Test 61 Çokgenler

(1)

www

.krakademi.com

1.

• Bir çokgenin iç açısı ile dış açısının toplamı 180°

dir. Buna göre, çekgenin iki iç açısı 135° ve 145° ise iki dış açısı 45° ve 35° olur.

• Bu çokgen n kenarlı ise geriye kalan (n – 2) iç açısının her birinin ölçüsü 140° ise herbirinin dış açısı 40° olur.

• Bir konveks çokgenin dış açıları toplamı 360° olduğundan, ( ) ( ) ( ) . n n n n n n bulunur 45 35 2 40 360 80 2 40 360 2 40 280 2 7 7 2 9 7 $ $ $ c c c c c c c c c + + - = + - = - = - = = + = Cevap: C

2.

n kenarlı konveks (dış bükey) çokgenin köşegen

sayı-sı n n( )

2 3

$

şeklinde bulunur.

• Bu çokgenin köşegen sayısı 20 olduğuna göre,

( ) ( ) ( ) n n n n n n kinci dereceden denklem n n n n n n n n 2 3 20 3 40 3 40 0 8 5 8 5 0 8 0 5 0 8 5 ‹ 2 2 $ $ -= - = - - = -+ - + = - = + = = = -f p

Buna göre, kenar sayısı negatif olmayacağından

çok-3.

n kenarlı bir konveks çokgenin bir kenarından

çizi-lebilen köşegen sayısı n – 3 tanedir. Buna göre bir köşesinden 6 tane köşegen çizilebiliyorsa,

. › › n n n kenarl d r 3 6 6 3 9 - = = + =

• n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılar toplamı (n – 2)·180° şeklinde bulunur. ( ) ( ) . ‹ç ç› › n bulunur a lar toplam 2 180 9 2 180 7 180 1260 $ $ $ c c c c = -= -= = Cevap: B

(2)

www

.krakademi.com

4.

n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısı = 360c _n

şeklinde bulunur.

• Düzgün çokgenin kenar sayısı tam sayı olaca-ğından, çokgenin dış açısı 24°, 30°, 45° ve 60° olabilir.

Düzgün çokgenin bir dış açısı 75° olamaz.

Cevap: E

5.

B C D E F 108° 108° 72° 54° 36° 18° K α L A

• Düzgün çokgenin herhangi bir köşesinden diğer kenara çekilen doğru kenarı iki eşit parçaya ayı-rıyorsa bu doğru kenara dik olur ve açıortaydır. Buna göre, [CK] doğrusu açıortaydır.

• n kenarlı bir çokgenin iç açısı 180° – n360c

şeklin-de bulunur. Buna göre, düzgün beşgenin bir iç açısı 180° –

5

360c = 180° – 72° = 108° dir. • Parelelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşit

oldu-ğundan, (m CDE%)=m CFE(%)=108c olur.

• , ( ) ( ) ,

( )

( ) .

›

Paralelkenar n m CDE m DCF ise

m DCF m DCF olur 180 108 180 72 c c c c + = + = = % % %

• [CK] açıortay doğrusu C köşesinin iç açısını iki eş

açıya ayırdığından, (m DCK) 2 108c ₅₄_c = = % bulu-nur. • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . m ACK m DCK m DCF m ACK m ACK olur 54 72 18 c c c + = + = = % % % % %

• CFL üçgeninin iç açıları toplamı 180° olduğundan

(3)

www

.krakademi.com

6.

B C D E F x A 110° 105° 110° 70°

• DF bir doğru olduğundan doğru açı 180° ye eşittir.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ° ° ° ° ° . m AEF m m AE m AE m AE m AED DEF D D D olur 70 180 180 70 110 + = + = = -= % % % % % %

• Bir konveks çokgenin iç açıları toplamı, n kenar sayısı olmak üzere (n – 2)·180° formülü ile bulu-nur.

fl ç ç› › › ( ) °

( ) °

°

° .

Be genin i a lar toplam n

dir 2 180 5 2 180 3 180 540 $ $ $ = -= -= = Buna göre, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° .

m ABC mBCD mCDE m AED mBAE

x x x x bulunur 540 110 90 110 105 540 415 540 540 415 125 + + + + = + + + + = + = = -= % % % % % Cevap: D

7.

B C D E F x 24 A

• Düzgün beşgenin tüm köşegenleri birbirine eşittir. Yani, |AD| = |BD| = 24 tür. • ; . AD DF DF x cm ise AD x cm olur 3 3 $ = = = • AD BD x x cm 3 24 8 = = =

Buna göre, |DF| = x = 8 cm bulunur.

(4)

www

.krakademi.com

8.

B C D E x x 30° 120° 30° x F A x§3

• Altıgenin bir kenarı x cm olsun.

• Düzgün bir altıgenin bir iç açısı 120° dir. BCD

üçgeninde |BC| = |DC| ise, (m CBE%) ve (m BDC%)

açıları 30° ye eşittir.

• BDC 30° – 30° – 120° özel üçgenidir. 90° ningör-düğü kenar uzunluğu 30° nin görningör-düğü kenar uzunluğunun 3 katına eşittir. Buna göre, |BC| = |CB| = x ise |BD| = x 3 cm olur. • ( ) m + 30c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . m EDB m BDC m EDC EDB m EDB m EDB olur 120 120 30 90 c c c c + = = = -= % % % % % %

• EDB dik üçgeninin alanı 18 3 cm2_ise,

( ) . DE BD Alan DEC x x x x cm bulunur 2 2 3 18 3 36 6 2 $ $ = = = = Cevap: B

9.

K L M B C D E F A

• ABCDEF düzgün altıgeninin içine çizilen BDF üçgeni bir eşkenar üçgendir ve altıgenin alanının yarısına eşittir. ( ) ( ) A ABCDEF A BDF 2 = %

• BDF eşkenar üçgeninin kenarlarının orta noktala-rı olan K, L, M noktalanoktala-rının birleştirilmesiyle olu-şan 4 üçgen alanı da birbirine eşittir. Buna göre,

( ) ( ) ( ) ( ) A BDF A A BDF A KLM KLM 4 4 $ = = % % % % • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ABCDEF A BDF A ABCDEF A KLM A ABCDEF A KLM 2 2 4 8 $ $ = = =

.

1 2 34444 4444 % % %

Buna göre, altıgenin alanı KLM üçgeninin alanı-nın 8 katıdır.

(5)

www

.krakademi.com

10.

B C D E F A x = 6 12 6§3

• Bir kenarı x cm olan bir altıgenin en uzun köşege-ni 2x cm, en kısa köşegeköşege-ni x 3 cm dir. Buna göre, en uzun köşegeni 12 cm olduğundan,

x 2 =12 . . fl › fl En uzun k egen BE x cm olur En k sa k egen AE BD x ise AE BD cm olur 12 6 3 6 3 ö ö = = = = = = = =

• Taralı dikdörtgen alanı, iki dik kenarının çarpımı-na eşit olduğundan

. ›

› Taral Dikd rtgen

alan AB AE cm bulunur 6 6 3 36 3 ö 2 $ $ = = = Cevap: E

11.

K H 1 L B C D E F 120° 30° 30° 6�3 x A 6 5 2 3 6�3

• Düzgün altıgenin tüm kenarları birbirine eşit ve 6 cm dir. Buna göre

• L noktasından altıgenin AB kenarına çizilen yük-seklik |EL| = |LB| ise AB kenarını iki eşit parçaya ayırır. Yani |AH| = |HB| = 3 cm olur. Buna göre,

| | | | | | | | | | . AK KH AH ise KH KH cm olur 1 3 2 = + = = +

• E ve A noktaları birleştirilirse, EA doğru par-çası LH doğru parpar-çasına paraleldir ve |EA| = |LH| olur.

Düzgün altıgenin bir iç açısı 120° dir.

|EF| |= AF ise m FAE| (%)=m FEA(%)=30° olur ve

AFE üçgeni özel açılı (30°-30°-120°) üçgenidir. Bu özel üçgende 120° nin gördüğü kenar 30° nin

gördüğü kenarın 3 katına eşit ise |EA|=6 3

olur.

• KHL üçgeninde pisagor bağıntısından,

| | | | | | ( ) . KH LH LK x x x x x cm bulunur 2 6 3 4 108 112 112 4 7 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = = = Cevap: C

(6)

www

.krakademi.com

12.

66 cm telin bir kısmı ile alanı 4 3 cm2_{olan eşkenar}

üçgen yapılmış ise geriye kaç cm uzunluğunda telin kaldığını bulmak için eşkenar üçgenin çevresi için kaç cm tel kullanılmış olduğunu bulmak gerekir.

• Bir eşkenar üçgenin bir kenarı x olsun. Alanı

x 3

4

2_$

formülü ile bulunur. Buna göre,

fl üç ›

. x

E kenar gen alan

x x x cm olur 3 3 4 4 3 4 16 4 2 2 2 = = = =

• Bir kenarı 4 cm olan eşkenar üçgenin çevresi 4·3 = 12 cm dir.

• Telin Kalan Kısmı = Telin Tamamı – Eşkenar

Üçgenin

Çevresi

Telin kalan kısmı = 66 – 12 Telin kalan kısmı = 54 cm olur.

• Telin kalan kısmı olan 54 cm den düzgün altıgen

yapılırsa altıgenin bir kenarı 54₆ =9cm bulunur.

Cevap: D 13. B C D E F G H 45° 45° 45° 45° K45°45° A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

• Düzgün çokgenlerin iç açısı, n kenar sayısı olmak

üzere 180°-360_n° formülü ile bulunur.

Buna göre düzgün sekizgenin bir iç açısı

° ° ° ° °dir.

180 -360₈ =180 -45 =135

• A ve B noktalarından HC doğru parçasına dik çekilirse, burada oluşan dik üçgenler aynıdır ve açılarına göre 45°-45°-90° özel üçgenlerdir. Buna göre 90° nin gördüğü kenar uzunluğu 45° nin gördüğü kenar uzunluğunun 2 katına eşit ise

dik üçgenlerin bir kenarı cm

2 2 ₌ ₂ _bulunur. • _|| _|| ( ) ( ) . EK HC cm bulunur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( )2 $ = + + + = + + = + + = = = Cevap: A