4-SEVİYELİ TAM CEVAPLI SEFKA SİNYALLERİNİN İLİNTİ TABANLI DEMODÜLASYONU

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 3 Sayı: 2 sh. 1-12 Mayıs 2001

4-SEVİYELİ TAM CEVAPLI SEFKA SİNYALLERİNİN İLİNTİ TABANLI DEMODÜLASYONU

(CORRELATION TYPE DEMODULATION OF 4-LEVEL FULL-RESPONSE CPFSK SIGNALS)

Tuncay ERTAŞ* ÖZET/ABSTRACT

4-seviyeli tam cevaplı SEFKA sinyallerinin 8-boyutlu bir sinyal uzayında vektörel temsili Gram-Schmidt dikleştirme yöntemi ile elde edilerek, buna ilşikin ilinti tabanlı demodülatör yapısı oluşturulmuştur. Elde edilen vektörel temsil sonuçları, 4-seviyeli SEFKA’nın çeşitli şartlar altında performansının değerlendirilmesine olanak sağlayacak yazılım benzetimlerinde doğrudan kullanılabileceğinden ayrıca önemlidir.

An 8-D signal space vector representation for 4-level full-response CPFSK signals is derived by using Gram-Schmidt orthogonalisation procedure, and the corresponding correlation type demodulator for the modulation has been constructed. The presented vector representation results are also important in that they can be directly used for the software simulation of 4-level CPFSK, which enables making performance assessments of the modulation under varios conditions.

ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS

SEFKA, Demodülasyon, İlintisel alıcı, Sinyal uzayı

CPFSK, Demodulation, Correlation receiver, Signal space

1. GİRİŞ

Verimli kuvvetlendiricilerin kullanılmasının zorunluluğu ve doğal olarak sınırlı olan radyo spektrumunun insanların ihtiyaçlarına paralel olarak gittikçe artan bir trafik ile kalabalık-laşması, kullanılan modülasyonun sabit zarflı ve spektrum yönünden verimli olmasını arzu edilen bir durum haline getirmiştir. Bunlara ek olarak, uydu haberleşmesi ve günümüzde yaygın olan mobil haberleşme de düşünüldüğünde, kullanılan modülasyonun aynı zamanda güç yönünden de verimli olması ayrıca arzu edilen bir durum veya zorunluluk haline gelmiştir. Bu özelliklere sahip bir modülasyon türü ise Sürekli Evreli Frekans Kaydırmalı Anahtarlama’dır (SEFKA) (Anderson vd., 1986).

Bilindiği gibi sayısal haberleşme sistemlerinde, çapraz ilintiye dayalı demodülasyon yöntemi önemli bir yer tutmaktadır (Haykin, 1994). Bu yöntemde sinyaller sinyal uzayında birer vektör olarak temsil edildiklerinden, demodülasyon alıcıda vektör bileşenlerinin elde edilmesiyle gerçekleştirilir. Sinyallerin vektörel temsilleri modülasyon sistemlerinin hata başarımının benzetim analizinde sıkça kullanılmakla beraber, özellikle tam cevaplı SEFKA sinyalleri için zamanda örnekleme yöntemine göre daha cazip görülmektedir (Anderson vd., 1986). Ancak, SEFKA sinyalleri için vektörel temsilin elde edilmesi, geleneksel evre kaydırmalı anahtarlama (EKA) sinyallerininkinde olduğu kadar kolay değildir. Bununla beraber, literatürde 2-seviyeli tam cevaplı SEFKA sinyalleri için 4-boyutlu bir vektörel temsil Gram-Schmidt dikleştirme yöntemi kullanılarak elde edilmiş ve bu temsil binary SEFKA sinyallerinin çeşitli uygulamalarında kullanılmıştır (Taylor vd., 1979; Bhargava vd., 1981; Anderson, 1981; Xiong vd., 1996; Xiong vd., 1997).

Bu makalede, 4-seviyeli tam cevaplı SEFKA sinyallerinin çapraz ilintiye dayalı demodülasyonu için gerekli vektörel temsil Gram-Schmidt yöntemi kullanılarak elde edilmiş ve buna ilişkin demodulatör/alıcı yapısı verilmiştir.

2. SİSTEM TANIMLARI

Sürekli evreli modülasyonlar ninci sembol aralığında

) ) , ( 2 ( cos 2 ) , ( α = π _c +φ α_n +ϕ₀ s s n _TE f t t t s , nT_s ≤t≤(n+1)T_s (1)

olarak ifade edilirler. Burada E_s gönderilen sembol enerjisi, T_s sembol aralığı, f taşıyıcı _c frekansı, h modülasyon indeksi ve α_n gönderilen M-seviyeli modülasyon sembolüdür, ki bu makalede x_n giriş sembolüne karşılık 1α_n =2x_n −M + değerini almaktadır. Dolayısı ile,

{

0,1,2,...,( −1)

}

∈ M

x_n olduğundan α_n∈{±1,±3,...,±(M −1)}’dir. Eşitlik 1’de ϕ₀ sıfır olarak kabul edilebilecek keyfi bir evre ve φ(t,α_n) ise α_n sembolüne karşılık olarak gönderilen sinyalin zaman ile değişerek bilgiyi taşıyan evresidir ve

∫

_−∞

∑

−∞ = − = t n i i s n h g iT d t α π α τ τ φ( , ) 2 ( ) , nT_s ≤t≤(n+1)T_s (2)

g t( ) nin şekline ve uzunluğuna göre alırlar. Bu makalede g t( ) , 0≤t≤T_s aralığında integrali 0.5 olan dörtgensel bir şekle sahip ve diğer zamanlarda sıfır değer aldığından, kullanılan modülasyonun adı tam cevaplı SEFKA dır. Bu durumda, Eşitlik 1 ve 2 birleştirildiğinde gönderilen sinyal       + + = _n s n c s s n T ht t f T E t s( ,α ) 2 cos 2π α π φ , 0≤t≤T_s (3)

olarak ifade edilebilir. Burada, φ_n ninci sembol aralığının başlangıcındaki birikmiş evredir. Bu makalede f_c >>1/T_s ve n nin bir tam sayı olduğu f_c =n/T_s varsayılacaktır.

3. REFERANS BAZ FONKSİYONLARININ ELDE EDİLMESİ

Sayısal haberleşme sistemlerinde vericiler, sonlu sayıda (M) bir dizi sinyalin bir kümesi olarak tanımlanırlar ve bu kümeyi oluşturan sinyaller ise sinyal uzayında N bileşenli bir vektör olarak temsil edilebilirler (Haykin, 1994). Yani, vericiyi tanımlayan sinyallerin kümesini S ile temsil edersek, S =

{ }

s_i , i=1,....,M ve s_i =

[

A_i1,A_i2,...,A_iN

]

dir. Burada M, vericiyi tanımlayan sinyallerin sayısı olup, bu makalede değeri M=4 dür.

Bilindiği gibi EKA, SEFKA ya göre göreceli olarak daha basit bir modülasyon türü olup

(

π +θ

)

= f t T E t s _c s s _{cos 2} 2 ) ( (4)

şeklinde ifade edilmektedir. Eşitlik 4’te verilen bu sinyal açılarak

(

2π

)

cosθ 2 sin

(

2π

)

sinθ

cos 2

)

(t E T f t E T f t

s = _{s s c} − _{s s c} (5)

şeklinde yazılırsa, herhangi bir sembolü temsilen θ evresi ile gönderilen bir EKA sinyalini temsil etmek için gerekli vektörün boyutunun 2 olduğu, her bir boyuta ilişkin ortonormal baz fonksiyonlarının ise φ₁(t)= 2 T_s cos

(

2πf_ct

)

ve φ₂(t)= 2 T_s sin

(

2πf_ct

)

olduğu kolayca görülmektedir. Böylece, bir EKA sinyali A=

[

cosθ,−sinθ

]

E_s vektörü ile kolayca temsil edilebilip, şekil 1 de gösterildiği gibi çapraz ilinti tabanlı olarak demodüle edilebilmektedir (Haykin, 1994). Görüldüğü gibi, ilinti tabanlı demodülasyon için ortonormal bir baz fonksiyonu takımına ihtiyaç vardır. Ancak, ortonormal baz fonksiyonu takımının 4-seviyeli SEFKA (4-SEFKA) sinyalleri için elde edilmesi, EKA sinyallerininki kadar kolay değildir. Aşağıda, 4-SEFKA sinyalleri için ortonormal bir baz fonksiyonu takımının nasıl elde edileceği anlatılacaktır.

∫

Ts

dt

0 A1 A2 r(t)

₍

₎

2 /T_s cos 2π f t_c Karar Devresi Çıkış bitleri

∫

Ts

dt

0

(

)

2 /T_ssin 2π f t_c

Şekil 1. EKA sinyalleri için demodülatör/alıcı

Eşitlik 3’te temsil edilen s(t)

(

)

[

]

[

(

)

]

{

f h T t f h T t

}

T E t

s( ,α_n)= 2 _{s s} cos(φ_n)cos 2π _c +α_n /2 _s −sin(φ_n)sin 2π _c +α_n /2 _s (6) şeklinde yazılır ve 4-SEFKA için

(

)

[

f h T t

]

T t s₁( )= 2/ _s cos 2π _c + /2 _s (7)

(

)

[

f h T t

]

T t s₂( )= 2/ _ssin2π _c + /2 _s (8)

(

)

[

f h T t

]

T t s₃( )= 2/ _scos 2π _c − /2 _s (9)

(

)

[

f h T t

]

T t s₄( )= 2/ _ssin 2π _c − /2 _s (10)

(

)

[

f h T t

]

T t s₅( )= 2/ _s cos 2π _c +3 /2 _s (11)

(

)

[

f h T t

]

T t s₆( )= 2/ _ssin 2π _c +3 /2 _s (12)

(

)

[

f h T t

]

T t s₇( )= 2/ _scos 2π _c −3 /2 _s (13)

(

)

[

f h T t

]

T t s₈( )= 2/ _ssin 2π _c −3 /2 _s (14)

olarak düzenlenirse, herhangi bir modülasyon sembolü α_n∈{±1,±3} için Eşitlik 3’teki sinyal ) , (t _n s α s i n i i n i is t s t E t s         − =

∑

= − 4 1 2 1 2 ( )cos( ) ( )sin( ) ) ( λ φ λ φ (15)

olarak ifade edilebilir. Burada

) 16 ( ) 3 )( 1 )( 3 ( 1 = αn + αn + αn − − λ ,

16 ) 3 )( 1 )( 3 ( 2 = αn + αn − αn − λ , 48 ) 1 )( 1 )( 3 ( 3 = α + α + α− λ _{n n} , ) 48 ( ) 3 )( 1 )( 1 ( 4 = αn + αn − αn − − λ

dir. Eşitlik 7~15’den görüldüğü gibi, bir sembol aralığında 4 değişik frekanstan birinin bulunması söz konusudur. Dolayısı ile, herhangi bir sembolü sinyal uzayında temsil edebilecek vektörün boyutu 8 olacaktır. Ancak, Eşitlik 7~14’de görülen sinyallerin, s_i(t),

8 ...., , 1 =

i , bazıları kendi aralarında ortonormal olmalarına rağmen tamamı ortonormal bir takım oluşturmamaktadır. Şimdi yapılması gereken, bu sinyalleri ortonormal olmayan bir baz takımı olarak alıp, bunları demodülasyon için gerekli olan ortonormal bir baz takımına çevirmektir. Bunu gerçekleştirmek için, yani ortogonal olmayan Eşitlik 7~14’deki sinyal takımı s_i(t)’ yi ortogonal referans baz takımı Ψ_i(t), i=1,....,8, e dönüştürmek için, Schmidt dikleştirme yöntemi aşağıda açıklandığı şekilde kullanılacaktır. Bu makalede, Gram-Shmidt yöntemi sekiz adet bağımsız sinyalden oluşan ve ortonormal olmayan Eşitlik 7~14’deki sinyal takımını s_i(t), i=1,....,8, ortonormal olan bir sinyal takımı Ψ_i(t),

8 ...., , 1 = i ’e 8 ., . . . . , 1 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 1 1 1 1 ₌         Ψ − Ψ − = Ψ

∫

∑

∑

− = − = i dt t s t s t s t s t s T i j j ij i i j j ij i i (16) şeklinde dönüştürür, ki burada s_ij =

∫

Ts s_i t Ψ_j t dt 0 ( ) ( ) dir.

Eşitlik 7~14’deki sinyal takımının ilk iki sinyali birbirlerine zaten ortonormal olduklarından, yeni baz takımının ilk iki baz fonksiyonu Ψ₁(t) ve Ψ₂(t)

) ( ) ( ₁ 1 t =s t Ψ (17) ) ( ) ( ₂ 2 t =s t Ψ (18)

olarak seçilebilirler. Şimdi geriye kalan, Eşitlik 16’yı i=3,...,8 için uygulamak olacaktır. Eşitlik 16, i=3 için yazıldığında üçüncü referans baz fonksiyonu Ψ₃(t)

2 32 2 31 2 32 1 31 3 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( c c t c t c t s t − − Ψ − Ψ − = Ψ

olarak elde edilecektir. Bu denklemde dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 3 1 31 =

∫

Ψ _T f t _Tht f t _Tht dt s c T s c s s       +       − = 2

∫

cos 2π π cos 2π π 0

( )

h h π π 2 2 sin ≅ dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 3 2 32 =

∫

Ψ dt T ht t f T ht t f T c _s T s c s s       +       − = 2

∫

cos 2π π sin 2π π 0

( )

h h π π 2 2 cos 1− ≅

olarak elde edilir ve ifadelerin kısaltılması için C₁ =sin(2πh) 2πh, C₂ =

[

1−cos(2πh)

]

2πh,

2 2 2 1 2 32 2 31 1 1−c −c = −C −C ve 2 2 2 1 1 1 C C

D = − − olarak yazılırsa, )Ψ₃(t kısaca

(

_{3 1 1 2 2}

)

₁

3(t)= s (t)−C Ψ (t)−C Ψ (t) D

Ψ (19)

şeklinde elde edilir. Dördüncü ortonormal baz fonksiyonu, Eşitlik 16’da i=4 için yazılırsa

2 43 2 42 2 41 3 43 2 42 1 41 4 4 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c t c t c t c t s t − − − Ψ − Ψ − Ψ − = Ψ

olarak bulunur. Aynı şekilde, Ψ₄(t) için gerekli katsayılar da

dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 4 1 41 =

∫

Ψ dt T ht t f T ht t f T c _s T s c s s       +       − = 2

_∫

sin 2π π cos 2π π 0

( )

h h π π 2 2 cos 1− − ≅ dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 4 2 42 =

∫

Ψ _T f t _Tht f t _Tht dt s c T s c s s       +       − = 2

_∫

sin 2π π sin 2π π 0

( )

h h π π 2 2 sin ≅ dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 4 3 43 =

∫

Ψ 1 2 1 2 1 0 sin 2 cos 2 2 D C C C C dt T ht t f T ht t f T c _s T s c s s       − +       −       − =

_∫

π π π π =0

olarak elde edilir ve 1−c₄₁2 −c2₄₂ −c₄₃2 = 1−C₁2 −C₂2 = D₁ olarak kısaltılırsa, Ψ₄(t)

(

_{4 2 1 1 2}

)

₁

4(t)= s (t)+C Ψ (t)−C Ψ (t) D

Ψ (20)

olarak belirlenmiş olur. Aynı basamaklar i=5 için uygulanırsa, beşinci baz fonksiyonu Ψ₅(t)

2 54 2 53 2 52 2 51 4 54 3 53 2 52 1 51 5 5 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c t c t c t c t c t s t − − − − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − = Ψ

olarak bulunur. Gerekli katsayılar dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 5 1 51 =

∫

Ψ ≅C1 dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 5 2 52 =

∫

Ψ ≅−C2 dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 5 3 53 =

∫

Ψ

( )

12 22 1 4 4 sin D C C h h       _{− +} ≅ π π dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 5 4 54 =

∫

Ψ

( )

2 1 2 1 4 4 cos 1 D C C h h       − ₊ − ≅ π π

olarak elde edilip, C₃ =sin(4πh) 4πh, C₄ =

[

1−cos(4πh)

]

4πh,

(

3 ₂2 ₁2

)

1 1 C C C D K = + − ,

(

_{1 2 4}

)

₁ 2 2C C C D K = − , 1−c₅₁2 −c₅₂2 −c₅₃2 −c₅₄2 = 1−C₁2 −C₂2 −K₁2 −K₂2 2 2 2 1 1 2 D K K

D = − − şeklinde düzenlenirse, beşinci ortonormal baz fonksiyonu Ψ₅(t)

(

_{5 1 1 2 2 1 3 2 4}

)

₂

5(t)= s (t)−C Ψ (t)+C Ψ (t)−K Ψ (t)−K Ψ (t) D

Ψ (21)

olarak elde edilir. Eşitlik 16’da i=6 için benzer yol izlenirse, altıncı baz fonksiyonu Ψ₆(t)

2 65 2 64 2 63 2 62 2 61 5 65 4 64 3 63 2 62 1 61 6 6 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c c t c t c t c t c t c t s t − − − − − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − = Ψ

olarak yazılır. Buradan ilgili katsayılar

dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 6 1 61 =

∫

Ψ ≅C2 dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 6 2 62 =

∫

Ψ ≅C1 dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 6 3 63 =

∫

Ψ ≅

{

C4 −2C1C2

}

D1 dt t t s c Ts ( ) ( ) 0 6 4 64 =

∫

Ψ ≅

{

C3 +C₂2 −C₁2

}

D1

∫

Ψ = = Tss t t dt c 0 6 5 65 ( ) ( ) 0

ve 1−c₆₁2 −c₆₂2 −c₆₃2 −c₆₄2 = 1−C₃2 −C₄2 −K₁2 −K₂2 = D₂ olarak elde edilirlerse, Ψ₆(t)

(

_{6 2 1 1 2 2 3 1 4}

)

₂

6(t)= s (t)−C Ψ (t)−C Ψ (t)+K Ψ (t)−K Ψ (t) D

Ψ (22)

olarak bulunur. Yedinci baz fonksiyonu Ψ₇(t), i=7 için Eşitlik 16’dan

2 76 2 75 2 74 2 73 2 72 2 71 6 76 5 75 4 74 3 73 2 72 1 71 7 7 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c c c t c t c t c t c t c t c t s t − − − − − − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − = Ψ

olarak yazılır, ilgili katsayılar

∫

Ψ = Tss t t dt c 0 7 1 71 ( ) ( ) ≅C3

∫

Ψ = Tss t t dt c 0 7 2 72 ( ) ( ) ≅C4

∫

Ψ = Ts s t t dt c 0 7 3 73 ( ) ( ) ≅

{

C1−C1C3 −C2C4

}

D1

∫

Ψ = Tss t t dt c 0 7 4 74 ( ) ( ) ≅

{

C2 +C2C3 −C1C4

}

D1

∫

Ψ = Ts s t t dt c 0 7 5 75 ( ) ( ) sin(₆6_hh) C1C3 C2C4 K1K3 K2K4 D2       _{− + − −} ≅ π π

∫

Ψ = Tss t t dt c 0 7 6 76 ( ) ( ) 1 cos(_{6 h}6 h) C2C3 C1C4 K2K3 K1K4 D2       − _{− − + −} ≅ π π

olarak bulunur ve aşağıdaki kısaltmalar h h C₅ =sin(6π ) 6π , C₆ =

[

1−cos(6πh)

]

6πh

(

_{1 1 3 2 4}

)

₁ 3 C C C C C D K = − − , K₄ =

(

C₂ +C₂C₃ −C₁C₄

)

D₁ ,

(

_{5 1 3 2 4 1 3 2 4}

)

₂ 5 C C C C C K K K K D K = − + − − ,

(

_{6 2 3 1 4 2 3 1 4}

)

₂ 6 C C C C C K K K K D K = − − + − , 2 6 2 5 2 4 2 3 2 4 2 3 3 1 C C K K K K

(

_{7 3 1 4 2 3 3 4 4 5 5 6 6}

)

₃

7(t)= s (t)−C Ψ (t)−C Ψ (t)−K Ψ (t)−K Ψ (t)−K Ψ −K Ψ D

Ψ (23)

olarak elde edilir. Son olarak, i=8 için Eşitlik 16’dan sekizinci baz fonksiyonu Ψ₈(t)

2 87 2 86 2 85 2 84 2 83 2 82 2 81 7 87 6 86 5 85 4 84 3 83 2 82 1 81 8 8 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c c c c t c t c t c t c t c t c t c t s t − − − − − − − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − Ψ − = Ψ

olarak bulunur. Aynı şekilde, gerekli katsayılar

∫

Ψ = Ts s t t dt c 0 8 1 81 ( ) ( ) ≅−C4

∫

Ψ = Ts s t t dt c 0 8 2 82 ( ) ( ) ≅C3

∫

Ψ = Tss t t dt c 0 8 3 83 ( ) ( ) ≅−K4

∫

Ψ = Ts s t t dt c 0 8 4 84 ( ) ( ) ≅K3

∫

Ψ = Tss t t dt c 0 8 5 85 ( ) ( ) ≅−K6

∫

Ψ = Ts s t t dt c 0 8 6 86 ( ) ( ) ≅K5 0 ) ( ) ( 0 8 7 87 =

∫

Tss t Ψ t dt = c

olarak bulunup 1−c₈₁2 −c₈₂2 −c₈₃2 −c₈₄2 −c₈₅2 −c₈₆2 −c₈₇2 = D₃ yazılırsa, son referans baz fonksiyonu Ψ₈(t) de

(

8 4 1 3 2 4 3 3 4 6 5 5 6

)

3

8(t)= s (t)+C Ψ (t)−C Ψ (t)+K Ψ (t)−K Ψ (t)+K Ψ −K Ψ D

Ψ (24)

4. DEMODÜLASYON

Yeni referans ortonormal baz fonksiyonları elde edildiğine göre, Eşitlik 17~24’den s_i(t), 8

...., , 1 =

i , çekilip Eşitlik 15’de sırasıyla yerine yazılırsa, s(t) sinyali

s i i i t E A t s         Ψ =

∑

= 8 1 ) ( ) ( (25)

şeklinde ortonormal referans baz fonksiyonlarının, Ψ_i(t), i=1,....,8, doğrusal bir derlemesi olarak yazılabilir, ki bu da bize bir sinyal aralığında 4-SEFKA ile üretilebilecek herhangi bir s(t) sinyalinin A , _i i=1,....,8, bileşenlerinden oluşan A=

[

A₁,A₂,...,A₈

]

E_s vektörü ile temsil edilebileceğini gösterir. Burada, Eşitlik 25’deki A katsayıları _i

) sin( ] ) [( ) cos( ] ) ( [ _{1 2 3 1 4 3 2 3 2 4 4} 1 C C n C C n A = λ + λ +λ +λ φ + λ −λ +λ φ (26) ) sin( ] ) ( [ ) cos( ] ) [( _{2 3 2 4 4 1 2 3 1 4 3} 2 C C n C C n A = λ −λ +λ φ − λ + λ +λ +λ φ (27) ) sin( ] [ ) cos( ] [ _{2 1 3 1 4 3 3 2 4 4} 3 D K K n K K n A = λ +λ +λ φ + λ +λ φ (28) ) sin( ] [ ) cos( ] [ _{3 2 4 4 2 1 3 1 4 3} 4 K K n D K K n A = λ +λ φ − λ +λ +λ φ (29) ) sin( ) cos( ] [ _{3 2 4 5 4 6} 5 D K n K n A = λ +λ φ +λ φ (30) ) sin( ] [ ) cos( _{3 2 4 5} 6 4 6 K n D K n A =λ φ − λ +λ φ (31) ) cos( 3 4 7 D n A =λ φ (32) ) sin( 3 4 8 D n A =−λ φ (33)

olarak bulunurlar. Eşitlik 26~33 kullanıldığında, herhangi bir A vektörü için, beklenildiği gibi

1 8 1 2₌

∑

= i i

A olduğu ve dolayısı ile Eşitlik 25’de 4-SEFKA sinyalinin gönderilen her sembol için

enerjisinin sabit ve E olduğu kolayca görülebilir. Şimdi, şekil 1 deki yöntemle, Eşitlik 7~14 _s ve Eşitlik 17~24 kullanılarak 4-SEFKA sinyalleri Şekil 2’de gösterildiği gibi demodüle edilebilirler.

Esasında, sembolleri tanımlayan vektör bileşenleri A , _i i=1,....,8, üzerinde sembol bazında karar verilerek gönderilen bitler elde edilebilirler. Ancak, bu durumda kendisi zaten bir kodlama işlemi gibi de görülebilecek olan SEFKA sinyallerinin sağladığı güç kazancı kaybedilecektir. Bu yüzden, Şekil 2’de görüldüğü gibi elde edilen vektör bileşenlerinden gönderilen bitlerin, Viterbi işlemcisi kullanılarak elde edilmesi SEFKA’nın sağladığı güç kazancından yararlanabilmek için daha uygun olacaktır. Tabi ki, elde edilecek güç verimliliği kullanılan modülasyon indeksine bağlı olarak Viterbi işlemcisinin gönderilen sembollere karar vermek için kullandığı gözlem süresinin uzunluğuna bağlı olacağı açıktır.

5. SONUÇLAR

Bu makalede, 4-SEFKA sinyallerinin ilinti tabanlı demodülasyonu için gerekli ortonormal baz fonksiyonları ile gönderilecek sembolleri temsil eden vektör bileşenlerinin genel ifadeleri elde edilerek, ilgili sinyaller için ilinti tabanlı demodülatör yapısı oluşturulmuştur. Elde edilen vektörel temsil, aynı zamanda 4-SEFKA kullanan çeşitli haberleşme uygulamalarının yazılım benzetimi ile analizinde de doğrudan kullanılabileceği için ayrıca önemlidir.

KAYNAKLAR

Anderson J. B., Aulin T., Sundberg C.-E. (1986): “Digital Phase Modulation”, New York, Plenum Press.

Anderson J. B. (1981): “Simulated Error Performance of Multi-h Phase Codes”, IEEE Trans., IT-27, pp. 357-362.

Bhargava V.R., Haccoun D., Matyas R., Nuspl P.P. (1981): “Digital Communications by Satellite”, New York, John Wiley & Sons.

Haykin S. (1994): “Communication Systems”, New York, John Wiley & Sons.

Taylor D.P., Chan H.C. (1979): “A Simulation Study of Some Bandwidth-efficient Modulation Techniques”, Canada, MacMaster University, CRL Rep. No. 68.

Xiong F., Shivananda V. (1996): “Performance of 1REC-MHPM in the Presence of Adjacent Channel Interference”, IEEE Trans., COM-44, pp. 1635-1639.

Xiong F., Bhatmuley S. (1997): “Performance of MHPM in Rician and Rayleigh Fading Mobile Channels”, IEEE Trans., COM-45, pp. 279-283

r(t) C2 -C1 -C1 C2 -C1 -C2 -C1 2 1 D -K1 -C3 C4 -C4 -C3 1 1 D -K4 K4 2 1 D K6 -K5 -K5 -K6 -C2 0 s T dt

∫

3 1 D 0 s T dt

∫

0 s T dt

∫

0 s T dt

∫

0 s T dt

∫

0 s T dt

∫

0 s T dt

∫

0 s T dt

∫

( ) sin 2 c 3 / A _ πf + πh T t_ ( ) cos 2 c 3 / A _ πf + πh T t_ ( ) sin 2 c / A _ πf −πh T t_ ( ) cos 2 c / A _ πf −πh T t_ ( ) sin 2 c / A _ πf +πh T t_ ( ) cos 2 _c / A _ πf +πh T t_ ( ) cos 2 c 3 / A _ πf − πh T t_ ( ) sin 2 _c 3 / A _ πf −πh T t_ 1 1 D -K1 -K2 K2 -K3 -K3 A5 A6 A7 A8 A1 A2 A3 A4 Çıkış bitleri Viterbi İşlemcisi 2 / _s A = T