidir:} n

1) _S2_{(a)⊂ IE}3_,

2) _S1_(a)×S1_(b)⊂IE4_,

3) (4.2) parametrizasyonu ile verilen Blaschke yüzeyi,

4) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ − θ − θ − − θ θ = θ 2 2 2 2 2 2 sin ) ks cos 1 ( k b , 2 sin ) ks cos 1 ( k a ), sin k a 2 k )( ks cos 1 ( k 1 , sin ks sin k 1 , cos ks sin k 1 ) , s ( x (4.3)

yüzeyi, (Bu yüzeyin k= değeri için s x₄ =0vex₅ =0 a izdüşümü Şekil 4.3 de

verilmiştir) ya da, 5) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ β β + α α β β + α α θ − β − β − β β β + α α θ − α − α − α = θ sin ) s sin r s sin r ( ), s sin r s sin r )( cos 1 ( r s sin r ), 1 s (cos r ), s sin r s sin r )( cos 1 ( r s sin r ), 1 s (cos r ) , s ( x 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (4.4)

yüzeyidir [39]. Burada a= h(e₁,e₂) , k² 2a²)² -(k² -k² b²= , r₁,r₂,α,β bazı sabitlerdir.

Tanım 4.2.5: _Mn _⊂IEm _{(m≥ ) bağlantılı ve tıkız bir yüzey olsun. Eğer bir 3 p∈M}n

noktasından geçen _{M nin her bir geodeziği} n _{IE de aynı sabit Frenet eğrilikli helis} m

eğrisi ise _{M yüzeyine zayıf PHG-özelikli yüzey adı verilir.} n

Her bir helissel daldırma zayıf PHG-özeliklidir [29].

Teorem 4.2.6: _Mn _⊂IE5 _{tıkız, bağlantılı bir yüzey olsun. M yüzeyi zayıf PHG-}n

özelikli bir yüzeydir⇔ _{M aşağıdaki yüzeylerden birisidir:} n

1) _S2_{(a)⊂ IE}3_,

2) (4.2) Blaschke yüzeyi,

3) _{IE yatan (4.3) yüzeyi (Veroneze yüzeyi), ya da,} 5

4) (4.4) yüzeyidir [29].

Şekil 4.2: k=sins değeri için Blaschke yüzeyi.

Teorem 4.2.7: _Mn _⊂IEm _{(m≥ ) yüzeyi zayıf PHG-özelikli ise bu taktirde 3 M yüzeyi} n n

M

p∈ noktasında izotropiktir [29].

Teorem 4.2.8: _Mn _⊂IEm _{(m≥ ) yüzeyi 3 p∈M}n _{noktasında izotropik ise}

2 2 1 2 2 1 1 2 1 1,e ) h(e ,e ),h(e ,e ) 2h(e ,e ) e ( h =< >+ , (4.5) dır. İspat: n pM

T nin ortonormal bazı

{

e₁,e₂

}

olsun.

, 2 e e Y , 2 e e X 2 1 2 1 − = + = (4.6) vektörleri seçildiğinde

{

X,Y

}

de n pM

T nin ortonormal bir bazıdır. Böylece _{M , p} n

noktasında izotropik olduğundan

> >=< <h(e₁,e₁),h(e₁,e₁) h(X,X),h(X,X) dır. O zaman > + + + + < = > < ) 2 e e , 2 e e ( h ), 2 e e , 2 e e ( h ) e , e ( h ), e , e ( h 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , ve 4<h(e₁,e₁),h(e₁,e₁)>=<h(e₁,e₁),h(e₁,e₁)>+ 2<h(e₁,e₁),h(e₂,e₂)> +4<h(e₁,e₂),h(e₁,e₂)>+<h(e₂,e₂),h(e₂,e₂)> (4.7) +4<h(e₁,e₁),h(e₁,e₂)>+ 4<h(e₂,e₂),h(e₁,e₂)>

0 ) 2 e e , 2 e e ( h ), 2 e e , 2 e e ( h 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1− 2 _>= <

elde edilir. Sonuç olarak >

<h(e₁,e₁),h(e₁,e₁) +2<h(e₁,e₁),h(e₁,e₂)>

-2<h(e2,e2),h(e1,e2)>-<h(e2,e2),h(e2,e2)>=0 (4.8)

bulunur. _{M izotropik olduğundan (4.8) eşitliği} n

>

<h(e₁,e₁),h(e₁,e₁) =<h(e₂,e₂),h(e₂,e₂)> (4.9)

şeklinde yazılır. Böylece (4.9) denklemi (4.7) denkleminde yerine yazılırsa (4.5) denklemi elde edilir.

Teorem 4.2.9: _Mn _⊂IEm _{(m≥ ) bağlantılı ve tıkız bir yüzey olsun. Bu takdirde 3 M} n

zayıf PHG-özeliklidir ⇔ _{M yüzeyi standart küre ya da} n _{IE düzlemidir [29].} 2

İspat: Teorem 4.2.7 den dolayı _{M yüzeyi} n _p∈Mn _{noktasında izotropiktir. O zaman}

(4.6) ve (4.1) denklemlerinden > <h(e₁,e₁),h(e₁,e₁) =<h(e₂,e₂),h(e₂,e₂)> 2 2 2 2 1 1,e ) h(e ,e ) e ( h =

elde edilir. Böylece _p∈Mn _{noktasından geçen γ geodeziği ele alındığında 3 durum söz}

konusudur;

i) γ nın mertebesi 1 olsun. Bu taktirde γ bir doğru olup _{M yüzeyi} n _{IE düzlemi olur.ii)} 2

γ nın mertebesi 2 olsun. Bu taktirde γ geodeziği _p∈Mn _{noktasından geçen aynı}

iii) γ nın mertebesi 3 olsun. γ geodeziğini birim hızlı alalım. Bu taktirde T ) s ( ' ₌ γ ) T , T ( h T T ~ ) s ( _{T T} '' _{=∇ +∇ +} γ

dır. Bununla beraber γ geodezik olduğundan

) T , T ( h ) s ( '' ₌ γ

elde edilir. Böylece

) T , T ( h D T A_{h(T,T) T} ''' _{=− +} γ dır. Ayrıca (∇_Th)(T,T)=D_Th(T,T) olduğundan ) T , T )( h ( T Ah(T,T) T '''_{=− + ∇} γ

bulunur. γ nın mertebesi 3 olduğundan 0_γ!_∧γ'' _∧γ ''' _{≠ olmalıdır. Bu nedenle}

0 )) T , T )( h ( T A ( ) T , T ( h T∧ ∧ − h(T,T) + ∇T ≠

olduğundan teğetsel bileşenler 0 ) T A ( T∧ − _h(T,T) ≠ (4.10)

ve benzer şekilde normal bileşenler h(T,T)∧(∇_Th)(T,T)≠0 dır. Ayrıca _{M yüzeyi} n n

M

p∈ noktasında izotropik olduğundan γ(0)=P₀ , _γ'_{(0)=T0 noktasında}

> =< > =< ⊥ ⊥ 0 0 ) T , T ( h 0 0 0 0 T , T A ) T , T ( h ), T , T ( h 0 0 0 dır. Buradan

⊥ ⊥ ₀ 0 ) T , T ( h T T A 0

0 olduğu görülür. O halde Ah(T0,T0)T0, T a paralel olur. Yani 0

0 T T

Ah(T₀,T₀) 0 ∧ 0 =

olmalıdır. Bu da (4.10) eşitliğiyle çelişki oluşturur. O halde bu durum söz konusu değildir.

Tanım 4.2.10: _p∈Mn _{noktasında M nin 1. normal uzayı} n

{

h(X,Y):X,Y T (M )

}

Sp N n p 1 p = ∈ (4.11) biçiminde tanımlanır [9]. Açıklama: Her e ,e T (Mn) p 2

1 ∈ ortonormal vektörleri için

i) 0h(e₁,e₂)= ise boy N1 1

p = dir,

ii) h(e1,e2)≠ ise 0 boy N 2

1

p ≥ dir.

Sonuç 4.2.11: _M2 _⊂IE3 _{zayıf PHG-özelikli, tıkız ve bağlantılı bir yüzey olsun. Bu}

taktirde γ eğrisi, _{M nin bir geodeziği olmak üzere;} 2

i) boy N1 0

p = ise γ nın mertebesi 1 olup

2

M , _{IE düzlemidir.} 2

ii) boy N1 1

p = ise γ nın mertebesi 2 olup

2

M , _{S küresidir.} 2

Teorem 4.2.12: _Mn _⊂IE4 _{yüzeyi zayıf PHG-özelikli tıkız ve bağlantılı bir yüzey olsun.}

Eğer boyN1 1

p = ise, n