FERROMANYETİK ÖRGÜLERİN FİZİKSEL ÖZELLİKLERİNİN MONTE CARLO YÖNTEMİ
İLE İNCELENMESİ Pınar BULUT Yüksek Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Muzaffer Erdoğan
T.C.
NAMIK KEMAL ÜN˙IVERS˙ITES˙I
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ
YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I
FERROMANYET˙IK ÖRGÜLER˙IN F˙IZ˙IKSEL ÖZELL˙IKLER˙IN˙IN
MONTE CARLO YÖNTEM˙I ˙ILE ˙INCELENMES˙I
Pınar BULUT
F˙IZ˙IK ANAB˙IL˙IM DALI
DANI ¸SMAN: Yrd. Doç. Dr. Muzaffer ERDO ˘
GAN
Yrd. Doç. Dr. Muzaffer ERDO ˘GAN danı¸smanlı˘gında, Pınar BULUT tarafından hazırlanan bu çalı¸sma a¸sa˘gıdaki jüri tarafından. Fizik Anabilim Dalı’nda yüksek lisans tezi olarak kabul edilmi¸stir.
Juri Ba¸skanı : Yrd. Doç. Dr. Beyhan TATAR ˙Imza: Üye : Yrd. Doç. Dr. Muzaffer ERDO ˘GAN ˙Imza: Üye : Yrd. Doç. Dr. Nurettin ÇALI ¸SKAN ˙Imza:
Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu adına
Doç. Dr. Fatih KONUKÇU Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FERROMANYET˙IK ÖRGÜLER˙IN F˙IZ˙IKSEL ÖZELL˙IKLER˙IN˙IN MONTE CARLO YÖNTEM˙I ˙ILE ˙INCELENMES˙I
Pınar BULUT Namık Kemal Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı
Danı¸sman: Yrd. Doç. Dr. Muzaffer ERDO ˘GAN
Ferromanyetik malzemeler sahip oldukları manyetik özellikleri bakımından özellikle mühendis-likte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu sebeple ferromanyetik malzemelerin manyetik özellik-lerinin incelenmesi çok önemlidir. Bu tez çalı¸smasında, ferromanyetik malzemelerin en yaygın örne˘gi olan ferromanyetik ince filmlerin manyetik özellikleri incelendi. ˙Ilk olarak ferromanyetik bir telin etrafına kaplanan ince filmden olu¸san bir sistem ve ardından da ferromanyetik ince bir filmin etrafına kaplanan farklı bir ince filmden olu¸san sistem tasarlandı. Sistemlerdeki manyetik etkile¸simler Monte Carlo benzetim tekni˘gi ile incelendi. Ferromanyetik sistemlerin mıknatıslanma süreci manyetik alan ve sıcaklık etkisine ba˘glı olarak ara¸stırıldı. Sisteme ait manyetik histeresis e˘grileri elde edildi ve sistemin koersivite, anizotropi gibi manyetik özellikleri belirlendi.
Anahtar Kelimeler: Ferromanyetik ince film, manyetik histeresis, ¸sekil anizotropisi, kaplama, Monte Carlo metodu
ABSTRACT
MSc. Thesis
INVESTIGATION OF THE PHYSICAL PROPERTIES OF FERROMAGNETIC LATTICES VIA MONTE CARLO METHOD
Pınar BULUT Namık Kemal University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. MUZAFFER ERDO ˘GAN
Ferromagnetic materials have been commonly used in engineering applications because of their magnetic property. Due to this, understanding of the magnetisation processes of ferromagnetic ma-terials is very important issue. In this thesis, magnetic properties of ferromagnetic thin films that is the most common sample of ferromagnetic materials, were investigated. Firstly, the system that is formed a wire with a thin film coating around it and then a system that is formed a thin film with another thin film coating around it, was designed. The magnetic interactions in the system were studied via Monte Carlo simulation method. The effect of temperature and external magnetic field on magnetisation process were simulated and investigated. Magnetic histeresis loops of the system were plotted and coercivity, anisotropy properties of the system were observed.
Keywords: Ferromagnetic thin film, magnetic histeresis, shape anisotropy, coating, Monte Carlo method
TE ¸SEKKÜR
Yüksek lisans çalı¸smalarım sırasında bilgi ve tecrübeleriyle bana yardımcı olan danı¸smanım Yrd. Doç. Dr. Sayın Muzaffer ERDO ˘GAN’a te¸sekkürlerimi sunarım.
Deste˘gini her zaman hissetti˘gim Prof. Dr. Sayın Hasan AKBA ¸S’ a te¸sekkürlerimi sunarım.
˙IÇ˙INDEK˙ILER
ÖZET ii
ABSTRACT iii
TE ¸SEKKÜR iv
˙IÇ˙INDEK˙ILER vi
¸SEK˙IL L˙ISTE˙I viii
SEMBOLLER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I ix
I G˙IR˙I ¸S 1
II KURAMSAL TEMELLER 3
2.1 Atomların Manyetik Özellikleri . . . 3
2.1.1 Manyetik Alan . . . 3
2.1.2 Manyetik Moment . . . 3
2.1.3 Mıknatıslanma (Manyetizasyon) . . . 5
2.2 Maddenin Manyetik Özelliklerine Göre Sınıflandırılması . . . 5
2.2.1 Diamanyetizma . . . 6
2.2.2 Paramanyetizma . . . 7
2.2.3 Ferromanyetizma . . . 13
2.2.4 Antiferromanyetizma . . . 15
2.2.5 Ferrimanyetizma . . . 16
2.3 Temel Manyetik De˘gi¸skenler . . . 16
2.4 Ferromanyetik Domainler . . . 18
2.5 Domain Duvarı . . . 20
2.7 Manyetik Anizotropi . . . 25 2.7.1 Manyetokristal Anizotropisi . . . 26 2.7.2 ¸Sekil Anizotropisi . . . 27 2.8 Manyetik Büzülme . . . 29 2.9 Stoner-Wohlfarth Modeli . . . 30 2.9.1 Giri¸s . . . 30 2.9.2 Stoner-Wohlfarth Teorisi . . . 31
III MATERYAL VE YÖNTEM 37 3.1 Giri¸s . . . 37
3.2 Ferromanyetik ˙Ince Film . . . 37
3.3 Monte Carlo Benzetim Yöntemi . . . 38
IV ARA ¸STIRMA BULGULARI 41 4.1 Ferromanyetik ˙Ince Bir Telin Ferromanyetik ˙Ince Bir Filmle Kaplanması . . . 41
4.1.1 Sistem ve Enerji Hesabı . . . 41
4.1.2 Histeresis E˘grileri . . . 44
4.2 Ferromanyetik ˙Ince Bir Filmin Ferromanyetik Farklı Bir ˙Ince Filmle Kaplanması . 48 4.2.1 Sistem ve Enerji Hesabı . . . 48
4.2.2 Histeresis E˘grileri . . . 49
V SONUÇ 54
KAYNAKÇA 56
EKLER 58
¸SEK˙IL L˙ISTES˙I
II.1 Dairesel yörüngede hareket eden elektron ve olu¸sturdu˘gu akım halkası . . . 3
II.2 Bir atomun yörünge ve spin manyetik momentleri . . . 5
II.3 Paramanyetik malzemelerin manyetik moment hesabı için dikkate alınan küre . . . 8
II.4 L=0,J=S=1/2 durumu için manyetik alanda yarılma . . . 12
II.5 Farklı teorilerle hesaplanan manyetik duygunlu˘gun sıcaklı˘ga ba˘glılı˘gı . . . 16
II.6 Ferromanyetik bir malzemenin domainlere bölünmesi . . . 19
II.7 ˙Iki domainden olu¸san ferromanyetik bir malzemenin mıknatıslanması (Cullity 1972) 19 II.8 Domain duvarı . . . 20
II.9 Ferromanyetik bir malzeme için Block ve Neel duvarı modelleri . . . 21
II.10 Domain duvarının de˘gi¸s-toku¸s, anizotropi ve toplam enerjilerinin duvar kalınlı˘gına ba˘glı de˘gi¸simi . . . 23
II.11 Manyetik histeresis döngüsü . . . 23
II.12 Yumu¸sak ve sert ferromagnetler için histeresis e˘grileri . . . 25
II.13 Kristal yapıya sahip demir için farklı do˘grultularda mıknatıslanma e˘grileri (Cullity 1972) . . . 26
II.14 (a)yayık kürede ¸sekil anizotropisi (b)demanyetizasyon alanı etkisi ile depolanan enerji 28 II.15 Kendili˘ginden manyetik büzülme . . . 29
II.16 Dı¸s alan etkisi ile manyetik büzülme . . . 30
II.17 Tek domainli bir yayık küre . . . 31
II.18 α = 900için yayık küre ve histeresis e˘grisi . . . . 33
II.19 α = 00için yayık küre ve histeresis e˘grisi . . . 35
II.20 Normalize alanın farklı de˘gerleri için enerjinin θ ’ya ba˘glı de˘gi¸simini veren grafik 35 II.21 Stoner-Wohlfarth parçacı˘gı için α ’nın farklı de˘gerlerinde histeresis e˘grisi . . . 36
III.1 ˙Iki boyutlu ferromanyetik bir sistem . . . 38
IV.1 Tel ve etrafına kaplanan ince filmden olu¸san ferromanyetik bir sistem . . . 41
IV.3 Ferromanyetik filmin histeresis e˘grileri . . . 45
IV.4 Ferromanyetik tel ve filmden olu¸san sistemin histeresis e˘grileri . . . 46
IV.5 Ferromanyetik telin farklı sıcaklık de˘gerleri için histeresis e˘grileri . . . 47
IV.6 ˙Ince film ve etrafına kaplanan farklı bir filmden olu¸san sistem . . . 48
IV.7 m-filmi için histeresis e˘grileri . . . 50
IV.8 s-filmi için histeresis e˘grileri . . . 51
IV.9 Ferromanyetik iki ince filmden olu¸san sistemin histeresis e˘grileri . . . 52
SEMBOLLER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I
T Sıcaklık
TC Curie Sıcaklı˘gı
µB Bohr Magnetonu
µet Etkin Bohr Magnetonu
µ0 Bo¸s uzayın manyetik geçirgenli˘gi
µr Manyetik ba˘gıl geçirgenlik
L Yörüngesel açısal momentum
S Spin açısal momentumu
J Toplam açısal momentum
µL Yörüngesel açısal manyetik momenti
µS Spin manyetik momenti
µ Toplam manyetik moment
~ Planck sabiti g Lande g-faktörü M Mıknatıslanma H Manyetik alan N Atom sayısı χ Manyetik alınganlık ω Larmor Frekansı
L(a) Langevin Fonksiyonu
MS Doyum mıknatıslanması
C Curie Sabiti
TF Fermi Sıcaklı˘gı
mj Manyetik Kuantum sayısı
BJ(x) Brillouin Fonksiyonu
J De˘gi¸s-Toku¸s ˙Integrali
~
Si i. elektronun spini
Eex De˘gi¸s-toku¸s etkile¸sme enerjisi
Hm Weiss moleküler alanı
γ Moleküler alan katsayısı
Ean Anizotropi enerjisi K Anizotropi sabiti δ Duvar kalınlı˘gı Mr Artık mıknatıslanma Hc Koersivite HD Demanyetizasyon alanı λ Manyetik Büzülme EH Zeeman enerjisi
Edip−dip Dipol-dipol etkile¸sim enerjisi
SW Stoner-Wohlfarth
BÖLÜM I
G˙IR˙I ¸S
Ferromanyetik malzemelerin manyetik alan mevcut olmadı˘gında bile kalıcı manyetik momente sahip olmaları onların en önemli özelli˘gidir. Bu sebeple ferromanyetik malzemelerin üzerinde son yıllarda yapılan çalı¸smalarda pek çok teori ortaya atılmı¸s ve yapılan deneyler sonucunda önemli veriler elde edilmi¸stir (Liorzou ve ark. 2000).
Ferromanyetik malzemeler ince film ¸seklinde günümüzün bir çok önemli teknolojik uygula-masında kullanım potansiyeline sahiptir. Manyetik ince filmler zengin manyetik özellikleri ve teknolojiye uyarlanabilir endüstriyel uygulamaları ile son zamanlarda yaygın bir çalı¸sma alanı ha-line gelmi¸stir.
˙Ilk defa August Kundt tarafından 19.yy’da çalı¸sılan ferromanyetik ince filmler bili¸sim teknolo-jisinin hızla geli¸simiyle manyetik kayıt sistemlerinin vazgeçilmezi olmu¸stur (Kundt ve Wied 1884). Teknolojinin geli¸sip büyümesine paralel olarak yüksek hızlı bilgisayarlara dolayısıyla hızlı ve yük-sek kapasiteli belleklere, kayıt ba¸slıklarına, kayıt araçlarına ve do˘gal olarak söz konusu malzemelerin üretim tekniklerine olan ihtiyaç her geçen gün artmaktadır.
˙Ince film teknolojisi ister yeni bir devrim ister devam eden bir evrim olarak adlandırılabilir. Malzeme ve fizik bilimi gibi bir çok alanda ihtiyaç duyulan, gittikçe küçük boyutlarda ve hem yaygın hem hızlı i¸slev gören malzeme üretimine olanak veren ince filmler teknolojinin kilit nok-tasıdır (Gleiter 1989).
Seksenli yıllların ba¸slangıcında 350 kB kapasiteli kayıt cihazları üretilmeye ba¸slamı¸sken 1985 yılında bu kapasite 5 MB’a, on yıl sonrasında 26 MB’a, 2005 yılında hard diskler için 300 GB’a ve günümüzde TB’a kadar çıkmı¸stır.
˙Istenen amaca uygun yeni tip bir malzeme için ince filmler ço˘gunlukla ferromanyetik, dielek-trik ve iletken malzemelerin kombinasyonlarından olu¸san çoklu sistemler olarak kullanılmaktadır (Daughton 1999). Amaca uygun olarak tasarlanacak sistemler için çe¸sitli kaplama yöntemleri de bu geli¸smelerin paralelinde ilerlemektedir.
Bahsedilen çoklu sistemler için yapılan teorik çalı¸smalarda, ferromanyetik malzemelerin manyetik özelliklerinini belirlemede yol gösterici olan manyetik histeresis e˘grileri elde edilerek iyi bir ¸sek-ilde yorumlanmalıdır ve uygulaması mümkün bir sistem ise deneysel çalı¸smalar sonucu teoriyle belirlenen manyetik özelliklere uygun yeni bir manyetik sistem tasarlanır (Gruyters 2004).
Bu tez çalı¸smasında ise ilk olarak II. Bölümde günümüz teknolojisi açısından öneminden bah-setti˘gimiz ferromanyetik malzemeler ve mıknatıslanma özellikleri hakkında bilgiler verilmi¸s, bu alanda eski ancak öncü bir çalı¸sma olan Stoner-Wohlfarth teorisine de˘ginilmi¸stir. SW teorisi
tez-imizde incelenen sistemi irdelemede aydınlatıcı olmaktadır.
Bu tez kapsamanında ferromanyetik bir telin ince bir filmle kaplanması ve ince bir filmin ken-disinden farklı bir filmle kaplanması olmak üzere iki farklı sistem tasarlanmı¸stır. Sistemin mıknatıs-lanma sürecini veren histeresis e˘grilerinin elde edilmesi hedeflenmi¸stir. Sistem Monte Carlo metodu ile simüle edilerek beklenen e˘grilere ula¸sılmı¸stır. Kullanılan benzetim metodu ve sistemi olu¸stu-ran ince filmlerin genel özellikleri III. Bölümde verilerek teorik hesaplar için gerekli tekniklere de˘ginilmi¸stir.
IV. Bölümde ise sistemdeki manyetik etkiler incelenmi¸s, benzetim sonucu elde edilen histeresis e˘grilerinden yola çıkılarak tasarlanan sistemin koersivite, mıknatıslanma, anizotropi, yumu¸sak/sert ferromagnetlik gibi çe¸sitli manyetik özellikleri belirlenmi¸s. Bunlara ek olarak ferromanyetik telin sıcaklık artı¸sına tepkisini veren histeresis e˘grileri incelenmi¸stir.
Son bölümde ise tasarlanan manyetik sistemlerin özellikleri ve ince film teknolojisindeki yeri tartı¸sılmı¸stır. Sonuç olarak bu çalı¸smada, her ferromanyetik ince film kombinasyonunun farklı manyetik özelliklerde olaca˘gı, belirlenen amaca uygun manyetik özellikteki sistemelerin tasarlan-abilece˘gi görülmü¸stür.
BÖLÜM II
KURAMSAL TEMELLER
2.1
Atomların Manyetik Özellikleri
2.1.1
Manyetik Alan
Serbest bir atomun manyetik alanı yada di˘ger bir ismiyle mıknatıssal alanı, elektrik yüklerinin iki farklı hareketi sonucu ortaya çıkan fiziksel bir etkidir.
Serbest atomun pozitif yüklü proton ile nötr nötronlardan olu¸stu˘gu dü¸sünülürse; elektronların çekirdek etrafında yörüngesel bir hareket yapması sonucu olu¸san akım bir manyetik alan olu¸stu-rur. Aynı ¸sekilde elektronların spin olarak adlandırılan yapısal özelli˘gi sebebiyle kendi eksenleri etrafında dönmeleri sonucu olu¸san akım da bir manyetik alan olu¸sturur.
˙Iki farklı hareket sonucu olu¸san manyetik alanlar birbiriyle aynı özelli˘gi gösterir.
2.1.2
Manyetik Moment
Serbest bir atomun manyetik momenti iç atomik akımlardan meydana gelir. Bu akımları ba¸slıca üç sebep olu¸sturur: elektronların çekirdek etrafındaki yörüngesel açısal momentumu, elektronların sahip oldukları spin ve dı¸s bir manyetik alanda kazandıkları yörünge momenti. Bu durumda elek-tonun net manyetik momenti elektronun yörüngesel hareketi ile sahip oldu˘gu spin özelli˘ginin bir-le¸siminden meydana gelir.
r yarıçaplı bir yörüngede v hızıyla hareket eden mekütleli bir elektronun olu¸sturdu˘gu I akımı,
A yüzeyine sahip bir akım halkasının etrafından geçen I elektrik akımına benzer ( ¸Sekil II.1).
I elektrik akımının yarataca˘gı manyetik moment
µL = IA (2.1)
ile verilir. Çekirde˘gin etrafında 2πr ’lik dairesel yörüngenin çevresi kadar yolu T zamanında dolandı˘gından v=2πr/T hızıyla dönen elektron I=q/T=-ev/2πr elektrik akımını olu¸sturur. Bu du-rumda olu¸san yörüngesel manyetik moment
µL= IA = − ev 2πrπr 2 = −evr 2 (2.2)
olacaktır. Elektronun yörüngesel açısal momentumu ~L = m~v × ~r ¸seklinde tanımlandı˘gından yörüngesel manyetik moment
µL = −
e 2me
L (2.3)
olarak yazılabilir. Kuantum mekani˘gine göre yörüngesel açısal momentum, kuantumlu yani kesik-lidir ve h Planck sabiti olmak üzere her zaman ~ = h/2π = 1, 054.10−34js’nin tam katları ¸seklinde ifade edilir. Açısal momentum
L= 0, ~, 2~, ..., `~ (2.4)
de˘gerlerini alabilir. Bu durumda manyetik moment µL= − e~
2me
` (2.5)
olarak yazılabilir. Burada
µB = e~
2me
= 9, 27.10−24j/T (2.6)
büyüklü˘güne Bohr Magnetonu denir (Liebes ve ark. 1959).
Elektronun kendi ekseni etrafında dönmesinden kaynaklanan spin açısal momentumunun manyetik momente katkısı
µs= −gµBS (2.7)
ile verilir. Burada g, Lande g-faktörü yada spektroskopik yarılma faktörü olarak adlandırılır ve de˘geri yakla¸sık olarak 2’dir.
Bir atomun toplam manyetik mometi ise yörüngesel ve spin manyetik momentlerinin vektörel toplamıdır. ~L yörüngesel ve ~S spin manyetik momenti olmak üzere toplam manyetik moment ~µ ile gösterilirse de˘geri
~
¸Sekil II.2: Bir atomun yörünge ve spin manyetik momentleri e¸sitli˘gi ile verilir.
Yörüngesinde tek bir elektronu bulunan atomlar için net bir manyetik momentten söz etmek ko-lay iken yörüngesinde birden fazla elektronu bulunan atomlarda, dı¸sarıdan bir etki olmadı˘gı sürece (manyetik alan gibi), (2.8) ile verilen toplam manyetik momentin net de˘geri, atomların yörün-gelerinin doluluk oranına ba˘glıdır.
Yörüngelerinin tümü dolu olan atomlar, çiftlenmemi¸s elektron bulunmayaca˘gından elektron-ların manyetik momentleri birbirini dengeler ve toplamı sıfır olur, net bir manyetik momentleri yoktur.
Yörüngelerinin tümü dolu olmayan atomların, çiftlenmemi¸s elektronları sebebiyle toplamda sahip oldukları net bir manyetik momentleri vardır.
2.1.3
Mıknatıslanma (Manyetizasyon)
Mıknatıslanma bir maddedeki elektronların, harici bir manyetik alan uygulandı˘gında ya da varolan de˘gi¸stirildi˘ginde verdi˘gi tepkidir.
N malzemedeki atom sayısı, V malzemenin hacmi ve ~µ malzemenin manyetik momenti olmak üzere, malzemenin mıknatıslanması birim hacimdeki manyetik moment olarak verilir.
~
M = N
V ~µ (2.9)
2.2
Maddenin Manyetik Özelliklerine Göre Sınıflandırılması
Maddeler manyetik alana tepki verirler ve verdikleri tepkiler manyetik özelliklerini belirler.
Maddelerin manyetik özelliklerini belirlemek için, maddenin sahip oldu˘gu net manyetik mo-menti ya da daha yaygın olarak kayna˘gının ne oldu˘gu farketmeksizin uygulanan manyetik alan ile mıknatıslanma arasındaki ili¸skiyi veren bir orantı katsayısı incelenir.
Manyetik duygunluk (alınganlık) olarak isimlendirilen χ orantı katsayısının büyüklük ve i¸sareti maddelerin manyetik özelliklerini sınıflandırmada yardımcı olur.
χdia< 0 Manyetik duygunlu˘gu negatif olan maddeler diamanyetik,
χpara > 0 Manyetik duygunlu˘gu pozitif ve küçük olan maddeler paramanyetik, χf erro 1 Manyetik duygunlu˘gu pozitif ve büyük olan maddeler ferromanyetik
olarak sınıflandırılır.
2.2.1
Diamanyetizma
Yörüngelerinin tümü dolu olan atomlarda, çekirdek etrafında yörüngesinde dolanan elektronlar, akım ta¸sıyan küçük bir tel halkanınki gibi manyetik momente sahiptirler. Herhangi bir referans elektronu ve ona kom¸su elektronlar sonuçta birbirini yok edecek olan rastgele yönde manyetik mo-mentler yaratırlar ve böylece maddenin sahip oldu˘gu toplam manyetik moment sıfır olur. Manyetik momentin di˘ger bir kayna˘gı da yörünge hareketine katkı sa˘glayan, harici bir dı¸s manyetik alanın uygulanmasıdır. Manyetik alan uygulanmadı˘gı takdirde maddede net bir manyetik moment ol-madı˘gından mıknatıslanma söz konusu de˘gildir.
Maddeye harici bir dı¸s manyetik alan uygulanırsa elektronlar, kendi yörüngelerinde dolan-malarından kaynaklanan manyetik alanın de˘gi¸smesini engellemek için ivmelenerek hızlanır veya yava¸slarlar. Faraday Yasası olarak bilinen bu durum sonucunda bir elektro motor kuvveti olu¸sur. Faraday’ın devamı niteli˘ginde olan Lenz Yasasına göre ise, elektro motor kuvvetinin yarattı˘gı elek-trik akımı uygulanan dı¸s alanı azaltacak yönde akar. Bu durumda maddede, uygulanan dı¸s alana zıt do˘grultuda bir mıknatıslanma olu¸sur. Bu ¸sekilde net manyetik momenti olmayan ancak bir dı¸s alan varlı˘gında alana zıt yönde mıknatıslanma olayına diamanyetizma denir.
Kuantum teorisine göre atomdaki elektronlar Larmor frekansıyla salınım yaparlar. Bir atoma dı¸sarıdan bir manyetik alan uygulandı˘gında elektronlar ivmelenir ve yörünge açısal hızları de˘gi¸sir. Bu de˘gi¸sim H uygulanan dı¸s manyetik alan, e elektron yükü ve meelektron kütlesi olmak üzere
∆ω = eH
2me
(2.11) Larmor frekansıile verilir (Malcolm 2007).
Ba¸slangıçta çekirdek etrafındaki akım sıfır iken, dı¸s manyetik alan uygulandı˘gında sonlu bir akım olu¸sacaktır. Z sayıda elektronun Larmor frekansındaki salınım hareketi sonucu olu¸sacak bu akım
I = −Ze∆ω
2π = −Z e2H
4πm (2.12)
Yarıçapı ρ olan akım halkasının manyetik momenti µ = IA = −Ze 2H 4πm π < ρ 2 > = −Ze 2H 4m < ρ 2 > (2.13) ¸seklinde hesaplanabilir. Buradaki ρ; elektronun çekirdekten geçen ve uygulanan dı¸s manyetik alan do˘grultusunda olan bir eksene göre ortalama uzaklı˘gıdır.
Manyetik alan z do˘grultusunda uygulanmı¸s ise < ρ2 >=< x2+ y2 > ¸seklinde verilir. Elektro-nun çekirde˘ge olan ortala uzaklı˘gı r
< r2 >=< x2 > + < y2 > + < z2 > (2.14) ile verilir. Elektronların da˘gılımı küresel simetrik oldu˘gundan; < x2 >=< y2 >=< z2 > e¸sitli˘gi
kullanılarak
< ρ2 >= 2 3 < r
2 >
(2.15) oldu˘gu görülür. Bu durumda manyetik moment
µ = −Ze
2H
6m < z
2 >
(2.16) ifadesi ile elde edilir.
Birim hacimde N sayıda atom bulunan maddeler için diamanyetik duygunluk χdia = N µ HV = N Hµ (2.17) χdia = −N Ze 2 6m < r 2 > (2.18)
¸seklinde ifade edilir. Duygunluk, < r2 > de˘gerinin kuantum mekani˘gi ile hesaplanması sonucu
bulunabilir.
˙Ilk defa Paul Langevin tarafından incelenen bu teori Langevin Ba˘gıntısı olarak bilinir (Darwin 1931).
2.2.2
Paramanyetizma
Yörüngelerinin tümü dolu olmayan, çiftlenmemi¸s elektrona sahip moleküllerde, elektronların bütün spin ve yörünge momentleri birbirlerini yok etmez ve sistemin toplam spini dolayısıyla net manyetik momenti sıfırdan farklı olur.
Elektronların manyetik momentleri birbirleriyle yalnız çok zayıf etkile¸simde bulunurlar ve dı¸s manyetik alan uygulanmadı˘gı zaman geli¸si güzel yönelirler. Sisteme dı¸sarıdan harici bir manyetik alan uygulandı˘gında atomik momentler alan yönünde dönme e˘giliminde bulunurlar ve sistem bu yönde mıknatıslanır. Fakat atomlar artan sıcaklı˘ga tabi tutulursa, atomik momentler rastgele yönelmek isterler ve bu da alan yönündeki mıknastıslanmayı azaltır. Bu nedenle paramanyetik malzemeler, uygulanan dı¸s alan ile aynı yönde mıknatıslanma gösterdi˘ginden pozitif ve mıknatıslanmaya sadece dı¸s alan katkıda bulundu˘gu için küçük duygunlu˘ga sahiptir.
Paramanyetizmanın klasik teorisi:
Birbirleriyle etkile¸smeyen rastgele yönelmi¸s µ manyetik momente sahip bir sisteme z yönünde bir H manyetik alanı uygulansın.
¸Sekil II.3: Paramanyetik malzemelerin manyetik moment hesabı için dikkate alınan küre
Sistem küresel bir simetriye sahip olaca˘gından, ( ¸Sekil II.3)’teki θ ile θ+dθ aralı˘gındaki manyetik momentler göz önüne alınsın. Alan do˘grultusundaki net manyetik momentin
µz = µ cos θ (2.19)
oldu˘gu görülmektedir. Alan uygulandı˘gı zaman bütün~µ manyetik moment vektörleri alan yönünde dönerler. Böylece alana maruz kalan her bir atomik moment Eppotansiyel enerjisine sahip olur ve
bu enerji
Ep = −~µ · ~H = −µH cos θ (2.20)
ile verilir. Ortalama manyetik moment < µz >, T sıcaklı˘gında ısısal denge durumunda bir atomun
Boltzman sabiti olmak üzere < µz > = P µze−Ep/kBT P e−Ep/kBT = Rπ 0 µ cos θe µH cos θ/kBT sin θdθ Rπ 0 eµH cos θ/kBT sin θdθ (2.21) Kısaltma olarak, a = µH kBT ve x = cos θ (2.22) tanımlanırsa (2.22) e¸sitli˘gi < µz >= µ R1 −1xe axdx R1 −1eaxdx (2.23) ¸sekline dönü¸sür ve bu e¸sitlik < µz > µ = coth a − 1 a = coth(µH kBT ) − kBT µH (2.24) çözümünü verir. Burada coth a − 1 a ≡ L(a) (2.25)
Langevin fonksiyonu olarak tanımlanır. Langevin fonksiyonu a < 1 için L(a) = a 3 − a3 45+ 2a5 945 − ... (2.26)
¸seklindeki seri açılımı ile ifade edilebilir.
Sistemin N sayıda atomdan olu¸stu˘gu dü¸sünülürse, sistemin mıknatıslanması M = N < µz >
= N µ(coth a − 1
a) (2.27)
= N µL(a) olacaktır.
Klasik hesaplar sonucu ula¸sılan bu teori Langevin teorisi olarak bilinir ve iki önemli sonuca ba˘glanır:
1. a yeterince büyükse (dolayısıyla kuvvetli H manyetik alanı ve dü¸sük T sıcaklı˘gı) uygulanan alan düzensizli˘ge sebep olan ısısal etkiyi yenebilir.
a → ∞ ya da e−a → 0 için L(a) ∼= coth a − 1 a ∼ = 1 M = N µ (2.28) olarak yazılabilir.
2. Küçük a de˘gerlerinde (dolayısıyla zayıf H manyetik alanı) mıknatıslanma, manyetik alan ile lineer olarak de˘gi¸sir. Normal ko¸sullarda da gözlemler sonucu a’nın küçük oldu˘gu bulunur ve lineer M-H e˘grileri elde edilir.
a → küçük bir de˘ger, coth a ∼= a1 +a3 olarak alınırsa Langevin fonksiyonu ve mıknatıslanma
L(a) ∼= coth a − 1 a ∼ = 1 a + a 3 − 1 a ∼ = a 3 M = Ms a 3 = N µ a 3 = N µ2H 3kBT (2.29) e¸sitlikleri ile verilir.
Langevin teorisi duygunlu˘gun sıcaklıkla ters orantılı oldu˘gunu ifade eden Curie Yasasına da rehberlik eder. Paramanyetik duygunluk
χpara= M
H =
N µ2 3kBT
(2.30) ¸seklinde yazılır. Kısaltma amacı ile
C = N µ
2
3kB
: Curie Sabiti (2.31)
tanımlanırsa paramanyetik duygunluk χpara= C
T : Curie Yasasi (2.32)
ile verilir ve bu ba˘gıntı dü¸sük alanlar için yani µH kBT yakla¸sımında geçerlidir.
Paramanyetizmanın kuantum teorisi:
Klasik varsayımlar sonucu ula¸sılan paramanyetik duygunluk kuantum mekani˘gi yardımıyla da hesa-planabilir. Kuantum mekani˘ginin temel varsayımı bir sistemin enerjisinin kesikli miktarlarda de˘gi¸smesi teorisidir.
Paramanyetik bir malzemede H manyetik alanı içindeki her bir µ atomik manyetik momen-tinin bu alan ile etkile¸sme enerjisi (2.20) e¸sitli˘gi ile verilir. Buradaki θ, manyetik alan ile atomik manyetik moment arasındaki açıdır. Klasik teoride enerjinin dolayısıyla θ açısının sürekli olarak de˘gi¸sti˘gi dü¸sünülür. Buna göre µ manyetik momenti H manyetik alanıyla her de˘geri alabilen bir θ açısı yapar. Kuantum teorisinde ise θ yalnızca izinli de˘gerler alabilir. Manyetik momentin manyetik alanla yapabilece˘gi izinli açıları belirlemek yerine manyetik momentin alan yönünde alabilece˘gi mümkün de˘gerler belirlenebilir. Bu mümkün de˘gerler
µ = gmjµB (2.33)
e¸sitli˘gi ile verilir. Burada µB Bohr magnetonu, g Lande g-faktörü, mj manyetik kuantum sayısıdır
ve de˘geri J toplam açısal kuantum sayısı ile belirlenir.
Açısal kuantum sayısı J olan bir atoma manyetik alan uygulandı˘gında e¸sit aralıklı 2J +1 düzeye ayrı¸sır ve her bir düzeye −J, −J + 1, −J + 2, ..., J − 1, J de˘gerlerini alabilen bir mj manyetik
kuantum sayısı denk gelir.
Bir atomun mjkuantum durumlu enerjide bulunma olasılı˘gı Boltzman istatisti˘gine göre manyetik
momentin ortalama de˘geri ile verilir.
< µ >= gµ0mj e
−gµ0mjH/kBT
egµ0mjH/kBT (2.34)
Tüm mj durumları üzerinden toplam alındı˘gında ortalama manyetik momentin
< µ >= PJ −Jgµ0mj e−gµ0mjH/kBT PJ −Jegµ0mjH/kBT (2.35)
e¸sitli˘gi elde edilir. Kısaltma amacı ile
x = gµ0J H/kBT (2.36)
¸seklinde tanımlanan x parametresi kullanılarak N atomdan olu¸san bir sistem için mıknatıslanma
M = N < µ >= N gJ µBBJ(x) (2.37)
e¸sitli˘gi ile Brillouin Fonksiyonu olarak bilinen BJ(x)’e ba˘glıdır ve bu fonksiyon
BJ(x) = 2J + 1 2J coth( 2J + 1 2J x) − 1 2J coth x 2J (2.38)
seri açılımıyla verlir.
Yörünge açısal momentumunun sıfır oldu˘gu durum (L=0, S=1/2, J=L+S=1/2, g=2) ince-lenirse; J = 1/2 için mj = ±1/2 de˘gerlerini alır. Dolayısıyla enerji U = ±µBH ¸seklinde iki farklı
¸Sekil II.4: L=0,J=S=1/2 durumu için manyetik alanda yarılma
de˘gere sahiptir. J = 1/2’ ye kar¸sılık gelen tek bir enerji de˘geri, manyetik alan uygulandı˘gında mj’
nin de˘gi¸simiyle kesikli olarak iki izinli de˘ger alır.
Böyle bir sistem için J = 1/2 alınarak Brillouin fonksiyonu
B1/2(x) = coth(2x) − coth(x) = tanh(x) (2.39)
ve mıknatıslanma M = N µBtanh(x) M = N µBtanh( µBH kBT ) (2.40)
ile verilir. Bu e¸sitlikte mıknatıslanmanın x’e yani H/T ’ye oranı önemlidir.
Uygulanan alan H arttıkça (tanh x → 1) mıknatıslanma doyum de˘geri olan Ms = N µB’ye yakla¸sır.
Uygulanan alan H zayıf, sıcaklık T yüksek ise (x → 0), Brillouin fonksiyonu BJ(x) ∼=
J + 1
3J x (2.41)
de˘gerine indirgenir ve bu ¸sartlarda (2.37) ile verilen mıkantıslanma ifadesi M = N µBJ J + 1 3J x = N J (J + 1)g 2µ2 BH 3kBT (2.42) e¸sitli˘gi ile hesaplanır. Manyetik duygunluk ise
χpara = M H = N J (J + 1) g2µ2 B 3kBT = N 3kBT (gµB p J (J + 1))2 (2.43)
olacaktır. Buradaki
µet = gµB
p
J (J + 1) (2.44)
ifadesi Etkin Bohr Magnetonu olarak tanımlanır. Etkin Bohr magnetonu ve C ≡ N µ2
et/3kBT Curie
sabiti tanımlamaları ile manyetik duygunluk χpara = N µ 2 et 3kBT = C T (2.45)
olarak elde edilir.
(2.37) e¸sitli˘gi ile verilen mıknatıslanmanın en genel ifadesinde J → ∞ durumu için Brillouin fonksiyonu Langevin fonksiyonuna indirgenir ve kuantum teori ile klasik teorinin tutarlılı˘gı göster-ilebilir.
Metaller için yapılan manyetik duygunluk ölçümlerinin Curie yasasından elde edilen de˘gerler ile uyumlu olmadı˘gı gözlenmektedir. Curie yasasından elde edilen duygunluk sıcaklı˘ga ba˘glıdır ancak yapılan deneysel çalı¸smalar ferromanyetik olmayan birçok metalin duygunlu˘gunun sıcak-lıktan ba˘gımsız oldu˘gunu göstermektedir. Dolayısıyla (2.30) ifadesi ile verilen klasik Langevin teorisi, metallerdeki iletim elektronlarının paramanyetizmasını açıklamaya uygun de˘gildir. Klasik yakla¸sımda Maxwell-Bolztman yakla¸sımı kullanılmı¸stır. Yüksek sıcaklıklarda bütün parçacıklar bu da˘gılıma uyarlar. Pauli, iletim elektronları için uygun olmayan bu teoriye Fermi-Dirac da˘gılımını uygulamı¸s ve gerekli düzeltmeyi yapmı¸stır. Fermi-Dirac da˘gılımı uygulamasıyla iletkenlik elek-tronları için toplam mıknatıslanma ve duygunluk, TF Fermi sıcaklı˘gı olmak üzere
M = N µ 2 B kBTF H (2.46) χpara = N µ 2 B kBTF (2.47) olarak hesaplanır. E¸sitlikten de görüldü˘gü gibi paramanyetik malzemelerin özelli˘gi olarak iletkenlik elektronlarının duygunlu˘gu sıcaklıktan ba˘gımsızdır.
2.2.3
Ferromanyetizma
Manyetik alanın uygulanmadı˘gı durumda bile daima sıfırdan farklı net bir manyetik momente sahip malzemelerde gözlenen mıknatıslanma ¸seklidir.
Kalıcı magnet olarak da adlandırılan bu tür maddeler zayıf bir dı¸s manyetik alan içinde bile birbirine paralel olarak yönelmeye çalı¸san atomik manyetik momentler içerirler. Manyetik mo-mentler bir defa paralel hale getirildikten sonra, dı¸s alan ortamdan kaldırılsa bile madde mıknatıs-lanmı¸s olarak kalır. Bu sürekli (kalıcı) yönelimin sebebi, dı¸s alan yoklu˘gunda malzeme içindeki
kom¸su manyetik momentler arasındaki kuvvetli etkile¸sim sonucu manyetik momentlerin beraberce dizilmesidir.
Diamanyetizma ve paramanyetizmada gözlenmeyen bu etkile¸sme De˘gi¸s-Toku¸s Etkile¸smesi (Exchange Interaction) olarak adlandırılır ve spinleri Sive Sj olan i ve j elektronları için
Eex = −2J ~Si· ~Sj (2.48)
ile verilir. Burada J de˘gi¸s-toku¸s integrali veya de˘gi¸s-toku¸s sabiti adını alır.
Kuantum kökenli bir teori olan de˘gi¸s-toku¸s etkile¸smesi, klasik olarak paralel spinli elektron-lar arasındaki Coulomb etkile¸smesine kar¸sılık gelir. Bu integralin pozitif de˘geri, spinlerin paralel oldu˘gu durum için de˘gi¸s-toku¸s enerjisinin minimum (Eex = −2J S1S2) olmasına ve spinlerin
an-tiparalel oldu˘gu durum için enerjinin maksimum (Eex = 2J S1S2) olmasına kar¸sılık gelir. Integralin
negatif de˘geri ise, spinlerin antiparalel oldu˘gu durum için enerjinin minimum ve spinlerin paralel oldu˘gu durum için enerjinin maksimum olmasına kar¸sılık gelir. Minimum enerji ve paralel spin tercihi ferromanyetizma için daima J > 0 gerektirir.
Tahmin edildi˘gi üzere malzemede bir çok atom ve atomlarda da birçok elektron bulunabilir. Tüm bu elektron spinleri arasındaki de˘gi¸s-toku¸s etkile¸smesi Heisenberg Hamiltonyeni ile verilir.
H = −X
i
X
i6=j
JijS~i· ~Sj (2.49)
De˘gi¸s-toku¸s etkile¸smesi kısa erimli bir etkile¸smedir. Elektron spinleri arasındaki uzaklık art-tı˘gında hızla sıfıra giden bir de˘ger alaca˘gından yalnızca en yakın kom¸sular hesaba katılmalıdır (Cossio ve ark. 2006).
Malzeme içindeki her manyetik moment, di˘ger bütün manyetik momentlerin de˘gi¸s-toku¸s etk-ile¸smesi sonucu olu¸sturdukları iç manyetik alan veya moleküler alan etkisindedir. Buna göre manyetik momentlerin, etkisinde oldukları alan yönünde her bir yönelimi bir mıknatıslanma olu¸s-turur. Mıknatıslanma arttıkça alanın ¸siddeti de artar ve bu olay bütün malzeme mıknatıslanıncaya kadar hızla devam eder. Bu teoriye Weiss Moleküler Alan Teorisi ve mıknatıslanmayla do˘gru oran-tılı olan iç alana da Weiss Moleküler Alanı denir,
Hm = γM (2.50)
e¸sitli˘gi ile verilir. E¸sitlikteki γ boyutsuz niceli˘gi, moleküler alan katsayısıdır. Moleküler alanın var-lı˘gı teorisi altında malzemedeki herhangi bir manyetik momente etki eden toplam alan, malzemeye uygulanan dı¸s alan ile malzemenin olu¸sturdu˘gu moleküler alanın toplamıdır.
Malzemenin mıknatıslanması ise duygunluk ile toplam manyetik alanın çarpımıdır.
M = χ(H + Hm) (2.52)
Ferromanyetizmayı paramanyetizmadan ayıran Weiss moleküler alan etkisidir. Dolayısıyla para-manyetizma için bulunan (2.32) duygunluk ifadesi küçük bir düzeltme ile ferropara-manyetizmaya uyarlan-abilir.
χf erro = M Htoplam
= C
T − Cγ (2.53)
Ayrıca Cγ ifadesi TC Curie sıcaklı˘gı olarak adlandırılır ve ferromanyetik duygunlu˘gun
χ = C
T − TC
(2.54) e¸sitli˘gi Curie-Weiss Yasası olarak bilinir.
Curie-Weiss yasası, ferromanyetik malzemenin uygulanan dı¸s manyetik alan ile aynı yönde mıknastıslanma gösterece˘gi için duygunlu˘gunun pozitif ve sıcaklıkla de˘gi¸sen büyük bir de˘ger ala-ca˘gını gösterir. Bu yasayı kritik noktaları etrafında incelemek yararlı olacaktır.
Sıcaklık etkisi, malzemedeki manyetik momentlerin dı¸s alan etkisi ile aynı yönde yönelerek düzene girme e˘gilimine kar¸sı koyar. Dı¸s alan manyetik momentleri aynı yönde olmaya zorlarken, artan sıcaklık momentlerdeki rastgele dizilimi sa˘glar ve sıcaklı˘gın öyle bir de˘gerinde malzemede sıcaklı˘gın getirdi˘gi düzensizlik etkili olur. Bu sıcaklık de˘geri TC Curie sıcaklı˘gıdır.
Malzeme, Curie sıcaklı˘gından küçük bir sıcaklıkta (T < TC) ise düzenli ferromanyetik fazda ve
Curie sıcaklı˘gından büyük bir sıcaklıkta (T > TC) ise düzensiz paramanyetik fazdadır. Dolayısıyla
Curie sıcaklı˘gı kalıcı mıknatıslanmanın kayboldu˘gu sıcaklık olarak kabul edilir ve incelenen malze-meye göre de˘gi¸sen bir de˘ger alır.
2.2.4
Antiferromanyetizma
Atomlar arasındaki etkile¸sme ile açıklanabilen ferromanyetizmaya benzer ¸sekilde antiferromanyetizma manyetik moment büyüklükleri birbirine e¸sit fakat kom¸su spine zıt yönde yönelmi¸s bir düzenden olu¸sur.
Dı¸sarıdan uygulanan manyetik alan yoklu˘gunda, Pauli dı¸sarlama ilkesi gere˘gi kom¸su spin-ler aynı yönde duramaz ve biri di˘gerine zıt yönelir. Böylece toplam mıkanıtslanma sıfır olur. Dı¸sarıdan alan uygulandı˘gında ise belirli bir sıcaklı˘gın altında spinler yönelimini korurken, sıcaklık
¸Sekil II.5: Farklı teorilerle hesaplanan manyetik duygunlu˘gun sıcaklı˘ga ba˘glılı˘gı
artırıldı˘gında paramanyetik davranı¸s sergilerler ve alan kaldırıldı˘gında mıknatıslanmaları da yok olur. Bu geçi¸s sıcaklı˘gına Neel Sıcaklı˘gı denir.
Antiferromanyetizmada spinlerin birbirine zıt olma ve minimum enerji tercihi de˘gi¸s-toku¸s sabi-tini J < 0 olmasını gerektirir.
2.2.5
Ferrimanyetizma
Ferrimanyetizmada da ferromanyetizmadaki gibi kendili˘ginden mıknatıslanma gözlenir ancak de˘geri ferromanyetizmaya göre daha küçüktür. Bunun sebebi ise ferrimanyetik malzemelerin e¸sit ol-mayan zıt manyetik moment büyüklüklerine sahip olması ve dı¸sarıdan manyetik alan uygulan-madı˘gı sürece bile¸ske manyetik momentin bu zıt büyüklüklerin farkına e¸sit olmasıdır. Dı¸s manyetik alan kar¸sısında ise ferromanyetler gibi davranırlar ancak küçük duygunlu˘ga sahiptirler.
2.3
Temel Manyetik De˘gi¸skenler
Bu tez çalı¸sması ferromanyetik malzemelerin manyetik özellikleri ile ilgili oldu˘gundan, bu bölümde ferromanyetik malzemelerin bazı önemli manyetik özelliklerini incelemek yararlı olacaktır.
• Manyetik Geçirgenlik : Bir malzeme (bo¸sluk, demir,vb..) manyetik alana maruz kaldı˘gında mıknatıslanacaktır. Manyetik geçirgenlik malzemenin manyetik alan etkisinde kalması durumunda mıknatıslanma ¸siddetini veren bir özelli˘gidir ve
¸seklinde maddenin kendi içinde olu¸sturdu˘gu manyetik alan ¸siddetinin, maddeye dı¸sarıdan uygu-lanan manyetik alan ¸siddetine oranı olarak µ sembolü ile verilir.
Bo¸sluk için manyetik geçirgenlik sabiti µ0 = 4π10−7 N A−2 ’dir. Bo¸sluk dı¸sındaki di˘ger bütün
ortamlar için ba˘gıl geçirgenlik
µr = µ/µ0 (2.56)
e¸sitli˘gi ile bo¸slu˘gun manyetik geçirgenli˘gine ba˘glı olarak verilir ve bo¸sluk için ba˘gıl geçirgenlik µr = 1’dir.
Manyetik geçirgenlik malzemenin ne derece kolay mıknatıslanabildi˘gini gösteren bir ölçüdür. Sabit bir rakam de˘gildir aksine de˘geri, manyetik alan ile etkile¸simini verdi˘ginden alan de˘gi¸simi, nem, sıcaklık gibi faktörler ve malzemenin özelliklerine ba˘glıdır.
Malzemeler manyetik geçirgenliklerine ba˘glı olarak karakterize edilebilirler. Diamanyetik malzemelerin ba˘gıl manyetik geçirgenlikleri 1’den biraz küçükken, paramanyetik malzemelerinki 1’den biraz
büyük olarak ölçülmü¸stür ve her iki malzeme için de bu de˘gerler manyetik alanın bir fonksiy-onu olarak sabittir. Ferromanyetik malzemelerin ba˘gıl manyetik geçirgenlikleri ise manyetik alan de˘gi¸simi altında sabit bir de˘ger de˘gildir. Ferromanyetik malzemeler uygulanan dı¸s alan arttıkça, artarak bir maksimum de˘gerine ula¸san ve daha sonra azalan bir manyetik geçirgenli˘ge sahiptir. Manyetik geçirgenli˘gin bu karakteri 10 ile 1015arasında de˘gerlere sahiptir.
• Curie Sıcaklı˘gı : Curie Sıcaklı˘gı TC, maddelerin manyetik özelliklerinde keskin bir de˘gi¸sime
sebep olan kritik bir noktadır. Bir madde ısıtıldı˘gında atomik titre¸simlerin ortalama enerjisi ar-tar ve yapı düzensiz bir hale gelir. Atomik manyetik momentlerin düzenli bir ¸sekilde paralel sıralanmasıyla kendili˘ginden mıknatıslanma gösteren ferromanyetik bir madde, artan sıcaklıkla mo-mentlerin sıralamasını kaybedecek ve sıcaklı˘gı Curie sıcaklı˘gına ula¸stı˘gında momo-mentlerin düzen-siz yöneliminden dolayı kendili˘ginden mıknatıslanmasını kaybedecek, paramanyetik faza geçecek-tir. Matematiksel olarak da Curie-Weiss yasası ile verilen duygunlu˘gu tanımsız yaptı˘gı için fero-manyetizma için kritik bir noktadır (Mohn ve Wohlfarth 1987).
Antiferromanyettizma için de aynı sıcaklıktan bahsedilebilir ve bu sıcaklı˘ga Neel sıcaklı˘gı adı verilir.
• Kolay Eksen : Ferromanyetik bir malzemeyi, kendisine paralel uygulanan çok dü¸sük dı¸s manyetik alanlarda bile mıknatıslamaya yetecek do˘grultu kolay eksen olarak isimlendirilir. Bunun aksi durum ise, mıknatıslanmanın yüksek enerjiler gerektirdi˘gi zor eksene paralel olmasıdır.
• Doyum Mıknatıslanması : Ferromanyetik bir malzemede, uygulanan dı¸s manyetik alan de˘geri artırılarak malzemedeki tüm manyetik momentlerin alana paralel dizilmesi sa˘glanır. Manyetik momentlerin bu düzene girmesi sa˘glandıktan sonra alanın artırılması malzemedeki mıknatıslık
de˘gerini de˘gi¸stirmez. Bu mıknatıslık de˘gerine doyum mıknatıslanması denir.
• Artık Mıknatıslanma : Ferromanyetik malzemeler bir defa dı¸s manyetik alana maruz bırakılıp mıknatıslanması sa˘glandıktan sonra, alan kaldırılsa bile mıknatıslıklarını tamamen kay-betmezler. Mıknatıslı˘gın sıfır ile doyum arasındaki bu pozitif de˘geri artık mıknatıslanma olarak bilinir.
• Koersivite : Ferromanyetik malzemenin sahip oldu˘gu mıknatıslık de˘gerini sıfıra dü¸sürmek için malzemeye uygulanması gereken ters manyetik alana koersivite denir ve Hcile gösterilir.
Mık-natıslanmaya kar¸sı koydu˘gu için zorlayıcı alan olarak da isimlendirilir. Mıknatıslanması kolay olan bir malzeme, dü¸sük alanlarda da mıknatıslanaca˘gından mıknatıslı˘gını yok etmek için yine dü¸sük bir ters alan yeterli olacaktır. Ancak mıknatıslanması zor bir malzemeye uygulanması gereken ters alan büyük olmalıdır. Bu açıdan manyetik malzemeler için koersivite ayırt edici bir özelliktir.
2.4
Ferromanyetik Domainler
De˘gi¸s-toku¸s etkile¸smesi (dolayısıyla Weiss moleküler alanı) sebebiyle, ferromanyetik malzemeler zayıf bir dı¸s alan varlı˘gında bile aynı yönde yönelmeye çalı¸san manyetik momentlere sahiptir. Oysa malzemeye bir bütün olarak bakıldı˘gında net manyetik moment doyum de˘gerinin çok altındadır ve doyum de˘gerine sahip olabilmesi için dı¸sarıdan bir manyetik alan uygulanması gerekir. Bu durum ferromanyetik malzemelerin, manyetik momentleri aynı yönde yönelmi¸s ve doyum momentine e¸sit atomlardan olu¸san domanin adı verilen çok sayıda küçük bölgelerden olu¸sması ile açıklanır.
Her bir domain kendi içinde belirli bir yönde net bir manyetik momente sahiptir ve kom¸su oldu˘gu di˘ger domainlerden farklı bir yönelime sahiptir. Dolayısıyla malzeme kendi içinde belirli bir yönde mıknatıslanma gösteren, ancak bir bütün olarak bakıldı˘gında rastgele dizilmi¸s manyetik momentler içeren bölgelerden olu¸sur ve kendili˘ginden net mıknatıslanması bu düzensizlik sebebiyle çok küçüktür.
Malzeme içindeki farklı yönelimlere sahip domainler birbirinden domain duvarı adı verilen bir geçi¸s bölgesiyle ayrılır.
Ferromanyetik malzeme birçok atomdan olu¸sur ve dı¸s alandan ba˘gımsız olarak atomlar arasın-daki de˘gi¸s-toku¸s etkile¸smesi sonucunda, minimum enerjiye sahip olma e˘gilimi sebebiyle domain-lere ayrılır. Domain hacimleri yakla¸sık olarak 10−12− 10−8m3 olup her bir domain 1017 − 1021
civarında atom içermektedir.
Ferromanyetik malzeme tek bir domainden olu¸smu¸ssa toplam enerjisi (manyetostatik enerji) oldukça büyüktür. Ancak malzemenin domainlere bölünmesi enerjisini azaltır. Domainler arasın-daki duvarın da sahip oldu˘gu bir enerji söz konusudur. Malzemenin bölünme sonucunarasın-daki enerji
farkı, domain duvarları olu¸sturmak için gerekli enerjiden fazlaysa malzeme domainlere bölünür. Malzemenin domainlere bölünme limitini, toplam enerjisindeki azalmanın yeni bir domain du-varı olu¸sturmaya yetip yetmeyece˘gi belirler (Kittel 1949).
¸Sekil II.6: Ferromanyetik bir malzemenin domainlere bölünmesi
( ¸Sekil II.6 ) ’da ferromanyetik malzemenin artan domain sayısıyla enerjisi azalmaktadır ve (d)’de gösterilen domainlere ayrılma ¸sekli ile de minimum enerjiye sahip olmaktadır. Minimum enerji durumunda domainlerin manyetik momentleri üçüncü bir eksene dik açılı olacak ¸sekilde iki farklı yönde dizilmi¸stir ve vektörel toplamları sıfıra çok yakın oldu˘gundan manyetik akı yine malze-menin kendi içinde kapanır, malzeme dı¸sında manyetik alan sıfıra çok yakındır.
¸Sekil II.7: ˙Iki domainden olu¸san ferromanyetik bir malzemenin mıknatıslanması (Cullity 1972) Domainlere ayrılmı¸s bir ferromanyetik malzemeye dı¸sarıdan manyetik alan uygulandı˘gında ( ¸Sekil II.7-a);
Uygulanan alan zayıf ise, domain duvarı hareketi ile ba¸slangıçta dı¸s alan yönünde yönelmi¸s olan domainler hacimce büyürken di˘ger yönlerde dizilmi¸s olan domainler hacimce küçülür ( ¸Sekil II.7-b).
Uygulanan alan yeteri kadar büyük ise, domainler hafifçe dönerek dı¸s alan yönünde yönelmeye çalı¸sırlar ( ¸Sekil II.7- c).
Tek bir domain haline gelen malzeme ilk (doyum) mıknatıslanma de˘gerini koruyarak dı¸s alan yönünde mıknatıslanır ( ¸Sekil II.7- d). Bu mıknatıslanma durumunda iken uygulanan alan kaldırılsa bile malzeme mıknatıslanmasını korur.
Dolayısıyla ferromanyetik malzemeyi mıknatıslamak demek, malzemeyi çoklu domain duru-mundan mıknatıslanması alan yönünde olan tek domain durumuna dönü¸stürmektir. Bu i¸slem sırasında herhangi bir bölgenin mıknatıslanmasının büyüklü˘gü de˘gi¸smeyip sadece mıknatıslanmanın yönü de˘gi¸smektedir.
2.5
Domain Duvarı
Farklı yönelimlere sahip domainleri birbirinden ayıran dar geçi¸s bölgesi domain duvarı olarak ad-landırılır.
¸Sekil II.8: Domain duvarı
Manyetik momentlerin diziliminin de˘gi¸sti˘gi bu ara bölgeler enerji yüklüdür ve uygulanan dı¸s alanla hareket ederler. De˘gi¸s-toku¸s enerjisi kom¸su atomların manyetik momentlerinin dizilimini etkiledi˘ginden momentler arasındaki açı küçük oldu˘gunda enerji de küçük bir de˘ger alacak, açı büyüdükçe enerji de büyüyecektir.
De˘gi¸s-toku¸s enerjisine ek olarak ferromanyetik bir kristalde mıknatıslanma yönünü kolay eksen adı verilen belirli kristal eksenleri yönüne çeken bir enerji vardır. Bu enerjiye anizotropi enerjisi denir.
Mıknatıslanma yönü için geçi¸s bölgesi kabul edilen domain duvarının geni¸sli˘gi, momentler arasındaki açıyla de˘gi¸sen de˘gi¸s-toku¸s enerjisi ile bu enerjiye kar¸sı koyan anizotropi enerjisi arasın-daki uyumla orantılıdır. Tipik bir domain duvarı yüzlerce atomik çap geni¸sli˘gindedir.
¸Sekil II.9: Ferromanyetik bir malzeme için Block ve Neel duvarı modelleri Domain duvarı için Block ve Neel olmak üzere iki farklı model geli¸stirilmi¸stir.
Katı malzemeler gibi ideal sistemlerde iki domain birbirinden Block duvarı ile ayrılır ( ¸Sekil II.9-a). Bu modelde manyetik momentler domain duvarının kalınlık düzlemine dik yönde dönerler. Ancak birçok malzeme ideal kabul edilemez ve böyle malzemelerde iki domaini birbirinden ayır-mak için Neel duvarı etkilidir ( ¸Sekil II.9-b). Bu modelde ise manyetik momentler domain duvarının kalınlık düzlemine paralel ¸sekilde dönerler. ˙Ince film ve çok katmanlı malzemelerde Neel duvarı görülür. Benzer ¸sekilde malzemenin boyutları da domain duvarı üzerinde etkilidir.
Bir malzemede bölge duvarının enerjisini hesaplamak için; herbir kö¸sesinde bir atom bulunan, a kenar uzunlu˘guna sahip olan kübik bir örgü ele alınsın. Domain duvarı kübün herhangi bir düzlem-ine (örne˘gin yz düzlemdüzlem-ine ) paralel olsun ve N + 1 sayıda atom içersin. Atom spinleri arasındaki açı θ ve J de˘gi¸s-toku¸s integrali olmak üzere, iki spinin de˘gi¸s-toku¸s enerjisi
Eex = −2J S2cos θ (2.57)
e¸sitli˘gi ile verilir. cos θ seri açılımının ilk iki terimi cos θ ∼= 1 − θ
2
2 (2.58)
hesaplama için yeterli olacaktır. Bu de˘ger altında de˘gi¸s-toku¸s enerjisi
Eex ∼= J2S2θ2− 2JS2 (2.59)
olarak yazılabilir. ˙Ikinci terim θ açısına ba˘glı olmadı˘gından dikkate alınmayabilir. Bu durumda enerji (2.60) ifadesine indirgenir.
Düzleme paralel π = 1800 duvar için θ açısı, e¸sit aralıklarla N sayıda π’ye kadar de˘gi¸sir. Kom¸su iki spin arasındaki açı θ = π/N alınırsa de˘gi¸s-toku¸s enerjisi
Eex∼= J2S2(
π N)
2
(2.61) olacaktır. N + 1 sayıda atomdan olu¸san bir örgüde toplam de˘gi¸s toku¸s enerjisi Eex0 , etkile¸sme sayısı dü¸sünülürse bu ifadenin N katına e¸sit olacaktır.
Eex0 = N Eex
Eex0 ∼= J2S2π
2
N (2.62)
Domain duvarının birim alanındaki toplam de˘gi¸s-toku¸s enerjisi ise Eex0 ∼= J2S2 π
2
N a2 (2.63)
¸seklinde yazılabilir.
Buna kar¸sılık anizotropi enerjisi duvar kalınlı˘gı ile orantılıdır. K orantı sabiti olmak üzere
Ean = KN a (2.64)
e¸sitli˘gi ile verilir.
Örgünün toplam enerjisi
E = Eex0 + Ean ∼= J2S2
π2
N a2 + KN A (2.65)
¸seklinde de˘gi¸s-toku¸s ve anizotropi enerjilerinin toplamı olarak yazılabilir. Toplam enerjinin N atom sayısına göre minimum oldu˘gu de˘ger
∂E
∂N = −J
2S2 π2
N2a2 + KA = 0 (2.66)
e¸sitli˘gi ile hesaplanır ve
N ∼= r
π2J S2
Ka3 (2.67)
çözümünü verir. Duvar kalınlı˘gı δ = N a olmak üzere δ =
r π2J S2
Ka (2.68)
olarak bulunur (Kittel 1986).
Duvar kalınlı˘gını veren (2.68) e¸sitli˘gi, de˘gi¸s-toku¸s etkile¸smesinin duvar kalınlı˘gını artırarak ani-zotropi enerjisinin ise azaltarak birbirlerine zıt do˘gada olduklarını gösterir. Aniani-zotropi enerjisinin minimum olması duvar kalınlı˘gının sınırsız olmasına sebep olur.
¸Sekil II.10: Domain duvarının de˘gi¸s-toku¸s, anizotropi ve toplam enerjilerinin duvar kalınlı˘gına ba˘glı de˘gi¸simi
2.6
Manyetik Histeresis
Ferromanyetik bir malzemeye yeteri kadar büyük bir dı¸s manyetik alan uygulandı˘gında malzeme mıknatıslanır ve alan ortadan kaldırılsa bile malzeme mıknatıslı˘gını korur. Ferromanyetik malze-menin bu özelli˘gi, manyetik akı yo˘gunlu˘gunun uygulanan dı¸s manyetik alana göre de˘gi¸simini veren ve histeresis döngüsü olarak tanımlanan e˘gri ile incelenir. ( ¸Sekil II.11) ’de bir örne˘gi verilen histere-sis döngüsünün dü¸sey ekseni akı yo˘gunlu˘gu ile orantılı olarak ifade edilebilen M mıknatıslanması ve yatay ekseni uygulanan alan ¸siddeti H ile temsil edilir.
Manyetik alanda bir malzemenin davranı¸sını inceleyen histeresis döngüsü, malzemenin doyum mıknatıslanması, koersivitesi, manyetik geçirgenli˘gi gibi özellikleri ile ilgili bilgileri de içerdi˘gin-den döngüyü olu¸sturan süreç iyi analiz edilmelidir.
Mıknatıslanması sıfır olan bir ferromanyetik malzemeye bir dı¸s alan uygulandı˘gında manyetik momentler alanla aynı yönde yönelirler. Uygulanan dı¸s manyetik alanın artırılmasıyla momentlerin tümü alan yönünde dizilirler ve mıknatıslanma doyma noktasına ula¸sır ( ¸Sekil II.11 kesikli çizgi). Bu noktada manyetik alan daha fazla artırılsa bile mıknatıslanma de˘geri de˘gi¸smeyip sabit kalacaktır. Bu de˘gere Msdoyum mıknatıslanmasıdenir.
Doyum noktasında iken manyetik alan azaltıldı˘gında manyetik momentlerin büyük bir kıs-mının yönelimi de˘gi¸smeden kalacaktır. Dı¸s manyetik alan azaltılmaya devam edilip sıfır de˘gerine dü¸sürüldü˘günde de bir miktar mıknatıslanma mevcuttur ve bu mıknatıslanma de˘gerine Mr artık
mıknatıslanmadenir.
Sıfırlanan manyetik alan negatif yönde artırılırsa malzemedeki mıknatıslanma giderek azalır ve belirli bir manyetik alan de˘gerinde mıknatıslanma sıfır olur. Yatay eksende −Hc ile gösterilen
manyetik alanın bu de˘gerine negatif yöndeki koersivite denir.
Dı¸s manyetik alanın negatif yönde artı¸sı sürerse malzeme negatif yönde mıknatıslanmaya ba¸slar. ˙Ilk durumdaki yönelimin tersine dönen manyetik momentler artan alan ile negatif yönde doyum mıknatıslanması −Ms’e ula¸sır. Sonrasında manyetik alan artmaya devam etse bile mıknatıslanma
doyum de˘gerinde sabit kalır, artmaz.
Negatif yöndeki doyum noktasından sonra manyetik alan azaltılarak sıfır olursa, negatif mık-natıslanmanın bir kısmı de˘gi¸smeden kalarak malzemede negatif artık mıknatıslanma −Mrgözlenir.
Sıfır olan manyetik alan pozitif yönde artırılırsa malzemenin negatif mıknatıslanması gidererk azalır ve belirli bir manyetik alan de˘gerinde mıknatıslanma sıfır olur. Yatay eksende Hcile
göster-ilen manyetik alanın bu de˘gerine pozitif yöndeki koersivite denir (Huang ve ark. 2006).
Koersivite de˘gerinden sonra manyetik alanın artırılmasıyla malzeme tekrar pozitif yönde mık-natıslanır ve yeterli büyüklükteki manyetik alan de˘gerinde tekrar doyum mıknatıslanma de˘gerine ula¸smasıyla tam bir histeresis döngüsü gerçekle¸smi¸s olur (Wasilewski 1973).
Simetrik bir e˘gri olan histeresis döngüsü malzemenin manyetik özelliklerinin yanı sıra manyetik geçmi¸si hakkında da bilgi verir. Döngünün de˘gi¸sik türde keskinli˘ge sahip olması, büyüklü˘gü ve ¸sekli incelenen malzemeye ve uygulanan alanın büyüklü˘güne ba˘glıdır.
Histeresis e˘grisinin içinde kalan alan, malzemeyi bu döngüden geçirmek için yapılması gereken i¸si temsil eder. Mıknatıslanma sürecinde malzemenin kazandı˘gı enerji dı¸s alanın varlı˘gından ileri gelir. Histeresis döngüsü tekrarlandı˘gı zaman manyetik momentlerin yeniden yöneliminden dolayı malzemede dı¸s alanın de˘gerine ba˘glı olarak enerji kayıpları söz konusudur. Bu enerji kaybı malzemede
iç ısısal enerji olarak görülür ve bunun sonucu olarak malzemenin sıcaklı˘gı artar. Manyetik ener-jinin ısı enerjisine dönü¸sümü olarak verilen enerji kaybı histeresis kaybı olarak da adlandırılır ve e˘grinin içinde kalan alan ile de˘geri bulunabilir.
¸Sekil II.12: Yumu¸sak ve sert ferromagnetler için histeresis e˘grileri
Malzemenin histeresis e˘grisinin alanı malzemeyi tanımak açısından önemlidir. Alan küçük ise manyetik enerji kaybı az oldu˘gundan malzeme yüksek manyetik geçirgenlik ve dü¸sük koersivite alanına sahiptir. Bu tür malzemeler yumu¸sak mıknatıs olarak tanımlanır ve kolay mıknatıslandık-ları gibi mıknatıslanmamıknatıslandık-ları da kolay yok olur. Teknolojik uygulamalarda ısı kayıpmıknatıslandık-larını azaltmak amacıyla elektrik motoru, transformatör, trafo gibi cihazların yapımında yumu¸sak ferromanyetik malzemeler kullanılır.
Malzemenin histeresis e˘grisinin alanı büyük ise manyetik enerji kaybı da o derece fazla ola-ca˘gından malzeme dü¸sük manyetik geçirgenlik ve yüksek koersivite alanına sahiptir. Bu tür malzemeler ise sert mıknatıs olarak tanımlanır. Mıknatıslanmanın zor oldu˘gu sert ferromanyetik malzemeler teknolojide elektrik sayaçları, telefonlar, hoparlörlerde kullanılmaktadır.
2.7
Manyetik Anizotropi
Atomların malzeme içindeki diziliminden dolayı bazı manyetik malzemelerde manyetik özellikler, ölçüldü˘gü yöne göre farklılık gösterir. Bu ¸sekilde manyetik özelliklerin yön seçicili˘gine manyetik anizotropi denir. Manyetik anizotropi, manyetokristal anizotropisi ve ¸sekil anizotropi olarak ayrı ayrı incelenebilir.
2.7.1
Manyetokristal Anizotropisi
Bir çok manyetik malzemede manyetik momentlerin yönelmeyi tercih etti˘gi bir kristal tusu vardır. Bu do˘grultu kolay eksen (ya da kolay do˘gru ) olarak bilinir. Kristale bu do˘grul-tuda küçük bir manyetik alan uygulandı˘gında bile manyetik momentler alan yönünde yönelecek ve malzeme kolayca mıknatıslanacaktır. Kristale bu do˘grultudan farklı bir do˘grultuda manyetik alan uygulandı˘gında manyetik momentlerin uygulanan alan yönünde yönelmesi için alanın, kolay eksen yönünde uygulanandan daha büyük bir de˘gerde olması gerekir. Bu da daha çok enerji gerektirir. Manyetik momentleri kolay eksen dı¸sında bir do˘grultuda mıknatıslamak için gerekli ek enerjiye manyetokristal anizotropi enerjisi denir.
¸Sekil II.13: Kristal yapıya sahip demir için farklı do˘grultularda mıknatıslanma e˘grileri (Cullity 1972)
Cisim merkezli kübik kristal yapıya sahip demir, manyetik olarak anizotropiktir. [100], [110] ve [111] do˘grultularına paralel olarak manyetik alan uygulansın ( ¸Sekil 2.13). Yeteri kadar büyük manyetik alan uygulandı˘gından hepsi aynı doyum mıknatıslanması de˘gerine gitmekle beraber [100] do˘grultusunda, demir manyetik alanın küçük bir de˘gerinde doyuma giderek di˘ger do˘grultulardan daha kolay mıknatıslanır. Dolayısıyla demir için [100] do˘grultusu kolay do˘grudur. Demiri [110] ya da [111] do˘grultularında mıknatıslamak için ise uygulanan dı¸s manyetik alanı artırmalı yani daha fazla enerji harcanmalıdır. Demiri [100] do˘grultusunda mıknatıslamak için gerekli enerjiye ek olarak harcanan enerji farkına ise manyetokristal anizotropi enerjisi denir.
Kübik bir kristalde anizotropi enerjisi Ean = K 00 o + K 00 1(α 2 1α 2 2+ α 2 2α 2 3 + α 2 3α 2 1) + K 00 2α 2 1α 2 2α 2 3+ ... (2.69)
olarak verilir. Burada K0, K1 ve K2 incelenen malzemenin belirli bir sıcaklıktaki anizotropi
sabit-leri ve α1, α2, α3 doyum mıknatıslanmasının kristalin üç ekseniyle yaptı˘gı açıların kosinüsleridir.
Dolayısıyla Ean = K 0 o+ K 0 1cos 2 θ + K20 cos4θ + ... (2.70)
ve cos2θ = 1 − sin2θ e¸sitli˘gi kullanılarak
Ean = Ko+ K1sin2θ + K2sin4θ + ... (2.71)
¸seklinde verilir. Genelde K0 katsayısı açıya ba˘glı olmadı˘gı için göz ardı edilir, K1 ve K2
kat-sayılarını içeren iki toplam hesaplamalar için yeterlidir. K1ve K2katsayılarının de˘geri malzemenin
mıknatıslanması hakkında bilgi verir. K1ve K2pozitif ise; θ açısının sıfır olması (mıknatıslanmanın
kolay eksene paralel oldu˘gu durum) beklendi˘gi gibi enerjiyi minimum yapar. Manyetokristal anizotropisi temelde bir çe¸sit spin-yörünge etkile¸smesidir.
˙Iki kom¸su atomun spin spin etkile¸smesi incelendi˘ginde, bu etkile¸smenin kom¸su spinleri bir-birine paralel ya da antiparalel tutacak kadar kuvvetli oldu˘gu ancak sadece yakın kom¸sularla il-gilendi˘ginden ve iki kom¸su spin arasındaki açıya ba˘glı olup yönden ba˘gımsız oldu˘gundan manyetokristal anizotropisine bir katkısı olmadı˘gı görülür.
Yörünge-örgü etkile¸smesi incelendi˘ginde ise, yörüngelerin örgü içindeki yöneliminin çok yük-sek dı¸s manyetik alanın uygulanması durumunda dahi de˘gi¸smeyece˘gi kadar kuvvetli bir etkile¸sme oldu˘gu görülür.
Elektronun spin-yörünge etkile¸smesi incelenmelidir. Dı¸sarıdan uygulanan bir manyetik alan elektronun spin yönelimini kendi do˘grultusuna do˘gru döndürmeye çalı¸sacaktır. Elektron yörün-gesinin yörünge-örgü etkile¸smesinin kuvvetli etkisiyle kristale ba˘glılı˘gından dolayı yörünge, spinin yönelimine kar¸sı koyacak bir direnç gösterir. Bu direnci kırmak için dolayısıyla spinin yönelimini kolay eksenden döndürmek için gerekli enerji, anizotropi enerjisi olarak adlandırılan spin-yörünge etkile¸smesini yenmek için gerekli enerjidir (Radu 2005).
2.7.2
¸Sekil Anizotropisi
Küre ¸seklinde bir malzemede iki kutup arası mesafe her zaman e¸sit olaca˘gı için, malzeme her yönde aynı kolaylıkla mıknatıslanır, anizotropi enerjisi sıfırdır. Ancak malzeme yayık küre örne˘gi ( ¸Sekil II.14-a) gibi farklı uzunlukta iki eksene sahipse, malzemeyi uzun kenarına paralel mıknatıslamak kısa kenarı boyunca mıknatıslamaktan daha kolaydır. Bu durumda malzemenin uzun kenarı kolay ekseni ve buna dik olan kısa kenarı ise zor eksenidir.
¸Sekil II.14: (a)yayık kürede ¸sekil anizotropisi (b)demanyetizasyon alanı etkisi ile depolanan enerji Mıknatıslanmı¸s bir malzemede ( ¸Sekil II.14-b’ de A noktası dü¸sünülebilir) dı¸s manyetik alan kaldırıldı˘gında malzeme yüzeyindeki sanal manyetik yüklerin olu¸sturdu˘gu dü¸sünülen demanyetiza-syon alanıolarak bilinen bir ters mıknatıslanma alanı söz konusudur ve
HD = NDM (2.72)
ile verilir. Burada ND ters mıknatıslanma katsayısıdır.
HD alanı etkisi ile malzemede depolanan enerji ( ¸Sekil II.14-b) ’de taralı alana e¸sit olur ve
E = 1
2µ0NDM
2 (2.73)
e¸sitli˘gi ile verilir.
( ¸Sekil II.14-a)’da bir örne˘gi verilen yayık küre ¸seklinde bir malzeme dü¸sünülürse; yayık küreyi a ekseni boyunca mıknatıslamak b ekseni boyunca mıknatıslamaktan daha kolaydır. Bu küre için ¸sekil anizotropi enerjisi, b ekseni boyunca mıknatıslanma enerjisi ile a ekseni boyunca mıknatıs-lanma enerjilerinin farkı olarak verilir.
Esekil an = 1 2µ0NbM 2−1 2µ0NaM 2 = 1 2µ0(Nb − Na)M 2 (2.74)
Burada Namalzemenin kolay mıknatıslanma eksenine paralel ve Nb ise kolay mıknatıslanma
eks-enine dik anizotropi katsayılarıdır. Yüzey Anizotropisi
Kristal ve ¸sekil anizotropilerinin dı¸sında, ferromanyetik malzemelerin yüzeylerindeki azalan simetriye ba˘glı olarak meydana gelen yüzey anizotropisi gözlenir. Yüzeydeki bir spinin bir yanında kom¸su
bir spin varken di˘ger yanında olmaması, yüzeydeki toku¸s enerjisinin tüm hacimdeki de˘gi¸s-toku¸s enerjisinden farklı olmasına neden olur. Aynı zamanda yüzeydeki spinlerin yüzeye paralel veya dik olması da yüzey enerjisinde bir de˘gi¸sime sebep olur.
Di˘ger bir anizotropi çe¸sidi de uygulanan dı¸s manyetik alan ile mıknatıslanmasının yanı sıra boyutunda da azda olsa bir miktar de˘gi¸sime sebep olan manyetik büzülme ya da stres anizotropi-sidir. Manyetik büzülmenin detaylı olarak incelenmesi yararlı olacaktır.
2.8
Manyetik Büzülme
Manyetik büzülme, ferromanyetik bir malzemeye manyetik alan uygulanıp mıknatıslanması sa˘g-landı˘gında boyutlarının de˘gi¸smesi olayıdır. Büzülme, ferromanyetik malzemedeki domainlerde momentlerin sıralanmasından dolayı kendili˘ginden ortaya çıkabilir ya da dı¸s manyetik alan uygula-masıyla olu¸sabilir.
Her iki durumda da λ ile gösterilen manyetik büzülme malzemenin boyutundaki de˘gi¸sim oranı olarak
λ = ∆l
l (2.75)
¸seklinde tanımlanır. λ’nın artı ya da eksi olması malzeme boyutundaki artı¸s ya da azalı¸s olarak yorumlanır.
Curie sıcaklı˘gının üzerindeki ferromanyetik bir malzeme so˘gutularak Curie sıcaklı˘gından dü¸sük bir sıcaklı˘ga ula¸stırılırsa, yüksek sıcaklıkta tamamen rastgele yönelmi¸s olan manyetik momentler sıcaklı˘gın dü¸sürülmesiyle bir düzene girerler ve malzeme mıknatıslanır. Düzene giren malzemenin boyutu de˘gi¸sir. Bu olay kendili˘ginden büzülmedir ( ¸Sekil II.15).
¸Sekil II.15: Kendili˘ginden manyetik büzülme
Curie sıcaklı˘gının altında düzensiz fazda olan bir ferromanyetik malzemeye dı¸s manyetik alan uygulanmasıyla manyetik momentler alan yönünde düzene girerler ve malzeme mıknatıslanır. Bu
¸sekilde, mıknatıslanan malzemenin boyutunun de˘gi¸smesini sa˘glayan ise alan etkisi ile büzülmedir ( ¸Sekil II.16).
¸Sekil II.16: Dı¸s alan etkisi ile manyetik büzülme
Bir ferromanyetik malzemenin mıknatıslanmamı¸s durumu ile doyum mıknatıslanması arasında hacim olarak önemli bir de˘gi¸siklik olmaz. Malzemenin hacmi sabit kalıyorsa, boyundaki de˘gi¸simi dengeleyecek bir de˘gi¸sim de eninde olmalıdır. Dolayısıyla boyuna manyetik büzülmenin yarısı kadar ve ters i¸saretli bir enine manyetik büzülme olacaktır. λtenine büzülme olmak üzere
λt= − λ 2 (2.76) olması beklenir.
2.9
Stoner-Wohlfarth Modeli
2.9.1
Giri¸s
Stoner ve Wohlfarth tarafından geli¸stirilen model, tek domainden olu¸san ferromanyetik parçacık-ların uygulanan bir dı¸s manyetik alan ile birlikte kolay eksen yönünde dönmesini anizotropiye ba˘glı olarak incelemektedir ( Stoner ve Wohlfart 1948).
Modelde, domainler arasındaki de˘gi¸s-toku¸s etkile¸simi, çevre ve ısı etkisi, basınç, kristal yapısı, parçacı˘gın ¸sekli gibi pinning etkileri ihmal edilir. Her bir Stoner-Wohlfarth parçacı˘gının tek oldu˘gu ve homojen bir biçimde mıknatıslandı˘gı ideal bir sistem göz önüne alınır.
Stoner-Wohlfarth modeli anizotropi etkisini açık bir ¸sekilde ortaya koyup malzemedeki mık-natıslanma için tersinir ve tersinmez süreçlerin her ikisinide gözleme imkanını vermekle birlikte,
bahsedilen etkile¸simleri ihmal etmesi açısından bir çok ferromanyetik malzemenin manyetik özel-liklerini incelemede yetersiz kalmaktadır.
Bu yetersizli˘gi gidermek amacıyla Jiles ve Anderson’ın pinning etkileri üzerine (Jiles ve Ather-ton 1986) ve Mayergoyz’nin Pierson modeli adını verdi˘gi domain duvarı hareketi üzerine (Mayergoyz 1988) yapmı¸s oldu˘gu çalı¸smalarda ihmal edilen etkile¸smeler modele dahil edilmektedir. Fakat iki boyutlu sistemler üzerine kurulan bu teroriler Stoner Wohlfarth’ın üç boyutlu yapısına her ko¸sulda uymamaktadır.
2.9.2
Stoner-Wohlfarth Teorisi
Stoner-Wohlfarth Terorisini irdelemek için domain duvarı olu¸sturamayıp tek domainli kalabilecek kritik boyuta sahip bir parçacık ele alınır. ¸Sekil, manyetokristal ve stres (büzülme) gibi tüm ani-zotropi türlerini içerdi˘ginden uzun ekseni b kısa ekseni a olan bir yayık küre teori için uygun bir malzemedir ( ¸Sekil II.17).
¸Sekil II.17: Tek domainli bir yayık küre
Malzemenin doyum mıknatıslanması −→Ms, b kolay ekseni ile θ açısı yapsın ve kolay eksen ile
α açısı yapan bir ~H dı¸s manyetik alanı uygulansın. Malzemeyi olu¸sturan manyetik momentler minimum enerji tercihi sebebi ile her yöne yönelebilirler. Uygulanan manyetik alanın ~H malze-menin−→Msmıknatıslanma vektörünü kolay eksenden ayırması, vektörü kolay eksene geri ça˘gırması
için anizotropiden kaynaklanan demanyetizasyon alanını üretmesini sa˘glar. Parçacı˘gın üretti˘gi de-manyetizasyon alanı ile parçacı˘ga uygulanan manyetik alanın birbirini dengelemesi minimum enerji durumudur ve parçacı˘gın tercihi budur.
de-manyetizasyona sebep olan anizotropi enerjisi ve uygulanan dı¸s manyetik alandan kaynaklanan potansiyel enerjisi (Zeeman enerjisi olarak da bilinir) vardır (Tannous ve Gieraltowski 2008).
Kuanizotropi sabiti olmak üzere ( ¸Sekil II.17)’de verilen parçacık için anizotropi enerjisi (2.71)’
den yararlanılarak
Ean = Kusin2θ (2.77)
¸seklinde yazılabilir.
Uygulanan dı¸s manyetik alan ~H’dan kaynaklanan potansiyel enerji
Ep = −HMscos(α − θ) (2.78)
olacaktır ve toplam enerji
E = Ean+ Ep
= Kusin2θ − HMscos(α − θ) (2.79)
¸seklinde iki enerjinin toplamıdır. −→
Ms mıknatıslanmasının denge durumu olarak bilinen enerjinin θ de˘gi¸skenine göre minimum
olmasıdır.
dE
dθ = 0
= 2Kusin θ cos θ − HMssin(α − θ) = 0 (2.80)
Dı¸s manyetik alan−→H yönünde mıknatıslanma M ise
M = Mscos(α − θ) (2.81)
olur.
(2.80) ve (2.81) e¸sitliklerini dı¸s manyetik alanın uygulanma yönüne (α0ya) göre inceleyelim. • α = 900 −→H manyetik alanı kolay eksene dik ise ( ¸Sekil II.18-a);
(2.80) ve (2.81) e¸sitlikleri
2Kusin θ cos θ − HMs= 0 (2.82)
¸sekline dönü¸sür. sin θ = M/Ms (2.82)’de yerine yazılırsa 2Ku M Ms = HMs (2.84) elde edilir.
Normalize edilmi¸s mıknatıslanma m ≡ M/Mstanımlanırsa
2Kum = HMs
m = H Ms
2Ku
(2.85) ¸seklinde normalize mıknatıslanmanın uygulanan manyetik alan ile do˘grusal ili¸skisini veren e¸sitlik elde edilir. Bu do˘grusal ili¸ski sebebiyle (2.85) ile verilen mıknatıslanmanın H alanına ba˘glı grafi˘gi çizilirse histeresis gözlenmeyecektir ( ¸Sekil II.18-b).
Normalize edilmi¸s mıknatıslanmanın doyum durumunda 1’e e¸sit olması beklenir (M = Ms, m =
1). Bu durumda (2.85) ifadesinin sa˘g tarafı için H/Hk = 1 = m yapacak normalize edilmi¸s bir alan
da söz konusudur. H/Hk≡ h ¸seklinde tanımlanan bu alan Hk = 2Ku/Msde˘gerinde normalizedir.
h = H/Hk=
H 2Ku/Ms
(2.86) Dolayısıyla (2.85) ve (2.86) tanımlamalarıyla α = 900için m = h ’dır.
¸Sekil II.18: α = 900 için yayık küre ve histeresis e˘grisi
α açısı her de˘geri alabilir. Normalize edilmi¸s alan ve mıknatıslanma tanımlamaları ile minimum enerji durumunu veren (2.80) ve alan yönündeki mıknatıslanmayı veren (2.81) e¸sitlikleri en genel
ifadeyle
sin θ cos θ − h sin(α − θ) = 0 (2.87)
m = cos(α − θ) (2.88)
¸seklinde yeniden yazılabilir.
• α = 00 −→H manyetik alanı kolay eksene paralel ise;
− →
H manyetik alanı ve−→Ms doyum mıknatıslanması b kolay eksenin pozitifi yönünü (α = 0, θ =
0) göstersin ( ¸Sekil II.18-a). Böyle bir domainde uygulanan manyetik alanın de˘geri sıfıra kadar dü¸sürülsün ve daha sonra negatif yönde α = 1800 olacak ¸sekilde artırılsın. α = 1800 ’de alan ile mıknatıslanma vektörleri birbirine antiparalel durumdadır. Bir süre −→Ms mıknatıslanması üzerine
hiç bir kuvvet etki etmez ve mıknatıslanma vektörü θ = 00’ de kalır.−→H alanı negatif yönde artırıl-maya devam ederse kritik bir de˘gerde denge durumu bozulur ve−→Msmıknatıslanması ters dönerek
α = 1800’ de−→H ile negatif yönde paralel olurlar. Denge durumunu bozan domainin enerjisinin
art-ması ve bu enerjiyi minimum yapma tercihidir. Dolayısıyla−→Ms mıknatıslanmasının ters dönmesini
sa˘glayan manyetik alanın bu de˘gerini bulmak için enerjinin minimum olma ko¸sulu ile yazılan (2.87) e¸sitli˘ginin çözümü yeterli de˘gildir. Aynı zamanda domainin enerjisinde bir de maksimum vardır. Dolayısıyla kararlı durum çözümü için bir de ikinci türeve bakılmalıdır. d2E/dθ2 < 0 kararsız
durum, d2E/dθ2 > 0 kararlı durum minimumlarını verir (Atherton ve Beattie 1990).
Manyetik alanın kritik de˘geri için ise
dE/dθ = 0 ve d2E/dθ2 = 0 (2.89)
ko¸sulları birlikte kullanılmalıdır. (2.87)’den
d2E/dθ2 = cos2θ − sin2θ + h cos(α − θ) = 0 (2.90) yazılır. (2.87) ve (2.90)’ın birlikte kullanımı ile
kiritik açı tan3θc = − tan α (2.91) ve kritik alan h2c = 1 − 3 4sin 22θ c (2.92) elde edilir.
