Self-adjoint operatörlerin spektral analizi

T.C.

PAMUKKALE ÜNĠVERSĠTESĠ

FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

SELF-ADJOĠNT OPERATÖRLERĠN SPEKTRAL ANALĠZĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

KUDRET ELĠF BERKMAN

T.C.

PAMUKKALE ÜNĠVERSĠTESĠ

FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

SELF-ADJOĠNT OPERATÖRLERĠN SPEKTRAL ANALĠZĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

KUDRET ELĠF BERKMAN

i

ÖZET

SELF-ADJOĠNT OPERATÖRLERĠN SPEKTRAL ANALĠZĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

KUDRET ELĠF BERKMAN

PAMUKKALE ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI

(TEZ DANIġMANI:PROF. DR. ALP ARSLAN KIRAÇ) DENĠZLĠ, EYLÜL - 2017

Üç bölümden oluşan bu tezde, Dirichlet sınır değer problemlerinin özfonksiyon ve özdeğerleri için asimptotik formüller incelenmiştir. Birinci bölümde sonraki bölümler dikkate alınarak bazı temel kavram ve teoremler ifade edilmiştir. İkinci bölümde Dirichlet sınır koşulları ile verilen self-adjoint Sturm-Liouville operatörlerin özdeğer ve özfonksiyonlarının keyfi mertebeden asimptotik formüllerinin elde edilmesini sağlayan teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Üçüncü bölümde bu teoremler Matlab ile elde edilen çözümlerle örneklendirilmiştir.

ii

ABSTRACT

ANALYSIS OF SELF-ADJOINT OPERATORS MSC THESIS

KUDRET ELĠF BERKMAN

PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATĠCS

(SUPERVISOR:PROF. DR. ALP ARSLAN KIRAÇ) DENĠZLĠ, SEPTEMBER 2017

In this thesis consisting of three chapters, asymptotic formulas for eigenfunctions and eigenvalues Dirichlet boundary conditions are studied. In the first chapter, by considering other chapters, some basic concepts and theorems are stated. In the second chapter, theorems which provide to obtain asymptotic formulas of arbitrary order for eigenvalues and eigenfunctions of the self-adjoint Sturm-Liouville operators with Dirichlet boundary conditions are stated and proved. In the third chapter, these theorems are exemplified by the solutions obtained with Matlab.

iii

ĠÇĠNDEKĠLER

1.1 Temel Tanımlar ve Formülasyonlar ... 2

1.2 Bazı Yardımcı İfadeler ... 6

2. DIRICHLET SINIR DEĞER PROBLEMLERĠ ĠÇĠN ASĠMPTOTĠK FORMÜLLER ... 12

3. ÖRNEKLER ... 31

4. KAYNAKLAR ... 35

iv

ÖNSÖZ

Bu tez çalışması, Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans programında yapılmıştır.

Bu çalışmada Drichlet Sınır Değer Problemi için self-adjoint Sturm-Liouville operatörler incelenerek bu operatörlerin özfonksiyonlarının ve özdeğerlerinin keyfi mertebeden asimptotik formülleri elde edilmiştir.

Bu tez çalışmasını hazırlarken değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, anlayışını, emeğini ve zamanını esirgemeyen çok değerli hocam Sayın Prof. Dr. Alp Arslan KIRAÇ'a ve bu süreçte hoşgörü ve sabırla beni destekleyen ailem ve değerli arkadaşlarıma, ayrıca tüm çalışmam boyunca beni motive eden ve desteğini esirgemeyen Çalışma Ekonomisi ve Endüstri İlişkileri Bölümü Doktora öğrencisi Kerem Berkman'a teşekkürlerimi sunarım.

1

1. GĠRĠġ

Matematiksel fizikte birçok konu diferansiyel operatörlerin özfonksiyonlarını ve özdeğerlerini belirleme ve özfonksiyonların seri olarak keyfi bir fonksiyona açma problemini gerektirir. Örneğin, Fourier metodu başlangıç ve sınır koşulları verilen bir kısmi diferansiyel denklemin çözümünü bulmak için kullanıldığında bu tür bir problemle karşılaşılır. Dolayısıyla diferansiyel operatörlere çok fazla önem verilmektedir ve diferansiyel operatörler oldukça güncel bir araştırma konusudur.

Pek çok yayınlanmış çalışma diferansiyel operatörlerin spektral teorisi problemiyle uğraşmaktadır; örneğin, diferansiyel operatörün spektrumunun araştırılması ve bu operatörün özfonksiyonları olarak verilen fonksiyonların açılımları.

Böyle problemlere ilgi kuantum mekaniğinin gelişmesiyle canlanmıştır. Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi kuantum mekaniğinde birçok konunun araştırılması için temel matematiksel metot olarak görünmektedir.

Self-adjoint diferensiyel operatörler, açık rezonatör teorisinde, esnek olmayan saçılma problemlerinde ve matematiksel fizikteki birçok başlangıç ve sınır değer probleminin Fourier metodu ile çözülmesinde kullanılır.

𝐿₂[0,1]’de, 𝑙 y = y(n)+ p1 x y n−1 + ⋯ + pn x y diferansiyel ifadesi ve 𝑈_𝑣 𝑦 = αvy0 kv _{+ β} vy1 kv _{+ α} vj kv−1 j=0 y₀ j + β_vjy₁ j , 𝑣 = 1,2, … , 𝑛

sınır koşullarını ile üretilen 𝐿(𝑝) operatörünü ele alalım. Bu operatörlerin incelenmesi, 20. yüzyılın başında, Birkhoff (1908), Tamarkin (1927) tarafından başlatılmıstır.

2

Birkhoff 𝑙 𝑦 + 𝜌𝑛𝑦 𝑥 = 0, 𝜆 = −𝜌𝑛 denkleminin 𝑦₁ 𝑥, 𝜌 , … , 𝑦_𝑛 𝑥, 𝜌 çözüm sistemini, p1 x , p2 x , … , pn x katsayılarının sürekli ve her mertebeden

türevlenebilir olması koşulları altında bulmuştur. Daha sonra Tamarkin bu problemin çözümünü daha genel hipotezler ile çalışmıştır. Strongly regular problemlerde karakteristik değerler (öz değerler) için asimptotik formüller Tamarkin (1927) tarafından elde edilmiştir.

Naimark'ın çalışmalarında ise eğer p₁ x , p2 x , … , pn x katsayıları belirli

bir mertebeye kadar sürekli türevlere sahip ise özdeğerler için 𝑂 1

𝜌 mertebesinin

daha yüksek kuvvetlerini içeren çok daha hassas asimptotik formüller türetilebilir. Bu tezde Yılmaz ve Veliev'in (2005) “Asymptotic Formulas For Dirichlet Boundary Value Problems” makalesinde ele alınmış olan potansiyelleri toplanabilir fonksiyon olduğunda

𝑙 𝑦 = −𝑦′′ _{+ 𝑞(𝑥)}

diferansiyel ifadesi ve Dirichlet sınır koşulları ile üretilen 𝐿₂[0,1]’deki self-adjoint Sturm-Liouville operatörleri incelenmiştir. Bu operatörlerin özfonksiyonlarının ve özdeğerlerinin keyfi mertebeden asimptotik formüllerin elde edilişi açılmış ve örnekler verilmiştir.

1.1 Temel Tanımlar ve Formülasyonlar

𝑛. mertebeden [0,1] aralığında verilen

𝑙 y = y(n)+ p1 x y n−1 + ⋯ + pn x y (1.1)

lineer diferansiyel ifadesini göz önüne alalım. p₁ x , p₂ x , … , p_n x fonksiyonları diferansiyel ifadenin katsayıları olarak adlandırılır. p_s x , s = 1,2, … , n katsayıları 0,1 aralığında Lebesgue integrallenebilir ve kompleks değerli fonksiyonlar olsun.

U(y) , [a, b] aralığının 𝑎 ve 𝑏 sınır noktalarında y_a, y_a′_{, … , y}

a n−1 ; yb, yb′, …,

3 U y = α₀y_a + α₁y_a′ _{+ ⋯ + α}

n−1 ya n−1 + β0yb + β1yb′ + ⋯ + β n−1 yb n−1

. 𝑛. mertebeden bir lineer diferansiyel ifadenin 𝑈 𝑦 olarak lineer bağımsız homojen sınır koşulları

𝑈𝑣 𝑦 = 0, 𝑣 = 1,2, … , 𝑛 (1.2)

formundadır.

l y belirli bir diferansiyel ifade ve 𝔻’de (1.2)’de verilen koşullarla tanımlı belirli bir alt uzay olsun. Her bir y ∈ 𝔻 için u = l(y) fonksiyonu karşılık gelsin. Bu ilişki tanım kümesi 𝔻 ile bir lineer operatördür ve L ile gösterilir. Bu notasyonlar kullanılarak,

𝑢 = 𝐿𝑦 yazılabilir.

Tanım 1.1.1: 𝐿 operatörüne 𝑙(𝑦) diferansiyel ifadesi ve (1.2) sınır koşulları

ile üretilen lineer diferansiyel operatör denir. Diğer bir ifade ile 𝐿2[0,1] ’de 𝐿

operatörü 𝑙 𝑦 diferansiyel ifadesi ve aşağıdaki kısıtlara sahip 𝔻(𝐿) kümesi ile tanımlanır:

𝔻 𝐿 = {𝑦|𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛−1 mevcut, 𝑦 𝑛−1 , [0,1] aralığında mutlak sürekli, 𝑦, 𝑙(𝑦) ∈ 𝐿₂[0,1], 𝑈_𝑣 𝑦 = 0, 𝑣 = 1,2, … , 𝑛} ve her 𝑦 ∈ 𝔻(𝐿) için 𝐿 𝑦 = 𝑙(𝑦)’dir.

Tanım 1.1.2:

𝑙 𝑦 = 0 (1.3)

𝑈𝑣 𝑦 = 0, 𝑣 = 1,2, … , 𝑛 (1.4)

şartlarını sağlayan bir 𝑦 ∈ 𝔻(𝐿) fonksiyonunu belirleme problemine homojen sınır-değer problemi denir.

Dikkat edilirse 𝐿 operatörü 𝑙(𝑦) diferansiyel ifadesi ve (1.4) sınır koşulları ile üretilmiş ise o zaman homojen sınır-değer problemi 𝐿 operatörünün 𝔻 tanım kümesinde 𝐿’nin sıfır olduğu bir 𝑦 fonksiyonunu bulma anlamına gelir.

4

Tanım 1.1.3: , , 𝐿₂[0,1]’deki iç çarpım olmak üzere 𝐿𝑦, 𝑧 = 𝑦, 𝐿∗_𝑧

denklemi 𝐿’nin tanım kümesindeki her 𝑦 için ve 𝐿∗_{’ın tanım domainindeki her 𝑧 için}

sağlanır ise 𝐿∗ _{operatörüne, 𝐿 operatörüne adjoint operatör denir.}

Bir 𝐿 operatörü için 𝐿 = 𝐿∗ _{ise 𝐿 operatörüne self-adjoint operatör denir.} Tanım 1.1.4: 𝐿 operatörünün tanım kümesinde

𝐿𝑦 = 𝜆𝑦 (1.5)

olacak şekilde bir 𝑦 ≠ 0 fonksiyonu var ise bu 𝜆 sayısına 𝐿 operatörünün özdeğeri denir. 𝑦 fonksiyonuna ise 𝜆 özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon denir.

Bir 𝐿 operatörü 𝑙(𝑦) diferansiyel ifadesinden ve (1.4) sınır koşullarından üretilir.

Bir 𝑦 özfonksiyonu 𝐿 operatörünün tanım kümesine ait olmak zorunda olduğundan (1.4) şartını sağlamalıdır. Üstelik 𝐿 𝑦 = 𝑙(𝑦) ve böylece (1.5)

𝑙 𝑦 = 𝜆𝑦 ifadesine denktir.

𝑙 − 𝜆 𝑦 = 0 diferansiyel denklemini göz önüne alalım. Elementer yöntemlerle gösterilebilir ki 𝜆 parametresinde lineer bağımsız tüm çözümlerin bir kümesi mevcuttur. Bu küme 𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛 olsun. Yukarıdaki denklemin genel çözümü ve aynı zamanda homojen sınır-değer probleminin çözümü

𝑦 = 𝑐𝑖𝑦𝑖(𝑥, 𝜆) 𝑛

𝑖=1

(1.6)

5

(1.3)’teki 𝑛 lineer bağımsız sınır koşulları uygulanarak 𝑐₁, 𝑐₂, … , 𝑐_𝑛 sabitlerinin belirlenmesi için 𝑛 bilinmeyenli 𝑐𝑖 ’lerin 𝑛 lineer, homojen

denklemlerinin bir sistemi elde edilir:

𝑐1𝑈1 𝑦1 + 𝑐2𝑈1 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑈1 𝑦𝑛 = 0

(1.7) 𝑐₁𝑈₂ 𝑦1 + 𝑐2𝑈2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑈2 𝑦𝑛 = 0

. . … . . 𝑐1𝑈2 𝑦1 + 𝑐2𝑈2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑈2 𝑦𝑛 = 0

Böylece aşağıdaki sonuçları elde ederiz:

 Homojen sınır-değer problemi (örneğin yukarıdaki sistem) en az bir sıfırdan farklı çözüme sahiptir ancak ve ancak katsayılar matrisinin determinantı sıfırdır.

 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 fonksiyonları 𝜆 parametresinin tam fonksiyonları

olduğundan, 𝜆’nın tam fonksiyonlarının bir lineer kombinasyonu olan bu determinantın kendisi de tamdır.

Tanım 1.1.5: 𝐿 operatörünün bir özdeğeri

𝑙 𝑦 = 𝜆𝑦, 𝑈𝑣 𝑦 = 0, 𝑣 = 1,2, … , 𝑛 (1.8)

homojen sınır-değer problemi için 𝜆 parametresi sıfırdan farklı çözümlere sahiptir ve bu sıfırdan farklı çözümler 𝜆’ya ait bir özfonksiyondur.

(1.8) sınır-değer probleminin özdeğerleri (veya karakteristik değerleri)

∆ 𝜆 =

𝑈₁(𝑦₁) ⋯ 𝑈₁(𝑦_𝑛)

⋮ ⋮ ⋮

𝑈𝑛(𝑦1) ⋯ 𝑈𝑛(𝑦𝑛)

(1.9)

biçimine sahip ∆(𝜆) karakteristik determinantının sıfırları ile belirlenir. ∆(𝜆), 𝜆’nın analitik fonksiyonudur ve aşağıdaki teorem sağlanır:

Teorem 1.1.1: 𝐿 operatörünün özdeğerleri ∆(𝜆) fonksiyonunun sıfırlarıdır. ∆(𝜆) sıfıra özdeş ise herhangi bir 𝜆 sayısı 𝐿 operatörünün bir özdeğeridir.

6

Tersine ∆(𝜆) sıfıra özdeş olmaz ise 𝐿 operatörü en fazla sayılabilir çoklukta özdeğere sahiptir ve bu özdeğerler sonlu bir limit noktasına sahip değildir.

Özel olarak, ∆(𝜆) hiçbir sıfır noktasına sahip değilse o zaman 𝐿 operatörü hiçbir özdeğere sahip değildir.

Bir 𝜆 özdeğeri ∆(𝜆)’nın katlı bir sıfırı olabilir. Bu durumda aşağıdaki tanım ve teorem verilebilir:

Tanım 1.1.6: (1.8) sınır-değer probleminin bir 𝜆₀ özdeğeri ∆(𝜆) fonksiyonunun 𝑝 katlı kökü ise 𝜆0özdeğerine 𝑝 katlılığa sahiptir denir. (1.8)’in 𝜆0

özdeğeri ∆(𝜆) karakteristik determinantının tek katlı bir sıfırı ise 𝜆₀’a tek katlı denir.

Teorem 1.1.2: 𝜆, 𝐿 operatörünün 𝑝 katlı bir özdeğeri ise o zaman 𝐿∗ adjoint operatörünün 𝜆 özdeğeri de aynı 𝑝 katlılığına sahiptir.

Tanım 1.1.7: 𝜆_𝑛 özdeğerine karşılık gelen 𝐿 operatörünün

özfonksiyonunu𝜓_{𝑛 ,0} 𝑥 = 𝜓𝑛 𝑥 ile gösterelim.𝑝 = 1,2, … , 𝑚𝑝olmak üzere 𝜓𝑛,𝑝 𝑥

fonksiyonu,

𝐿 − 𝜆𝑛 𝜓𝑛 𝑥 = 0,

(1.10) 𝐿 − 𝜆𝑛 𝜓𝑛 ,𝑝 𝑥 = 𝜓𝑛 ,𝑝−1 𝑥 , 𝑝 = 1,2, … , 𝑚𝑝

denklemlerini sağlıyorsa 𝜓𝑛 ,𝑝 𝑥 fonksiyonuna 𝐿 operatörünün aynı 𝜆𝑛 özdeğerine

ve 𝜓_{𝑛 ,0} 𝑥 özfonksiyonuna karşılık gelen 𝑝 mertebeden associated fonksiyonu denir. Burada 𝑚_𝑝’ye associated fonksiyonlar sisteminin uzunluğu denir.

Bir 𝜓_{𝑛 ,0} 𝑥 özfonksiyonu ile associated fonksiyonların 𝑚 − 1 uzunluğunda bir sistemi var fakat 𝑚 uzunluğunda bir sistemi yoksa 𝜓_𝑛,0 𝑥 özfonksiyonu 𝑚 katlılığa sahiptir denir.

1.2 Bazı Yardımcı Ġfadeler

(1.1) diferansiyel ifadesinde sadece 𝑛 = 2 durumunu ele alacağız. Bu yüzden bu kısımdaki tanımlar ve sonuçlar yalnızca 𝑛 = 2 için verilecektir.

7

−1'in iki farklı kökünü şimdi ve sonraki ilişkilerde 𝑤₁, 𝑤₂ ile gösterelim. Öncelikle 𝜆 = −𝜌2 _{yazalım, o zaman 𝑙 𝑦 = 𝜆𝑦 denklemi}

𝑙 𝑦 + 𝜌2𝑦 = 0 (1.11)

şeklini alır. 𝜆 = −𝜌2 _{dönüşümüyle kompleks 𝜌-düzlemi 4 farklı sektöre bölünür. Bu}

sektörlere 𝑆_𝑘, 𝑘 = 0, 1, 2, 3 dersek, 𝑆_𝑘 𝑘𝜋 2 ≤ arg 𝜌 ≤ (𝑘 + 1)𝜋 2 (1.12)

ile tanımlanır. Her bir 𝑆_𝑘 sektörü için 𝑤₁, 𝑤₂ sayıları şu şekilde sıralanabilir: ℛ(𝑧), 𝑧 kompleks sayısının reel kısmını ifade etmek üzere her 𝜌 ∈ 𝑆_𝑘 için

ℛ(𝑤1) ≤ ℛ(𝑤2) (1.13)

eşitsizliği sağlanır.

𝑆_𝑘 sektörlerinden, 𝑐 sabit bir kompleks sayı olmak üzere 𝜌 → 𝜌 − 𝑐 dönüşümü yapılarak daha genel domainler elde edilebilir. Bu yeni sektörler 𝜌 = −𝑐 noktasındaki köşeleri ile uygun olarak 𝑇𝑘, 𝑘 = 0, 1, 2, 3 ile gösterilebilir. Dönüşüm

ile hangi 𝑇_𝑘’ların hangi 𝑆_𝑘’lardan üretildiği dikkate alınarak görülebilir ki 𝜌 ∈ 𝑇_𝑘 olmak üzere 𝑤₁, 𝑤₂ sayılarının uygun bir sıralaması için

ℛ((𝜌 + 𝑐)𝑤₁) ≤ ℛ((𝜌 + 𝑐)𝑤₂) (1.14) eşitsizliği sağlanır. Sonradan 𝑇_𝑘sabit domaininde 𝜌 değişmesine izin verebilir ve böylece 𝑆_𝑘 ve 𝑇_𝑘 yerine basitçe 𝑆 ve 𝑇 yazabiliriz. 𝑤₁, 𝑤₂ sayılarının sıralaması 𝜌 ∈ 𝑇 için (1.14) eşitsizliği geçerli olacak şekildedir.

(1.11) homojen, lineer diferansiyel denklemi her 𝜌 ≠ 0 için 𝑒𝑖𝜌𝑥_{, 𝑒}−𝑖𝜌𝑥

8

Bir sonraki teoremde 𝑦₁ 𝑥, 𝜆 , 𝑦₂ 𝑥, 𝜆 çözümlerinin temel kümesi ve (1.12)'deki sektörlerde 𝜌 → ∞ homojen olmayan

𝑙 𝑦 + 𝜌2𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦 (1.15)

denkleminin çözümlerinin ilk mertebeden türevleri için asimptotik hesaplamaları verilecektir.

Teorem 1.2.1: 𝑞(𝑥) fonksiyonu [0,1] aralığında keyfi bir Lebesgue integrallenebilir fonksiyon ise o zaman (1.15) denklemi kompleks düzlemin her bir T bölgesi için, 𝜌 ∈ 𝑇 için regular olan ve yeterince büyük 𝜌 ’lar için iki tane lineer bağımsız 𝑦1, 𝑦2 çözümlerine sahiptir ve bu çözümler türevleri ile (𝑘 = 1,2 için)

𝑦_𝑘 = 𝑒𝜌𝑤𝑘𝑥 _{1 + 𝑂} 1 𝜌 (1.16) 𝑑𝑦_𝑘 𝑑𝑥 = 𝜌𝑒 𝜌𝑤𝑘𝑥 _𝑤 𝑘 + 𝑂 1 𝜌 biçiminde ifade edilebilir.

Reel ve pozitif 𝜌için genellikle bu çözümleri 𝑦₁, 𝑦₂’nin 𝑦₁+ 𝑦₂ 2 = cos 𝜌𝑥 + 𝑂 1 𝜌 , 𝑦1− 𝑦2 2𝑖 = sin 𝜌𝑥 + 𝑂 1 𝜌 lineer kombinasyonlarıyla değiştirmek uygundur.

Verilen bir diferansiyel operatörü tanımlayan farklı 𝑈𝑣 𝑦 = 0, 𝑣 =

1, 2 sistemlerini göz önüne alalım. 𝑦 𝑘 (0) veya 𝑦 𝑘 (1) , 𝑈(𝑦) formunda açıkça görünüyor fakat herhangi bir 𝑣 > 𝑘 için 𝑦 𝑣 _{(0) ve 𝑦} 𝑣 _{(1) görünmüyorsa o zaman}

𝑈(𝑦), 𝑘 mertebesine sahiptir denir.

Oluşturuluş şeklinden dolayı sınır koşulları şu formda olmalıdır:

9

Burada 1 ≥ 𝑘₁ ≥ 𝑘₂ ≥ 0 ve her bir 𝑣 indisi için 𝛼_𝑣, 𝛽_𝑣 sayılarından en az biri sıfırdan farklıdır.

Sabit bir 𝑆𝑘 domainini göz önüne alalım. Önceki gibi 𝑤1, 𝑤2sayıları her

𝜌 ∈ 𝑆_𝑘 için (1.13) denklemini sağlasın.

Tanım 1.2.1: 𝜃₋₁ 𝑠 + 𝜃0+ 𝜃1𝑠 = 𝛼1+ 𝑠𝛽1 𝑤1 𝑘1 _𝛼 1+ 1 𝑠𝛽1 𝑤2 𝑘1 𝛼2+ 𝑠𝛽2 𝑤1 𝑘2 _𝛼 2+ 1 𝑠𝛽2 𝑤2 𝑘2

özdeşliği ile tanımlı 𝜃−1 ve 𝜃1 sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise (1.17)

sınır-değer koşulları regular'dir denir.

Regularity tanımı sırası ile düzenlenmiş 𝑤₁, 𝑤₂ sayıları için S bölgelerinin seçiminden bağımsızdır .

𝜃₀, 𝜃₁, 𝜃₋₁'lar sadece (1.17)'deki en yüksek mertebeden türevlerin kompleks katsayıları 𝛼_𝑣 ve 𝛽_𝑣'ye bağlı olduğundan regularity aynı zamandan 𝛼_𝑣 ve 𝛽_𝑣'ye bağlıdır.

Tanım 1.2.2: 𝜃₀2_{− 4𝜃}

1𝜃−1 ≠ 0 ise (1.17) sınır-değer koşullarına strongly

regular denir.

𝑛 = 2 için en genel sınır-değer koşulları

𝑎1𝑦0′ + 𝑏1𝑦1′ + 𝑎0𝑦0+ 𝑏0𝑦1 = 0,

(1.18) 𝑐₁𝑦₀′ _{+ 𝑑}

1𝑦1′ + 𝑐0𝑦0+ 𝑑0𝑦1.

(1.17) sınır-değer koşulları yalnızca şu durumlarda regular olur: 1. 𝑎1𝑑1− 𝑏1𝑐1 ≠ 0;

2. 𝑎₁ = 𝑏₁ = 𝑐₁ = 𝑑₁ = 0, 𝑎₀𝑑₀− 𝑏₀𝑐₀ ≠ 0;

10

İlk iki durumda 𝜃₀ = 0, 𝜃₁ = −1, 𝜃₋₁ = 1 ve 𝜃₀2_{− 4𝜃}

1𝜃−1 = 4 ≠ 0 dır ve

sınır-değer koşulları strongly regular'dır. Üçüncü durumda (1.18) sınır koşulları dönüştürülebilir: 𝑎₁𝑦₀′ _{+ 𝑏} 1𝑦1′ + 𝑎0𝑦0+ 𝑏0𝑦1 = 0, 𝑐₀𝑦₀+ 𝑑₀𝑦₁ = 0, 𝜃₋₁ 𝑠 + 𝜃0 + 𝜃1𝑠 = 𝑎₁+ 𝑠𝑏₁ 𝑤₁ − 𝑎₁+1 𝑠𝑏1 𝑤1 𝑐₀+ 𝑠𝑑₀ 𝑐₀ +1 𝑠𝑑0 = 𝑤₁ 𝑏1𝑐0+ 𝑎1𝑑0 𝑠 + 1 𝑠 + 2𝑤1 𝑎1𝑐0+ 𝑏1𝑑0 , 𝜃1 = 𝜃−1 = 𝑤1 𝑏1𝑐0+ 𝑎1𝑑0 , 𝜃0 = 2𝑤1 𝑎1𝑐0+ 𝑏1𝑑0

Böylece eğer 𝑏₁𝑐₀+ 𝑎₁𝑑₀ ≠ 0 ise sınır koşulları regular'dır. 𝜃₀2− 4𝜃₁𝜃₋₁ = 0 için aşağıdaki dizi elde edilir:

𝜆𝑗 ,𝑘 = −(2𝑘𝜋)2 1 + 𝜇 ln₀𝜉 𝑘𝜋𝑖 + 𝑂 1 𝑘3 2 , 𝑗 = 1,2 (1.19) Burada 𝜉 , 𝜃₁𝜉2_{+ 𝜃}

0𝜉 + 𝜃−1 = 0 olması durumunda ( 𝑆0 domaini için 𝜃 'ya bağlı

olarak) çift katlı köktür. Üst veya alt indisler sırasıyla 𝑛 = 4𝑣 veya 𝑛 = 4𝑣 + 2 olmasına göre alınır. (Burada ln₀𝜉 doğal algoritmanın herhangi bir sabit dalıdır. )

𝑦₁ ve 𝑦₂ belirli bir 𝑇 domaininde (1.16) şartlarını sağlayan (1.11) denkleminin lineer bağımsız çözümleri olsun. 𝜌 ∈ 𝑇 olmak üzere 𝜆 = −𝜌2 ile belirtilen özdeğere ait bir özfonksiyon

𝑦 = 𝑐₁𝑦₁+ 𝑐₂𝑦₂

şeklinde 𝑦₁, 𝑦₂'nin bir lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir. Burada 𝑐₁, 𝑐₂ katsayıları (1.7)'deki homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümleridir. Basitlik için, det 𝑈_𝑣(𝑦_𝑘) , 𝑣, 𝑘 = 1,2 determinantının rankı 1'e eşit olan sadece tek katlı 𝜆 özdeğerini göz önüne alalım. O zaman,

𝑦 = _𝑈𝑦1 𝑦2

11 𝜆 özdeğerine ait bir özfonksiyon olur. (Naimark 1967)

12

2. DIRICHLET SINIR DEĞER PROBLEMLERĠ ĠÇĠN

ASĠMPTOTĠK FORMÜLLER

𝐿(𝑞), 𝐿₂(0,1)'de üretilen

−y′′ + q(x)y (2.1)

diferansiyel ifadesiyle belirtilen bir operatör ve sınır koşulları

𝑦 1 = 𝑦 0 = 0 (2.2)

olsun. Burada 𝑞(𝑥) reel değerli Lebesgue integrallenebilir fonksiyondur. Bu bölümde 𝑛. özdeğer ve 𝐿(𝑞) operatörünün karşılık gelen özfonksiyonları için 𝑂(𝑛−𝑙₎

(her 𝑙 > 0 için) mertebeden asimptotik formüller elde edeceğiz. (Yılmaz ve Veliev 2005).

Klasik araştırmalarda 𝑂(𝑛−𝑙_{)mertebeden asimptotik formülleri elde etmek}

için 𝑞 𝑥 ’in (𝑙 − 1) defa diferansiyellenebilir olmalıdır. Bu bölümde 𝑞(𝑥) reel değerli keyfi Lebesgue integrallenebilir fonksiyon olduğunda 𝐿(𝑞)’nun özdeğerleri ve özfonksiyonlarının 𝑂(𝑛−𝑙_{) mertebeden asimptotik formüllerinin elde edilmesi}

olanağını veren metot kullanılacaktır. (Yılmaz ve Veliev 2005). 𝐿(𝑞) operatörünün özdeğerlerinin

𝜆𝑛 = 𝑛𝜋 2+ 𝑂 1 , 𝑛 ≥ 𝑁için (2.3)

eşitliğini sağlayan 𝜆𝑛 dizisi olduğu bilinmektedir. (Naimark 1967)

Burada ve sonraki ilişkilerde 𝑁 ile büyük bir pozitif tamsayı belirtilmektedir, yani 𝑁 ≫ 1'dir.

∀𝑛 ≥ 𝑁 için aşağıdaki eşitsizlikler elde edilir:

𝜆_𝑛 − 𝜋𝑘 2 > 𝑛𝜋 2_{+ 𝑂 1 − 𝜋𝑘} 2

13

> 𝑐₂𝑛, ∀𝑘 ≠ 𝑛, 𝑘 = 0,1, … (2.4) Burada 𝑐_𝑚, 𝑚 = 1,2, … ile tam değerleri önemli olmayan pozitif sabitler gösterilmektedir.

𝐿2(0,1)'de

−𝑦′′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝜆𝑦

denklemini göz önüne alalım. Eşitliğin her iki tarafında sin 𝑛𝜋𝑥 ile iç çarpımı yapılırsa; −𝑦′′ _{+ 𝑞 𝑥 𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜆𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥} − 𝑦′′ sin 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 0 + 𝑞 𝑥 𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜆 𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥 (2.5)

olur. Denklemin sol tarafında bulunan integrale kısmi integrasyon uygulanırsa;

− 𝑦′′ sin 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 0 = − 𝑦′_{sin 𝑛𝜋𝑥} 0 1 + 𝑦′ 1 0 𝑛𝜋 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥

bulunur. Burada eşitliğin sağ taraftaki birinci terim 0'a eşit olur. İkinci terim için tekrar kısmi integrasyon uygulanırsa;

− 𝑦′′ sin 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 0 = 𝑦 cos 𝑛𝜋𝑥 0 1 + 𝑛𝜋 2 𝑦 sin 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 1 0 .

olur. Burada da eşitliğin sağ tarafındaki birinci terim 0'a eşit olur. İkinci terim (2.5) denkleminde yerine konulursa;

𝑛𝜋 2 _{𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝑞 𝑥 𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜆 𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥}

𝜆 − 𝑛𝜋 2 _{𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑦, sin 𝑛𝜋𝑥}

elde edilir. Burada 𝜆 yerine 𝜆𝑁 ve 𝑦 yerine 𝜓𝑁 𝑥 alınırsa:

14

𝐿(𝑞) 'nun 𝜆_𝑛 özdeğerlerinin ve buna karşılık gelen 𝜓_𝑛 özfonksiyonlarının asimptotik formüllerini elde etmek için (2.4) ve (2.6) kullanılacaktır.

𝑛 → ∞iken 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 sıfıra yaklaştığından bir 𝐴𝑁 sabiti ve 𝑛0

tamsayısı vardır öyle ki max 𝑛 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛0𝜋𝑥 = 𝐴𝑁 (2.7) (2.4)'ten 𝜆_𝑁 − 𝜋 𝑛 + 𝑛₁ 2 >1 2 𝑁 − 𝑛 − 𝑛1 𝜋 𝑁 + 𝑛 + 𝑛1 𝜋 > 𝑐3 𝑛1 2, 𝑛1 > 2 𝑁 + 𝑛 = 𝑚 için (2.8)

yazılabilir. Bu eşitsizlik (2.6) ve (2.7) ile kullanıldığında gösterir ki: 𝑛₁ > 𝑚 için

𝜓_𝑁 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 = 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝜆_𝑁 − (𝑛 + 𝑛₁)𝜋 2 ≤ 𝐴𝑁 𝜆𝑁 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 < 𝐴𝑁 𝑐3 𝑛1 2

Böylece 2 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 : 𝑛1 > −𝑛 ortonormal bazı ile 𝜓𝑁 𝑥 'in

𝜓_𝑁 𝑥 = 2 𝜓_𝑁 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛

(2.9)

açılımı şu biçime sahiptir:

𝜓𝑁 𝑥 = 2 𝜓𝑁 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝑚

𝑛1>−𝑛

+ 𝑔 𝑥 .

Burada sup_𝑥∈[0,1] 𝑔(𝑥) < 𝑐4

𝑚 'dir. Bu 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 ifadesinde yerine

15 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑞 𝑥 2 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛 , sin 𝑛𝜋𝑥

= 2 𝑞 𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥 sin 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛

= 2 𝑞 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥 sin 𝑛𝜋𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛

(2.10)

Şimdi 𝑀 = 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥₀1 olmak üzere

𝑞 𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 < 4𝑀, ∀𝑛, ∀𝑁 ≫ 1 (2.11) olduğunu ispat edelim: (2.7)’den aşağıdaki eşitsizlik sağlanır;

𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 ≤ 𝐴𝑁 = 𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛0𝜋𝑥

(2.9) denklemi 𝑛 yerine 𝑛₀ yazarak kullanılırsa,

≤ 2 𝑞 𝑥 , sin 𝑛₀+ 𝑛₁ 𝜋𝑥 sin 𝑛₀𝜋𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛₀+ 𝑛₁ 𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛0

≤ 2𝑀 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛₀+ 𝑛₁ 𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛0

𝑛₀ + 𝑛₁ = 𝑁için terim ayrılır ve (2.6) kullanılırsa,

≤ 2𝑀 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑁𝜋𝑥 + 2𝑀

𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛₀+ 𝑛₁ 𝜋𝑥 𝜆𝑁 − (𝑛0+ 𝑛1)𝜋 2 ∞

𝑛1>−𝑛0,𝑛0+𝑛1≠0

ve son olarak (2.4) kullanılırsa,

≤ 2𝑀 + 2𝑀 𝐴𝑁 𝜆𝑁 − (𝑛0+ 𝑛1)𝜋 2 ∞ 𝑛1>−𝑛0,𝑛0+𝑛1≠0 ≤ 2𝑀 +𝐴𝑁 2

16 (2.10)'da sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 sin 𝑛𝜋𝑥 = − 1 2cos 2𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 + 1 2cos 𝑛1𝜋𝑥 çarpım formülünü uygularsak,

𝑞 𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 2 𝑞 𝑥 , −1 2cos 2𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 + 1 2cos 𝑛1𝜋𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛

= 𝑞 𝑥 , − cos 2𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥 + cos 𝑛₁𝜋𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛

= 𝑞 𝑥 , cos 𝑛₁𝜋𝑥 + 𝑞 𝑥 , − cos 2𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛 = 𝑞 𝑥 , cos 𝑛₁𝜋𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛 − 𝑞 𝑥 , cos 2𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛

bulunur. Son eşitlikte ikinci terimde 2𝑛 + 𝑛₁, 𝑘 ile değiştirilirse;

− 𝑞 𝑥 , cos 𝑘𝜋𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑘 − 𝑛 𝜋𝑥

∞

𝑛1>−𝑛

olur. Tekrar 𝑘 yerine 𝑛₁ yazarsak

𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑞 𝑥 , cos 𝑛₁𝜋𝑥 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛 + 𝑞 𝑥 , cos 𝑛1𝜋𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 − 𝑛1 𝜋𝑥 ∞ 𝑛1>−𝑛

elde edilir. O halde aşağıdakini yazabiliriz:

𝑞 𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝐶𝑛1 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥

∞

17

+ 𝐶𝑛1 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 − 𝑛1 𝜋𝑥

∞

𝑛=1

olur. Bu sonucu (2.6)'da yerine koyarsak;

𝜆_𝑁 − 𝑛𝜋 2 _𝜓

𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝐶𝑛1 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥

∞

𝑛=−∞

(2.12)

elde edilir. Burada 𝐶𝑛 = 𝑞 𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 1

0 'dir ve genelliği kaybetmeden 𝐶0 = 0

kabul edilebilir. Ayrıca 𝐶𝑛 = 𝐶−𝑛 ve 𝑛 → ∞ iken 𝐶𝑛 → 0'dır.

Şimdi (2.12) denkleminin sağ tarafındaki 𝜓_𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 'i içeren terimleri izole edelim. Önce 𝑛₁ = −2𝑛 için olan terimleri ayıralım: Bunun için (2.12)'de 𝑁 yerine 𝑛 ve 𝑛 yerine 𝑛 + 𝑛1alınarak;

𝜓_𝑛 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 = 𝐶𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋𝑥 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2

∞

𝑛2=−∞

𝑛1≠−2𝑛

elde edilen eşitliği (2.12)’de yerine yazalım:

𝜆𝑛 − 𝑛𝜋 2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝐶−2𝑛 𝜓𝑛 𝑥 , sin(𝑛 − 2𝑛)𝜋𝑥 + 𝐶_𝑛1 𝐶𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋𝑥 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 ∞ 𝑛2=−∞ 𝑛1≠−2𝑛 ∞ 𝑛1=−∞ 𝐶_−2𝑛 = 𝐶_2𝑛olduğu da kullanılırsa; 𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = −𝐶_2𝑛 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝐶𝑛1𝐶𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋𝑥 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1≠−2𝑛 (2.13)

elde edilir. 𝑛 = 0 için 𝐶0 = 0’dır.

(2.13)’de tekrar sağ taraftaki toplamdan 𝑛₁+ 𝑛₂ = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edelim. Bunun için önce izole edilecek terimlere bakalım. 𝑛₂ yerine −𝑛₁ yazılır ve 𝐶_−𝑛1 = 𝐶_𝑛1 olduğu kullanılırsa (2.13)’de sağ taraftaki toplam 𝑛₁+ 𝑛₂ = 0 için

18 𝐶_𝑛1𝐶_𝑛1 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − (𝑛 + 𝑛₁)𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛

olur ve 𝑛₂ yerine −𝑛₁− 2𝑛 yazılır ve 𝐶_{−𝑛1−2𝑛} = 𝐶_𝑛1+2𝑛 olduğu kullanılırsa (2.13)’de sağ taraftaki toplam 𝑛₁+ 𝑛₂ = −2𝑛 için

−𝐶_𝑛1𝐶_𝑛1+2𝑛 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 ∞

𝑛1=−∞

𝑛1≠0,−2𝑛

olur. (2.12)’de tekrar 𝑁 yerine 𝑛 ve 𝑛 yerine 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 alınarak;

𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋𝑥 = 𝐶𝑛3 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − (𝑛 + 𝑛₁+ 𝑛₂)𝜋 2 ∞ 𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

bulunur. (2.13) denkleminde bu eşitliği yerine koyar ve𝑛₁ + 𝑛₂ = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edersek;

𝜆𝑛 − 𝑛𝜋 2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 −𝐶2𝑛+ 𝐶_𝑛1 𝐶_𝑛1 − 𝐶_𝑛1+2𝑛 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + 𝐶𝑛1𝐶𝑛2𝐶𝑛3 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 + 𝑛2+ 𝑛3 𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − (𝑛 + 𝑛₁)𝜋 2 _𝜆 𝑛 − (𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2)𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 (2.14)

elde edilir. Bu denklemde sağ taraftaki toplamdan tekrar 𝑛₁+ 𝑛₂ + 𝑛₃ = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edelim. Bunun için önce izole edilecek terimlere bakalım. 𝑛₃yerine −𝑛₁− 𝑛₂ yazılır ve 𝐶_{−𝑛1−𝑛2} = 𝐶_𝑛1+𝑛2 olduğu kullanılırsa (2.14)’de sağ taraftaki toplam 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 = 0 için

𝐶𝑛1𝐶𝑛2𝐶𝑛1+𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥

𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2)𝜋 2 ∞

𝑛1,𝑛2=−∞

19

olur ve 𝑛₃ yerine −𝑛₁− 𝑛₂− 2𝑛 yazılır ve 𝐶_{−𝑛1−𝑛2−2𝑛} = 𝐶_{𝑛1+𝑛2+2𝑛} olduğu kullanılırsa (2.14)’de sağ taraftaki toplam 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 = −2𝑛 için

−𝐶_𝑛1𝐶_𝑛2𝐶_{𝑛1+𝑛2+2𝑛} 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2)𝜋 2 ∞

𝑛1,𝑛2=−∞

𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

olur. (2.14) denkleminde 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edilir ve bu

terimler yerine koyulursa;

𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 −𝐶2𝑛+ 𝐶_𝑛1 𝐶_𝑛1 − 𝐶_𝑛1+2𝑛 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + 𝐶𝑛1𝐶𝑛2 𝐶𝑛1+𝑛2− 𝐶𝑛1+𝑛2+2𝑛 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2)𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 + 𝐶𝑛1𝐶𝑛2𝐶𝑛3 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − (𝑛 + 𝑛₁)𝜋 2 _𝜆 𝑛 − (𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2)𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2,𝑛1+𝑛2+𝑛3≠0,−2𝑛

bulunur. Bu iterasyon 𝑚 kez tekrar edilirse; 𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2_{− 𝐴}

𝑚 𝜆𝑛 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑅𝑚 +1 (2.15)

elde edilir. Burada;

𝐴_𝑚 𝜆𝑛 = 𝑎𝑘 𝜆𝑛 𝑚 𝑘=0 , 𝑎₀ 𝜆𝑛 = −𝐶2𝑛 , (2.16) 𝑎1 𝜆𝑛 = 𝐶_𝑛1(𝐶_𝑛1− 𝐶_𝑛1+2𝑛) 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 (2.17) 𝑎2 𝜆𝑛 = 𝐶_𝑛1𝐶_𝑛2 𝐶_𝑛1+𝑛2− 𝐶_{𝑛1+𝑛2+2𝑛} 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1)𝜋 2 𝜆𝑛 − (𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2)𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

20 𝑎_𝑘 𝜆_𝑛 = 𝐶𝑛1𝐶𝑛2… 𝐶𝑛𝑘 𝐶𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑘 − 𝐶𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑘+2𝑛 𝜆𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑗𝑠=1𝑛𝑠 2 𝑘 𝑗 =1 ∞ 𝑛1,𝑛2,… ,𝑛𝑘=−∞ (2.18) 𝑅𝑚 +1 = 𝐶_𝑛1𝐶_𝑛2… 𝐶_{𝑛𝑚 +1} 𝑞 𝑥 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑚 +1_𝑘=1 𝑛_𝑘 𝜆_𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑗_𝑘=1𝑛_𝑘 2 𝑚 +1 𝑗 =1 ∞ 𝑛1,𝑛2,… ,𝑛𝑚 +1=−∞

Burada 𝑎_𝑘 𝜆𝑛 ve 𝑅𝑚 +1 toplamları sırasıyla 𝑠 = 1,2, … , 𝑘 ve 𝑠 = 1,2, … , 𝑚 + 1 için

𝑛_𝑗

𝑠

𝑗 =1

≠ 0, −2𝑛

koşulları altında alınmıştır. Böylece (2.6)’ya 𝑚 kez iterasyon uygulanarak (2.18) elde edilir.

Teorem 2.1: 𝐿(𝑞) operatörünün 𝜆𝑛 özdeğeri bütün 𝑚 = 0,1,2, … için

aşağıdaki asimptotik formülleri sağlar:

𝜆_𝑛 = 𝜋𝑛 2_{+ 𝐹} 𝑚 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑚 +1 (2.19) Burada; 𝐹0 = −𝐶2𝑛 𝐹₁ = 𝐴₁ 𝑛𝜋 2 _{= −𝐶} 2𝑛 + 𝐶𝑛1 𝐶𝑛1 − 𝐶𝑛1+2𝑛 𝑛𝜋 2_{− 𝜋 𝑛 + 𝑛} 1 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1=−2𝑛 𝐹𝑘 = 𝐴𝑘 𝑛𝜋 2+ 𝐹𝑘−1 , ∀𝑘 = 2,3, … (Yılmaz ve Veliev 2005).

Ġspat: ∀𝑛 ∈ ℕ için 𝐶𝑛 < 𝑀 olacağından 𝐾 bir sabit olmak üzere;

𝑎₁ 𝜆_𝑛 ≤ 𝐶𝑛1 𝐶𝑛1− 𝐶𝑛1+2𝑛 𝜆_𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑛₁ 2

∞

𝑛1=−∞

21 < 𝐾𝑀 2 𝜆𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑛1 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛

Burada (2.8) eşitsizliği kullanılırsa;

𝑎1 𝜆𝑛 < 2𝐾𝑀2 𝑘𝜋 (2𝑛 − 𝑘)𝜋 ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠0,2𝑛 = 2𝐾𝑀 2 𝜋2 1 𝑘 (2𝑛 − 𝑘) ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠0,2𝑛

olur. Böylece sağ taraftaki toplamın direkt olarak hesaplanmasıyla,

𝑎1 𝜆𝑛 = 𝑂

ln 𝑛 𝑛

elde edilir.Yukarıdaki eşitlik ve aşağıdaki denklemler kullanılarak;

𝑎𝑘 𝜆𝑛 < 𝑀𝑘+1 𝜆_𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑗_𝑠=1𝑛_𝑠 2 𝑘 𝑗 =1 𝑛1,𝑛2,… ,𝑛𝑘 , sup 𝑛1,𝑛2,… ,𝑛𝑘−1 1 𝜆_𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑛₁+ 𝑛₂+ ⋯ + 𝑛_𝑘 2 𝑛𝑘 = 𝑂 ln 𝑛 𝑛

𝑘'ya göre tümevarım ile

𝑎𝑘 = 𝑂

ln 𝑛 𝑛

𝑘

(2.20)

olduğu görülür. Benzer şekilde (2.11)'den

𝑅𝑚 +1 = 𝑂

ln 𝑛 𝑛

𝑚 +1

(2.21)

22

Şimdi teoremin ispatı için tümevarım yöntemini kullanalım: 𝑚 = 0için (2.19)’u, yani

𝜆𝑛 = 𝜋𝑛 2− 𝐶2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 (2.22) olduğunu ispatlayalım: 𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝑂 1 𝑛

formülünü kullanalım (Naimark 1967). 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 'de yerine yazılırsa,

𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝑂 1 𝑛 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝑂 1 𝑛 , sin 𝑛𝜋𝑥 olacağından 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 2 2 + 𝑂 1 𝑛 (2.23)

bulunur. 𝑚 = 0için (2.15) denklemi, 𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2_{− 𝐴}

0 𝜆𝑛 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑅1

olur. Her iki taraf 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 ile bölünür ve (2.16)'dan 𝐴0 𝜆𝑛 = 𝑎0 𝜆𝑛 =

−𝐶_2𝑛 yazılırsa, 𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2_{+ 𝐶} 2𝑛 = 𝑅1 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 bulunur. (2.21)'den 𝑅₁ = 𝑂 ln 𝑛 𝑛 olduğundan ve (2.23)'den

23 𝜆𝑛 = 𝜋𝑛 2− 𝐶2𝑛+ 𝑂

ln 𝑛 𝑛 bulunur. Böylece (2.22) ispatlanmış olur.

Şimdi 𝑚 = 1 için (2.19)'u, yani,

𝜆_𝑛 = 𝜋𝑛 2_{+ 𝐴} 1 𝜋𝑛 2 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2

olduğunu gösterelim. Bunun için (2.15)'de 𝑚 = 1 yazılırsa,

𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2− 𝐴₁ 𝜆_𝑛 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝑅₂ olur. Her iki taraf 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 ile bölünürse,

𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2_{− 𝐴} 1 𝜆𝑛 = 𝑅2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 bulunur. (2.21)'den 𝑅₂ = 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2 olduğundan ve (2.23)'den 𝜆_𝑛 = 𝜋𝑛 2+ 𝐴₁ 𝜆_𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2 (2.24) elde edilir.

(2.3)'ü kullanarak (𝐶 bir sabit olmak üzere),

1 𝜆𝑛 − 𝜋𝑘 2 − 1 𝜋𝑛 2_{− 𝜋𝑘} 2 ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠−𝑛,𝑛 ≤ 𝐶 𝜋𝑛 2 _{+ 𝑂(1) − 𝜋𝑘} 2 _𝜋𝑛 2_{− 𝜋𝑘} 2 ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠−𝑛,𝑛

24 ≤ 𝐶 𝜋𝑛 2_{− 𝜋𝑘} 2 2 ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠−𝑛,𝑛 ve 1 𝜆𝑛− 𝜋𝑘 2 ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠−𝑛,𝑛 = 𝑂 ln 𝑛 𝑛 olduğu kullanılırsa, 1 𝜆_𝑛 − 𝜋𝑘 2− 1 𝜋𝑛 2_{− 𝜋𝑘} 2 ∞ 𝑘=−∞ 𝑘≠−𝑛,𝑛 = 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2 _(2.25)

olur ve böylece (2.25)'den ve ∀𝑛 ∈ ℕ için 𝐶_𝑛 < 𝑀 olacağından

𝐴1 𝜆𝑛 − 𝐴1 𝑛𝜋 = 𝑂

ln 𝑛 𝑛

2

(2.26)

bulunur. (2.24)'te 𝐴₁ 𝜆_𝑛 'i çekip yerine koyarsak 𝑚 = 1 için

𝜆_𝑛 = 𝜋𝑛 2_{+ 𝐴} 1 𝜋𝑛 2 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2

olduğu ispat edilmiş olur.

Şimdi (2.19)'un ispatında tümevarım yöntemini kullanmak için 𝑚 = 𝑗 − 1 için (2.19)'u doğru kabul edelim, yani,

𝜆_𝑛 = 𝑛𝜋 2_{+ 𝐹} 𝑗 −1+ 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑗 (2.27)

olsun. (2.15)'de 𝑚 yerine 𝑗 yazılır ve eşitliğin her iki tarafı 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 ile bölünürse,

𝜆_𝑛 − 𝑛𝜋 2 _{− 𝐴}

𝑗 𝜆𝑛 =

𝑅_{𝑗 +1} 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥

25 𝜆_𝑛 = 𝑛𝜋 2_{+ 𝐴} 𝑗 𝜆𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑗 +1 (2.28)

olur. Bu denklemde (2.27)'de verilen 𝜆𝑛'i 𝐴𝑗 𝜆𝑛 'da yerine koyarsak,

𝐴𝑗 𝜆𝑛 = 𝐴𝑗 𝑛𝜋 2+ 𝐹𝑗 −1+ 𝑂

ln 𝑛 𝑛

𝑗

(2.26)'dakine benzer şekilde

𝐴_𝑗 𝜆_𝑛 = 𝐴_𝑗 𝑛𝜋 2+ 𝐹_{𝑗 −1} + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑗 +1 bulunur. 𝐴𝑗 𝑛𝜋 2+ 𝐹𝑗 −1 = 𝐹𝑗 olduğundan 𝐴𝑗 𝜆𝑛 = 𝐹𝑗 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑗 +1

olur. Bunu (2.28)'de yerine yazarsak

𝜆_𝑛 = 𝑛𝜋 2_{+ 𝐹} 𝑗 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑗 +1

𝑚 = 𝑗 − 1 için doğru iken 𝑚 = 𝑗 için de doğru olduğu görülür ve ispat tamamlanmış olur. (Yılmaz ve Veliev 2005).

Teorem 2.2: 𝐿(𝑞) operatörünün 𝜓_𝑛(𝑥) özfonksiyonu bütün 𝑚 = 0,1,2, …için aşağıdaki asimptotik formülleri sağlar:

𝜓𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝐴𝑚∗ 𝑛𝜋 2+ 𝐹𝑚 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑚 +1 (2.29) Burada, 𝐴_𝑚∗ _𝜆 𝑛 = 𝑎𝑘∗ 𝜆𝑛 𝑚 𝑘=1

26 dır ve 𝑎_𝑘∗ _𝜆

𝑛 , 𝑎𝑘 𝜆𝑛 ’de 𝐶𝑛1 yerine sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 alındığında elde edilir. 𝑎₁ 𝜆_𝑛 'de ise sadece ilk 𝐶_𝑛1 sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 ile değiştirilir. (Yılmaz ve Veliev 2005).

Ġspat: Özfonksiyon için keyfi merteben (2.29) asimptotik formülünü elde

edelim. Bunun için 2 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 : 𝑛1 ∈ 𝑍 ortonormal bazı ile 𝜓𝑁 𝑥 'i

ayrıştırır ve bu ayrıştırmada her terimin iki kez tekrar ettiğini dikkate alırsak,

𝜓𝑛 𝑥 = 𝜓𝑛 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 ∞ 𝑛1=−∞ 𝜓_𝑛 𝑥 − 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜓_𝑛 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0 (2.30)

olur. Bu normalize özfonksiyon 𝜓_𝑛 𝑥 , (2.23)'ü sağlar. Özfonksiyon bir sabite bağlı olarak belirlenebildiğinden

𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 1

eşitliğini sağlayan bir özfonksiyon vardır ve bu özfonksiyonu yine 𝜓𝑛 𝑥 ile

gösterelim. Bu durumda (2.30),

𝜓_𝑛 𝑥 − sin 𝑛𝜋𝑥 = 𝜓𝑛 𝑥 , sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 ∞

𝑛1=−∞

𝑛1≠0

(2.31)

olur. (2.12)'de 𝐶𝑛1 yerine sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 yazılırsa,

𝜆_𝑁 − 𝑛𝜋 2 _𝜓

𝑁 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝜓𝑁 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 𝜋𝑥 ∞

𝑛=−∞

(2.31)'in sağ tarafındaki ifade elde edilir.

Şimdi (2.31)’e (2.13), (2.14) ve (2.15)’i elde etmek için kullandığımız iterasyonu uygulayalım. Bunun için (2.12)’de 𝑁 yerine 𝑛 ve 𝑛 yerine 𝑛 + 𝑛₁ alırsak,

27 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋𝑥 = 𝐶𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋𝑥 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 ∞ 𝑛2=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛

olur. (2.31)’de 𝑛₁ = −2𝑛 için sağ taraftaki toplam 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 1 kabulü ile sin 𝑛𝜋𝑥 bulunur. Bunları (2.31)’de yerine yazar ve 𝜓𝑛 𝑥 ’i yalnız bırakırsak,

𝜓𝑛 𝑥

= 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 + 𝑛2 𝜋𝑥 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 (2.32)

bulunur. Bu denklemde sağ taraftaki toplamdan 𝑛₁+ 𝑛₂ = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edelim. Bunun için önce izole edilecek terimlere bakalım. 𝑛2yerine−𝑛1 yazılır,

𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 1 ve 𝐶−𝑛1 = 𝐶𝑛1 olduğu kullanılırsa (2.32)’de sağ taraftaki toplam 𝑛₁+ 𝑛₂ = 0 için 𝐶𝑛1sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛

olur ve 𝑛₂ yerine −𝑛₁− 2𝑛 yazılır, 𝜓_𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 1 ve 𝐶−𝑛1−2𝑛 = 𝐶𝑛1+2𝑛 olduğu kullanılırsa (2.32)’de sağ taraftaki toplam 𝑛₁ + 𝑛₂ = −2𝑛 için

−𝐶_𝑛1+2𝑛sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2

∞

𝑛1=−∞

𝑛1≠0,−2𝑛

bulunur. O zaman (2.32) denkleminde 𝑛₁+ 𝑛₂ = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edersek, 𝜓𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 𝐶_𝑛1 − 𝐶_𝑛1+2𝑛 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

28

bulunur. (2.12)’de tekrar 𝑁 yerine 𝑛 ve 𝑛 yerine 𝑛 + 𝑛₁ alınır ve denklemde yerine koyulursa, 𝜓𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 𝐶_𝑛1 − 𝐶_𝑛1+2𝑛 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2𝐶𝑛3 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1 + 𝑛2+ 𝑛3 𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁+ 𝑛₂ 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 (2.33)

elde edilir. Bu denklemde sağ taraftaki toplamdan tekrar 𝑛₁+ 𝑛₂ + 𝑛₃ = 0, −2𝑛 olan terimleri izole edelim. Bunun için 𝑛3 yerine −𝑛1− 𝑛2 yazılır ve

𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 1 ve 𝐶−𝑛1−𝑛2 = 𝐶𝑛1+𝑛2 olduğu kullanılırsa (2.33)'te sağ taraftaki toplam 𝑛₁+ 𝑛₂ + 𝑛₃ = 0 için sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 𝐶_𝑛2𝐶_𝑛1+𝑛2 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁+ 𝑛₂ 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

olur ve 𝑛3 yerine −𝑛1− 𝑛2 − 2𝑛 yazılır ve 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛𝜋𝑥 = 1 ve 𝐶−𝑛1−𝑛2−2𝑛 = 𝐶_{𝑛1+𝑛2+2𝑛} olduğu kullanılırsa (2.33)'te sağ taraftaki toplam 𝑛₁ + 𝑛₂+ 𝑛₃ = −2𝑛 için − sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2𝐶𝑛1+𝑛2+2𝑛 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

olur. (2.33) denkleminde 𝑛₁ + 𝑛₂+ 𝑛₃ = 0, −2𝑛 olan terimler izole edilir ve bu terimler yerine koyulursa,

𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛1 − 𝐶𝑛1+2𝑛 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2 𝐶𝑛1+𝑛2− 𝐶𝑛1+𝑛2+2𝑛 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1 𝜋 2 𝜆𝑛 − 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛

29 + sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2𝐶𝑛3 𝜓𝑛 𝑥 , sin 𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 𝜋𝑥 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁ 𝜋 2 𝜆_𝑛 − 𝑛 + 𝑛₁+ 𝑛₂ 𝜋 2 ∞ 𝑛1,𝑛2,𝑛3=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2,𝑛1+𝑛2+𝑛3≠0,−2𝑛

ve böylece önceki gibi bu iterasyon 𝑚 kez tekrar edilirse, 𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝐴_𝑚∗ _𝜆

𝑛 + 𝑅𝑚 +1∗

elde edilir. Burada 𝑎_𝑘∗ 𝜆𝑛 ve 𝑅𝑚 +1∗ , sırasıyla 𝑎𝑘 𝜆𝑛 ve 𝑅𝑚 +1’de 𝐶𝑛1 yerine sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 alındığında elde edilir. Ancak 𝑎₁ 𝜆_𝑛 ’de yalnızca ilk 𝐶_𝑛1 ifadesi sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 ile değiştirilir. Yani,

𝐴_𝑚∗ 𝜆_𝑛 = 𝑎_𝑘∗ _𝜆 𝑛 𝑚 𝑘=1 𝑎₁∗ _𝜆 𝑛 = sin(𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥 (𝐶_𝑛1 − 𝐶_𝑛1+2𝑛) 𝜆_𝑛 − (𝑛 + 𝑛₁)𝜋 2 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 𝑎_𝑘∗ 𝜆𝑛 = sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐶𝑛2… 𝐶𝑛𝑘 𝐶𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑘 − 𝐶𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑘+2𝑛 𝜆_𝑛 − 𝜋 𝑛 + 𝑗_𝑠=1𝑛_𝑠 2 𝑘 𝑗 =1 ∞ 𝑛1,𝑛2,… ,𝑛𝑘=−∞

olur. Bir önceki teoremdeki koşullar da geçerlidir. (2.21)’e benzer şekilde 𝑅_{𝑚 +1}∗ hesaplanırsa, 𝜓𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝐴𝑚∗ 𝜆𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑚 +1

bulunur ve yine bir önceki teoreme benzer şekilde,

𝐴𝑚∗ 𝜆𝑛 = 𝐴∗𝑚 𝑛𝜋 2+ 𝐹𝑚 + 𝑂

ln 𝑛 𝑛

𝑚 +1

30 𝜓𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝐴𝑚∗ 𝑛𝜋 2+ 𝐹𝑚 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 𝑚 +1

31

3. ÖRNEKLER

Şimdi bu teoremleri kullanarak örnekler yapalım. Bu hesaplamalarda Matlab programının Symbolic Math Toolbox'ı kullanılmıştır.

Örnek 3.1: [0,1] aralığında 𝑞 𝑥 = 𝑥 için

−y′′ _{+ xy = λy}

𝑦 1 = 𝑦 0 = 0

Dirichlet sınır koşulları ile verilen diferansiyel denklemini çözelim: Teorem 2.1'i kullanarak 𝑚 = 1 için özdeğer hesaplandığında,

𝜆_𝑛 = 𝜋𝑛 2−2 sin 𝜋𝑛 2_{− 2𝜋𝑛 sin 2𝜋𝑛} 4𝜋2_𝑛2 + −1 𝑛1 −1 𝑛1_{− 1} 2_𝑆 2𝜋4_𝑛 13 2𝑛 + 𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1=−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2

bulunur. 𝑚 = 2 için özdeğer hesaplanırken 𝐹₂ = 𝐴₂ 𝑛𝜋 2_{+ 𝐹}

1 yerine 𝐹2 = 𝐴2 𝑛𝜋 2 alınmıştır. 𝑚 = 2 için, 𝜆_𝑛 = 𝜋𝑛 2₋2 sin 𝜋𝑛 2_{− 2𝜋𝑛 sin 2𝜋𝑛} 4𝜋2_𝑛2 + −1 𝑛1 ₋₁ 𝑛1_{− 1} 2_𝑆 2𝜋4_𝑛 1 3 _{2𝑛 + 𝑛} 1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1=−2𝑛 + −1 𝑛1+𝑛2 ₋₁ 𝑛1_{− 1} 2 ₋₁ 𝑛2_{− 1} 2_𝑇 4𝜋8_𝑛 13𝑛22 𝑛1+ 𝑛2 2𝑛 + 𝑛1 2𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 3

bulunur. Benzer şekilde Teorem 2.2'yi kullanılarak 𝑚 = 1 için özfonksiyon hesaplandığında,

32 𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + sin 𝜋𝑥 𝑛 + 𝑛1 𝑆 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2

bulunur. 𝑚 = 2 için özfonksiyon hesaplanırken 𝐹₂ = 𝐴₂∗ 𝑛𝜋 2_{+ 𝐹}

1 yerine 𝐹₂ = 𝐴₂∗ 𝑛𝜋 2 _{alınmıştır. 𝑚 = 2 için,} 𝜓𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + sin 𝜋𝑥 𝑛 + 𝑛1 𝑆 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + −1 𝑛2_{sin 𝜋𝑥 𝑛 + 𝑛} 1 −1 𝑛2− 1 2𝑇 2𝜋6_𝑛 1𝑛22 𝑛1+ 𝑛2 2𝑛 + 𝑛1 2𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 3 Burada, 𝑇 = 1 + −1 𝑛1+𝑛2+1 𝜋2 _{2𝑛 + 𝑛} 1+ 𝑛2 2 + −1 𝑛1+𝑛2 ₋₁ 𝑛1+𝑛2 _{− 1} 2 2𝜋2 _𝑛 1+ 𝑛2 2 𝑆 = −1 𝑛1 _{− 1} 𝜋2 _{2𝑛 + 𝑛} 1 2 − −1 3𝑛1 _{+ −1} 𝑛1_{− 2} 2𝜋2_𝑛 1 2 kısaltmaları yapılmıştır.

Örnek 3.2: [0,1] aralığında 𝑞 𝑥 = 𝑥−12 _{durumunu Dirichlet sınır koşulları} ile ele alalım.

Teorem 2.1'i kullanılarak 𝑚 = 1 için özdeğer hesaplandığında,

𝜆𝑛 = 𝜋𝑛 2− fresnelC 2 𝑛 𝑛 + − 4𝐹𝑛1 𝐹_{𝑛 1} 𝑁_{𝑛 1} − 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 𝑁𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1=−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2 bulunur. 𝑚 = 2 için 𝑛2 = 0 ise

33 𝜆𝑛 = 𝜋𝑛 2− fresnelC 2 𝑛 𝑛 + − 4𝐹𝑛1 𝐹_{𝑛 1} 𝑁_{𝑛 1} − 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 𝑁𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1=−2𝑛 + − 8𝐹𝑛1 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1}− 𝐹_{𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋4_𝑛 12 2𝑛 + 𝑛1 2𝑁𝑛1 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 3 𝑛₂ ≠ 0 ise 𝜆𝑛 = 𝜋𝑛 2− fresnelC 2 𝑛 𝑛 + − 4𝐹_𝑛1 𝐹𝑛 1 𝑁_{𝑛 1} − 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 𝑁𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1=−2𝑛 + − 8𝐹𝑛₁𝐹𝑛₂ 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1+𝑛 2} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1+𝑛 2}− 𝐹_{𝑛 1+𝑛 2} 𝑁_{𝑛 1+𝑛 2} 𝜋4_𝑛 1 𝑛1+ 𝑛2 2𝑛 + 𝑛1 𝑁𝑛1𝑁𝑛2 2𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 3 ∞ 𝑛₁,𝑛₂=−∞ 𝑛₁,𝑛₁+𝑛₂≠0,−2𝑛

bulunur. ( 𝑚 = 2 için özdeğer hesaplanırken 𝐹₂ = 𝐴₂ 𝑛𝜋 2_{+ 𝐹}

1 yerine 𝐹2 =

𝐴2 𝑛𝜋 2 alınmıştır.) Benzer şekilde Teorem 2.2'yi kullanılarak 𝑚 = 1 için

özfonksiyon hesaplandığında, 2𝑛 + 𝑛1 ≠ 0 için 𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + − 2 sin((𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥) 𝐹_{𝑛 1} 𝑁_{𝑛 1}− 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + 𝑂 ln 𝑛 𝑛 2

olur. 𝑚 = 2 için özfonksiyon hesaplanırken 𝐹₂ = 𝐴₂∗ _𝑛𝜋 2_{+ 𝐹}

1 yerine 𝐹2 = 𝐴₂∗ 𝑛𝜋 2 _{alınmıştır. 𝑚 = 2 için,} 𝑛₂ = 0 ve 2𝑛 + 𝑛₁ ≠ 0 için 𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + − 2 sin((𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥) 𝐹𝑛 1 𝑁_{𝑛 1} − 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛

34 + 4𝐹𝑛2 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1+𝑛 2} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1+𝑛 2}− 𝐹_{𝑛 1+𝑛 2} 𝑁_{𝑛 1+𝑛 2} 𝜋4_𝑛 1 2 _{2𝑛 + 𝑛} 1 2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 +𝑂 ln 𝑛 𝑛 3 𝑛2 ≠ 0 ve 2𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 ≠ 0 için 𝜓_𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑛𝜋𝑥 + − 2 sin((𝑛 + 𝑛₁)𝜋𝑥) 𝐹𝑛 1 𝑁_{𝑛 1} − 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1} 𝜋2_𝑛 1 2𝑛 + 𝑛1 ∞ 𝑛1=−∞ 𝑛1≠0,−2𝑛 + 4𝐹_𝑛2 sin(𝑛 + 𝑛1)𝜋𝑥 𝐹_{2𝑛 +𝑛 1+𝑛 2} 𝑁_{2𝑛 +𝑛 1+𝑛 2}− 𝐹_{𝑛 1+𝑛 2} 𝑁_{𝑛 1+𝑛 2} 𝜋4_𝑛 1 𝑛1+ 𝑛2 2𝑛 + 𝑛1 𝑁𝑛2 2𝑛 + 𝑛1+ 𝑛2 ∞ 𝑛1,𝑛2=−∞ 𝑛1,𝑛1+𝑛2≠0,−2𝑛 +𝑂 ln 𝑛 𝑛 3 Burada, 𝑁𝑛 = 2 𝑛2 1 4 𝐹_𝑛 = fresnelC 𝑁_𝑛 kısaltmaları yapılmıştır.

35

4. KAYNAKLAR

Birkhoff G., “Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 9, 373-395, (1908).

Birkhoff, G., “On the asymptotic character of the solution of certain differential equations containing a parameter”, Trans. Amer. Math. Soc., 9, 219-231, (1908).

Dunford, N., and Schwartz, J., T., Linear Operators; Part I, General Theory;

Part II, Spectral Theory, N.Y.: Interscience Publishers, (1964).

Fix G., “Asymptotic eigenvalues of Sturm-Liouville systems”, Journal of

Mathematical Analysis and Applications, 19 (3), 519-525, 1967.

Harris B. J., “Asymptotics of Eigenvalues for RegularSturm-Liouville Problems”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 183 (1), 25-36, (1992).

Kıraç, A. A., "On The Spectral Analysis Of TheNon-Self-Adjoint Differential Operators", Doktora, Graduate School of Natural and Applied Sciences of

Dokuz Eylül University, İzmir, (2004).

Naimark, M. A., Linear Differeantial Operators, UnitedStates of America: George G. Harrap&Company, (1967).

Magnus, W. ve Winkler, S., Hill'sEqution, Mineola, New York: Dover Publications Inc., (2004).

Marchenko, V.A., Sturm-Liouville Operators And Applications, Basel, Boston, Stuttgart: Birkhauser Verlag, (1986).

Nur, C.,“On The Root Functions of Ordinary Differantial Operators”, Doktora, “T.C. Doğuş University Institute of Sciences Mathematics”, İstanbul, (2014).

Tamarkin, J., “Some general problems of the theory of ordinary linear differantial equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions”, Math. Zeit, 27, 1-54, (1927).

36

Veliev, O.A. ve Toppamuk Duman, M., “The Spectral Expansion for a Nonself-adjoint Hill Operator with a Locally Integrable Potential”, Journal of

Mathematical Analysis and Applications, 265 (1), 76-90, (2002).

Yılmaz, B. ve Veliev, O. A.,“Asymptotic Formulas For Dirichlet Boundary Value Problems”, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 42 (2), 153-171, (2005).

37

5. ÖZGEÇMĠġ

Adı Soyadı : Kudret Elif BERKMAN

Doğum Yeri ve Tarihi : Denizli 19/01/1985 Lisans Üniversite : Pamukkale Üniversitesi

Elektronik posta : kudretelifberkman@tuik.gov.tr

İletişim Adresi : Türkiye İstatistik Kurumu Antalya Bölge Müdürlüğü Kışla Mah. 53. Sokak No:8 Muratpaşa/ANTALYA