TÜREV 01

(1)

Ana menü

(2)

Ana menü

(3)

Ana menü

Tanım: f : A R , y = f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli Olmak üzere ,

a

x

a

f

x

f

a x

_





)

(

)

(

lim

Limiti bir reel sayı ise; bu değere , f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir.

f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi f’(a) veya

(a

)

dx

df

(4)

Ana menü

Bir fonksiyonun türevini daha kısa yoldan bulmamızı sağlayacak bazı teoremler:

R

a

x

n

a

x

f

ax

x

f

(

)



n



(

)



.

n1

,



0 )

(

'

)

(

,

)

(

x



a



R



f

x



f

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

)

(

x

v

x

w

x

y

u

x

v

x

w

x

u

y











devam etmek için tıklayınız

(5)

Ana menü Ana menü

 

(

)

'

.

 

(

)

.

('

)

.

u

x

y

n

a

u

x

1

u

x

a

y



n





n

'

.

'.

)

(

'

)

(

).

(

)

(

x

u

x

v

x

f

x

u

v

u

v

f









2

'.

'

)

(

)

(

v

u

v

u

y

x

v

x

u

y









(6)

Ana menü Ana menü 2

)'

(

x

c

f

c

_



n n n

f

n

f

1

.

'

)'

(





Örneğin; 3 2 3

.

3 '

)'

(

f



(7)

Ana menü Ana menü







.

'

f

y

f

y







f

(

x

)

y

'

y







sgn(

h

)

y

'

y



0, f Z ise



yoktur, f Z

ise

h

yoktur

ise

h

0 ,

0 



f(x), f(x)>0 ise yoktur, f(x)=0 ise -f’(x), f(x)= -1 ise

(8)

Ana menü Ana menü A y x t f(x) t doğrusunun eğimi:



tan



t

m

t

m

x

f

'

(

)



(9)

Ana menü

f fonksiyonunun A noktasındaki teğet doğrusunun denklemi;

A y x

)

.(

₁

1 m

x

y





_t



(10)

Ana menü

Bir hareketli cismin t zamana bağlı yol denklemi S=f(t) olsun.

)

(

'

)

(

)

(

)

(

f

t

d

s

d

t

v



)

(

"

)

(

)

(

)

(

f

t

d

v

d

t

a



(11)

Ana menü

Tanım = x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.

)

(

'

)

(

'

)

(

y

f

x

f

x

f





Bu durumda;

f’(x)= x’e göre türev (y sabit) f’(y)= y’ye göre türev (x sabit)

(12)

Ana menü

Tanım : y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri

olmak üzere t parametresine bağlı olarak

R

t



x = h(t) y =g(t)

Biçiminde tanımlanırsa, bu fonksiyona parametrik

fonksiyon denir.

olur.

)

(

'

)

(

'

durumda;

bu

t

h

t

g

dt

dx

dt

dy

dx

dy

_

(13)

Ana menü Ana menü

a

x

a

ln

.

1 )'

(log



a

u

a

ln

.

'

)'

(log



u

)'

'

(ln



x

)'

1 (ln



(14)

Ana menü Ana menü (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx

x

₂ 2 2

_sec

cos

1 tan

1 (tanx)'







(secx)’ = secx.tanx (cosecx) = -cosecx.cotx

x

2

cosec





x

2

sin

1 



)

cot

(1

(cotx)'





2

x

örnekleri görmek için tıklayınız

(15)

Ana menü Ana menü f f 1  f x y f 1( )  y  f (x) Birebir olmalıdır! Birebir olmalıdır!

B

A

f

:



f

1

B



A

dir.

))

(

'

1 )

(

'

1 )

(

)'

(

1 ₁

y

f

x

f

y

f





_

ise,

0 (x)

f'

var ve

(x)

f'

için







x

A

(16)

Ana menü Ana menü 2 1 1 )' (arcsin x x   2

1

1 )'

(arctan

x





1 x , 1 . 1 )' sec ( 2 _   x x x arc 2

1

1 )'

(arccos

x





2

1

1 )'

(arccos

x







1 x

,

1

1 )'

cot

(

2

_







x

arc

(17)

Ana menü Ana menü

a

x

)'

a

.

ln

(



x x

e



)

(e

x

a

u

a

u

)

'.

u

.

ln

(



u u

_u

_e

e

)'

'.

(



(18)

Ana menü Ana menü ise; fonksiyon bir türevli kümesinde A fonksiyonu f(x) y , R A : f üzere olmak    R A e ' dx dy (x) f' y' dx df   

f fonksiyonun 1. mertebeden türevi denir.

e dx f d dx y d x f ( ) ' y ₂ 2 2 2 '' '' _ _ _

f fonksiyonun 2. mertebeden türevi denir.

üzere; olmak 1 n ve n şekilde, aynı  N  denir. türevi dereceden n. nun fonksiyonu f e ' ) ( yn n n n dx x d x f  

(19)

Ana menü Ana menü

6 '

2

3









x

y

?

(1)

f'

ise

6

7

5

4 )

(

x



x

3



x

2



x





f

0 . 7 . 2 . 5 . 3 . 4 x31  x21  x  12107 10 = ? dx dy ise ) 1 3 ( 2 2 _ _  x y ) 6 .( ) 1 3 .( 6 ' dx dy ₂ ₂ x x y   

Konuya devam etmek için tıklayınız

Örneklere devam etmek için tıklayınız

(20)

Ana menü Ana menü

?

'

)

1 .(

)

1

3 (

2 

2 2



3





x

y

3 2

₁

₎

(

3 ).

1

3 (

2 .

2 '



x



x



y



2 (

3 x



1 )

2

.

3 (

x

2



1 ).

2 x

u v

(21)

Ana menü Ana menü

?

(1)

f'

ise

-1

(1)

g'

2 g(1)

,

3 )

(

)

(

₃







x

g

x

f

     ) 3 (x ) ( . 2 ) 3 (x).(x g' f(x) ₂ ₂ 3 _x _g _x

16 ))

1 (

(

2 )

1 (

'

g



2

1

16

4

4 

_





(22)

Ana menü Ana menü 3

₂

₃

)

(

x



x



f

3 ₍₂ ₃₎2 . 3 )' 3 2 ( ) ( '    x x x f İse f’(12) nedir? 2

)

3

2 (

.

3

2 )

(

'





x

f

= 9 . 3 2 27 2 ) 12 ( ' 3 2   f

27

2 

(23)

Ana menü

türevin geometrik yorumu

1 ) ( x x x

f   fonksiyonunun x=1 noktasındaki teğetinin

ve normalinin eğimi kaçtır?

2

)

1 .(

1 .

1 x

x





₂

1 x

x







1

₂



1 x

n

mx

x

y



2



_{eğrisinin apsisi x=1 noktasındaki}

teğetinin denkleminin y=x+1 olması için n-m=?

(24)

Ana menü

(25)

Ana menü Ana menü

?

(x)

f'

ise

4 .

)

(

x

 x

x

2





f

0

4

2

_

_

x

x=2, x=-2 (k.n.)

)

4 sgn(

.

2 .

4 .

1 )

(

'

x



x

2





x

2



f

)

4

9 sgn(

.

9 .

2

4

9 .

1 )

3 (

'









f

23

18

5 )

3 (

'







f

(26)

Ana menü Ana menü 3 2 ) (x  x2  x  f ise ) ? 2 1 ( f' ?, (2) f' ?, ) 1 ( '    f g(x)

3

3 )

(

x



x

2



x



g

g'(x)  x2 2   

 x 1için g(x) _y=1-2+3=2

f

min

,

f'

(1)



0 yok

f

x









2 '

(

2 )

) ( 0 ) 2 1 ( ' 2 1 _ _ __   x f g

(27)

Ana menü Ana menü ) 2 sgn( ) (x x2 x f  

2

2 )

(

'

x

 x



g

0

6

2

2 .

2 )

2 (

'









g

0 )

2 (

'



f

ise f’(2)=?

)

2 sgn(

)

(

x

2

x

f





g(x)

(28)

Ana menü

Hareket denklemi:

d



2 t



3 t

3



1

olan bir hareketlininin

3sn. Sonraki aldığı yolu , hız ve ivmesini hesaplayınız.

.

58

1

27 .

3

3 .

2

3 s

m

t











sn m t dt ds v   2  9 2  2  9.9  83 2 54 3 . 18 18 sn m t dt dv a    

(29)

Ana menü Ana menü 2 2x2  xy  y3  ise f’(1)=?

2

1 



3



y

x

0 )

1 (

2







y

0 

y

0 2 2 ) , (_x _y _ _x2 _ _xy_ _y3 _ _ f 2

3

4 '

'

)

1 (

'

y

x

y

x

y

f

x

f











t

m













4

0

1

0

4

(30)

Ana menü Ana menü 4 3 2 2 2     t y t t x dx dy

ise _{‘in t =-1 için değeri nedir?}

1

6

2

_





t

dt

dx

dt

dy

dt

dy

7

2 

(31)

Ana menü

Ana menü Konuya devam etmek için tıklayınız



ln(

x

2

 x



1 )

5





?

dx

d

)

1 (

'

.

5 '

2 4





x

u

dx

d

5 2 4 2 ) 1 ( ) 1 2 .( ) 1 .( 5       x x x x x ) 1 ( ) 1 2 .( 5 2 _ _  x x x =

(32)

Ana menü Ana menü ? ) ( f' ise cos 3 sin ) (x  x  2 x



 f

)

sin

.(

cos

.

2

3 cos

.

3 x



x



x

f '()  3 ? ))) 3 (cos( (sin3 x  dx d 3 ). 3 sin ).( 3 cos(cos ). (cos sin . 3 2 x x  x 

(33)

Ana menü Ana menü

1

2

3 )

(

x



x

2



x



f

ise ( f 1)'( f (x))  ? 2 9 1 ) ( ' 1 2 _   x x f





R

f

:

 7

1 ,



f

(

x

)



x

2



2 x



4 ise

(f

-1

)(

4 )



?

) 2 ( ' 1 ) ( ' 1 ) )( ( 1 f x f y f   

y



4 

x



?

 ₄  _x2 ₂_x ₄ 2 4    x x -4 olamaz 4 2 1 4 2 1    x

₆

1 

(34)

Ana menü Ana menü

?

ise

4

1 arccos





dx

dy

x

y

) 4 1 ( 1 ) 4 1 ( x x dx dy     

)

4

1

2

4 (

x





2

16

4

2 x

x





u

(35)

Ana menü Ana menü 1 2

4 )

(

x



x 

f

_{fonksiyonun türevini bulunuz.}

4 ln

.

4 ).

1 (

)

(

'

x



x

2



x21

f



2 x

.

4

x21

.

ln

4

x

e

x

f

(

)



sin fonksiyonunun türevini bulunuz.

x

e

x

f

'

(

)



(sin

)'.

sin

_

_cos

_x

_.

_e

sinx

(36)

Ana menü

x

f

y



(

)



1

fonksiyonunun n. türevi ne olur?

2 1 2 2 ! 1 . ) 1 ( 1 . 1 1 ) ( ' x x x x f       3 2 3 3 ! 2 . ) 1 ( 1 . 2 2 ) ( '' x x x x f       4 3 4 4 ! 3 . ) 1 ( 1 . 3 3 ) ( '' ' x x x x f       ) 1 ( ) ( ₍ ₎ !    _n n x n x f Olur.