İki sipariş seçenekli ve taşıma maliyetli gazete satıcısı probleminde sipariş parti büyüklüğünün belirlenmesi

K SPAR“ SEÇENEKL VE TA“IMA MALYETL GAZETE SATICISI PROBLEMNDE SPAR“ PART BÜYÜKL܇ÜNÜN

BELRLENMES

GZEM SULTAN NEMUTLU

YÜKSEK LSANS TEZ ENDÜSTR MÜHENDSL‡

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

A‡USTOS 2013 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Necip CAMU“CU Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Tahir HANALO‡LU Anabilim Dal Ba³kan

GZEM SULTAN NEMUTLU tarafndan hazrlanan K SPAR“ SEÇENEKL VE TA“IMA MALYETL GAZETE SATICISI PROBLEMNDE SPAR“ PART BÜYÜKL܇ÜNÜN BELRLENMES adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Yrd.Doç.Dr.Berrin AYTAÇ Doç. Dr. Kadir ERTO‡RAL

Tez Dan³man Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Prof. Dr. Serpil EROL

Üye : Yrd.Doç.Dr.Berrin AYTAÇ

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Endüstri Mühendisli§i Tez Dan³man : Yrd.Doç.Dr.Berrin AYTAÇ 2.Tez Dan³man : Doç.Dr.Kadir ERTO‡RAL Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  A§ustos 2013

Gizem Sultan NEMUTLU

K SPAR“ SEÇENEKL VE TA“IMA MALYETL GAZETE SATICISI PROBLEMNDE SPAR“ PART BÜYÜKL܇ÜNÜN

BELRLENMES

ÖZET

Bu çal³mada, tek alc ve tek satcnn bulundu§u, tek periyotluk sistemde; sezonsal ürünlerin sat³nda gerçekle³en rassal talebi kar³lamak için sezon ba³nda verilecek ve risk nötral alcnn beklenen kârn enbüyükleyecek sipari³ miktarnn belirlenmesi problemi ele alnm³tr. Literatürde, Gazete Satcs Problemi kapsamnda ele alnan problemde, gerçekle³en talep sezon ba³nda verilen sipari³ ile kar³lanamad§nda yok satma maliyetine ya da aksi durumda sezon içerisinde satlamayan ürünler için elde kalma maliyetine katlanld§ varsaylmaktadr. Yaplan çal³mada belirtilen maliyetlere ek olarak ta³ma maliyetinin de bek-lenen kâr etkiledi§i göz önünde bulundurulmu³ ve bu maliyet için tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyet yaps kullanlm³tr. Ek olarak, sezon içerisinde kar³lanamayan talebin ertelenerek, sezon sonunda verilecek ikinci bir sipari³ ile kar³lanabilece§i dikkate alnm³tr. kinci sipari³ seçene§inin kârl bulundu§unda kullanld§ ve bu sipari³ için daha yüksek ta³ma maliyetine ve talebi erteleme maliyetini de içeren satn alma maliyetine katlanld§ varsaylm³tr. Bu kapsamda, alcnn beklenen kârn farkl talep da§lmlar ve ikinci sipari³in büyüklü§ü üzerine yaplan farkl varsaymlar altnda enbüyükleyen sipari³ mik-tarn belirlemede kullanlacak algoritmalar geli³tirilmi³ ve çözümlerin parametre de§i³imlerine göre duyarllklar analiz edilmi³tir.

Anahtar Kelimeler: Gazete Satcs Problemi, Ta³ma maliyeti, kinci sipari³ seçene§i.

University : TOBB University of Economics and Technology

Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Industrial Engineering

Supervisor : Asst.Prof.Berrin AYTAÇ

Co-Supervisor : Assoc.Prof.Kadir ERTO‡RAL

Degree Awarded and Date : M.Sc.  AUGUST 2013

Gizem Sultan NEMUTLU

DETERMINING ORDER SIZE IN THE NEWSVENDOR PROBLEM WITH A SECOND ORDER OPTION AND

TRANSPORTATION COSTS

ABSTRACT

In this study, we consider a single period problem, where seasonal products can sold by a supplier to a risk-neutral buyer. The demand exists in the system is stochastic and the objective is to maximize expected prot of the buyer. Since the demand met by order given by the buyer at the beginning of the season and is stochastic, there may be a back-ordering or shortage cost for the dierence between the actual demand and the order quantity. In real world, there may be freight cost aecting the expected prot. For our problem, we consider a truck load freight cost structure. In addition to these, we assumed that there is a second order option at the end of the season for the demand which is not met by the rst order quantity. For the second order, it is assumed that the buyer accepts a higher transportation cost and ordering cost which includes back-ordering cost. Therefore the second order is used only if it is protable. In this manner, some algorithms for dierent cases of the problems are developed in order to maximize the expected prot of the risk-neutral buyer. Besides, a sensitivity analysis is made for the system parameters.

Keywords: Newsvendor problem, Freight cost, Second order option, Seasonal Product.

TE“EKKÜR

Bu çal³mam süresince bana tecrübeleri ile yol gösteren ve mevcut durumlar farkl de§erlendirebilme ve yorumlama yetisini kazandran de§erli tez dan³-manm Doç.Dr.Kadir ERTO‡RAL'a, her a³amada benden deste§ini esirgemeyen, özverisi ve sabr ile beni yönlendiren de§erli tez dan³manm Yrd.Doç.Dr.Berrin AYTAÇ'a, tezimi okuyarak bana tavsiyeler veren Yrd.Doç.Dr.Salih TEKN'e ve Prof.Dr.Serpil EROL'a, akademik çal³malarmn bir sonraki admnda çok de§erli imkanlara sahip olmamda bana destek veren Yrd.Doç.Dr.Hakan GÜLTEKN'e, bugüne kadar benden deste§ini esirgemeyerek hep yanmda olan Selvinaz ve Vedat ÇO“KUN'a, aileme, ni³anlma ve arkada³larma te³ekkürü bir borç bilirim.

ÇNDEKLER

1 GR“ 1

2 LTERATÜR 5

2.1 Klasik Gazete Satcs Problemi . . . 6

2.2 Ta³ma maliyetli gazete satcs problemi . . . 8

2.3 ki Sipari³ Verme Seçenekli Gazete Satcs Problemi . . . 10

2.4 Özet . . . 13

3 PROBLEM KAPSAMI 14 3.1 Klasik Gazete Satcs Problemi . . . 14

3.2 Tam Dolu Konteynr Tipi Ta³ma Maliyeti . . . 17

3.3 Modeller ve Varsaymlar . . . 18

4 TEK SPAR“ SEÇENEKL VE TA“IMA MALYETL GAZETE SATICISI PROBLEM 20 5 K SPAR“ SEÇENEKL VE TA“IMA MALYETL GAZETE SATICISI PROBLEM 28 5.1 Limitsiz kinci Sipari³ . . . 31

5.2 Tek Konteynr Limitli kinci Sipari³ . . . 41

5.3 m Konteynr Limitli kinci Sipari³ . . . 50

5.3.1 Sezgisel Yöntem . . . 54

6 DENEYSEL ÇALI“MALAR 58 6.1 Normal Da§lml Talep . . . 59

6.1.1 Beklenen Kâr Analizi . . . 59

6.2 Düzgün Da§lml Talep . . . 70 6.2.1 Beklenen Kâr Analizi . . . 71 6.2.2 Duyarllk Analizi . . . 72 7 DE‡ERLENDRME VE SONUÇLAR 76 KAYNAKLAR 80 ÖZGEÇM“ 83

1. GR“

Sezonsal ürünlerin sat³ birçok endüstride ve üründe kar³mza çkmaktadr. Sezonsal ürünler, ksa ürün ömür döngüsüne sahiptir ve genellikle moda ürünleri ya da dayanksz tüketim ürünleri olarak dü³ünülebilir. Perakendecilerin ve üreticilerin bu tür ürünlerin sat³nda kar³la³t§ temel problemlerden birisi sezonsal talep altnda sipari³ ya da üretim miktarlarnn nasl belirlenece§idir. Bu karar verilirken belirleyici etkenler perakendeci ya da üreticiler için yok satlan ve elde kalan mallarn maliyetidir. Sezonsal ürünlerin sat³ belirli bir sat³ dönemi boyunca gerçekle³ir. Dönem içerisinde eldeki ürün miktarnn yetersiz kalmas nedeni ile kar³lanamayan talep dönem sonunda kar³lanmak üzere belirli bir maliyete katlanarak ertelenebilir ya da sat³ kaybedilir. Bu durumda yok satma maliyeti olarak tanmlanan, gerçekle³en talebin kar³lanamamas nedeni ile olu³an maliyete katlanlr. Belirtildi§i üzere sezonsal ürünler ürün ömür döngüleri ksa olan ürünlerdir. Ba³ka bir deyi³le bu tür ürünler sat³ dönemi sonunda sonraki dönemlerde satlmak üzere stoklanamaz, genellikle al³ yatndan daha dü³ük bir yata sezon sonunda elden çkarlr ya da belirli bir maliyete katlanlarak imha edilir. Bu durumda, yani sezonsal ürünlere gerçekle³en talebin beklenenden az olmas ve elde ürün kalmas durumunda elde kalma maliyeti olarak ifade edilen maliyete katlanlr.

Sezonsall§n ihmal edildi§i problemlerde, elde kalan ürünlerin ya da kar³lana-mayan talebin bir sat³ sezonundan di§erine aktarlabildi§i varsaym yapl-maktayken, literatürde 1980'lerin sonlarndan itibaren bu varsaymlarn geçerli olmad§ durumlar içeren çal³malar yer almaktadr ([1]). Elde kalma ve yok satma durumlarn göz önünde bulundurarak sezonsal ürünler için sat³ dönemi içerisinde gerçekle³ecek rassal talebi kar³lamak ve beklenen en yüksek kazanc

elde etmek için gerekli sipari³ miktarnn belirlenmesi problemi, literatürde "Gazete Satcs Problemi" olarak tanmlanmaktadr. Ürün ömür döngülerinin gün geçtikçe ksalmasyla bu problemin önemi artmaktadr ve gazete satcs problemi literatürde geni³ yer bulmaktadr.

Gazete satcs problemi tek alc ve tek satcn bulundu§u tek periyotluk sistemde dönem ba³nda, henüz talep gözlemlenmemi³ken, önceki dönemlerde talebe ili³kin elde edilen bilgilere dayanarak belirlenen rassal talebi kar³lamak için gerekli optimal sipari³ miktarnn belirlenmesi problemidir. Bu problem, çal³mann bundan sonraki bölümlerinde klasik problem olarak adlandrlacaktr. Belirtildi§i üzere, dönem içerisinde gerçekle³en talep ve dönem ba³nda belir-lenmi³ olan sipari³ miktar arasndaki büyüklük ili³kisine göre iki farkl durumla kar³la³labilir: talebin sipari³ miktarndan daha büyük olmas durumunda talebin kar³lanamamas ya da tersi durumda elde ürün kalmas. Alc dönem sonunda yok satma ya da elde kalma maliyetlerinden birine katlanr.

Elde kalma ve yok satma maliyetlerinin yan sra, gerçek hayat problemlerinde skça kar³la³lan bir di§er önemli maliyet ise ta³ma maliyetidir. Ta³ma maliyeti, toplam lojistik maliyetleri içerisinde önemli paya sahiptir ve genelde ta³ma birim maliyetlerinde ta³nan miktarla yaplan indirim nedeniyle azalmaktadr. Ta³ma maliyeti üzerine literatürde iki genel tanmlama yaplm³tr: birim parsiyel ta³ma maliyeti (Less than container load: LCL) ve tam dolu konteynr ta³ma maliyeti (Full container load, FCL). LCL, do§rudan sipari³ miktarna ba§ldr ve konteynr kiralama maliyeti kullanlarak hesaplanan birim ba³na ta³ma maliyetidir. Ba³ka bir deyi³le, birim konteynr kiralama maliyeti konteynr kapasitesine bölünerek bir birim için ta³ma maliyeti hesaplanmaktadr. Bu ta³ma türü genellikle az miktardaki (75-5000 kg.) sipari³lerin uluslar aras ta³nmasnda kullanlr. Ta³nan ürün miktar az oldu§undan, konteynr kapasitesi farkl alclarn sipari³leri ile doldurulabilmekte ve ta³ma süresi boyunca farkl alclara hizmet sa§lanabilmektedir. FCL ise genellikle sipari³ miktar fazla oldu§u (>5000 kg.) ve konteynr kapasitesinin tamamnn tek bir alc tarafndan kullanld§ durumda tercih edilmektedir. Bu ta³ma türünde, sipari³in alnd§ andan teslim edildi§i ana kadar ayn konteynr kullanlmaktadr. Verilen sipari³ tam dolu konteynr kapasitesinden az olsa bile konteynr ba³na maliyet sabittir.

Ba³ka bir deyi³le ta³ma maliyeti, verilen sipari³ miktarna konteynr says itibariyle ba§ldr. Bu nedenle, alc genellikle sipari³lerini birle³tirerek konteynr kapasitesini etkili kullanmaya e§ilimlidir. Yaplan çal³mada, ta³ma maliyetinin toplam kâr etkileyen unsurlardan biri oldu§u ve tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyeti (FCL) ile ifade edilece§i varsaylmaktadr.

Belirtildi§i üzere, sezonsal ürünlerin sat³ndan elde edilecek kâr etkileyen en önemli iki unsur elde ürün kalmas ve talebin kar³lanamamasdr. Küreselle³en tedarik ve lojistik imkanlar sayesinde rmalar artk hem yok satma hem de elde kalma maliyetini azaltma imkanlarna daha rahat eri³mektedirler. Yok satma maliyetini azaltmada skça kullanlan bir seçenek sezon ba³ndaki sipari³in ardndan, sezon içerisinde talep yaps daha belirgin hale geldi§inde ikinci bir sipari³ vermektir. Di§er bir seçenek ise ertelenen talebin sezon sonunda ikinci bir sipari³ verilerek kar³lanmasdr. Pratikte sklkla olu³an ikinci sipari³ senaryosu literatürde nispeten az sayda çal³maya konu olmaktadr. Yaplan çal³mada, ikinci sipari³ seçene§inin beklenen en yüksek kâr sa§layacak ilk sipari³ miktar üzerine etkisi incelenmekte ve ikinci sipari³ seçene§inin dönem içerisinde ilk sipari³ miktarnn yetersiz olmas nedeni ile ertelenen talebi kar³lamak üzere kullanld§ varsaylmaktadr.

Özetle bu çal³ma, ürün ömür döngülerinin ksalmasyla önemi gün geçtikçe artan ve literatürde geni³ yer bulan gazete satcs probleminden yola çkarak, ikinci bir sipari³ seçene§inin bulundu§u ve ta³ma maliyetinin toplam maliyetler içerisinde yer ald§ durumda risk nötral alcnn rassal talep altnda toplam beklenen sezonluk kârn en büyükleyen ilk sipari³ miktarnn belirlenmesini hedeemektedir.

Tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyet yaps ve sezon içerisinde ertelenen talebi kar³lamak üzere kullanlan ikinci bir sipari³ seçene§i göz önünde bulundurularak problem incelendi§inde, sonraki bölümlerde detayl bir ³ekilde yer verilecek olan farkl varsaymlar altnda farkl modellerin olu³abilece§i görülmektedir. Yaplan çal³ma kapsamnda, öncelikle literatürde de yer alan, tek sipari³ seçene§inin bulundu§u gazete satcs probleminde tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyetini göz önünde bulunduran model incelenmektedir (Model 1). kinci sipari³ seçene§ini ve ta³ma maliyetini birlikte ele alan modeller Model 2 ba³l§

altnda yer almaktadr. kinci sipari³ için kullanlan konteynr kapasitesine ve saysna göre Model 2 üç farkl durum altnda incelenmektedir: (1) kinci sipari³in kapasitesi yeterli tek bir konteynr ile ta³nabildi§i durum, (2) Kapasitesi belirli tek bir konteynrla ta³nabildi§i durum, (3) kapasitesi belirli birden fazla konteynr ile ta³nabildi§i durum.

Tez çal³mas, 7 bölümden olu³maktadr. Takip eden bölümde, klasik gazete satcs problemine ve farkl uzantlarndan olu³an problemlere, ta³ma maliyetini içeren problemlere, ve gazete satcs problemi için ikinci bir sipari³ seçene§inin bulundu§u problemlere ili³kin literatür çal³masna yer verilmektedir. Bölüm 3 ise problem kapsamn içermektedir. Bölüm 4 ve 5 sras ile Model 1 ve 2 için problem tanmlar ve çözüm prosedürlerini içermektedir. Bu bölümde ayrca, rassal talep altnda toplam kârn en büyüklenmesi problemleri için önem te³kil eden beklenen kâr fonksiyonlarnn analizleri, içbükeylik analizleri, yer almakta ve bu analizlerden yararlanarak problem yaplar detayl bir ³ekilde ifade edilmektedir. Bölüm 6'da, her bir model için örnek problem çözümleri ve farkl parametre de§erleri için gerçekle³tirilmi³ saysal analizler sunulmaktadr. Son bölümde ise, yaplan çal³ma için de§erlendirme ve sonuçlarla birlikte gelecekte yaplabilecek olas çal³malara yer verilmektedir.

2. LTERATÜR

Ksa ürün ömür döngüsüne sahip ürünleri ele alan çal³malar 1800'lü yllarn sonlarnda literatürde yer almaya ba³lam³ ve bu alanda bir çok çal³ma ortaya konulmu³tur. Gazete Satcs Problemi (GSP) olarak adlandrlan bu çal³malar ba³langçta sadece talebin rassal oldu§u durum için ele alnm³ ve beklenen kâr etkileyen maliyetlerin sadece yok satma ve elde kalma maliyetleri oldu§u varsaylm³tr. Üretim teknolojilerindeki geli³melere ba§l olarak ürün ömür döngüleri günden güne azald§ndan problemin önemi de artm³tr. Bu nedenle problem, gerçek hayatta olu³acak farkl durumlar göz önünde bulundurularak çok sayda çal³maya konu olmu³tur.

Küreselle³en üretim sektörü, üretimin deniz a³r ülkelerde daha dü³ük maliyetle gerçekle³tirilip ürünlerin tedarik edilmesine olanak sa§lamaktadr. Bu geli³me toplam lojistik maliyetlerini önemli ölçüde etkiledi§inden, ta³ma maliyetinin beklenen kâr üzerindeki etkisi de önem kazanm³tr. Bu sebeple literatürde ta³ma maliyetini içeren problemlere de yer verilmektedir. Öte yandan, ço§u durumda alclar yok satma ve elde kalma maliyetlerini azaltmak için farkl seçeneklere sahiptirler. Bu seçeneklerden bazlar; dönem içerisinde talebin ertelenerek dönem sonunda kar³lanmas ya da dönem içerisinde belirsizli§in azald§ anda ikinci bir sipari³ ile rassal talebin kar³lanmasdr. Gerçek hayat problemlerini önemli ölçüde yanstmalar sebebi ile ta³ma maliyetini ve ikinci sipari³ seçene§ini içeren problemler envanter sistemleri alannda önemli ara³trma alanlarndan biri haline gelmi³tir.

Bu çal³mada ele alnan iki sipari³ seçenekli ve ta³ma maliyetli gazete satcs problemi için literatür ara³trmas bu alanda yaplan çal³malara göre üç ba³lk altnda toplanm³tr. lk ba³lkta, gazete satcs probleminin ele alnd§ farkl

problemler belirtilmi³, sonraki iki ba³lkta ise problemin içerdi§i özel durumlara, srasyla ta³ma maliyetini ve ikinci sipari³ seçene§ini, içeren çal³malara yer verilmi³tir.

2.1 Klasik Gazete Satcs Problemi

Tek sat³ periyotlu sezonsal ürünler için rassal talep altnda dönem ba³ndaki sipari³ ya da üretim miktarnn belirlenmesini hedeeyen tek sipari³ seçenekli gazeteci çocuk problemi ilk olarak Edgeworth [1] tarafndan ele alnan sonrasnda ise yaynlanm³ çok sayda çal³ma ile literatürde sklkla rastlanan bir konudur. Sat³ sezonu sonunda elde satlamayan ürün kalmas durumunda ürünlerin belirli bir indirimle elden çkarlmas ya da elde kalmas, kar³lanamayan talep olmas durumunda ise yok satma maliyetine katlanlmas verilecek sipari³ miktarnn önemini arttrmaktadr. Problem farkl amaç fonksiyonlar için ele alnm³tr: beklenen maliyeti enküçükleme, beklenen kâr enbüyükleme, hedeenmi³ bir gelir seviyesine ula³ma olasl§n enbüyükleme. Yaplan çal³mada ise temel olarak beklenen kârn enbüyüklenmesi hedeenmektedir.

Khouja [2] yapt§ literatür taramas çal³masnda klasik GSP alannda yaplan çal³malar 11 ayr ba³lk altnda açklam³tr. Bu çal³mada bahsi geçen ba³lklar a³a§daki gibidir.

• Farkl amaç ve fayda fonksiyonlar • Farkl tedarikçi yatlandrma prensipleri

• Farkl sat³ yat prensipleri ve indirim yaplar • Rasgele getiri

• Talep bilgisinin farkl durumlar • Kstl çok ürünlü sistemler • kame mall çok ürünlü sistemler • Çok a³amal sistemler

• Çoklu yer modelleri

• Sat³ sezonu için birden çok periyotlu modeller • Di§er modeller

Beklenen kâr fonksiyonun tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyetinden kaynakl parçal yapsna benzerli§i sebebi ile bu çal³ma ile en çok ilgili olan Farkl tedarikçi yatlandrma prensipleri ba³l§dr. Bu ba³lk Khouja [2] belirtildi§i ³ekliyle a³a§da belirtilmi³tir.

Farkl tedarikçi yatlandrma prensipleri: Tedarikçinin miktar indirimi uygulad§ durumda eniyi sipari³ miktarnn belirlenebilmesi problemi literatürde pek çok kez çal³lm³tr. Jucker ve Rosenblatt [3] 3 farkl indirim tipi üzerinde çal³m³lardr. Bu üç farkl indirim modeli a³a§da belirtilmi³tir.

• Tüm birimler için indirim modeli. Tedarikçinin belirledi§i belirli sipari³ miktarlarnda yat indirimi uygulanr.

• Art³sal indirim modeli. Sadece belirli bir miktardan sonraki ürünler için indirim uygulanr.

• Araç yükü indirimi. Ürünlerin ta³ndklar aracn toplam kapasitesinin belirli oranlarnda uygulan ürün ta³ma maliyeti için uygulanan indirim modelidir.

Lin ve Kroll [4] yaptklar çal³mada tüm birimler için indirim ve art³sal indirim modelleri dikkate alnm³tr. Yok satma maliyetinin 0 alnd§ modeller için optimal çözümü veren kapal formda bir çözüm geli³tirilmi³tir. Ancak, yok satma maliyetinin 0'dan büyük oldu§u durumlar için saysal çözüm yöntemi önerilmi³tir. Khouja [6] tüm birimler için indirim uygulanan GSP üzerinde çal³m³tr. Bu çal³mada amaç fonksiyonunun kâr enbüyüklenmesi oldu§u durum için ekonomik sipari³ miktarn veren bir algoritma geli³tirilmi³tir. Khouja [7] fazla envanterin satlmas için çoklu indirimin uyguland§ GSP üzerine çal³m³tr. Bu modelde, alc dereceli olarak yatta indirim uygulayarak elde kalan ürünlerin satlmas sa§lanr. Modelde kullanlan indirim yatlar Pi, i = 1, 2, . . . , n ve Pi > Pi+1

³eklindedir. Modelin iki farkl amaç fonksiyonu altnda ekonomik sipari³ miktar için çözümler önerilmi³tir.

Weng [5] tedarikçinin satc ile i³birli§i oldu§u GSP modeli üzerinde çal³m³lardr. Burada i³birli§inden kast tedarikçinin indirim sunarak, alcnn sipari³ miktar kararn etkilemesidir. ³birli§inin oldu§u model ile i³birli§inin olmad§ modelin optimal sonuçlar kar³la³trlm³ ve i³birli§inin oldu§u modelde tedarikçinin daha fazla ürün tedarik etti§i gösterilmi³. Sistemdeki ürün art³ tedarikçi ve alcnn beklenen gelirleri önemli ölçüde artmam³ olsa da asl getirinin yok satma maliyeti, kurulum maliyetleri, sipari³ ve ta³ma maliyetlerindeki azalma ile ortaya çkt§ gösterilmi³tir. Böylece i³birli§i olan modelin en büyük etkisinin operasyon maliyetlerini dü³ürerek sitemin beklenen kârnn artt§ belirtilmi³tir.

2.2 Ta³ma maliyetli gazete satcs problemi

Ta³ma maliyetinin bulundu§u problemlerde, kolay anla³lr olmas ve sa§lad§ analitik kolaylk sebebi ile genel olarak birim ta³ma maliyeti (Less-than-container load LCL) kullanlm³tr. Ayrca ta³ma maliyeti baz durumlarda konteynr kiralama maliyeti (Full-container-load LCL) olarak ele alnm³tr. Konteynr kiralama maliyeti uygulanrken, kiralanan her konteynr için sabit bir ta³ma maliyeti uygulanr. Aucamp [8] konteynr ba³na sabit bir ta³ma maliyetin bulundu§u ve toplam sipari³ miktarndan ba§msz olan durum üzerinde çal³m³tr. Lee [9] ta³ma maliyetlerinde miktara ba§l bir indirim modeli olu³turmu³lardr.

Bu çal³maya temel olu³turan, Toptal [10] parçal ta³ma maliyetinin bulundu§u GSP problemini ele alm³lardr. Parçal ta³ma maliyeti, konteynr ba³na ta³ma maliyetinin belirli konteynr saylarnda krlmaya u§rayarak azald§ ta³ma maliyeti olarak tanmlanm³tr. Genel talep da§lmlar için ele alnan bu çal³mada optimal sipari³ miktar için hesaplamal bir çözüm yöntemi önerilmi³tir. Zhang [11], Toptal [10] ile benzer olarak ta³ma maliyetinin konteynr kiralama maliyeti oldu§u durum için optimal sipari³ miktarnn ya klasik GSP prob-lemindeki ekonomik sipari³ miktar ya da konteynr kapasitesinin tam kat

oldu§unu ispatlam³tr. Çal³mada ayrca optimal çözümün bulunabilmesi için bir algortima önerilmi³tir. Ayrca bulunan sonuçlar acil tedarik seçene§inin bulundu§u modeller için de geli³tirilmi³tir. Zhang [11] acil tedarik seçene§ini içeriyor olmas sebebi ile yaplan çal³maya benzemektedir. Ancak acil tedarik seçene§i için ta³ma maliyetinin göz önünde bulundurulmuyor olmas problem yaplarn farkl klmaktadr.

Mendoza ve Ventura [12], konteynr ba³na ta³ma maliyeti ve birim ta³ma maliyeti modelleri için tüm birimler için indirim ve art³sal indirim oldu§u durumlar için analiz etmi³tir. Çal³mada belirtilen indirim yaplar tek a³amal modeller için kesin çözüm algoritmalar geli³tirilmi³tir.

Toptal ve Çetinkaya [13], GSP için alc ve tedarikçi birli§ini ele alm³lardr. Bu çal³mada yalnz tedarikçinin ya da hem tedarikçi hem de alcnn tedarikçinin ta³ma maliyetine katland§ modeller incelenmi³tir. Çal³ma sonucunda optimal sipari³ miktar için amaç fonksiyonun karakteristi§i incelenmi³tir.

Konur ve Toptal [14], genel talep da§lmlar için parçal ta³ma maliyet yapsn da içeren beklenen kârn enbüyüklenmesi problemini ele alm³tr.Bu çal³mada, edinme maliyetinin tüm birimler için indirim, ekonomik ölçekli indirim ve negatif ekonomik ölçekli indirim yaplarn içeren hibrit yap gösterdi§i varsaylm³tr. Bu varsaymlar altnda beklenen kâr en büyükleyecek optimal sipari³ miktarn belirleme algoritmas geli³tirilmi³ ve bu yöntemin tedarikçi seçimi politikasnda kullanlabilece§i belirtilmi³tir.

Bu çal³mada yer verilen tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyetinin problem yaps üzerindeki etkisi miktarsal indirim modelinin etkisi ile benzerdir. Jucker ve Rosenblatt [3], üç farkl miktarsal indirim modeli için problemi ele alm³tr: tüm birimler için indirim modeli, art³sal indirim modeli ve araç doluluk oranna göre geli³tirilen indirim modeli. Elde edilen sonuçlar incelendi§inde alcnn sipari³ miktarnn yok satma maliyeti ile ili³kili oldu§u sonucuna ula³lm³tr. Pantumsinchai ve Knowles [15] sipari³ miktarnn standart ve farkl büyüklükteki konteynr saylarna ve ilgili ta³ma maliyetlerine göre belirlendi§i, ilk sipari³te belirlenen konteynr büyüklü§ünün di§er sipari³ler için de geçerli olmas ko³ulu ile konteynr büyüklü§ü ile orantl olarak uygulanan indirim modeli için problemi

incelemi³tir. Lin ve Kroll [4], hedeenmi³ kazanç seviyesine ula³ma olasl§nn belirlenen bir risk seviyesinden az olmama kst altnda beklenen kazanc en büyüklenmesini amaçlayan gazeteci çocuk problemi için tüm birimler için indirim modeli ve art³sal indirim modeli olmak üzere iki farkl miktarsal indirim modelini incelemi³tir. Yaplan çal³mada yok satma maliyetinin ihmal edildi§i durumda kapal çözüm modeli geli³tirilirken, pozitif yok satma maliyeti için sadece saysal çözümler elde edilmi³tir. Qin ve di§erleri [16], tek sipari³ seçenekli gazeteci çocuk problemi ile ilgili sat³ yat, tedarikçinin yatlandrmasnn ve alcnn risk prolinin etkilerini inceleyen çal³malar incelemi³ ve farkl uzantlarnn tedarik zincirine etkilerini ara³trm³tr.

2.3 ki Sipari³ Verme Seçenekli Gazete Satcs

Problemi

Sezonsal ürün taleplerindeki belirsizli§in fazla olmas, dönem ba³ sipari³ini dü³ük seviyede tutup, dönem ba³nda talebin bir ksmn gözlemledikten sonra ikinci bir sipari³ vererek talepteki belirsizli§in etkisinin azaltlmas seçene§ini ortaya çkarm³tr. Literatürde yeniden sipari³ verme seçenekli GSP olarak ele alnan model farkl durumlar ve uzantlar için incelenmi³tir.

Literatürde iki sipari³ seçene§inin bulundu§u modellerde ikinci sipari³ seçene§i iki farkl yakla³mla ele alnmaktadr; ikinci sipari³in dönem içerisinde ertelenen talebi kar³lamak için kullanld§ durum, ikinci sipari³in dönemin kalan ksmnda gerçekle³ecek rassal talebi kar³lamak için kullanld§ durum.

Gallego ve Moon [19], serbest da§lmla ifade edilen toplam talep gözlem-lendi§inde kar³lanamayan talebin bir ksmnn daha yüksek yattan sipari³ verilebilece§i varsaym altnda acil tedarik seçene§i ile kar³lanrken kalan ksmnn kaybedildi§i durumu incelemi³tir. Khaouja [17] GSP probleminde acil durum sipari³i olarak adlandrlan ikinci bir sipari³ seçene§inin oldu§u model üzerinde çal³m³tr. Bu çal³mada Acil durum seçene§inin oldu§u model ve klasik tek sipari³li GSP modelinin optimal sipari³ miktar kyaslanm³ ve sonuçta acil

durum sipari³inin oldu§u model için optimal sipari³ miktarnn daha dü³ük oldu§u gösterilmi³tir.

Choi vd. [18] iki sezonsal ürünler için iki a³amal bir sipari³ modeli üzerinde çal³m³lardr. Çal³mada sat³ sezonundan önce ürün için sezon için teslim süresini kar³layacak ³ekilde alcnn iki farkl a³amada sipari³ verdi§i durum ele alnm³tr. lk sipari³ a³amasnda pazardaki ürün talebi hakknda bilgi toplandktan sonra ikinci a³amada talep tahminleri Bayesçi yakla³mla güncel-lenmi³tir. Ayrca ilk sipari³ için sipari³ maliyetinin bilindi§i, ikinci a³amada ise sipari³ maliyetinin belirsiz oldu§u varsaylm³tr. Belirtilen modelin dinamik programlama yardmyla çözülerek optimal sipari³ miktarna ula³lm³tr.

Lau ve Lau [20], talebin belirli bir yüzdesinin gözlemlendikten sonra ikinci sipari³ seçene§inin kullanld§ modeli incelemi³, ikinci sipari³ seçene§inin klasik GSP'yi önemli ölçüde zenginle³tirdi§ini göstermi³tir. Yaplan çal³mada yeniden sipari³ verme noktasnn sezon ba³nda belirlendi§i, tedarikçi tarafndan belirlenen herhangi bir kapasite kst bulunmad§ ve birim yatn belirli oldu§u varsaym-lar yaplm³tr. Lau ve Lau [21], benzer varsaymlar altnda sezon ba³nda belirlenmi³ ikinci sipari³ zaman, bu zaman öncesi ve sonras için talep ortalamas ve varyans için incelenen problemi ele alm³tr. Yaplan çal³mada yeniden sipari³ verme seçene§inin bulundu§u gazeteci çocuk problemi için ekonomik sipari³ miktarlarnn belirlenmesi temel amaç olarak incelenirken, problemin bir uzants olarak ikinci sipari³in verilece§i optimal zamann belirlenmesi hedeenmi³tir. Wang vd. [22], sonlu planlama ekseninde dinamik olarak talep tahminini güncelleyen ve çoklu sipari³ seçene§ine sahip olan alcnn optimal sipari³ miktarnn belirlenmesi problemi ele alnm³tr. Alc, sat³ sezonu ba³lamadan planlama ekseninde farkl noktalarda artan sipari³ maliyetine katlanarak sipari³ verebilmektedir. Çal³mada temel amaç, çoklu sipari³ seçene§inin kullanld§ durumda sipari³ maliyetindeki art³ nedeni ile olu³an maliyet ve daha geç sipari³ verildi§i durumda pazardan edinilen bilgi ile talebin güncellenmesi sonucu daha iyi tahmine sahip olmann de§eri kyaslamaktr. . Webster ve Weng [23], klasik tedarik zinciri yapsnda oldu§u gibi alcnn sipari³ miktarna karar vermesinin ardndan satcnn üretim miktarna karar vermesinin belirsiz talep altnda fazla miktarda üretim ya da fazla miktarda talep yani elde kalma ya da yok satma

ile kar³la³maya neden olaca§n belirtmi³tir. Bu riski en aza indirmek için tedarik zincirinde koordine karar politikasnn kullanlmasn yani alc ve satcnn tedarik zincirinin kazancn enbüyükleyecek ³ekilde sipari³ miktarn belirlemesini önermi³tir.

Weng [5] Toplam talep kar³lanmad§nda, yeniden sipari³ verme seçene§inin kul-lanld§ durum ele alnm³tr. Sistem-ekonomik sipari³ politikasn elde edebilmek için tek krlma noktal bütün birimler için indirim modeli geli³tirilmi³tir. Tedarik zinciri olarak ele alnan yeniden sipari³ seçenekli GSP'ye ba³ka bir yakla³m getiren Li ve Liu [24] satc tarafndan ikinci sipari³ için belirlenmi³ bir kapasite kst oldu§unu, alcnn ba³langç sipari³ miktarn bu kapasite kstn göz önünde bulundurarak belirlemesi gereken durumu incelemi³tir. kinci sipari³in ise toplam talep gözlemlendikten sonra yapld§n, alcnn ilk sipari³ miktar ve satcnn ayraca§ kapasitenin karar de§i³keni oldu§unu, talebin ertelenmesi durumunda ürün sat³ yatnn daha dü³ük oldu§unu varsayan problemde, koordine karar politikas geli³tirilerek alcnn ilk sipari³ büyüklü§ünün ve satcnn olas ikinci sipari³ için ayraca§ kapasitenin belirlenerek tedarik zinciri için kazancn en büyüklenmesi amaçlanm³tr. Tedarik zincirinde satcnn tek krlma noktal bütün birimler için indirim modeli önererek bu koordinasyonu sa§layabilece§i gösterilmi³tir.

Schuster-Barnes [25], dönem içerisinde sipari³ seçene§inin bulundu§u, sat³ sezo-nunun, talepleri ba§ml, uzunluklar farkl iki bölümde incelendi§i tedarik zinciri modelinde, satc tarafndan sunulan sezon içi sipari³ miktar opsiyonlarnn, ilk sezonda edinilen bilgiden yararlanarak talep tahmininin güncellenmesini de göz önünde bulundurarak alcnn pazar de§i³imlerine kar³ esnekli§ine etkilerini in-celemi³tir. Problem genel yaps bakmndan literatürde ayr ayr incelenen bir çok modeli kapsamasna ra§men ta³ma maliyetini göz önünde bulundurmamaktadr. Yeniden sipari³ verme seçenekli GSP ile ilgili yakn zamanda yaynlanm³ bir literatür taramas için Choi ve Sethi [26] çal³masna baklabilir.

2.4 Özet

Literatür ara³trmas bölümünde, indirim modellerini, ta³ma maliyetini ve ikinci sipari³ seçene§ini içeren gazete satcs problemleri üzerine yaplm³ çal³malar ele alnm³tr.

Zhang [11] ve Toptal [10] çal³malar tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyet yapsn içeriyor olmalar sebebi ile bu tez kapsamnda ele alnan çal³mayla benzerlik göstermektedir. Bu çal³malarda, beklenen kâr fonksiyonunun tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyeti nedeni ile parçal yapda olaca§nn gösterilmesi ve optimal sipari³ miktarnn ek bir konteynrn kiralanmas ile olu³an krlma noktalarndan biri ya da birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktar olaca§nn ispat yaplm³tr. Belirtilen çal³malarda bulunan optimal sipari³ miktarnn ta³ma maliyeti göz ard edilerek bulunan sipari³ miktarndan daha yüksek kâra sahip olmas ta³ma maliyetini içeren bu çal³mann önemini ispatlamaktadr. ki sipari³ seçene§ini içeren çal³malarda ise belirsizli§in azalmas ile beklenen kârn artmas ikinci sipari³ seçene§inin dikkate alnmas gerekti§ini göstermek-tedir. kinci sipari³ seçene§i, problem yapsn karma³kla³tryor olsa da gerçek hayat problemlerini temsil gücünün fazla olmas sebebi ile ara³trmas gerekilen bir konudur.

Üretim sektöründeki geli³meler, küreselle³me ve tedarikçilerin alclara sundu§u seçeneklerin artmas, ta³ma maliyetinin ve ikinci sipari³ seçene§inin birlikte ele alnd§ problemi önemli klmaktadr. Literatürde problem yapsnn karma³kl§ nedeni ile bu iki durumu ayn anda ele alan çal³ma bulunmamas yaplan bu çal³mann literatürdeki bo³lu§u dolduraca§n dü³ündürmektedir.

3. PROBLEM KAPSAMI

Bu bölümde, yaplan çal³mann temelini olu³turan Gazete Satcs Problemi'nin tanmna, ta³ma maliyetinin modellenmesinde kullanlan tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyeti yapsna ve ikinci sipari³in ta³ma seçene§i ile ilgili farkl varsaym-lara dayanarak olu³turulan modeller için problem tanmlarna yer verilmektedir.

3.1 Klasik Gazete Satcs Problemi

Son yllarda üretim teknolojilerindeki geli³melerin hz kazanmas ile ürünlerin çe³itlili§i sürekli artmakta ve bir çok ürün, ksa sürede mevcut özellikleri geli³tirilerek tekrar tüketiciye sunulmaktadr. Bu sebeple ürün ömür döngüleri hzla azalmaktadr. Belirtildi§i üzere ürün ömür döngüleri ksa olan ürünler sezonsal ürün olarak adlandrlmaktadr. Sezonsal ürünlerin üretim ya da sipari³ miktarlar için verilecek karar gerçekle³ecek rassal talebe ba§ldr ve talepteki belirsizlik bu karar vermekte zorluk yaratmaktadr. Sezonsal ürünler için sipari³ ya da üretim miktarlarnn belirlenmesini amaçlayan problem gazete satcs problemi olarak adlandrlmaktadr.

Gazete satcs problemi ya da ba³ka bir deyi³le klasik problem, risk nötral alcnn beklenen tek sezonluk kârn en büyükleyen sipari³ miktarn belirlemeyi amaçlamaktadr. Temel olarak alcnn beklenen kârn etkileyen unsurlar: (1) belirlenen sipari³ miktarnn, Q1, sat³ dönemi içerisinde gerçekle³en talep

miktarndan, x, daha az olmas durumunda, talebi kar³layamama maliyeti ya da dönem sonunda kar³lamak üzere erteleme maliyeti ve (2) belirlenen sipari³ miktarnn gerçekle³en talep miktarndan daha fazla olmas durumunda

satlamayan ürünleri elden çkarma ya da imha etme maliyetidir. Belirtilen maliyetler gazete satcs problemi literatüründe sras ile yok satma maliyeti, s, ve elde kalma maliyeti, v, olarak adlandrlmaktadr.

Gazete satcs problemi için olay ak³ “ekil 3.1 ile ifade edilmektedir. Ba³langçta, henüz talep gözlemlenmemi³ken rassal talep da§lm, elde kalma ve yok satma maliyetleri göz önünde bulundurularak beklenen kâr en büyükleyen sipari³ miktar, Q1, belirlenmektedir. Sonrasnda ise sat³ dönemi boyunca talep

gözlemlenmekte ve belirlenen sipari³ miktar ile talep kar³lanmaktadr. Sat³ dönemi sonunda, talebin belirlenen sipari³ miktarndan daha az gerçekle³mesi durumunda elde kalma maliyetine ya da aksi durumda yok satma maliyetine katlanlmaktadr. Sipariş/Üretim Miktarının Kararı 1 Sipariș Miktarı Q= Stokastik Talebin Gerçekleşmesi

Yok-Satma Elde Kalma

Talep=x

1

Q <x Q₁>x

“ekil 3.1: Gazete Satcs Problemi - Olay Ak³

Bu çal³mada, talebin, x, sürekli rassal de§i³ken oldu§u ve olaslk yo§unluk fonksiyonunun f(.), birikimli olaslk fonksiyonun ise F (.) ile temsil edildi§i varsaylmaktadr.

Klasik problem için rassal talebin sürekli da§lmla ifade edildi§i durumda, risk nötral alcnn kâr fonksiyonu, gerçekle³en talep miktar ile belirlenen sipari³ miktar arasndaki büyüklük ili³kisinden yararlanarak elde edilmektedir

ve Π0(Q1, x) ile gösterilmektedir. Risk nötral alc, sipari³ verdi§i bir birim için

c1 satn alma maliyetine katlanr ve bu bir birimin dönem içerisindeki sat³ yat

p'dir. Π0(Q1, x) =    px − c1Q1+ v (Q1− x) x ≤ Q1 pQ1− c1Q1− s (x − Q1) x > Q1 (3.1)

Talebin olaslk da§lmna ili³kin bilgiden yararlanarak beklenen kâr fonksiyonu E³itlik 3.2 ile belirtildi§i gibi olu³turulmaktadr.

π0(Q1) = Ex[Π0(Q1, x)] = Z Q1 0 (px − c1Q1+ v (Q1− x))f (x) dx + Z ∞ Q1 (pQ1− c1Q1− s (x − Q1))f (x) dx (3.2)

Literatürde de belirtildi§i üzere klasik problem için beklenen kâr fonksiyonu içbükey yapdadr. Bu durumda, birinci türev ko³ulundan yararlanarak beklenen kâr en büyükleyen sipari³ miktar elde edilebilmektedir. Klasik problem için beklenen kâr en büyükleyen, optimal, sipari³ miktar, Q∗

0, E³itlik 3.3 kullanlarak

elde edilebilir.

Q∗₀ = F−1(p − c1+ s

p − v + s) (3.3)

Bu e³itli§in sa§ taraf literatürde kritik oran olarak adlandrlmaktadr.

Klasik problemde, bir birim talep kar³lanamad§nda olu³an yok satma maliyeti o birimin sat³nn gerçekle³memesi sonucu kaybedilen net kâr, p − c1 ile ve

gerçekle³en talebi kar³layamamann maliyeti, s'nin toplamna e³ittir, p − c1+ s.

Benzer ³ekilde, bir birim fazladan sipari³ vermi³ olmaktan dolay olu³an frsat maliyeti satlamayan birimi edinmenin maliyetinden, o birimi elden çkarmann maliyetini çkararak hesaplanmaktadr, c1 − v. Belirtilen maliyetler göz önünde

bulundurularak optimal sipari³ miktar, Q∗

dönem ba³nda Q∗

0 birim sipari³ vermektedir.

3.2 Tam Dolu Konteynr Tipi Ta³ma Maliyeti

Gün geçtikçe küreselle³en üretim sektörü ve geli³en lojistik imkanlar, ürünlerin deniz a³r ülkelerde dü³ük maliyetlerle üretilip tedarik edilmesine olanak sa§la-maktadr. Bu durumda olu³an yüksek ta³ma maliyetleri klasik gazete satcs probleminde göz önünde bulundurulmamaktadr. Bu çal³ma kapsamnda ise ta³ma maliyetinin de beklenen kâr etkileyen önemli unsurlardan biri oldu§u dikkate alnmaktadr. Bu kapsamda, ta³ma maliyetinin modellenmesinde tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyet yaps, FCL, kullanlmaktadr. FCL tipi ta³ma maliyeti daha önce de belirtildi§i üzere, kullanlan konteynrn doluluk oranndan ba§mszdr ve yalnzca kiralanan konteynr saysna ba§ldr. Literatürde envanter problemi kapsamnda FCL tipi ta³ma maliyet yapsn inceleyen öncü çal³malar Aucamp [8] ve Lee [9] çal³malardr. Her iki çal³mada da talebin deterministik yapda oldu§u varsaylrken Aucamp [8] birim konteynr kiralama maliyetlerinin e³it Lee [9] ise azalan oldu§unu varsaymaktadr. Bu çal³malar do§rultusunda, T1i, i ≥ 0 ve T2i, 0 ≤ i ≤ m srasyla ilk ve ikinci sipari³ için

i'inci ek konteynr kiralama maliyetleri olarak tanmlanmaktadr. Buna göre, konteynr kapasitelerinin e³it, q, oldu§u varsaym altnda birinci ve ikinci sipari³ için kiralanan konteynr saylar, k1, k2 ve toplam ta³ma maliyetleri, T1(Q1),

T2(Q2) srasyla E³itlik 3.4 ve E³itlik 3.5 ile ifade edilmektedir.

k1 =  Q1 q  , T1(Q1) = k1 X i=1 T1i (3.4) k2 =  Q2 q  , T2(Q2) = k2 X i=1 T2i (3.5)

Yaplan çal³ma kapsamnda kullanlan tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyet yaps “ekil 3.2 ile temsil edilmektedir.

1( 1) T Q 13 T 14 T 1 Q 11 T 12 T 2q q 3q 4q

“ekil 3.2: Tam Dolu Konteynr Tipi Ta³ma Maliyet Yaps

3.3 Modeller ve Varsaymlar

Klasik problemde, optimal sipari³ miktar belirlenirken beklenen kâr etkileyen unsurlar sadece yok satma ve elde kalma maliyetleri iken yaplan çal³ma kapsamnda ta³ma maliyeti de göz önünde bulundurulmaktadr. Bu kapsamda olu³turulan Model 1, klasik probleme ek olarak ta³ma maliyetini de göz önünde bulundurarak alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktarn elde etmeyi amaçlamaktadr.

Bu çal³mada ta³ma maliyetinin yan sra dikkate alnan bir di§er önemli unsur ise ikinci bir sipari³ seçene§inin varl§dr. kinci sipari³ seçene§i dönem ba³nda verilen sipari³ ile kar³lanamayan talebin ertelenerek dönem sonunda kar³lanmas için (order-to-backorder) kullanlabilece§i gibi dönem ba³nda rassal talebin bir ksmnn gözlemlenmesi ile belirsizli§i azalan talep bilgisine dayanarak sto§a sipari³ vermek üzere (order-to-stock) kullanlabilmektedir. Yaplan çal³ma kapsamnda ikinci sipari³ seçene§inin dönem içerisinde ertelenen talebi kar³lamak üzere kullanld§ varsaylmaktadr. Model 2, dönem içerisinde kar³lanamayan

talebin ertelenerek dönem sonunda daha yüksek maliyetli ikinci bir sipari³ ile kar³lanabildi§i ve bu ikinci sipari³ seçene§inin yalnzca kârl oldu§u durumlarda kullanld§ problem kapsamnda beklenen kâr en büyükleyen sipari³ miktarn belirlemeyi amaçlamaktadr. Bu model, ikinci sipari³ için ta³mada kullanlacak konteynr saylar ve kapasiteleri üzerine yaplan farkl varsaymlara dayanarak üç alt model olarak ele alnmaktadr. Model 2.1, ikinci sipari³in kapasitesi yeterli tek bir konteynrla ta³nabildi§i, Model 2.2 kapasitesi limitli tek bir konteynr ile ta³nabildi§i ve son olarak Model 2.3 ise ikinci sipari³ için kapasitesi limitli birden fazla konteynr, m, kullanlabildi§i durumu incelemektedir. Yaplan çal³mada sipari³ miktarlar: ilk dönem sipari³ miktar, Q1, ve ikinci dönem sipari³ miktar,

Q2, olarak ve birim satn alma maliyetleri: ilk dönem birim satn alma maliyeti c1

ve ikinci dönem birim satn alma maliyeti c2 olarak ayr ayr tanmlanmaktadr.

Model 2

İki Sipariș Seçenekli ve Tașıma Maliyetli Gazete Satıcısı Problemi

Model 1

Tek Siparișli Tașıma Maliyetli Gazete Satıcısı Problemi

Model 2.1 Limitsiz İkinci Sipariș

Gazete Satıcısı Problemi

Model 2.2 m =1 Konteynır Limitli İkinci Sipariș

Model 2.3 m >1 Konteynır Limitli İkinci Sipariș

4. TEK SPAR“ SEÇENEKL VE

TA“IMA MALYETL GAZETE

SATICISI PROBLEM

Bu bölümde, sat³ dönemi ba³lamadan verilecek tek bir sipari³ seçene§inin bulundu§u, yok satma ve elde kalma maliyetlerinin yan sra ta³ma maliyetinin de beklenen kârll§ etkiledi§i durumda rassal talep da§lm altnda risk nötral alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktarnn belirlenmesi problemine yer verilmektedir.

Bu modelde, dönem ba³nda verilecek sipari³ için ta³mann özde³ kapasiteli konteynrlarla yapld§ varsaylmaktadr (1). Ürün için belirlenen sat³ yat sezon ba³lamadan belirlenmektedir ve sat³ yatnn sabit oldu§u ba³ka bir deyi³le gerçekle³en talebe göre sezon içerisinde farkllk göstermedi§i kabul edilmektedir (2). Satn alma maliyeti üzerinde herhangi bir indirim söz konusu de§ildir, satn alma maliyetleri sipari³ miktarndan ba§mszdr (3).

Bu varsaymlar altnda, Model 1 için olay ak³ klasik problem ile benzer yapdadr. Risk nötral alc dönem ba³nda beklenen kârn en büyükleyecek sipari³ miktarn belirler. Farkl olarak sipari³i edinme maliyeti, sipari³i satn alma maliyetine, c1Q1, ve sipari³i ta³mada gerekli konteynr says, k1, kullanlarak

belirlenen toplam ta³ma maliyetine, T1(Q1), ba§ldr. Sat³ dönemi içerisinde

talep gerçekle³ir ve eldeki ürünler kullanlarak talep kar³lanr. Bir birimin sat³tan elde edilen net kâr ise, bir birimin sat³ yat olan p de§erine ve bir birimi edinme maliyetine, c1, ba§ldr. Dönem sonunda, gerçekle³en talebin dönem

maliyetine, aksi durumda yok satma maliyetine katlanlr. Dönem sonunda elde edilen toplam kâr, sipari³i edinme maliyeti, sat³tan elde edilen kazanç, yok satma ya da elde kalma maliyeti ve toplam ta³ma maliyetine ba§ldr.

Belirtildi§i üzere, k1 verilen sipari³i ta³mada kullanlacak konteynr saysn

gösteriyor olsun. T1(Q1) = k1 X i=1 T1i

Model 1 için toplam kâr fonksiyonu Π1(Q1, x) ve beklenen kâr fonksiyonu,

π1(Q1) = Ex[Π1(Q1, x)] ile gösterilmektedir. Π1(Q1, x) =    px − c1Q1+ v (Q1− x) − T1(Q1) x ≤ Q1 pQ1− c1Q1− s (x − Q1) − T1(Q1) x > Q1 (4.1)

Talebin, belirlenen sipari³ miktarndan daha az gerçekle³mesi durumunda, talebin tamam kar³lanr ve bu sat³tan px kadar kazanç elde edilir. Dönem ba³nda belirlenen sipari³ miktarn edinmek için c1Q1 maliyetine katlanlr. Elde

satlamayan ürün kald§ için bu ürünler v birim kar³l§nda elden çkarlr, ve v ≤ c1'dir. Dönem ba³nda verilen Q1 birim sipari³ için T1(Q1) kadar

ta³ma maliyetine katlanlr. Talebin, dönem ba³nda belirlenen sipari³ miktar ile kar³lanamamas durumunda ise sadece verilen sipari³ miktar kadar talep kar³lanr ve (p − c1)Q1 birim kâr elde edilir. Kar³lanamayan talep içinse yok

satma maliyetine, s(x − Q1) katlanlr. Bu durumda da benzer ³ekilde T1(Q1)

ta³ma maliyeti olu³ur.

Daha önce de belirtildi§i üzere, gerçekle³ecek talep belirli olaslklara ba§ldr ve bu olaslklar göz önünde bulundurularak beklenen kârllk hesaplanmaldr. Bu nedenle, rassal talep altnda beklenen kâr fonksiyonu tanmlanmaldr.

π1(Q1) = Z Q1 0 (px − c1Q1+ v (Q1 − x) − T1(Q1))f (x) dx + Z ∞ Q1 (pQ1− c1Q1− s (x − Q1) − T1(Q1))f (x) dx (4.2)

Önerme 1. Tek bir sipari³ seçene§inin bulundu§u ve ta³ma maliyetinin beklenen kârll§ etkiledi§i durumda, beklenen kâr fonksiyonu içbükey fonksiyonlardan olu³an parçal bir yapdadr.

spat. Beklenen kâr fonksiyonun parçal yaps tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyet yapsnn kullanlyor olmas ile açklanabilmektedir. Risk nötral alc, her bir ek konteynr kiralad§nda beklenen kâr kiralanan ek konteynrn maliyeti kadar azalacaktr. Model 1 için beklenen kâr fonksiyonu π0(Q1)'in do§rusal

birle³imidir ve E³itlik 4.3 ile ifade edilmektedir.

π1(Q1) = π0(Q1, x) − T1(Q1) (4.3)

yeterince küçük pozitif bir de§er olmak üzere, nq ve nq +, n ≥ 0, için beklenen kârllklar inceleniyor olsun. π1,i(Q1), i ≥ 0 ile Q1 büyüklü§ündeki sipari³

için i tane konteynr kiraland§nda gerçekle³ecek beklenen kârllk gösterilsin. Risk nötral alc, nq birim sipari³ verdi§inde n tane konteynr kiralamaktadr ve olu³acak toplam ta³ma maliyeti T1(nq) =

Pi=n

i=1T1i ile ifade edilmektedir. Alc

nq +  miktarnda sipari³ verdi§inde, (n + 1)'inci konteynr da kiralamakta ve T1(nq)+T1(n+1)kadar ta³ma maliyetine katlanmaktadr. Bu durumda nq ve nq+

sipari³ miktarlar için beklenen kârllklar E³itlik 4.4 ile ifade edilebilmektedir.

Bu ifadeden görülmektedir, alc her bir ek konteynr kiralad§nda beklenen kâr-ll§, ek konteynr kiralamad§ durumdaki beklenen kârna, göre ek konteynrn maliyeti, kadar azalmaktadr.

1

(

Q

)

π

Q

2q

q

_3q

4q

“ekil 4.1: Ta³ma Maliyetinin Etkisi ile Beklenen Kârllktaki De§i³im

Q1 büyüklü§ünde sipari³ verildi§inde k1 tane konteynr kiralanmaktadr, bu

durumda Model 1 için beklenen kârllk her nq, n = 1, .., k1 de§erinde T1n kadar

azalmaktadr. Ba³ka bir deyi³le, bu fonksiyon k1 tane parçadan olu³maktadr.

Beklenen kârll§n, kiralanan ek konteynrn maliyeti kadar azald§ sipari³ miktarlar yani nq, ∀n n ≥ 0 çal³mann bundan sonraki bölümlerinde krlma noktalar olarak adlandrlmaktadr.

Model 1 için beklenen kâr fonksiyonunu olu³turan her bir fonksiyonun içbükey yapda olmas, bu fonksiyonlarn klasik problem için beklenen kâr fonksiyonunun do§rusal birle³imi olmas ile açklanabilmektedir. Klasik problem için beklenen kâr fonksiyonu içbükey oldu§undan, tüm do§rusal birle³enleri de içbükey yapya sahiptir. Bunun yan sra, Model 1 için ikinci türev ko³ulu incelendi§inde de her bir fonksiyonun içbükey yapda oldu§u gözlemlenmektedir.

Benzer ³ekilde birinci türev ko³ulu incelendi§inde beklenen kâr fonksiyonunu olu³turan her bir fonksiyon için birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktarnn klasik problem için optimal sipari³ miktarna e³it oldu§u gözlemlenmektedir. Model 1 için beklenen kâr fonksiyonunun birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktar Qf

1 ile gösteriliyor olsun.

Qf₁ = Q∗₀ = F−1(p − c1+ s

p − v + s) (4.5)

Model 1 için beklenen kâr fonksiyonu “ekil 4 ile temsil edilmektedir. Kiralanan her bir ek konteynrn maliyetine ba§l olarak beklenen kârllk azald§ndan ve parçal bir fonksiyon yaps olu³tu§undan, beklenen kâr fonksiyonunu bir bütün halinde incelenememektedir. Bu nedenle, beklenen kâr fonksiyonunu olu³turan her bir fonksiyon için en büyükleme alt problemleri çözülmeli ve elde edilen beklenen kârllklar kar³la³trlmaldr. Tüm alt problemler içinde en yüksek beklenen kârll§a sahip problem belirlenerek kar³lk gelen sipari³ miktar Model 1 için optimal sipari³ miktar olarak kabul edilmelidir.

Çözüm prosedürü geli³tirilirken beklenen kâr fonksiyonunu olu³turan fonksiy-onlarn içbükey yaps göz önünde bulundurulmaldr. Birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktarndan yani Qf

1'den daha büyük sipari³ miktarlar için

beklenen kâr fonksiyonu azalan yapdadr. Bu nedenle, Model 1 için optimal sipari³ miktarnn Qf

1'den daha büyük olamayaca§ açktr. Benzer ³ekilde Q f 1'den

küçük sipari³ miktarlar için beklenen kâr fonksiyonunun yaps incelendi§inde, her bir fonksiyonun artan yapda oldu§u gözlemlenmektedir. Ba³ka bir deyi³le, [(n − 1)q, nq], 0 ≤ nq ≤ Qf₁ aral§nda en yüksek beklenen kâra sahip sipari³ miktarnn nq oldu§u belirtilebilir. Ek olarak, Qf

1 de§erini içeren aralk için en

yüksek kâra sahip sipari³ miktar Qf

1 olmaktadr. Bu durumda Model 1 için

optimal sipari³ miktar aranrken, Qf 1 ve Q

f

1'den küçük krlma noktalarndaki

Teorem 1. Model 1 için risk nötral alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktar Algoritma 1 ile belirlenebilmektedir.

Algoritma 1 Model 1 - Optimal Sipari³ Miktar Adm 1. Kritik oran kullanarak Qf

1 de§erini, kar³lk gelen beklenen kârll§,

π1



Qf₁, ve konteynr saysn hesapla.

Qf₁ = F−1 p − c1+ s p − v + s



(k1− 1) q < Qf1 ≤ k1q

Adm 2. i=1,2,..,k1-1 için π1(iq) beklenen kârllk de§erlerini hesapla ve en

yüksek kârll§a sahip olan sipari³ miktarn belirle.

i∗₁ = argmax

i1

{π1(i1q), i1 = 1, .., k1− 1}

Adm 3. Optimal sipari³ miktar Q∗

1 ile gösteriliyor olsun.

Q∗₁ = argmaxnπ1(i∗1q), π1  Qf₁o * 1 0 f Q =Q 1(Q1) π 1(Q1) π 0(Q1) π 1 Q 2q q 3q

Birim konteynr kiralama maliyetleri üzerine yaplan varsaym algoritmann kolayla³masn sa§lamaktadr.

Önerme 2. Birim konteynr maliyetlerinin azalmayan yapda oldu§u durumda, Algoritma 2 kullanlarak elde edilen sipari³ miktar Model 1 için optimal sipari³ miktardr.

spat. Model 1 için birim konteynr kiralama maliyetlerinin azalmayan yapda oldu§u varsaylsn. Bu durumda, beklenen kâr fonksiyonunun içbükey yapsndan yararlanlarak optimal sipari³ miktarn belirlemek için incelenen krlma nokta-larnn says azaltlabilmektedir. çbükeylik özelli§inden dolay,

π0((i + 1)q) − π0(iq) ≤ π0(iq) − π0((i − 1)q) i = 1, .., k1− 1

olmaktadr. Ba³ka bir deyi³le, sipari³ miktar arttkça ard³k iki krlma noktasndaki ta³ma maliyetsiz beklenen kârlarn farklar azalmaktadr.

T1(i+1) ≥ T1i oldu§undan, i'inci konteynr kiralamak kârl de§ilse (i + 1)'inci

konteynr kiralamak da kârl de§ildir. Bu durumda, en fazla (i − 1) konteynr kiralamak kârldr.

π0(iq) − π0((i − 1)q) ≤ T1iπ0((i + 1)q) − π0(iq) ≤ T1(i+1)

Özetle, daha az sayda konteynr kiraland§nda, kiralanacak bir ek konteynrdan elde edilecek ek kazanç bu konteynrn maliyetini kar³lamyorsa, kiralanacak sonraki konteynrlar için de bu maliyet elde edilecek ek kazanç ile kar³lana-mamaktadr. Bu bilgi kullanlarak incelenecek krlma noktalar için bir durma kriteri geli³tirilebilmektedir. Bu durumda, Algoritma 4 için Adm 2 güncellenerek Algoritma 4 olu³turulmaktadr.

Literatürde Model 1, tek sipari³ seçenekli ve ta³ma maliyetli problem, [10], [11] çal³malarnda birim konteynr kiralama maliyetlerinin e³it oldu§u varsaym altnda daha önce ele alnm³tr. Yaplan çal³ma kapsamnda ise hem ikinci bir

Algoritma 2 Model 1 - T(i+1) ≥ Ti oldu§unda Optimal Sipari³ Miktar

Adm 2'. i = k1− 1, k1 − 2, .., 1 için π0(iq), klasik problem beklenen kârllk

de§erlerini hesapla.

E§er, π0(iq) − π0((i − 1)q) ≥ T1i ise dur, i∗1 = i.

Adm 3'. Optimal sipari³ miktar Q∗

1 ile gösteriliyor olsun.

Q∗₁ = argmax n π1(i∗1q), π1  Qf₁ o

sipari³ seçene§inin bulundu§u durumda problem yapsnn belirlenmesinde bir ön görü sa§lamak hem de birim konteynr kiralama maliyetlerinin e³it olmad§ durumda da belirtilen çal³malarda önerilen çözüm algoritmasnn optimal sonucu verdi§ini göstermek amac ile yeniden ele alnm³tr.

5. K SPAR“ SEÇENEKL VE

TA“IMA MALYETL GAZETE

SATICISI PROBLEM

Bu bölümde, gazete satcs problemi için ikinci bir sipari³ seçene§inin bulun-du§u ve her iki sipari³ için de ta³ma maliyetine katlanld§ durumda, risk nötral alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktarnn belirlenmesi problemine, Model 2, yer verilmektedir. kinci sipari³ seçene§i göz önünde bulunduruldu§unda, problem yapsnn karma³kla³mas ve çözüm yönteminin belirlenmesinin zorla³mas nedeniyle problem alt problemlere ayrlarak incelen-mektedir. Alt problemler olu³turulurken, ikinci sipari³ miktar üzerine farkl varsaymlar yaplmakta ve bu varsaymlar altnda beklenen kâr en büyükleyen sipari³ miktarnn belirlenmesi amaçlanmaktadr.

Literatürde ikinci sipari³ seçene§ini ele alan çal³malarda iki farkl varsayma yer verilmektedir. kinci sipari³ seçene§i sat³ dönemi içerisinde ya da sonunda kullanlabilmektedir. kinci sipari³in sat³ dönemi içerisinde kullanlmas, alcya dönem ba³nda talebi gözlemleme imkân sa§lamaktadr. Talebin belirli bir ksmn gözlemleyerek edinilen bilgi, belirsizli§i azaltmada kullanlmakta ve daha do§ru tahminler yapma imkân sunmaktadr. Bir di§er yakla³m ise dönem sonunda verilen ikinci bir sipari³ ile ertelenen talebin kar³lanmasdr. Dönem ba³nda verilen ilk sipari³ miktar ile talep kar³lanamad§nda belirli bir maliyete katlanlarak talep ertelenmekte ve ertelenen talep dönem sonunda verilecek ikinci bir sipari³ ile kar³lanmaktadr.

kar³lamak üzere kullanlmaktadr (1). Her iki sipari³ için de ta³ma maliyeti olu³makta ve ta³ma özde³ kapasiteli konteynrlarla yaplmaktadr (2). Sat³ yat sezon ba³lamadan belirlenmektedir ve gerçekle³en talebe göre farkllk göstermemektedir(3). Her iki sat³ dönemi için satn alma maliyetleri üzerinde herhangi bir indirim söz konusu de§ildir (4). kinci sipari³ için satn alma maliyeti, talebi erteleme maliyetini içermektedir, ve ilk sipari³ için satn alma maliyetinden daha yüksektir (5). Her iki sipari³ için birim konteynr kiralama maliyetleri artmayan yapdadr (6).

Belirtilen varsaymlar altnda Model 2 için olay ak³ “ekil 5.1 ile temsil edilmektedir. Ba³langçta, risk nötral alc beklenen kârn etkileyen maliyetleri göz önünde bulundurarak ilk dönem sipari³ miktarna karar vermektedir. Dönem içerisinde rassal talep gerçekle³mektedir ve gerçekle³en talebin miktarna göre talebin tamam ilk sipari³ miktar ile kar³lanabilir ve elde ürün kalabilir ya da talebin bir ksm kar³lanamayarak ertelenir.

Talebin ertelenmesi durumunda ikinci sipari³ seçene§inin kârll§ incelenmekte-dir. kinci sipari³ için de tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyeti olu³tu§undan, ertelenen talebin baz durumlarda kar³lanmas kârl olmayabilmektedir. Bu durumda, ikinci sipari³ karar verilirken, ikinci sipari³ten elde edilecek net kâr ile ikinci sipari³ kullanlmad§ durumda olu³acak yok satma maliyeti kar³la³trl-maldr. Bu kar³la³trma, ikinci sipari³te kullanlacak her ek konteynr için ayr ayr yaplmaldr. E§er kar³la³trma sonunda, i'inci ek konteynr kiraland§nda elde edilecek net kâr, o ek konteynr kiralama maliyetini kar³lamyorsa ertelenen talep için i'inci ek konteynr kullanlmamakta ve ertelenen talebin sadece (i − 1)q kadar kar³lanmaktadr. Özetle, ikinci sipari³ karar kullanlacak ek konteynr-larn kiralanmas karar ile e³de§er olarak dü³ünülebilir. Verilen karar sonunda ya ertelenen talebi kar³lamayarak yok satma maliyetine katlanlmaktadr ya da ikinci sipari³ ile ertelenen talebin bir ksm ya da tamam kar³lanmaktadr. Tanm 1. Ba³aba³ de§eri, Q0_i

1, ikinci sipari³ için i'inci ek konteynrn kiraland§

durumda elde edilecek ek kârn bu konteynr kiralanmad§ durumda olu³acak yok satma maliyetine e³it oldu§u de§erdir.

İlk Dönem Sipariș/Üretim Miktarının Kararı Olasılıksal Talebin Gerçekleșmesi Satıș Döneminde 1 :

İlk Dönem Sipariș Miktarı Q

Talep=x 1

Q

<

x

Q

>

x

Yok-Satma İkinci siparișin verilmesi

Elde Kalma

ˆ

-İkinci Siparișin Karı Yok satma Maliyeti≥

2

: İkinci Sipariș Miktarı Q

“ekil 5.1: Olay Ak³ 2.

ek konteynrn kiralanma karar için birim konteynr kapasitesinden daha az miktarda ek sipari³ verilmesinin karl olup olmad§nn analizi yaplmaktadr. Ba³ka bir deyi³le, (i − 1)q + Q1 ≤ x ≤ iq + Q1, i ≥ 0 oldu§u varsaylmaktadr.

(p − c2)(x − Q1− (i − 1)q) − T2i ≥ −s(x − Q1 − (i − 1)q)

Belirtilen ko³ulun sa§lanmas için, ba³ka bir deyi³le i'inci ek konteynrn kiralan-masnn kârl olabilmesi için gerçekle³ecek talebin i'inci ek konteynr için E³itlik 5.1 ile tanmlanan ba³aba³ de§erinden daha fazla olmas gerekmektedir.

Q0₁i = T2i p − c2+ s

+ Q1+ (i − 1)q, i = 1, .., m (5.1)

Belirtildi§i üzere, ikinci sipari³ seçene§inin ve ta³ma maliyetinin birlikte göz önünde bulundurulmas problemi zorla³trmaktadr. Di§er yandan ikinci sipar-i³in daha maliyetli olmasnn gerçek hayatta kullanlan konteynr kapasiteleri ve saylarn belirlemede etkili olaca§n dü³ündürmektedir. Bu nedenlerden ötürü problem konteynr kapasiteleri ve saylar üzerine yaplan varsaymlara dayandrlarak alt problemler ³eklinde ele alnmaktadr. Model 2.1., ikinci sipari³in ta³nmasnda kapasitesi yeterli tek bir konteynrn bulundu§u durumu incelerken, Model 2.2. kullanlan tek konteynrn kapasitesinin belirli oldu§u durumu ve Model 2.3. ise ikinci sipari³ için kapasitesi belirli birden fazla konteynrn kullanlabildi§i durumu incelemektedir.

5.1 Limitsiz kinci Sipari³

Bu modelde, ikinci sipari³in kapasitesi yeterli, limitsiz, tek bir koteynr ile ta³nabildi§i ve her iki sipari³ için ta³ma maliyetinin göz önünde bulunduruldu§u durumda risk nötral alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktarnn belirlenmesi problemi ele alnmaktadr.

kinci sipari³ için kullanlacak konteynrn yeterli kapasitede oldu§u varsaym, hem problemin analizini nispeten kolayla³trarak di§er modeller için öngörü kazandrmakta hem de gerçek hayatta sklkla kar³la³ld§ dü³ünülen talebin büyük ksmnn ilk sipari³ ile kar³lanmas durumunu ele almaktadr. kinci sipari³in, ilk sipari³e göre daha yüksek maliyete sahip oldu§u açktr. Birim satn alma maliyeti, bir birim talebi ertelemenin maliyetini de içermektedir. Ayrca, gerçek hayatta ço§u durumda tedarikçiler ikinci bir sipari³ seçene§i sunarken bu sipari³in hazrlk maliyetini alcya yanstmaktadrlar. kinci sipari³ için birim konteynr kiralama maliyetleri de göz önünde bulunduruldu§unda, alcnn belirsizli§in çok yüksek olmad§ durumlarda beklenen talebin büyük

ksmn ilk sipari³ ile kar³lama e§iliminde olaca§ dü³ünülebilir. Bu nedenle ço§u durumda alcnn erteledi§i talep miktar bir konteynr kapasitesini a³mamaktadr. Böylelikle, ikinci sipari³ için kullanlan konteynr kapasitesinin yeterli büyüklükte oldu§u ba³ka bir deyi³le limitsiz oldu§u varsaymnn geçerli oldu§u söylenebilir. Bu model, tek bir konteynr kiralamann sabit maliyeti ikinci sipari³i edinmek için gerekli hazrlk maliyeti olarak kabul edildi§inde, iki sipari³ seçenekli ve sabit hazrlk maliyetli problemi de kapsamaktadr.

Belirtildi§i üzere ikinci sipari³ seçene§i, talep kiralanacak ek konteynr için hesaplanan ba³aba³ de§erine e³it ya da bu de§erden daha fazla gerçekle³ti§i durumda kullanlmaktadr. Bu nedenle bu modelin kâr fonksiyonu, Π21(Q1, x)

olu³turulurken ba³aba³ de§eri dikkate alnmaktadr. kinci sipari³in ta³nmasnda kapasitesi yeterli tek bir konteynr kullanlyor oldu§undan ikinci sipari³ kârl bulundu§unda ertelenen talebin tümü, Q2 = x − Q1, konteynr kapasitesinden

ba§msz olarak kar³lanmaktadr.

x ≥ T21 p − c2+ s

+ Q1 (5.2)

Bu durumda ba³aba³ de§eri, Q0

1, E³itlik 5.3'deki gibi ifade edilmektedir.

Q0₁ = T21 p − c2+ s + Q1 ∆ = T21 p − c2+ s Q0₁ = ∆ + Q1 (5.3)

Q0₁ tanmnda yer verilen ∆ ifadesi, daha sonraki a³amalarda gösterimde sadelik sa§lamas bakmndan kullanlmaktadr. Model 2.1 için kâr fonksiyonu ve beklenen kâr fonksiyonu sras ile Π21(Q1, x) ve π21(Q1) = Ex[Π21(Q1, x)] ile

Π21(Q1, x) =                  px − c1Q1+ v (Q1− x) − T1(Q1) x ≤ Q1 pQ1− c1Q1 − s (x − Q1) − T1(Q1) Q1 < x < Q 0 1 px − c1Q1− c2(x − Q1) − T1(Q1) − T21 x ≥ Q10 (5.4) π21(Q1) = Z Q1 0 (px − c1Q1 + v (Q1− x) − T1(Q1)) f (x) dx + Z Q 0 1 Q1 (pQ1− c1Q1− s (x − Q1) − T1(Q1)) f (x) dx + Z ∞ Q0₁ (px − c1Q1− c2(x − Q1) − T1(Q1) − T21) f (x) dx (5.5)

Beklenen kâr fonksiyonunun yaps düzgün da§lm ve üssel da§lm gibi artmayan yapdaki olaslk yo§unluk fonksiyonlar için ve normal da§lm için analiz edilecektir.

Önerme 3. kinci sipari³in kapasitesi yeterli tek bir konteynr ile ta³nabildi§i ve talep da§lmnn artmayan yapda olaslk yo§unluk fonksiyonuna sahip oldu§u durumda, beklenen kâr fonksiyonu içbükey fonksiyonlardan olu³an parçal bir fonksiyondur.

spat. Beklenen kâr fonksiyonunun parçal yaps, Model 1'de oldu§u gibi ta³-mada kullanlan konteynrlarn kiralama maliyetlerinin beklenen kâra etkisi ile açklanabilmektedir.

Beklenen kâr fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri sras ile E³itlik 5.6 ve E³itlik 5.7 ile ifade edilmektedir.

dπ21(Q1)

dQ1

= − (p − v + s) F (Q1) + (p − c2+ s) F



d2_π 21(Q1) dQ2 1 = − (p − v + s) f (Q1) + (p − c2+ s) f  Q0₁ (5.7) E³itlik 5.7 incelendi§inde, v ≤ c2 ve Q1 ≤ Q 0 1 oldu§undan, düzgün da§lm ya da

üssel da§lmda oldu§u gibi f(.) azalmayan yapda ise, bu ifadenin pozitif de§er alamayaca§ görülmektedir. Bu durumda, talep da§lm ile ilgili belirtilen ko³ul altnda beklenen kâr fonksiyonunu olu³turan fonksiyonlar içbükey yapdadr.

Teorem 2. kinci sipari³in kapasitesi yeterli tek bir konteynr ile ta³nabildi§i ve talep da§lmnn artmayan yapda olaslk yo§unluk fonksiyonuna sahip oldu§u durumda, risk nötral alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktar, ilgili beklenen kâr fonksiyonu kullanlarak Algoritma 1 ile elde edilmektedir.

-Önerme 4. kinci sipari³in kapasitesi yeterli tek bir konteynr ile ta³nabildi§i ve talebin Normal da§lml olaslk yo§unluk fonksiyonu ile ifade edilebildi§i durumda, beklenen kâr fonksiyonu içbükeyimsi (quasiconcave) fonksiyonlardan olu³an parçal bir fonksiyondur.

spat. Beklenen kâr fonksiyonunun parçal yaps, Önerme 3'de yer verildi§i üzere tam dolu konteynr tipi ta³ma maliyetinden kaynaklanmaktadr.

Normal da§lml talep için, π21(Q1)'i olu³turan fonksiyonlarn yaps incelenirken

ifadenin ikinci türevinden yararlanlmaktadr. kinci türevin negatif de§erler alabilmesi için yani incelenen fonksiyonlarn içbükey yapda olabilmesi için E³itlik 5.8 ile belirtilen ko³ulun sa§lanmas gerekmektedir.

f Q0₁
f (Q1)

≤ p − v + s p − c2+ s

(5.8)

bir x rasgele de§i³keni için f(x) a³a§daki gibi ifade edilmektedir. f (x) = √ 1 2πσ2 exp − (x − µ)2 2σ2 (5.9) E³itlik 5.8'de α = p−v+s

p−c2+s olarak tanmland§nda a³a§daki ifade elde edilir.

lnf Q 0 1
f (Q1) ≤ ln α (5.10)

Normal da§lma ait olaslk yo§unluk fonksiyonu, E³itlik 5.10'da yerine yazld§nda a³a§daki ifade elde edilmektedir.

1 2σ2  (Q1− µ) 2 −Q0₁− µ2  ≤ ln α (5.11)

Gerekli düzenlemeler yapld§nda, E³itlik 5.8'i sa§layan sipari³ miktarlar için ko³ul E³itlik 5.12'de gösterildi§i gibi elde edilmektedir. Belirtilen ko³ulu sa§layan sipari³ miktarlar için beklenen kâr fonksiyonunun içbükey, di§er durumlarda ise d³bükey bir fonksiyon oldu§u söylenebilir.

Q1 ≥ µ −

σ2_{ln α}

∆ −

∆

2 (5.12)

çbükeyli§in sa§land§ ilk sipari³ miktarlar için alt snr, e³ik de§eri olarak adlandrlsn ve Qt ile gösterilsin.

Qt= µ −

σ2ln α

∆ −

∆

2 (5.13)

Özetle, beklenen kâr fonksiyonu normal da§lml talep altnda içbükeyimsi fonksiyonlardan olu³an parçal bir fonksiyondur.

sahip oldu§u durumda, [0, Qt] aral§nda artan d³bükey yapdadr.

spat. D³bükey aralkta beklenen kâr fonksiyonunun artan yapda olmas sipari³ verilmedi§i durumda yani Q1 → 0iken birinci türevin pozitif de§er alyor olmas

ile açklanmaktadr, dπ21(Q1) dQ1    Q1→0 ≥ 0, [0, Qt]. lim Q1→0 dπ21(Q1) dQ1 = (p − c2+ s)F (∆) + (−c1 + c2) (5.14) Bu ifade, p − c2 + s ≥ 0, F (∆) ≥ 0 ve −c1 + c2 ≥ 0 oldu§undan Q1 → 0

iken pozitif de§erler almaktadr. Aral§n ba³langcnda artan yapda olan bu fonksiyon, d³bükey olmas nedeni ile [0, Qt]aral§ boyunca artan yapdadr.

Önerme 4 ve ön teorem 1 ile belirtildi§i üzere, e³ik de§erinden küçük sipari³ miktarlar için π21(Q1)'i olu³turan fonksiyonlar artan d³bükey yapda ve daha

büyük sipari³ miktarlar için bu fonksiyonlar içbükey yapdadr.

Önteorem 2. Birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktar, Qf

21,norm ile

gösteriliyor olsun. Model 2.1 için normal da§lml talep altnda, Qf

21,norm tekildir

ve Qf

21,norm > Qt'dir.

spat. [0, Qt] aral§nda π21(Q1) artan d³bükey yapda fonksiyonlardan

olu³-tu§undan, bu aralkta birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktar bulunma-maktadr. [Qt, ∞] aral§nda ise fonksiyonlar içbükey yapdadr ve çok büyük

sipari³ miktarlar için birinci türev negatif de§erler almaktadr yani beklenen kâr fonksiyonu azalan yapdadr.

lim

Q1→∞

dπ21(Q1)

dQ1

= −∞

Bu durumda, içbükey aral§n ba³langcnda beklenen kâr fonksiyonu artan ve sonsuzda azalan oldu§undan birinci türev ko³ulunu sa§layan tek bir sipari³ miktar vardr. Bu sipari³ miktarnn Qtde§erinden farkl olmas ise birinci sipari³

için ta³ma maliyetini içermeyen beklenen kâr fonksiyonunun sürekli yapda olmasndan kaynaklanmaktadr.

Belirtilenler göz önünde bulunduruldu§unda, Model 2.1 için beklenen kâr fonksiy-onu “ekil 5.2 ile temsil edilmektedir.

[

]

q

“ekil 5.2: Model 2.1 Beklenen Kâr Fonksiyonu

“ekil 5.2 ile gösterilen fonksiyonunun yaps incelendi§inde, optimal sipari³ miktarnn Qf

21,norm de§erinden farkl olabilece§i görülmektedir. Model 1'de

oldu§u gibi birinci türev ko³ulunu sa§layan sipari³ miktarndan küçük krlma noktalarndan biri daha yüksek beklenen kâra sahip olabilmektedir. Bu nedenle, beklenen kâr fonksiyonunun yaps incelenerek risk nötral alcnn beklenen kârn en büyükleyen sipari³ miktarn belirleyen çözüm prosedürü geli³tirilmelidir. Bunun için öncelikle d³bükey aralktaki optimal sipari³ miktar ara³trlm³tr.

Önteorem 3. (l − 1)q ≤ Qt≤ lq olmak üzere, Q21max, [0, (l − 1)q] aral§ndaki en

yüksek beklenen kâra sahip sipari³ miktarn gösteriyor olsun.

Q21_max = argmax {π21(0), π21((l − 1)q)} (5.15)

spat. (l − 1)q < Qt ≤ lq olmak üzere π21(Q1), [0, (l − 1)q] aral§nda artan