• Sonuç bulunamadı

Sınır koşullarında spektral parametre bulunan sınır değer problemleri üzerine

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Sınır koşullarında spektral parametre bulunan sınır değer problemleri üzerine"

Copied!
69
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE

BULUNAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ ÜZERİNE

Mat.Yük.Müh.Fatma AYDIN AKGÜN

FBE Matematik Mühendisliği Anabilim Dalı Matematik Mühendisliği Programında Hazırlanan

DOKTORA TEZİ

Tez Savunma Tarihi :05/06/2008

Tez Danışmanı : Prof.Dr.Mehmet BAYRAMOĞLU (Y.T.Ü.) Jüri Üyeleri : Prof.Dr. Akın Taşdizen (KÜLTÜR Ü.) : Prof.Dr. Elimhan MAHMUDOV (İTÜ) : Prof. Dr. Ömer GÖK (YTÜ)

: Doç.Dr. Ayşe KARA (YTÜ)

(2)

ÖNSÖZ ... iii

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... v

1. GİRİŞ... 1

2. SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN MATRİS KATSAYILI SINIR DEĞER PROBLEMİ ÜZERİNE...8

2.1 Probleme Giriş……….8

2.2 Probleminin Özdeğer ve Özfonksiyonları... 11

2.3 Problemin Uygun Bir Hilbert Uzayında Bir Kendine-Eş Operatöre İndirgeyerek Spektral Özelliklerinin İncelenmesi ... 14

2.4 Özfonksiyonlara Göre Açılım ... 21

2.5 A Operatörünün Spektral Fonksiyonu ve Rezolventi... 28

3. SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GECİKEN ARGUMANLI SÜREKLİ OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARI ÜZERİNE…………..32

3.1 Problem Giriş………..32

3.2 Varlık Teoremi………....36

3.3 Özdeğer ve Özfonksiyonların Asimptotik Formülleri………39

4. SONUÇLAR ve ÖNERİLER………59

KAYNAKLAR……….60

ÖZGEÇMİŞ………..64

(3)

Tez çalışmamın her aşamasında bana desteklerini esirgemeyen ve bana çok şey öğreten hocalarım başta Sayın Prof.Dr.Mehmet BAYRAMOĞLU’na ve Sayın Doç.Dr.Azad BAYRAMOV’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Aldığım eğitim ve öğretimin yanında hayatım boyunca daima ilgi, destek, yardım ve fedakarlıklarını esirgemeyen, benim için çok değerli olan babam Vedat AYDIN ve annem Neriman AYDIN’a emeklerinden dolayı teşekkürü bir borç bilirim.

Aynı zamanda bu uzun çalışma sürecinde beni destekleyen ve tüm zor zamanlarımda yanımda olan eşime, oğluma, kardeşlerime ve dostlarıma çok teşekkür ederim .

Beni bu mesleği seçmem, bu alanda ilerlemem için teşvik eden çok sevgili hocam merhum Prof. Tahir ŞİŞMAN’ı saygıyla anıyorum.

(4)

Fatma AYDIN AKGÜN

Matematik Mühendisliği, Doktora Tezi

Sınır koşulunda spektral parametre bulunan sınır değer problemleri fizik problemlerinin çözümünde ortaya çıkmış ve günümüze kadar bu tür problemlerin birçok özelliği değişik çalışmalarda incelenmiştir. Bu tezde sınır koşulunda spektral parametre bulunan iki tip problem ele alınmıştır. İlk olarak sınır koşulunda spektral parametre bulunan matris katsayılı ikinci dereceden sınır değer probleminin spektrumu incelenmiş ve özfonksiyonlara göre açılım formülü elde edilmiştir. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemi ile tanımlanan kendine eş operatörün bir alt uzayda spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral operatörler olduğu gösterilmiştir. İkinci olarak süreksizlik noktasında dönüşüm koşullarına sahip, sınır koşullarında spektral parametre bulunan, geciken argümanlı sürekli olmayan sınır değer problemi incelenmiş, özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadeleri bulunmuştur.

Anahtar Kelimeler: Kendine-eş operatör, spektral parametre, özdeğer, geç kalan argümanlı diferansiyel denklem

(5)

Fatma AYDIN AKGUN

Mathematical Engineering, Doctorate Thesis

Boundary value problems which have spectral parameter in boundary conditions are encountered while solving physics problems and until now various properties of this kind of problems are examined in several studies.In this thesis two types of problems which have spectral parameters in boundary conditions are handled. Firstly, the spectrum of second order boundary value problem with matrix coefficients, which has spectral parameter in boundary condition, is examined and expansion formulas according to eigenfunctions are obtained. Besides it is shown that spectral function and resolvent of self adjoint operator which is defined by this boundary value problem in a subspace are integral operators with matrix kernal. Second, discontinuous boundary value problem with retarded argument which has spectral parameter in boundary conditions and transmission conditions in discontinuity is examined, the asymptotic expressions of eigenvalues and eigenfunctions of this boundary

value problem are obtained.

Keywords: Self-adjoint operator, spectral parameter, eigenvalue, differential equation with retarded argument

(6)

1. GİRİŞ

Sınır koşulunda spektral parametre bulunan Sınır Değer Problemleri bazı fizik ve mekanik problemlerin çözümünde ortaya çıkmıştır.

İlk olarak Poisson ( 1820) bir mekanik problemini sınır koşulunda spektral parametre bulunan

) ( ) ( , 0 ) 0 ( , ' '' b y b y y b x a y y λ λ = = < < = −

şeklinde sınır değer probleminin incelenmesine indirgemiştir. Bu çalışmadan günümüze kadar sınır koşulunda spektral parametre bulunan birçok sınır değer problemi incelenmiştir. Bu çalışmalara örnek olarak sırasıyla Walter (1973), Poisson(1820), Fulton (1977, 1980), Russakovskii (1975, 1996), Binding, Browne, Seddighi (1993), Amara (2004), Binding, Browne ve Watson (2006) çalışmaları gösterilebilir. Özet kısmında da belirtildiği gibi bu tez çalışması iki bölümden oluşmuştur.

Tezin birinci bölümünde

y x R y x Q y x P( ) ) ( ) ( ) ( ' ' + =λ − , a<x<b ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( lim 1 ' 2 1 ' b y b y b y x y x P a x λα β β − =− = →

sınır değer probleminin spektrumu ve özfonksiyonlara göre açılım formülleri incelenmiştir. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemine karşılık gelen kendine eş operatörün spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral operatörler olduğu gösterilmiştir. Katsayıları boyutlu matrisler olmak üzere, ek koşullarla, göz önüne alınan bu problem katsayıları adi fonksiyonlar olan Walter (1973) çalışmasının genelleştirilmesidir.

nxn

Çalışmanın ikinci bölümünde 0 )) ( ( ) ( ) ( ) ( 2 '' x + y x +q x y x x = y λ denklemi, 0 ) 0 ( ) 0 ( + y' = y λ , 0 ) ( ) ( ' 2 π + π = λ y y sınır koşulları

(7)

ve 0 0 2 0 2 ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −π δ π y y 0 0 2 0 2 ' ' = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −π δ π y y

dönüşüm koşullarıyla verilen geciken argumanlı, denklemde ve sınır koşullarında özdeğer bulunan süreksiz sınır değer problemi göz önüne alınmış, problemin özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadeleri bulunmuştur.

Belirtelim ki, ilk olarak ikinci mertebeden geç kalan argumanlı diferansiyel denklem için Sturm-Liouville tipli sınır değer probleminin özdeğer ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadeleri Norkin (1958) tarafından bulunmuştur. Bizim çalışmamızdaki problemin süreklilik hali Bayramoglu, Özden Köklü, Baykal (2001, 2002) çalışmalarında incelenmiştir.

Sınır koşulunda spektral parametre bulunmayan ikinci mertebeden geç kalan argumanlı süreksiz diferansiyel denklemin spektral özellikleri Bayramov, Öztürk Uslu, Kızılbudak (2007) çalışmasında incelenmiştir.

Geç kalan argümanlı diferansiyel denklem yardımıyla oluşturulan farklı sınır değer problemlerinin farklı özellikleri (örneğin; özdeğer ve özfonksiyonların asimptotik ifadeleri, özfonksiyonlara göre açılım formülleri, özdeğerlerin dağılımı, özdeğerler için iz formülleri vs.) birçok makalede incelenmiştir. Örneğin Bayramoglu, Özden Köklü, Baykal (2001, 2002), Deminko, Matveeva, (2005), Demidenko, Likhoshvai (2005), Jablonski, Twardowska (1987), Kamenskii (1954), Nersesjan (1961), Norkin (1958,1972) çalışmalarında. Bellman, Cook (1963), Norkin (1972) çalışmaları bu tür problemlerin çeşitli fizik uygulamalarının listesini vermektedir.

Tezin kolay şekilde anlaşılması için gereken bazı önbilgiler aşağıda verilmiştir..

H

herhangi bir Hilbert uzayı ,

T

:

H

H

ise tanım kümesi olan bir lineer operatör

olsun. Eğer dizisi için iken

) (T D ) (T D xnxn → ,x Txny xD(T)ve sağlanıyorsa o zaman

T

’ye kapalı operatör denir.

Tx y=

Eğer için ve iken olursa

o zaman

T

’ye kapanışa sahip operatör denir.

T

lineer operatör olduğundan bu tanım aşağıdaki tanıma denktir.

) ( ), (T x ' D T D xnnxnx,xn'→x Tx y,Tx ' y' n n → → '

y

y

=

(8)

)

(T

D

x

n

,

x

n

0

ve

Tx

n

y

iken

y

=

0

olursa o zaman

T

’ye kapanışa sahip operatör denir.

T

kapanışa sahip operatör olsun.

D

' ise

) (T

D

xn ∈ , ,

olacak şekilde elemanlarının kümesi olsun. Buradan de

x

xnTxny

H

x

D

'

T

x

=

y

olacak şekilde

T

operatörünün tanımlandığı açıktır.

T

lineer kapalı operatördür ve

T

’nin genişletilmesidir.

T

operatörüne

T

’nin kapanışı denir.

Eğer λ∈C (Ckompleks sayılar cismidir) için

(

T−λI

)

−1 (I birimoperatör)ters operatörü bütün H’da tanımlı, sınırlı operatör ise o zaman λ sayısına

T

’nin regular noktası denir. Regular noktalar kümesi ρ(T) sembolü ile gösterilir. C \ ρ(T) kümesine

T

operatörünün spektrumu denir ve σ(T) sembolü ile gösterilir. ρ(T) kümesine

T

’nin rezolvent kümesi de denir. ’de tanımlı , operatör değerli fonksiyona

T

’nin rezolventi denir. Tanımdan görüldüğü gibi

T

’nin özdeğerleri

) (T ρ

(

− Iλ

)

−1 T ) (T

σ ’ye aittir. H uzayı sonlu boyutlu olduğunda σ(T) sadece özdeğerlerden ibarettir fakat H sonsuz boyutlu uzay olduğunda bu söylenemez.

T

’nin özdeğerler kümesi σ ile gösterilir. d

0 ) ( lim −λ = ∞ → n

n T I x olacak şekilde sınırlı, kompakt olmayan xnD(T) dizisi varsa o zaman

sayısı operatörünün bir esaslı (essential) spektrum noktasıdır denir.

T

’nin esaslı spektrum noktalar kümesi sembolü ile gösterilir. Tanımdan görüldüğü gibi

λ

T

) (T e σ ) ( ) (T T e ⊂σ σ sağlanır.

Yine

T

’nin sonsuz katlı özdeğerlerinin )σe(T ’ye ait olduğu açıktır. Eğer (T − Iλ )−1 varsa ve

H’da her yerde yoğun olmayan kümede tanımlanmışsa (D(TλI)−1,D(TλI)−1’in kapanışı iken D(TλI)−1≠Hise bu koşulu sağlayan λ ’lara ’nin residüal (kalan) spektrum

noktaları denir. Bu küme

T

) (T

r

σ ile gösterilir.

T

,H ’da her yerde yoğun D(T) kümesinde(D(T)=H) tanımlı lineer operatör olsun. Her için ) (T D x

(

Tx,y

)

=

( )

x,y

(9)

koşulunu sağlayan y elemanlar kümesini ile gösterelim. elemanına bir tek elemanı karşılık gelir. Bu karşılık getirmeyi gerçekleştiren operatöre

T

’nin eşleniği denir ve ∗ D y∈ DH y∗ ∈ ∗

T ile gösterilir. T lineer operatördür.

Böylece ∗ ∗ ∗ = ∈ ∈D T y D T D T D x ( ), ( ); ( ) iken

(

Tx,y

)

= ,

(

xTy

)

olur.T:D(T)⊂HH ,(D(T)=H) lineer operatörü ∀x,yD(T) için

(

Tx,y

) (

= x,Ty

)

eşitliğini sağlıyorsa ’ye simetrik operatör denir. Eşlenik operatörün tanımına göre

T

’nin simetrik operatör olması için

T

⊂ T

T olması gerek ve yeterdir.

T

simetrik operatör iken

(

Tx,x

) (

xD(T)

)

)

)

kuadratik formu reel değerlidir.T :HH simetrik operatörü ) (T D x∈ ∀ için

(

Tx,x

)

≥α(x,x)

(

(

Tx,x

)

≤β(x,x)

)

olacak şekilde varsa o zaman

T

’ye alttan sınırlı (üstten sınırlı) operatör denir. >0 iken

T

simetrik operatörüne pozitif (negatif olmayan) operatör denir.

(

R

R β∈

∈ α α

(

α≥0

Eğer T = T∗ ise

T

’ye kendine eş operatör denir. Tanımdan görüldüğü gibi her kendine eş operatör simetriktir fakat bunun tersi söylenemez.

Simetrik operatörün özdeğerleri reeldir. Reel olmayan sayılar kümesi kendine eş operatörün regular noktalar(rezolvent) kümesine aittir. Yani T∗ =T iken imλ0 koşulunu sağlayan

’ye aittir. Bunun yanı sıra ) ( , T C ρ ∈ λ ∀ T∗ =T iken σ(T) dir.

Eğer

T

simetrik operatörünün kapanışı kendine eş operatör ise yani

( )

T ∗ =T

(10)

Belirtelim ki her yerde yoğun kümede tanımlı ve kapanışa sahip

T

operatörü için

T T∗∗ =

sağlanır.

T

simetrik operatör iken her λ için

(

T −λI

)

’nin değer kümesi R

(

T −λI

)

ve R

(

T −λI

)

kümesi bütün H uzayı ile çakışırsa yani

(

T I

)

R −λ =R

(

T −λI

)

=H

ise o zaman

T

kendine eş operatördür. Burada λ sayısı, λ’nın kompleks eşleniğini gösterir.

H H

T : → simetrik operatör iken aşağıdaki teorem ispatlanabilir.

Teorem (Weidman,1980) simetrik operatörünün kendine eş olması için her

T

λ (imλ≠0) sayısı için H I T R I T R( ∗ −λ )= ( ∗ −λ )= olması gerek ve yeter koşuldur.

Not Eğer

T

kapalı simetrik operatör ise o zaman her λ (imλ ≠0) için kapalı kümedir, yani ) (T I R ∗ −λ ) ( ) (T I R T I R ∗ −λ = ∗ −λ ) (T I

R ∗ −λ lineer manifoldunun H’ya tümleyeni

(

)

λ η λ = − ⊥ ∗ ) (T I R ’nın boyutuna

T

’nin λ noktasında defekt sayısı denir. Eğer imλ >0

(

imλ<0

)

koşunu sağlayan herhangi bir λ noktasında

(

n

)

m = = λ λ η η dim dim

ise o zaman keyfi imλ >0

(

imλ<0

)

koşulunu sağlayan her λ için

(

n

)

m = = λ λ η η dim dim

dir. Yani dimηλ, λ üst yarı düzlemde (alt yarı düzlemde) iken λ noktasının seçiminden bağımsızdır.

(11)

çiftine

T

operatörünün defekt indisi denir. Belirtelim ki sayıları sonlu veya sonsuz olabilirler. Eğer operatörünün defekt indisi

n ve m

T

( )

n, şeklinde ise o zaman n

T

operatörü

kendine eş genişlemeye sahiptir. Belirtelim ki

{

x D T T x λx

}

ηλ = ∈ ( ∗): ∗ = ve ηλ =

{

xD(T∗):Txx

}

şeklindedir.

Teorem (Weidman, 1980) Kapalı

T

simetrik operatörünün defekt indisinin

(

0,0

)

olması için

T

’nin kendine eş olması gerek ve yeterlidir.

İfade ettiğimiz teoremde

T

keyfi simetrik operatör ise o zaman

T

’nin defekt indisinin

( )

0,0 olması için

T

’nin esaslı kendine eş operatör olması gerek ve yeterlidir.

Eğer simetrik operatörünün defekt indisi

T

n<∞ ve

( )

n, şeklinde ise o zaman n

T

’nin her simetrik genişletilmesi olan operatörü S

T

’nin sonlu boyutlu bir genişlemesidir. Yani M bir lineer manifold ve dim Mn olmak üzere

{ }

0 ) ( , ) ( ) (S =D T +M D TM = D ,

şeklinde gösterilebilir. Burada

{

x y x D T y M

}

M T

D( )+ = + : ∈ ( ), ∈

şeklindedir.

Teorem (Weidmann, 1980) defekt indisi

T

( )

n, , n n<∞ olan bir operatör iken, bunun her simetrik genişletilmesi T ile ~

T

’nin esaslı spektrumu çakışır. Yani σe(T~)=σe(T) dir.

= A

A kendine eş operatörü için aşağıdaki özelliklere sahip bir Eλ(λ∈ℜ) spektral fonksiyonu (veya birim açılımı) vardır.(Akhiezer, Glazman, 1987; Weidmann, 1980; Smirnov, 1964)

1. Eλ , her λ∈ℜiçin bütün H’da tanımlı bir iz düşüm operatörüdür. Yani ∗ = λ λ E E ve Eλ2 = Eλ dır. 2.Her λ,µ∈ℜ için ) , min(λµ µ λE E E = .

(12)

3. Eλ−0 =Eλ. 4.Her xH için 0 lim = −∞ → Eλx λ , λlim→+∞Eλx= x λ

E ’nın yardımıyla I birim operatörü ve A operatörü sırasıyla

∞ ∞ − ∞ ∞ − = = dEλ A λdEλ I ,

formülleri ile ifade edilir.

Geç kalan argümanlı 2. mertebeden lineer diferansiyel denklem genel olarak

(

( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

)

( ) ) ( 0 ' '' t a t x t t b t x t t c t x n i i i i i −∆ + −∆ + =

=

formundadır. Burada , , ve ’ler bilinen fonksiyonlar ve , fonksiyonunun noktasındaki türevidir.

0 ) ( ≥ ∆ ti ai(t) bi(t) c(t) '( ( )) t t x −∆i ) (z x z =t−∆i(t)

(13)

2. SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN MATRİS KATSAYILI SINIR DEĞER PROBLEMİ ÜZERİNE

2.1 Probleme Giriş

Aşağıdaki sınır değer problemini göz önüne alalım.

(

P x y

)

Q x y R x y a x b y l( )=− ( ) ' '+ ( ) =λ ( ) , < < (2.1.1) [ ]1(a)=0 y

(

y[ ]1(a) limP(x)y'(x)

)

a x→ = (2.1.2)

( )

U y y Uβ =λ α − ( ) (2.1.3) Burada ) ( ) (y 1y b Uα =α ) ( ' ) ( ) (y 1y b 2y b Uβ =β −β şeklindedir, ayrıca ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ) ( . ) ( . ) ( . ) ( ) ( 1 1 11 x p x p x p x p x P nn n n M M , ve ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ) ( . ) ( . ) ( . ) ( ) ( 1 1 11 x q x q x q x q x Q nn n n M M ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ) ( . ) ( . ) ( . ) ( ) ( 1 1 11 x r x r x r x r x R nn n n M M

elemanları reel değerli sürekli fonksiyon olan kendine-eş n× boyutlu matrisler,n , olmak üzere negatif olmayan matris,

) (x P 0 ) (b > P

− <∞ b a dx x P 1( ) ve pozitif tanımlı matristir. Ayrıca ) (x R 2 1 1,β ,β

α ise α1β1 <0 ve α1β2 =1 koşullarını sağlayan reel sayılar,λ

kompleks parametre ve L

[

a b elemanları

x y x y x y R n , ) ( . . ) ( ) ( 2, 1 ∈ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

]

[ ]

a, de tanımlı kompleks b

değerli fonksiyon olan n bileşenli vektör fonksiyonudur. P−1(x) , ’in normunu gösterir. Belirtelim ki ve ’in sürekliliği basitlik için kabul edilmiştir.

) ( 1 x P− ) (x P Q(x)

(14)

Genelde Q(x)’in elemanlarının ölçülebilirliği ve

Q x dx<∞

b

a

)

( olması , ’in negatif

olmaması, ) (x P

b − <∞ a dx x

P 1( ) koşulunu sağlaması ve elemanlarının ölçülebilirliği yeterlidir.

Bu bölümde (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin spektrumunu ve özfonksiyonlara göre açılım formülünü inceleyeceğiz. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemine karşılık gelen kendine eş operatörün spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral operatörler olduğunu göstereceğiz.

[

a b L2,R ,

]

)

ile her bileşeni ölçülebilir, kompleks değerli ve

(

)

b <∞ a dx x y x y x R( ) ( ), ( ) ,

koşulunu sağlayan y(x)=

(

y1(x),y2(x),...,yn(x) vektörlerinin kümesini gösterelim. Bu kümede iki vektörün toplamını

(

( ) ( ), ( ) ( ),..., ( ) ( )

)

) ( ) (x z x y1 x z1 x y2 x z2 x y x z x y + = + + n + n ile

bir vektörün skalerle çarpımını

(

( ), ( ),..., ( )

)

)

(x y1 x y2 x y x

y α α α n

α =

şeklinde tanımlarsak L2,R

[

a,b

]

kümesi lineer uzay oluşturur. Eğer iki vektörün iç çarpımını

]

( )

y z

(

R x y x z x

)

dx b a

= ( ) ( ), ( ) ,

şeklinde tanımlarsak uzayı aşağıdaki norma göre tam iç-çarpım uzayı yani Hilbert uzayı oluşturur.

[

a b L2,R ,

(

)

= b a dx x y x y x R y ( ) ( ), ( )

Tanımladığımız iç-çarpım ve normla oluşturulan Hilbert uzayını da sembolüyle göstereceğiz. iken,

(

de tanımlı fonksiyonlar için, bilinen Hilbert uzayıdır.

[

a b L2,R ,

]

)

]

1 = n a,b L2,R

[

a,b

(15)

Öncelikle (2.1.1) ifadesiyle oluşturulan maksimal ve minimal operatörlerin tanımlarını verelim.

1

D , açık aralığının her kapalı alt aralığında kendisi ve ’in her bileşeni mutlak sürekli olan vektör fonksiyonlarının kümesi olsun. , ’e ait her vektör fonksiyonu için tanımlı olduğu kolayca görülür. , de her yerde yoğun olan bir lineer manifolddur. elemanlarının (vektör fonksiyonlarının) kümesini

(

a,b

)

]

) ( ) ( ) ( ' ] 1 [ x P x y x y = ) (x y R−1(x)l(y) 1 D ) (x y D1 L2,R

[

a,b ) (x y

[ ]

a b ve l y L

[ ]

a b L D x y( )∈ 1∩ 2,R , ( )∈ 2,R ,

iken D ile gösterelim. Tanım kümesi D olan L operatörünü ∀y(x)∈D ve iken ) ( ) ( 1 x l y R Ly= − şeklinde tanımlayalım.

[ ]

a b L

[ ]

a b L

L: 2,R , → 2,R , operatörüne L2,R

[ ]

a,b de ile oluşturulan maksimal

operatör denir (Weidman, 1980). Burada

) ( ) ( 1 x l y R

L’nin bir lineer operatör olduğu açıktır.

( )

a, b

aralığında sonlu desteye sahip ve ’ye ait fonksiyonların kümesini ile gösterelim. , ’de hemen her yerde yoğundur (Weidman, 1980). Tanım kümesi olan

operatörünü tanımlayalım, öyleki her için

D ' 0 D ' 0 D

[

a b L2,R ,

]

' ' 0 D ' 0 L 0 D y∈ ) ( ) ( 1 ' 0y R x l y L = ,

şeklindedir. ' ’ın bir simetrik operatör olduğu kolayca görülür. 0

L

' 0

L ’ın kapanışını L0 ile gösterelim. Bu durumda L0 operatörü L2,R

[ ]

a,b ’de

) ( ) ( 1 x l y R

ile oluşturulan minimal (kapalı) operatördür.

b − <∞

a

dx x

P 1( ) koşulundan y(x)D(L) için vardır ve ’ın tanım kümesi ) ( ), ( ), ( ), (a y[1] a y b y[1] b y L0

{

( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) 0

}

) ( [1] [1] 0 = y xD L y a = y a = y b = y b = L D şeklindedir.

(16)

olduğu ve ’ın defekt indisinin

L L* =

0 L0

(

2n 2, n

)

olduğu bilinmektedir (Weidman, 1980).

[

a b

L2,R ,

]

’de T operatörünü aşağıdaki şekilde tanımlayalım;

[ ]

[ ]

{

y x L a b y x ve y x a b T D( ) ( ) R , , ( ) [1]( ), , , 2 ∈

= ’de mutlak sürekli R(x)−1l(y)L2,R

[ ]

a,b

[ ]1(a)=0 , U (y)=0

}

y β ve ) ( ) (x DT y ∈ ∀ için ) ( ) ( 1 x l y R Ty=

olsun. Böyle tanımlanmış T :L2,R

[ ]

a,bL2,R

[ ]

a,b operatörü kendine eş operatördür

(Weidman, 1980). Tanımladığımız T operatörünü daha sonra kullanacağız.

(2.1.1)-(2.1.3) probleminde görüldüğü gibi λ özdeğeri ( kompleks spektral parametre) (2.1.3) koşulunda bulunmaktadır. Buna göre lineer operatörler teorisinin yöntemleri direkt olarak uygulanamıyor, fakat (2.1.1)-(2.1.3) problemi daha geniş uzayda göz önüne alınırsa, problem olağan sınır değer problemine indirgenebilir.

2.2 Problemin Özdeğer ve Özfonksiyonları

(2.1.1)-(2.1.3) probleminin özfonksiyonu denildiğinde ;

[ ]

a, aralığında birinci türevi ve b

fonksiyonu mutlak sürekli, (2.1.1) denklemini ve (2.1.2)-(2.1.3) koşullarını sağlayan, özdeş olarak sıfır olmayan fonksiyonu anlaşılır, ve burada

) ( ] 1 [ x y ) (x y ∀ λ sayısı da

fonksiyonuna karşılık gelen özdeğerdir.

) (x y 0 ) (x

y fonksiyonu λ keyfi sayı iken sınır değer probleminin çözümüdür. (Bu fonksiyon (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin özfonksiyonu sayılmıyor).Biz bazen P(b)y'(b) ifadesini y[ ]1(b) ile göstereceğiz.

(2.1.1)-(2.1.3) probleminin kompleks özdeğerleriλ1 ve λ2, sırasıyla bu özdeğerlere karşılık gelen kompleks özfonksiyonlar ise y1(x) ve y2(x) olsun. Bu durumda

(

P x y

)

+Q x y = R x y a<x<b − ( ) ' ' ( ) 1 1 ( ) 1 , 1 λ (2.2.1)

( )

1 1 1) (y U y Uβ =λ α − (2.2.2) [ ]1( ) 0 1 a = y (2.2.3)

(17)

ve

(

P x y

)

+Q x y = R x y a<x<b − ( ) ' ' ( ) 2 2 ( ) 2 , 2 λ (2.2.4)

( )

2 2 2) (y U y Uβ =λ α − (2.2.5) [ ]1( ) 0 2 a = y (2.2.6)

olur. (2.2.1) in her iki yanını sağdan y2 ile (2.2.4)’ ün ise her iki yanını soldan y1 ile skaler çarpalım (Cn uzayı anlamında)(Burada y ile bilşenleri ’nin bileşenlerinin kompleks eşleniği olan vektör gösterilmiştir). Böylece

y

(

)

(

2

)

(

1 2

) (

1 1 2

)

' ' 1 , ( ) , ( ) , ) (x y y Q x y y R x y y P + =λ −

(

)

(

1

)

(

2 1

) (

2 2 1

)

' ' 2 , ( ) , ( ) , ) (x y y Q x y y R x y y P + =λ −

eşitlikleri elde edilir. Bu iki ifade birbirinden çıkarıldığında, kendine eş matris olduğundan ) (x R

(

)

(

)

+

(

(

)

)

= − ' ' 1 2 2 ' ' 1 , ( ) , ) (x y y P x y y P

(

)

(

)

(

(

)

)

(

1 2

)

(

1 2

)

' 1 ' 2 ' 2 ' 1 , ( ) , ( ) , ) (x y y P x y y R x y y P + = λ −λ −

bulunur. Eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa;

(

P x y y

) (

P x y y

)

(

)

(

R x y y

)

dx b a b a b a+ =

λ −λ − ' 1 1 2 1 2 2 2 ' 1, ( ) , ( ) , ) ( (2.2.7)

olur. (2.1.2) koşulundan dolayı ( ) 0 [1]( ) 0 olduğundan (2.2.7) eşitliği 2 ] 1 [ 1 a = ve y a = y

(

P b y b y b

) (

P b y b y b

)

(

)

(

R x y y

)

dx b a

− = + − ' 1 1 2 1 2 2 2 ' 1( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) , ) ( λ λ (2.2.8) şeklini alır. ) ( ) (y 1y b Uα =α ve ) ( ) ( ) ( ' 2 1y b y b y Uβ =β −β eşitliklerinden y(b) ve y'(b) sırasıyla

(18)

1 ) ( ) ( α α y U b y = (2.2.9) ) ( ) ( ) ( 1 1 ' b U y U y yα −α β (2.2.10)

şeklinde bulunur. (2.2.9) ve (2.2.10) eşitlikleri (2.2.8) de kullanıldığında (2.2.8) eşitliğinin sol tarafı

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( α α β α α β α β α α β α y U y U y U b P y U y U y U b P

(

) (

) (

) (

)

⎥ ⎦ ⎤ + − ⎢ ⎣ ⎡ − − = ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 2), ( 1) ( ) ( 2), ( 1) 1 1 2 1 2 1 1 1 P bU y U y P bU y U y P bU y U y P bU y U y α β α α α β α α α β α β =

(

P(b)Uβ(y1),Uα(y2)

) (

P(b)Uβ(y2)Uα(y1)

)

=−λ1

(

P(b)Uα(y1),Uα(y2)

) (

2 P(b)Uα(y2),Uα(y1)

)

olur. Buradan (2.2.8)

(

λ1−λ2

)

(

P(b)Uα(y1),Uα(y2)

)

− =

(

)

b a dx y y x R( ) , ) ( 1 2 2 1 λ λ

şeklini alır ve böylece

(

1 2

)

( ( ) 1, 2)

(

( ) ( 1), ( 2)

)

=0 ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −

R x y y dx P bU y U y b a α α λ λ (2.2.11)

bulunur. (2.1.1) denkleminin katsayıları, elemanları reel değerli sürekli fonksiyon olan matrisler olduğundan y1(x) fonksiyonuda λ1 özdeğerine karşılık gelen özvektör olacaktır. Buna göre (2.2.11) da y2 yerine y1(x) konulursa

(

1 1

)

(

( ) 1, 1

)

(

( ) ( 1), ( 1)

)

=0 ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −

R x y y dx P bU y U y b a α α λ λ (2.2.12)

elde edilir. Burada , ve pozitif matris olduğundan (2.2.12) eşitliğinin sağlanması için 0 ) ( 1 xy P(b)>0 R(x)

(19)

Dolayısıyla 0

Imλ1 = (2.2.13)

bulunur. Böylece (2.2.13) denkleminden λ1 özdeğerinin reel olduğu görülür ve λ1 keyfi özdeğer olduğundan (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin özdeğerlerinin reel sayılardan oluştuğu sonucuna varılır. Ele aldığımız problemin katsayıları ve özdeğerleri reel olduğundan dolayı özfonksiyonları da reel değerli alınabilir. Bu sonuca göre bundan sonraki hesaplarda (2.1.1)-(2.1.3) probleminin özfonksiyonlarının n değerli olduklarını varsayacağız.

2.3 Problemin Uygun Bir Hilbert Uzayında Bir Kendine-Eş Operatöre İndirgeyerek Spektral Özelliklerinin İncelenmesi

Öncelikle

[

a,b

]

aralığında aşağıdaki şekilde bir “µ ölçümü” tanımlayalım

[

)

{ }

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⊂ =

b m b a m b P dx x R m m , ) ( ) ( ) ( µ (2.3.1)

µ ’nün tanımından görüldüğü gibi m

[

a,b

)

kümesinin ölçümü ’nin Lebesque ölçümüne eşittir. m

[ ]

(

, ,µ

)

, 2 a b

L R ile

[

a,b

]

de tanımlı µ ölçülebilir ve

(

)

(

)

=

+ <∞ b a b a b f b f b P dx f f x R d x f( ) 2 µ ( ) , ( ) ( ), ( )

koşulunu sağlayan her x

[

a,b

]

için n değerli fonksiyonlar kümesini gösterelim.

C

Burada iç çarpım

(

)

(

)

(

)

(

)

∑∑

∑∑

= = = = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + = b a n i n j i j ij n i n j i j ij b a b g b f b p dx x g x f x r b g b f b P dx x g x f x R g f 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) , (

şeklinde tanımlanmıştır. Bu şekilde tanımladığımız iç çarpımı

µ

ölçümüne göre tanımlanmış iç-çarpım olarak adlandıracağız. Bu küme de vektörlerin toplamı ve sayı ile çarpımı işlemlerine göre, bir lineer uzaydır. L2,R

(

[ ]

a,b

)

ayrılabilir bir Hilbert uzayı oluşturur (Weidman, 1980).

(20)

Uyarı: µ ölçümünün tanımından görüldüğü gibi ve u n iken iç-çarpım C v

( ) (

u,v = P(b).u,v

)

)

şeklinde tanımlanırsa, L2,R

(

[ ]

a,b,µ uzayı

[ ]

n

R a b C

L2, , ⊕

uzayı ile çakışır. Buradaki daha önce tanımladığımız bileşenli fonksiyonlardan oluşan Lebesque uzayı ve ise n boyutlu kompleks vektör uzayıdır. Bir başka deyişle

[

a b L2,R ,

]

)

n n C

[ ]

(

, ,µ ) (x L2, a b fR ∀ vektörü

{

}

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( 2 1 2 1 b f b f b f x f x f x f f U x f x f n n M M α

şeklinde yazılabilir. Sağ taraftaki f(x)

[

a,b

)

aralığının hemen her noktasında (Lebesque ölçümüne göre) tanımlıdır. L2,R

(

[ ]

a,b

)

uzayını H harfi ile gösterelim.

(2.1.1)-(2.1.3) sınır değer problemini olağan operatör denkleme indirgemek için aşağıdaki şekilde bir A operatörü tanımlayalım.

A'nın tanım kümesi

{

( ) , ( ) ( ) )

(A y x H y x ve y' x

D = ∈ ,

( )

a, açık aralığında mutlak sürekli ve b

[ ]( ) 0, ( ) ( )

}

1 1 y U b y a y = α = α ve y(x)∈D(A)iken

[

)

{ }

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∈ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − b x b a x y U y l x R b y x y A , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 β α (2.3.2)

olsun.A operatörünün tanımından görüldüğü gibi (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin özdeğer ve özvektörleri A’nın özdeğer ve özvektörleridir.

(21)

Böylece (2.1.1)-(2.1.3) problemi operatörünün spektral özelliklerinin incelenmesi problemine indirgenmiş olur. Bu nedenle (2.1.1)-(2.1.3) problemi yerine

H H

A: →

A operatörünü inceleyeceğiz.

Aoperatörü simetrik, alttan sınırlı, üstten sınırsız ve esaslı (essential) kendine eş operatördür.

A Operatörünün Simetrik Olduğunun Gösterilmesi

Bir A operatörü simetrik bir operatör ise

(

Af,g

) (

= f,Ag

)

(2.3.3) eşitliği sağlanmalıdır.Burada

( )

(

)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − ) ( ) ( ) ( ' ' 1 f U f x Q Pf x R Af β = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ) ( ) ( ) ( 1 f U y l x R β ve g(x)=

(

g1(x),g2(x),...,gn(x)

)

olmak üzere ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ) ( ) ( g U x g g α (2.3.4) şeklinde tanımlıdır.Böylece

(

Af,g

)

(

R(x)R 1(x)l(y),g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g) b a α β − =

)

)

)

(2.3.5)

olur. l(y) yerine konularak

(

Af,g

)

b

(

( )

Pf' ' Q(x)f,g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g) a α β − + − =

(

( )

Pf' ',g

)

dx

(

Q(x)f,g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g) (2.3.6) b a b a α β − + − =

elde edilir.

(

)

'

(

'

) (

'

)

, , ,g f g f g

f = + olduğu göz önüne alındığında (2.3.6) denklemi

(

Af,g

)

(

Pf',g

)

(

Pf',g'

)

dx b

(

Q(x)f,g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g)

)

a b a b a+ + − β α − =

şeklinde yazılır. f[1](a)=0 olduğundan yukarıdaki eşitlikten

(

Af,g

)

(

P(b)f'(b),g(b)

) (

f',Pg'

)

dx b

(

f,Q(x)g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g)

)

a b a α β − + + − =

(22)

(

P(b)f '(b),g(b)

) (

f,Pg'

)

(

f,

( )

Pg' '

)

dx

(

f,Q(x)g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g)

)

b a b a b a − + − β α + − =

(2.3.7) elde edilir. Başlangıç koşulu (2.1.2) den ,

(

f(a),g[1](a)

)

=0 olduğundan (2.3.7) denklemi

(

Af,g

)

(

P(b)f'(b),g(b)

) (

f(b),P(b)g'(b)

)

(

f,

( )

Pg' '

)

dx b

(

f,Q(x)g

)

dx

(

P(b)U (f),U (g)

)

a b a α β − + − + − =

şeklinde bulunur.(2.2.10) denkleminden y'(b) yerine konularak

(

)

[

]

[

]

(

)

(

)

(

)

− + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = b a g U f U b P dx g x Q Pg f g U g U b P f U g U f U f U b P g Af ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ' ' 1 1 1 1 1 1 α β β α α α β α α α α β α β

(

( ) ( ), ( )

)

(

( ) ( ), ( )

)

(

( ) ( ), ( )

)

1 1 1 1 P bU f U g P bU f U g P bU f U g α α α β α α α β α β + + − =

(

)

+

(

(

− +

)

)

(

)

b a g U f U b P dx g x Q Pg x f g U f U b P( ) ( ), ( ) ( ), ( ')' ( ) ( ) ( ), ( ) α β β α (2.3.8)

elde edilir.(2.3.8)’i düzenlediğimizde

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

( ) ( ), ( ) ( ) ( )

)

(

( ) ( ), ( )

)

) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( , ' ' 1 ' ' 1 ' ' g U f U b P dx g x Q Pg x R x f x R g U f U b P dx g x Q Pg x R x R x f g U f U b P dx g x Q Pg x f g Af b a b a b a β α β α β α − + + − = − + + − = − + + − =

− − buluruz. Buradan

(

) (

=

b

)

=

(

a Ag f d x Ag x f g Af, ( ), ( ) µ ,

)

olduğu görülür. Böylece (2.3.3) denklemi sağlanmış ve A operatörünün simetrik operatör olduğu gösterilmiş olur .

A’nın alttan sınırlı olduğunun gösterilmesi

) (y

l diferansiyel ifadesinin katsayıları ve sınır koşulundaki sayılar reel olduğundan dolayı operatörü reeldir (Naimark, 1968).Yani;

H H

(23)

iken ) ( ) ( ) ( A D y U x y ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α

(

)

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( 1 ' ' 1 ' ' y U x y A y U x y A y U y x Q x y P x R y U y x Q x Py x R y U x y A α α β β α ve ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A D y U x y y U x y ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α α

olur. Böylece A’nın alttan sınırlı olduğunu göstermek için, bu operatörün ye ait olan bileşenleri reel değerli fonksiyonlar olan vektörleri için göstermemiz yeterlidir.

) (A D

A ‘nın alttan sınırlı olduğunu, yani yD(A) için

(

Ay,y

)

≥−γ(y,y) olacak şekilde sabit γ sayısının varlığını gösterelim.

(2.3.2) denkleminden ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ) ( ) ( y U x y y α ) (A D iken

(

)

(

(

)

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ' ' 1 y U x y y U x y x Q x y x P x R y Ay α β =

b

(

(

(

(

)

+

)

)

)

(

)

(2.3.9) a y U y U b P dx x y x y x Q x y x P x R x R( ) 1( ) ( ) ( )' ' ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) α β şeklinde yazılır. ) ( ' ) ( ) (y 1y b 2y b Uβ =β −β ve ) ( ) (y 1y b Uα

(24)

(

)

=−

(

)

+

(

)

+

b

(

)

a b a b a P x y x y x dx Q x y x y x dx x y x y x P y Ay, ( ) ( )', ( ) ( ) ( )', ( )' ( ) ( ), ( ) −

(

P(b)

[

β1y(b)−β2y'(b)

]

1y(b)

)

(2.3.10) bulunur. (2.1.2) koşulundan ,

(

y[1](a),y(a)

)

=0 olur. Böylece (2.310) denklemi

(

)

=−

(

) (

+

b

)

+

(

)

a b a dx x y x y x Q dx x y x y x P b y b y b P y Ay, ( ) '( ), ( ) ( ) ( )', ( )' ( ) ( ), ( )

(

( ) ( ), ( )

)

(

( ) '( ), ( )

)

2 1 1 1β P b y b y b α β P b y b y b α + − (2.3.11) şeklinde olur. α1β2 =1olduğundan dolayı (2.3.11) denklemi

(

Ay,y

)

(

P(x)y(x)',y(x)'

)

dx

(

Q(x)y(x),y(x)

)

dx 1 1

(

P(b)y(b),y(b) b a b a β α

+

− =

)

(2.3.12)

şeklinde bulunur. ∀y için (P(x)y,y)≥0 ve α1β1 <0 olduğundan (2.3.12) denklemi

(

) (

b

)

a dx x y x y x Q y Ay, ( ) ( ), ( ) 2 [ ], 2 2ab H L y y γ γ ≥− − ≥

şeklinde yazılabilir.Burada maxQ(x)

b x a≤ ≤ = γ . Böylece

(

Ay,y

)

≥−γ

(

y,y

)

bulunmuştur. Yani A’nın alttan −γ sayısı ile sınırlı olduğu gösterilmiştir.

A Operatörünün Esaslı (essential) Kendine-eş Operatör Olduğunun Gösterilmesi

A operatörünün esaslı (essential) kendine-eş operatör olduğunu göstermek için A’nın her yerde yoğun olduğunu göstermeliyiz.

A

,

λ ’nın alt sınırından küçük T’nin özdeğeri olmayan, herhangi bir reel sayı olsun. Bu durumda (A−λI)D(A) ’nın kapanışının (A−λI)D(A)=H olduğunu gösterelim.

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n v v v v u u u u M M 2 1 2 1

, olmak üzere H sabit tutulmuş herhangi bir eleman olsun.

v u ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

(25)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 A D b f x f f U x f ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α α

keyfi eleman iken,

(

)

(

(

)

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − v u b f b f b f f T x R v u b f x f I A , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( 1 ' 2 1 1 1 β β λα λ α λ

(

)

(

R x R x T f u

)

dx

(

P b

(

f b f b f b v

)

b a , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ' 1 2 1 1 λ + β β +λα =

)

(

)

(

− ( ) ,

)

+

(

− ( )

(

( )+ ( )

)

,

)

=0 =

T R x f u dx P b U f U f v b a α β λ λ (2.3.13)

eşitliğinin sağlandığını varsayalım. Keyfi fD(T) iken (2.3.13) de

(

)

(

P(b)Uβ(f)+λUα(f),v

)

=0 (2.3.14) koşulu sağlandığında

(

)

(

)

− = b a dx u f x R T λ ( ) , 0 (2.3.15)

elde edilir. T = T∗ olduğundan

(

T−λR(x)

)

D(L)=L2,R

[ ]

a,b şeklindedir. Böylece (2.3.15)’e göre

0 ) (x =

u

bulunur. Bunu (2.3.13) te göz önüne alırsak

(

)

(

P(b)Uβ(f)+λUα(f),v

)

=0

olur. ( ) keyfi eleman olduğundan ) ( ) ( 1 A D b f x f ∈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α

(

Uβ(f)+λUα(f)

)

≠0

olacak şekilde f(x)fonksiyonu vardır. Bundan dolayı (2.3.14) den v=0bulunur. Buradan

H A D I A− ) ( )= ( λ olduğu görülür.

(26)

γ

λ<− iken

(

− I −1 simetrik operatörünün sınırlı,

A λ

)

H’da her yerde yoğun kümede tanımlı

olduğunu dikkate alalım. Bilinen Rellich Teoremine (Hellwig, 1967) göre

operatörünün kapanışı kendine eş operatördür. Bu ise A’ nın kapanışının kendine eş olduğunu kanıtlar. Yani A esaslı (essential) kendine eş operatördür.

(

− I

)

−1

A λ

2.4 Özfonksiyonlara Göre Açılım

Önce A’nın kendine eş operatör olduğunu gösterelim. Bunun için Weidman (1987) çalışmasında olduğu gibi aşağıdaki şekilde A1 operatörünü tanımlayalım

{

y D T y b

}

iken A D( ) ( ) [1]( ) 0 1 = ∈ = her ∀yD(A1) için ) ( 1y l y A =

olsun. Daha önce tanımladığımız kendine-eş T operatörünün spektrumunun sadece aşağıdaki forma sahip özdeğerlerden oluştuğu bilinmektedir.

... ... ... 2 1 ≤λ ≤ ≤ ≤λn ≤ λ =∞ ∞ → n n λ lim .

Bu ise T ’nin esaslı(essential) spektrumunun yani σe(T )’nin boş küme olduğunu gösterir.

T ve

A operatörleri operatörünün sonlu boyutlu genişlemeleridir. Yani ve

kümeleri modülüne göre sonlu boyutludurlar. Başka bir deyişle ve sonlu boyutlu alt uzaylar olmak üzere ve sırasıyla

1 A D(A) D(T) ) (A1 D M1 M2 ) (A D D(T) 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( M A D T D M A D A D + = + =

şeklinde gösterilebilir. Burada

) ( ) ( ) (A1 M1 D A1 M2 boş küme D ∩ = ∩ =φ

şeklindedir. Aşağıdaki bilinen teoremi ifade edelim.

Teorem 2.1 Kapalı operatörün her sonlu boyutlu genişlemeleri de kapalı operatördür.

İfade ettiğimiz teoreme göre A kapalı operatördür. A’nın kapanışının kendine eş olduğunu yani esaslı (essential) kendine eş olduğunu göstermiştik.

(27)

Bilinen teoreme göre (Birman and Solonyak, 1987, Glazman, 1965), kapalı operatörün esas spektrumu ile bu operatörün her sonlu boyutlu genişletilmesinin esas spektrumu çakışır. Buna göre ) ( ) (A e T e σ σ =

olur. σe(T)=φ olduğundan σe(A)=φ olur.

Esas spektrumu boş küme olan her kendine eş operatörün spektrumu saf ayrıktır (Akhiezer, Glazman, 1987). Buna göre alttan sınırlı A operatörünün spektrumu, yığılma noktası sadece artı sonsuz olan, özdeğerlerden ibarettir. Bu özdeğerleri aşağıdaki şekilde yazalım.

... ... ... 2 1 ≤µ ≤ ≤ ≤µn ≤ µ , =∞ ∞ → n n µ lim

Bu aynı zamanda A’nın üstten sınırsız olduğunu gösterir. µi

(

i=1,2,...,n..

)

özdeğerlerine karşılık gelen n bileşenli ortanormal özvektörleri

),... ( ),..., ( ), ( 2 1 x ϕ x ϕn x ϕ (2.4.1)

ile gösterelim. Burada şeklinde tanımlanır. Belli teoreme göre (Akhiezer,

Glazman, 1987; Kato, 1980) (2.4.1) vektörler sistemi H uzayının bir bazıdır. Bununla biz aşağıdaki teoremi ispatlamış oluruz.

∀ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ) ( . ) ( ) ( ) ( 2 1 x x x x in i i i ϕ ϕ ϕ ϕ

Teorem 2.2 H keyfi bir vektör olsun. Bu taktirde

x f x f x f x f n ∈ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ( . ( ) ( ) ( 2 1

∞ = = 1 ) ( k k k a x f ϕ (2.4.2)

eşitliği doğrudur. Burada

(

)

= = b a k k R x f x x dx k a ( ) ( ),ϕ ( ) , 1,2,...

(28)

şeklinde tanımlanır. (2.4.2) eşitliğindeki seri f(x)’ e µ(x) ölçümüne göre ortakuadratik anlamda yakınsadığından 0 ) ( lim 2 1 = −

= ∞ → f a d x b a N k k k N ϕ µ

olur. Gelenekliğe dayanarak (Friedman, 1956; Hochstad, 1989; Walter, 1973) Teorem 2.2’nin özel halini ifade edelim.

Teorem 2.3 uL2,R

[

a,b

]

herhangi bir vektör, ϕ~ ise k ϕk ‘nın

[

a, ’ye kısıtlaması olsun. Bu b

)

taktirde

(

)

= = b a k k R x u x x dx k b ( ) ( ),ϕ ( ) , 1,2... olmak üzere

∞ = = 1 ~ k k k b u ϕ (2.4.3) ve

( )

(

)

∞ = = 1 , 1 ). ( ) ( ~ 0 k k k U b P x ϕ ϕ α (2.4.4)

eşitlikleri sağlanır. (2.4.3) serisi u(x)’e L2,R

[ ]

a,b anlamında yakınsaktır. Ek olarak

(

)

∞ = = 1 1 ) ( , 1 ). ( ) ~ ( k k k U b P Uα ϕ α ϕ (2.4.5)

sağlanır. Burada 1, n bileşenli birim vektördür. İspat Teoremi ispatlamak için

{ }

b x b x a u U x u u = < ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = ) ( ) ( α ve

[

)

{ }

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⊂ = M M b M b a M b P dx x R d , ) ( ) ( µ

Referanslar

Benzer Belgeler

Anatomi sınavları ile ilgili olarak, öğrencilerin %45.6’sı teorik sınav sorularının derslerin içeriği ile uyumlu olduğunu, %74.7’si pratik sınav sorularının

Uluabat Gölü’nün sahip olduğu jeolojik yapı özelliklerine bağlı olarak göl çevresinde kurulma imkanı bulmuş güneybatıda yer alan Mustafakemalpaşa Çayı,

böyle söyler, bir başkası gelir başka türlü ister demedim bir Bakan gelir böyle ister ve diğer bir Bakan gelir başka şekilde isteyebilir) gibi tahrifli itiraf ve

Sınır De÷er Problemlerine öncelikle uzun bir süre boyunca Laplace Denkleminin harmonik çözümlerini bulmak amacıyla Dirichlet Problemi olarak çalıúılmıútır

2011 年 CPR 訓練 校內活動 張貼人:秘書室 ╱ 公告日期: 2011-03-18 2011 年 CPR 技術訓練 「 CPR 全校化」在北

İşte şu acı hakikati kaydet­ mek isterim ki, bazı kitabçdar zavallı Mahmut Yesarinin elin­ den 15 İraya kadar roman aldılar.. Evet, rakamda bir hata olduğunu

Birçok farklı araştır- macı, klasik panik olgularına kıyasla, uyku panik bozuk- luğu olgularında kliniğin daha ciddi, daha ağır, gün boyu atak sıklığının daha

Çal›flmada, iki gruba ayr›lan deneklere kafeinli ve kafeinsiz kahveyle birlikte, kahve yapma makineleri verilmifl ve bunlarla, tarif edilen biçimde ve söylenen miktarlarda