T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KESİRLİ İNTEGRAL VE TÜREVLERİ ÜZERİNE
Raad Ali AMEEN
DOKTORA TEZİ Matematik Anabilim Dalı
Temuz-2019 KONYA Her Hakkı Saklıdır
Raad Ali AMEEN tarafından hazırlanan “KESİRLİ İNTEGRAL VE TÜREVLERİ ÜZERİNE” adlı tez çalışması 19/07/2019 tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Jüri Üyeleri
Başkan
Prof.Dr. Fatma AYAZ Danışman
Dr. Öğr. Üyesi Hasan KÖSE Üye
Doç. Dr. Ozan ÖZKAN Üye
Doç. Dr. Tuncer ACAR Üye
Dr. Öğr. Üyesi Dumitru BALEANU
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. Mustafa YILMAZ FBE Müdürü
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all materials and results that are not original to this work.
Raad ali AMEEN Tarih: 23/07/2019
iv
ÖZET DOKTORA TEZİ
KESİRLİ İNTEGRAL VE TÜREVLERİ ÜZERİNE
Raad Ali AMEEN
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Hasan KÖSE
2019, 112 Sayfa Jüri
Dr. Öğr. Üyesi Hasan KÖSE Prof.Dr. Fatma AYAZ Doç. Dr. Ozan ÖZKAN
Doç. Dr. Tuncer ACAR Dr. Öğr. Üyesi Dumitru BALEANU
Bu tezde ilk olarak, diferansiyel denklemler için sürekli türevlenebilir fonksiyonların belirli bir genelleştirilmiş kesirli türevi (Caputo-Katukampola) ile bazı Cauchy problemler çalışılmıştı. Cauchy problemlerine karşılık gelen ikinci tip lineer olmayan Volterra integral denklemleri sunulmuştur. Banach sabit nokta teoremlerini kullanarak, düşünülen Cauchy probleminin çözümünün varlık ve tekliği elde edilen sonuçlara dayanarak ispatlanmıştır.
Bu tezin ikinci amacı ise çekirdek fonksiyonuna bağımlı genelleştirilmiş kesirli türevinin bir sınıfının çerçevesinde gecikmeli kesirli diferansiyel denklemlerin Ulam-Hyers kararlılık ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılık teorisini genişletmektir. Bahsedilen tür gecikmeli genelleştirilmiş Caputo kesirli diferansiyel denklemlerin Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias anlamında kararlı olması için gerekli olan koşulları araştırılmıştır. Elde edilecek sonuçları göstermek için bazı örnekler sunulmuştır.
Tezin üçüncü amacı, ayrık ve sürekli kesirli operatörlerin Laplace dönüşümlerini incelemektir. Bu tez altı bölüm içerir. İlk bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölümde ise konunun temel öğeleri olarak, kesirli analiz ve kesirli operatörler ele alındıştır. Bu çalışmanın orjinal kısımları üçüncü, dördüncü ve beşinci kısımda görülmektedir. Elde edilen sonuçlara dayanarak, Genelleştirilmiş Caputo kesirli türevleri çerçevesinde kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliği üçüncü kısımda, gecikmeli kesirli diferansiyel denklemler için Ulam kararlılığı ise dördüncü kısımda ispatlanmıştır. Ayrıca beşinci kısımda hem ayrık hem sürekli kesirli operatörler için Laplace dönüşümü incelenmiştir. Son kısımda ise Ulam-Hyers karalılık ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılıkla ilgili sonraki çalışmalarda yapılabilecek bazı önerilere yer verilmektedır.
Anahtar Kelimeler: Ayrık Laplace dönüşümü, Cauchy problemi, Varlık ve Teklik,
v
ABSTRACT Ph.D THESIS
ON THE FRACTIONAL INTEGRAL AND DERIVATIVE
Raad Ali AMEEN
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATİC
Advisor: Assist. Prof. Dr. Hasan KÖSE
2019, 112 Pages Jury
Assist. Prof. Dr. Hasan KÖSE Prof.Dr. Fatma AYAZ Assoc. Prof. Dr. Ozan ÖZKAN
Assoc. Prof. Dr. Tuncer ACAR Assist. Prof. Dr. Dumitru BALEANU
In this thesis firstly, Cauchy problems for differential equations with the generalized Caputo-Katugampola fractional derivative in the space of continuously differentiable functions are studied. Nonlinear Volterra type integral equations of the second kind corresponding to the Cauchy problem are presented. Using Banach fixed point theorem, the existence and uniqueness of solution to the considered Cauchy problem is proven based on the results obtained.
Second objective of this thesis is to extend Ulam-Hyers stability and Ulam-Hyers-Rassias stability theory to differential equations with delay and in the frame of a certain class of a generalized Caputo fractional derivative with dependence on a kernel function. We discuss the conditions such delay generalized Caputo fractional differential equations should satisfy to be stable in the sense of Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias. To demonstrate our results some examples are presented.
A third aim of this thesis is to study the Laplace transforms for fractional operators.
This thesis involves six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, fractional analysis and fractional operators have been dealt with as a fundamental of the subject. The original parts of this study appear in Chapters three, four and five. Existence and uniqueness of solutions to fractional differential equations in the frame of generalized Caputo fractional derivatives in Chapter 3, Ulam Stability for Delay Fractional Differential Equations with a Generalized Caputo Derivative in Chapter 4 and we also investigated the Laplace transform for fractional discrete and continuous operators in Chapter 5. The last Chapter involves some remarks and the future works related to the Ulam-Hyers stability and Ulam-Hyers-Rassias stability.
Keywords: Cauchy problem, Dıscrete Laplace Transform, Existence and uniqueness, Generalized Caputo fractional derivatives, Ulam-Hyers stability, Ulam-Hyers-Rassias stability.
vi
ÖNSÖZ
Bu tez çalışmasının başından sonuna kadar her aşamasında benden yardımlarını esirgemeyen, beni yönlendiren değerli tez danışmanım Dr. Öğr. Üyesi Hasan KÖSE’ye teşekkür ediyorum.
Ayrıca gerek ders aşamasında gerekse tez aşamasında desteğini hep hissettiğim, fikirlerinden yararlandığım ikinci tez danışmanım Prof. Dr. Fahd JARAD’ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Bu günlere gelmemde büyük pay sahibi olan anlayışları, sevgileri sabırlarıyla destekleyen, yüreklendiren ve motive eden eşim Fidan KASSAB’a, anneme, kardeşlerime ve çocuklarım Elaf, Ali ve Mustafa’ya içtenlikle teşekkür ederim.
Doktora yaptığım süre içerisinde tüm ders aldığım ve tanıştığım öğretim üyelerine teşekkür ediyorum.
Son olarak, bana bu fırsatı sağladığı için Irak Eğitim Bakanlığı’na teşekkür ediyorum.
Raad Ali AMEEN KONYA-2019
vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii ÇİZELGELERİN LİSTESİ ... ix SİMGELER VE KISALTMALAR ... x 1. GİRİŞ ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ... 3 2.1. Kesirli Analiz ... 6 2.1.1. Gamma fonksiyonu ... 7 2.1.2. Beta fonksiyonu ... 9 2.1.3. Lebesgue uzayı ... 9 2.1.4. Mittag-Leffler fonksiyonu ... 10 2.2. Kesirli Operatörler ... 12
2.2.1. Riemann-Liouville kesirli integral operatörü ... 12
2.2.2. Riemann-Liouville kesirli türev operatörü ... 12
2.2.3. Caputo kesirli türev operatörü ... 17
2.2.4. Hadamard kesirli operatörleri ... 20
2.2.5. Caputo-Hadamard kesirli operatörleri ... 25
2.2.6. Genelleştirilmiş kesirli operatörler (Bir 𝒇 fonksiyonun başka bir 𝒈 fonksiyonu aracılığıyla kesirli operatörleri) ... 26
2.2.7. Katugampola kesirli operatörleri ... 32
2.2.8. Caputo - Katugampola kesirli türev operatörü ... 33
3. CAPUTO – KATUGAMPOLA ÇERÇEVESİNDE KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN VARLIK VE TEKLİĞİ ... 34
3.1. Yardımcı Sonuçlar ... 34
3.2. Cauchy Probleminin Çözümünün Varlık ve Tekliği ... 38
4. GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREV İLE GECİKMELİ KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN ULAM KARARLILIK ... 47
4.1. Varlık ve Teklik Sonuçları ... 52
4.2. Ulam –Hyers Kararlılığı ... 54
4.3. Ulam-Hyers-Rassias Kararlılığı ... 59
viii
5. KESİRLİ OPERATÖRLER İÇİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ ... 65
5.1. (Sürekli) Kesirli Operatörlerin Laplace Dönüşümü ... 65
5.2. Genelleştirilmiş Kesirli Operatörler ve Laplace Dönüşümleri ... 66
5.3. Ayrık kesirli operatörler ve Laplace dönüşümleri ... 71
5.3.1. Ayrık kesirli operatörlerin Laplace dönüşümü ... 71
5.3.2. Ayrık Laplace dönüşümleri ... 75
5.3.3. Temel Fonksiyonların Ayrık Laplace Dönüşümleri ... 85
6. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 96
6.1. Sonuçlar... 96
6.2. Öneriler ... 96
7. KAYNAKLAR ... 97
ix
ÇİZELGELERİN LİSTESİ
Çizelge No Sayfa No Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonunun bazı sayısal değerleri...8 Çizelge 5.1. Ayrık Laplace dönüşümü’nün listesi………..……….94 Çizelge 5.2. Ayrık Laplace dönüşümü’nün listesi ……….…….95
x
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklama Γ(𝑛) Gamma fonksiyonu 𝛽(𝑚, 𝑛) Beta fonksiyonu 𝐿𝑝[𝑎, 𝑏] Lebesgue uzayı 𝐸𝛼(𝑧) Mittag-Leffler fonksiyonu
𝐼𝑎𝛼 Riemann-Liouville kesirli integrali
𝐷𝑎𝛼 Riemann-Liouville kesirli türevi
𝐷𝛼 𝑎
𝐶 Caputo kesirli türevi
𝒥𝛼
𝑎 Hadamard kesirli integrali
𝐷𝛼
𝑎 Hadamard kesirli türevi
𝐷𝛼 𝑎
𝐶 Caputo–Hadamard kesirli türevi
𝐼,𝑔𝑓(𝑥)
𝑎 𝑓 fonksiyonun 𝑔 fonksiyonuna göre kesirli integrali
𝐷,𝑔𝑓(𝑥)
𝑎 𝑓 fonksiyonun 𝑔 fonksiyonuna göre kesirli türevi
𝐼𝛼,𝜌
𝑎 Katugampola kesirli integralleri
𝐷𝛼,𝜌
𝑎 Katugampola kesirli türevleri
𝐷𝛼,𝜌
𝑎
𝐶 Katugampola Caputo kesirli türevi
ℒ𝑑 Ayrık Laplace dönüşüm
1. GİRİŞ
Türev ve integral operatörleri genel olarak matematiksel modellerin temelini oluşturmakta ve aynı zamanda doğal ve yapay sistemlerin çalışma prensiplerini anlamada araç olarak kullanılmaktadır. Bu yüzden türev ve integral operatörlerine olan ilgi, konunun daha da derinlemesine incelenerek, tamsayı mertebeli hallerinin genelleştirilmiş hali olan kesirli türev ve kesirli integral operatörlerinin bulunmasını sağlamıştır. Bu operatörlere olan merak 1695’te L’Hospital’in Leibniz’e sorduğu “Bir 𝑓 fonksiyonu 𝑛 tamsayılı mertebeden türevini tanımladın peki 𝑛 =1
2 olduğunda 𝑑𝑛𝑓 𝑑𝑥𝑛 kavramının bir anlamı var mı? ” sorusu ile başlamıştır ve böylece kesirli analizin temelleri atılmış dır (Oldham ve Spanier, 1974). Leibniz’ den sonra Liouville, Riemann, Weyl, Fourier, Laplace, Lagrange, Euler, Abel, Grunwald, Letnikov, Lacroix gibi birçok ünlü matematikçi de bu konu üzerinde çalışmıştır.
Kesirli analiz, reel veya kompleks mertebeden türev ve integrallerin çalışıldığı bir matematik dalıdır. Günümüzde kesir mertebeli türev, integral ve bunları içeren denklemler fizik, kimya, elektrik ve elektronik, termodinamik, kontrol teorisi gibi pek çok alanda kullanılmaktadır. Konunun çeşitli uygulamalarda gösterdiği potansiyel ile son kırk yıldır popülaritesi ve önemi artmıştır. Bu yüzden yeterince farklı uygulamaları görülmektedir (Podlubny,1999; Samko ve ark., 1993; Hilfer, 2000; Lorenzo ve Hartley, 2002; Kilbas ve ark., 2006; Magin, 2006; Machado ve ark., 2011).
Kesirli analizin en ilginç özelliği ise çoğu operatörü içermesidir. Bu durum, bir araştırmacının gerçek dünya problemindeki dinamikliği tanımlamak için en uygun operatörü seçebilmesini sağlar. Dolayısıyla gerçek dünya olaylarının daha iyi tanımlanması adına, bazı bilim insanları Dirac Delta foksiyonlarının yardımıyla limit çalışarak, kesirli operatörlerdeki çekirdek fonksiyonunun karmaşıklığını giderme ihtiyacıyla veya doğa olaylarına her seferinde daha iyi sonuçlar bulmak için kullanılan diğer kesirli operatörlerin gerektirdiklerini ortaya koyma ihtiyacı ile yeni kesirli operatörler keşfetmelerini sağlamıştır. Bu araştırmacılar tekil olmayan çekirdek fonksiyonuna sahip yeni kesirli operatörleri ortaya çıkardı (Caputo ve Fabrizio, 2015; Atangana ve Baleanu, 2016; Yang ve ark., 2016). Diğer farklı tipteki yeni kesirli türevler (da Vanterler ve ark., 2016; da Vanterler ve ark., 2018; Oliveria ve ark., accepted for publication) de bulunmaktadır. Bu tezde yeni kesirli operatörlerden biri olan Hadamard kesirli operatörlerinden de bahsedildi ve bu kesirli operatörler uygun
türevler aracığıyla üretildi (Hilfer, 2000; Kilbas, 2001; Lorenzo ve ark., 2002; Katugampola, 2011).
Bu üretilen kesirli operatörler aracılığıyla örneğin; sönümleme yasası, difüzyon süreçleri ve fraktallar gibi konular daha iyi tanımlanabilmektedir ve bu durum günümüzde kesirli analize ve kesirli mertebeden diferansiyel denklemlere olan ilgiyi artırmıştır.
Diğer taraftan çözümlerin varlık ve tekliği, diferansiyel denklemlerin en önemli nitelikleri arasındadır ve birçok araştırmacı kesirli türevleri içeren diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliğini ele almıştır (Daftardar-Gejji ve Jaffari, 2007; Delbosco ve Rodino, 1996; Abdeljawad ve ark., 2008; 2018; Adjabi ve ark., 2016).
Aynı şekilde çözümlerin karalılığı, diferansiyel denklemlerin bir diğer önemli niteliğidir ve birçok araştırmacı kesirli türevleri içeren diferansiyel denklemlerin çözümlerinin kararlılığını da ele almıştır (Rus, 2010; Wang ve Zhou, 2011; Benchohra ve Lazreg, 2015).
Tüm bunlardan hareketle hazırlanan bu tez çalışmasının, ilk bölümünde kesirli türev ve integral kavramları hakkında kısa bir giriş yapılmış, ikinci bölümünde çalışmamızda kullanacağımız bazı temel tanımlara, teoremlere yer verilmiş ve öncelikle Riemann-Liouville integral ve türev operatörleri ile Caputo türev operatörü olmak üzere kullanacağımız diğer tipteki kesirli operatörlerde tanıtılmıştır. Ayrıca bunların genel bazı özelliklerine değinilmiştir.
Üçüncü bölümde, Genelleştirilmiş Caputo kesirli türevi aracılığıyla kesir mertebeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekliği incelenmiş, dördüncü bölümde ise gecikmeli kesirli diferansiyel denklemlerin çözümleri için genelleştirilmiş Caputo kesirli türevi ile Ulam karalılığından bahsedilmiştir ve beşinci bölümde, Riemann-Lioville kesirli operatörler ve Caputo kesirli türev için Laplace dönüşümünü ele almakla beraber kesirli ayrık operatörleri tanımlayıp, onlar için uygun Laplace dönüşümünü inceleyeceğiz.
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1: (Bayraktar, 2006)
𝑋 boş olmayan bir küme olsun. Eğer 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ fonksiyonu ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için
a) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦 (2.1)
b) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) (2.2)
c) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) (2.3)
koşullarını sağlarsa, 𝑑 ye 𝑋 üzerinde bir metrik ve (𝑋, 𝑑) ikilisine de bir metrik uzay denir.
Tanım 2.2: (Bayraktar, 2006)
(𝑋, 𝑑) metrik uzayında herhangi bir dizi (𝑥𝑛)𝑛∈Ν olsun. Eğer her 𝜀 > 0 sayısına
karşılık 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 olduğunda 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜀 olacak şekilde 𝜀 sayısına bağlı bir 𝑛0(𝜀) ∈ Ν sayısı varsa (𝑥𝑛) dizisine Cauchy dizisi denir.
Tanım 2.3: (Bayraktar, 2006)
Eğer (𝑋, 𝑑) metrik uzayı içindeki her Cauchy dizisi, bu uzayda bir noktaya yakınsıyor ise (𝑋, 𝑑) metrik uzayına tam metrik uzay denir (Bayraktar, 2006).
Tanım 2.4: (Bayraktar, 2006)
𝑋 bir lineer uzay olsun. ‖. ‖: 𝑋 → ℝ fonksiyonunun 𝑥 deki değerini ‖𝑥‖ ile gösterelim. Bu fonksiyon aşağıdaki şartları sağlarsa, ‖. ‖ gösterimine 𝑋 uzayı üzerinde bir norm denir. (𝑋, ‖. ‖) ikilisine de normlu uzay adı verilir.
a) ‖𝑥‖ = 0 ⟺ 𝑥 = 0 (2.4)
b) 𝛼 ∈ ℝ olmak üzere ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖ (2.5)
c) ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ (2.6)
(𝑋, ‖. ‖) bir normlu uzay olsun. 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ , 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖ şeklinde tanımlanan 𝑑 bir metriktir. Bu metriğe norm metriği denir. Dolayısıyla her normlu uzay bir metrik uzaydır.
Tanım 2.5: (Bayraktar, 2006)
(𝑁, ‖. ‖) normlu lineer uzay olsun. 𝑁, norm metriğine göre tam ise 𝑁 ye Banach
uzay denir.
Tanım 2.6: (Türkoğlu ve Altun, 2007)
(𝑋, ‖. ‖) bir normlu uzay, 𝑈 ⊂ 𝑋 kapalı bir küme ve 𝐴: 𝑈 → 𝑈 bir dönüşüm olsun. Her 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 için;
‖𝐴𝑥 − 𝐴𝑦‖ ≤ 𝛼‖𝑥 − 𝑦‖ (2.7)
olacak şekilde 0 ≤ 𝛼 < 1 sayısı varsa, 𝐴 operatörüne 𝑈 üzerinde daralma operatörü denir.
𝐴𝑢∗ = 𝑢∗ olacak şekilde 𝑢∗ ∈ 𝑈 varsa, u∗ vektörüne 𝐴 operatörünün 𝑈 üzerinde sabit noktası denir.
Teorem 2.1: (Türkoğlu ve Altun, 2007; Soykan, 2008) (Daralma Dönüşüm Prensibi)
(𝑋, ‖. ‖) Banach uzayının 𝑈 ⊂ 𝑋 kapalı kümesinde 𝐴: 𝑈 → 𝑈 daralma operatörünün bir tek 𝑢∗ ∈ 𝑈 sabit noktası vardır ve her bir 𝑢
0 ∈ 𝑈 başlangıç noktası
verildiğinde, ardışık olarak (iterasyonla) her 𝑛 ∈ 𝑁 için
𝑢𝑛 = 𝐴(𝑢𝑛−1), 𝑛 = 1,2, … (2.8)
şeklinde tanımlanan (𝑢𝑛) iterasyon dizisi, 𝐴, bu sabit 𝑢∗ noktasına yakınsar ve
‖𝑢𝑛− 𝑢∗‖ ≤ 𝛼
∗
1 − 𝛼‖𝑢1− 𝑢0‖ (2.9)
eşitsizliği doğrudur.
Teorem 2.2: (Türkoğlu ve Altun, 2007)
(𝑋, ‖. ‖) Banach uzayının 𝑈 ⊂ 𝑋 kapalı kümesi için 𝐴: 𝑈 → 𝑈 şeklinde bir dönüşüm ve bir 𝑛 ∈ 𝑁 için 𝐴𝑛 operatörü 𝑈 üzerinde daralma operatörü olsun. Bu
durumda, 𝐴 operatörünün bir tek 𝑢∗ ∈ 𝑈 sabit noktası vardır.
Teorem 2.3: (Gambo ve ark., 2018) ( Banach sabit nokta teoremi )
(X, d) boş olmayan bir tam metrik uzay olsun ve 0 ≤ λ < 1 alalım. Eğer her 𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 için 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 tanımlıysa ve
𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝜆𝑑(𝑥, 𝑦) (2.10)
eşitsizliği sağlanıyorsa o zaman T operatörünün 𝑥∗∈ 𝑋 olacak şekilde bir tek sabit noktası (yani 𝑇(𝑥∗) = 𝑥∗'i sağlayan noktası) vardır. Ayrıca, eğer 𝑇𝑘(𝑘 ∈ ℕ) dizisi
{
𝑇𝑘 = 𝑇𝑇𝑘−1, 𝑘 ∈ ℕ ∖ {1}, 𝑇1 = 𝑇,
ifadesi ile tanımlanırsa o zaman herhangi bir 𝑥0 ∈ 𝑋 için {𝑇𝑘𝑥
0}𝑘=1𝑘=∞ dizisi yukarıdaki
𝑥∗ sabit noktasına yakınsamaktadır.
Tanım 2.7: (Gambo ve ark., 2018) (Lipschitz koşulu)
𝑚 ∈ ℕ, 𝐺 ⊂ ℝ𝑚, [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ alalım ve 𝑓: [𝑎, 𝑏] × 𝐺 → ℝ ile tanımlı bir fonksiyon olsun. Öyle ki, herhangi bir (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚), (𝑥̃1, . . . , 𝑥̃𝑚) ∈ 𝐺 için 𝑓 fonksiyonu, 𝐴𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑚 olmak üzere
|𝑓[𝑡, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚] − [𝑡, 𝑥̃1, . . . , 𝑥̃𝑚]| ≤ 𝐴1|𝑥1− 𝑥̃1| + ⋯ + 𝐴𝑚|𝑥𝑚− 𝑥̃𝑚| (2.12)
genelleştirilmiş Lipschitz koşulunu sağlar.
Özellikle, eğer 𝑓 fonksiyonu ikinci değişkene göre Lipschitz koşulunu sağlıyorsa, her 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] için ve herhangi bir 𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝐺 için
|𝑓[𝑡, 𝑥] − [𝑡, 𝑥̃]| ≤ 𝐴|𝑥 − 𝑥̃|, 𝐴 > 0 (2.13) koşuluna sahiptir.
2.1. Kesirli Analiz
Kesirli hesap, 𝑛 inci mertebeden bir fonksiyonun integralini elde etmek için bir integrale iterasyon yapmak ve daha sonra 𝑛 yi herhangi bir sayı ile değiştirmek suretiyle elde edilen kesirli integral ile ilişkilendirilerek ve sonra klasik yöntem kullanılarak bunlara karşılık gelen kesirli türevler tanımlanıştır. (Kilbas, 2001; Katugampola, 2011, 2014; Jarad ve ark. 2012; 2014; 2017; Jarad, Uğurlu ve ark., 2017)
𝐷 = 𝑑/𝑑𝑥 diferansiyel operatörü ve 𝑛 bir pozitif tamsayı olmak üzere 𝐷𝑛𝑓(𝑥)’ in anlamının 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑛’inci türevi olduğu iyi bilinmektedir. Fakat 𝑛 pozitif bir tamsayı değilse ℜ(𝛼) > 0 için 𝐷−𝛼 sembolünün veya 𝐷𝛼 sembolünün anlamını
Farklı tipte kesirli türev ve integral tanımı ve özellikleri çeşitli kaynaklarda yer almaktadır. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanlar Riemann-Liouville ve Caputo ’ nun tanımlarıdır. Kesirli analizin türevinin en genel gösterimi,
( 𝐷𝑎 𝛼𝑓)(𝑥) (2.14)
şeklindedir (Kilbas ve ark., 2006). Bu gösterim 𝛼 ∈ ℂ olmak üzere keyfi değerli kesirli
türev gösterimidir 𝑎 ise kesirli türev işleminin sınır değeridir. Kesirli mertebeden
integral anlamına gelen kesirli integral ’in gösterimi ise, ℜ(𝛼) > 0 için
( 𝐼𝑎 𝛼𝑓)(𝑥) (2.15)
şeklindedir. Bazı kaynaklarda kesirli integral 𝐷−𝛼 şeklinde de gösterilmektedir.
Tez için gerekli olan kesirli hesabın tanımlarını ve kullanımlarını anlamak için bazı matematiksel tanımları iyi bilmek gerekir, bunlar aşağıda verilmiştir.
2.1.1. Gamma fonksiyonu
Gamma fonksiyonu faktöriyel fonksiyonun genelleştirilmiş halidir diyebiliriz. Matematikte analiz, cebir gibi önemli alanlarda kullanılan bir tanımdır. Aynı gereksinim karmaşık sayılar ve tamsayı olmayan reel sayılar için duyulunca Euler Gamma
fonksiyonu 𝑛 > 0 için, aşağıdaki genelleştirilmiş integral yardımıyla tanımlanmıştır.
Γ(𝑛) = ∫ 𝑢𝑛−1𝑒−𝑢𝑑𝑢
∞
0
(2.16)
Bu ismi almasının nedeni integralin ikinci tip Euler integrali olmasından kaynaklıdır (Baltacı, 2009).
Faktöriyel fonksiyonun üstel fonksiyon ile ilgili aşağıdaki eşitliği kullanılarak
𝑛! = ∫ 𝑒−𝑢𝑢𝑛𝑑𝑢 = ∫ 𝑒−𝑢𝑢(𝑛+1)−1𝑑𝑢 = Γ(𝑛 + 1) ∞ 0 ∞ 0 (2.17)
gamma fonksiyonu ile faktöriyel fonksiyonu arasındaki ilişki özelleştirilir (Baltacı, 2009; Mathai, 2010).
Gamma fonksiyonu kesirli integral ve kesirli türev ile doğrudan ilişkilidir. Bu ilişkiler Gamma fonksiyonunun aşağıda verilen özelliklerinden faydalanılarak bulunabilir.
1) Γ(𝑛) fonksiyonuna karşılık gelen ∫ 𝑢∞ 𝑛−1𝑒−𝑢𝑑𝑢
0 integrali 𝑛 > 0 için yakınsak
olup, 𝑐 > 0 olmak üzere bu integral her [𝑐, 𝑑] sonlu aralığında düzgün yakınsaktır. 2) Tanım kümesi {𝑛: 𝑛 > 0} dır.
3) Gamma fonksiyonu 𝑛 > 0 için süreklidir.
4) Özellik (1) den dolayı 𝑛 değişkenine göre integral işareti altında türev alarak Γ(𝑛) in türevi elde edilebilir.
5) Γ(𝑛 + 1) = 𝑛Γ(𝑛), 𝑛 > 0. 6) 0 < 𝑛 < 1 için Γ(𝑛)Γ(1 − 𝑛) = 𝜋 sin 𝑛𝜋 ve 𝑛 = 1 2 için Γ ( 1 2) = √𝜋 . 7) 22𝑥−1Γ(𝑥) Γ (𝑥 +1
2) = √𝜋 Γ(2𝑥) formülüne, Gamma fonksiyonu için çoğalma formülü denir.
8) 𝛾 Euler sabiti olmak üzere Γ́(1) = ∫ 𝑒∞ −𝑥ln 𝑥 𝑑𝑥 = −
0 𝛾 dır.
Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonunun bazı sayısal değerleri 3 2
4
3
2 1 1 2 2
5 2 3 4
0 Tanımsız
3 2 1 2
7 2 15 8
1 1
4 6 3 2 2
2.1.2. Beta fonksiyonu
Beta fonksiyonu 𝛽(𝑚, 𝑛) ile gösterilir ve
𝛽(𝑚, 𝑛) = ∫ 𝑢𝑚−1(1 − 𝑢)𝑛−1𝑑𝑢 1
0
(2.18)
ile tanımlanır. Bu integral 𝑅𝑒(𝑚) > 0, 𝑅𝑒(𝑛) > 0 için yakınsaktır (Diethelm, 2010). Beta fonksiyonu ile ilgili önemli bazı özellikler şu şekilde verilebilir:
1) Beta fonksiyonu, Gamma fonksiyonuna 𝛽(𝑚, 𝑛) =Γ(𝑚)Γ(𝑛)
Γ(𝑚+𝑛) ifadesiyle bağlıdır. 2) 𝛽(𝑚, 𝑛) = 𝛽(𝑛, 𝑚), (𝑅𝑒(𝑚) > 0, 𝑅𝑒(𝑛) > 0 için) 2.1.3. Lebesgue uzayı 𝑝 ≥ 1 olsun, 𝐿𝑝[𝑎, 𝑏] ∶= {𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅; 𝑓, [𝑎, 𝑏] üzerinde ölçülebilirdir ve ∫ |𝑓(𝑥)|𝑝𝑑𝑥 < ∞ 𝑏 𝑎 }
ifadesi 1 ≤ 𝑝 < ∞ için alışılmış Lebesgue uzayıdır (Mathai, 2010). 𝐿𝑝[𝑎, 𝑏] uzayında
norm: 1 ≤ 𝑝 < ∞, 𝑓 ∈ 𝐿𝑝[𝑎, 𝑏] ise ‖𝑓‖𝐿𝑝[𝑎,𝑏]= ‖𝑓‖𝑝= (∫|𝑓(𝑥)|𝑝𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ) 1 𝑝 (2.19)
şeklindedir. Eğer f fonksiyonu sürekli ise :
p
lim ‖𝑓‖𝑝 = ‖𝑓‖∞ olur. Burada
‖𝑓‖∞ = 𝑠𝑢𝑝⏟
𝑎≤𝑥≤𝑏
ile ifade edilmektedir. Bu tez de Lebesgue uzayının aşağıdaki gösterimi kullanılmıştır, 𝑎 < 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ve 1 ≤ 𝑝 < ∞ için, ölçülebilir Lebesgue fonksiyon uzayı
𝑋𝑐𝑝(𝑎, 𝑏) = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ: ‖𝑓‖𝑋 𝑐𝑝 = (∫|𝑡 𝑐𝑓(𝑡)|𝑝𝑑𝑡 𝑡 𝑏 𝑎 ) 1/𝑝 < ∞}. (2.21) 2.1.4. Mittag-Leffler fonksiyonu 𝑧 ∈ ℂ olmak üzere, 𝐸𝛼(𝑧) ∶= ∑ 𝑧𝑘 Γ(𝛼𝑘 + 1) ∞ 𝑘=0 , 𝛼 > 0 (2.22)
ile tanımlı 𝐸𝛼 fonksiyonuna, yakınsak seri olduğunda, 𝛼 mertebeli Mittag-Leffler
fonksiyonu denir (Samko ve ark., 1993; Kilbas ve ark., 2006). Yukarıdaki gösterim,
Mittag-Leffler fonksiyonunun bir parametreli gösterimidir. 𝑧 ∈ ℂ ve 𝛼, 𝛽 > 0 olmak üzere, 𝐸𝛼,𝛽(𝑧) ∶= ∑ 𝑧 𝑘 Γ(𝛼𝑘 + 𝛽) ∞ 𝑘=0 (2.23)
ile tanımlı 𝐸𝛼,𝛽 fonksiyonuna, yakınsak seri olduğunda, 𝛼 ve 𝛽 parametreleri ile birlikte
iki parametreli (genelleştirilmiş) Mittag-Leffler fonksiyonu denir (Diethelm, 2010).
Ayrıca bir parametreli Mittag-Leffler fonksiyonlarının iki parametreli karşılıkları
biçiminde tanımlanır.
Mittag-Leffler fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir (Weilbeer, 2005): 1) Bir parametreli Mittag-Leffler fonksiyonu, her 𝑧 ∈ ℂ için yakınsaktır.
2) |𝑧| < 1 için genelleştirilmiş Mittag-Leffler fonksiyonu,
∫ 𝑒−𝑡𝑡𝛽−1𝐸 𝛼,𝛽(𝑡𝛼𝑧)𝑑𝑡 = 1 1 − 𝑧 ∞ 0 (2.25) eşitliğini sağlar.
3) |𝑧| < 1 için 𝐸𝛼(𝑧𝛼) Mittag-Leffler fonksiyonunun Laplace dönüşümü,
∫ 𝑒−𝑧𝑡𝐸𝛼(𝑧𝛼)𝑑𝑡 = 1 𝑧 − 𝑧1−𝛼 ∞ 0 (2.26) şeklindedir.
4) Özel 𝛼 değerleri için Mittag-Leffler fonksiyonu,
𝐸0(𝑧) = 1 1 − 𝑧, 𝐸1(𝑧) = 𝑒 𝑧 𝐸2(𝑧2) = cosh 𝑧, 𝐸2(−𝑧2) = cos 𝑧 (2.27) şeklinde verilir.
2.2. Kesirli Operatörler
Kesirli analizin en ilginç özelliğinden birinin, çoğu operatörü içermesi olduğundan daha önce bahsedilmiştir. Böylece bir araştırmacının gerçek dünya problemindeki dinamikliği tanımlamak için en uygun operatörü seçebilme şansı söz konusudır. İşte bu operatörlerden bizim kullanacaklarımız aşağıda verilmiştir.
2.2.1. Riemann-Liouville kesirli integral operatörü
Ω = [a, b] (−∞ < a < b < ∞) olsun:
𝛼 mertebeli soldan Riemann–Liouville kesirli integrali, 𝛼 ∈ ℂ ve (ℜ(𝛼) > 0) için aşağıda tanımlanmıştır (Kilbas ve ark.,2006).
(𝐼𝑎+𝛼 𝑓)(𝑡) = 1 Γ(𝛼)∫(𝑡 − 𝑢) 𝛼−1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑡 𝑎 (𝑡 > 𝑎; ℜ(𝛼) > 0 ) (2.28)
𝛼 mertebeli sağdan Riemann–Liouville kesirli integrali, 𝛼 ∈ ℂ ve ℜ(𝛼) > 0 için aşağıda tanımlanmıştır (Kilbas ve ark.,2006).
(𝐼𝑏−𝛼 𝑓)(𝑡) = 1 Γ(𝛼)∫(𝑢 − 𝑡) 𝛼−1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 𝑡 (𝑡 < 𝑏; ℜ(𝛼) > 0 ) (2.29)
2.2.2. Riemann-Liouville kesirli türev operatörü
𝛼 mertebeli soldan Riemann–Liouville kesirli türevi, (ℜ(𝛼) ≥ 0) için
(𝐷𝑎+𝛼 𝑓)(𝑡) ∶= 𝑑𝑛 𝑑𝑡𝑛(𝐼𝑎+ 𝑛−𝛼𝑓)(𝑡) = 𝑑𝑛 𝑑𝑡𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫(𝑡 − 𝑢) 𝑛−𝛼−1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑡 𝑎 , (𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1; 𝑡 > 𝑎) (2.30)
şeklindedir (Kilbas ve ark.,2006).
𝛼 mertebeli sağdan Riemann–Liouville kesirli türevi, ℜ(𝛼) ≥ 0 için
(𝐷𝑏−𝛼 𝑓)(𝑡) ∶= (−1)𝑛 𝑑 𝑛 𝑑𝑡𝑛(𝐼𝑏− 𝑛−𝛼𝑓)(𝑡) =(−1) 𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑡𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼) ∫(𝑢 − 𝑡) 𝑛−𝛼−1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 𝑡 , (𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1; 𝑡 < 𝑏) (2.31)
ile gösterilir (Kilbas ve ark.,2006).
Şimdi Riemann-Liouville kesirli operatörlerine ait bazı özellik ve lemmaları verelim.
Özellik 2.1. (Kilbas ve ark.,2006)
Eğer ℜ(𝛼) ≥ 0 ve 𝛽 ∈ ℂ (ℜ(𝛽) > 0) ise , o zaman
(𝐼𝑎+𝛼 (𝑡 − 𝑎)𝛽−1)(𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 + 𝛼)(𝑥 − 𝑎) 𝛽+𝛼−1, (ℜ(𝛼) > 0), (2.32) (𝐷𝑎+𝛼 (𝑡 − 𝑎)𝛽−1)(𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑥 − 𝑎) 𝛽−𝛼−1, (ℜ(𝛼) ≥ 0) (2.33) ve (𝐼𝑏−𝛼 (𝑏 − 𝑡)𝛽−1)(𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 + 𝛼)(𝑏 − 𝑥) 𝛽+𝛼−1, (ℜ(𝛼) > 0), (2.34) (𝐷𝑏−𝛼 (𝑏 − 𝑡)𝛽−1)(𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑏 − 𝑥) 𝛽−𝛼−1, (ℜ(𝛼) ≥ 0). (2.35)
Özel olarak, genelde eğer 𝛽 = 1 ve ℜ(𝛼) ≥ 0 olursa, o zaman 𝑎 sabitinin Riemann-Liouville kesirli türevi sıfıra eşit değildir.
(𝐷𝑎+𝛼 1)(𝑥) =
(𝑥 − 𝑎)−𝛼
Γ(1 − 𝛼) , (𝐷𝑏−
𝛼 1)(𝑥) =(𝑏 − 𝑥)−𝛼
Γ(1 − 𝛼) (0 < ℜ(𝛼) < 1). (2.36)
(𝐷𝑎+𝛼 (𝑡 − 𝑎)𝛼−𝑗)(𝑥) = 0, (𝐷
𝑏−𝛼 (𝑏 − 𝑡)𝛼−𝑗)(𝑥) = 0. (2.37)
Lemma 2.1. (Kilbas ve ark.,2006) a) 𝐼𝑎+α ve 𝐼
𝑏−α kesirli integral operatörleri ℜ(𝛼) > 0 için 𝐿𝑞(𝑎, 𝑏)
(1 ≤ 𝑝 ≤ ∞) uzayında sınırlıdırlar:
‖ 𝐼𝑎+𝛼 𝑓‖
𝑝 ≤ 𝐾‖𝑓‖𝑝 , ‖𝐼𝑏−𝛼 𝑓‖𝑝 ≤ 𝐾‖𝑓‖𝑝 (𝐾 =
(𝑏 − 𝑎)ℜ(𝛼)
ℜ(𝛼)|Γ(𝛼)|). (2.38)
b) Eğer 0 < 𝛼 < 1 ve 1 < 𝑝 < 1/𝛼 ise, o zaman 𝐼𝑎+α ve 𝐼𝑏−α kesirli integral
operatörleri 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) den 𝐿𝑞(𝑎, 𝑏) ’ ye sınırlıdır, burada 𝑞 = 𝑝/(1 − 𝛼𝑝) dir.
Lemma 2.2. (Kilbas ve ark.,2006)
ℜ(𝛼) ≥ 0 alalım ve 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1. Eğer 𝑦(𝑥) ∈ 𝐴𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] ise o zaman 𝐷𝑎+α 𝑦 ve 𝐷𝑏−α 𝑦 kesirli türevleri [𝑎, 𝑏] üzerinde hemen hemen her yerde vardır ve bunu aşağıdaki formda
(𝐷𝑎+𝛼 𝑦)(𝑥) = ∑ 𝑦(𝑘)(𝑎) Γ(1 + 𝑘 − 𝛼) 𝑛−1 𝑘=0 (𝑥 − 𝑎)𝑘−𝛼+ 1 Γ(𝑛 − 𝛼)∫ 𝑦(𝑛)(𝑡)𝑑𝑡 (𝑥 − 𝑡)𝛼−𝑛+1 𝑥 𝑎 (2.39) ve (𝐷𝑏−𝛼 𝑦)(𝑥) = ∑(−1) 𝑘𝑦(𝑘)(𝑏) Γ(1 + 𝑘 − 𝛼) 𝑛−1 𝑘=0 (𝑏 − 𝑥)𝑘−𝛼+ (−1)𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫ 𝑦(𝑛)(𝑡)𝑑𝑡 (𝑡 − 𝑥)𝛼−𝑛+1 𝑏 𝑥 (2.40) ifade edebiliriz.
Lemma 2.3. (Kilbas ve ark.,2006)
(𝐼𝑎+𝛼 𝐼 𝑎+
𝛽
𝑓)(𝑥) = (𝐼𝑎+𝛼+𝛽𝑓)(𝑥) ve (𝐼𝑏−𝛼 𝐼𝑏−𝛽 𝑓)(𝑥) = (𝐼𝑏− 𝛼+𝛽𝑓)(𝑥) (2.41)
denklemleri (1 ≤ 𝑝 ≤ ∞) 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) için 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] noktası üzerinde hemen hemen her yerde sağlanır. Eğer 𝛼 + 𝛽 > 1 olursa, o zaman yukardaki denklemler [𝑎, 𝑏] üzerinde herhangi bir noktada sağlanır.
Lemma 2.4. (Kilbas ve ark.,2006)
Eğer ℜ(𝛼) > 0 ve 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏), (1 ≤ 𝑝 ≤
) olursa o zaman(𝐷𝑎+𝛼 𝐼
𝑎+𝛼 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ve (𝐷𝑏−𝛼 𝐼𝑏−𝛼 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑥) (2.42)
denklemleri [𝑎, 𝑏] üzerinde hemen hemen her yerde geçerlidir.
Özellik 2.2. (Kilbas ve ark.,2006)
Eğer ℜ(𝛼) > ℜ(𝛽) > 0 olursa, o zaman , 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏), (1 ≤ 𝑝 ≤ ∞) için
aşağıdaki ilişkiler
(𝐷𝑎+𝛽 𝐼𝑎+𝛼 𝑓)(𝑥) = 𝐼𝑎+ 𝛼−𝛽
𝑓(𝑥) ve (𝐷𝑏−𝛽 𝐼𝑏−𝛼 𝑓)(𝑥) = 𝐼𝑏−𝛼−𝛽 𝑓(𝑥) (2.43)
[𝑎, 𝑏] üzerinde hemen hemen her yerde geçerlidir.
Özel olarak, 𝛽 = 𝑘 ∈ 𝑁 ve ℜ(𝛼) > 𝑘 olduğunda
(𝐷𝑘𝐼𝑎+𝛼 𝑓)(𝑥) = 𝐼𝑎+𝛼−𝑘 𝑓(𝑥) ve (𝐷𝑘𝐼𝑏−𝛼 𝑓)(𝑥) = (−1)𝑘𝐼𝑏−𝛼−𝑘 𝑓(𝑥) (2.44)
olmaktadır.
Özellik 2.3. (Kilbas ve ark.,2006) ℜ(𝛼) ≥ 0, 𝑚 ∈ 𝑁 ve 𝐷 = 𝑑
𝑑𝑥 olsun.
(𝐷𝑚𝐷𝑎+ 𝑦)(𝑥) = (𝐷𝑎+𝛼+𝑚𝑦)(𝑥) (2.45)
olur.
(b) Eğer (𝐷𝑏−α 𝑦)(𝑥) ve (𝐷𝑏−α+m𝑦)(𝑥) türevleri varsa, o zaman
(𝐷𝑚𝐷𝑏−𝛼 𝑦)(𝑥) = (−1)𝑚(𝐷𝑏−𝛼+𝑚𝑦)(𝑥) (2.46)
olur.
Özellik 2.4. (Kilbas ve ark.,2006)
> 0 ve 𝛽 > 0 olsun öyle ki 𝑛 − 1 << 𝑛, 𝑚 − 1 < 𝛽 < 𝑚 (𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁) ve
+ 𝛽 < 𝑛, ayrıca 𝑓 ∈ 𝐿1(𝑎, 𝑏) ve 𝑓𝑚−𝛼 ∈ 𝐴𝐶𝑚([𝑎, 𝑏]) olsun. O zaman aşağıdaki indeks kuralı geçerlidir:
(𝐷𝑎+𝛽 𝐷𝑎+𝛼 𝑓)(𝑥) = (𝐷𝑎+ 𝛼+𝛽 𝑓)(𝑥) − ∑(𝐷𝑎+𝛽−𝑗𝑓)(𝑎+)(𝑥 − 𝑎) −𝑗−𝛼 Γ(1 − 𝑗 − 𝛼) 𝑚 𝑗=1 (2.47)
Lemma 2.5. (Kilbas ve ark.,2006)
ℜ(𝛼) > 0 ve 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 alalım. Bir de 𝑔𝑛−𝛼(𝑥) = (𝐼𝑏−𝑛−𝛼 𝑔)(𝑥) olmak
üzere
(a) Eğer 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ ve 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼𝑏−𝛼 (𝐿𝑝) ise, o zaman
(𝐼𝑏−𝛼 𝐷𝑏−𝛼 𝑔)(𝑥) = 𝑔(𝑥). (2.48)
(b) Eğer 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿1(𝑎, 𝑏) ve 𝑔𝑛−𝛼(𝑥) ∈ 𝐴𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] olursa bu formül
(𝐼𝑏− 𝐷𝑏−𝛼 𝑔)(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ∑(−1) 𝑛−𝑗𝑔 𝑛−𝛼(𝑛−𝑗)(𝑎) Γ(𝛼 − 𝑗 + 1) 𝑛 𝑗=1 (𝑏 − 𝑥)𝛼−𝑗 (2.49)
Özel olarak, 0 < ℜ(𝛼) < 1 için
(𝐼𝑏− 𝐷𝑏−𝛼 𝑔)(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 𝑔1−𝛼(𝑎)
Γ(𝛼) (𝑏 − 𝑥)
𝛼−1 (2.50)
olur, burada 𝑔1−𝛼(𝑥) = (𝐼𝑏−1−𝛼 𝑔)(𝑥) şeklindedir. = 𝑛 ∈ 𝑁 olduğunda aşağıdaki eşitlik geçerlidir: (𝐼𝑏− 𝐷𝑏−𝛼 𝑔)(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ∑(−1) 𝑘𝑔(𝑘)(𝑏) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑏 − 𝑥)𝑘. (2.51)
2.2.3. Caputo kesirli türev operatörü
Bu bölümde Caputo kesirli türev operatörünün tanımları ve bazı özelliklerini vereceğiz (Kilbas ve ark.,2006).
ℝ, reel sayıların sonlu bir aralığı [𝑎, 𝑏] olsun. 𝛼 ∈ ℂ (ℜ(𝛼) ≥ 0 ) mertebeli Riemann- Liouville kesirli türev operatörü aracılığıyla Caputo türev operatörleri aşağıdaki gibi tanımlanır;
( 𝐷𝛼𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) ≔ ( 𝐷 𝑎 𝛼[𝑓(𝑢) − ∑ 𝑓(𝑘)(𝑎) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑢 − 𝑎)𝑘]) (𝑡) (2.52) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡): = (𝐷𝑏𝛼[𝑓(𝑢) − ∑𝑓 (𝑘)(𝑏) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑏 − 𝑡)𝑘]) (𝑡), (2.53)
burada ∉ ℕ0 için 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 ; ∈ ℕ0 için 𝑛 = , şeklindedir. Bu türevler
sırasıyla mertebeli, soldan (left-sided) ve sağdan (right-sided) Caputo kesir türev operatörleri diye isimlendirilir.
Özellikle, 0 < ℜ(𝛼) < 1 olduğunda yukarıdaki türevler aşağıdaki formda olurlar:
( 𝐷𝛼𝑓 𝑎
𝐶 )(𝑡) = ( 𝐷
𝑎 𝛼[𝑓(𝑢) − 𝑓(𝑎)])(𝑡), (2.54)
( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) = (𝐷𝑏𝛼[𝑓(𝑢) − 𝑓(𝑏)])(𝑡). (2.55)
Eğer 𝛼 = 𝑛 ∈ ℕ0 ve 𝑛_inci mertebeden klasik türev 𝑓(𝑛)(𝑡) varsa, o zaman 𝑓(𝑛)(𝑡) türevini içeren ( 𝐷𝑛𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) ve ( 𝐷 𝑏𝑛 𝐶 𝑓)(𝑡) türevleri; ( 𝐷𝑛𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) = 𝑓(𝑛)(𝑡) ve ( 𝐷 𝑏𝑛 𝐶 𝑓)(𝑡) = (−1)𝑛𝑓(𝑛)(𝑡), (𝑛 ∈ ℕ) (2.56) olmaktadır.
Teorem 2.1. (Kilbas ve ark.,2006)
∉ ℕ0 için 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 ; ∈ ℕ0 için 𝑛 = olsun ve ℜ(𝛼) ≥ 0 alalım. Eğer 𝑓(𝑡) ∈ 𝐴𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] ise, o zaman ( 𝐷𝛼𝑓
𝑎
𝐶 )(𝑡) ve ( 𝐷 𝑏𝛼
𝐶 𝑓)(𝑡) Caputo kesirli türevleri
[𝑎, 𝑏] aralığı üzerinde hemen hemen her yerde vardır.
(a) Eğer ℕ0 ise, (𝑎𝐶𝐷𝛼𝑓)(𝑡) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) ifadeleri aşağıdaki gibidir
( 𝐷𝛼𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) =: ( 𝐼𝑛−𝛼𝑓(𝑛) 𝑎 )(𝑡) = 1 Γ(𝑛 − 𝛼)∫(𝑡 − 𝑢) 𝑛−𝛼−1𝑓(𝑛)(𝑢)𝑑𝑢 𝑡 𝑎 , 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 (2.57) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) =: (𝐼𝑏𝑛−𝛼(−1)𝑛𝑓(𝑛))(𝑡) = (−1) 𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫(𝑢 − 𝑡) 𝑛−𝛼−1𝑓(𝑛)(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 𝑡 , 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1. (2.58) Özellikle, 0 < ℜ(α) < 1 ve 𝑓(𝑡) ∈ 𝐴𝐶[𝑎, 𝑏] olduğunda ( 𝐷𝛼𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) = 1 Γ(1 − 𝛼)∫(𝑡 − 𝑢) −𝛼𝑓′(𝑢)𝑑𝑢 𝑡 𝑎 =: ( 𝐼𝑎 1−𝛼𝑓′)(𝑡) (2.59)
ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) = −1 Γ(1 − 𝛼)∫(𝑢 − 𝑡) −𝛼𝑓′(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 𝑡 =: −(𝐼𝑏1−𝛼𝑓′)(𝑡) (2.60) olur ve 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1.
(b) Eğer 𝛼 = 𝑛 ∈ ℕ0 ise, o zaman (𝑎𝐶𝐷𝛼𝑓)(𝑡) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) ifadeleri (2.56)
eşitliği aracılığıyla aşağıdaki gibi olur,
( 𝐷0𝑓 𝑎
𝐶 )(𝑡) = ( 𝐷 𝑏0
𝐶 𝑓)(𝑡) = 𝑓(𝑡). (2.61)
Teorem 2.2. (Kilbas ve ark.,2006)
ℜ(𝛼) ≥ 0 ve ∉ ℕ0 için 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 ; ∈ ℕ0 için 𝑛 = alalım.
Ayrıca 𝑓(𝑡) ∈ 𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] olsun. O zaman ( 𝐷𝛼𝑓 𝑎
𝐶 )(𝑡) ve ( 𝐷 𝑏𝛼
𝐶 𝑓)(𝑡) Caputo kesirli türev
operatörleri [a, b] üzerinde süreklidirler:
(𝑎𝐶𝐷𝛼𝑓)(𝑡) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] .
(a) Eğer ∉ ℕ0 ise, o zaman (2.57) ve (2.58) denklemleriyle Caputo türevleri için aşağıdaki eşitlik sağlanır,
( 𝐷𝛼𝑓 𝑎
𝐶 )(𝑎) = ( 𝐷 𝑏𝛼
𝐶 𝑓)(𝑏) = 0. (2.62)
(b) Eğer 𝑛 =∈ ℕ0 ise, o zaman (𝑎𝐶𝐷𝛼𝑓)(𝑡) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) Caputo
türevleri (2.56) denklemlerini sağlarlar. Özel olarak (2.61) deki ilişki içinde geçerlidir. Özellik 2.5. (Kilbas ve ark.,2006)
∉ ℕ0 için 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 ; ∈ ℕ0 için 𝑛 = alalım. Burada ℜ(𝛼) > 0
olmak üzere aşağıdaki denklemler doğrudur:
( 𝐷𝑎𝐶 𝛼(𝑡 − 𝑎)𝛽−1)(𝑥) =
Γ(𝛽)
Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑥 − 𝑎)
( 𝐷𝐶 𝑏𝛼(𝑏 − 𝑡)𝛽−1)(𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑏 − 𝑥) 𝛽−1, (ℜ(𝛽) > 𝑛), (2.64) ve ( 𝐷𝑎𝐶 𝛼(𝑡 − 𝑎)𝑘)(𝑥) = 0 ve ( 𝐷 𝑏𝛼 𝐶 (𝑏 − 𝑡)𝑘)(𝑥) = 0, (𝑘 = 0 ,1, … , 𝑛 − 1). (2.65) Özellikle, ( 𝐷𝑎𝐶 𝛼1)(𝑥) = 0 ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼1)(𝑥) = 0. (2.66)
Lemma 2.6. (Kilbas ve ark.,2006)
ℜ(𝛼) > 0 ve 𝑦(𝑥) ∈ 𝐿∞(𝑎, 𝑏) veya 𝑦(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] alalım:
(a) Eğer ℜ(𝛼) ∉ ℕ veya 𝛼 ∈ ℕ ise, o zaman
( 𝐷𝑎𝐶 𝛼𝑎𝐼𝛼𝑦)(𝑥) = 𝑦(𝑥) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼 𝐼𝑏𝛼 𝑦) = 𝑦(𝑥) (2.67)
(b) Eğer ℜ(𝛼) ∈ ℕ ve 𝔗(𝛼) ≠ 0 ise, o zaman
( 𝐷𝑎𝐶 𝛼𝑎𝐼𝛼𝑦)(𝑥) = 𝑦(𝑥) −( 𝐼𝑎 𝛼+1−𝑛𝑦)(𝑎) Γ(𝑛 − 𝛼) (𝑥 − 𝑎) 𝑛− (2.68) ve ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝐼𝑏𝛼𝑦)(𝑥) = 𝑦(𝑥) −(𝐼𝑏 𝛼+1−𝑛𝑦)(𝑏) Γ(𝑛 − 𝛼) (𝑏 − 𝑥) 𝑛− (2.69) olmaktadır.
2.2.4. Hadamard kesirli operatörleri
Hadamard kesirli integrali ve kesirli türevi J. Hadamard tarafından tanıtılmış ve formülleri aşağıda verilmiştir (Kilbas, 2001). Bunlar;
𝛼 mertebeli, sol Hadamard kesirli integrali , ℜ(𝛼) > 0 için ( 𝒥𝑎 𝛼𝑓)(𝑡) = 1 Γ(𝛼)∫(log 𝑡 − log 𝑢) 𝛼−1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑢 𝑡 𝑎 (𝑎 < 𝑡 < 𝑏) (2.70)
𝛼 mertebeli, sağ Hadamard kesirli integrali ℜ(𝛼) > 0 için
(𝒥𝑏𝛼𝑓)(𝑡) = 1 Γ(𝛼)∫(log 𝑢 − log 𝑡) 𝛼−1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑢 𝑏 𝑡 (𝑎 < 𝑡 < 𝑏) (2.71)
𝛼 mertebeli, sol Hadamard kesirli türevi ℜ(𝛼) ≥ 0 için
( 𝐷𝑎 𝛼𝑓)(𝑡) =: ( 𝑑 𝑑𝑡) 𝑛 ( 𝒥𝑎 𝑛−𝛼𝑓)(𝑡) = (𝑡 𝑑 𝑑𝑡) 𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫(log 𝑡 − log 𝑢) 𝑛−𝛼+1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑢 𝑡 𝑎 , 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1. (2.72)
𝛼 mertebeli, sağ Hadamard kesirli türevi ℜ(𝛼) ≥ 0 için
(𝐷𝑏𝛼𝑓)(𝑡) =: (−𝑡 𝑑 𝑑𝑡) 𝑛 (𝒥𝑏𝑛−𝛼𝑓)(𝑡) =(−𝑡 𝑑 𝑑𝑡) 𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫(log 𝑢 − log 𝑡) 𝑛−𝛼+1𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑢 𝑏 𝑡 , 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1 (2.73) şeklindedir.
Şimdi ise Hadamard kesirli operatörlerine ait bazı teorem ve özellikleri vereceğiz.
Özellik 2.6. (Kilbas ve ark.,2006)
( 𝒥𝛼(log𝑡 𝑎) 𝛽−1 𝑎 ) (𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(log 𝑥 𝑎) 𝛽+𝛼−1 (2.74) ( 𝐷𝛼 𝑎 (log 𝑡 𝑎) 𝛽−1 ) (𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(log 𝑥 𝑎) 𝛽−𝛼−1 (2.75) ve (𝒥𝑏𝛼(log𝑡 𝑎) 𝛽−1 ) (𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 + 𝛼)(log 𝑏 𝑥) 𝛽+𝛼−1 (2.76) (𝐷𝑏𝛼(log𝑡 𝑎) 𝛽−1 ) (𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(log 𝑏 𝑥) 𝛽−𝛼−1 . (2.77)
Özel olarak, eğer 𝛽 = 1 ve ℜ(𝛼) ≥ 0 olursa, o zaman bir sabitin Hadamard kesirli türevleri genelde sıfıra eşit olmamaktadır:
( 𝐷𝛼 𝑎 1)(𝑥) = 1 Γ(1 − 𝛼)(log 𝑥 𝑎) −𝛼 ve (𝐷𝑏𝛼(𝑙))(𝑥) = 1 Γ(1 − 𝛼)(log 𝑏 𝑥) −𝛼 , (2.78)
0 < ℜ(𝛼) < 1 olduğunda. Diğer taraftan 𝑗 = [ℜ(𝛼)] + 1 için
( 𝐷𝑎 𝛼(log𝑡 𝑎) 𝛼−𝑗 ) (𝑥) = 0 ve (𝐷𝑏𝛼(log𝑏 𝑡) 𝛼−𝑗 ) (𝑥) = 0 (2.79) olmaktadır.
Özellik 2.7. (Kilbas ve ark.,2006)
ℜ(𝛼) > 0, ℜ(𝛽) > 0 alalım ve 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ olsun. (a) Eğer 0 < 𝑎 < 𝑏 < ∞ ise, o zaman, 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) için
𝒥𝛼
𝑎 𝑎𝒥𝛽𝑓 = 𝑎𝒥𝛼+𝛽𝑓, (𝑐 ≤ 0) ve 𝒥𝑏𝛼𝒥𝑏 𝛽
𝑓 = 𝒥𝑏𝛼+𝛽𝑓, (𝑐 ≥ 0). (2.80)
(b) Eğer 𝜇 𝜖 ℂ, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 = 0 ve 𝑏 = ∞ ise, o zaman, 𝑓 ∈ 𝑋𝑐𝑝(ℝ+) için
𝒥𝛼
0,𝜇 0,𝜇𝒥𝛽𝑓 = 0,𝜇𝒥𝛼+𝛽𝑓, (ℜ(𝜇) > 𝑐) ve 𝒥0,𝜇𝛼 𝒥0,𝜇 𝛽
𝑓 = 𝒥0,𝜇𝛼+𝛽𝑓, (ℜ(𝜇) > −𝑐) (2.81)
olmaktadır. Özel bir durum olarak 𝜇 = 0 olduğunda ise
𝒥𝛼
0+ 0+𝒥𝛽𝑓 =0+𝒥𝛼+𝛽𝑓, (𝑐 < 0) ve 𝒥−𝛼𝒥−𝛽𝑓 = 𝒥𝛼+𝛽𝑓, (𝑐 > 0) (2.82)
olur.
Özellik 2.8. (Kilbas ve ark.,2006)
𝛼 ∈ ℂ ve β ∈ ℂ alalım öyle ki ℜ(𝛼) > ℜ(𝛽) > 0 olsun.
(a) Eğer 0 < 𝑎 < 𝑏 < ∞ ve 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ olursa, o zaman, 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) için
𝐷𝛽
𝑎 𝑎𝒥𝑓 = 𝑎𝒥𝛼−𝛽𝑓, (𝑐 ≤ 0) ve 𝐷𝑏 𝛽
𝒥𝑏𝑓 = 𝒥𝑏𝛼−𝛽𝑓 (2.83)
eşitlikleri sağlanır. Özel olarak 𝛽 = 𝑚 ∈ ℕ olursa aşağıdaki eşitlikler geçerlidir,
𝐷𝑚
𝑎 𝑎𝒥𝑓 = 𝑎𝒥𝛼−𝑚𝑓, (𝑐 ≤ 0) ve 𝐷𝑏𝑚𝒥𝑏𝑓 = 𝒥𝑏𝛼−𝑚𝑓 . (2.84)
(b) Eğer 𝜇𝜖 ℂ , 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 = 0 ve 𝑏 = ∞ ise, o zaman, 𝑓 ∈ 𝑋𝑐𝑝(ℝ+) için
𝐷𝛽
0,𝜇 0,𝜇𝒥𝑓 = 0,𝜇𝒥𝛼−𝛽𝑓, (ℜ(𝜇) > 𝑐) ve 𝐷0,𝜇 𝛽
𝒥0,𝜇𝛼 𝑓 = 𝒥0,𝜇𝛼−𝛽𝑓, (ℜ(𝜇) > −𝑐) (2.85)
𝐷𝑚
0,𝜇 0,𝜇𝒥𝑓 =0,𝜇𝒥𝛼−𝑚𝑓, (ℜ(𝜇) > 𝑐) ve 𝐷−,𝜇𝑚 𝒥−,𝜇𝛼 𝑓 = 𝒥−,𝜇𝛼−𝑚𝑓, (ℜ(𝜇) > −𝑐). (2.86)
Özellik 2.9. (Kilbas ve ark.,2006) ℜ(𝛼) > 0 alalım.
(a) Eğer 0 < 𝑎 < 𝑏 < ∞ ve 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ olursa, o zaman, 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) için
𝐷
𝑎 𝑎𝒥𝑓 =𝑓, (𝑐 ≤ 0) ve 𝐷𝑏𝒥𝑏𝑓 = 𝑓 , (𝑐 ≥ 0) (2.87)
olur.
(b) Eğer 𝜇𝜖 ℂ , 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 = 0 ve 𝑏 = ∞ ise, o zaman, 𝑓 ∈ 𝑋𝑐𝑝(ℝ+) için
𝐷
0,𝜇 0,𝜇𝒥𝑓 =𝑓, (ℜ(𝜇) > 𝑐) ve 𝐷0,𝜇 𝒥0,𝜇𝛼 𝑓 = 𝑓, (ℜ(𝜇) > −𝑐), (2.88)
olmaktadır. Özel bir durum olarak 𝜇 = 0 olduğunda ise
𝐷𝛼
0+ 0+𝒥𝑓 =𝑓, (𝑐 < 0) ve 𝐷−𝛼𝒥−𝑓 = 𝑓, (𝑐 > 0) (2.89)
olur.
Teorem 2.3. (Kilbas ve ark.,2006)
ℜ(𝛼) > 0 , 𝑛 = −[−ℜ(𝛼)] ve 0 < 𝑎 < 𝑏 < ∞ olsun. ( 𝒥a 𝑛−𝑦)(𝑥) ise (2.70) ifadesine uygun Hadamard kesirli integrali olsun. Eğer 𝑦(𝑥) ∈ 𝐿(𝑎, 𝑏) ve ( 𝒥a 𝑛−𝑦)(𝑥) ∈ 𝐴𝐶𝛿𝑛[𝑎, 𝑏] ise, o zaman ( 𝒥𝑎 𝑎𝐷𝑦)(𝑥) = 𝑦(𝑥) − ∑(𝛿 𝑛−𝑘( 𝒥𝑛− 𝑎 𝑦))(𝑎) Γ(𝛼 − 𝑘 + 1) 𝑛−1 𝑘=0 (𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑎) −𝑘 (2.90)
( 𝒥𝑎 𝑛 𝑎𝐷𝑛𝑦)(𝑥) = 𝑦(𝑥) − ∑ (𝛿𝑘𝑦)(𝑎) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑎) 𝑘 (2.91) olmaktadır.
2.2.5. Caputo-Hadamard kesirli operatörleri
𝛼 mertebeli, sol Caputo–Hadamard kesirli türevi ℜ(𝛼) ≥ 0 için aşağıdaki gibi sunulur, (Jarad ve ark., 2012; 2014).
( 𝐷𝛼𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) = 𝐷𝛼[𝑓(𝑢) − ∑𝛿 𝑘𝑓(𝑎) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑙𝑜𝑔𝑢 𝑎) 𝑘 ] (𝑡), 𝛿 = 𝑡 𝑑 𝑑𝑡, 𝑎 (2.92) ve 𝐴𝐶𝛿𝑛 [𝑎, 𝑏] = {𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℂ: 𝛿𝑛–1[𝑔(𝑡)] ∈ 𝐴𝐶[𝑎, 𝑏]} uzayında ( 𝐷𝛼𝑓 𝑎 𝐶 )(𝑡) = ( 𝒥𝑛−𝛼(𝑡 𝑑 𝑑𝑡) 𝑛 𝑎 𝑓) (𝑡), 𝑛 = [ℜ(𝛼)] + 1. (2.93)
ifadesine eşdeğer olur.
𝛼 mertebeli, Sağ Caputo–Hadamard kesirli türevi ℜ(𝛼) ≥ 0 için aşağıdaki gibi sunulur (Jarad ve ark., 2012; 2014).
( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) = 𝐷𝑏𝛼[𝑓(𝑢) − ∑(−1) 𝑘𝛿𝑘𝑓(𝑏) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑢) 𝑘 ] (𝑡) (2.94) ve 𝐴𝐶𝛿𝑛 [𝑎, 𝑏] uzayında ( 𝐷𝐶 𝑏𝛼𝑓)(𝑡) = (𝒥𝑏𝑛−𝛼(−𝑡 𝑑 𝑑𝑡) 𝑛 𝑓) (𝑡) (2.95)
2.2.6. Genelleştirilmiş kesirli operatörler (Bir 𝒇 fonksiyonun başka bir 𝒈 fonksiyonu aracılığıyla kesirli operatörleri)
𝛼 > 0, 𝐼 = [𝑎, 𝑏] sonlu veya sonsuz bir aralık olsun, 𝑓 fonsiyonu 𝐼 üzerinde integrallenebilir olsun ve 𝑔 ∈ 𝐶1(𝐼) artan bir fonksiyon olsun öyle ki her 𝑥 ∈ 𝐼 için 𝑔′(𝑥) ≠ 0’dır. 𝑛 ∈ [] + 1 olmak üzere 𝑓 fonksiyonun 𝑔 fonksiyonuna göre soldan
kesirli türevi ve kesirli integrali aşağıdaki gibi tanımlanmıştır,
𝐼𝛼,𝑔𝑓(𝑥) ≔ 1 Γ(𝛼)∫ 𝑔′(𝑡)(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑡)) 𝛼−1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑎 𝑎 (2.96) ve 𝐷𝛼,𝑔𝑓(𝑥) ≔ ( 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 𝐼𝑛−𝛼,𝑔𝑓(𝑥) 𝑎 𝑎 = 1 Γ(𝑛 − 𝛼)( 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 ∫ 𝑔′(𝑡)(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑡))𝑛−𝛼−1𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑎 . (2.97)
Eğer 𝑔(𝑥) = 𝑥 veya 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 seçersek, Riemann-Liouville ve Hadamard kesirli operatörleri elde edilir.
Benzer şekilde sağdan kesirli türev ve integrali:
𝐼𝑏𝛼,𝑔𝑓(𝑥) ≔ 1 Γ(𝛼)∫ 𝑔′(𝑡)(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑥)) 𝛼−1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑥 (2.98) ve 𝐷𝑏𝛼,𝑔𝑓(𝑥) ≔ (− 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 𝐼𝑏𝑛−𝛼,𝑔𝑓(𝑥) = 1 Γ(𝑛 − 𝛼)(− 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 ∫ 𝑔′(𝑡)(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑥))𝑛−𝛼−1𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑥 (2.99)
Teorem 2.4. (Almedia,2016)
Eğer 𝛼, 𝛽 > 0 ise, aşağıdaki kesirli integral özellikleri de vardır
𝐼,𝑔
𝑎 𝑎𝐼𝛽,𝑔𝑓(𝑥) = 𝑎𝐼+𝛽,𝑔𝑓(𝑥) ve 𝐼𝑏 𝛼,𝑔
𝐼𝑏𝛽,𝑔𝑓(𝑥) = 𝐼𝑏𝛼+𝛽,𝑔𝑓(𝑥). (2.100)
Tanım 2.1. (Almedia,2016)
𝛼 > 0, 𝑛 ∈ ℕ , 𝐼 ise − ∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ ∞ da bir aralık, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶𝑛(𝐼) iki fonksiyondur öyle ki her 𝑥 ∈ 𝐼 için 𝑔 artandır ve 𝑔′(𝑥) ≠ 0. 𝑓 fonksiyonunun 𝛼 mertebeli soldan 𝑔-Caputo kesirli türevi:
𝐷𝛼,𝑔𝑓(𝑥) ≔ 𝐼𝑎 𝑛−𝛼,𝑔( 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 𝑎 𝐶 𝑓(𝑥), (2.101)
ve sağdan 𝑔-Caputo kesirli türevi
𝐷𝑏𝛼,𝑔𝑓 𝐶 (𝑥) ≔ 𝐼 𝑏 𝑛−𝛼,𝑔 (− 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 𝑓(𝑥) (2.102)
ile verilir. Burada ∉ ℕ için 𝑛 ∈ [] + 1 ve ∈ ℕ için 𝑛 = 𝛼’ dır.
Bundan sonraki kısımlarda daha basit ifade edebilmek için (− 1
𝑔′(𝑥)
𝑑 𝑑𝑥)
𝑛
𝑓(𝑥) yerine aşağıdaki gösterimi kullanacağız,
𝑓𝑔[𝑛]𝑓(𝑥) ≔ (− 1 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥) 𝑛 𝑓(𝑥). (2.103) Teorem 2.5. (Almedia,2016)
𝐷,𝑔𝑓(𝑥) 𝑎 𝐶 =(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)) 𝑛−𝛼 Γ(𝑛 + 1 − 𝛼) 𝑓𝑔 [𝑛](𝑎) + 1 Γ(𝑛 + 1 − 𝛼)∫(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑡)) 𝑛−𝛼 𝑑 𝑑𝑡𝑓𝑔 [𝑛](𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑎 (2.104) ve 𝐷𝑏𝛼,𝑔𝑓 𝐶 (𝑥) = (−1)𝑛(𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑥)) 𝑛−𝛼 Γ(𝑛 + 1 − 𝛼) 𝑓𝑔 [𝑛](𝑏) − 1 Γ(𝑛 + 1 − 𝛼)∫(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑥)) 𝑛−𝛼 (−1)𝑛 𝑑 𝑑𝑡𝑓𝑔 [𝑛] (𝑡)𝑑𝑡 𝑏 𝑥 (2.105) olur. Teorem 2.6. (Almedia,2016) Eğer 𝑓 ∈ 𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] ve 𝛼 > 0 ise, 𝐷,𝑔𝑓(𝑥) 𝑎 𝐶 = 𝐷,𝑔 𝑎 [𝑓(𝑥) − ∑ 1 𝑘!(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)) 𝑘 𝑓𝑔[𝑘](𝑎) 𝑛−1 𝑘=0 ] (2.106) ve 𝐷𝑏𝛼,𝑔𝑓 𝐶 (𝑥) = 𝐷 𝑏 𝛼,𝑔 [𝑓(𝑥) − ∑(−1) 𝑘 𝑘! (𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑥)) 𝑘 𝑓𝑔[𝑘](𝑏) 𝑛−1 𝑘=0 ] (2.107) yazılabilir. Lemma 2.7. (Almedia,2016)
𝛽 ∈ ℝ verilsin, aşağıdaki fonksiyonları ele alalım
burada 𝛽 > 𝑛’ dır. O zaman 𝛼 > 0 için, 𝐷𝛼,𝑔𝑓(𝑥) 𝑎 𝐶 = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)) 𝛽−𝛼−1 (2.109) ve 𝐷𝑏𝛼,𝑔𝜓 𝐶 (𝑥) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑥)) 𝛽−𝛼−1 . (2.110) Teorem 2.7. (Almedia,2016)
Eğer 𝑓 ∈ 𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] ve 𝛼 > 0 ise, o zaman:
𝐼,𝑔 𝑎 𝐷,𝑔𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) − ∑ 𝑓𝑔[𝑘](𝑎) 𝑘! (𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)) 𝑘 𝑛−1 𝑘=0 𝑎 𝐶 (2.111) ve 𝐼𝑏𝛼,𝑔 𝐷𝑏𝛼,𝑔𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) − ∑(−1)𝑘𝑓𝑔 [𝑘](𝑏) 𝑘! (𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑥)) 𝑘 𝑛−1 𝑘=0 . 𝐶 (2.112) Teorem 2.8. (Almedia,2016)
𝑓 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] fonksiyonu verilsin ve 𝛼 > 0 olsun, o zaman:
𝐷𝛼,𝑔 𝐼𝛼,𝑔 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑎 𝐶 ve 𝐷 𝑏 𝛼,𝑔 𝐼𝑏𝛼,𝑔𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝐶 (2.113) Teorem 2.9. (Almedia,2016)
𝛼, 𝛽 > 0 olsun öyle ki 𝛽, 𝛼 + 𝛽 ∈ [𝑘 − 1, 𝑘] ile bazı 𝑘 ∈ ℕ vardır. O zaman, 𝑓 ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
( 𝐷𝛼,𝑔 𝐷𝛽,𝑔) 𝑎 𝐶 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝐶 𝐷𝛼+𝛽,𝑔 𝑎 𝐶 𝑓(𝑥) ve ( 𝐷𝑏𝛼,𝑔 𝐷𝑏𝛽,𝑔)𝑓(𝑥) = (−1)[𝛼+𝛽] 𝐷 𝑏 𝛼+𝛽,𝑔 𝑓(𝑥). 𝐶 𝐶 𝐶 (2.114)
Lemma 2.8. (Samko ve ark., 1993)
ℜ(𝛼) > 0 ve ℜ(𝛽) > 0 alalım, öyleyse 𝐼𝛼,𝑔(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎))𝛽−1 𝑎 (𝑡) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 + 𝛼)(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)) 𝛽+𝛼−1 (2.115) olmaktadır.
Lemma 2.9. (Samko ve ark., 1993)
ℜ(𝛼) ≥ 0 ve ℜ(𝛽) > 0 alalım, öyleyse: 𝐷𝛼,𝑔(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎))𝛽−1 𝑎 (𝑡) = Γ(𝛽) Γ(𝛽 − 𝛼)(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)) 𝛽−𝛼−1 . (2.116)
Lemma 2.10. (Samko ve ark., 1993)
𝑔 ∈ 𝐶𝑛[𝑎, 𝑏] alalım, öyle ki [𝑎, 𝑏] aralığında 𝑔′(𝑡) > 0 olsun. O zaman
𝑓 ∈ 𝐴𝐶𝑔𝑛 olursa ancak ve ancak aşağıdaki gibi yazılabilir,
𝑓(𝑡) = 1 (𝑛 − 1)!∫(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)) 𝑛−1 𝑓𝑔[𝑘](𝑠)𝑔′(𝑠)𝑑𝑠 𝑡 𝑎 + ∑𝑓𝑔 [𝑘](𝑎) 𝑘! 𝑛−1 𝑘=0 (𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎))𝑘. (2.117)
Teorem 2.10. (Samko ve ark., 1993)
ℜ(α) > 0, 𝑛 = [ℜ(α)] + 1 ve 𝑓𝐴𝐶𝑔𝑛[𝑎, 𝑏] olsun. O zaman f fonksiyonunun g
( 𝐷,𝑔𝑓) 𝑎 (𝑡) = 1 Γ(𝑛 − 𝛼)∫(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)) 𝑛−𝛼−1 𝑓𝑔[𝑘](𝑠)𝑔′(𝑠)𝑑𝑠 𝑡 𝑎 + ∑ 𝑓𝑔 [𝑘](𝑎) Γ(𝑘 − 𝛼 + 1) 𝑛−1 𝑘=0 (𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎))𝑘−𝛼. (2.118)
Teorem 2.11. (Samko ve ark., 1993)
> 𝑚, 𝑚 ∈ ℕ alalım. O zaman ( 1 𝑔′(𝑡) 𝑑 𝑑𝑡) 𝑚 𝐼,𝑔𝑓 𝑎 (𝑡) = 𝐼𝑎 −𝑚,𝑔𝑓(𝑡). (2.119)
Teorem 2.11. (Samko ve ark., 1993)
ℜ(𝛼) > 0, 𝑛 = −[−ℜ(𝛼)] ve 𝑓 ∈ 𝐿[𝑎, 𝑏] ve 𝐼,𝑔𝑓 𝑎 ∈ 𝐴𝐶𝑔𝑛[𝑎, 𝑏] olsun. Bu durumda: ( 𝐼𝑎 ,𝑔𝑎𝐷,𝑔)𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡) − ∑ 𝐼𝑘−,𝑔𝑓 𝑎 (𝑎) Γ(𝛼 − 𝑘 + 1) 𝑛 𝑘=0 (𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎))𝛼−𝑘. (2.120)
Sonuç 2.1. (Samko ve ark., 1993)
𝛼 > 𝛽, 𝑚 − 1 < 𝛽 < 𝑚, 𝑚 ∈ ℕ olsun. O zaman, ( 𝐷𝛽,𝑔 𝐼,𝑔 𝑎 )𝑓 𝑎 (𝑡) = 𝐼𝑎 −𝛽,𝑔𝑓(𝑡). (2.121) Özel olarak, ( 𝐷,𝑔 𝐼,𝑔 𝑎 )𝑓 𝑎 (𝑡) = 𝑓(𝑡) (2.122) olmaktadır.
2.2.7. Katugampola kesirli operatörleri
𝑝 = ∞, ‖𝑓‖𝑋
𝑐𝑝 = ess sup𝑎≤𝑡≤𝑏[𝑡
𝑐|𝑓 (𝑡)|] için 𝛼 mertebeli Katugampola sağ ve
sol kesirli integralleri ℜ(𝛼) > 0 için sırasıyla
( 𝐼𝛼,𝜌𝑓 𝑎 )(𝑡) = 1 Γ(𝛼)∫ ( 𝑡𝜌− 𝑢𝜌 𝜌 ) 𝛼−1 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 𝑢1−𝜌 𝑡 𝑎 (2.123) ve (𝐼𝑏𝛼,𝜌𝑓)(𝑡) = 1 Γ(𝛼)∫ ( 𝑢𝜌− 𝑡𝜌 𝜌 ) 𝛼−1 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 𝑢1−𝜌 𝑏 𝑡 (2.124)
olarak tanımlanmıştır (Katugampola, 2011).
Burada görülmektedir ki eğer 𝜌 = 1 alınırsa, (2.123) ve (2.124) integralleri sırasıyla (2.28) ve (2.29) integrallerine dönmektedir. Ayrıca, 𝜌 → 0 iken (2.123) ve (2.124) integrallerinin limiti alındığı takdirde, sırasıyla (2.70) ve (2.71) denklemlerindeki Hadamard kesirli integralleri elde edilir.
ℜ(𝛼) ≥ 0 için α mertebeli sol ve sağ Katugampola kesirli türevleri sırasıyla,
( 𝐷𝑎 𝛼,𝜌𝑓)(𝑡) = 𝛾𝑛( 𝐼𝑎 𝑛−𝛼,𝜌𝑓)(𝑡) = 𝛾𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫ ( 𝑡𝜌 − 𝑢𝜌 𝜌 ) 𝑛−𝛼−1 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 𝑢1−𝜌 𝑡 𝑎 (2.125) ve (𝐷𝑏𝛼,𝜌𝑓)(𝑡) = (−𝛾)𝑛( 𝐼𝑎 𝑛−𝛼,𝜌𝑓)(𝑡) = (−𝛾)𝑛 Γ(𝑛 − 𝛼)∫ ( 𝑢𝜌− 𝑡𝜌 𝜌 ) 𝑛−𝛼−1 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 𝑢1−𝜌 𝑏 𝑡 (2.126)
şeklinde tanımlanmıştır (Katugampola, 2014), burada 𝛾 = 𝑡1–𝜌 𝑑
Görülüyor ki, (2.125) ve (2.126)’da 𝜌 = 1 oldugu zaman (2.30) ve (2.31)'deki Riemann–Liouville kesirli türevleri elde edilir. Ayrıca, (2.125) ve (2.126)’da eğer 𝜌 → 0 yaklaşıyorsa (2.72) ve (2.73)'deki Hadamard kesirli türevleri elde edilir.
2.2.8. Caputo - Katugampola kesirli türev operatörü
𝐴𝐶𝛾𝑛[𝑎, 𝑏] = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℂ ve 𝛾𝑛−1𝑓 ∈ 𝐴𝐶[𝑎, 𝑏], 𝛾 = 𝑡1–𝜌 𝑑 𝑑𝑡} ve
𝐶𝛾𝑛[𝑎, 𝑏] = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℂ ve 𝛾𝑛−1𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝛾 = 𝑡1–𝜌 𝑑
𝑑𝑡} aralığında ki fonksiyonlar
için, 𝛼 mertebeli sol ve sağ Katugampola Caputo kesirli türevi ℜ(𝛼) > 0 için sırasıyla (Jarad ve ark., 2017) 'de olduğu gibi
𝐷𝛼,𝜌𝑓 𝑎 𝐶 (𝑡) = 1 Γ(𝑛 − 𝛼)∫ ( 𝑡𝜌− 𝑢𝜌 𝜌 ) 𝑛−𝛼−1(𝛾𝑛𝑓)(𝑢)𝑑𝑢 𝑢1−𝜌 𝑡 𝑎 = 𝐼𝑎 𝑛−𝛼,𝜌(𝛾𝑛𝑓)(𝑡) (2.127) ve 𝐷𝑏𝛼,𝜌𝑓 𝐶 (𝑡) = 1 Γ(𝑛 − 𝛼)∫ ( 𝑢𝜌− 𝑡𝜌 𝜌 ) 𝑛−𝛼−1(−1)𝑛(𝛾𝑛𝑓)(𝑢)𝑑𝑢 𝑢1−𝜌 𝑏 𝑡 = 𝐼𝑏𝑛−𝛼,𝜌((−1)𝑛𝛾𝑛𝑓)(𝑡) (2.128) şeklindedir.
Görülmektedir ki eğer (2.127) denkleminde 𝜌 = 1 alınırsa bu ifade (2.57) denklemindeki sol Caputo kesirli türevine döner ve aynı zamanda (2.127) denkleminde 𝜌 → 0 için limit alındığında (2.93)'deki Caputo–Hadamard kesirli türevine döner. Benzer ilişki (2.128) ve (2.58), (2.128) ve (2.95) ifadeleri arasında da vardır.
3. CAPUTO – KATUGAMPOLA ÇERÇEVESİNDE KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN VARLIK VE TEKLİĞİ
Bu bölümde sürekli türevlenebilir fonksiyonlar üzerinde soldan Caputo - Katugampola kesirli türevi aracılığıyla kesirli Cauchy problemleri çalışıldı ve bu problemlerin varlık ve tekliği ispatlandı. Bunu göstermek için aşağıdaki Cauchy Problemi’ni göz önüne alalım:
( 𝐷𝛼,𝜌𝑥 𝑎
𝐶 )(𝑡) = ℎ[𝑡, 𝑥(𝑡), ( 𝐷𝛼1,𝜌𝑥
𝛼𝐶 )(𝑡), … , ( 𝐷𝛼𝐶 𝛼𝑚,𝜌𝑥)(𝑡)], (3.1)
bu denklem aşağıdaki başlangıç koşullarına bağlıdır
(𝛾𝑘𝑥)(𝑎) = 𝑑 𝑘, 𝑑𝑘 ∈ ℝ (𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1), (3.2) Burada 𝜌 ∈ ℝ+, 𝑛 = [𝛼] + 1, 𝛼𝑗 ∈ (𝑗 − 1, 𝑗], 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 < 𝑛; 𝛼0 = 0, 𝛾 = 𝑡1−𝜌 𝑑 𝑑𝑡 olmak üzere ve 𝐷 𝛼𝑗,𝜌 𝛼 𝐶 , 𝛼
𝑗 mertebeden, genelleştirilmiş Caputo kesirli
türev operatörünü belirtmektedir.
Ana çalışmanın bir parçası olarak, Cauchy problemlerine karşılık gelen ikinci tür lineer olmayan Volterra integral denklemleri incelendi ve daha sonra Banach sabit nokta teoremi uygulandı. Bu uygulamalara başlamadan önce bu çalışma için gerekli olan tanımlar, lemmalar ve bazı notasyonlar verelim. Daha sonra varlık ve tekliği incelenen Cauchy problemini sunalım (Gambo ve ark., 2018).
3.1. Yardımcı Sonuçlar
𝐶𝑛([𝑎, 𝑏], ℂ) ; [𝑎, 𝑏] → ℂ’ye, tüm sürekli türevlenebilir fonksiyonların banach
uzayı olsun. 𝐶𝛾𝑛[𝑎, 𝑏] uzayını hatırlayalım, ve bir 𝑓 fonksiyonu için 𝐶
𝜖,𝜌[𝑎, 𝑏], 𝐶𝛾,𝜖𝑛 [𝑎, 𝑏]
ve 𝐶𝛾𝛼,𝑟[𝑎, 𝑏] ağırlıklı uzaylarını tanımlayalım. Bunların ifadesi 𝜌 ∈ ℝ+, 0 ≤ ℜ(𝜖) < 1 ve 𝑛 − 1 < ℜ(𝛼) ≤ 𝑛 için 𝐶𝛾𝑛[𝑎, 𝑏] = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℂ, 𝛾𝑛𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] } (3.3) 𝐶𝜖,𝜌[𝑎, 𝑏] = {𝑓: ( 𝑡𝜌− 𝑎𝜌 𝜌 ) 𝜖 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]} ; 𝐶0,𝜌[𝑎, 𝑏] = 𝐶[𝑎, 𝑏] ∀ 𝜌 ≠ 0 (3.4)
şeklindedir ve burada 𝑓 fonksiyonu ‖𝑓‖𝐶𝜖,𝜌 = ‖( 𝑡𝜌− 𝑎𝜌 𝜌 ) 𝜖 𝑓‖ 𝐶 = 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] |(𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜌− 𝑎𝜌 𝜌 ) 𝜖 𝑓)| (3.5)
normuna sahiptir. Ayrıca
𝐶𝜖,𝜌[𝑎, 𝑏] = {𝑓: (𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑎) 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]} ; 𝐶0,𝜌[𝑎, 𝑏] = 𝐶[𝑎, 𝑏] ∀ 𝜌 ≠ 0 (3.6) tanımına göre 𝑓 fonksiyonu
‖𝑓‖𝐶𝜖,𝜌 = ‖𝑓‖𝐶𝜖,𝑙𝑜𝑔 = ‖(𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑎) 𝜖 𝑓‖ 𝐶 =𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] |(𝑙𝑜𝑔𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑎) 𝜖 𝑓| (3.7) normuna sahiptir.
𝐶𝛾,𝜖𝑛 [𝑎, 𝑏] uzayı aşağıdaki şekilde tanımlanır
𝐶𝛾,𝜖𝑛 [𝑎, 𝑏] = {𝑓: 𝛾𝑛−1𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] 𝑣𝑒 𝛾𝑛𝑓 ∈ 𝐶
𝜖,𝜌[𝑎, 𝑏], 𝜌 > 0} (3.8)
ve aşağıdaki norma sahiptir.
‖𝑓‖𝐶𝛾,𝜖𝑛 = ∑‖𝛾 𝑛𝑓‖ 𝐶+ 𝑛−1 𝑘=0 ‖𝛾𝑛𝑓‖ 𝐶𝜖,𝜌 (𝜖 = 0 ⇒)‖𝑓‖𝐶𝛾𝑛 = ∑ 𝑚𝑎𝑥 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑘=0 |𝛾𝑛𝑓(𝑥)|, 𝜌 > 0. (3.9)
0 ≤ 𝜖 < 1, 𝜖 ≤ 𝛼 için, 𝐶𝛾𝛼,𝑟[𝑎, 𝑏] aşağıdaki şekilde tanımlanır
𝐶𝛾,𝜖𝛼,𝑟[𝑎, 𝑏] = {𝑓 ∈ 𝐶𝛾𝑟[𝑎, 𝑏]: ( 𝐷𝑎𝐶 𝛼,𝜌𝑓) ∈ 𝐶𝜖,𝜌[𝑎, 𝑏], 𝑟 ∈ ℕ},
