Zaman skalası üzerinde yüksek mertebeden lineer olmayan dinamik sistemler için pozitif çözümlerin varlığı

Anabilim Dalı : Matematik

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ Mustafa GÜNENDİ

ARALIK 2011

ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN DİNAMİK SİSTEMLER İÇİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİN

VARLIĞI

ÖNSÖZ

Bu çalışmada zaman skalası üzerinde ele alınan yüksek mertebeden lineer olmayan bir dinamik sistem için sabit nokta teoremlerini kullanarak koni üzerinde pozitif çözümlerinin varlığı için koşullar incelenmiştir. Bu tez çalışmasını hazırlarken değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, anlayışını, emeğini ve zamanını esirgemeyen çok kıymetli hocam Sayın Doç. Dr. İsmail YASLAN’a ve bu süreçte hoşgörü ve sabırla beni destekleyen aileme teşekkürü bir borç bilirim.

Aralık 2011 Mustafa GÜNENDİ

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... v

SUMMARY ...vi

1. GİRİŞ ... 1

2. ZAMAN SKALASI İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER ... 2

2.1Zaman Skalasında Türev ... 3

2.2Zaman Skalasında Yüksek Mertebeden Türev ... 6

2.3Zaman Skalasında İntegral ... 7

3. ZAMAN SKALASINDA YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN DİNAMİK SİSTEM İÇİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİN VARLIĞI... 11

3.1Green Fonksiyonu ve Özellikleri ... 11

3.2Herhangi Bir Çözümün Varlığı ... 18

3.3Pozitif Çözümlerin Varlığı ... 21

3.3.1 En Az Bir Pozitif Çözümün Varlığı ... 21

3.3.2 En Az İki Pozitif Çözümün Varlığı ... 32

3.3.3 En Az Üç Pozitif Çözümün Varlığı... 37

4. SONUÇ ... 47

KAYNAKLAR ... 48

ÖZET

ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN DİNAMİK SİSTEMLER İÇİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİN

VARLIĞI

Bu tez üç ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ele alınan problem tanıtılmıştır. İkinci bölümde, zaman skalası ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak, yardımcı lineer sınır değer probleminin Green fonksiyonu yapılmış ve bu fonksiyonun özellikleri incelenmiştir. Sonra, lineer olmayan sistem, lineer olmayan integral denkleme indirgenmiştir ve Schauder sabit nokta teoremi yardımıyla lineer olmayan sistemin en az bir çözümünün varlığı için kriter elde edilmiştir. Ardından da, lineer olmayan sistemin en az bir pozitif çözümünün varlığı dört fonksiyonel sabit nokta teoremi yardımıyla, en az iki pozitif çözümünün varlığı Avery-Henderson sabit nokta teoremi yardımıyla ve en az üç pozitif çözümünün varlığı için yeterli koşullarda beş fonksiyonel sabit nokta teoremi yardımıyla ispatlanmıştır.

SUMMARY

EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTIONS FOR HIGHER ORDER NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS ON TIME SCALES

This thesis consists of three chapters. In chapter 1, discussed problem is introduced. In chapter 2, some basic definitions and theorems on time scales are given. In chapter 3, firstly, a Green’s function of the auxiliary linear boundary value problem is constructed and the properties of the Green’s function is investigated. Then, nonlinear system is reduced to a nonlinear integral equation and we have obtained criteria for the existence of at least one solution for nonlinear system by using Schauder fixed point theorem. And then, we establish some sufficient conditions for the existence of at least one, two, and three positive solutions for nonlinear system by using four functional fixed point theorem, Avery-Henderson fixed point theorem and five functional fixed point theorem, respectively.

1. GİRİŞ

Bu tez çalışmasında zaman skalası üzerinde yüksek mertebeden lineer olmayan dinamik sistemler için pozitif çözümlerin varlığı incelenmiştir.

Son yıllarda birçok matematikçi zaman skalası üzerinde ikinci dereceden üç nokta sınır değer problemlerini konu alan çalışmalar yapmıştır.[ 1, 2, 12, 18, 20, 21]

Anderson ve Avery [3] makalesinde

 

 

 

 



 







 

 

 

 

 

 

1 , , , 0, , 0 1 n i i i n x t h t f x t t a c n x a x c x b i n                      T N

sınır değer probleminin koni üzerinde en az bir pozitif çözümünün varlığı için koşullar elde etmiştir.

Ayrıca Sang ve Su [19],

 



 







 

 

 

 

 

, 0, 0, 0 , , 0 0, 1, 2,..., 2 n i u t f t u t t T u u  u T u  u i n    _{  }         

üç nokta sınır değer probleminin en az bir çözümünün varlığı problemini incelemiştir.

Bunlara ek olarak Yaslan [22] makalesinde T _{bir zaman skalası ,}

1, ,2 3

t t t  T , n  N, t₂



t₁,

_{ }

t₃



,  0, 1 ve f₁:_t₁,

_{ }

t₃ _rr r

sürekli fonksiyonlar olmak üzere,

 

 





 





 









 



 





 



 

2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 1 3 1 2 1 , , , , 0, , 0 1 n i i i i n y t f t y t y t t t t y t y t y t y t i n                            

üç nokta sınır değer probleminin koni üzerinde en az bir, iki ve üç pozitif çözümünün var olması problemlerini incelemiştir.

Zaman skalası üzerinde ortaya koyulmuş sistemi açıklayalım.

T _{bir zaman skalası ,}

1, ,2 3

t t t  T , n m  N, , t₂



t₁,

 

t₃



,  0, 1 ve

 

1,2 : 1, 3

f _t  t _rrr _{sürekli fonksiyonlar olmak üzere,}

 

 





 





 









 

 





 





 









 



 





 



 

 



 





 



 

2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 1 3 1 1 1 3 1 3 1 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 , , , , 1 , , , , 0, , 0 1 0, , 0 1 n m i i i i j j j j n m y t f t y t y t t t t y t f t y t y t t t t y t y t y t y t i n y t y t y t y t j m                                         _{     }          

sistemi için sabit nokta teoremlerini kullanarak, koni üzerinde en az bir, iki ve üç pozitif çözümün var olması için koşullar elde edeceğiz.

2. ZAMAN SKALASI İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER

Tanım 2.1: Reel sayıların boştan farklı kapalı bir alt kümesine zaman skalası denir ve T ile gösterilir. Örnek olarak reel sayılar, tam sayılar, doğal sayılar ve Cantor kümesi birer zaman skalasıdır. Bunun yanında rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, karmaşık sayılar ve



0,1 aralığı birer zaman skalası değildir.



Tanım 2.2: T bir zaman skalası olsun.  T için t 

 

t inf



sT:st



_ile

tanımlı :T_{T operatörüne ileri sıçrama operatörü denir.}

Tanım 2.3: T bir zaman skalası olsun.  T için t 

 

t sup



sT:st



_ile

tanımlı :TT_{operatörüne geri sıçrama operatörü denir.}

Tanım 2.4: Eğer T nin maksimum elemanı t ise ₁ 

 

t ₁ t₁ ve T _{nin minimum}

elemanı t ise ₂ 

 

t₂ t₂ olarak tanımlanır.

Tanım 2.5: Eğer 

 

t  ise t noktasına sağ-yayılmış nokta, t 

 

t  ise t t

noktasına sol-yayılmış nokta denir. Hem sağ-yayılmış hem de sol-yayılmış olan noktalara izole(ayrık) noktalar denir.

Tanım 2.6: Eğer t supT _{ve }

_{ }

_{t  ise t noktasına sağ-yoğun nokta ,t t infT}

ve 

 

t  ise t noktasına sol-yoğun nokta denir. Hem sağ-yoğun hem de sol-t

yoğun olan noktalara ise yoğun noktalar denir.

Örnek 2.1: Eğer T = r _{ise t  T için }

 

_{t inf}



_sT_:st



_{inf( , )t  t ve} benzer şekilde 

 

t  elde edilir. Öyleyse her t t  T noktası yoğun noktadır.

Örnek 2.2: T =Z ise   r için t 

 

t   ve t 1 

 

t   olduğundan T deki t 1 her nokta izole noktadır.

Örnek 2.3: T zaman skalasını _{ 0} 1 _{:n x : 2 x 3    4 5}

n

 

_  _     

 

T = N r

olarak alalım. Bu durumda

i) Her t 



2,3



noktası sağ yoğun ve sol yoğun noktadır. ii) 2 noktası sağ yoğun ve sol yayılmış noktadır.

iv) 4 noktası izole noktadır.

Tanım 2.7:   T için t 

_{ }

t 

_{ }

t  ile tanımlı t :T



0,



_fonksiyonuna graininess fonksiyonu denir.

Tanım 2.8: Eğer T sol-yayılmış maksimum m elemanına sahip ise T T

_{ }

m

ile tanımlanır. Özetle;







\ sup , sup , sup

, sup             T T T T T T T şeklinde yazılabilir.

Eğer f :Tr _{bir fonksiyon ve f} _:T_{r fonksiyonu   T için t}

 



 



f t  f  t ile tanımlanır.

Bir T _{zaman skalasında}



_{a b aralığı ,}





_{a b,}



_



_tT_{:a t b}



_olarak tanımlanır.

Zaman skalasında süreklilik ve türev kavramlarını verebilmek için, öncelikle zaman skalasında komşuluk kavramına ihtiyacımız olacaktır.

Tanım 2.9: U  T olsun. Her  > için 0 U_

 

t 



sT: s t 





_{kümesine t} nin  komşuluğu denir.

Tanım 2.10: t  T olsun. Verilen her ₀   ve her 0 tU t

_{ }

₀ için,

 

 

0

f t  f t 



olacak şekilde bir U t

_{ }

₀ komşuluğu bulunabiliyorsa

:

f Tr _fonksiyonuna

0

tt noktasında süreklidir denir. Örnek 2.4: f :Tr_,

_{ }

, 0 1 , 0 t t f t t t          fonksiyonu verilsin. a) Tr _{ise f , t  da süreklidir. 0} b) TZ _{ise f ,   Z de süreklidir. t}

2.1 Zaman Skalasında Türev

Tanım 2.1.1: f :Tr _{bir fonksiyon ve t T} _{olsun.   sayısı verildiğinde  0}

t nin bir U komşuluğu vardır öyle ki s U  için,

f





_{ }

t



f s

_{ }

f

_{ }

t





_{ }

t s



 

_{ }

t s

oluyorsa f

 

t sayısına f ’nin t noktasındaki delta türevi denir.

Eğer f fonksiyonu tüm T kümesi üzerinde delta türevlenebilir ise  f

 

t ,

t 

  T için mevcuttur. f:T _{r fonksiyonuna ise f ’nin T kümesindeki}  delta türev fonksiyonu denir.

Teorem 2.1.1: f :Tr _{fonksiyonu ve t} 

 T verilsin. i) f , t de türevlenebilir ise f , t de süreklidir.

ii) f , t de sürekli ve t sağ-yayılmış ise f , t de türevlenebilirdir ve

 



 



 

 

f t f t f t t     

iii) t sağ-yoğun bir nokta olsun.

f , t de türevlenebilirdir lim

 

 

s t f t f s t s     limiti mevcuttur ve

 

lim

 

 

s t f t f s f t t s      olur.

iv) f , t de türevlenebilir ise, f





 

t



 f t

 



 

t f

 

t olur. Örnek 2.1.1: Tr _ve T_Z _{durumlarını inceleyelim.}

i) Tr _{ise Teorem 2.1.1. den f :}r_r_{, t  r de delta türevlenebilirdir.}

t sağ-yoğun bir nokta olduğundan,

 

lim

 

 

s t f t f s f t t s    

 sonlu bir sayı olarak mevcuttur. Yani f türevlenebilirse f( )t  f

_{ }

t dir.

ii) TZ _{iken Teorem 2.1.1. den f :}Z_r _{delta türevlenebilen t noktaları}

sağ-yayılmıştır.

 



 



 

 





 





 

 

1 1 1 f t f t f t f t f t f t f t f t t t t                Burada  alışılmış ileri fark operatörüdür.

Teorem 2.1.2: f g, :Tr _{,t T} _{noktasında türevlenebilir olsun. O halde,}

ii)  gibi herhangi bir sabit için f :Tr _{fonksiyonu t noktasında}

türevlenebilir ve bu türev,



 f

  

 t  f( )t



dir.

iii) f g, :Tr_{, t T} _{noktasında türevlenebilir ve bu türev,}



fg



( )t f( ).t g t

 

g( ).t f





 

t



f( ).t g





 

t



g( ).t f t

 

   

iv) f t f

 





 

t



 olmak üzere 0 1

f , t   T noktasında türevlenebilir ve

 



 



1 ( ) ( )t f t f f t f  t  _         dır. v) g t g

 





 

t



0 olmak üzere f g , t   T noktasında türevlenebilir ve

 

 

 



 



( ) ( ) ( ) f t g t f t g t f t g g t g  t  _{ }         olur.

Önerme 2.1.1:[8] f :

_

a b  r,

_

monoton artan bir fonksiyon ise,  t



a b,



için

 

0

f t  olur.

Önerme 2.1.2:[8] f :

_

a b  r,

_

monoton azalan bir fonksiyon ise,  t



a b,



için

 

0

f t  olur.

Teorem 2.1.3: Eğer f :Tr _fonksiyonu



_{a b üzerinde sürekli ve ,}





_{a b ,}

_

üzerinde  türevlenebilir olsun. f a

 

 f b

 

ise  , 



a b,



vardır ki f

 

  0 f

 



eşitsizliği doğrudur.

İspat: f a

 

 f b

 

olduğundan ve f t sürekli bir fonksiyon olduğundan ya

 

 

f t sabit bir fonksiyondur yada f t en az bir noktada ekstremuma sahiptir. O

_{ }

halde f t nin

 



a b içinde minimum ,



m ve maksimum M değerine sahip olduğu noktalar vardır. Eğer f t sabit ise

 

 t



a b,



için f

 

t  dır. 0

Eğer f t fonksiyonu bir

 

 noktasında maksimum M değerine ve 

noktasında minimum m değerine sahip ise  türev tanımından f

 

 0

 ve f

 

 0  elde edilir. O halde f

 

 0 f

 



  dır.

Teorem 2.1.4: (Ortalama Değer Teoremi) f :Tr _fonksiyonu

_

_{a b üzerinde ,}

_

sürekli ve



a b üzerinde ,



 türevlenebilir olsun. f a

 

 f b

 

ise  , 



a b,



vardır ki f

 

f b

 

f a

 

f

 

b a         eşitsizliği doğrudur. İspat:



a b ,



de h t

 

f t

 

f a

 

f b

 

f a

 



t a



b a       fonksiyonunu

tanımlayalım. h t ,

 

_

a b,

_

de sürekli,



a b de ,



 türevlenebilir ve

 

0

 

h a  h b elde edilir. O halde Teorem 2.1.3. den dolayı  , 



a b,



vardır ki

h

 

 0h

 



elde edilir. O halde

f

 

f b

 

f a

 

0 f

 

f b

 

f a

 

b a b a             olur. Buradan da f

_{ }

f b

 

f a

 

f

_{ }

b a         eşitsizliği doğrudur.

Sonuç 2.1.1: Eğer f :Tr _fonksiyonu



_{a b  T üzerinde ,}



k _{ türevlenebilir}

ve her t



a b,



 T için k f

 

t  ise 0 f fonksiyonu sabittir. 2.2 Zaman Skalasında Yüksek Mertebeden Türev

Tanım 2.2.1: f :Tr _{bir fonksiyon olsun. :} k

f T _{r fonksiyonu}

 

2 k

k k



T T _{da  türevlenebilir ise, f fonksiyonu ikinci mertebeden} türevlenebilirdir denir ve

olur. Benzer şekilde, f nin n. mertebeden  türevleri f n :Tkn r _ile

tanımlanır. Her t  T için

2

 

t  



 

t



ve 2

 

t  



 

t



ile tanımlanır ve buna göre n  N için n

 

t ve n

 

t benzer şekilde ifade edilir. Ayrıca, 0

 

t 0

 

t  , t f0  f ve Tk0 T _{olarak tanımlıdır.}

Örnek 2.2.1: T _{herhangi bir zaman skalası olsun. f :}T_r_{, her t  T için}

 

f t  alalım. t f

_{ }

t _1 _{olduğunu biliyoruz. O halde her t  T sağ yoğun ise} k2

 

 

 

lim

 

 

lim1 1 0 s t s t f t f s f t f t t s t s               

ve her t  T sağ yayılmış ise k2

 

 

 



 



 

 

 

1 1 0 f t f t f t f t t s t s                 olduğu görülür.

2.3 Zaman Skalasında İntegral

Tanım 2.3.1: f :Tr _{fonksiyonu verilsin. Eğer F:}T_{r fonksiyonu T} k üzerinde  türevlenebilir ve her k

t  T için F

_{ }

t  f t

_{ }

ise, F fonksiyonuna

f nin  anti türevi veya ilkeli denir.

Tanım 2.3.2: Eğer f :Tr _{fonksiyonunun  anti türevi varsa, f ye  }

integrallenebilir fonksiyon denir. Bu durumda a ve b , T _{içinde herhangi noktalar}

olmak üzere f nin a dan b ye  integrali

_{ }

_{ }

_{ }

b a f t  t F b F a



olarak tanımlanır.

Teorem 2.3.1: f :Tr _{ve g:}T_r _{fonksiyonları  integrallenebilir}

olsunlar. Bu durumda her a b c  T, , için aşağıdaki ifadeler doğrudur.

1.

 

 

 

 

b b b a a a f t g t  t f t  t g t t    







2. Her k sabiti için

 

 

b b

a a

kf t  t k f t t

3.

 

0

a a

f t

 

t



4.

_{ }

_{ }

b a a b f t   t f t t





5.

 

 

 

b c b a a c f t  t f t  t f t t







6.



 



 

   

   

b b b a a a f  t g t t f t g t f  t g t t    





7.

 

 

   

 



 



b b b a a a f t g t  t f t g t  f  t g



t t





Teorem 2.3.2:[8] f :Tr _{fonksiyonu  integrallenebilir olsun. Bu durumda}

k t  T için

 

 

 

 

t t f s s t t f t    _  _



eşitliği doğrudur.

Teorem 2.3.3:[8] f :



a b  r bir fonksiyon olsun. Eğer her ,



t



a b,



için

 

0

f t  ise f fonksiyonu artandır.

Teorem 2.3.4:[8] T _{bir zaman skalası olsun. aveb} T _{içinde a olacak şekilde b}

iki nokta ve f t ve

 

g t fonksiyonları

_{ }

T _{de  integrallenebilir olsunlar. Her}



,



t a b için 1. f t  ise

 

0

 

0 b a f t  t



2. f t

 

g t

 

ise

_{ }

_{ }

b b a a f t  t g t t





3. f t

_{ }

g t

_{ }

ise

_{ }

_{ }

b b a a f t  t g t t





4.

_{ }

_{ }

 

  



sup b b a t t a a f t t f t t f t b a         _{ }   





ifadeleri doğrudur.

Teorem 2.3.5:[8] T _{bir zaman skalası olsun. a b  T, ve a olsun. Eğer b}





: ,

f a b  r fonksiyonu



a b üzerinde sürekli ise aşağıdaki eşitlikler doğrudur. ,



1.

 

 

 

 



 



b b a a f t t f t t b b f b 





   _  _





2.

 

 

 

 

  b b a a f t t a a f a f t t    _  _  





Örnek 2.3.1:[8] T _{bir zaman skalası olmak üzere a b  T, ve f :}T_r

sağ-yoğun sürekli fonksiyon olsun.

1. Eğer Tr _ise

 

 

b b

a a

f t  t f t dt





olur. Burada eşitliğin sağındaki integral analizden bilinen Riemann integralidir.

2. Eğer TZ _ise

 

 

 

1 1 0 b t a b a a t b f t a b f t t a b f t a b           _      







sağlanır.

3. Eğer



a b aralığı sadece izole noktaları içeriyorsa ,



 

   

 

   

  , , 0 t a b b a t b a f t t a b f t t a b f t t a b          _  _{ }  







sağlanır.

Örnek 2.3.2:[10] TZ _{için a  olmak üzere 0}



a t

t



_{belirsiz integralini}

inceleyelim. 1 1 1 1 t t t t t a a a a a a a a  _                     olduğundan





1 t t a a t c c sabit a     



elde edilir.

Örnek 2.3.3:[10] T 

_

1,1

_{ }

 3, 4

_

_olsun. 1 t s s  



integralinin değerini hesaplayalım. t  ise 1 2 1 1 1 2 2 t t t s s sds      





3 t  ise



 



  



1 3 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 2 t s s s s s s  f             







3 t  ise 3 2 1 1 3 3 3 2 2 2 t t t t s s s s s s s sds           









2 2 9 5 2 2 2 2 2 t t      elde edilir.

3. ZAMAN SKALASINDA YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN DİNAMİK SİSTEM İÇİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİN VARLIĞI

Bu bölümde T _{bir zaman skalası,}

1, ,2 3

t t t  T , n m  N, , t₂



t₁,

 

t₃



,

0, 1

    ve f_1,2 :_t₁,

_{ }

t₃ _rr r _{sürekli fonksiyonlar olmak üzere,}

 

 





 





 









 

 





 





 













 



 





 



 

 



 





 



 





2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 1 3 1 1 1 3 1 3 1 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 , , , , 3.1 1 , , , , 0, , 0 1 3.2 0, , 0 1 n m i i i i j j j j n m y t f t y t y t t t t y t f t y t y t t t t y t y t y t y t i n y t y t y t y t j m                                         _{     }          

sistemi ele alınacaktır. Öncelikle sistemin Green fonksiyonu ile ilgili özellikler ortaya koyulacak ve Schauder Sabit Nokta Teoremi [17] teoremi yardımı ile (3.1)-(3.2) sisteminin çözümünün varlığı gösterilecektir. Sonra ise (3.1)-(3.1)-(3.2) sisteminin pozitif çözümlerinin varlığı incelenecektir. Bu bölümde 

_{ }

t₃ sağ yoğun olarak kabul edilecektir. Bunun sonucu olarak j 1 için j

 

t₃ 

 

t₃ olacaktır.

3.1 Green Fonksiyonu ve Özellikleri

 



1

 

, 2

 



y t  y t y t fonksiyonunun (3.1)-(3.2) sisteminin bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul y:_t₁,

 

t_{3 }_t₁,

 

t₃ _r_{ile tanımlanan}

sürekli fonksiyonun t



t t₁, ₃



için (3.1) denklemlerini ve (3.2) sınır koşullarını sağlamasıdır.

Ele alınan (3.1)-(3.2) sisteminin y t

 





y t₁

 

,y t₂

 



şeklinde bir çözümünün var olduğunu bulmak ve çözümün şeklini tayin edebilmek için

 

 









 



 





 



 





2 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 3 2 1 0, , 3.3 0, , 0 1 3.4 n i i i i n y t t t t y  t y  t y   t y  t i n                   

Özellik 3.1.1:[21]

 









 



 





 



  



2 1 3 1 3 3 2 0, , 3.5 0, 3.6 y t t t t y t y  t y  t y t              

sınır değer probleminin Green fonksiyonu





 

 

 

 

3 3 1 , , , 1 , , t t s t H t s t s t s                    _{  }   ve

_

_

 

 

 

 

3 3 , , , , , t t s t K t s t s t s                  _{  }   olmak üzere

















1 2 2 3

,

,

,

3.7

,

,

H t s

t

s

t

G t s

K t s

t

s

t

 





 









şeklinde tanımlıdır.

Özellik 3.1.2: [22] G t s (3.5)-(3.6) probleminin Green fonksiyonu ve



,











1 , : ,

G t s G t s olmak üzere (3.3)-(3.4) probleminin Green fonksiyonu 2 jn

için







 



 





3 1 1 , , , 3 .8 t j j t G t s G t r G r s r   

_

 olur.

Lemma 3.1.1: [22]  0, 1 olsun. (3.7) Green fonksiyonu



t s,



t1,

 

t3 



t t1, 3



için

_

_

 



 







1 3 3 1 , t t , 3.9 G t s G t s t t      eşitsizliğini sağlar.

Lemma 3.1.2: [22]  0, 1 olsun. (3.7) Green fonksiyonu



t s,



t1,

 

t3 



t t1, 3



için

0G t s



,



G





 

s s,





3.10



Sonuç 3.1.1. Lemma 3.1.2. ye göre G

 

.,s G





 

s s,



olduğu söylenebilir. Lemma 3.1.3:[ 21]  0, 1 ve s



t t₁, ₃



olsun.

 

 



3 1







1 3.11 1 k t t           ve . normu  

 

1, 3 max t t t x x t     

 ile tanımlı olmak üzere  





 





2, 3 min , ., 3.12 t_t  t _G t s k G s sağlanır.

Lemma 3.1.4: 

_

t s,

_

_t₁,

_{ }

t_{3 }



t t₁, ₃



için (3.8) Green fonksiyonu süreklidir. İspat: t t₁*, *₂



t t₁, ₃



olsun.   için  0 *

 

  vardır öyleki 0 * * *

1 2

t t 

olduğunda G t s_n



₁*,



G t s_n



₂*,



 olduğunu göstereceğiz. İspatı n üzerinden tümevarım ile yapalım.

1 n  için, 1. t₁ s t₂ ve * * 1, 2 t t s olsun. O halde,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

3

 

 

3

 

* 1 1 0 t s  t s                 _   _{ }   _        olur. 2. t₁ s t₂ ve t₁* s 

 

s t*₂ olsun. Bu durumda,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

 

 

 

* 3 3 2 * * * * 2 2 1 1 1 t s t t t s t t                  _   _{ }   _           elde edilir. 3. t₁ s t₂ ve t₂* s 

 

s t₁* olsun. O halde,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

 

 

 

 

* 3 1 3 * * * * * 1 1 1 2 1 1 t t t s s t t s t t                   _   _{ }   _             olur. 4. t₁ s t₂ ve t t₁*, ₂*

 

s olsun. Bu durumda,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

 

* * 3 1 3 2 * * * * * 2 1 1 2 1 1 t t t t t t t t                _   _{ }   _           elde edilir. 5. t₂  s t₃ ve * * 1, 2 t t s olsun. O halde,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

3

 

 

3

 

* 0 t s  t s               _   _{ }   _        olur. 6. t₂  s t₃ ve t₁* s 

 

s t₂* olsun. Bu durumda,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

 

 

 

* 3 3 2 * * * * 2 2 1 t s t t t s t t                _   _{ }   _           elde edilir. 7. t₂  s t₃ ve t₂* s 

 

s t₁* olsun. O halde,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

 

 

 

 

* 3 1 3 * * * * * 1 1 1 2 t t t s s t t s t t                 _   _{ }   _             olur.

8. t₂  s t₃ ve t t₁*, ₂* 

 

s olsun. Bu durumda,



*





*





*





*



1 1, 1 2, 1, 2, G t s G t s  G t s  G t s

 

 

* * 3 1 3 2 * * * 2 1 t t t t t t              _   _{ }   _        

elde edilir. Böylelikle G t s₁



,



G t s



,



in sürekli olduğu görülür.

n için k









 







 



* * * 1 2 3 1 , , , k k G t s G t s G s s t t         olduğunu kabul edelim. 1 n  için k





















 3 1 * * * * 1 1

,

1 2

,

1

,

2

,

,

t k k k k t

G

t s

G

t s

G t r

G t r G r s

r

 

















 3 1 * , t t G r s r 





_







*

G





 

s s

,







 

t

3



t

1







olduğundan G_k1



t s,



süreklidir.

Sonuç olarak 



t s,



_t₁,

 

t_{3 }



t t₁, ₃



için (3.8) Green fonksiyonunun sürekli olduğu tümevarım yöntemiyle ispatlanmış olur.

Lemma 3.1.5: G t s Green fonksiyonu artmayandır. _n



,



İspat: t t₁*, ₂*



t t₁, ₃



için * *

1 2

t t olduğunda G t s_n



₁*,



G t s_n



*₂,



olduğunu göstermeliyiz. İspatı n üzerinden tümevarım ile yapacağız.

1

n  için G t s₁



,



G t s



,



Green fonksiyonu için * * 1 2 t t olmak üzere, (i) s



t t₁, ₂



ve 

 

s  t 

 

t₃ için





 

 





* * 1 3 1 * 3 2 * 1 , 1 , G t s t t t t G t s













        

olur. (ii) s



t t₁, ₂



ve t₁  için t s



1*



 

3

 



2*



1 , , G t s



t



s



G t s



     olur. (iii) s



t t₂, ₃



ve 

 

s  t 

 

t₃ için





 

 





* * 1 3 1 * 3 2 * 2 , , G t s t t t t G t s













       bulunur. (iv) s



t t₂, ₃



ve t₁  için t s G t s



1*,



 

t3

 

s G t s



2*,











   

bulunur. O halde G t s₁



,



G t s



,



Green fonksiyonu artmayandır.

n için k G t s artmayan olsun. Yani _k



,



t t₁*, ₂*



t t₁, ₃



için t₁* t*₂ olduğunda Gk



t s1*,



Gk



t s2*,





3.13



olsun. 1

n  için k G_k1



t s,



Green fonksiyonunun artmayan olduğunu gösterelim.





* * 1, 2 1, 3 t t t t   için t₁* t*₂ olduğunda













 









 





3 1 3 1 * * 1 1 1 * 2 * 1 2 , , , , , , t k k t t k t k G t s G t r G r s r G t r G r s r G t s         





elde edilir.

Lemma 3.1.6: [22]  0, 1,

 

 



3 1



1 1 k t t           alalım. Bu durumda

 

 





3 1

.,

0

3.14

t t

L

G

s

s





_

 

ve

 

 





3 2 ., 0 3.15 t t M G s s  

_

 

olmak üzere G t s Green fonksiyonu _n



,



0



,



1

 

., ,



,



1,

 

3



1, 3





3.16



n n G t s L G s t s t



t t t    _  _ ve



,



1

 

.,

,



,



2

,

 

3



1

,

3





3.17



n n n

G t s



k M



G

s

t s

 

_

t



t

 

_

t t

eşitsizliklerini sağlar.

Tezin bundan sonraki bölümünde

k M  min



k Mn n1,k Mm m1





3.18



ve

L*max



Ln1,Ln1





3.19



olduğunu kabul edeceğiz.

Lemma 3.1.7: 1 1 1 n n n k M L    dir.

İspat: İspatı n üzerinden tümevarım yardımıyla yapalım.

2 n  için

 

 



3 1



1 1 1 k t t            ve 1 M L  olduğundan 2 1 k M L  olduğu görülür. n için s 1 1

1

s s s

k M

L







olduğunu kabul edelim.

1 n  için s 1 1 1

1

s s s s s s

k

M

kM k M

L

L

L

  







Bu lemmaya göre

* *

*

1

k M

L



olduğu da söylenebilir. 3.2 Herhangi Bir Çözümün Varlığı

Teorem 3.2.1: (Schauder Sabit Nokta Teoremi) [17] E bir Banach uzayı ve :

A EE tamamen sürekli bir operatör olsun. K E sınırlı, kapalı ve konveks bir küme olmak üzere A K

 

K ise bu durumda A operatörünün K içinde en az bir sabit noktası vardır.

Tanım 3.2.1: Eğer bir dönüşüm sürekli ve kompakt ise bu dönüşüme tamamen süreklidir denir.

Tanım 3.2.2: Eğer bir kümenin elemanlarının her dizisinden yakınsak bir alt dizi seçilebiliyorsa bu kümeye pre kompakt küme denir. Yakınsadığı değer, küme içinde ise bu kümeye kompakt küme denir.

Tanım 3.2.3: Eğer bir dönüşüm her sınırlı kümeyi pre kompakt bir kümeye dönüştürüyorsa bu dönüşüme kompakt dönüşüm denir.

Tanım 3.2.4: M , C a b içinde bir küme olsun.



,



  x M, t



a b,



için x t

 

c olacak şekilde bir c sayısı varsa M kümesine ait fonksiyonlara aynı dereceden sınırlı fonksiyonlar denir.

   verilsin. 0 t t₁, ₂



a b,



ve  x M için t₁t₂  eşitsizliği sağlandığında

 

1

 

2

x t x t  olacak şekilde bir   sayısı bulunabiliyorsa 0 M kümesine ait fonksiyonlara aynı dereceden sürekli fonksiyonlar denir.

Teorem 3.2.2: (Arzela-Ascoli Teoremi) [13] Bir M C a b



,



kümesinin sürekli fonksiyonlar ailesinin pre kompakt olması için gerek ve yeter koşul M ye ait fonksiyonların aynı dereceden sınırlı ve aynı dereceden sürekli olmasıdır.

 

1, 3 EC t_  t _ uzayı  

 

1 3 0 _t max_{t, t} y y t     

 normu ile birlikte bir Banach uzayıdır. BE E ve

_

y y₁, ₂

_

B için

_

_{1 2}

_

_{1 2}

0 0

,

y y  y  y normu alınırsa B

bu norm ile birlikte bir Banach uzayı olacaktır. Biz bu çalışmada Banach uzayı olarak BE E Banach uzayını alacağız.

Teorem 3.2.3:  0, 1 olsun. t _t₁,

_{ }

t₃ _ için

max



₁



, ₁ , ₂



, ₂



, ₁ , ₂





y R

N f t y y f t y y



olacak şekilde NLnNLm R eşitsizliğini sağlayan R  varsa ele alınan sistem 0 en az bir çözüme sahiptir.

İspat: S:



y



y y₁, ₂



B: y R



olsun. S , B nin kapalı, sınırlı ve konveks bir alt kümesidir. (3.1)-(3.2) sistemini çözmek

 









 









  3 3 1 1 1 1 2 2 1 2 , , , , , , , t t n m t t y t G t s f s y y s G t s f s y y s               







integral denklemini çözmeye denktir. Bundan dolayı, A S: B, t _t₁,

_{ }

t₃ _ için

 



 

 





 

 





 



 



 





3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

,

:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

t t n m t t n m

Ay t

A y y

t

G t s f s y y

s

G t s f s y y

s

A y y

t A y y

t

     































ile tanımlanan operatörün sabit noktasını bulmaya denktir. :

A S B sürekli olduğunu gösterelim. Bunun için   için  0    0 vardır öyleki









0 0 1, 2 1 , 2 y y  y y  olduğunda

_

_





0 0 1, 2 1 , 2 A y y A y y 

olacak şekilde   sayısının varlığını göstereceğiz. 0 1

f ve f fonksiyonları sürekli olduklarından _{2 n m}

L

L













için    0 vardır öyleki









0 0 1, 2 1 , 2 y y  y y  iken f t y1



, 1 ,y2



f t y1



, 1₀,y2₀



   



   ve







0 0



2 , 1 , 2 2 , 1 , 2

f t y y  f t y y  olacak şekilde   sayısı vardır. Bu durumda 0









 













   













  3 0 0 0 0 1 3 1 3 0 0 1 3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 , 2 1 2 2 1 2 , , , max , , , , , max , , , , , t n t t t t t m t t t t A y y A y y G t s f s y y f s y y s G t s f s y y f s y y s                         _  _    _  _





 

 









   

 









  3 0 0 1 3 1 3 0 0 1 3 1 1 1 2 1 1 2 , 2 1 2 2 1 2 , max , , , , , max , , , , , t n t t t t t m t t t t G t s f s y y f s y y s G t s f s y y f s y y s                          





 

 

 

  3 3 1 1 ., ., t t n m L G s s L G s s  



      

_

 

_





n m



L L

 

  

olduğundan A S: B operatörü süreklidir.

Şimdi A operatörünün kompakt olduğunu gösterelim. Bunun için herhangi sınırlı SBkümesini ele alalım. A S kümesinin

_{ }

B de pre kompakt olduğunu göstermeliyiz. Bunun için Arzela-Ascoli Teoreminden yararlanacağız.



1, 2



y y y  alalım. Bu durumda, S



 



 



 

 

 





   

 





   

 





   

 





 

 

3 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 ₀ 1 2 ₀ 1 1 2 2 1 2 , , 1 1 2 2 1 2 , , 1 , , , max , , , max , , , max , , , max , , , ., n m t t n m t t t t t t t t t t n m t t t t t t t t n t A y y t A y y t A y y t G t s f s y y s G t s f s y y s G t s f s y y s G t s f s y y s NL G s s                     _{ } _{ }     _{ } _{ }             









 

 

  3 3 1 1 1 ., t t m t n m NL G s s NL NL R        





olur. Böylece A S ye ait fonksiyonlar aynı dereceden sınırlıdır ve

 

A S

 

S elde edilmiş olur.



1, 2



y y y  alalım. S   sayısı için öyle  0   bulunabilir ki 0 * * 1 2 t t  için

_

_

 

*

_

_

 

* 1, 2 1 1, 2 2 A y y t A y y t  olduğunu gösterelim. 1

f ve f fonksiyonları sürekli olduklarından kapalı bölgede sınırlıdırlar. O ₂

halde,    





   









1 3 1 3 , , 1 2 1 2 * 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 , ,

max

,

,

, max

,

,

ve

max

,

y y R y y R s t t

f s y

y

c

s t t

f

s y

y

c

c

c c

            _{ }



_{ }





olarak tanımlanabilir. Aynı zamanda G t s Green fonksiyonu sürekli olduğundan _n



,



verilen şartlar altında









 





* * 1 2 * 3 1 , , 2 n n G t s G t s c t t         alınabilir. Bu durumda,