Değerlendirmeler ve rezidü cisimleri

AHMET ARICI YÜKSEK LÝSANS TEZÝ CEBÝR VE SAYILAR TEORÝSÝ

ANABÝLÝM DALI

Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. FÝGEN ÖKE 2010

T.C.

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DEĞERLENDİRMELER VE REZİDÜ CİSİMLERİ

AHMET ARICI YÜLSEK LİSANS TEZİ CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ANABİLİM DALI

Tez yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. FİGEN ÖKE 2010

ÖZET

Bir K cismi üzerindeki v değerlendirmesinin K

( )

x cismine genişlemelerinin sınıflandırılmasının amaçlandığı bu çalışmada izlenen plan aşağıdaki biçimdedir.

I. Bölümde değerlendirmeler ve cisim genişlemeleri ile ilgili gerekli ön bilgiler yer almaktadır.

II. Bölümde değerlendirmelerin genişlemeleri ve genişlemelerin sayısı ile değerlendirmelerin rankı ele alınmıştır.

III. Bölümde bir K cismi üzerinde değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin

( )

x

SUMMARY

The plan of this study which aims to obtain a classification of extensions of a valuation v of a field K to K(x) is below:

In the Chapter I, basic knowledge for valuations and field extensions is given.

In the Chapter II, extensions of valuations and rank of a valuation are studied.

ÖNSÖZ

Bana, kendisi ile böyle bir çalışma imkanı tanıyan ve bu çalışmanın tamamlanmasında yardımını ve rehberliğini esirgemeyen değerli hocam Yrd.Doç.Dr. Figen ÖKE’ ye derin saygı ve şükranlarımı sunarım.

Başta bölüm başkanımız, değerli hocam, Prof.Dr. Hülya İŞCAN olmak üzere üzerimde emeği bulunan bölümümüzün tüm değerli hocalarına ve asistanlarına sonsuz

İÇİNDEKİLER ÖZET……….i SUMMARY………..ii ÖNSÖZ………..iii GİRİŞ………..1 I. BÖLÜM/ ÖN BİLGİLER 1.1.Değerlendirmeler………..2-11 1.2.Cisim Genişlemeleri………..11-13 II. BÖLÜM/ DEĞERLENDİRMELERİN GENİŞLEMELERİ VE GENİŞLEMELERİN SAYISI 2.1. Değerlendirmelerin Genişlemeleri………..14-23 2.2 Bir Değerlendirmenin Genişlemelerinin Sayısı………..23-27 III. BÖLÜM/ K CİSMİNİN DEĞERLENDİRMELERİNİN K(x) CİSMİNE GENİŞLEMELERİ 3.1. K Cisminin Değerlendirmelerinin K(x) Cismine Rezidül Transandant Genişlemeleri………...28-46 3.2. K Cisminin Değerlendirmelerinin K(x) Cismine Rezidül Cebirsel Genişlemeleri………46-53 KAYNAKLAR……….54

GİRİŞ

Bir değişkenli cebirsel fonksiyonlar teorisi ve cebirsel sayılar teorisi arasındaki ilişki değerlendirme teorisinin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Dedekind ve Weber’in cebirsel fonksiyonlar aritmetik yaklaşımları, Riemann yüzeyinin bir noktasında kuvvet serisi

açılımlarının elde edilmesi problemini ortaya çıkarmıştır. Hensel böyle bir yaklaşımı p-adik sayılar teorisinde yapmış ve kuvvet serisi açılımlarının cebirsel sayılar ve cebirsel

fonksiyonlar teorisinde sık sık ortaya çıkan kongrüans sistemlerinin özelliklerini açıklamakta yardımcı olacağını göstermiştir.

Hensel 1908 yılında yayınladığı ‘Theorie Der Algebraischen Zahlen’ adlı kitabında

değerlendirme teorisi alanındaki çalışmalara taban oluşturan indirgenebilirlik (reducibilitiy) lemmasına yer vermiştir. Hensel’in bu çalışmaları daha sonra Chevalley, Krull ve

Ostrowski tarafından geliştirilmiştir.

Bir cismin değerlendirmesi o cismin üzerinde bir Hausdorff topolojisi

tanımladığından değerlendirme teorisi cebirsel topolojinin bir dalı olarak da göz önüne alınmaktadır.

Bu çalışmada bir K cisminin değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerinin

( )

x

K cismine genişlemelerinin sınıflandırılması amaçlanmıştır.

Rezidül transandant genişlemeler 1967 yılında Nagata tarafından ele alınmış ve bu konudaki çalışmaları daha sonraki çalışmalara ışık tutmuştur. 1980’li yıllarda Ohm, Popescu, Alexandru ve Zaharescu tarafından bu konuda önemli aşamalar kaydedilmiştir. Bir K cisminin değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin K

( )

x cismine rezidül transandant genişlemeleri ve bu genişlemeleri belirleyen çiftler konusu Alexandru, Popescu ve Zaharescu tarafından çalışılmış ve çalışmaları 1988 yılında yayınlanmıştır. Yine aynı grup 1991 yılında bir K cisminin değer grubu toplamsal olan değerlendirmelerin K

( )

x

cismine rezidül transandant genişlemelerini tanımlayan minimal çiftleri belirlemeye çalışmıştır. Sözü edilen bu çalışmalar tezin III. bölümünde yer almaktadır.

1. BÖLÜM ÖN BİLGİLER

Bu bölümün birinci kısmında değerlendirmeler ile ilgili ön bilgiler, ikinci kısmında ise cisim genişlemeleri ile ilgili ön bilgiler yer almaktadır.

1.1.Değerlendirmeler

1.1.1. Tanım: G çarpımsal (veya toplamsal) değişmeli bir grup, < (veya >) G

üzerinde bir sıra bağıntısı olsun. Her a b g, , ÎG için

i) a < ,b b <g Þa <g (veya a > ,b b >g Þa >g )

ii) a b a b b a< , = , < (veya a b a b b a> , = , > ) hallerinden yalnız biri sağlanır.

iii) a <b Þa.g < b.g (veya a >b Þa +g >b +g )

koşulları gerçekleniyorsa G grubuna üzerindeki < (veya >) bağıntısı ile tam sıralı bir

grup denir.

1.1.2.Tanım: K bir cisim, G çarpımsal (veya toplamsal) tam sıralı bir grup olsun.

} 0 { :K ® GÈ

v (veya v:K® GÈ{¥}) biçiminde tanımlanan dönüşüm her a b, ÎK için

i) v(a)=0Ûa=0 (veya v(a)=¥Ûa=0)

iii) v(a+b)£max{v(a),v(b)} (veya v(a+b)³min{v(a),v(b)})

koşullarını gerçekliyorsa v dönüşümüne K cismi üzerinde bir değerlendirme adı verilir.

1.1.3.Tanım: 1.1.2. tanımındaki iii) koşulu yerine v

(

a+b

) ( ) ( )

£v a +v b ifadesi sağlanıyorsa v değerlendirmesine Arşimetsel değerlendirme, aksi halde Arşimetsel

olmayan değerlendirme denir.

1.1.4.Tanım: 1.1.2. Tanımı’ndaki G sıralı grubuna v değerlendirmesinin değer

grubu denir.

2.3.1.Tanım: G bir sıralı grup, H G nin bir alt grubu olsun. xÎ ve H yÎ için G x

y

x-1 £ £ iken yÎH oluyorsa H ,G nin isolated alt grubudur denir.

G nin kendisinden farklı isolated alt gruplarının sayısına G sıralı grubunun rankı denir ve rankG biçiminde gösterilir.

2.3.2.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi, G v nin değer

grubu olsun. v değerlendirmesinin rankı G sıralı grubunun rankıdır ve rankv biçiminde gösterilir.

1.1.5.Tanım: K bir cisim olsun. v:K ®IR+È

{ }

0 dönüşümü her a, bÎK için

i) v(a)³0,v(a)=0Ûa=0

ii) v(a.b)=v(a).v(b)

iii) v(a+b)£v(a)+v(b)

koşullarını gerçekliyorsa v dönüşümü K cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi veya K

1.1.6.Tanım: K bir cisim, v K cismi üzerinde bir değerlendirme olsun. Her

*

K

aÎ için v(a)=1 (veya v(a)=0) oluyorsa v ye K cisminin aşikar değerlendirmesi

denir.

1.1.7.Önerme: K bir cisim, v K cismi üzeride değer grubu çarpımsal (veya

toplamsal) olan bir değerlendirme olsun. Aşağıdaki ifadelerin gerçeklendiği v

değerlendirmesinin tanımından kolayca görülür.

i)v(-1)=1 (veya v(-1)=0 )

ii)a,bÎK, v(a)¹v(b) ise v(a+b)=max{v(a),v(b)} dir. (veya v(a+b)=min{v(a),v(b)} dir)

iii)1£i£n için a_iÎ ise K

)) ( ( max ) ( 1 i i n i i v a a v

å

£ =

dir. (veya ( ) min{ ( )}

1 i i n i i v a a v

å

³ = dir) iv)1£i£n için a_iÎ ve K 0 1 =

å

= n i i

a ise en az bir i¹ için j v(a_i)=v(a_j) dir.

1.1.8.Tanım: K ve F iki cisim ve F cismi cebirsel kapalı olsun. } { :K ® F È ¥ j dönüşümü i)j-1(F)=V bir halkadır.

iii)aÎ için K j(a)=¥ ise j(a-1)=0

koşullarını gerçekliyorsa j dönüşümüne K cisminin bir place’i adı verilir.

1.1.9.Tanım:K bir cisim, V Kcisminin bir alt halkası olsun. aÎK* iken aÎ V

veya a-1ÎV oluyorsa V halkasına K cisminin bir değerlendirme halkası denir.

1.1.10.Tanım: K bir cisim; V , Kcisminin bir değerlendirme halkası olsun. }

{a V a 1 V

P= Î - Ï

kümesi V değerlendirme halkasının tek maksimal idealidir.

} {a V a 1 V

U = Î - Î

kümesi bir gruptur ve bu kümeye V değerlendirme halkasının birim grubu adı verilir.

Not: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi ve G v nin değer grubu

olsun.

G çarpımsal bir grup ise;

}, 1 ) ( { Î £ = a K v a V P={aÎK v(a)<1}, U ={aÎV v(a)=1} biçimindedir.

G toplamsal bir grup ise;

V ={aÎK v(a)³0}, P={aÎV v(a)>0}, U ={aÎK v(a)=0}

1.1.11.Tanım: K bir cisim, v K cismi üzerinde bir değerlendirme, V v nin

değerlendirme halkası; P , V nin tek maksimal ideali ise V /P kümesi bir cisimdir ve bu

cisme v değerlendirmesinin rezidü cismi adı verilir.

1.1.12. Tanım: A tek türlü asal çarpanlarına ayrılabilen bir bölge ve K A nın

kesir cismi olsun. mÎA birimsel eleman ve p ler A nın asal elemanları olmak üzere

herhangi bir xÎ elemanı A

Õ

=

p

p

x m a

olarak yazılır. cÎIR, 0<c<1 olmak üzere

değer grubu çarpımsal ise v_p(x)=ca değer grubu toplamsal ise v_p

( )

x =a

biçiminde tanımlanan dönüşüm değerlendirme tanımındaki koşulları gerçekler. Bu dönüşüm A nın kesir cismi olan K ya tek şekilde genişletilir. Bu değerlendirmeye K cisminin p-adik değerlendirmesi adı verilir.

1.1.13.Tanım:pÎ asal bir sayı olsun. Q a,bÎ bZ, ¹0, p

ł

a ,p

ł

b ve nÎZ olmak üzere herhangi bir xÎ elemanı Q

b a p x= n

biçiminde yazılır. Bu yazılıştaki nÎZ elemanına x elemanın p ye göre mertebesi denir ve ordpx ile gösterilir.

( )

x ord x vp = p

biçiminde tanımlanan vp, Q cisminin değer grubu toplamsal olan bir değerlendirmesidir.

1.1.15.Örnek: pÎ asal bir sayı olsun. Q cÎR, 0< c<1 olmak üzere Her xÎ için Q

( )

ord ( )x p p c x v =

biçiminde tanımlanan vp, Q cisminin değer grubu çarpımsal olan bir değerlendirmesidir.

Örneklerde verilen değerlendirmeler Q cisminin p-adik değerlendirmeleridir.

1.1.16.Tanım: pÎ asal bir sayı ve Q v_p Q cisminin p-adik değerlendirmesi olsun. Q cisminin vp değerlendirmesine göre tamlanışına p-adik sayılar cismi adı

verilir ve Q ile gösterilir. _P

1.1.17.Teorem:vp Q cisminin p-adik değerlendirmesi olsun.

Z

a_jÎ , 0£a_j £ p-1 ve nÎZ v_p

( )

a =v_p

( )

pn eşitliğini sağlayan bir eleman olmak üzere her aÎQ_P elemanı

å

¥ = = n j j jp a a

formunda yazılır. ( Bachman, 1964)

P

Q

Î

a elemanının bu biçimdeki yazılışına a elemanının kanonik gösterimi veya kanonik açılımı adı verilir.

1.1.18.Tanım:F bir cisim, K =F

( )

x katsayıları F de olan rasyonel fonksiyon cismi, v F

( )

x in bir değerlendirmesi ve v nin F cismine kısıtlanışı aşikar değerlendirme olsun.

( )

x =1

v ise;

( )

x F

v cisminin aşikar değerlendirmesidir.

( )

x <1

v ise;

( )

x F

( )

x

p Î asal polinom,a

( ) ( )

x ,b x ÎK

[ ]

x,b

( )

x ¹0, p

( )

x

ł

a x

( ) ( )

, p x

ł

b

( )

x olmak üzere herhangi bir h

( )

x ÎF

( )

x elemanı

( )

( ) ( )

_{( )}

x b x a x p x h = n

biçiminde yazılsın. c=v p x

(

( )

)

, 0< <c 1 olmak üzere

( )

(

)

n c x h v =

biçiminde tanımlanan v değerlendirmesine p

( )

x -adik değerlendirme denir.

( )

x >1

v ise;

herhangi bir h

( )

x ÎF

( )

x elemanı f x

( ) ( )

, g x ÎF x

[ ]

, g x

( )

¹0 olmak üzere

( )

( )

_{( )}

x g x f x h =

yazılsın. c=v

( )

x, c>1 olmak üzere

( )

(

)

f g c x h v = deg -deg

biçiminde tanımlanan v değerlendirmesine sonsuzdaki asal ile tanımlanmış değerlendirme

1.1.19.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. v

değerlendirmesi K cismi üzerinde bir Hausdorff topolojisi tanımlar. Her aÎ için a K

nın komşuluklarının temel sistemi m >0 olmak üzere tüm

} ) ( { ) , (a m = bÎK v a-b <m U

kümeleri ile verilir.

1.1.20.Tanım: K bir cisim, v ve ₁ v ₂ K nın iki değerlendirmesi olsun. v ve ₁ v ₂

nin K üzerinde tanımladığı topolojiler aynı ise v ve ₁ v değerlendirmeleri denktir denir ve ₂

1

v ~v biçiminde gösterilir. ₂

1.1.21.Teorem: v ve 1 v 2 K cisminin iki farklı değerlendirmesi olsun.

Aşağıdaki ifadeler denktir.

i) v ~1 v 2

ii) "aÎK için v1

( )

a <1Þv2

( )

a <1

iii) "aÎK için $sÎR+ 'v₁

( )

a =

(

v₂

( )

a

)

s(Çallıalp, 1986)

1.1.22.Teorem:v,Q cismi üzerinde aşikar olmayan bir değerlendirme olsun.

i) v

( )

b £1 olacak şekilde bir b>1 tamsayısı varsa, her aÎZ için v

( )

a £1 dir. Bu durumda v değerlendirmesi, p asal sayı olmak üzere, vp p-adik değerlendirmesine denktir.

ii) v

( )

b >1 olacak şekilde bir b>1 tamsayısı varsa öyle bir 0< s£1 gerçel sayısı vardır ki, her aÎ Z+ için v

( )

a =as dir. Bu durumda v değerlendirmesi adi mutlak değere

denktir. (Çallıalp, 1986)

1.1.23.Sonuç: Q cismi üzerindeki herhangi bir değerlendirme ya aşikar

1.1.24.Teorem: K bir cisim, v ve ₁ v K cisminin aşikar olmayan iki ₂ değerlendirmesi, 1 v T ve 2 v

T K cismi üzerinde sırasıyla v ve ₁ v ₂

değerlendirmeleriyle belirlenen topolojiler ve aÎ olsun. K

i) $a ÎR+ için v₂ =v₁a ii) 2 1 v v T T = iii) Í 2 v T 1 v T iv)v₁(a)<1Þv₂(a)<1 v)v₁(a)£1Þv₂(a)£1 vi)v₁(a)>1Þv₂(a)>1 vii)v₁(a)³1Þv₂(a)³1 ifadeleri denktir. (Weiss, 1963)

1.1.25.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K cisminde

alınan her Cauchy dizisi v değerlendirmesinin belirlediği topolojiye göre K cisminin bir

elemanına yakınsıyorsa K cismi v değerlendirmesine göre tamdır denir.

1.1.26.Teorem: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. K

~

cismi

v değerlendirmesiyle tam ve K cismi K

~

cismi içinde yoğun olacak şekilde bir K~ cismi

vardır. Bu K~ cismine K cisminin v değerlendirmesine göre tamlanışı adı verilir.

1.1.27.Teorem: K bir cisim v K cisminin bir değerlendirmesi ve K

~ ,

Kcisminin v değerlendirmesine göre tamlanışı ise charK =charK

~

ve v(K~)=v(K) dır. (Bachman, 1964 )

1.2.Cisim Genişlemeleri

1.2.1.Tanım:K ve L iki cisim olsun. K Í oluyorsa L L ye K nın bir genişlemesidir denir ve L /K biçiminde gösterilir.

1.2.2.Tanım: K ve L iki cisim olsun. L=K

( )

a olacak biçimde bir aÎL varsa L cismine K cisminin bir basit genişlemesi denir.

1.2.3.Tanım: L /K bir cisim genişlemesi olsun. Lnin K üzerinde vektör uzayı olarak boyutuna L nin K üzerindeki derecesi denir ve

[

L :K

]

ile gösterilir.

Eğer

[

L :K

]

<¥ ise L K nın sonlu genişlemesidir veya L /K sonlu genişlemedir denir.

1.2.4.Tanım:L /K bir cisim genişlemesi ve aÎL olsun. f(a)=0 olacak şekilde en az bir f(x)ÎK[x],f(x)¹0 polinomu varsa a elemanı K cismi üzerinde cebirseldir denir ve a ceb /K ile gösterilir.

1.2.5.Tanım:L /K bir cisim genişlemesi olsun. Her aÎL için a ceb /K ise K

L / cebirsel genişlemedir denir.

1.2.6.Tanım: L /K bir cisim genişlemesi olsun. K ={aÎL aceb/K} cismine K cisminin L cismi içindeki cebirsel kapanışı adı verilir.

1.2.7.Tanım: K bir cisim olsun. K nın kendisinden başka cebirsel genişlemesi yoksa K ya cebirsel kapalı cisim adı verilir.

1.2.8.Tanım: L /K bir cisim genişlemesi ve aÎL olsun. a, K cismi üzerindeki minimal polinomunun bir basit kökü ise a elemanı K cismi üzerinde ayrılabilirdir denir ve

K ayr /

a ile gösterilir.

1.2.9.Tanım: L /K bir cisim genişlemesi olsun. Her aÎL elemanı K cismi üzerinde ayrılabilir ise L K cisminin bir ayrılabilir genişlemesidir denir.

1.2.10.Tanım: L /K bir cisim genişlemesi olsun. K_ayr ={aÎL aayr/K} cismine K cisminin L cismi içindeki ayrılabilir kapanışı adı verilir.

1.2.11.Tanım: K cisminin tüm genişlemeleri ayrılabilir ise K cismine mükemmel

cisim denir.

1.2.12.Tanım: L /K bir cisim genişlemesi , aÎL olsun. a elemanının K cismi üzerindeki minimal polinomu L[x] içinde doğrusal çarpanlarına ayrılabiliyorsa a elemanı

Kcismi üzerinde normaldir denir.

Her aÎL elemanı K cismi üzerinde normal ise L /Knormal genişlemedir denir.

1.2.13.Tanım: L, K cisminin normal ve ayrılabilir bir genişlemesi ise L cismine K

cisminin bir Galois genişlemesidir denir.

1.2.14.Tanım: L K cisminin bir Galois genişlemesi olsun. L nin K cismini sabit

bırakan otomorfizmalarının kümesi bileşke işlemine göre bir gruptur ve bu gruba L nin K cismi üzerindeki Galois grubu denir.

1.2.15.Tanım: L K, cisminin sonlu bir genişlemesi, aÎ ve L p(x)=Irr(a,K) olsun. Eğer p x( )=(x a- ) , m m> ise a elemanına 1 K cismi üzerinde tamamıyla ayrılamaz denir. L, K cisminin bir genişlemesi olsun. Her aÎ elemanı K cismi üzerinde tamamıyla L

derecesine

L

cisminin K cismi üzerindeki ayrılabilirlik derecesi, [L:K_ayr]=

[

L:K

]

_i

derecesine ise

L

cisminin K cismi üzerindeki ayrılamazlık derecesi denir.

1.2.16.Tanım: K F cisminin sonlu bir genişlemesi, F nin K cismi içindeki ayrılabilirlik derecesi n, ayrılamazlık derecesi [K:F]_i olsun. s₁,...,s_n K nın F-otomorfizmaları olmak üzere aÎ elemanının K F üzerindeki normu

i F K n i i F K a a N ] : [ 1 / ( ) ( ) ú ú û ù ê ê ë é =

Õ

= s ve trace’i

å

= = n i i i F K a K F a T 1 / ( ) [ : ] s ( ) biçiminde tanımlanır.

2. BÖLÜM

DEĞERLENDİRMELERİN GENİŞLEMELERİ VE GENİŞLEMELERİN SAYISI

Bu bölümde verilen bir değerlendirmenin genişlemelerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Birinci kısımda değerlendirmelerin genişlemeleri, ikinci kısımda ise genişlemelerin sayısıyla ilgili çalışmalar yer almaktadır.

2.1.Değerlendirmelerin Genişlemeleri

2.1.1.Teorem: K bir cisim olsun. K cismi üzerindeki değerlendirmeler, değerlendirme halkaları ve place’leri arasında bire-bir bir eşleme vardır.

Kanıt: K ve F iki cisim, F cebirsel kapalı ve j:K ® FÈ

{ }

¥ K cisminin bir

place’i olsun. V =j-1

( )

F

alınırsa aÎK ' aÏVÞj

( )

a =¥ olacağından

( )

-1 =0

a

j olur.

Buradan a-1ÎV bulunur. O halde V =j-1

( )

F kümesi K cisminin place’ine karşılık

gelen değerlendirme halkasıdır.

K

V cisminin bir değerlendirme halkası, PV nin maksimal ideali olsun. Her aÎK için

( )

î í ì Î + Ï ¥ = ise V a P a ise V a a , , j biçiminde tanımlanan ® È

{ }

¥ P V K : j dönüşümü K cisminin V değerlendirme halkasına karşılık gelen place’idir.

Son olarak V K cisminin bir değerlendirme halkası; P V nin maksimal ideali ve U da

birim grubu olsun.

U

( )

î í ì = Î = * ise a ise K a aU a v 0 , 0 ,

biçiminde tanımlanan v K cisminin değer grubu

U

K* _{olan bir değerlendirmesidir.}

Öyleyse bu değerlendirme K cisminin V değerlendirme halkasına karşılık gelen değerlendirmesidir.

2.1.2.Teorem: K bir cisim, A K nın bir alt halkası, F cebirsel kapalı bir cisim ve

F A

f : ® aşikar olmayan bir homomorfizma olsun. j _A, j nin A ya kısıtlanışı olmak üzere j A = olacak şekilde f K cisminin bir j place’i vardır. (Bachman, 1964 )

2.1.3.Teorem: K bir cisim, v K nin bir değerlendirmesi ve L K cisminin keyfi bir genişlemesi olsun. Bu durumda v değerlendirmesi L cismine genişletilebilir.

Kanıt: F cebirsel kapalı bir cisim olmak üzere

{ }

¥ È ® F K : j

K cisminin v değerlendirmesine karşılık gelen place’i olsun. j nin V değerlendirme _K

halkasına kısıtlanışı

F VK

V_K: ®

j

ise 2.1.2. teoremine göre

K

V

j Lcisminin bir place’ine genişletilebilir. Öyleyse 2.1.1. teoremine göre K cisminin v değerlendirmesi L cisminin bir değerlendirmesine genişletilebilir.

2.1.4.Teorem: K ve L iki cisim, v K cisminin rankı 1 olan bir değerlendirmesi olsun. K cismi v değerlendirmesi ile tam ve L K cisminin n dereceden bir genişlemesi .

ise v değerlendirmesi, L cisminin rankı 1 olan w değerlendirmesine tek şekilde

genişletilir.

L

N cisminin K cismi üzerindeki normu olmak üzere w değerlendirmesi, her xÎL için

( )

_x n _v

(

_N

( )

_x

)

w =

biçiminde tanımlanır.

Kanıt: S ={x₁,x₂,...,x_n} kümesiL cisminin K cismi üzerindeki bir tabanı olsun. Her

n i K L xÎ ,a_i Î ,1£ £ için n nx x x x=a1 1+a2 2 +...+a

yazılabilir. Her xÎL için

( )

{

i

}

i v

x ₀ =max a biçiminde tanımlanan .₀ dönüşümü L üzerinde bir norm tanımlar ve .₀ ile v birbirine denktir. (Bachman, 1964)

( )

x <1Þv

( )

xr ®0

v olur. .₀ ile v nin denkliğinden x ₀ ®0 olur. O halde 1£i£n için n r r r r x x x x n a a a + + + = _{1 2} ... 2 1 yazılırsa

( )

0 lim = ¥ ® rn r v a dır. Öyleyse lim

(

( )

)

=0 ¥ ® r

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

1

(

( )

)

1 1 1 1 1 = Þ = > Þ > < Þ < x N v x v x N v x v x N v x v

olduğu kolayca görülür. Son olarak y= N

( )

x /xnÎL olsun. Bu durumda;

( )

(

_{( )}

( )

)

( )

( )

=1 = = _n n n x N x N x N x N N y N ve

( )

y =1 v olur. Öyleyse

( )

₍

_{( )}

_{) ( )}

n n v N x v x x x N v ÷= Þ = ø ö ç è æ 1

dir. Bu durumda her xÎL için w,

( )

_x n _v

(

_N

( )

_x

)

w =

biçiminde tek şekilde tanımlanır.

2.1.5.Örnek: R . mutlak değer değerlendirmesi ile tamdır. . nın C kompleks sayılar cismine w genişlemesi her a+ibÎC için

(

a ib

)

N

(

a ib

)

w + = + = a2 +b2

2.1.6.Önerme: L K cisminin bir genişlemesi, v K nin bir değerlendirmesi, w v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun. V_v v değerlendirmesinin

değerlendirme halkası, P_v V_v nin maksimal ideali ve U_v V_v nin birim grubu. V_w w

değerlendirmesinin değerlendirme halkası, P_w V_w nin maksimal ideli ve U_w V_w nın birim

grubu ise w v w v w v K V P K P U K U V = Ç , = Ç , = Ç biçimindedir. (Bachman, 1964 )

2.1.7.Tanım: L K cisminin bir genişlemesi, v K nin bir değerlendirmesi, w v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun. G ve _v G sırasıyla _w v ve w

değerlendirmelerinin değer grupları, k ve _v k rezidü cisimleri ise _w e=e

(

w/v

)

=

[

G_w :G_v

]

indeksi dallanma indeksi, f = f

(

w/v

)

=

[

k_w :k_v

]

derecesi rezidü derecesi olarak adlandırılır. Eğer e

(

w/v

)

=1 ise w değerlendirmesine v değerlendirmesi üzerinde

dallanmamıştır denir.

2.1.8.Teorem: L K cisminin n dereceden bir genişlemesi, . v K nin bir değerlendirmesi, w v nin L cismine bir genişlemesi olsun. e dallanma indeksi ve f

rezidü derecesi olmak üzere

n f

e. £

dir.

Kanıt: j K cisminin v değerlendirmesine, y L cisminin w değerlendirmesine karşılık

*

Î ÎV y y y K x

x

x1, 2,..., i w, 1, 2,..., j olmak üzere y

( ) ( )

x1 ,y x2 ,...,y

( )

xi elemanları k cismi v

üzerinde doğrusal bağımsız olsun. y₁G_v,y₂G_v,...,y_jG_v G_w içinde farklı kalan sınıflarını

göstersin. Bu durumda

{

x_h.y_m1£h £i,1£m £ j

}

kümesinin L cismi üzerinde doğrusal bağımsız olduğu gösterilirse e.f £n elde edilir. 1£h£i için

(

)

h max . . . 2 2 1 1x +a x + +aixi = a v v

( )

a_h

ise x lerin seçilişinden her i h için ah =0 olacaktır. ch_m ÎL olmak üzere

å

= m h, hm h m 0 y x c (5) olsun. 2.1.(5) denklemi

å å

_÷÷ = ø ö çç è æ m h hm h m 0 y x c (6) biçiminde yazılabilir. _÷÷

( )

=0 ø ö çç è æ

å

h m h hm y v x c v ise m m m h hm h max = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ

å å

c x y v _÷÷

( )

=0 ø ö çç è æ

å

m h hm h y v x c

ve

( )

0 0 = ÷÷ ø ö çç è æ = ÷÷ ø ö çç è æ

å

å

h hm h m h hm h x c v y v x c v dır. Buradan m h h hm h , max 0 _÷÷= ø ö çç è æ =v

å

c x

(

( )

)

=0 m h c v

olur. Bu durumda 1£ £h i, 1£ £ için m j =0

m h

c olacağından

{

x_h.y_m1£h £i,1£m £ j

}

kümesi L cismi üzerinde doğrusal bağımsızdır.

2.1.9.Teorem:L K cisminin sonlu bir genişlemesi, v K cisminin rankı 1 olan bir değerlendirmesi olsun. Bu durumda v L cisminin rankı 1 olan bir değerlendirmesine

genişletilebir.

Kanıt: Teorem 2.3.1 den K üzerindeki v değerlendirmesi L cismine

genişletilebilir. v nin L cismine genişlemesiw olsun. v nin değer grubu G v w nın değer

grubu G ise _w G_v ÍG_w ve G_v Í dir. 2.1.6. teoremden R

[

G_w :G_v

]

=e sonludur ve e

v

değerlendirmesi L cismi üzerinde w değerlendirmesine denktir. Her aÎL için

( )

a G R

w eÎ _v Í

dir. Bu durumda

( )

ve 1/e v ye denk bir değerlendirmedir.

2.1.10.Teorem: L K cisminin n dereceden bir genişlemesi, . v K nin bir

değerlendirmesi ve w₁,w₂,... v değerlendirmesinin L cismine farklı genişlemeleri olsun.

.. . , , ₂

1 e

å

£ k k k f n e dir. (Bachman, 1964 )

2.1.11.Teorem: K bir cisim v K nin bir Arşimetsel değerlendirmesi olsun. Bu durumda K cismi C compleks sayılar cisminin bir alt cismine izomorftur ve v

değerlendirmesi adi mutlak değerin bir kuvveti biçimindedir.

Kanıt: K cismi üzerindeki v Arşimetsel değerlendirmesi ile tam bir cisim olsun.

0 1 , x2 + =

i denkleminin kökü olmak üzere K

( )

i cismi gözönüne alınırsa, v

değerlendirmesi K

( )

i cisminin bir w değerlendirmesine tek şekilde genişletilir. 2.1.4.

teoremden her a =a+ibÎK

( )

i için

( )

a v

(

N

( )

a

)

w = = a2 +b2

biçimindedir.

K herhangi bir cisim ve v K cisminin Arşimetsel değerlendirmesi ise charK =0 dır. (Bachman, 1964) Bu durumda K nın ilkel cismi Q rasyonel sayılar cismine izomorftur ve

v değerlendirmesinin Q ya kısıtlanışı adi mutlak değerdir. Kˆ K cisminin v

değerlendirmesine göre tamlanışı olsun.

Kˆ üzerindeki değerlendirme Kˆ

( )

i ye tek şekilde genişletilebilir. Bu değerlendirmeye göre

( )

i

Kˆ de tam cisimdir. (Bachman, 1964) O halde Kˆ

( )

i cismi değişmeli Banach cebiridir ve

( )

i

Kˆ =C dir (Bachman, 1964). Öyleyse K cismi C nin bir alt cismine izomortur.

2.1.12.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi, L K cisminin bir genişlemesi ve

( )

vi¢ _iÎ_ı v değerlendirmesinin Lcismine genişlemelerinin bir ailesi olsun. v

nin L cismine genişlemesi olan her değerlendirme bir tek v değerlendirmesine denk ise _i

( )

vi¢ iÎ_ı ailesi v nin genişlemelerinin tam sistemi olarak adlandırılır.

2.1.13.Tanım: K bir cisim, L K cisminin cebirsel bir genişlemesi v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. v nin L cismine bir tek genişlemesi varsa v ye Henselian

değerlendirme adı verilir.

2.1.14.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. v

değerlendirmesinin değer grubu sonsuz devirli grup ise v ye ayrık değerlendirme adı

verilir.

2.1.15.Örnek: pÎ asal sayı olsun. Q nun Q v_p p-adik değerlendirmesi ayrık değerlendirmedir.

2.1.16.Teorem:K bir cisim, L K nin bir genişlemesi, v K nin bir

değerlendirmesi ve w v nin L cismine bir genişlemesi olsun. v ayrık değerlendirme ise

w da ayrık değerlendirmedir.

Kanıt: G_v v nin G_w w nın değer grubu olsun. 2.1.9.teoremden e dallanma

indeksi, f rezidü derecesi ve

[

L:K

]

=n olmak üzere e.f £n dir. O halde G_we ÍG_v dir. Bu durumda AÍGv olmak üzere her aÎL için

: l ( )a v( )a w w e A G ® ®

biçiminde tanımlanan dönüşüm bir izomorfizmadır. Öyleyse G da sonsuz devirli bir _w

2.1.17.Teorem: F bir cisim, v F nin ayrık değerlendirmesi olsun. F cismi v

değerlendirmesine göre tam ve K F nin n dereceden bir genişlemesi ise .

n f

e. =

dir. Bu durumda K cismine yerel cisim adı verilir. (Bachman, 1964)

2.2. Bir Değerlendirmenin Genişlemelerinin Sayısı

2.2.1.Teorem: L K cisminin sonlu bir genişlemesi, v K cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi ve w v değerlendirmesinin L cismine bir genişlemesi olsun. L cisminin

w ya göre tamlanışı L,ˆ K cisminin v ye göre tamlanışı Kˆ ise Lˆ =LKˆ dır. (Bachman,1964) L K K L Lˆ = ˆ Kˆ

2.2.2.Teorem: K F cisminin sonlu bir genişlemesi, v F cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi, Fˆ F cisminin v değerlendirmesine göre tamlanışı ve Fˆ Fˆ nın cebirsel

kapanışı olsun. v değerlendirmesinin K cismine genişlemeleri ile K cisminin Fˆ cismi içine gömmeleri arasında bire-bir bir eşleme vardır.

Kanıt: vˆ v değerlendirmesinin Fˆ cismine genişlemesi ise vˆ Fˆ cismine tek şekilde genişletilir. Eğer K cismi Fˆ cismi içine bir F-izomorfizma ile gömülürse v K

cismine genişletilebilir. F K K ˆ : ® ₁ Í l

F yi sabit bırakan bir dönüşüm, v₁ vˆ değerlendirmesinin K cismine kısıtlanışı olsun. ₁

Her bÎK için

( )

b 1

(

l

( )

b

)

1´ v

v =

tanımlansın. v ´₁ K cisminin bir değerlendirmesidir, v ´₁ v değerlendirmesinin bir

genişlemesidir ve bu değerlendirme K nın Fˆ cismi içine l gömmesi ile belirlenmiştir.

F K K F K K ˆ : ˆ : 2 2 1 1 Í ® Í ® l l

dönüşümleri K cisminin F cismi içine iki gömmesi, s Fˆ nın Fˆ-otomorfizması ve

2

1 l

sl = yani l₁ ve l₂ gömmeleri eşlenik olsun. Her bÎK için

( )

b

(

l

( )

b

)

(

sl

( )

b

)

(

l

( )

b

)

´

( )

b

´ 1 2 1 2 2 2

1 v v v v

dır. O halde K cisminin Fˆ cismi içine iki eşlenik gömmeleriK cismi üzerinde aynı değerlendirmeyi tanımlar. Tersine v1´=v2´ olsun. 2 1 1 1 2 3 = :K ®K -l l l

dönüşümü F cismini sabit bırakır. O halde l₃ ün

F K F

K₁ ˆ® ₂ ˆ

-Fˆ izomorfizmasına genişletildiği gösterilmelidir.

{ }

an K1 cisminde bir Cauchy dizisi ve liman =aÎK1F olsun. v1´=v2´ olduğundan

( )

( )

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n m

)

m n m n m n m n m n v v v v v v a a a a l a a l a a l l a a l a l a l -= -= -= -= -= -1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 3 3 2 ´ ´

elde edilir. Öyleyse

{

l₃

( )

a_n

}

de K ˆ₂F da bir Cauchy dizisidir ve lim

(

l₃

( )

a_n

)

ÎK₂Fˆ dır.

3

l :K1F ®K2F

bir Fˆ izomorfizma olmak üzere lim

(

l₃

( )

a_n

)

=l₃

( )

a biçimindedir. Öyleyse l₃ Fˆ cisminin Fˆ-otomorfizmasına genişletilebilir.

2.2.3.Teorem: F bir cisim, K =F

( )

a F cisminin sonlu ayrılabilir bir

genişlemesi, v F cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi ve f

( )

x =Irr

(

a,F

)

olsun. Bu durumda v değerlendirmesinin K cismine f

( )

x polinomunun K

[ ]

x halkasındaki asal çarpanlarının sayısı kadar genişlemesi vardır. (Bachman, 1964 )

2.2.4.Örnek: q, x3-3=0 denkleminin bir kökü olmak üzere K =Q

( )

q ve . adi mutlak değer olsun.Rde

(

-

)

ç_èæ + +

( )

÷_øö = - 2 3 3 2 3 3 3 3 3 x x x x yazılır. Öyleyse 2 3 1 i

j = - + olmak üzere Q nun C/ içine

( )

( )

( )

Q

( )

j C Q C Q Q / Í ® / Í ® 3 2 3 1 3 : 3 : q l q l

gömmeleri tanımlanır. Bu durumda . nın Q

( )

q cismine l₁ ve l₂ gömmeleriyle belirlenen iki genişlemesi vardır.

2.2.5.Teorem: F bir cisim, K F nin sonlu ayrılabilir bir genişlemesi, v F

cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi, E F cisminin K yi kapsayan normal bir

genişlemesi, G E nin Galois grubu, U G nin F cismini sabit bırakan bir alt grubu

olsun. S EFˆ cisminin Fˆ üzerindeki Galois grubu ve m_iÎG ler Kcisminin Fˆ cismi içine gömmelerine karşılık gelen otomorfizmalar olmak üzere

U

r i iU S G 1 = = m olsun. Bu durumda v değerlendirmesinin K cismine genişlemelerinin sayısı G yi oluşturan farklı

kalan sınıflarının sayısı kadardır ve bu genişlemeler 1£i£r, her aÎK elemanı için

( )

a =

i

w vi

(

mi

( )

a

)

biçimindedir. (Bachman, 1964 )

2.2.6.Sonuç: F bir cisim, K F nin sonlu ayrılabilir bir genişlemesi, v F

cisminin rankı 1 olan değerlendirmesi, E F cisminin K yi kapsayan normal bir

genişlemesi, G E nin Galois grubu ve m_iÎG ler Kcisminin F cismi içine gömmelerine karşılık gelen otomorfizmalar olsun. Her aÎK için K nın F üzerindeki trace’i

( )

=

_å

_{( )}

(

( )

)

i İ F F K F K İ T T _/ a _{m ˆ/ˆ} m a ve K nın F üzerindeki normu

( )

=

_Õ

_{( )}

(

( )

)

i i F F K F K i N N _/ a _{m ˆ/ˆ} m a biçimindedir.

3.BÖLÜM

K CİSMİNİN DEĞERLENDİRMELERİNİN K(x) CİSMİNE GENİŞLEMELERİ

K bir cisim, F K cisminin bir genişlemesi, v K cisminin bir değerlendirmesi, k _v

v değerlendirmesinin rezidü cismi olsun. k rezidü cismi _w k cisminin transandant bir _v

genişlemesi olacak biçimde verilen bir w değerlendirmesi v değerlendirmesinin bir rezidül

transandant genişlemesidir. Bu bölümde K cisminin v değerlendirmesinin K

( )

x cismine rezidül transandant ve rezidül cebirsel genişlemelerinin incelenmesi amaçlanmıştır. v

değerlendirmesinin değer grubu G nin toplamsal olması durumunda Alexandru V. , _v

Popescu N., Zaharescu A. tarafından 1988 yılında yapılan çalışmalar incelenmiştir. Birinci kısımda rezidül transandant genişlemelerle ilgili ikinci kısımda da rezidül cebirsel

genişlemelerle ilgili çalışmalara yer verilmiştir. Her iki kısımda da önce K cisminin cebirsel kapalı olması durumunda sonrada herhangi bir cisim olması durumunda yapılan çalışmalar yer almaktadır.

3.1. K Cisminin Değerlendirmelerinin K(x) Cismine Rezidül Transandant Genişlemeleri

3.1.1.Tanım: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi olsun. Her

[ ]

x K x a x a x a a F n n Î + + + + = 2 ... 2 1 0 polinomu için

( )

(

( )

i

)

i v a F w =inf

biçiminde tanımlanan w değerlendirmesi v değerlendirmesinin K

( )

x cismine Gauss genişlemesi olarak adlandırılır. Bu durumda w

( )

x =0 ve x*trans/k_v olmak üzere

( )

*

=k x

3.1.2.Lemma: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi, G _v v nin değer

grubu, G´ G yi alt grup kabul eden bir sıralı grup ve _v g ÎG´ ise v değerlendirmesi iÎI olmak üzere her P a x K

[ ]

x

i i i Î =

å

için

( )

i P w =inf

(

v

( )

a_i +ig

)

biçiminde tanımlanan K

( )

x cisminin w değerlendirmesine genişletilir.

Kanıt: =

å

=

å

Î

[ ]

i i i i i ix Q bx K x a P , olsun.

( )

i P w =inf

(

v

( )

ai +ig

)

,

( )

i Q w =inf

(

v

( )

bi +ig

)

olarak tanımlandığından

( ) ( )

P v a tg w = _t + ve w

( ) ( )

Q =v b_s +sg

olacak biçimde bir t s, Î vardır. Z

( )

P =¥Û P=0

w (1)

olduğu kolayca görülür. c_i =a_i +b_i olmak üzere P+Q=

å

cixi yazılacağından

(

)

i

Q P

w + =inf

(

v

( )

c_i +ig

)

dır ve w nın tanımından bir kÎI için

(

P Q

) ( )

v c kg

biçiminde olduğu görülür. Buradan

(

) (

)

( ) ( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( ) ( )

(

w P w Q

)

s b v t a v k b v k a v k b v a v k b a v Q P w s t k k k k k k , inf , inf , inf , inf = + + ³ + + = + ³ + + = + g g g g g g bulunur. O halde

(

P Q

)

(

w

( ) ( )

P w Q

)

w + ³inf , (2)

dur. ci =

å

ambn olmak üzere

i i ix c PQ =

å

olduğundan

( )

PQ

(

v

( )

c ig

)

w _i i + = inf

ve w nın tanımından c=

å

a_ab_b olmak üzere

( )

PQ w

(

cx

)

v

( ) (

c k s

)

g

w = k+s = + +

olur. v değerlendirmesinin özellikleri de kullanılarak

( ) (

) (

)

( ) ( )

( )

P w

( )

Q w k k b v a v s k b a v PQ w s k s k + = + + + = + + = g g g

elde edilir. Yani

( )

PQ w

( )

P w

( )

Q

w = + (3)

olur. 3.2.(1), (2), (3) ifadesinden w nın K

( )

x cisminin bir değerlendirmesi olduğu görülür.

3.1.3.Örnek: v Q rasyonel sayılar cisminin değer grubu toplamsal olan p-adik

değerlendirmesi olsun. G_v =Z,G´=R ve g = 5 ÎR olarak alınırsa =

å

Î

[ ]

i i ix Q x a P için

( )

i P w =inf

(

v

( )

ai +i 5

)

biçiminde tanımlanan w , Q

( )

x cisminin bir değerlendirmesidir.

3.1.4.Önerme: K bir cisim, v K cisminin bir değerlendirmesi, G _v v nin değer

grubu, G´ G yi alt grup kabul eden bir sıralı grup, v nÎZ, ng ÎGv iken n=0 olan g ÎG´

ise w

( )

x =g olacak şekilde v değerlendirmesinin K

( )

x cismine bir tek w genişlemesi

vardır. kw ve k aynıdır ayrıca v w nın değer grubu Gv+Zg biçimindedir.

Kanıt: =

å

Î

[ ]

i i ix K x a P olsun.

( )

a x v

( )

a ig w _i i = _i +

olacağından a_ixi

(

a_i ¹0

)

lerin w altında farklı değerler aldığı görülür. O halde w

değerlendirmesi her =

å

Î

[ ]

i i ix K x a P için

( )

i P w =inf

(

v

( )

a_i +ig

)

biçiminde tek şekilde tanımlanır. w nın değer grubunun G_w =G_v +Zg olduğu, tanımından açıktır.

( )

x K

RÎ ve R ¹0 ise aÎK*,nÎN,uÎK

( ) ( )

x ,w u >0 olmak üzere

(

u

)

ax R= n 1+ yazılabilir. O halde

( ) ( )

R v a ng w = + olacaktır.

( )

R =0Ûv

( )

a =0.n=0 w

dır. Bu durumda R ve a birbirine denk olacağından k_w ve k cisimlerine aynı gözüyle _v

bakılabilir.

3.1.5.Önerme: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi, G _v v nin değer grubu,

v

k de rezidü cismi olsun. Bu durumda v değerlendirmesi w x

( )

=0 , x* =t trans k/ _v olacak şekilde K

( )

x cisminin bir w değerlendirmesine tek şekilde genişletilir. Ayrıca G_w =G_v ve

( )

t k kw = v dir. Kanıt: =

å

Î

[ ]

i i ix K x a P için

( )

i P w =inf

(

v

( )

a_i

)

biçiminde tanımlanan w K cisminin bir değerlendirmesidir ve G_w =G_vdir. O halde

( )

x =0

w olur.P polinomu her iÎI için v

( )

a_i ³0 ve en az bir kÎI için v

( )

a_k =0 sağlanacak şekilde K ın uygun bir elemanı ile bölünsün. Bu durumda * w

( )

x = 0ÞPÎV_w

dır.

v

k trans

t / ve her iÎI için a_i ¹ olduğundan 0

0 ¹

å

i i it a olur. O halde

( )

i P w =0=inf

(

v

( )

a_i

)

olacaktır.

( )

0 0 , 0 0 _÷÷Þ = ø ö çç è æ > > ÷ ø ö ç è æ Þ =

å

å

i i i i i i i it w a x v a a a

dır. Öyleyse x=t k_v cismi üzerinde transandanttır. RÎK

( )

x elemanı

÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ =

å

å

i i i i i ix bx a c R / yazılırsa ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ =

å

å

i i i i i it bt a c R / olacağından

( )

t k

k_w = _v

olduğu görülür.

3.1.6: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi, x K cismi üzerinde transandant olan bir eleman ve w v değerlendirmesinin K

( )

x cismine rezidül transandant genişlemesi,

v nin rezidü cismi k ve _v w nın rezidü cismi k olsun. Nagata _w v değerlendirmesinin rankı

sonlu ayrık bir değerlendirme olması durumunda k cisminin _w k nin sonlu cebirsel bir _v

genişlemesinin basit transandant bir genişlemesi olduğunu göstermiştir. (Nagata, 1967) Daha sonra Ohm v değerlendirmesi üzerindeki rankının sonlu ve ayrık değerlendirme

olması koşulu olmasa da k cisminin _w k nin sonlu cebirsel bir genşlemesinin basit _v

transandant bir genişlemesi olduğunu göstermiştir. (Ohm.1983)

3.1.7.Önerme:

K

bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi, f ÎK

[ ]

x , f Ï , K

[ ]

f K f a f a f a a

P= ₀ + ₁ + ₂ 2 +...+ _n nÎ olsun. Bu durumda K

( )

f cismi üzerinde

( )

i

f P

w =inf

(

v

( )

a_i

)

biçiminde tanımlanan wf bir değerlendirmedir. (Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

3.1.8.Önerme: wf v değermesinin K

( )

f cismine rezidül transandant genişlemesidir. w wf değerlendirmesinin K

( )

x cismine bir genişlemesi ise w

değerlendirmesi de v nin rezidül transandant genişlemesidir.

Kanıt: 3.1.5. önermeden kolayca görülür.

3.1.9.Önerme: v K cisminin bir değerlendirmesi, w v nin K

( )

x cismine rezidül transandant genişlemesi olsun. Bu durumda w değerlendirmesi K

( )

f cismi üzerinde

,

v f ve infimum ile tanımlanan wf değerlendirmesinin K(x) cismine genişlemesi olacak

biçimde bir f ÎK

[ ]

x polinomu vardır. (Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

K cisminin v değerlendirmesinin K

( )

x cismine rezidül transandant genişlemelerini, önce K cisminin cebirsel kapalı olması durumunda inceleyelim.

3.1.10.Önerme:w v değerlendirmesinin K

( )

x cismine rezidül transandant genişlemesi olsun. Bu durumda w değerlendirmesi v , infimum ve

) 0 ( ¹ -=ax b a

f doğrusal polinomu ile tanımlanmıştır.

(Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

( )

x K w

( )

f K f w K v

3.1.11.Önerme: f_i =a x b_i - Î_i K x

[ ]

(

i=1, 2

)

olmak üzere w w K

( )

x

i

f

i = cismi

üzerinde v, f_i ve infimum ile tanımlanan değerlendirmeler olsun. Aşağıdakiler denktir:

i) w1 =w2

ii)c d, ÎV_v, v c

( )

=0 olmak üzere f₂ =cf₁+d biçimindedir.

iii)w₁

( )

f₂ =0, f trans k₂ / _v

iv)v

( ) ( )

a₁ =v a₂ ve v

(

a₁b₂ -a₂b₁

) ( )

³v a₁ (Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

3.1.12.Önerme: f a x x K

[ ]

x f K n i i Î Ï -=

Õ

= , ) ( 1

olsun. w , wf nin K

( )

x cismine bir

genişlemesi ise i i i c x x

f = - olmak üzere w=wf olacak şekilde f polinomunun bir x i

kökü ve bir c_iÎ elemanı vardır. (Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988) K

3.1.13.Lemma: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi,

[ ]

x f K K x x a f n i i Î Ï -=

Õ

= , ) ( 1

, wf v nin K

( )

f cismine bir genişlemesi,w , wf nin K

( )

x

cismine bir genişlemesi, gi =w x

(

-xi

) ( )

=v ci , ciÎK, 1£ £i n ve

i i₀ =sup g

( )

gi olsun. Eğer i i i c x x

f = - ise w K

( )

x cismi üzerinde , v f ve infimum ile tanımlanan bir i

değerlendirmedir. Tersine i i i c x x

f = - olmak üzere w=wf ise gi =gi₀dır.

(Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

3.1.14.Lemma: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi,

[ ]

1 ( ) , n i i f a x x K x f K =

=

Õ

- Î Ï ,w_f v nin K

( )

f cismine bir genişlemesi,w w_fnin K

( )

x

cismine bir genişlemesi,

i i i c x x f = - iken i f w w= olsun.

a) Aşağıdaki ifadeler denktir: i) i f w w= , i i i c x x f = -ii) v

(

x-x_i

)

³sup

(

v

( ) ( )

c₁ ,v c_i

)

iii)v

( ) ( )

c₁ =v c_i

b) v

( ) ( )

ci <v c1 ise v

( )

ci =gi =v

(

xi -x1

)

dir. (Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

3.1.15.Teorem: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi,

[ ]

x K x x a f n i i Î -=

Õ

= ) ( 1

olsun. Her 1£i£n için w_i, K

( )

x cismi üzerinde , i i x x v d ve

infimum ile tanımlanan bir değerlendirme ve wi w0 ın genişlemesi olacak biçimde bir

K

di Î elemanı vardır. Tersine w ın 0 K

( )

x cismine her genişlemesi w değerlendirmesine i

denktir.

Kanıt: f ÎK

[ ]

x polinomu x noktasında Taylor serisine açılırsa _i 1£ j£n için

( )

_{( )}

! j x f h i j j = olmak üzere

( ) (

)

(

)

(

)

n n i i i h x x h x x h x x x f = - + - 2 +...+ -2 1 ve d_i Î K* için

( )

n i i n n i i i i i i i d x x h d d x x h d d x x h d x f _÷÷ ø ö çç è æ -+ + ÷÷ ø ö çç è æ -+ ÷÷ ø ö çç è æ -= ... 2 2 2 1

elde edilir. w_i, K

( )

x cismi üzerinde , i i x x v d

ve infimum ile tanımlanan bir

değerlendirme olsun.

( )

f wi

( )

f

(

v

( )

hj jv

( )

di

)

w =0= =inf + olacağından 1£i£ j için

( )

( )

_÷÷ ø ö çç è æ -= j h v d v _i inf j (4)

elde edilir ve bu ifadeden d_iÎ K* elemanı tanımlanır; ancak bu tanımlanış tek şekilde olmayabilir. d_i Î K* elemanı 3.15.(4) ifadesindeki gibi tanımlanmış ise K

( )

x cismi üzerinde , i i x x v d

ve infimum ile tanımlanan değerlendirmenin w ın genişlemesi olduğu ₀

kolayca görülür.

3.1.16.Tanım: 3.15.(4). ifadesinde tanımlanan g_i =v

( )

d_i ÎG_velemanına f

polinomu ve f in x köküne karşılık gelen mertebe, i w ye de i f polinomu ve f in x i

köküne karşılık gelen değerlendirme adı verilir.

3.1.17.Önerme: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi,

[ ]

, , 1, 2

f ÎK x f ÏK x x f polinomunun kökleri, w₁, w sırasıyla ₂ x₁, x ve ₂ f

polinomuna karşılık gelen değerlendirmeler ve g g₁, ₂ mertebeleri olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.

i) w1 =w2

iii) g₁ =w₂

(

x-x₁

)

ve g₂ =w₁

(

x-x₂

)

(Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

3.1.18.sonuç: K bir cisim, v K nın bir değerlendirmesi, ( )

[ ]

,

1 x K x x a f n i i Î -=

Õ

=

her 1£i£n için w_i f polinomu ve f in x köküne karşılık gelen değerlendirme _i

olsun.

i) w₁ =w₂ =...=w_r ve her i³r için w₁ =w_i ise

0 1 / w

w k

k r dereceden bir .

genişlemedir.

ii) w1´,w2´,...,wt´ w ın 0 K

( )

x cismine genişlemelerinin tam sistemi ise

(

w w

) (

f w w

)

[

K

( ) ( )

x K f

]

e _j

j

j / 0 / 0 = :

å

dir. (Alexandru, Popescu, Zaharescu, 1988)

Şimdi K nın herhangi bir cisim olması durumunda K cisminin v