Orlicz fonksiyonları yardımıyla tanımlanmış bazı dizi uzayları ve istatistiksel yakınsaklık / Some sequence spaces defined by Orlicz functions and statistically convergence

T.C

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ORLİCZ FONKSİYONLARI YARDIMIYLA TANIMLANMIŞ

BAZI DİZİ UZAYLARI VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Gülcan ATICİ

Tez Yöneticisi Doç. Dr. Çiğdem BEKTAŞ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C.

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ORLİCZ FONKSİYONLARI YARDIMIYLA TANIMLANMIŞ

BAZI DİZİ UZAYLARI VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Gülcan ATICİ

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Bu tez, ... tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından oybirliği /oyçokluğu ile başarılı / başarısız olarak değerlendirilmiştir.

Danışman : Doç. Dr. Çiğdem BEKTAŞ Üye : Prof. Dr. Rifat ÇOLAK Üye : Doç. Dr. Çiğdem BEKTAŞ Üye : Yrd. Doç. Dr. Ayşegül GÖKHAN

Bu tezin kabulü, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun .../.../... tarih ve ... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın hazırlanmasında ve düzenli bir şekilde yürütülmesinde bana yardımcı olan, her zaman yakın ilgi ve imkanlarını esirgemeyen değerli hocam Doç. Dr. Çiğdem BEKTAŞ′ a ve bu çalışmanın oluşumunda gerekli bütün imkanları sağlayan ve her konuda desteğini gördüğüm değerli hocalarım Prof. Dr. Rifat ÇOLAK′a ,Prof. Dr. Mikail ET′e ve Yrd. Doç. Dr. Yavuz ALTIN′a teşekkür eder, saygılarımı sunarım.

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER ……….…………..….. I SİMGELER LİSTESİ …….……….…………...…… II ÖZET ………..……….…….. III ABSTRACT ………..……….…... IV 1. BÖLÜM

1.1. Temel Tanım ve Teoremler ………... 1 2. BÖLÜM

2.1. İstatistiksel Yakınsaklık………...…….….. 5 2.2. İstatistiksel Yakınsaklık ve Kuvvetli Cesàro Yakınsaklık ………..…..….…… 7 2.3. λ - İstatistiksel Yakınsaklık ………..…..………10 3 . BÖLÜM 3.1. ∆ - Dizi Uzayları ………...……….………….. 14 m 3.2. ∆ -İstatistiksel Yakınsaklık ……….….….………14 m 4. BÖLÜM 4.1. λm − _{İstatistiksel Yakınsaklık ……….….…...…...20} 4.2. Orlicz Fonksiyonları Yardımıyla Tanımlanan Bazı Yeni Dizi Uzayları …..…...……...20

KAYNAKLAR………..……….……...… 30 ÖZGEÇMİŞ ……….……….… 32

SİMGELER LİSTESİ

IN : Doğal sayılar cümlesi

IR : Reel sayılar cümlesi C : Kompleks sayılar cümlesi

∞

A : Kompleks terimli sınırlı diziler uzayı c : Kompleks terimli yakınsak diziler uzayı

0

c : Kompleks terimli sıfıra yakınsak diziler uzayı

α X : X in α - duali β X : X in β - duali γ X : X in γ - duali ) (K δ : K nın doğal yoğunluğu

h.h.k : hemen hemen her k

S : İstatistiksel yakınsak diziler uzayı 0

S : Sıfıra istatistiksel yakınsak diziler uzayı 1

σ : Cesàro yakınsak diziler uzayı

p

ω : Kuvvetli p-Cesàro yakınsak diziler uzayı

λ

S : λ- istatistiksel yakınsak diziler uzayı

( )

m

S ∆ : ∆m −istatistiksel yakınsak diziler uzayı )

( m p

w ∆ : Kuvvetli ∆ - Cesàro yakınsak diziler uzayı m_p

M A ~ : Orlicz dizi sınıfı ) ( m

ÖZET Yüksek Lisans Tezi

ORLİCZ FONKSİYONLARI YARDIMIYLA TANIMLANMIŞ BAZI DİZİ UZAYLARI VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Gülcan ATICİ

Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

2008, Sayfa : 32

Bu çalışma dört bölümden oluşmuştur.

Birinci bölümde; temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde; istatistiksel yakınsaklık, istatistiksel Cauchy dizisi, kuvvetli p - Cesàro yakınsaklık veλ - istatistiksel yakınsaklık incelenmiştir.

Üçüncü bölümde; ∆ -dizi uzayları, m ∆ - istatistiksel yakınsaklık, kuvvetli m m p

∆ - Cesàro yakınsaklık ve ∆ - istatistiksel Cauchy dizisi incelenmiştir. m

Dördüncü bölümde; λm −_{istatistiksel yakınsaklık ve Orlicz fonksiyonları yardımıyla} tanımlanan

[

V,λ,M,p

]

(∆ , m)

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ ve m )

[

V,λ,M,p

]

_∞(∆ uzayları ve bu m) uzayların bazı özellikleri verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: İstatistiksel yakınsaklık, λ - istatistiksel yakınsaklık, ∆ -dizi m

uzayları, _{∆ - istatistiksel yakınsaklık,} m λm ₋

ABSTRACT Master′s Thesis

SOME SEQUENCE SPACES DEFINED BY ORLICZ FUNCTIONS AND STATISTICALLY CONVERGENCE Gülcan ATICİ Fırat University

Graduate School of Science and Technology Department of Mathematics

2008, Page : 32

This study is prepared as four chapter.

In the first chapter; the fundamental definitions and theorems are given.

In the second chapter; statistically convergence, statistically Cauchy sequence, strong p – Cesàro convergence and λ - statistically convergence are examined.

In the third chapter; ∆ - sequence spaces, m ∆ - statistically convergence, strong m m p

∆ - Cesàro convergence and ∆ - statistically Cauchy sequence are examined. m

In the fourth chapter; λm − _{statistically convergence and the sequence spaces}

[

V,λ,M,p

]

(∆ , m )

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ and m )

[

V,λ,M,p

]

_∞(∆ are defined by Orlicz functions m) and some properties of these spaces are given.

Key Words : Statistically convergence, λ - statistically convergence, ∆ - sequence m

1 . BÖLÜM

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1. Χ boş olmayan bir cümle ve K reel veya kompleks sayılar cismi olsun. + : Χ × Χ → Χ ve . : K × Χ → Χ

fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X cümlesine K cismi üzerinde bir vektör uzayı (lineer uzay) adı verilir. ∀x, y , z∈ X ve a,b∈ K için

L1) x+ y = y +x

L2) (x+ y ) + z =x+ ( y + z )

L3) ∀x∈ X için x+θ =x eşitliğini sağlayan bir tek θ ∈ X vardır.

L4) ∀x∈ X için x+ (-x) =θ eşitliğini sağlayan bir tek (-x) ∈ X vardır.

L5) 1.x= x

L6) a(x+ y ) = a x+ a y L7) (a+b)x= a x+ b x

L8) a(b x) = (a b)x

dır [1].

Tanım 1.1.2. Χ , K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun.∀x, y∈ X için

i) g (θ) = 0 ii) g (x) = g (-x)

iii) g (x+ y ) ≤ g (x) + g ( y )

iv) λ → λ₀, x→ x₀ iken λx → λ₀ x₀, başka bir ifadeyle λ → λ₀, g (x-x₀) → 0

iken g ( λx - λ₀ x₀) → 0 şartlarını sağlayan g : Χ →IR fonksiyonuna bir paranorm, (Χ , g ) ikilisine de paranormlu uzay denir. Eğer g (x) = 0 iken x = θ oluyorsa g ye total

paranorm denir [1].

Tanım 1.1.3. X , K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. || . || : Χ →IR

dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa || . || fonksiyonuna Χ üzerinde bir norm ve (Χ , || . || ) ikilisine de bir normlu uzay denir. ∀ x, y∈ X ve ∀ α ∈ K için

N1) ||x|| ≥ 0

N2) ||x|| = 0 ⇔ x= θ

N3) ||αx|| = |α| ||x||

N4) ||x+ y || ≤ ||x|| + || y ||

Eğer N2)x=θ ⇒ ||x|| = 0 şeklinde olursa Χ ′ e yarınorm ve ( Χ , || . || ) ikilisine de

Tanım 1.1.4. (Χ , || . || ) bir normlu uzay ve x= (xn) de Χ uzayında bir dizi olsun. Eğer

∀ ε > 0 için ∀m,n >n₀ iken

||x_m-x_n|| < ε

olacak şekilde bir n₀= n₀(ε) ∈IN sayısı varsa x= (xn) dizisine bir Cauchy dizisi denir [2].

Tanım 1.1.5. (Χ , || . || ) bir normlu uzay ve x= (xn) de Χ uzayında bir dizi olsun. Eğer

∀ ε > 0 için ∀n >n₀ iken

||xn-x|| < ε

olacak şekilde bir n₀= n₀(ε) ∈IN sayısı varsa x= (xn) dizisi x′e yakınsaktır denir.x= (xn)

dizisi x′e yakınsak ise n n x

lim = x veya xn→x şeklinde yazılır [2].

Tanım 1.1.6. (Χ , || . || ) normlu uzayında her Cauchy dizisi yakınsak ise bu normlu uzaya tam normlu uzay veya Banach uzayı adı verilir [2].

Tanım 1.1.7. Reel veya kompleks terimli tüm dizilerin kümesini w ile gösterelim.

) (x_k

x= , y=(y_k ) ve α bir skaler olmak üzere

(

xk yk

)

y x+ = +

( )

xk x α α =

şeklinde tanımlanan işlemler altında bir lineer uzaydır. w nın her alt lineer uzayına bir dizi

uzayı denir. Bu çalışmada sık sık kullanacağımız ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= <∞} = ∞ k k k x x x ( ):sup A sınırlı, c

{

x x xk mevcut

}

k k):lim ( = = yakınsak ve ₀ =

{

=( ):lim _k =0

}

k k x x x c sıfır diziler uzayı k k x x =sup

Tanım 1.1.8. X bir dizi uzayı olsun. X bir Banach uzayı ve →

X k :

τ C , τ_k(x)= x_k , (k =1,2,3,...) dönüşümü sürekli ise X ′e bir BK - (Banach Koordinat) uzayı denir [3]. Tanım 1.1.9. ∀u₁,u₂∈ IR için ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 1 u u M ≤

[

( ) ( )

]

2 1 2 1 M u u M +

eşitsizliğini sağlayan reel değerli M fonksiyonuna konvekstir denir. Yani 0 ≤ α ≤ 1 olacak şekilde her α için

M [αu + (1-₁ α)u ] ₂ ≤ αM(u₁) + (1-α)M(u₂) eşitsizliğinin sağlanması demektir.

Tanım 1.1.10. (Χ , || . || ) ile (Y , || . || ) birer normlu uzay ve T :X →Y lineer dönüşüm

olsun. T dönüşümü normu koruyorsa, yani her x∈ X için Tx = x oluyorsa T dönüşü- müne lineer izometri denir. Böyle bir dönüşümün birebir olacağı açıktır. Eğer bu dönüşüm örten ise T ye lineer izomorfizm denir. Bu durumda X ile Y normlu uzayları izomorfik uzaylar adını alırlar [4].

Tanım 1.1.11. Eğer X ile Y uzayları izometrik olarak izomorf ise X ile Y uzaylarına denk uzaylar denir. Bu durumda X den Y ye bir lineer izometri vardır [1].

Tanım 1.1.12. X ve Y topolojik uzaylar olsunlar. f :X →Y dönüşümü birebir, örten f sürekli ve −1

f de sürekli ise f ye X den Y ye bir homeomorfizm denir.

f :X →Y bir homeomorfizm ise f ve f−1 açık cümleleri koruduğundan X ve Y uzayları topolojik olarak denktir [1].

Teorem 1.1.1. Bir X Banach uzayının bir Y alt uzayının tam olması için gerek ve yeter şart Ynin X de kapalı olmasıdır [2].

Tanım 1.1.13. X bir dizi uzayı olsun. X in α - duali (veya Köthe Toeplitz-duali) ,β - duali ( veya genelleştirilmiş Köthe Toeplitz-duali) ve γ - duali sırası ile

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= <∞ ∀ ∈} =

∑

∞ =1 için , : ) ( k k k k a x x X a a Xα ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= ∀ ∈} =

∑

∞ =1 için , yakinsak : ) ( k k k k a x x X a a Xβ

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∀ ∞ < = =

∑

= için X x x a a a X n k k k n k ):sup , ( 1 γ

şeklinde ifade edilir. ∅ α

X

⊂ ⊂ β

X ⊂ X olduğu kolayca gösterilebilir. ηγ = α , β veya γ olsun. X ⊂ Y ise

η

Y ⊂ X dir. η

Tanım 1.1.14. X bir dizi uzayı olsun.

i) i≥1 ve en az bir x∈ X için y_i ≤ x_i olduğunda y ∈ X ise X ′e normal veya solid

denir.

ii) X tüm basamak uzaylarının kanonik ön resimlerini kapsıyorsa X ′e monoton dizi uzayı denir.

2 . BÖLÜM 2.1. İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

İstatistiksel yakınsaklık tanımı ilk olarak 1951 yılında Fast [5] tarafından verildi. 1959 yılında Schoenberg [6] ististiksel yakınsaklığı toplanabilme metodu olarak inceledi ve istatistiksel yakınsak dizilerin bazı özelliklerini verdi. Her iki bilim insanı da sınırlı istatistiksel yakınsak bir dizinin Cesàro toplanabilir olduğunu ifade ettiler. Daha sonra istatistiksel yakınsaklık Salat [7], Connor [8], Maddox [9] ve Fridy [10] gibi bir çok matematikçi tarafından çalışıldı.

2.1.1. Doğal Yoğunluk, İstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 2.1.1. Pozitif tamsayılardan oluşan bir K cümlesinin doğal yoğunluğu

{

k n k K

}

n K n ≤ ∈ =lim1 : ) ( δ

şeklinde tanımlanır. Burada

{

k≤ :n k∈K

}

, K nın n den büyük olmayan elemanlarının

sayısını göstermektedir. Eğer 0δ(K)= ise K ya sıfır yoğunluklu cümle denir.

Tanım 2.1.2. Eğerx=(xk ) dizisinin terimleri bir P özelliğini sıfır yoğunluklu cümle dışında bütün k lar için sağlıyorsa (x ) dizisi k P özelliğini hemen hemen her k için sağlıyor denir.

Burada hemen hemen her k ifadesi kısaca “h.h.k” şeklinde gösterilir [10].

Sıfır yoğunluklu cümle tanımından yararlanarak istatistiksel yakınsak dizi tanımını aşağıdaki gibi verebiliriz.

Tanım 2.1.3. x=(xk ) kompleks terimli bir dizi olsun. Eğer ∀ ε > 0 için

lim1

{

k ≤n: x −L ≥ε

}

=0

n k

n

olacak şekilde bir L sayısı varsa, yani h.h.k. için x_k − L <ε ise x=(x_k ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir ve S− limx=L veya x_k →L(S) şeklinde gösterilir. Burada

küme sembolü dışındaki dikey çizgiler kümenin eleman sayısını göstermektedir [10].

İstatistiksel yakınsak dizilerin uzayı S ile gösterilir. Eğer L=0 ise x=(xk ) dizisine

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= ≤ − ≥ =} = ( ):lim1 k n: x L ε 0 n x x S _k n k ,

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= ≤ ≥ =} = ( ):lim1 : 0 0 k ε n k k n x n x x S .

Açıkça görülebileceği gibi yakınsak her dizi istatistiksel yakınsaktır. Fakat tersi doğru değildir. Gerçekten ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = = = 2 2 , 0 ,...) 3 , 2 , 1 ( , , 1 m k m m k x_k

şeklinde tanımlanan x=(xk ) dizisini gözönüne alalım. Her ε > 0 için

{

k≤n: xk ≥ε

}

=

{

k ≤n: xk ≠0

}

≤ n olduğundan, lim1

{

≤ : ≠0

}

≤lim =0 n n x n k n k n n

elde edilir. Bu S−limx=0 demektir.

Diğer taraftan A ve _∞ S uzayları bir birlerini kapsamazlar ancak ortak elemanları vardır.

Gerçekten x=(xk ) dizisi ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = = = ₂ 2 , 1 ,...) 3 , 2 , 1 ( , , m k m m k k xk

şeklinde tanımlanan )x=(xk dizisi için S −limx=1 dır, ancak x∉ A∞ dır. x=

(

1,0,1,0,...

)

dizisi sınırlıdır. Ancak istatistiksel yakınsak değildir.

Bir dizi istatistiksel yakınsak ise limiti tektir, yani S−limx=L₁, S−limx=L₂ ise

2 1 L

L = dir.

Teorem 2.1.1.S−limx=L₁, S−limy=L₂ ve α∈IR olsun. Bu durumda i) S−limx=L₁ ise S−lim(αx)=αL₁

ii) S−limx=L₁, S−limy=L₂ ise S−lim

(

x+ y

)

=L₁ +L₂

Tanım 2.1.4. ε >0 olsun. h.h.k için ε < − N k x x

olacak şekilde N =N(ε) sayısı varsa, yani

{

:

}

0

1

lim ≤ k − N ≥ε =

n _n k n x x

ise )x=(x_k dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir [10].

Teorem 2.1.2. Bir x dizisi istatistiksel yakınsak ise istatistiksel Cauchy dizisidir [10].

İspat. S− limxk =L ve ε >0 olsun. Bu durumda h.h.k için

2 ε < − L xk dır. Eğer N , 2 ε < − L

x_N olacak şekilde seçilirse, x_k −x_N = x_k −L+L−x_N ≤ x_k −L + x_N −L ≤ ε +ε <ε 2 2 (h.h.k. için ) elde edilir.

2.2. İstatistiksel Yakınsaklık ve Kuvvetli Cesàro Yakınsaklık

Bu kısımda kuvvetli Cesàro yakınsaklık ile istatistiksel yakınsaklık arasındaki ilişki incelenecektir.

Tanım 2.2.1. x=(xk ) kompleks sayıların dizisi olsun. Eğer

∑

= = n k k n _n x L 1 1 lim

olacak şekilde bir L sayısı varsa x dizisi L ye Cesàro yakınsaktır denir. Cesàro yakınsak

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − = =

∑

= n k k n k x L en az bir Liçin n x x 1 1 0, 1 lim : ) ( σ ile gösterilecektir [11].

Teorem 2.2.1.x=(xk ) dizisi L ye yakınsak ise (xk ) dizisi L ye σ1- yakınsaktır [11].

İspat.ε >0 olsun. n≥N₁ için

2 ε < − L

x_k olacak şekilde pozitif bir N₁ tamsayısı

mevcuttur. Bu taktirde n≥ N₂ için

(

)

2 ... 1 1 1 2 1 0 1 ε < − + + + +x x x ₋ N L x n N

olacak şekilde bir pozitif N₂ tamsayısı mevcuttur. N =max

{

N₁,N₂

}

olsun. Eğer n≥N ise,

bu taktirde

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +} + = − +

∑

=

∑

= n k k n k k x n L n L x n 0 0 1 1 1 1 1

∑

(

)

= − + + ≤ n N k k L x n 1 ₁ 1 2 ε

∑

= − + + < n N k k L x n 1 ₁ 1 2 ε

(

)

2 1 1 1 2 1 ε ε N n n+ + − + < ≤ ε +ε =ε 2 2

dır. Tersi doğru değildir. Gerçekten

( )

n n

x =1+ −1 dizisi σ₁- yakınsaktır ancak yakınsak

değildir.

Teorem 2.2.2. S− limx=L ve her k∈IN için x_k <M ise σ₁ − limx=L dır [6].

İspat. L=0 olsun σ₁ −limx=0 olduğunu gösterelim. Bu taktirde

∑

∑

= = ≤ n k k n k k x n x n 1 1 1 1

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + =

∑

∑

≥ < ≤ < < ≤ ε ε k k x n k k x n k k x x n 1 1 1 ≤ ε + M

{

k ≤n x_k ≥ε

}

n n n : 1 1 dır. Sağ taraf n→∞ için sıfıra gittiğinden

lim1 0 1 =

∑

= n k k n _n x

elde edilir. Bu da ispatı tamamlar. Teoremin karşıtı doğru değildir. Gerçekten x=

(

1,0,1,0,...

)

şeklinde tanımlanan dizinin aritmetik ortalaması 21 ye yakınsaktır. Fakat bu dizi istatistik- sel yakınsak değildir.

Tanım 2.2.2. x=(xk ) kompleks terimli bir dizi ve

+ ∈ IR p olsun. Eğer

∑

= = − n k p k n _n x L 1 0 1 lim

olacak şekilde L sayısı varsa x dizisi L ye kuvvetli p - Cesàro yakınsaktır denir. Kuvvetli

p-Cesàro yakınsak dizilerin cümlesi

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − = =

∑

= n k p k n k p x L en az bir Liçin n x x 1 , 0 1 lim : ) ( ω ile gösterilecektir [8].

Teorem 2.2.3. p∈IR ve 0< p<∞ olsun. Bir x=(xk ) dizisi, L sayısına kuvvetli p-Cesàro

yakınsak ise L sayısına istatistiksel yakınsaktır. Tersine x=(xk ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsak ve sınırlı ise L sayısına kuvvetli p - Cesàro yakınsaktır [8].

İspat. x∈w ve ε >0 olsun. Bu taktirde

∑

∑

∑

≥ −≤ ≤ = < −≤ ≤ − + − = − ε ε x L n k p k n k L x n k p k p k k k L x L x L x 1 1 1 ≥εp

{

k ≤n: x_k −L ≥ε

}

elde edilir. Bu da S− limx_k =L demektir.

Sınırlı bir x=(xk ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsak olsun ve K = x _∞ +L diyelim. ε ≥0 verilsin. Her n>N_ε için N u _ε

_k p _p K L x n k n : 2 2 1 ε 1 _< ε ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ − ≤

olacak şekilde seçelim ve

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ − ≤ = k p n k n x L L 1 2 : ε

diyelim. Bu taktide n> N_ε için

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = −

∑

∑

∑

∈≤ ∉≤ = n n L k n k L k n k p k p k n k p k x L x L n L x n 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ < 2 2 1 ε ε n K K n n p p ≤ 2 2 ε ε _{+ =ε}

elde edilir. Buradan x=(xk ) dizisi L sayısına kuvvetli p - Cesàro yakınsaktır.

2.3. λ - İstatistiksel Yakınsaklık

Bu bölümde (V,λ)- toplanabilme ve λ- istatistiksel yakınsaklık kavramlarını vereceğiz.

λ =(λ_n), λ_n+1 ≤λ_n +1, λ₁ =1, λ_n →∞ (n→∞) olacak şekilde pozitif sayıların azalmayan bir dizisi olsun.

Genelleştirilmiş Vallée-Pousin ortalaması

∑

∈ = n I k k n n x x t λ 1 ) ( ile tanımlanır. Burada I_n =[n−λ_n +1,n] dır.

Eğer n→∞ için tn(x)→L ise x=(xk ), (V,λ)- toplanabilir dizidir denir.

Eğer λn =n ise (V,λ)- toplanabilirlik ( C,1)- toplanabilirliğe indirgenir. Kuvvetli Cesàro toplanabilir ve kuvvetli (V,λ)- toplanabilir dizilerin sınıfları

[ ]

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= − =} =

∑

= ∞ → n k k n n x L en az bir Liçin n x x C 1 , 0 1 lim : ) ( 1 , ve

[

]

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − = =

∑

∈ ∞ → n I k k n n n x L en az bir Liçin x x V, ( ):lim 1 0, λ λ

olarak tanımlanır. Eğer )x=(xk L ye kuvvetli Cesàro toplanabilir ise bu xk →L

[ ]

C,1 ,

kuvvetli )(V,λ - toplanabilir ise xk →L

[ ]

V,λ olarak yazılır. Tanım 2.3.1. Eğer her ε >0 için

{

:

}

0 1 lim ∈ − ≥ = ∞ → λ k In xk L ε n n

ise )x=(x_k dizisine L ye λ - istatistiksel yakınsaktır denir. Bu durumda L

x

S_λ − lim = veya x_k →L(S_λ )

yazılır ve λ - istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi S ile gösterilir, yani _λ

{

x S x L en az bir Liçin

}

S_λ = : _λ −lim = , dır [12]. Uyarı . i) Eğer λ_n =n ise S_λ =S dır. ii) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = n n n nk I k I k a , 0 , 1 λ

olmak üzere A=

( )

a_nk olsun. Bu durumda λ - istatistiksel yakınsaklık A - istatistiksel yakınsaklığın özel bir hali olur.

Λ , 1λn₊₁ ≤λn + , λ1 =1, λn →+∞ (n→∞) şartlarını sağlayan azalmayan pozitif

terimli )λ =(λn dizilerinin kümesini göstersin.

Teorem 2.3.1. λ∈Λ olsun. Bu takdirde i) [V,λ]⊂S_λ,

ii) A_∞ ∩S_λ ⊂[V,λ],

iii) S_λ ∩[V,λ]=[V,λ]∩A_∞ dir ve (i) deki kapsama kesindir.

İspat. i) ε >0 ve x_k →L

[ ]

V,λ olsun. Bu durumda

ε

{

ε

}

ε ≥ − ∈ ≥ − ≥ −

∑

∑

∈ ≥ − ∈ L x I k L x L x n _k I k L x I k k k n k n :

dır. Böylece xk →L

[ ]

V,λ iken xk →L

( )

Sλ olur. Kapsamanın kesin olduğunu göstermek

için x=(xk ) dizisini

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _{− + ≤ ≤} = durumlarda diger için n k n k x n k , 0 1 , λ

şeklinde tanımlayalım. Burada

[

]

bir sayının tam kısmını göstermektedir. Bu durumda ∞ ∉ A x ve 1

{

∈ : − ≥

}

=

[

]

→0, n n k n n L x I k λ λ ε λ

(

n→∞

)

dır. Yani x_k →0

( )

S_λ dır. Diğer taraftan

1

∑

− →0, ∈In k k n L x λ

(

n→∞

)

yani x_k →0 V

[

,λ

]

olur.

ii) Kabul edelim ki tüm k değerleri için x_k −L ≤M olmak üzere x∈ A_∞ ve x_k →L

( )

S_λ olsun. ε >0 verildiğinde

∑

∑

∑

< − ∈ ≥ − ∈ ∈ − + − = − ε ε λ L x I k k L x I k k I k k n k n k n n L x L x L x 1

{

ε

}

ε λ ∈ − ≥ + ≤ M k I_n x_k L n : dir.

3 . BÖLÜM 3.1. ∆ - Dizi Uzayları m

Fark dizileri kavramı ilk olarak Kızmaz [13] tarafından tanımlandı. 1981 yılında Kızmaz

( ) (

∆ = − +1

)

= ∆x x_k x_k x_k olmak üzere

( )

{

_∞

}

∞ ∆ = = ∆ ∈A A x (xk): x , c

( ) {

∆ = x=(x_k ):∆x∈c

}

,

( ) {

₀

}

0 x (x ): x c c ∆ = = _k ∆ ∈ dizi uzaylarını tanımladı ve bu uzayların k

k

x x

x _∆ = ₁ +sup ile birer Banach uzayı olduğunu gösterdi. Et ve Çolak [14], m∈IN,∆0x=

( )

x_k , ∆x=

(

x_k −x_k+1

)

, ∆mx=

(

∆mx_k

) (

= ∆m−1x_k −∆m−1x_k+1

)

ve

( )

∑

= ⎟⎟⎠ + ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∆ m v v k v k m x v m x 0 1 olmak üzere

( ) {

∞

}

∞ ∆ = = ∆ ∈A A m x (x_k): mx , c

( ) {

x xk mx c

}

m = = ∆ ∈ ∆ ( ): , c₀

( ) {

∆m = x=(x_k):∆mx∈c₀

}

dizi uzaylarını tanımladılar ve bu uzayların m _k k m i i x x x m =

∑

+ ∆ = ∆ sup 1

ile birer Banach uzayı olduğunu gösterdiler.

3.2. ∆ -İstatistiksel Yakınsaklık m

X herhangi bir dizi uzayı ve m∈IN olmak üzere

( )

{

x

( )

x

(

x

)

X

}

X ∆m = = _k : ∆m _k ∈

dizi uzayını tanımlayalım. Bu bölümde

( )

m

X ∆ ve X arasındaki ilişkiler verilip

( )

m

X ∆ in bazı topolojik özellikleri incelenecektir.

Teorem 3.2.1. X bir lineer uzay ise

( )

m

X ∆ de bir lineer uzaydır [15]. İspat.

( )

m

X y

x, ∈ ∆ ve α bir skaler olsun. i)

( )

m

X

x∈ ∆ ve y∈X

( )

∆m ise ∆mx∈X ve ∆my∈X dir. X lineer uzay olduğundan X y x m m +∆ ∈ ∆ , ∆ lineer olduğundan m X y x m + ∈ ∆ ( ) yazılabilir. Buradan ( m) X y x+ ∈ ∆ elde edilir. ii)

( )

m X

x∈ ∆ ve α bir skaler olsun. Bu taktirde ∆mx∈X _{dir. X lineer uzay} olduğundan α∆mx∈X _{yazılabilir. ∆ lineer olduğundan} m

X x m _∈ ∆ (α ) olup tanımdan ) ( m X x∈ ∆ α elde edilir.

Teorem 3.2.2. X ⊂ ise Y X(∆m)⊂Y(∆m) dir [15]. Teorem 3.2.3. X , . normu ile bir Banach uzayı ise

( )

m

X ∆

∑

= ∆ = + ∆ m i m i x x x 1 normu ile bir Banach uzaydır [15].

Teorem 3.2.4. X ayrılabilir ise

( )

m

X ∆ de ayrılabilirdir [15].

İspat. X ayrılabilir olsun. Bu taktirde A= X olduğundan A(∆m)= A(∆m)= X(∆m)

dir. Şimdi

A A

f : (∆ )m → , f(x)=∆mx

dönüşümünü tanımlayalım. f birebir örten bir dönüşümdür. Buradan ( m)

A ∆ , )X(∆ nin m ) ( ) ( m m X

A ∆ = ∆ olacak şekilde sayılabilir bir alt cümlesidir. Buradan X

( )

∆ ayrılabilirdir. m Sonuç 1. ₀( m)

c ∆ , c(∆ ve m) A_p(∆m) (1≤ p<∞) ayrılabilirdir [15].

Teorem 3.2.5. X bir vektör uzayı ve A⊂ X olsun. A konveks ise A(∆ , )m) X(∆ de m konvekstir [15].

İspat.

( )

m

A y

x, ∈ ∆ olsun. Bu taktirde ∆ ,mx ∆my∈A dir. ∆ lineer olduğundan m 0≤λ≤1 için

) ) 1 ( ( ) 1 ( y x y x m m m λ λ λ λ∆ + − ∆ =∆ + −

yazılabilir. A konveks olduğundan (λ∆mx+(1−λ)∆my)∈A dir. Buradan ( (1 ) ) ( m)

A y

x+ −λ ∈ ∆

λ dir.

Tanım 3.2.1. x=(xk ) kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer her ε >0için

{

:

}

0 1 lim ≤ ∆ − ≥ = ∞ → _n k n xk L ε m n ,

yani h.h.k için ∆mx_k −L <ε ise x=(xk ) dizisi L sayısına m

∆ - istatistiksel yakınsaktır denir ve

(

( m)

)

k L S

x → ∆ ile gösterilir.

∆m −_{istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı}

( )

m

S ∆ ile gösterilir. L=0 olması halinde

( )

m

S₀ ∆ , yani sıfıra istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı elde edilir [15]. Sonuç 2.

( )

m

S ∆ bir lineer uzaydır [15].

Tanım 3.2.2. x=(x_k ) kompleks terimli bir dizi ve p>0 reel bir sayı olsun. Eğer

0 1 lim 1 = − ∆

∑

= ∞ → n k p k m n _n x L

olacak şekilde bir L sayısı varsa x dizisi L ye kuvvetli ∆mp- Cesàro yakınsaktır denir.

Kuvvetli m p

∆ - Cesàro yakınsak dizilerin cümlesi ( m)

p

w ∆ ile gösterilir, yani

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= ∆ − = →∞ >} = ∆

∑

= n k p k m n k m

p x L n p en bir bir Liçin

n x x w 1 , 0 , , 0 1 lim : ) ( ) ( dir. ( m) p w

x∈ ∆ olması halindex_k →L

(

w_p(∆m)

)

yazılır [15].

Teorem 3.2.6. p∈IR, 0< p<∞ olsun. i)

(

( m)

)

p k Lw x → ∆ ise x_k →L

(

S(∆m)

)

dir. ii) ( m) k x ∈A_∞ ∆ ve x_k →L

(

S(∆m)

)

ise x_k →L

(

w_p(∆m)

)

dir [15].

İspat. i)x=(x_k)∈w ve ε >0 olsun. Bu taktirde

∑

∑

∑

≥ − ∆ ≤ ≤ < − ∆ ≤ ≤ = − ∆ + − ∆ = − ∆ ε ε x L n k p k m L x n k p k m n k p k m k m k m L x L x L x 1 1 1

≥εp

{

k ≤n_: ∆mx_k −L ≥ε

}

elde edilir. Eğer

(

( m)

)

p k Lw x → ∆ ise x_k →L

(

S(∆m)

)

dir. ii)

(

( m)

)

k L S x → ∆ olsun. M = ∆mx + L

∞ diyelim. ε ≥0 verilsin. Her n>Nε için

ε N sayısını p p k m M L x n k n : 2 2 1 ε 1 _≤ ε ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ − ∆ ≤

olacak şekilde seçelim ve

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ − ∆ ≤ = p k m n k n x L L 1 2 : ε

diyelim. Bu taktirde n>N_ε için

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∆ + − ∆ = − ∆

∑

∑

∑

∉≤ ∈≤ = n L k n k p k m n L k n k p k m n k p k m n n L x L x n L x n 1 1 1 _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ < 2 2 1 ε ε n M M n n p p ≤ ε +ε =ε 2 2 elde edilir. O halde

(

( m)

)

p k L w x → ∆ dir. Sonuç 3. ( m) ( m) S S∩A_∞ ⊂ ∆ ∩A_∞ ∆ [15]. Sonuç 4. ( ) ( ) ( m) ( m) p m m w S ∆ ∩A_∞ ∆ = ∆ ∩A_∞ ∆ [15].

Tanım 3.2.3. x=(x_k)∈w olsun. Eğer her ε >0 için

{

:

}

0 1 lim ≤ ∆ −∆m _N ≥ε = k m n _n k n x x

olacak şekilde birN = N(ε) sayısı varsa x=(x_k ) dizisine ∆ - istatistiksel Cauchy dizisi m denir [15].

Teorem 3.2.7. Eğer )x=(xk dizisi m

∆ - istatistiksel yakınsak ise x=(xk ) dizisi

m

∆ - istatistiksel Cauchy dizisidir [15].

İspat. Kabul edelim ki

(

( m)

)

k L S

x → ∆ ve ε >0 olsun. Bu taktirde h.h.k için

2 ε < − ∆mx_k L

yazabiliriz. N sayısını h.h.k için

2 ε < − ∆mx_N L

olacak şekilde seçelim. Bu taktirde h.h.k için

L x L x x x_k m _N m _k m _N m −∆ < ∆ − + ∆ − ∆ <ε +ε =ε 2 2

olur.x=(x_k ) dizisi ∆ - istatistiksel Cauchy dizisidir. m

Teorem 3.2.8. y, ∆ - istatistiksel yakınsak bir dizi olsun. Eğer m

x, h.h.k için ∆mx_k =∆my_k olacak şekilde bir dizi ise x, ∆ - istatistiksel yakınsak bir dizidir [15]. m

İspat. h.h.k için m _k k m y x =∆ ∆ ve

(

( m)

)

k L S

y → ∆ olsun. ε >0 verilsin. Bu taktirde her n

için

{

k ≤n: ∆mx_k −L ≥ε

} {

⊂ k≤n: ∆mx_k ≠∆my_k

} {

∪ k ≤n: ∆my_k −L ≥ε

}

yazabiliriz. Eşitsizliğin ikinci yanındaki son cümle sabit sayıda eleman içerir. Bunu g = g(ε) ile gösterelim. Her iki tarafın n→∞ için limiti alınırsa h.h.k için ∆mx_k =∆my_k olduğundan

{

}

{

}

n g y x n k n L x n k n k n m k m n k m n : lim 1 lim : 1 lim ≤ ∆ − ≥ε ≤ ≤ ∆ ≠∆ + yazılabilir. Bu da

(

( m)

)

k LS x → ∆ olduğunu gösterir.

Teorem 3.2.9.

(i) ( m) ( m) S

c ∆ ⊂ ∆ ve bu kapsama kesindir. (ii) ( m)

S ∆ ve A_∞(∆m) birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanları vardır. (iii) ( m)

S ∆ ve A birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanları vardır. _∞ (iv) S ve c(∆ birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanları vardır. m) (v) S ve c_o(∆ birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanları vardır. m)

(vi) S ve A_∞(∆m) birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanları vardır [15].

İspat. c⊂S olduğundan )c(∆m)⊂S(∆m dir. Şimdi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = = ∆ ,... 3 , 2 , 1 , , 0 , 2 2 n n k n k k x_k m _(3.2.1)

şeklinde seçelim. Bu taktirde ∆mx∈S fakat ∆mx∉c dir. c⊂S(∆m) , c⊂c(∆m), ) ( m c⊂A_∞ ∆ , c⊂S, c⊂ A_∞ ve c∩co(∆m)≠φ olduğundan )( m S ∆ ile A_∞(∆m), )S(∆ ile m ∞ A , )( m

S ∆ ile S, S ile c(∆ , m) S ile c_o(∆ ve m) S ile A_∞(∆m) nin ortak elemanları vardır.

Şimdi bu uzayların birbirlerini kapsamadıklarını gösterelim.

(ii) Yukarıda tanımlanan diziyi göz önüne alalım. )( m

S

x∈ ∆ fakat x∉A_∞(∆m) dir.x=(1,0,1,0,...) seçersek ∆mx_k =(−1)k+12m−1 ve x∈A_∞(∆m) fakat x∉S(∆m) dir.

(iii) (3.2.1) de tanımlanan dizi sınırlı değildir. Ancak ∆ - istatistiksel yakınsaktır. Tersine m

∞ ∈ =(1,0,1,0,...) A x seçersek x∉S(∆m) dir. (iv) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = = ,... 3 , 2 , 1 , , 0 , 1 2 2 m m k m k x_k

dizisini gözönüne alalım. x∈S, fakat x∉c(∆m) dir. Tersine x=(k) seçersek x∉S fakat

) ( m

c

x∈ ∆ dir.

(v) (iv) de verilen dizi bu şıkkın şartını da sağlar.

(vi) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = = ,... 2 , 1 , , 0 , 2 2 n n k n k k xk

şeklinde x dizisini tanımlayalım. x∈S ancak x∉A_∞(∆m) dir. Tersine x=(k) olarak alınırsa, )( m

4. BÖLÜM

Bu bölümde bir M Orlicz fonksiyonu, bir λ =(λ_n )∈Λ dizisi ve ∆ operatörü m

kullanılarak

[

V,λ,M,p

]

(∆ , m)

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ ve m)

[

V,λ,M,p

]

_∞ (∆ dizi uzayları m) tanımlanacak ve λm−

istatistiksel yakınsaklık ile bu uzaylar arasındaki bazı kapsama bağıntıları verilecektir. Ayrıca bu uzayların bazı özellikleri incelenecektir.

4.1. λm −

İstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 4.1.1. λ =(λ_n )∈Λ sabit bir dizi olmak üzere her ε >0için

{

:

}

0 1 lim ∈ ∆ − ≥ = ∞ → λ k l xk L ε m n n n

ise )x=(x_k dizisine L ye λm−istatistiksel yakınsaktır veya S_λm −yakınsaktır denir. (xk ),

L′ ye λm −istatistiksel yakınsak ise S_λm − limx=L veya ( )

m

k LS

x → _λ ∆ şeklinde yazılır ve −

m

λ istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi ( m)

S_λ ∆ ile gösterilir, yani )

( m

S_λ ∆ =

{

x∈w:S_λm −limx=Len az bir Liçin

}

dir [12].

4.2. Orlicz Fonksiyonları Yardımıyla Tanımlanan Bazı Yeni Dizi Uzayları

Bir Orlicz fonksiyonu, sürekli, azalmayan, konveks, M (0) = 0, x > 0 için M (x) > 0 ve x → ∞ iken M (x) → ∞ şatlarını sağlayan bir M : [0 , ∞) → [0 , ∞) fonksiyonudur.

Bir M Orlicz fonksiyonu her zaman

∫

= x dt t p x M 0 ) ( ) (

integral formunda gösterilebilir. Burada M nin çekirdeği olarak bilinen p , azalmayan, t> 0 için sağdan türevlenebilir, p(0)=0, t> 0 için p(t)> 0 ve t → ∞ iken p(t) → ∞ dur.

Bir Orlicz fonksiyonu verilmiş olsun ve ) ( : sup{ ) (s t p t q = ≤ }s

olsun. Bu taktirde ) ( ) ( 0 ds s q x N x

∫

=

şeklinde bir N fonksiyonu vardır. Burada q(s), )p(t nin tüm özelliklerine sahip olan N nin

çekirdeğidir. Açıkça N bir Orlicz fonksiyonu olur. Bu şekildeki M ve N fonksiyonları

birbirinin alışılmış tamamlayıcısı olarak adlandırılır.

Orlicz fonksiyonuna aynı zamanda O – fonksiyonu da denir. Her bir M Orlicz fonksiyonu için

= M A ~

_{( )}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= ∈}

_∑

∞ _<∞ =1 : ) ( k k k w M x x x şeklinde tanımlanan AM ~

cümlesine Orlicz dizi sınıfı denir.

Lindenstrauss ve Tzafriri [16] Orlicz fonksiyonu fikrini kullanarak

M l = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ∞ < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∈ =

∑

∞ = için 0 bir az en , : ) ( 1 ρ ρ k k k x M w x x

dizi uzayını tanımladı.

Tanım 4.2.1. M bir Orlicz fonksiyonu, m∈IN, λ =(λn)∈Λ ve p=(pk ) pozitif reel

sayıların herhangi bir dizisi olsun. Bu durumda

[

V,λ,M,p

]

(∆ =m) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − =

∑

∈ ∞ → ve için L x M x x n k l k p k m n n k 0, enaz bir L 0 1 lim : ) ( ρ ρ λ ,

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ =m) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

∑

∈ ∞ → için x M x x n k l k p k m n n k 0, enaz bir 0 1 lim : ) ( ρ ρ λ ,

[

V,λ,M,p

]

∞(∆ =m) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ∞ < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

∑

∈ ∈ için x M x x n k l k p k m n IN n k , enaz bir 0 1 sup : ) ( ρ ρ λ tanımlanır.

[

V,λ,M,p

]

(∆ , m)

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ ve m)

[

V,λ,M,p

]

_∞ (∆ dizi uzaylarının tanımında m )

∈

∀k IN için p_k =1 alınırsa sırasıyla

[

V,λ,M

]

(∆ , m)

[

V, Mλ,

]

₀(∆ ve m)

[

V,λ,M

]

_∞(∆ m) uzayları elde edilir.

x∈

[

V,λ,M

]

(∆ ise m) (x_k ) dizisi, M Orlicz fonksiyonuna göre kuvvetli (V,λ)(∆ - m) toplanabilirdir denir. ∀k IN∈ için pk =1, M(x)= x alınırsa

[

V,λ,M,p

]

( ) m ∆ =

[

V,λ

]

(∆ ve m) ∀k IN∈ için = k

p 1, λ_k =1 ve M(x)=x alınırsa

[

V,λ,M,p

]

(∆ =m)

[ ]

C,1 (∆ elde edilir. Bu uzayları m) açık olarak aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.

(C,1)(∆ ) =m

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _∈

_∑

_{∆ − =} = ∞ → n k k m n _n x L w x 1 için L bir az en , 0 1 lim : [C,1](∆ ) =m ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∆ ∈

∑

= ∞ → n k k m n _n x L w x 1 için L bir az en , 0 1 lim : (V ,λ)(∆ ) =m

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∆ ∈

∑

∈ ∞ → n l k k m n n x L w

x :lim 1 0, enaz bir Liçin λ [V ,λ](∆ ) =m ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∆ ∈

∑

∈ ∞ → n l k k m n n x L w

x :lim 1 0, enaz bir Liçin λ

[C,1](∆ ) ⊂ (m C,1)(∆ ) , [m V ,λ](∆ ) ⊂ (m V ,λ)(∆ ) ve m X =(C,1) , [C,1] , (V ,λ)

veya [V ,λ ] için X(∆m−1)⊂ X(∆ olduğu açıktır. m)

Teorem 4.2.1.

( )

m

S ∆ ⊂S_λ

( )

∆m olması için gerek ve yeter şart liminf >0 ∞ → _n n n λ (4.2.1) olmasıdır [12]. İspat. ε >0için

{

k ≤n ∆ x −L ≥ε

} {

⊃ k∈I ∆ xk −L ≥ε

}

m n k m _: : dır. Böylece

{

k≤n ∆ x −L ≥ε

}

n k m : 1 ≥

{

k∈I ∆ x −L ≥ε

}

n k m n : 1

≥

{

ε

}

λ λ ≥ − ∆ ∈I x L k n k m n n n 1 _:

olur. n→∞ için limit alıp (4.2.1) i kullanırsak )x_k →LS(∆m iken x_k →LS_λ

( )

∆m elde ederiz.

Tersine, kabul edelim ki liminf =0 ∞

→ _n

n n

λ

olsun.

(

n(j)

)

∞j₌₁ alt dizisini seçelim. Öyle ki

( ) j j n j n 1 ) ( < λ ve x=(x_i) dizisini ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _{∈ =} = ∆ durumda diger j ise I i x_i n j m , 0 ,... 2 , 1 , 1

şeklinde tanımlayalım. Böylece [ ,1]( m) C

x∈ ∆ ve x∈S(∆m) dır. Diğer taraftan [ , ]( m)

V

x∉ λ ∆ ve x∉S_λ(∆m) dir. Bu bir çelişkidir. O halde (4.2.1) doğrudur. Teorem 4.2.2. (C,1)(∆ ) uzayı m

∑

∑

= − = ∈ ∆ = + ∆ n k k m m i n IN i n x x x 1 1 1 sup

normu ile bir BK −uzayı, [C,1](∆ ) uzayı da m

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + =

∑

∑

= − = ∈ ∆ n k k m m i n IN i n x x x ı 1 1 1 sup

normu ile bir BK −uzayıdır [12].

Teorem 4.2.3. λ =

( )

λn olsun.

i ) [V ,λ](∆ ) ⊂ m S_λ(∆m) dir ve bu kapsama kesindir. ii ) Eğer ( m) x∈A_∞ ∆ ve x_k → LS_λ(∆m) ise x_k →L[V,λ](∆m) dir. iii) ( m) ( m) S_λ ∆ ∩A_∞ ∆ = [V ,λ ](∆ )m ∩A_∞(∆m) dir [12]. İspat. i ) ε >0 ve [ , ]( m) k LV x → λ ∆ olsun. Bu taktirde ε

{

ε

}

ε ≥ − ∆ ∈ ≥ − ∆ ≥ − ∆

∑

∑

∈ ≥ − ∆ ∈ L x I k L x L x n m _k I k L x I k k m k m n k m n :

yazılabilir. Böylece [ , ]( m)

k LV

x → λ ∆ ⇒ x_k →LS_λ(∆m) olur. Kapsamanın kesin olduğunu göstermek için x=(xk ) dizisini

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _{= =} = ∆ durumlarda diger n n k k x_k m , 0 ,... 3 , 2 , 1 , , 2

şeklinde tanımlayalım. Bu taktirde ( m)

x∉A_∞ ∆ , )x_k →0S_λ(∆m ve x∉[V ,λ ](∆ ) dir. m

ii ) ( m)

k LS

x → _λ ∆ , x∈A_∞(∆m) ve her k∈IN için ∆mx_k −L ≤M olduğunu kabul edelim. Bu taktirde her ε >0için

∑

∑

∑

< − ∆ ∈ ≥ − ∆ ∈ ∈ − ∆ + − ∆ = − ∆ ε ε λ λ λ L x I k k m n L x I k k m n I k k m n k m n k m n n L x L x L x 1 1 1

{

ε

}

ε λ ∈ ∆ − ≥ + ≤ M k l_n mx_k L n : yazılabilir. Bu nedenle [ , ]( m) k LV x → λ ∆ dir.

Teorem 4.2.4. m pozitif bir tamsayı olsun. M bir Orlicz fonksiyonu ve p=( pk ) sınırlı bir

dizi olsun. Bu taktirde

[

V,λ,M,p

]

(∆ ,m)

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ ve m)

[

V,λ,M,p

]

_∞ (∆ uzayları m)

C kompleks sayılar kümesi üzerinde birer lineer uzaylardır [12].

İspat. yx, ∈

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ ve m ) α,β∈C olsun. Bu durumda

0 1 lim 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ ∞ → k n p I k k m n n x M ρ λ ve 0 1 lim 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ ∞ → k n p I k k m n n y M ρ λ

ρ₃= max (2 ⎢α⎪ρ₁, 2⎪β⎪ρ₂) diyelim.

M azalmayan, konveks ve ∆ lineer olduğundan m

k n p I k k k m n y x M

∑

∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + 3 ) ( 1 ρ β α λ k n p I k k m k m n y x M

∑

∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ = 3 1 ρ β α λ k n p I k k m k m n y x M

∑

∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ ≤ 3 3 1 ρ β ρ α λ k n k p I k k m k m p n y M x M

∑

∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ≤ 2 1 2 1 1 ρ ρ λ k n p I k k m k m n y M x M

∑

∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ≤ 2 1 1 ρ ρ λ ≤ C k n p I k k m n x M

∑

∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ 1 1 ρ λ + C 0 1 2 → ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈In k k m n y M ρ λ

bulunur. Burada C₌max{1,2H−1} _ve

k IN k p H ∈

= sup dır.Bu da

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ nin lineer m) uzay olduğunu ispatlar.

Teorem 4.2.5. m pozitif bir tamsayı olsun. M bir Orlicz fonksiyonu ve p=(p_k ) sınırlı bir dizi olsun.

[

V,λ,M,p

]

₀(∆ uzayı m)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈IN k k p

H max 1,sup olmak üzere

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

∑

∈ ,... 3 , 2 , 1 , 1 1 : inf ) ( 1 n x M x g H I k p k m n H p n k n ρ λ ρ

İspat. g(x)= g(−x) olduğu aşikardır. Teorem 4.2.4 ün ispatında α =1, 1β = alınırsa ) ( ) ( ) (x y g x g y

g + ≤ + eşitsizliği elde edilir.x=0 için ∆ xm =0 olduğu açıktır.M(0)=0 olduğundan x=0 için

{ }

H

pn

ρ

inf = 0 olur.

Şimdi skaler çarpımın sürekli olduğunu ispatlayacağız. r herhangi bir sayı olsun. Tanımdan ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

∑

∈ ,... 3 , 2 , 1 , 1 ) ( 1 : inf ) ( 1 n rx M rx g H I k p k m n H p n k n ρ λ ρ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

∑

∈ ,... 3 , 2 , 1 , 1 1 : inf 1 n x r M H I k p k m n H p n k n ρ λ ρ yazarız.s=ρ r alınırsa

( )

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ =

∑

∈ ,... 3 , 2 , 1 , 1 1 : inf ) ( 1 n s x M s r rx g H I k p k m n H p n k n λ olur. pn r ≤ max(1 , suppn) r olduğundan ) (rx g ≤

(

{

p_n

}

)

H rsup 1 , 1 max . ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ − _{1, 1,2,3,...} : inf 1 1 n s x M s H I k p k m n H p n k n λ

elde edilir. g(x),

[

V,λ,M,p

]

₀ da sıfıra yakınsak olduğundan )g(rx de sıfıra yakınsaktır.

Şimdi i→∞ iken ri →0 olduğunu kabul edelim. x∈

[

V,λ,M,p

]

0( )

m

∆ olsun. ε >0 verilsin . Bu taktirde en az bir ρ > 0 ve n>N için

(

)

H p I k k m n k n x M /2 1 _ε ρ λ ≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ −

olacak şekilde bir N pozitif tamsayısı seçebiliriz. Bu en az bir ρ > 0 ve n> Niçin 2 / 1 1 _ε ρ λ ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ − H p I k k m n k n x M

olması demektir. 0< r <1 olsun. M nin konveksliğini kullanırsak, n>N için

< ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ − k n p I k k m n x r M ρ λ 1

(

)

H p I k k m n k n x M r /2 1 _ε ρ λ < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ −

elde ederiz. M ,

[

0,∞

)

aralığında sürekli olduğundan, n≤Niçin

k n p I k k m n x t M t f

∑

∈ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = ρ λ 1 ) (

0 da süreklidir. Böylece 0 <t<δ için

H t f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 2 )

( ε olacak şekilde 1>δ >0 vardır. K sayısını i>K için ri <δ olacak şekilde seçelim. Bu taktirde i> K ve n≤ Niçin

2 / 1 1 _ε ρ λ < ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ − H p I k k m i n k n x r M

dir. Böylece i>K için

ε ρ λ < ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆

∑

∈ − H p I k k m i n k n x r M 1 1 ve r→0 için g(rx)→0 olur.

Teorem 4.2.6. m≥1 olsun. X ,

[

V,λ,M

]

,

[

V, Mλ,

]

₀ veya

[

V,λ,M

]

_∞ dizi uzaylarından birini göstersin. Bu taktirde ( m1) ( m)

X

X ∆ − ⊂ ∆ dir ve bu kapsama kesindir [12].

İspat. İspatı sadece

[

V,λ,M

]

_∞ dizi uzayı için verelim.

[

V,λ,M

]

veya

[

V, Mλ,

]

₀ dizi uzayları için ispat benzer şekilde yapılır.

[

, ,

]

( −1)

∞ ∆

∈ m

M V