Matrislerin bazı özel çarpımları ve normları

iii

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

MATRĐSLERĐN BAZI ÖZEL ÇARPIMLARI VE NORMLARI

Tuba DÜRÜYEN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Đlköğretim Ana Bilim Dalı

Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Süleyman SOLAK 2009, 26 sayfa

Jüri: Doç. Dr. Süleyman SOLAK

Yard. Doç. Dr. Ahmet CĐHANGĐR Yard. Doç. Dr. Erhan ERTEKĐN

Bu çalışmada matrislerin bazı özel çarpımları ve bu çarpımlar arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Ayrıca bu çarpımların özellikleri incelenmiş ve bu çarpımlar altında Hilbert matrisinin ℓ_{p normları için sınırlar bulunmuştur.}

Anahtar Kelimeler: Hadamard çarpım, Kronecker çarpım, Fan çarpım, Khatri-Rao çarpım, Tracy-Singh çarpım, Hilbert matris, ℓ_{p norm.}

iv

The Post Graduate Thesis

SOME SPECIAL PRODUCTS AND NORMS OF MATRICES

Tuba DÜRÜYEN

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Primary Education

Advisor: Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK 2009, 26 pages

Jury: Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK Assist. Prof. Dr. Ahmet CĐHANGĐR Assist. Prof. Dr. Erhan ERTEKĐN

In this research, some special products of matrices and the relations amoung them are handled. In addition, the propeties of there products are examined and the bounds for the ℓ_p norms of Hilbert matrix according to the products are founds.

Key Words: Hadamard product, Kronecker product, Fan product, Khatri-Rao product, Tracy-Singh product, Hilbert matrix, ℓ_{p norm.}

1.GĐRĐŞ

Matematik biliminde Matris Teorisinin özel bir yeri vardır. Matris Teorisi’nde de özel matrislerin ve özel çarpımların mühendislik başta olmak üzere sosyal bilimlerde dahi farklı uygulamaları söz konusudur.

Biz bu çalışmada esas olarak matrislerin özel çarpımları, bu çarpımların özellikleri ile aralarındaki ilişkileri inceleyip bu çarpımlar altında Hilbert matrisinin

p

ℓ normlarını çalıştık.

H =(1/(i+ −j 1))n_{i j,=1} şeklindeki Hilbert matrisi ve onun Hadamard karekökünün ℓ_p normu için üst sınır bulunmuş, ayrıca GCD ve LCM matrislerinin Frobenius normları için alt sınır belirtilmiştir (Solak 2003).

Matrislerin Fan, Hadamard, Kronecker çarpım ve Kronecker toplamları üzerinde durulmuştur (Horn ve Johnson 1991).

Zhour ve Kılıcman (2006), çalışmalarında Khatri-Rao, Tracy-Singh, Hadamard, Kronecker çarpım ve Kronecker toplamlar üzerinde durmuşlardır.

Visick (2000), Kronecker ve Hadamard çarpımlar arasındaki eşitsizlikleri ele almış ve bu çarpımlar altında matris normlarını incelemiştir.

A=

( )

a_ij ve B=

( )

b_ij M -matrisler ya da pozitif değerli n boyutlu reel simetrik matrisler, Ak ile Bk da alt matris olma prensibine göre sırasıyla A ile B matrislerinin k k× (k=1, 2,.., )n alt matrisleri ise o zaman

(

)

( )

1 1 2 det det det det 1 det det n kk k kk k k k k a A b B A B AB A B − − =   ≥  + −   

∏



eşitsizliği vardır (Chen 2003).

Mond ve Pecaric (2000), çalışmalarında Pozitif tanımlı iki Hermityen matrisin Hadamard çarpımının tam sayı kuvvetlerini kapsayan eşitsizlikler oluşturmuştur.

Zhang, Yang, Cao (2002), Liu tarafından kurulan dört bloklu pozitif tanımlı reel simetrik iki matrisin Khatri-Rao çarpımlarını kapsayan çeşitli eşitsizlikleri pozitif yarı tanımlı iki genel matrise genişletmişlerdir.

Cao, Zhang, Yang (2002) tarafından pozitif tanımlı kompleks Hermityen matrislerin Khatri-Rao çarpımları için çeşitli eşitsizlikler bulunmuştur ve bu sonuçlar matrislerin Hadamard ve Khatri-Rao çarpımları için bilinen bazı eşitsizliklere genelleştirilmiştir.

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Đkinci bölümde temel kavramlar verilmiş, üçüncü bölümde Hadamard, Kronecker, Fan, Khatri-Rao, Tracy-Singh çarpımların tanımları ve özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde ise bu çarpımlar Hilbert matrisine uygulanarak normları hesaplanmıştır. Son bölümde de sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1 (Hilbert Matrisi): A=(a_ij), n n× matris olmak üzere Hadamard tersi ( 1) , 1 1 n ij _{i j} A a − =   =_ _   

olarak tanımlanır. X = + −(i j 1) _{olan n n}× _{Hankel matrisinin} Hadamard tersi ( 1) 1 1 X i j − ₌   _{+ −}    

olur ki bu matris Hilbert matrisi olarak bilinir ve genel olarak H_n ile gösterilir (Solak 2003).

Hilbert matrisinin genel formu;

1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 3 4 5 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n H n n n n n          ₊    =_{ }  ₊          + + −   ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ şeklindedir.

Örneğin 4 4× Hilbert matrisi

4 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 3 4 5 6 1 1 1 1 4 5 6 7 H           =            şeklinde olur.

Tanım 2.2 (Matris normu): ℂ kompleks ve ℝ de reel sayılar kümesi olmak üzere

{ }

. :ℂm n× →ℝ+∪ 0

dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa A sayısına A=(a_{ij m n}) _× matrisinin matris normu denir.

)

i A ≥0 ve A = ⇔ =0 A 0, )

ii c herhangi bir kompleks sayı olmak üzere cA = c A , )

iii A ve B aynı mertebeden matrisler olmak üzere A B+ ≤ A + B (üçgen eşitsizliği),

)

iv A ve B çarpılabilir matrisler olmak üzere AB ≤ A B .

( )i , ( )ii ve ( )iii ile verilen aksiyomlar matris normu için gerekli olan aksiyomlardır. ( )i , ( )ii ve ( )iii aksiyomlarını sağlayan reel değerli bir fonksiyon genelleştirilmiş matris normu olarak tanımlanır. Böylece bir matris normu daima genelleştirilmiş matris normudur. Fakat bunun tersi doğru değildir.

Tanım 2.3 (ℓ_pmatris normu): F reel ya da kompleks sayılar cismi olmak üzere

. _p:M_n( )F →ℝ+∪

{ }

0 ile ifade edilen

1 , 1 n _p p ij p i j A a =   =  

∑

 şeklinde tanımlanan . _pdönüşümüne ℓ matris normu denir. _p

Örneğin H₄ matrisinin ℓ_{3 normu}

4 ₃ 3 4 3 , 1 ij i j H a = =

∑

3 3 3 3 3 3 3 ₃ 4 3 1 1 1 1 1 1 1 2. 3. 4. 3. 2. 2 3 4 5 6 7 H = +    +    +    +    +    +               şeklindedir.

Tanım 2.4 (Riemann- Zeta Fonksiyonu): _{Kompleks p de}ğerleri için

1 1 ( ) _p k p k ζ ∞ = =

∑

şeklinde tanımlanan fonksiyona Riemann-Zeta fonksiyonu denir.

Tanım 2.5 (Polygamma Fonksiyonu): Γ( )x _{Gamma fonksiyonu olmak üzere}

Polygamma fonksiyonu

( )x d

{

log

[

( )x

]

}

dx

Ψ = Γ

ile tanımlıdır. Ayrıca

0 m> için ( , )

[

( )

]

m m d m x x dx

Ψ = Ψ dir. Diğer taraftan a>0, b herhangi bir sayı ve n∈ℤ olmak üzere +

lim ( , ) 0 n→∞Ψ a n b+ = dır (Moenck 1977).

Tanım 2.6 (Pozitif Tanımlı ve Pozitif Yarı Tanımlı Matrisler): A∈Fn n×

Hermityen matrisolsun. A matrisi köşegen değerleri A matrisinin özdeğerleri olan reel köşegen matrise üniter benzerdir. A ’nın özdeğerleri

λ

₁,...,

λ

_n olmak üzere

1 2 n

λ λ

≥ ≥…≥

λ

ve

( )

max A 1

λ

=

λ

,

λ

min

( )

A =

λ

n

olsun. O zaman A matrisinin pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart

( )

min A 0

λ

≥ olmasıdır, pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart

λ

_min

( )

A >0 olmasıdır. Örnek 2.6: 1 1 1 0 2 1 0 2 3 A     =_{ }    

matrisinin öz değerlerini bulursak

1 1 1 0 2 1 0 0 2 3 I A

λ

λ

λ

λ

− − − − = − − = − − ⇒

(

λ

−1

)(

λ

−2

)(

λ

− −3

) (

2

λ

− =1

)

0 ⇒

(

λ−1

) (

_ λ−2

)(

λ− −3

)

2_=0 ⇒

(

λ−1

)

(

λ2−5λ+4

)

=0 olduğundan öz değerleri

λ λ

₁ = ₂ =1 ve

λ

₃ =4 olarak bulunur.

( )

min A 1 0

λ

= > olduğ_{u için A matrisi pozitif tanımlı bir matristir.}

Lemma 2.1: A B ve, C sırasıyla m n× , m r× ve r n× mertebeli üç matris, A=BC

ve rank A

( )

=rank B

( )

=rank C

( )

=r olsun.

i. v= −b Ax için v vT ’nin kareleri toplamı minimum, ii. x xT bilinmeyenlerinin kareleri toplamı minimum ve

( ) ( )

1 1

T T T T

A+ =C CC − B B − B

olmak üzere Ax=b denkleminin çözümü x=A b+ şeklindedir (Bozkurt, Türen ve Solak 2005).

Tanım 2.7 ( Moore-Penrose Tersi): Lemma 2.1 ile verilen A+ matrisine A matrisinin Moore-Penrose tersi denir. Bu durumda;

A matrisinin A+ Moore-Penrose tersi ) i A AA+ + =A+ ) ii AA A+ = A ) iii AA+ ve A A+ hermityendir

3. MATRĐSLERĐN BAZI ÖZEL ÇARPIMLARI 3.1 Hadamard Çarpım

Tanım 3.1.1: A=(a_ij) ve B=(b_ij) matrisleri m n× tipinde herhangi iki matris ve ij ij

a b , .ij eleman olmak üzere

( _{ij ij}) A B = a b

şeklindeki m n× boyutlu A B _{matrisine A ve B matrislerinin Hadamard çarpımı} denir (Zhour ve Kılıcman 2006).

3.1.1 Hadamard Çarpımın Özellikleri:

1. D∈M_m ve E∈M_n köşegen matris ise o zaman

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

D A B E = DAE B= DA  BE = AE  DB = A DBE

2. rank A B(  )≤(rankA rankB)( )

(Horn ve Johnson 1991). 3.

(

A B

)(

A B

)

∗ ≤AA∗BB∗ (Visick 2000). Lemma 3.1.1: A=

( )

a_ij ve B=

( )

b_ij , M_n∪S_n+ da matrisler, 1 det det nn n A x a A₋ > − , 1 det det nn n B y b B ₋ > − ise o zaman

(

)

(

1 1

)

det det nn nn n n A B xy a b A₋ B₋ > −   dir. Burada S_n+, n n× biçiminde pozitif reel değerli simetrik matrislerdir (Chen 2003).

Örnek 3.1.1: 4 0 0 0 2 0 0 0 5 A     =_{ }     ve 1 0 0 0 1 0 0 0 2 B     =_{ }    

olmak üzere Lemma 3.1.1.’i

doğrulayalım.

detA=40 ve detAn−1=8 olup

1 det det nn n A x a A₋ > − ifadesinden x>0,

detB=2 ve detB_n−1=1 olup

1 det det nn n B y b B ₋ > − _ifadesinden y>0

elde edilir ki bu da xy>0 olduğ_{unu gösterir.} 4 0 0 0 2 0 0 0 10 A B     =_{ }    

 _{olup det}

(

_{A B}

)

=_{80 dir. Ayrıca}

1 1 4 0 0 2 n n A₋ B₋ =    

olupdet

(

An−1Bn−1

)

=8 olduğundan

(

)

(

1 1

)

det 80 10 0 det 8 nn nn n n A B a b A₋ B₋ −  = − =  bulunur ki buradan

(

)

(

1 1

)

det det nn nn n n A B xy a b A₋ B₋ > −   sonucuna ulaşılır.

Teorem 3.1.2: A=

( )

a_ij ve B=

( )

b_ij , M_n∪S_n+da iki matris ise o zaman

(

)

( )

1 1 2 det det det det 1 det det n kk k kk k k k k a A b B A B AB A B − − =   ≥  + −   

∏

 dir (Chen 2003).

Đspat: A ve _k B , _k M_k∪S_k+

(

∀ ∈k N

)

da matrisler olsun. Lemma 3.1.1’den ∀ >

ε

0 için

(

)

(

)

1 1 1 1 det det det

det det det

k k k k kk kk kk kk k k k k A B A B a b a b A₋

ε

B ₋

ε

A₋ B₋     − + − + ≥ −          

olduğunu biliyoruz.

ε

→0 iken,

(

)

(

)

1 1 1 1

det

det det

det det det

k k k k kk kk kk kk k k k k A B A B a b a b A₋ B ₋ A₋ B₋    − − ≥ −        

elde ederiz. Bu durumda

(

)

(

1 1

)

1 1 1 1

det det .det det det

1 ,

det det .det det det

k k k k kk k kk k k k k k k k A B A B a A b B A B A B A B − − − − − −   ≥  + −     

(

)

(

)

1 1

2 1 1 2 1 1

det det .det det det

1 .

det det .det det det

n n k k k k kk k kk k k k k k k k k k A B A B a A b B A B A B A B − − = − − = − −   ≥  + −   

∏

_

∏

Sonuç olarak

(

)

( )

1 1 2 det det det det 1 det det n kk k kk k k k k a A b B A B AB A B − − =   ≥  + −   

∏

 dır.

Teorem 3.1.3: r ve s, r<s olan iki reel sayı, r∉ −

(

1,1

)

ve s∉ −

(

1,1

)

ya da 1 1 2 s≥ ≥ ≥r ya da 1 1 2 r≤ − ≤ ≤ −s olsun. O zaman 1 1 1 1 k _s k _r s r i i i= A i= A   _≥          

olur. Burada A , _i i=1,...,k için pozitif tanımlı n n× Hermityen matrisler olmak üzere,

i j

A ≥ A olması A_i−A_j’nin pozitif yarı tanımlı olmasıdır (Mond ve Pecaric 2000).

Đspat: _{A pozitif tanımlı} n n× Hermityen matris, V de n t× tipinde matris ve V V∗ =I olsun. O zaman her r ve s, r<s olan iki reel sayı, r∉ −

(

1,1

)

ve s∉ −

(

1,1

)

ya da 1 1 2 s≥ ≥ ≥r ya da 1 1 2 r≤ − ≤ ≤ −s için

(

) (

1

)

1 s _s r _r V A V∗ ≥ V A V∗

dir. Diğer yandan A , _i n n×

(

i=1,...,k

)

ve P PT =I olacak şekilde verilen nk×n, P matrisi için 1 1 k k T i i i= A P i= A P   = ⊗     ve

( )

1 1 s k k s i i= A i= A   ⊗ = ⊗ 

  dir (Mond ve Pecaric 2000). O halde 1 1 1 1 k _s s _t k _s s i i i= A P i= A P       = ⊗            

1 1 1 1 s _s r _r k k t T i i i i P A P P A P = =  _{ }   _{ }  =_ ⊗  _ ≥_ ⊗  _         1 1 1 1 k r k r t r r i i i i P A P A = =       = ⊗   =         olur. 3.2 Kronecker Çarpım

Tanım 3.2.1: A=(a_ij) ile B=(b_pq) matrisleri sırasıyla m n× _ile s r× _tipinde

matrisler ve a B , _ij s r× boyutlu .ij alt matris olmak üzere ( _ij )

A⊗ =B a B

şeklindeki ms nr× boyutlu A⊗B _{matrisine A ve B matrislerinin Kronecker}

çarpımı denir (Zhour ve Kılıcman 2006).

3.2.1 Kronecker Çarpımın Özellikleri

Kronecker çarpımın bazı genel özelliklerini

1.Genellikle A⊗ ≠ ⊗B B A,

2. k

A⊗ , A matrisinin k. Kronecker kuvveti olmak üzere her pozitif k tam sayısı için A⊗1≡A ve A⊗k ≡ ⊗A A⊗ −(k 1) (k =2, 3,...),

3.

α

sabit bir sayı olmak üzere (αA)⊗ = ⊗B A (αB),

4. (A⊗B)T = AT ⊗BT,

5. C, k l× boyutlu bir matris olmak üzere (A⊗B)⊗ = ⊗C A (B⊗C),

6. (A+B)⊗ = ⊗ + ⊗C A C B C,

7. A⊗(B+C)= ⊗ + ⊗A B A C,

9. _A m m× _{ve B} n n× tekil olmayan matrisler olmak üzere (A⊗B)−1= A−1⊗B−1 şeklinde verebiliriz (Horn ve Johnson 1991).

Ayrıca sonlu A , _i B_i

(

i=1,...,k

)

matrisleri için

(

)

1 1 1 k k k i i i i i i i A B A B = = =     ⊗ = ⊗     

∏

 

∏



∏

dir(Mond ve Pecaric 2000).

Lemma 3.2.1: _{A ve B pozitif tanımlı} n n× _{Hermityen matrisler ve} s sıfırdan farklı bir reel sayı olsun. O zaman

(

)

s

s s

A ⊗B = A⊗B

dir (Mond ve Pecaric 2000).

Đspat:

λ

_i’ler A matrisinin,

γ

_i’ler de B matrisinin özdeğerleri olmak üzere

[

1, 2,..., n

]

A U= ∗

λ λ

λ

U, U U∗ =I

[

1, 2,..., n

]

B=V∗

γ γ

γ

V , V V∗ =I olduğunu farz edelim. O zaman

(

1,...,

)

(

1, 2,...,

)

s s s s s s s n n A ⊗B = U∗_

λ

λ

_U ⊗ V∗_

γ γ

γ

_V

(

)

(

1,..., 1, 2,...,

)

(

)

s s s s s n n U∗ V∗ 

λ

λ

 

γ γ

γ

 U V = ⊗ _{ }⊗_{ } ⊗ olup;

(

U V

) (

U V

)

(

U V

)

(

U V

)

( ) ( )

U U V V I I I_n2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗ = ⊗ = olduğundan

(

)

(

1,..., 1, 2,...,

)

(

) (

)

s s s s s s s s n n A ⊗B = U⊗V ∗ _

λ

λ

_⊗_

γ γ

γ

_ U⊗V = A⊗B

( )

1 1 s k k s i i i= A i= A   ⊗ = ⊗    dir. 3.3 Fan Çarpım

Tanım 3.3.1: A=(aij) ve B=(bij) matrisleri m n× tipinde herhangi iki matris olmak üzere

A B• ≡ =C (c_ij)

ile gösterilip elemanları

_ij ij ij ii ii a b i j ise c a b i j ise − ≠  = = 

şeklinde tanımlanan m n× boyutlu A B• _{matrisine A ve B matrislerinin Fan} çarpımı denir (Horn ve Johnson 1991).

Özellik 3.3.1: ,A B∈M_n( )ℝ _{pozitif reel matris olmak üzere,} 1 1 1

( )

A− B− ≥ A B• −

dir (Horn ve Johnson 1991).

3.4 Khatri-Rao Çarpım

Tanım 3.4.1: A=(a_ij) ve B=(b_pq) matrisleri sırasıyla m n× ve s r× tipinde herhangi iki matris olsun, A ile _ij B sırasıyla A ile B matrislerinin ij mi×nj ve

i j

s ×r boyutlu alt matrisleri ve A_ij⊗B_ij de m s_{i i}×n r_{j j} boyutlu alt matris olmak üzere

( ij ij) A B∗ = A ⊗B

şeklinde tanımlanan

∑

m s_{i i}×

∑

n r_{j j} boyutlu A B∗ _{matrisine A ve B matrislerinin} Khatri-Rao çarpımı denir (Zhour ve Kılıcman 2006).

Örnek 3.4.1: 3 5 4 1 0 2 5 0 1 5 2 3 A     =_{ }     , 1 2 0 3 2 4 5 3 0 1 1 2 B     =_{ }     olsun. A ve B matrislerini 11 3 5 0 2 A =   , 12 4 1 5 0 A =   , A21 =

(

1 5

)

, A22 =

(

2 3

)

11 1 2 2 4 B =   , 12 0 3 5 3 B =   , B21=

(

0 1

)

, B22 =

(

1 2

)

şeklinde alt matrislere ayırırsak;

11 11 12 12 21 21 22 22 A B A B A B A B A B ⊗ ⊗   ∗ =  ⊗ ⊗   olduğundan 3 6 5 10 0 12 0 3 6 12 10 20 20 12 5 3 0 0 2 4 0 15 0 0 0 0 4 8 25 15 0 0 0 1 0 5 2 4 3 6 A B         ∗ =         elde edilir.

3.4.1 Khatri-Rao Çarpımın Özellikleri:

Khatri-Rao çarpımın bazı genel özellikleri

1.Genellikle A B∗ ≠ ∗B A,

2. f skaler ve _ij F =(fij) olmak üzere A F∗ = ∗F A,

4.

(

M∗N

)

−1≤M−1∗N−1, 5.

(

)

(

)

2 1 1 1 1 1 4 mp mp M N

λ λ

M N

λ λ

− − _∗ − _≤ + _∗ , 6.

(

)

(

)

2 1 1 1 1 mp M∗ −N M− ∗N− − ≤

λ

−

λ

I, 7.

(

)

(

)

2 2 1 2 2 1 4 mp mp M N

λ λ

M N

λ λ

+ ∗ ≤ ∗ , 8.

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 ₂ 1 , 4 mp mp M N M N

λ λ

I

λ λ

− ∗ − ∗ ≤ + 9.

(

)

(

)

1 1 2 2 ₂ 1 2 mp mp M N

λ λ

M N

λ λ

+ ∗ ≤ ∗ , 10.

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 ₂ 1 4 mp mp M N M N

λ λ

I

λ λ

− ∗ − ∗ ≤ +

(Zhang, Yang ve Cao 2002).

şeklinde verebiliriz. Burada

λ

₁ ile λ_mp, M ⊙N ’nin sırasıyla en büyük ve en küçük özdeğerleridir.

Teorem 3.4.1: M_i∈S+

(

m i

( )

)

,

(

1 i≤ ≤k

)

bloklara ayrılmış matrisler, r ve s, r<s

olan iki reel sayı, r∉ −

(

1,1

)

ve s∉ −

(

1,1

)

ya da 1 1 2 s≥ ≥ ≥r ya da 1 1 2 r≤ − ≤ ≤ −s için

(

) (

1

)

1 1 ... 1 ... s s _s r r _r k k M ∗ ∗M ≥ M ∗ ∗M

dir. Burada S+

( )

m , m boyutlu kompleks pozitif tanımlı Hermityen matrislerin kümesidir (Cao, Zhang ve Yang 2002).

Đspat: Z reel bir matris ve Z ZT =I olmak üzere

(

)

(

(

)

)

1 1 1 ... 1 ... r r r T r r r k k M ∗ ∗M = Z M ⊙ ⊙M Z

(

)

(

)

1 1 ... r T r k Z M M Z = ⊙ ⊙

(

)

(

)

1 1 ... s T s k Z M M Z ≤ ⊙ ⊙

(

)

(

)

1 1 ... T s s s k Z M M Z = ⊙ ⊙

(

)

1 1 ... s s _s k M M = ∗ ∗ dir. 3.5 Tracy-Singh Çarpım

Tanım 3.5.1: A=(a_ij) ve B=(b_pq) matrisleri sırasıyla m n× ve s r× tipinde herhangi iki matris olsun. A ile _ij B sırasıyla, A ile B matrislerinin _pq m_i×n_j (m=

∑

m_i ,n=

∑

n_j ) ve s_p×r_q (s=

∑

s_p,r =

∑

r_q) boyutlu .ij ve pq blok alt . matrisleri olmak üzere

A⊙B=(Aij⊙B)=((Aij⊗Bpq))

şeklinde tanımlanan ms nr× _{boyutlu A}⊙B _{matrisine A ve B matrislerinin} Tracy-Singh çarpımı denir (Zhour ve Kılıcman 2006).

Örnek 3.5.1: 3 0 1 0 3 2 4 0 0 A     =_{ }     ve 0 1 3 2 5 1 0 2 1 B     =_{ }     olsun. A ve B matrislerini

11 3 0 0 3 A =   , 12 1 2 A =    , A21 =

(

4 0

)

, A22 =

( )

0 11 0 1 2 5 B =   , 12 3 1 B =    , B21 =

(

0 2

)

, B22 =

( )

1 şeklinde alt matrislere ayırırsak;

( _ij ) (( _{ij pq})) A⊙B= A ⊙B = A ⊗B olduğundan 0 3 0 0 9 0 0 1 3 6 15 0 0 3 0 2 5 1 0 0 0 3 0 9 0 2 6 0 0 6 15 0 3 4 10 2 0 6 0 0 3 0 0 2 1 0 0 0 6 0 3 0 4 2 0 4 0 0 12 0 0 0 0 8 20 0 0 4 0 0 0 0 0 8 0 0 4 0 0 0 0 A B               =               ⊙ elde edilir.

3.5.1 Tracy-Singh Çarpımın Özellikleri: 1. (A⊙B C)( ⊙D)=(AC)⊙(BD),

2. (A⊙B)+ = A+⊙B+ (A+, A matrisinin Moore-Penrose Tersi),

3. (A C+ )⊙(B+D)=A⊙B+A⊙D+C⊙B+C⊙D,

4.Genellikle A⊙B≠B⊙A_,

5.∀ ∈n ℝ için (+ A⊙B)n = An⊙Bn,

7. (tr A⊙B)=tr A tr B( ). ( ), 8. Her 1≤ < ∞p için p p p A⊙B = A B , 9. (A⊙I I)( ⊙B)=(I⊙B A)( ⊙I)= A⊙B, 10. eA I⊙ =eA⊙I _ve I A A e ⊙ =I⊙e _, 11. (A B∗ )⊙(C D∗ )=(A⊙C) (∗ B⊙D) (Zhour ve Kılıcman 2006).

12.

(

A⊙B

)

∗ = A∗⊙B∗ (Cao, Zhang ve Yang 2002).

Lemma 3.5.1: A ve _i B _i

(

1≤ ≤i k k, ≥2

)

bloklara ayrılmış matrisler olsun. O zaman

a) A B iyi tanımlı ise _{i i}

1 1 1 k k k i i i i i i i A B A B = = =     ₌        ⊙  ⊙  ⊙ , b) k =2, 3,... için 1 1 k k i i i i A A + + = =   ₌   ⊙  ⊙ , c) k =2, 3,... için 1 1 k k i i i i A A ∗ ∗ = =   =   ⊙  ⊙ ,

d) A_i∈M_{m i( )} pozitif yarı tanımlı matris ve r de herhangi bir reel sayı ise

1 1 r k k r i i i i A A = =   =   ⊙  ⊙ , e) k =2, 3,... için

(

)

1 1 1 k k k i i i i i i i A B A B = = =     =       

∏

⊙

∏

⊙

∏

dir (Zhour ve Kılıcman 2006).

4. HĐLBERT MATRĐSĐNĐN ÖZEL ÇARPIMLAR ALTINDA ℓ_p NORMLARI

Tanım 4.1 (Hilbert Matrisi): Tanım 2.1’de verilmiş olup Hilbert matrisinin genel

formu 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 3 4 5 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n H n n n n n          ₊    =_{ }  ₊          + + −   ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ şeklindedir.

Teorem 4.1: Hilbert matrisinin ℓ_p normuiçin, p≥3 olmak üzere

p n p H =

( )

(

1

) (

) ( ) (

2

)

1 2, 2 1, 2 2 ! 1 ! p n p n p n p p  − − Ψ − − Ψ − − − 

(

) (

) ( ) (

)

(

)

2 2 2, 1 1, 1 1 2 ! 1 ! n p n p n p p p ζ  + Ψ − + + Ψ − + + − − −  (4.1.1) dir.

Đspat: ℓ_p normu tanımından

p n p H =

(

)

2 1 1 1 1 1 1 2 n n p p s s n n s s s − − = = + + −

∑

∑

(4.1.2) olup burada toplamların değerleri sırasıyla;

( ) ( ) (

)

(

)

1 1 1 1 1 2, 1 1 2 ! n p p s p n p s − p ζ =   = −  Ψ − + + − −  

∑

(4.1.3) ve

(

) ( )

₍

_{) (}

_{) ( ) (}

)

2 1 1 1 1 2 2 1 2, 2 1, 2 2 ! 1 ! n p p s n n n s p n p n s p p − = +  − = − − Ψ − − Ψ − − − 

∑

(

12 !

) (

2, 1

) ( ) (

2 1 ! 1, 1

)

n p n p n p p  + Ψ − + + Ψ − +  − −  (4.1.4)

(4.1.3) ve (4.1.4) eşitliklerini (4.1.2) de yerine yazarsak

p n p H =

( )

(

1

) (

) ( ) (

2

)

1 2, 2 1, 2 2 ! 1 ! p n p n p n p p  − − Ψ − − Ψ − − − 

(

) (

) ( ) (

)

(

)

2 2 2, 1 1, 1 1 2 ! 1 ! n p n p n p p p ζ  + Ψ − + + Ψ − + + − − −  elde edilir.

Teorem 4.2: H_n Hilbert matrisi olmak üzere p≥3 için;

( )

. 1

[

]

1 2 ( . 2, 1) ( . 2, 2 ) ( . 2)! p s p s n _p H s p n s p n s p  = −  ₋ Ψ − + − Ψ −   2

[

( . 1, 1) ( . 1, 2 )

]

( . 1) ( . 1)! n s p n s p n s p s p

ζ

 + ₋ Ψ − + − Ψ − + −  (4.2.1) olup burada 2≤ ∈s ℤ+ dir.

Đspat: Hilbert matrisinin kendisi ile Hadamard çarpımları

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 4 ₁ 1 1 1 1 3 4 5 ₂ 1 1 1 1 1 2 2 1 s s s s s s s p s n _p s s s s s s s s n n H n n n n n          ₊      =_{ } +          _{+ + −}    ⋯ ⋯  _⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

şeklindedir. ℓ_p normu tanımından . 1

(

)

. 2 1 1 1 1 1 2 s p s p n n p s n _p r r n H n r r − r − = = + =

∑

+

∑

−  (4.2.2)

olur ki buradaki toplamların değerleri sırayla;

( ) (

) (

) (

)

. . 1 1 1 1 1 . 2, 1 . 1 . 2 ! n _{s p} s p r s p n s p r − s p

ζ

= = − Ψ − + + − ∑ − (4.2.3) ve

(

)

( )

₍

_{) (}

_{) (}

_{) (}

)

2 1 _. . 1 1 2 1 2 1 . 1, 2 . 2, 2 . 1 ! . 2 ! n _{s p} s p r n n n r s p n s p n r s p s p − = +  − = − − Ψ − − Ψ − ∑  − − 

(

) (

) (

) (

)

2 1 . 1, 1 . 2, 1 . 1 ! . 2 ! n s p n s p n s p s p  + Ψ − + + Ψ − +  − − _ (4.2.4)

şeklindedir. (4.2.3) ve (4.2.4) eşitliklerini (4.2.2) de yerine yazarsak

( )

. 1

[

]

1 2 ( . 2, 1) ( . 2, 2 ) ( . 2)! p s p s n _p H s p n s p n s p  = −  ₋ Ψ − + − Ψ −   2

[

( . 1, 1) ( . 1, 2 )

]

( . 1) ( . 1)! n s p n s p n s p s p

ζ

 + ₋ Ψ − + − Ψ − + −  elde edilir.

Sonuç 4.1: Hilbert matrisinin Fan çarpımının ℓ normu _p p≥3 olmak üzere

( )

. 1

[

]

1 2 ( . 2, 1) ( . 2, 2 ) ( . 2)! p s p s n _p H s p n s p n s p  • = −  ₋ Ψ − + − Ψ − 

[

]

2 ( . 1, 1) ( . 1, 2 ) ( . 1) ( . 1)! n s p n s p n s p s p

ζ

 + ₋ Ψ − + − Ψ − + −  şeklindedir, yani Hadamard çarpımın ℓp normu ile aynıdır.

Đspat: Teorem 4.2’den açıktır.

Teorem 4.3: Hn Hilbert matrisi olmak üzere ℓ normu p p≥3 için

(

)

2 ( 1) 1, 1 ( 1, 2 ) ( 1)! p s p n _p n H p n p n p   ⊗ = −_{ } _Ψ − + − Ψ − _ −   2 ( 2, 1) 1 ( 2, 2 ) ( 1) ( 2)! ( 2)! s p n p n p p p

ζ

 + Ψ − + − Ψ − + −  − −  (4.3.1)

şeklindedir. Burada 2≤ ∈s ℤ+ dir.

Đspat: Hilbert matrisinin Kronecker çarpımları

( )

1 1 s k k s i i i= A i= A   ⊗ = ⊗    özelliği nedeniyle

(

)

1 1 1 1 1 1 ( ) s n n p s n _p p p r r H n r r n r − − = =   ⊗ = + −  +   

∑

∑

 (4.3.2)

olur ki buradaki toplamların değerleri sırayla;

1 1 1 1 ( 1) ( 2, 1) ( 1) ( 2)! n p p r p n p r − p ζ = = − Ψ − + + − −

∑

(4.3.3) ve

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 ( 1) 1, 1 1, 2 ( ) ( 1)! n p p r n n r p n p n n r p − =  − = − _ _Ψ − + − Ψ − _ +  −

∑

1

(

2, 1

)

(

2, 2

)

(p 2)! p n p n  + _Ψ − + − Ψ − _ −  (4.3.4)

(

)

2 ( 1) 1, 1 ( 1, 2 ) ( 1)! p s p n _p n H p n p n p   ⊗ = −_{ } _Ψ − + − Ψ − _ −   2 1 ( 2, 1) ( 2, 2 ) ( 1) ( 2)! ( 2)! s p n p n p p p

ζ

 + Ψ − + − Ψ − + −  − −  elde edilir.

5. SONUÇ VE ÖNERĐLER

Bu çalışmada matrislerin Kronecker, Hadamard, Fan, Khatri-Rao ve Tracy-Singh çarpımları dikkate alınmıştır. Ancak matrisleri bir dizi olarak düşünüp (satır veya sütun şeklinde) farklı dizisel çarpımlar tanımlanabilir, özellikleri incelenebilir. Ayrıca bu dizisel çarpımlar altında matrislerin hangi cebirsel yapılara sahip olacağı araştırılabilir.

KAYNAKLAR

[ ]

1 Solak, S., Türkmen, R., Bozkurt, D. 2003, On GCD, LCM and Hilbert matrices and their applications, Applied Mathematics and Computation 146, 595-600.

[ ]

2 Horn, R.A., Johnson, C.R. 1991, Topics in matrix analysis, Cambridge University Press.

[ ]

3 Zhour, Z., Kılıcman, A. 2006, Matrix equalities and inequalities involving Khatri-Rao and Tracy-Singh sums, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 7-1, Article 34.

[ ]

4

Bozkurt, D., Türen, B., Solak, S. 2005, Lineer Cebir, Selçuk Üniversitesi Yayınları.

[ ]

5 Visick, G. 2000, A quantitative version of the observation that the Hadamard product is a princibal submatrix of the Kronecker product, Linear Algebra and its Applications, 304, 45-68.

[ ]

6 Chen, S. 2003, Some determinantal inequalities for Hadamard product of matrices, Linear Algebra and its Applications, 368, 99-106.

[ ]

7

Mond, B., Pecaric, J. 2000, On inequalities involving the Hadamard product of matrices, The Electronic Journal of Linear Algebra, Vol. 6, pp. 56-61.

[ ]

8

Zhang, X., Yang, Z.P., Cao, C.G. 2002, Đnequalities involving Khatri-Rao products pozitive semi-definite matrices, Applied Mathematics E-Notes, 2, 117-124.

[ ]

9

Cao, C.G., Zhang, X., Yang, Z.P. 2002, Some inequalities for the Khatri-Rao product of matrices, The Electronic Journal of Linear Algebra ISSN 1081-3810, Vol. 9, pp. 276-281.

[ ]

10 Zhour, Z., Kılıcman, A. 2006, Extension and generalization inequalities involving the Khatri-Rao Product of several pozitive matrices, Journal of Inequalities and Applications, Vol. 2006, pp.1-21.

[ ]

11 Bernstein, D.S. 2005, Matrix Mathematics, Princeton University Press.

[ ]

12 Moenck, R. 1977, On Computing Closed Forms for Summations, in Proceeding of The MACYSMA User’s Conference, pp. 225-236.