Manyetik alan kaynakları

Manyetik alan kaynakları

Hareketli bir yükün manyetik alanı

Hareketli bir yük tarafından üretilen manyetik alan

0

2

ˆ

υ r

B

4

q

r









7 7 2 0

4

10 Tm/A

4

10

N/A



















r

ˆr

r



Elektrostatikte gerekli olan 1/(4πε₀) a benzer olarak μ₀ /4π orantı sabiti faktörüne gerek olduğuna işaret edelim.

r

ˆr

r

d 0 2

ˆ

υ

r

dB

4

qnA dL

r











Bir akım unsurunun manyetik alanı

Bir akım unsuru tarafından üretilen manyetik alan

0 2

ˆ

υ r

B

4

q

r









ˆr



r

_r

I akımı taşıyan bir iletkenin ds unsuru için n A ds kadarlık v_d sürüklenme hızına sahip yükler vardır.

Bir akım unsurunun manyetik alanı



Biot-Savart Kanunu

0 2

ˆ

dL r

dB

4

I

r









ds nin I nın yönünde olduğuna bununla birlikte düşünülen telin ds uzunluğunun büyüklüğüne sahip olduğuna dikkat edelim.

Biot ve Savart 1825 de bobinlerle yapılan deneyden çıkarılan sonuç.

ds

Bir akım unsurunun manyetik alanı



Biot-Savart Kanunu

0 2

sin

4

I ds

dB

r









dB alanının büyüklüğü: 0 2

ˆ

ds×r

r

ˆ

dB

;

r

4

I

r

r









 ds

r

P I  dB

P deki toplam manyetik alan teldeki tüm ds unsurlarının toplamı ile bulunur.

Düz bir akım taşıyan iletkenin

manyetik alanı



L uzunluklu düz bir tel

 P x ds

rˆ

r I R y x  dB 0 0 2 2

sin

sin

4

4

I

_ds

I

_dx

dB

r

r



_



_









Böylece dB nin büyüklüğü aşağıdaki gibi verilir: 0 2

ˆ

ds r

dB

4

I

r













0 3/ 2 2 2

4

z

I

R dx

dB

x

R









2 2

sin

;

R

r

x

R

r









0 0 2 2

sin

sin

4

4

z

I

_ds

I dx

dB

r

r



_













 P x ds

rˆ

r I R y x  dB

Düz bir akım taşıyan iletkenin

manyetik alanı

L

uzunluklu düz bir tel

 P x ds

rˆ

r I R y x  dB 0

2

z

I

B

R







(L/R) →∞ limitinde

L

uzunluklu düz bir tel

Düz bir akım taşıyan iletkenin

manyetik alanı

Uzun düz bir telin manyetik alanı:

Düz bir akım taşıyan iletkenin

manyetik alanı

L

uzunluklu düz bir tel

B

B B

B



Örnek: Uzun düz bir tel

Iron filings

Bir akım unsurunun manyetik alanı

Örnek

ds

rˆ

O I  A´ C C´ A

Gösterilen tel parçasından dolayı O noktasındaki manyetik alanı hesaplayalım.Tel düzgün I akımı taşır ve iki düz parçadan ve θ açısı ile yayılan R yarıçaplı dairesel bir arktan oluşur.

R

A´A ve CC´parçalarından dolayı manyetik alan

sıfırdır çünkü ds bu yollar boyunca ye paraleldir.

rˆ

rˆ

AC yolu boyunca, ds ve diktir.

d s r

 

ˆ

ds

0 2

4

I ds

dB

R







0 2

ˆ

ds×r

dB

4

I

r







0 0 0 0 2 2

4

4

4

4

I

I

I

I

B

ds

R d

d

R

R

R

R





_



_



_

























İki paralel tel

Paralel iletkenler arasındaki kuvvet

I₁ Akımlı telden a uzaklıkta telden dolayı oluşan

manyetik alan aşağıdaki gibi verilir:



İki paralel tel

Paralel iletkenler arasındaki kuvvet



Ampere’nin tanımı

Paralel iletkenler arasındaki kuvvet

0 1 1

2

I

B

a







F

2



I

₂

L B



1 0 1 2 2

2

I I

F

L

a







Seçilen tanım a = L = 1m içindir I₁=I₂=1 amper iken, amper F₂ = 2×10−7 N şeklinde elde edilen değer için ifade edilir.

Bu seçim iki şey yapar (1) Bu,amperin(ve aynı zamanda voltun) gündelik yaşam için çok uygun bir büyüklüğe sahip olmasını sağlar ve (2) μ₀ = 4π×10−7 _{büyüklüğünü belirler. Not :ε}

0 = 1/(μ0c2) dır. Diğer birimlerin

Bir ilmek akımı tarafından üretilen manyetik alan

Dairesel bir akım ilmeğinin manyetik alanı

yi bir tel ilmeğin merkezindeki B manyetik alanı bulmak için kullanalım.

2 0 ˆ 4 r r s Id B 



 





R

I _{Tel ilmek bir düzlemde bulunur.R yarıçapına}

sahiptir ve içinden toplam I akımı akar İlk olarak

d

s





r

ˆ

r

s

d





ˆ

daire üzerinde her noktada aynı açıda olan sayfanın dışını doğru bir vektördür.Açı sabittir. rˆ rˆ s d s d _R R I ds R I R Ids dB B















2 4 4 4 2 0 2 0 2 0    







R I B 2 0



 k R I B ˆ 2 0



 

İlmeğin merkezindeki B alanının büyüklüğüdür.Yön sayfa dışına doğrudur.

Örnek 1:

Dairesel bir akım ilmeğinin manyetik alanı

R

I

B

2

0





)

05

(.

2

10

10

4

7 ₂

m

A

A

N

B









T

B



1

.

2



10

6



10

2

Gauss

T

B



1

.

2



10

4



1

.

2

Yön sayfanın dışına doğrudur. I



Örnek 2:

Dairesel bir akım ilmeğinin manyetik alanı

Telin dairesel arkının yada bir parçasının merkezindeki

B alanı nedir?



 ds R I B 0 ₂ 4





_{0 R} I

s

d



rˆ

Arkın toplam uzunluğu S dir. S R I B 0 ₂ 4





 _{burada S ark uzunluğu S =R0}

₀ radyandır. (derece değildir.)

Niçin telin düz parçasından dolayı P deki B alanına katkı sıfıra eşittir?



Ampere kanunu : Dairesel bir yol

Ampere Kanunu

• I akımı taşıyan telin üzerinde merkezlenmiş

her hangi bir R yarıçaplı dairesel yol düşünelim.

• Bu yol çevresindeki B·ds skaler çarpımını bulalım

• Yol boyunca her noktada B ve ds nin paralel olduğuna dikkat edelim

•Ayrıca B nin büyüklüğü bu yol üzerinde sabittir. Böylece daire çevresinde bütün B·ds terimlerin toplamı aşağıdaki gibidir:

0

B ds







I



0

2

I

B

r







Önceki Biot-Savart kanunundan

elde

etmiştik.





B ds





B

ds



B

2



r







Ampere kanunu : Genel bir yol

Ampere kanunu

3 boyutta herhangi bir kapalı yol boyunca integrale bakalım. En genel ds ifadesi:

0

B ds

2

I

d



_











ds



dr

u



r d



τ



dz

k

Burada birim vektörler radyal için

teğetsel yönlerde tel boyunca z için k dır.Bu sistemde biz sadece

0 0

B ds

.

2

2

I r d

I

d

r







_











Teli çevreleyen herhangi bir yol için



d





2



Teli çevrelemeyen herhangi bir yol için



d





0



Ampere kanunu :

Ampere kanunu



B





d

s







₀

I

•Sabit bir akım tarafından çevrelenen keyfi bir kapalı yol için bu kural geçerli olur.



Elektrik alan Manyetik alan kıyaslaması

Ampere kanunu

• Elektrik alan

• Genel: Coulomb kanunu • Yüksek simetri: Gauss

kanunu

• Manyetik alan

• Genel: Biot-Savart kanunu • Yüksek simetri: Ampère



Uzun bir silindiriksel iletkenin manyetik alanı

Ampere kanununun uygulamaları

r < R olduğu bölgede İntegrasyon yolu olarak tel üzerinde merkezleşmiş r

yarıçaplı bir daire seçilir. Bu yol boyunca, B yine sabit büyüklükte ve yola daima

paraleldir.

• Şimdi I_tot ≠ I.

• Bununla beraber, akım telin enine kesiti boyunca düzgündür.

• r < R yarıçaplı tarafından çevrelenen I akımlı

bölge r yarıçaplı dairenin alanı ile telin enine kesit

alanı R2 _{nin oranına eşittir.}

2 2 2 2 2 tot

I

r

I

j

r

r

I

R

R















0 0 2

for

2

2

tot

I

I r

B

r

R

r

R



















0 B ds  B ds  B 2



r 



I_tot





R yarıçaplı uzun düz bir tel, telin enine kesiti boyunca düzgün bir dağılımı olan

0

for

2

I

B

r

R

r









0 2

for

2

I r

B

r

R

R









B r R



Uzun silindiriksel bir iletken tarafından manyetik alan



Dairesel bir akımın manyetik alanı

Ampere kanununun uygulamaları

Dairesel akım taşıyan ilmek düşünelim. İlmeğin ekseni üzerindeki ilmek

merkezinden bir x uzaklığında P

noktasındaki B alanını hesaplayalım.

0 2

ˆ

dL r

dB

4

I

r









0 0 2 2 2

4

4

₍

₎

I dL

I dL

dB

r

x

R















Yine bu durumda I ds vektörü ilmeğe teğettir ve akım unsurundan P noktasına doğru olan r vektörüne diktir. dB gösterilen yöndedir, r ve

I ds vektörlerine diktir. dB nin büyüklüğü

aşağıdaki gibidir:

ds

Ids



Dairesel bir akımın manyetik alanı

Ampere kanununun uygulamaları

• İlmek çevresinde integral alalım, eksene dik tüm dB bileşenlerinin integrali sıfırdır (e.g. dB_y).

•Sadece eksene paralel dB_x bileşenleri katkıda bulunur. 0 2 2 2 2 2 2

sin

4

x

R

I dL

R

dB

dB

dB

x

R

x

R

x

R



















_

_

_

_



_

_

_

_















İlmeğin tamamından dolayı alan integral

alınarak elde edilir: x x



Dairesel bir akımın manyetik alanı

Ampere

kanununun uygulamaları



Dairesel bir akımın manyetik alan

Ampere

kanununun uygulamaları

2 0 3 2 2 ₂

2 (

)

x

R I

B

x

R







Sınırlar : x 0 0 2 I B R



 x >>R 2 0 0 3 3 2 2 4 4 x R I B x x













 

Dipolden uzak elektrik dipol ekseni üzerindeki bir noktada elektrik alan durumuyla kıyaslayalım.



Bir solenoitin manyetik alanı

Ampere

kanununun uygulamaları

Solenoitin bobinleri yakın aralıklarla yerleştirildiğinde, her bir dönüşe dairesel ilmek olarak bakılabilir, ve net manyetik alan her bir ilmek için manyetik alanların vektör toplamıdır. Bu ,solenoit içinde yaklaşık olarak sabit olan bir manyetik alan üretir, ve solenoitin dışında sıfıra yakındır.

Solenoitin manyetik alanı

Ampere

kanununun uygulamaları

Bobinler birbirine çok yaklaştığında ideal solenoite yaklaşır bunun yanında solenoitin uzunluğu yarıçapından daha büyüktür. Bundan sonra

solenoitin dışında sıfır solenoitin içinde sabit olan manyetik alana yaklaşabiliriz.



Bir solenoitin manyetik alanı

Ampere

kanununun uygulamaları

İdeal bir solenoit içindeki B manyetik alanını bulmak için Ampere kanunu kullanılır.

Bir toroidin manyetik alanı

Bir toroid gösterildiği gibi bir daire içerisine bükülmüş bir solenoit olarak düşünülebilir.Toroideki dairesel yol boyunca Ampere kanununu uygulayabiliriz .

(2

)

B d s





B

ds



B



r





0 encl

B d s







I



encl

I



NI

N toroidin ilmek sayısıdır, ve I her bir

ilmekteki akımdır. 0

2

NI

B

r









Soft -Ferromanyetikler

Manyetik maddeler

Şimdi mıknatıslanmış metalin resmini çizeriz. Burada elektron dipollerin hepsi B dış alanı ile sıralanışa sahip olur.

Her ne kadar özgün dipoller kendi etraflarındaki alanda dönüyor olsalar bile ,bunların, uygulanan B ile zıt yönde yöneldiğini ve sonuç olarak içteki ortalama alan büyüklüğünün dıştakinden daha küçük olduğunu

Soft -ferromanyetikler

Manyetik maddeler

•Saf demir ve aynı zamanda silikon demir gibi bazı demir alaşımları ve özellikle permalloy (mıknatıslanma oranı yüksek nikel demir alaşımı) ve

mumetal gibi bazı nikel demir alaşımları çok kolay mıknatıslanır. Burada

oldukça küçük uygulanan bir manyetik alanın madde içindeki bulunan tüm elektron spin manyetik dipol momentleri yönlendirdiği anlamını çıkarırız. •Uygulanan alan hafifçe ters döndürülürse mıknatıslanma neredeyse gözden kaybolduğu için bu durumlar içindeki üretilen mıknatıslanmayı (birim