Bağlaştırım yöntemi ve çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri

Bağlaştırım yöntemi ve çift Sinh-Gordon potansiyelinin

süpersimetrik eşleri

Bengü DEMĐRCĐOĞLU1,*, Şengül KURU1

1_{Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü, 06100 Tandoğan, Ankara} Özet

Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerinden biri olan bağlaştırım yöntemi kısmi olarak çözülebilen çift Sinh-Gordon potansiyeline uygulandı. Bu potansiyelin süpersimetrik eşleri ile bunların özdeğer ve özfonksiyonları bağlaştırım yöntemi kullanılarak bazı belirli parametre değerleri için bulundu. Böylece, yeni kısmi olarak çözülebilen potansiyeller elde edildi.

Anahtar kelimeler: Süpersimetrik kuantum mekaniği, kısmi olarak çözülebilen potansiyel, çift Sinh-Gordon potansiyeli.

Intertwining Method and The Supersymmetric Partner Potentials of

the Double Sinh-Gordon Potential

Abstract

One of the supersymmetric quantum mechanics methods, intertwining method has been applied to the double Sinh-Gordon potential, which is a quasi-exactly solvable. Using the intertwining method, supersymmetric partners of this potential with their eigenvalues and eigenvectors have been found for some certain values of the parameters. Thus, new quasi-exactly solvable potentials have been obtained.

Key words: Supersymmetric quantum mechanics, quasi-exactly solvable potential, double Sinh-Gordon potential.

1. Giriş

Şimdiye kadar tam olarak çözülebilen problemlere ilgi oldukça fazla olmuştur. Fakat oldukça

az sayıda problem tam olarak çözülebilir, yani kuantum sisteminin spektral özellikleri, özdeğerleri ve özfonksiyonları, açıkça belirlenebilirdir. Harmonik salınıcı, Coulomb ve Calogero-Moser problemi tam olarak çözülebilen nadir ve önemli problemlerdendir. Bu nedenle, tam olarak çözülebilen yeni problemler bulmak için pek çok yöntem ileri sürülmüştür. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri de teorik fizik ve matematiğin çeşitli alanlarında tam olarak çözülebilen problemleri bulmak için kullanılan oldukça önemli araçlardandır [1-6].

Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerinden biri olan bağlaştırım yöntemi, tam olarak çözülebilen çizgisel ve çizgisel olmayan problemler ile bunların hiyerarşilerini kurmak ve çözülebilen bir problemden başlayarak yeni çözülebilir problemler elde etmek için kullanılan bir yöntemdir. Yöntem, Hermitik iki H ve ₀ H Hamiltoniyeni arasında dönüşüm işlemcisi ₁

olarak etki eden bağlaştırım işlemcisi L ve onun hermitik eşleniğini L bulmaya dayanır: †

0= 1

H H

L _{L ,} † †

0 = 1

H L LH _{. (1)}

Burada, † Hermitik eşleniği göstermektedir. Yukarıdaki denklemlerden görüldüğü gibi H 0

ve H hemen hemen eşspektrumludurlar. Yani, spektrumları dönüşümü üreten özfonksiyona ₁

karşı gelen özdeğer hariç çakışır. Eğer

ψ

₀, H ’ın ₀ E özdeğerli bir özfonksiyonu ise, 0

1 0

ψ

=L

ψ

_da

1

H ’in aynı E özdeğerli (bire boylandırılmamış) bir özfonksiyonudur. Ayrıca ₀

Denk.(1)’den, H ve ₀ H ’in iki gizli dinamik simetri işlemcisi bağlaştırım işlemcisi L 1

cinsinden elde edilir: † †

0 1

[H ,L L]= =0 [LL,H ]_{. Burada [,] iki işlemcinin sıradeğişimini} göstermektedir. Bu özellikler yöntemin boyut ve şekilden bağımsız genel özellikleridir. Kuantum mekaniğinde, sonlu sayıda enerji özdeğeri ve karşı gelen özfonksiyonları analitik olarak çözülebilen sistemler kısmi olarak çözülebilen problemler olarak adlandırılır. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri, yeni kısmi olarak çözülebilen problemler elde etmek için de kullanılırlar [7-11]. Kısmi olarak çözülebilen potansiyellerden biri de çift Sinh-Gordon potansiyelidir: 2 2 0 1 ( ) sinh ( ) cosh 4 2 =b − + V x x b a x (2)

Bu potansiyel için, özdeğerler ve özfonksiyonlar 2a+1 düzeye kadar analitik olarak bilinir. Burada a herhangi bir tam sayı ya da yarı tam sayıdır [12]. Bu simetrik potansiyelin şekli ve enerji düzeylerinin yapısı iki parametrenin değeri ile değişir. Bu durumda sadece sınırlı sayıdaki enerji düzeyleri için tam çözümler vardır. Denklem (2) ile verilen potansiyele karşı gelen Schrödinger denklemi a’nın tam ya da yarı tam sayı değeri için kısmi tam çözülebilirdir ve bu literatürde oldukça çalışılmıştır. Böylece, (2) potansiyeli sadece b parametresine bağlı potansiyellerin bir ailesini verir [7, 13].

Bu çalışmada, ilk olarak Bölüm 2’de bir boyutta bağlaştırım yöntemi sunulmuştur. Daha sonra, Bölüm 3’de örnek olarak sadece bir parametre değeri için bağlaştırım yöntemi çift

parametre değerleri için sonuçlar Tablo 1 de gösterilmiştir. Ayrıca bazı parametreler için çift Sinh-Gordon potansiyeli ve süpersimetrik eşlerinin grafikleri de verilmiştir.

2. Bir boyutta bağlaştırım yöntemi

Aşağıdaki gibi standart potansiyel formuna sahip iki Hamiltoniyeni

2

( ) , 0,1,

= −∂ + =

i x i

H V x i (3)

ve bir boyutta en genel birinci mertebeden çizgisel bağlaştırım işlemcisini

0( ) , =L x + ∂x

L ₍₄₎

göz önüne alalım. Burada V x potansiyeli vei( ) ∂ ≡ ∂ ∂x / x ise x’e göre türevi göstermektedir. Süpersimetrik kuantum mekaniğinde, L süper yük işlemcisi olarak bilinir ve türeve göre sıfırıncı mertebeden terim olan L x₀( ) ise süperpotansiyel olarak adlandırılır. H ve ₀ H ₁

Hamiltoniyenleri L ve L ’nin hermitik eşleniği (L† =L x₀( )− ∂_{x) cinsinden aşağıdaki gibi} çarpanlarına ayrılmış olarak ifade edilebilir:

† †

0 = + , 1= +

H L L b H LL b_.

Denklem (3) ve (4)’ü Denk.(1)’de kullanırsak, bir boyutlu süpersimetrik eş potansiyeller

0( )

V x ve V x₁( ) aşağıdaki gibi elde edilir:

2 2

0( )= 0( )− 0x( )+ , 1( )= 0( )+ 0x( )+ .

V x L x L x b V x L x L x b (5)

Bir boyutta süpersimetrik kuantum mekaniği ile ilişkiyi görmek için,

0( )= −∂x[ln ( )]

φ

1

L x x , b=

λ

1, (6)

olarak seçelim ve Denk.(5)’in ilkinde yerine koyalım:

1 ( ) 0( ) ( )1 1 1( )

φ

φ

λφ

− xx x +V x x = x

Buradan da görüldüğü gibi bu yerdeğiştirmenin sonucunda V x potansiyelli Schrödinger ₀( ) denklemi elde edilir. Böylece,

φ

₁( )x ’in aşağıdaki Schrödinger denkleminin

λ λ

= ₁ özdeğerine karşı gelen bir özfonksiyonu olduğunu söyleyebiliriz:

0

( ) ( ) ( ) ( )

φ

φ

λφ

− xx x +V x x = x

Bir boyutlu sistemler için bağlaştırım yöntemi diğer bir süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemi olan Darboux dönüşümüne eşdeğerdir. Darboux dönüşümü etkisi altında Schrödinger denklemi şekil olarak değişmez kalır;

0 1 1 0 1

[ ( ),

φ

x V x( )]→[L

φ

( )x =

φ

_x( ) (ln ( ))x −

φ

x _x

φ

( ),x V x( )=V x( ) 2[ln ( )] ],−

φ

x _xx

ve bu Darboux değişmezliği olarak adlandırılır. Buradan da, açıkça V x ’in ₁( ) V x ’dan ₀( ) (

φ

₁( )x tarafından üretilen) Darboux dönüşümü yoluyla elde edildiği görülür.

φ

₁( )x ’in yerine,

0( )

potansiyel (V x ) elde etmek için kullanılabilir. Ayrıca, Darboux dönüşümü ard arda ₁( ) uygulanarak verilen bir V x potansiyeli için yeni potansiyel hiyerarşileri kurulabilir. ₀( )

Bağlaştırım yöntemi, V x potansiyeline karşı gelen Schrödinger denkleminin çözümlerini ₁( ) doğrudan verir:

(1) (0) (1) (0)

1 , 1 , 1, 2,...

ψk− =Lψk λk− =λk k= .

Burada üst indisler, karşı gelen potansiyelleri göstermektedir. Fakat V x ’ın dönüşümü 0( )

üreten özfonksiyonuna karşı gelen V x ’in herhangi bir özfonksiyonu yoktur: ₁( ) Lψ_k(0) =0_{. Bu} nedenle H ve 0 H ’in hemen hemen eşspektrumlu olduğu söylenebilir. 1

3. Çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri

Bu bölümde bağlaştırım yöntemi kullanılarak çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşi sadece bir parametre değeri için elde edilmiştir.

0

=

a için, Denk. (2) ile verilen potansiyel aşağıdaki şekildedir:

2 2 0( ) sinh cosh . 4 2 =b −b V x x x (7)

Bu potansiyel için sadece bir özfonksiyon analitik olarak belirlenebilir:

cosh 2 0 0; 0( ) 0e

λ = φ x =A −b x (8)

Burada A boylandırma sabitidir. Bu çözüm kullanılarak karşı gelen süperpotansiyel Denk. 0

(6) kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur:

0( ) [ln 0( )] sinh 2 φ = −∂x = b L x x x (9)

Bu ifade Denk.(5)’in ikinci kısmında kullanılırsa, V x potansiyelinin süpersimetrik eşi ₀( )

2 2 1( ) sinh cosh 4 2 =b +b V x x x, (10)

olarak elde edilir. Bu parametre değeri ( a=0) için V x ’in sadece bir özfonksiyonu ₀( ) bilindiğinden ve bu özfonksiyon da dönüşümü üretmede kullanıldığından, yöntem V x ’in ₁( ) herhangi bir özfonksiyonunu bulmaya izin vermez: Lφ₀ =0_{. Eğer başlangıç potansiyelinin} birden fazla özfonksiyonu biliniyorsa, eş potansiyellerin özfonksiyonları da dönüşümü üreten özfonksiyona karşı gelen özfonksiyon hariç bulunabilir. Ayrıca diğer parametre değerleri a=1/ 2 ve a=1 için süperpotansiyeller Denk.(6), süpersimetrik eş potansiyeller Denk.(5) ve özfonksiyonlar ψ = L kullanılarak elde edilmiş ve Tablo 1’de verilmiştir. φ

0( )

V x potansiyelinin formu, b parametresinin belli değerleri için Şekil 1’de görülmektedir.

Başlangıç potansiyeli V x için, b parametresinin değeri artarken kuyuların derinliği ve ₀( ) genişliği artmaktadır. Fakat, eş potansiyel V x için b parametresinin değeri artarken ₁( ) kuyuların derinliği ve genişliği azalmaktadır. Bu da Şekil 2’den açıkça görülebilir.

4. Sonuç ve Tartışma

Bağlaştırım yöntemi yeni tam olarak ve kısmi olarak çözülebilen problemleri elde etmede kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem kullanılarak, başlangıç potansiyelinden daha karmaşık potansiyeller olan süpersimetrik eşlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları, karşı gelen Schrödinger denklemleri çözülmeden doğrudan bulunabilir. Bu çalışmada, bağlaştırım yöntemi çift Sinh-Gordon potansiyeline uygulanmış ve bu potansiyele karşı gelen süpersimetrik eşler belli parametre değerleri için bulunmuştur. Böylece, b parametresine bağlı yeni kısmi olarak çözülebilen potansiyeller elde edilmiştir. Şekillerden, başlangıç potansiyelinin süpersimetrik eşlerinin tek kuyu (Şekil 2), iki kuyu (Şekil 3) ve üç kuyu (Şekil 4) potansiyelleri olduğu açıkça görülür. Ayrıca Tablo 1’den görüldüğü gibi bu potansiyellerin bazıları tekilliklere sahiptir ve karşı gelen çözümler fiziksel değildir (yani tüm uzay üzerinde kareleri integrallenemez ve potansiyelin tekil olduğu yerlerde tekilliklere sahiptirler). Bununla birlikte bu potansiyellerin fiziksel çözümlerini bulmak ayrı bir çalışma konusu olabilir. Eş potansiyellerin özfonksiyonları, dönüşümü üreten özfonksiyona karşı gelen özfonksiyon hariç bulunabildiğinden, Tablo 1 den de görüleceği gibi a=0 durumda, başlangıç potansiyeli için sadece λ₀ =0’a karşı gelen özfonksiyonu bildiğimizden ve bu da dönüşümü üretmede kullanıldığından, yöntem eş potansiyel için özfonksiyon vermez.

1/ 2

=

a ve a=1 durumları için de bu durum Tablo 1’den açıkça görülebilir.

Denk. (2) ile verilen çift Sinh-Gordon potansiyeli, ayrıca kısmi olarak çözülebilen problemleri çözme yöntemlerinden biri olan Bender-Dunne yöntemi [17] kullanılarak ele alınmış ve ikilik (duality) dönüşümü uygulanarak yeni kısmi olarak çözülebilen çift Sin-Gordon potansiyeli elde edilmiştir [18]. Çift Sin-Gordon potansiyeline karşı gelen spektrum çift Sinh-Gordon potansiyeline karşı gelenden farklıdır, fakat spektrumu oluşturan özdeğerlerin sayısı her iki potansiyel için de aynıdır. Bu çalışmada ise bağlaştırım yöntemi kullanılarak çift Sinh-Gordon potansiyeli için a=0 durumunda sadece bir fakat a=1/ 2 ve a=1 durumlarında birden fazla yeni kısmi olarak çözülebilen potansiyel elde edilmiştir (Tablo 1’den açıkça görülebilir). Ancak, yöntemden dolayı bu yeni potansiyeller başlangıç potansiyeli ile hemen hemen eşspektrumludurlar.

Çift Sinh-Gordon potansiyeli teorik fiziğin pek çok alanında uygulamaya sahiptir. Bunlardan biri de spin Hamiltoniyen sistemidir [13, 19]. Bu çalışmada, bağlaştırım yöntemi en basit spin sistemine karşı gelen Hamiltoniyenin etkin potansiyeline uygulanmıştır [20]. Sonuç olarak, bağlaştırım yöntemi ve ikilik dönüşümü [18] diğer spin Hamiltoniyen sistemlerine de uygulanarak kısmi olarak çözülebilen yeni potansiyeller ve bunlara karşı gelen özfonksiyonlar elde edilebilir.

Kaynaklar

[1].Infeld, L. and Hull, T. E., “The Factorization Method.” Rev. Mod. Phys., 23: 21-68, (1951).

[2].Andrianov, A.A., Borisov, N.V. and Ioffe, M.V., “Factorization method and Darboux transformation for multidimensional Hamiltonians” Theor. Math. Phys., 61: 1078-1088, (1984).

[3].Matveev V. B. and Salle M. A., “Darboux Transformations and Solitons” Berlin. Springer, (1991).

[4].Cooper F., Khare A and Sukhatme U. P., “Supersymmetry in Quantum Mechanics”, London. World Scientific, (2001).

[5].Kuru Ş., Teğmen A. and Verçin A., “Intertwined isospectral potentials in an arbitrary dimension” J. Math. Phys., 42: 3344-3360, (2001).

[6].Demircioğlu B., Kuru Ş., Önder M. and Verçin A., “Two families of superintegrable and isospectral potentials in two dimensions” J. Math. Phys., 43: 2133-2150,(2002).

[7].Razavy M., “An exactly soluble Schrödinger equation with a bistable potential” Am. J. Phys., 48: 285-288, (1980).

[8].Gangopadhyaya A., Khare A. and Sukhatme U. P., “Methods for generating quasi-exactly solvable potentials” Phys. Lett. A, 208: 261-268, (1995).

[9].Tkachuk V. M., “Quasi-exactly solvable potentials with two known eigenstates” Phys. Lett. A, 245: 177-182, (1998).

[10]. Kuliy T. V. and Tkachuk V. M., “Quasi-exactly solvable potentials with three known eigenstates ” J. Phys. A: Math.Gen., 32: 2157-2169, (1999).

[11]. N. Debergh and B. Van den Bossche, J. Ndimubandi, “A general approach of quasi-exactly solvable Schrödinger equations with three known eigenstates” Int. J. Mod. Phys. A, 18: 5421-5432, (2003).

[12]. Khare A., “A QES band-structure problem in one dimension” Phys. Lett. A, 288: 69-72, (2001).

[13]. Ulyanov V. V. and Zaslavskii O. B., “New methods in the theory of quantum spin systems” Pyhs. Rep., 216: 179-251, (1992).

[14]. Anderson A. and Camproesi R., “Intertwining operators for solving differential equations, with applications to symmetric spaces” Commun. Math. Phys. 130, 61-82, (1990).

[15]. Canata F., Ioffe M. V., Junker G. and Nishnianidze J., “Intertwining relations of non-stationary Schrödinger operators” J. Phys. A, 32: 3583-3598, (1999).

[16]. Junker G., “Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics”, Berlin. Springer: (1996).

[17]. Bender C. M. and Dunne G. V., “Quasi-exactly solvable systems and orthogonal polynomials” J. Math. Phys., 37: 6-11 (1996). (hep-th/951138v1)

[18]. Khare A. and Mandal B.P., “Anti-isospectral transformations, orthogonal polynomials and quasi-exactly solvable problems” J. Math. Phys., 39: 3476-3486, (1998). (quant-ph/9711001)

[19]. Bilge Ocak S. and Altanhan T., “The effective potential of squeezed spin states” Phys. Lett. A, 308: 17-22, (2003).

[20]. Demircioğlu B., Bilge Ocak S. and Kuru Ş., “Supersymmetric analysis of a spin Hamiltonian model” Phys. Lett. A, 353: 34-39, (2006).

Şekil 1. a=0 ve λ₀ =0 için çift Sinh-Gordon potansiyelinin (V x ) ₀( ) b=1, 2, 3, 4 değerlerine karşı gelen grafik.

Şekil 2. a=0 ve λ₀ =0 için çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşinin (V x ) ₁( ) 1, 2, 3, 4

Şekil 3. 1

2

a= ve ₁ 1

4 2

b

λ = − + için çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşinin (V x ) ₁( ) b=1, 2, 3, 4 değerlerine karşı gelen grafik.

Şekil 4. a=1, ₂ 1 ( 2 1)1/ 2

2 4

λ = − + b + için çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşinin (V x ) ₁( ) b=1, 2, 3, 4 değerlerine karşı gelen grafik.

B ağ la şt ır ım y ö n te m i v e çi ft si n h -g o rd o n p o ta n si y el in in s ü p er si m et rik e şl er i 7 1

Tablo 1. a, λ parametrelerinin seçimi, çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eş potansiyellerini üreten (x)φ çözümü ve karşı gelen süperpotansiyeller. Bu tablo ayrıca eş potansiyellerin özfonksiyonlarını, süperpotansiyellerin ve eş potansiyellerin tekillikleri ile karşı gelen

özdeğerlerin fiziksel olup olmadığını göstermektedir. Burada, A ’ler boylandırma sabitleri (_i i=0,1, 2) ve K_0;2=λ_0;2/b’dir

a parametresinin seçimi ve Sinh-Gordon potansiyeli V x₀( )

, (x)

λ φ ’in seçimi Süperpotansiyel L x₀( ) Süpersimetrik eş potansiyel V x₁( ) Süpersimetrik eş potansiyelin V x₁( )’nin özfonksiyonları 0 = a , 2 2 sinh cosh 4 −2 b b x x 0 cosh 2 0 0 0; e λ φ − = = b x A sinh 2 b x 2 2 sinh cosh 4 +2 b b x x yok 0 cosh 2 0 0 1 , 4 2 cosh 2 λ φ − = − − = b x b x A e 1 sinh tanh 2 −2 2 b x x 2 2 1 2 1 sinh tanh 4 +2 2−2 b x x cosh 1 2 1 sec 2 2 ψ = −_{A x} −b x h e 1/ 2 = a , 2 2 sinh cosh 4 − b x b x 1 cosh 2 1 1 1 , 4 2 sinh 2 λ φ − = − + = b x b x A e 1 sinh coth 2 −2 2 b x x (x=0’da tekil) 2 2 1 2 1 sinh coth 4 +2 2−2 b x x (x=0’da tekil) 0 2cosh 0 sec 2 2 ψ = _{A x} −b x co h e (fiziksel değil) 1 cosh 2 1 1 1, sinh λ φ − = − = b x A x e sinh coth 2 − b x x (x=0’da tekil) 2 2 2

sinh cosh 2 coth 2

4 −2 + − b b x x x (x=0’da tekil) cosh 2 0;2 0;2( 0;2 cosh ) cos ψ = − −b x A K x ech x e (fiziksel değil) 1 = a , 2 2 3 sinh cosh 4 −2 b x b x 2 1/ 2 0;2 1 1 ( ) 2 4 λ = − m _b + _, cosh 2 0;2(1 0;2cosh ) − − b x A K x e 0;2 0;2 sinh sinh 2 +1− cosh K x b x K x

(Sağ alt indisli süperpotansiyeller 0.73

=m

x ’de tekilliğe sahip)

2 0;2 0;2 2 2 0;2 2 ( cosh ) sinh cosh 4 2 (1 cosh ) − − − − K K x b b x x K x

(Sağ alt indisli potansiyeller x=m0.73’de tekilliğe sahip) cosh 1 0;2 ₂ 1;1 0;2 (cosh ) , 1 cosh ψ = − − − b x A x K e K x cosh 2 0;2 2;0 ₂ 2;0 0;2 ( ) sinh . 1 cosh ψ = − − − b x A K K x e K x