H ∞-filter based target tracking under time delayed measurements

Zaman Gecikmeli Ol�iimler AltInda H

00

-Siizge� Tabanh Hedef izleme

Hoo-Filter Based Target Tracking Under Time Delayed Measurements

Ezgi Ate§

Elektrik -Elektronik Miihendisligi B6li.imii

Bilkent Universitesi, Ankara

ates@ee.bilkent.edu.tr

OZETC;E

Bu makalede siirekli zamanda (,:alt§an bir siire(,: l(:ln za­

man gecikmeli gozlemler altmda

H 00

kestirimi incelenmi§ ve

yeni bir siizge(,: yap lSI onerilmi§tir. Ornek olarak bir hedef

izleme sorunu ele almml§ ve geleneksel H2-optimal siizgeci

ile onerilen Hoo-optimal siizgecinden elde edilen sonu(,:lar

kar§da§tmlml§tlr.

ABSTRACT

In this paper a new filter structure is proposed for the H 00 es­

timation under delayed measurements for continuous time pro­ cesses. As an example, target tracking problem is considered and results obtained from the classical H2-optimal and the pro­ posed Hoo-optimal filters are compared.

1.

GiRi�

Zaman gecikmeli sistemler ic;in Hoo-siizgec; tasarlama sorunu son 10 Yll ic;erisinde [1, 2, 3, 4, 5] gibi c;ah§malarda ele ahnml§ ve Lyapunov tabanh yontemler kullamlarak birtaklm dogrusal matris e§itsizliklerinin c;oziimlerinden alt-optimal sonuc;lara vanlml§tlr. Degi§ik varsaYlmlar altmda ve/veya degi§ik sistem­ ler ic;in bu yontemin uzantlsl [6, 7] c;ah§malannda yer almak­ tadlr. Konu iizerinde elde edilen daha eski sonuc;lar ve geni§ kaynakc;a ic;in bakmlz [8, 9]. Siirekli zamanda tiirevsel den­ klemler ile modellenen sistemlerde zaman gecikmesi oldugu durumda sistem sonsuz boyutlu olmaktadlr. Bu tiir sistemler ic;in kestirim veya denetim yontemleri tasarlamak aym i§leri kesik zamanda gecikme ic;eren (sonlu boyutlu) sistemler ic;in yapmaya nazaran daha zordur. Bu c;ah§mada siizgec; tasanml bir model uyarlama sorununa donii§tiiriilmii§ ve siizgec;leme ile kontrol arasmdaki benze§imden faydalamlml§tJr. Aym yakla§lm [10] c;ah§masmda da yer alml§ ve yiiksek dereceli bir model ic;in siizgec; tasarlanml§tJr. Burada ikinci derece bir model (sabit hlZ

+ klsa siireli sabit ivme) ele ahnml§ ve dii§iik dereceli sistem­

ler ic;in siizgec; tasanmmm hesaplama aynntJlanna ve

siizge(,:in

kararlt ger(,:eklemesi

iizerine yogunla§llml§tJr. Bu konuya genel yakla§lmm anlatJldlgl [1O]'de verilen omegin bir benzeri bu­ rada ele ahnml§ ve [11]'de yapllan gozlemler kullamlarak Hoo-siizgec; yaplsmdaki alt-bloklann [10] c;ah§masmdaki1erden daha dii§iik dereceli transfer fonksi yonlar ile gerc;eklenebilecegi gosterilmi§tir.

978-1-4673-0056-8112/$26.00 ©2012 IEEE

Hitay Ozbay

Elektrik -Elektronik Miihendisligi B6li.imii

Bilkent Universitesi, Ankara

hitay@bilkent.edu.tr

Degi§ik sinyal i§leme sorunlanm model uyarlama soru­ nuna donii§tiirmek slk goriilen bir yakla§lmdlr, omekler ic;in [12, 13, 14]'e ve bunlann kaynakc;a listesine bakmlz. Siirekli zamanda c;ah§an zaman gecikmeli sistemler ic;in daha once elde edilen Hoo-model uyarlama tekniklerini (bakmlz [15]) kul­ lanan [10] hedef takibi ic;in bir H 00 -siizgec; elde etmi§tir. Bu

c;ah§mada [11]'de verilen Hoo-denetleyici yontemi kullamlml§ ve [1O]'de onerilen siizgec;te sadele§tirme yapllml§tJr.

Makalenin ikinci bOliimiinde, ele alman sistem tammlanml§tJr. Siizgec; tasarlama problemi bu b61iimde bir model uyarlama sorununa donii§tiiriilmii§tiir. Dc;iincii b61iimde, bu tiir gecikmeli sistemler ic;in tasarlanan H oo-denetleyicisi kullamlarak yeni bir siizgec; yaplsl elde edilmi§ ve siizgecin kararh bir §ekilde gerc;eklenmesi ic;in alt yapllan incelenmi§tir. Dordiincii bOliimde, bu yakla§lm hedef izleme sorununa uygulanml§ ve H2 ve Hoo siizgec;lerinin degi§ik durumlar altmda performanslan kar§J!a§tmlml§tlr.

2.

HEDEF iZLEME: SORUN TANIMI

Bu c;ah§mada hedef izleme sorununa onerilen yontemi en sade bic;imde sunmak ic;in bir boyutlu hareket ele almacaktJr. Aynca, hedef izleme sorunu herhangi bir dogrusal sistemin durum ke­ stirimine omek te§kil etmektedir. DolaYlslyla, burada incelenen yontem [10] makalesinde anlatIldlgl gibi daha genel durum ke­ stirimi sorunlanna da uygulanabilir.

Bir boyutta hareket eden bir aracm (hedef) durum denklem­ leri konum,

xp(t),

ve hlZ,

xv(t),

ic;in a§agldaki gibidir:

(1) (2) burada M aracm kiitlesi ve

Fx (t)

de uygulanan kuvveti gosterir. Denklem (2)'de hedefin manevrasma yol ac;an

�Fx(t)

terimi bir siirec; giiriiltiisii (yani hedefi takip eden ic;in bilinmeyen bir bozucu etki),

wp(t),

olarak dii§iiniilebilir. Hedefin konumunun gecikme ve 6lc;iim giiriiltiisii etkileri altmda durum denklemleri

Xl

=

Xp, X2

=

Xv

tammlyla yeniden §oyle yazllabilir:

XI(t)

X2 (t)

y(t)

X2(t)

wp(t)

XI(t - ho)

+

wo(t)

(3) (4) (5) Burada

y(t)

alman 6lc;iimleri,

wo(t)

6lc;iim giiriiltiisiinii,

ho

ise C;lktldaki gecikmeyi gosterir. Bu sistemin, zamamn

hI

saniye

ilerisindeki konumu tahmin edilmek istendiginde takip edilmek istenen degi§ken

z(t)

§oyle tammlanabilir:

(6) Sistemin i1eriye yonelik konum tahmini i,<in, 51,<iim

y(t)

ne­ densel bir siizge,<

Q( s)

'ten ge,<irilebilir; bu durumda z

( t)

i,<in

yapJlan kestirim

2(t),

Laplace donii§iimii kullamldlgmda,

2(s) = Q(s)Y(s)

(7)

olarak gosterilebilir.

Hedefin hareketini saglayan siire,< giiriiltiisii i1e 51,<iim giiriiltiisii aym seviyelerde olmayacagl i,<in bir 51,<eklendirme katsaYIsI,

p,

tammlayarak sisteme dl§andan giren sinyalleri §oyle yazabiliriz:

w(t) :=

[WP(t)]

_{wo(t) =:}

[ WI

_pW2

(t)

₍

_t

₎

]

. Kestirim hatasl

e(t) = z(t) � 2(t)

(8)

olarak tammlandlgmda, Hoo optimal siizge,< tasanml a§agldaki mali yet fonksiyonunu en kii,<iik yapar:

(9) Hata, (5) - (8) denklemleri altmda frekans alanmda

olarak gosterilebilir. Ol,<iim gecikmesi ve kestirim siiresinin toplamml

h := ho

+

h

I

olarak tammlamrsak (10) denklemi

e-h18 E(s) =

(I � Q(s)e-h8)X1(s) � Q(s)Wo(s)

(11) olarak yazllabilir. Sistemin frekans alamnda konumu,

Xl (s),

(3) ve (4) e§itliklerinden

(12) olarak bulunur. Tipik olarak siire,< giiriiltiisii,

wp(t),

takip edilen hedefe klsa siireli manevralar yaptIran bir klsa siireli vurumlardan olu§an bir sinyal olarak modellenebilir. Boylece hedef izleme sorunu bir Hoo model uyarlama sorununa donii§tiiriilmii§tiir:

supE

w7'o IIwI12

HQ

(s)

II

[HQ(s) �pQ(s)llloo'

(13) (14) Burada,

wp(t)

girdisinden

e(t �

hI)

,<lktIsma olan transfer fonksi yonu, H Q

( s

), hata sistemi

olarak adlandmlabilir.

3. Hoo

OPTiMAL SUZGE<; TASARIMI

3.1. Siizgel; Parametrelerinin Hesapianmasl

Denkem (14)' iin sag tarafmdaki normu en kii,<iik yapan kararh bir

Q(s)

buiunmasl a§aglda tammlanan Hoo-karma duyarhhk azaltIml problemine denktir:

(15)

En kii,<iik maliyet degeri 10 a§agldaki Hoo-optimal siizge,< tarafindan saglamr, [15],

I

=

10 ve diger terimler a§agldaki gibi hesaplamr:

Optimal siizge,<te yer alan

L( s)

teriminin hesabl i,<in a§agldaki i§lemler yaplhr, bakmlz [11]. Once

L( s)

'in yaplsl belirlenir:

L(s)=±l�cps.

1 +

cps

(17)

Daha sonra kompleks diizlemde I'ya bagh §u noktalar tammlamr:

Simdi

Q( s)

'in §u aradegerleme ko§ullanm saglamasl gerek­ mektedir:

-h8

I

s

2

I

O=l +e

_ps

2

b

L(s)

, i=1,2 .

(19)

+

a-ys

+

-y

8={3,

Denklem (19) i,<inde

(31 =

}y

ve

(3

2

=

-7t

degerleri yerine konuldugunda

(20) e§itlikleri elde edilir.

Yukandaki denklemleri sade bir bi,<imde yazabilmek i,<in

x:=

ph h:=

hl-/P

r

-y :=

-x-+-y

-::::

1 =-=x=2=-+

-y'r2 =x=Y""1

= -

===

x

= 2

e-jh..jX

q-y :=

----�===----r

==

�===

x-� -jy'2x�

tammlanm yapahm. Bu durumda (20) bize §u ko§ulu verir:

Bu e§itligin iki tarafl arasmdaki mutlak fark

(21 ) (22)

(23)

(24) olarak tammlamrsa, en kii,<iik maliyet, 10,

f±

fonksiyonunu

+

veya - i§aretle slflr yapan en kii,<iik

x

E

(0 ,1)

degerinden bu­ lunur. Yani,

x

E

(

0,

1)

arahgmda

f+(x)

=

0 ve

f-(x)

=

0 ,<oziimleri ara§tmhr, en kii,<iik ,<oziim

x

bize optimum I

=

pix

bu en kiiC;iik x bulunuyorsa siizgec;i tammlayan L( s) fonksiy­ onunun (17)'deki gosteriminde de aym i§aret kullamhr.

SaYlsal degerler olarak

h

= 1 ve p =

0.25

almdlgmda J±

fonksiyonunu en kiiC;iik yapan x degerinin hesaplanmasl �ekill ile gosterilmi§tir. Goriildiigii iizere bu ornekte

+

i§areti ic;in f'i

slfir yapan en kiiC;iik x =

0.2882

bulunmu§tur. DolaYlslyla

"(0 =

0.2882v'0.25

=

0.

1441 elde edilir. Buradan da L(s)'i

tammlayan ¢ degeri (20) ile hesaplamr ve C;lkan L( s) §u olur:

10' 10'

....

10' 10·' 10" 10" 10" 0.2 0.4 0.6 X 0.8 1.0

�ekill:

h

= 1 ve p =

0.25

ic;in f±(x) degerleri.

(25)

3.2. Sonlo Diirtii Yamth ve Dii!?iik Dereceli Sistemler Kol­ lamlarak Tasarlanan Siizgec;in Kararh Gerc;eklenmesi Optimal siizgec; Q( s) 'in (16) ile gosterimi 4 adet kutup

slflr sadele§tirmesi ic;ermektedir

(f31, ... , f34

noktalannda).

DolaYlslyla siizgecin kararh bir bic;imde gerc;eklenmesi onemli bir sorundur. Bunun ic;in ilk olarak §u gosterimden yola C;lkacaglz:

(

,,(S2 (PS2 +

a'"(s

+

)

1-

$) L�l(S) +e�hS

)

�1

Q(s) -

-1-"(2s4

(26) ve

¢

:= ¢/

yIP, :5

:=

v'P

s tammlanm yapacaglz.

Bu durumda Q(s) §u §ekilde yeniden yazllabilir, [16]:

Yukandaki gosterimin en onemli noktasl Q siizgecinin bir­ inci derece kararll sistemler ile (1

+ _:(:5)

2 ) teriminin geri s - x

beslemesi olarak gerc;eklenebilecegini gostermesidir. Burada

B(:5)

:54

- x2

(yI2"i);

+ ¢b'"( ):53 + b'"(:52 + ¢x2:5 +

x2(1

+ ¢yI2"i);)

:54

- x2 x(l -

¢:5)e�iis

+

(28)

olarak tammlanml§tlr. �imdi

A�

r�

1

0

�]

II

�

r�]

0

1 (29)

0 0

x2

0 0

C

=

[

x2(1

+ ¢yI2"i);)

¢x2

b'"(

( yI2"i);

+ ¢b'"()]

(30) olarak tammlarsak, §U e§itligin saglandlgl anla§lhr:

_CeAii

=

[

x

-¢x

0 0].

(31) Boylece (28) denklemindeki gosterim

_ B(:5)

₌

_{C(sI _A)�l B_Ce�ii(SI�A)(sI _A)�l B}

(32) S4 - x2

§eklinde de yazllabilir; yani (32) ile gosterilen terim bir FIR siizgec;tir:

L�l

{

_ B(:5)

}

=

h

(

t

) =

{

CeAt B

S4 - x2

0

O-<;t-<;h

diger durumlarda (33) 3.3. H 2 Optimal Siizgec;

Yukanda tartl§llan hedef takibi ic;in maliyet fonsiyonunu §imdi §U §ekilde degi§tirelim: HQ (s) aym (14)'deki gibi,

-pQ(s)

] 11

_{2 .}

Bir seri ic;sel-dl§sal c;arpanlara aylrma yontemiyle (baklmz [IS]) bu sorun a§agldaki bir blok problemine donii§tiiriiliir:

. f

II

1 pS2 + v'2Ps + 1

_�hs

QII

Q��oc S2(pS2 - v'2P s

+

1 ) - S2

e

2

Bu problemin c;oziimii de

L

2

[0

,

h]

uzayma izdii§iimler

ile bulunur (bu hesaplamalann aynnttlan yer darhgmdan verilmemi§tir). Burada i1ginc; olan nokta, C;lkan H2-optimal siizgec; ikinci derece bir fonksiyondur:

Q2(S) = 1

+

(h +

v'2P)s .

(pS2

+

v'2Ps

+

1)

4.

BENZETiM SONU£;LARI

(34)

Bir onceki boliimde ele alman parametre degerleri,

h

= 1

ve p =

0.25

ic;in Hoo ve H2 optimal siizgec;ler yukandaki

gibi hesaplanml§ ve klsa siireli manevra yaptlran bir siirec; giiriiltiisii uygulanml§tlr. Aynca Olc;iim giiriiltiisii olarak ise dii§iik giic;te bir beyaz giiriiltii verilmi§tir. �ekil 2 bu deney ic;in benzetim sonuc;lanm gostermektedir. Sonuc; olarak Hoo­ optimal siizgec; H2 optimal siizgece nazaran daha kiiC;iik takip hatasl vermektedir.

Yukanda verilen degerler ic;in tasarlanan Hoo ve H2 op­ timal siizgec;lerden elde edilen hata sistemine, yani (14) i1e tammlanan HQ(s)'e, ait genlik grafigi �ekil 3'te gosterilmi§tir. Bu §ekilden de goriilecegi gibi dii§iik frekanstaki hata sistemi kazancl H2 siizgec;te Hoo optimal siizgec;tekine nazaran 1.75 kat daha fazladlr ama 2.5 radlsn'den daha yiiksek frekanslar­ daki bozucu etkiye kar§lhk gelen hata H 00 optimal siizgec;te

daha fazla olmaktadlr. DolaYlslyla, dii§iik frekans ic;erigi olan bir bozucu etki,

wp(t),

ic;in Hoo siizgec; sec;ilmelidir; bozucu etki yiiksek frekansli ic;erikli bir sinyal ise H 2 siizgec; tercih edilmelidir.

0.3 ,---,--...,--.---,--�r=========;] 0.25· -0.05 · -0.1 . -0.15 o .. -.� 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zaman(sn)

Sekil 2:

h

= 1 ve p = 0.25 i\;in hedef izleme hata sinyali.

Hata Sistemi Genligi: 1(1-e-ih"'OUw))/w21

- --H2 suzgec

1 0-3 L---'---'--'.---'-'c..cL._'----'-'--'-'-'-'."---_--'--'----'�_-'---'<L..J

1 0-2 10-1 10° 10 1

Frekans (rad/sn)

Sekil 3:

h

= 1 ve p = 0.25 ic;in hata sistemi genligi,

IHQ(jw)l.

5.

SONU<;

Bu c;ah§mada siirekli zamanda modellenen manevra dinamik­ leri olan hedefler ele almml§, zaman gecikmeli gozlemler altmda hedef izleme ic;in daha once [lOrde onerilen Hoo­ siizgec; tasanmmda sadele§tirme yapllabilecegi gosterilmi§tir. Burada elde edilen siizgec;, problem verilerinden

anali­

tik olarak tiiretilen

saYIl (skaler) bir denklemin, (24), c;oziimiinii gerektirmektedir. Elde edilen siizgecin kararh bir §ekilde gerc;eklenmesi birinci dereceli bir alt-sistem ve bir FIR­ siizgecinin belirli §ekilde geri besleme ile baglanmasma dayan­ maktadlr. Ote yandan, [10] makalesindeki siizgec;, parametreleri ancak niimerik yontemlerle hesaplanabilen ikinci derece alt­ bloklardan ve burada elde edilenden daha karma§lk bir FIR siizgecinden olu§maktadlr.

Hedef izleme sorununa uyarlama ile elde edilen sonuc;lar gostermektedir ki onerilen

H

00 -siizgec; dii§iik frekans ic;erikli

siirec; giiriiltiisiinii etkin bir bic;imde bastJrmaktadlr. Ote yandan yUksek frekans ic;erikli 6lc;iim giiriiltiisiinii bastJrmak aC;lsmdan

H 2

siizgec; daha etkin olmaktadlr.

6.

KAYNAK<;A

[1] E. Fridman, U. Shaked; "A new

H

00 filter design for linear

time delay systems,"

IEEE Trans. on Signal Processing,

vol. 49 (2001), pp. 2839-2843.

[2] E. Fridman, U. Shaked, L. Xie; "Robust

Hoo

Filtering of Linear Systems With Time-Varying Delay,"

IEEE Trans.

on Automatic Control,

vol. 48 (2003), pp. 159-165. [3] L. Mirkin, "On the extraction of dead-time controllers

and estimators from delay-free parameterizations"

IEEE

Trans. on Automatic Control

Vol. 48, 2003, pp. 543-553. [4] G. Tadmor, L. Mirkin; "Control and Estimation With Pre­ view - Part I: Matrix ARE Solutions in Continuous Time,"

IEEE Trans. on Automatic Control,

vol. 50 (2005), pp. 19-28.

[5] S. Xu, J. Lam, T. Chen, Y. Zou; "A Delay-Dependent Approach to Robust

Hoo

Filtering for Uncertain Dis­ tributed Delay Systems,"

IEEE Trans. on Signal Process­

ing,

vol. 53 (2005), pp. 3764-3772.

[6] Z. Wang, F. Yang, D.W.C. Ho, X. Liu; "Robust

Hoo

Filtering for Stochastic Time-Delay Systems With Miss­ ing Measurements,"

IEEE Trans. on Signal Processing,

vol. 54 (2006), pp. 2579-2587.

[7] X-M. Zhang, Q-L. Han; "Robust

Hoo

filtering for a class of uncertain linear systems with time-varying delay,"

Au­

tomatica,

vol. 44 (2008), pp. 157-166.

[8] M. Mahmoud;

Robust Control and Filtering for Time­

Delay Systems,

New York: Marcel Deccer, 2000. [9] K. M. Nagpal and R. Ravi;

"Hoo

Control and Estimation

Problems with Delayed Measurements: State Space Solu­ tions"

SIAM J. ControlOptim.

Vol. 35, 1997, pp. 1217-1243.

[10] S. Ezercan, H. Ozbay,

"Hoo

Filter Design for Vehi­ cle Tracking Under Delayed and Noisy Measurements,"

Proc.

2007

IEEE Intelligent Vehicles Symposium,

Istan­ bul, Turkey, June 13-15, 2007, pp. 1290-1295.

[11] H. Ozbay; "Computation of

Hoo

Controllers for Infi­ nite Dimensional Plants Using Numerical Linear Alge­ bra,"

Numerical Linear Algebra with Applications,

2012, 001: 1O.1002/nla.1809.

[12] A. T. Erdogan, B. Hassibi, T. Kailath; "On Linear

Hoo

Equalization of Communication Channels,"

IEEE Trans.

on Signal Processing,

vol. 48 (2000), pp. 3227-3231. [13] A. T. Erdogan, B. Hassibi, T. Kailath; "MIMO Decision

Feedback Equalization from an

H

00 Perspective,"

IEEE

Trans. on Signal Processing,

vol. 52 (2004), pp. 734-745. [14] B. Hassibi, A. H. Sayed, T. Kailath;

Indefinite-Quadratic

Estimation and Control: A Unified Approach to

H2

and

Hoo

Theories,

Philadelphia, PA: SIAM, 1999.

[15] C. Foias, H. Ozbay, A. Tannenbaum;

Robust Control of In­

finite Dimensional Systems: Frequency Domain Methods,

LNCIS No. 209, Springer-Verlag, London, 1996. [16] S. Giimii§soy; "Coprime-inner/outer factorization of SISO

time-delay systems and FIR structure of their optimal H­ infinity controllers,"

International Journal of Robust and

Nonlinear Control,

2011,001: 10.1 002/mc.1740