ÖABT
CEBİR
Sayılar Teorisi
ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
Yasin ŞAHİN
ÖRNEKT
İR
ÖABT
CEBİR / Sayılar Teorisi
ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,
elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi
bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,
yayınlanamaz, depolanamaz.
Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.
Eser Sahibi
Yasin ŞAHİN
ISBN: 978-605-81399-8-5
İNCİ KAĞITÇILIK – OFSET MATBAA
Fevzi Çakmak Mah. Hacı Bayram Cad. No: 3
Karatay / KONYA
Sertifika No: 14997
Dizgi & Grafik
Mehmet Bilban
KONYA – Mart – 2020
ÖRNEKT
ÇİNDEKİLER
Tam Sayılarda Bölünebilme
Test 1 ... 1 Çözümler ... 3 Test 2 ... 5 Çözümler ... 7 Test 3 ... 9 Çözümler ... 11 Test 4 ... 13 Çözümler ... 15 Kongrüanslar Test 1 ... 19 Çözümler ... 21 Test 2 ... 23 Çözümler ... 25 Test 3 ... 27 Çözümler ... 29 Test 4 ... 31 Çözümler ... 33 Test 5 ... 35 Çözümler ... 37 Test 6 ... 39 Çözümler ... 41
İ
ÖRNEKT
İR
Primitif (İlkel) Kökler Test 1 ... 45 Çözümler ... 47 Test 2 ... 49 Çözümler ... 51 Test 3 ... 53 Çözümler ... 55
ÖRNEKT
İR
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Arkadaşlarım,
Ülkemizde 2013 yılından bu yana uygulanmakta olan Öğetmenlik Alan Bilgisi Testi
(ÖABT) süreç içerisinde belli bir formata oturmuş, soru karakterleri belirginleşmiştir.
Bu sınav, üniversitelerde okutulan akademik müfredatın yanı sıra 2015 yılı öncesi lise
matematik konularını da içermektedir.
Bu sistemde amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerini
pekiştirmeniz sınava uygun tarzda çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık tekrar
yapmanız gerekmektedir.
Kaynakl
arımız soru sayısı arttırılmış ÖABT sınavı baz alınarak yeniden düzenlenmiş,
her bir soru sınıf ortamında çözülerek hatalı yönleri giderilerek hizmetinize sunulmuştur.
Cebir /
Sayılar Teorisi Çözümlü Soru Bankası, yukarıdaki belirlemelere uygun olarak
sizleri
ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak amacıyla düşünülmüştür.
Çıktığınız bu zorlu yolculukta yayınlarımızın yükünüzü bir nebze olsun hafifletmesi en
büyük dileğimizdir.
Faydalanacak olan
öğretmen arkadaşlara başarılar diler ve bu kitabın hazırlanmasında
desteklerini esirgemeyen başta sevgili eşim olmak üzere, Hatice ARICI, Ahmet ÖZER, Sefa
ARDAHAN, Fatih MARAŞLI, Kürşat KOÇ, Beyza CAN, Abdullah KOCA, Fatma ERTÜRK
hocalarıma teşekkürü bir borç bilirim.
Yasin ŞAHİN
Mart – 2020
ÖRNEKT
ÖRNEKT
ÖRNEKT
ÖRNEKT
Sayılar Teorisi Kongrüanslar (Modüler Aritmetik) Test 5
35
1. 414 + 15!
sayısının 17 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2. 264 ≡ x(mod13)
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
3. 538 + 919
sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
4. p, q ∈ {0, 1, 2, ..., 18} olmak üzere, p18 + q18 = (p + q)18(mod19)
denkliğini sağlayan kaç tane (p, q) sıralı ikilisi vardır?
A) 1 B) 18 C) 19 D) 36 E) 37
5. x2 + 2x ≡ 0(mod 8)
kongrüansının birbirine kongrüent olmayan kaç tane kökü vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
6. 32006 ≡ x(mod 1000)
kongrüansını sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır?
A) 81 B) 243 C) 343
D) 583 E) 729
ÖRNEKT
Sayılar Teorisi Kongrüanslar (Modüler Aritmetik) Test 5
36
7. m > 1 olmak üzere, 716 ≡ 1(mod m)
kongrüansını sağlayan kaç farklı m değeri vardır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
8. 5x + 2 ≡ 2x + 3(mod 7)
kongrüansını sağlayan x in en küçük pozitif tam sayı değeri ile en büyük negatif tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. 2311 sayısının 11 ile bölümünden elde edilen
kalan kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
10. a + a−1 ≡ 15(mod 17)
kongrüansını sağlayan en küçük a doğal sayısı kaçtır?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
11. Bir hemşire 5 günde bir nöbet tutmaktadır.
4. nöbetini salı günü tutan bu hemşire, 23. nöbetini hangi gün tutar?
A) Cumartesi B) Pazar C) Pazartesi
D) Çarşamba E) Perşembe
12. Bir işyerine Mehmet 3 günde bir, Hasan ise 5
günde bir nöbet tutmaktadır.
İkisi birlikte ilk nöbetlerini çarşamba günü tuttuklarına göre, ikisinin de birlikte tekrar çarşamba günü tutacakları ilk nöbetleri Hasan'ın kaçıncı nöbetidir?
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
ÖRNEKT
Sayılar Teorisi Çözümler Test 5 37 1. 16!≡ −1 mod17
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
2 7 2 14 16.15! 1 mod17 1.15! 1 mod17 15! 1 mod17 4 1 mod17 4 1 mod17 olduğundan 4 15! 0 mod17 ≡ − − ≡ − ≡ ≡ − ≡ − + ≡ Cevap A 2. 212≡1 mod13(
)
( )
(
)
(
)
5 12 4 64 2 .2 3 mod13 2 3 mod13 ≡ ≡ Cevap A 3. 56≡1 mod7(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
6 6 2 38 6 3 6 19 5 .5 4 mod7 5 4 mod7 9 1 mod7 9 .9 2 mod7 9 2 mod7 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ olduğundan 38 19 5 +9 sayısının 7 ilebölümün-den elde edilen kalan 4+ =2 6dır.
Cevap E
4. p18+q18≡
(
p+q) (
18 mod19)
denkliğini sağla-yan( )
p,q sıralı ikilileri( ) ( ) ( )
0,0 , 1,0 , 2,0 , …. ,(
18,0 , 0,1 , 0,2 ,..., 0,18 olup 37 tanedir.) ( ) ( ) (
)
Cevap E 5. x2+2x≡0 mod8(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 x 2x 0 mod8 x 0 mod8 x 6 mod8 x 2x 8 0 mod8 x 2 mod8 x 4 mod8 + ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ + − ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡olduğundan verilen kongrüansın birbirine kongrüent (denk) olmayan 4 tane kökü vardır.
Cevap C 6. φ
(
1000)
=(
53−52)(
23−22)
= 400(
)
( )
(
)
(
)
400 5 400 6 2019 3 1 mod1000 3 .3 729 mod1000 3 729 mod1000 ≡ ≡ ≡ Cevap EÖRNEKT
İR
Sayılar Teorisi Çözümler Test 5 38 7. 716≡1 modm
(
)
716 1 m.k , k 715 k m = + ∈ = 715=5.11.13sayısının 8 tane pozitif tam sayı böleni ve m > 1 olduğundan m nin alabileceği 7 tane tam sayı değeri vardır.
Cevap B 8. 5x+ ≡2 2x+3 mod7
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
3x 1 mod7 5.3x 5 mod7 x 5 mod7 x 5 7k , k k 1 ve k 0 için 5 2 3 bulunur. ≡ ≡ ≡ = + ∈ = − = + − = Cevap C 9. 210≡1 mod11(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 4 3 11 11 3 7 10 4 3 1 mod10 3 .3 7 mod10 3 7 mod10 olduğundan 2 2 mod11 7 mod11 bulunur. φ = ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Cevap D 10. a a+ −1≡ −2 mod17(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2a.a a.a 2a mod17
a 2a 1 0 mod17 a 1 0 mod17 a 16 mod17 − + ≡ − + + ≡ + ≡ ≡ Cevap E
11. 4. nöbet Salı günü ve 5 günde bir nöbet
tuttuğundan 23. nöbet
(
23 4 .5 7)
4
−
−
salıdan 4 gün sonra cumartesi olacaktır.
Cevap A
12. İkisi birlikte ilk nöbetini Çarşamba günü
tuttuklarına göre, tekrar birlikte Çarşamba günü tutacakları ilk nöbetleri 8. nöbet olacaktır. İkisi birlikte 15 günde bir nöbet tutmaktadır.
(
8 1 .15−)
=105Hasan 5 günde bir nöbet tuttuğundan ilk nöbetten 105 gün sonraki nöbet Hasan’ın
105 1 22. 5 + = nöbeti olacaktır. Cevap D
