Lorentz uzayında s-dejenere eğriler / S-degenerate curves in Lorentz space

T.C.

FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

LORENTZ UZAYINDA s-DEJENERE EĞRĐLER

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Zühal KÜÇÜKARSLAN

(08121103) Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Geometri TEMMUZ–2010

T.C.

FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

LORENTZ UZAYINDA s-DEJENERE EĞRĐLER

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Zühal KÜÇÜKARSLAN

(08121103)

Anabilim Dalı: Matematik Programı: Geometri

Tez Danışmanı: Prof. Dr. Mehmet BEKTAŞ

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih:

T.C.

FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

LORENTZ UZAYINDA s-DEJENERE EĞRĐLER

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Zühal KÜÇÜKARSLAN

(08121103)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11. 06. 2010 Tezin Savunulduğu Tarih: 06. 07. 2010

TEMMUZ–2010

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Mehmet BEKTAŞ (F.Ü.) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Mahmut ERGÜT(F.Ü)

ÖNSÖZ

Yurtiçi Yüksek Lisans burs desteğinden dolayı Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBĐTAK)’a teşekkürü borç bilirim.

Tez konumu veren, yöneten, çalışmalarımda bana gerekli imkanları sağlayan, destek ve yardımlarını esirgemeyen Sayın Hocam Prof. Dr. Mehmet BEKTAŞ' a, Sayın Hocam Prof. Dr. Mahmut ERGÜT’ e ve Sayın Hocam Yrd. Doç. Dr. Handan ÖZTEKĐN’ e teşekkür eder, saygılarımı sunarım.

Zühal KÜÇÜKARSLAN ELAZIĞ–2010

ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa No ÖNSÖZ ... II ĐÇĐNDEKĐLER...III ÖZET ... IV SUMMARY... V SEMBOLLER LĐSTESĐ ... VI 1. GĐRĐŞ ... 1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER ... 2

2.1. Yarı-Öklid Uzay ve Yarı-Riemann Manifoldlar ... 2

2.2. Null Eğriler ... 5

3. s-DEJENERE EĞRILER ... 9

3.1. s-Dejenere Eğriler ve Frenet Çatıları ... 9

3.2. s-Dejenere Eğrilerin Cartan Çatıları ... 13

3.3. Lorentz Uzay Formunda s-Dejenere Eğriler... 15

3.4. 4

1 M de 2-Dejenere Eğriler... 15

4. REKTIFIYAN EĞRILER... 17

4.1. E Öklid Uzayında Rektifiyan Eğrilerin Karakterizasyonları...4 17

4.2. M₁4 de 2-Dejenere Rektifiyan Eğriler ve Karakterizasyonları... 20

5. SONUÇ... 33

KAYNAKLAR ... 34

ÖZET

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde; Lorentz uzayı ve null eğrilerle ilgili temel tanımlara ve teoremlere yer verilmiştir.

Đkinci bölümde; s-dejenere eğrilerle ilgili temel tanım ve teoremler incelenmiştir.

Üçüncü bölümün ilk kısmında 4- boyutlu Öklid uzayında rektifiyan eğrilerle ilgili bazı tanım ve teoremler verildi. Üçüncü bölümün ikinci kısmı tezimizin orijinal olan kısmını oluşturmaktadır. Bu kısımda, Lorentz uzayında s-dejenere eğrilerin özel bir hali olan 2-dejenere eğrilerin rektifiyan eğri olması durumunda bazı karakterizasyonlar elde edildi.

Anahtar Kelimeler: Lorentz Uzayı, Null Eğri, Rektifiyan Eğri, s-Dejenere Eğri, 2-Dejenere Eğri.

SUMMARY

s-Degenerate Curves in Lorentz Space This thesis consists of three chapters…

First chapter provides fundamental definitions and theorems related to Lorentz space/ null curves and second chapter related to s-degenerate curves.

Third chapter first gives some definitions and theorems about rectifying curves in 4-dimensional Euclidean space. Then, our major contribution, characterizations when 2-degenerate curves becomes rectifying curves in the Lorentz space, is obtained in the second part. Note that a 2-degenerate curve is a special case of a s-degenerate curve.

Keywords: Lorentz Space , Null Curve, Rectifying Curve, s-Degenerate Curve, 2-Degenerate Curve.

SEMBOLLER LĐSTESĐ

4

E : 4-boyutlu Öklid Uzay g : Simetrik Bilineer Form M : Yarı-Riemann Manifold

q : Yarı-Riemann Manifoldun Đndeksi

1

n

M : n-boyutlu Lorentz Manifold

4 1

M : 4-boyutlu Lorentz Uzay

{{{{

T N B B, , 1, 2

}}}}

: Hareketli Frenet Çatısı

α αα

α : 4 1

M de Eğri

{{{{

W L W N1, , 2,

}}}}

: 2-dejenere Eğri Đçin Cartan Çatısı

γγγγ : s-dejenere Eğri

i

k : i-inci Eğrilik Fonksiyonu

p

1. GĐRĐŞ

Null incelemesine ait ilk kapsamlı çalışma [1] de Bonnor tarafından verilmiştir. Bu çalışmada Minkowski spacetime da null eğrilerin geometrisi üzerine geniş bir inceleme yapmış ve geodezik olmayan null eğriler için yapılan araştırmaların öncüsü olmuştur. Bejancu [2], bu çalışmayı Lorentz manifolduna genişletmiştir. Daha sonra Duggal ve Bejancu [3] “Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifolds and Applications” adlı kitabında null eğrilerin teorisini detaylı bir şekilde vermiştir. Son yıllarda null eğriler üzerine yapılan çalışmalar oldukça fazladır.

Null eğrilerin teorik fizikte de önemi oldukça büyüktür. Özellikle bu alandaki önemi sicim teorisi ile artmıştır. [4] de Nersessian ve Ramos, Minkowski spacetime’da bir geometrik parçacık modelinin null eğriler üzerinde oluşturulabileceğini göstermiştir. Null eğriler genel relativite teorisinin gelişmesinde de önemli bir rol oynar. Özellikle space-time’ın causal yapısını, kara deliklerin, asimptotik flat sistemlerinin ve gravitational waves (yerçekim dalgalarının) yapısını anlamakta kullanılan bir teoridir.

Herhangi bir s-dejenere eğri (s>1) bir uzayın bir lightlike hiperyüzeyinde yatan bir space-like eğridir. Literatürü incelediğimizde s-dejenere eğriler ilk olarak [5] de Ferrandez, Gimenez ve Lucas tarafından çalışılmıştır. Bu çalışmada s-dejenere helisleri karakterize ettiler ve dört boyutta 2-dejenere helislerin tam bir sınıflandırmasını elde ettiler.

s-dejenere eğriler üzerinde karakterizasyonlara literatürde raslanır. Bu nedenle bu çalışmada Lorentz uzayında s-dejenere eğriler incelendi. [6] ve [7] de verilen rektifiyan eğriler kavramı, 4

1

M Lorentz uzay formunda 2-dejenere eğriler için karakterize edilip, bununla ilgili bazı teoremler ifade ve ispat edildi.

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1. Yarı-Öklid Uzay ve Yarı-Riemann Manifoldlar 2.1.1 Tanım: V, bir reel vektör uzayı olsun.

: g V V× →R dönüşümü ∀a,b R∈ ve ∀u v, ∈V için (i): ( , )g u v =g v u( , ) (ii):g au( +bv w, )=ag u w

(

,

)

+bg v w

(

,

)

g u av bw

(

, +

)

=ag u v

(

,

)

+bg u w

(

,

)

özelliklerine sahip ise, g dönüşümüne V vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form denir

[8].

2.1.2 Tanım : V bir n-boyutlu reel vektör uzayı ve V üzerinde simetrik bilineer form

:

g V V× →R

olsun. ∀ ∈v V için g

(

ξ,v

)

= olacak şekilde bir 0 ξ ≠ ∈ vektörü mevcut ise g ye V 0 V üzerinde dejenere simetrik bilineer form denir. Aksi taktirde g ye non-dejeneredir denir. g nin non-dejenere olması için gerek ve yeter şart v V∀ ∈ için

(

,

)

0 0 g u v = ⇒u=

olmasıdır. Bir V reel vektör uzayı üzerindeki simetrik bilineer form, V uzayının altuzayı üzerine dejenere veya non-dejenere bir bilineer forma indirgenir [3].

2.1.3 Tanım: V bir reel vektör uzayı ve g, V üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. V nin

(

)

{

: , 0,

}

RadV = ξ∈V g ξ v = ∀ ∈v V

şeklinde tanımlı alt uzayına, g ye göre V uzayının radikal (veya null) uzayı denir. RadV ’nin boyutuna g’nin nulluk derecesi denir ve nullV ile gösterilir. Eğer nullV >0 ise g dejeneredir,

0

2.1.4. Tanım: g , V vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. Bu simetrik bilineer form üç değişik durum altında incelenebilir;

1) Definit Durum: Eğer,

i) ∀ ∈v V v, ≠ için 0 g v v

(

,

)

>0 ise g simetrik bilineer formuna pozitif definit, ii) ∀ ∈v V v, ≠ için 0 g v v

(

,

)

<0 ise g simetrik bilineer formuna negatif definit denir.

2) Semi-definit Durum: Eğer,

i) v V∀ ∈ için g v v

(

,

)

≥ ise g simetrik bilineer formuna pozitif semi-definit, 0 ii) v V∀ ∈ için g v v

(

,

)

≤ ise g simetrik bilineer formuna negatif semi-definit denir. 0

3) Nondejenere Durum: Eğer, w V

∀ ∈ için g v w

(

,

)

= iken 0 v= ise g simetrik bilineer formuna non-dejenere simetrik 0 bilineer form denir [8].

2.1.5. Tanım: V, bir reel vektör uzayı ve :

g V V× →R

simetrik bilineer form olsun. W ⊂V olmak üzere :

W

g W W× →R

negatif definit olacak şekilde en büyük boyutlu W altvektör uzayının boyutuna g simetrik biliner formun indeksi denir ve q ile gösterilir [8].

2.1.6. Tanım: Bir V reel vektör uzayı üzerinde non-dejenere simetrik bilineer g formuna, V reel vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpım (yarı Öklid metriği) ve (V,g) ikilisine de skalar çarpım uzayı (yarı-Öklid uzayı) denir [3].

2.1.7. Tanım: V, yarı-Öklid uzayı üzerinde tanımlı bir g skalar çarpımı için, i) g pozitif tanımlı ve q=0 ise g ye Öklid metriği, (V,g)’ye de Öklid uzayı,

ii) g’nin indeksi q=1 ise g’ye Lorentz (Minkowski) metriği, (V,g) yede Lorentz (Minkowski) uzayı,

2.1.8. Tanım: V, yarı-Öklid uzayı üzerinde tanımlı bir g skalar çarpımı için, i) g v v

(

,

)

>0 veya v= ise v ye space-like, 0

ii) v≠ iken 0 g v v

(

,

)

<0 ise v ye time-like,

iii) v≠ ise 0 g v v

(

,

)

= ise v ye light-like (null veya izotropik) vektör denir. v V0 ∈ vektörünün bu üç tipine v’nin causal karakteri denir [3].

2.1.9. Tanım: V, bir reel vektör uzayı ve W ⊂V de bir alt uzay olsun. Bu durumda g_W, dejenere ise W ye light-like (dejenere) alt uzay denir.

Genel olarak W ’nın diki

(

)

{

: , 0,

}

W⊥ = v V g v w∈ = ∀ ∈w W

şeklinde tanımlanır ve bu iki uzay arasında, W∩W⊥ ≠

{ }

0 bağıntısı vardır [3].

2.1.10. Tanım: V, bir light-like vektör uzayı ve V nin radikal uzayı RadV ’ye tümleyen olan non-dejenere alt uzaya görüntü (screen subspace) denir SV ile gösterilir [3].

2.1.11. Tanım: n

R , n-boyutlu Öklid uzayı olsun. R üzerinde n 0 q n≤ ≤ olmak üzere, q tamsayısı için

(

)

1 1 , , , q n n i i i i i i q g x y x y x y x y R = = + = −

∑

+

∑

∀ ∈

ile verilen metrik tensör göz önüne alınarak elde edilen uzaya q indeksli n-boyutlu yarı-Öklid uzay denir ve n q R ile gösterilir [8]. 2.1.12. Tanım: n-boyutlu n q R yarı-Öklid uzayına; i) q=0 ise n R Öklid uzayı, ii) q=1 ve n≥ ise 2 ₁n R Minkowski n-uzay, iii) q=1 ve n=4 ise 1 n

R Minkowski space-time denir [8].

2.1.13. Tanım: M, bir C∞ _{n-manifold olsun. Buna göre; M üzerinde,}

i) Bir g Riemann metriği tanımlı ise M ye Riemann manifold,

[9].

2.1.14. Tanım: M, bir C∞ _{manifold olmak üzere,}

: ( ) ( ) ( , ) g χ M ×χ M →C∞ M R ( , )X Y →g X Y( , )

biçiminde tanımlı simetrik, bilineer, non-dejenere fonksiyonuna M üzerinde bir metrik tensör denir [8].

2.1.15. Tanım: M , bir C∞ manifold olsun. M, bir g metrik tensörü ile donatılmışsa, M ye yarı-Riemann manifold denir [8].

2.1.16. Tanım: Bir M yarı-Riemann manifoldu üzerinde g metrik tensörünün indeksine yarı-Riemann manifoldun indeksi denir, indM veya q ile gösterilir. M manifoldunun q indeksi için 0 q boyM≤ ≤ eşitsizliği vardır [8].

2.1.17. Tanım: Bir M yarı-Riemann manifoldu üzerinde g metrik tensörünün q indeksi için; i) q=0 ise p M∀ ∈ için g_p, T M_p üzerinde pozitif tanımlı bir iç çarpım olduğundan M bir Riemann manifolddur;

ii) q=1 ve n≥ ise 2 M bir Lorentz manifolddur [8].

2.2. Null Eğriler

2.2.1. Tanım: M, n-boyutlu C∞ manifold olsun. ∀ ∈p M için T Mp tanjant uzayların ayrık birleşimi olan

p p M

TM T M

∈

=

_∪

ye M nin tanjant demeti (tanjant bundle) denir. TM tanjant demetinin kesitine M üzerinde vektör alanı denir [3].

2.2.2. Tanım: M sabit q indeksli reel (n+2)-boyutlu bir semi-Riemann manifold olsun. I, R de bir açık aralık olmak üzere : Iα →M diferensiyellenebilir dönüşümüne M de bir eğri adı verilir [8].

diferensiyellenebilir bir eğri ve α üzerinde bir koordinat komşuluğu U olsun. U ya karşılık gelen lokal parametrenin de t olduğunu kabul edelim. Bu taktirde

α

eğrisi lokal olarak

t I ∀ ∈ için, ( ), i i t

α

=

α

i∈

{

1, 2,3,...,n+2

}

, _rank d 1_,...,d n 2 ₁ dt dt α α ₊   =    

denklemi ile verilir [3].

2.2.3. Tanım: M, bir (n+2)-boyutlu Lorentz manifold ve : Iα →M diferensiyellenebilir bir eğri olsun. α eğrisinin t I∈ ya karşılık gelen ( )α t noktasındaki hız vektörü ya da tanjant vektörü 2 1 ( ) ( ,..., n ) t t d d d t dt dt dt α α α α_{′ = =} + şeklinde tanımlanır [8].

2.2.4. Tanım: M, bir (n+2)-boyutlu Lorentz manifold ve : Iα →M diferensiyellenebilir bir eğri olsun. α nın tanjant vektörü d

dt α olmak üzere i) (g d ,d ) dt dt α α

>0 ise α ya space-like eğri, ii) (g d ,d )

dt dt

α α

<0 ise α ya time-like eğri, iii) (g d ,d ) 0 dt dt α α = ve d 0 dt α

≠ ise α ya null veya light-like eğri denir [8].

M bir (n+2)-boyutlu Lorentz manifoldu ve α, M de bir null eğri olsun. α nın tanjant demetine Tα diyelim. α nın non-null eğri olması durumunda da, ξ_p, p noktasında α ya teğet null vektör olmak üzere

{

}

; : ( , ) 0 p p p p p p p T T T v T M g v α α⊥ α⊥ α⊥ ξ ∈ =

_∪

= ∈ =

tanımlayalım. Burada Tα α⊥, _{üzerinde (n+1)-ranklı bir vektör demetidir.} ( ,_{p p}) 0

g ξ ξ =

olduğundan α nın Tα tanjant demeti Tα⊥ _{in bir alt vektör demeti olup rankı 1 dir.}

taktirde

( )

Tα⊥ ₌Tα_⊥S Tα⊥

yazabiliriz. p∈ noktasında (α S Tα⊥) _{in lifleri} p

T α⊥ _{in en az bir görüntü (ekran) altuzayı}

olup (S Tα⊥) _{non-dejenere bir vektör demetidir. Dolayısıyla}

( ) ( )

TM _α=S Tα⊥ _⊥S Tα⊥ ⊥

olur. Burada (S Tα⊥ ⊥) , TM α da (S Tα )

⊥ _{ortogonal tümleyen vektör demetidir [3].}

2.2.5. Teorem: M bir Lorentz manifoldu, M de bir null eğri α ve α nın görüntü (ekran=screen) vektör demeti (S Tα⊥) olsun. Bu taktirde E, α üzerine rankı 1 olan bir tek vektör demeti olup, her bir U ⊂α koordinat komşuluğu üzerinde

, 1 , , 0, ( ( ) _U) d N dt N N N X X S T α α ⊥ = = = ∀ ∈ Γ (2.1)

olacak şekilde bir tekN∈ Γ(E _U) mevcuttur [8].

Buradaki E vektör demetine α nın null transversal demeti denir ve ntr( )α ile gösterilir. Şimdi

( ) ( ) ( )

tr α ₌ntrα _⊥S Tα⊥ _(2.2)

vektör demetini göz önüne alalım. Bu ( )tr α vektör demeti TM α ve (2.1) ifadelerine göre tümleyen uzayıdır ancak TM α da Tα ya ortogonal değildir. Böylece

( ) ( )

TM _{α =}Tα_⊕trα₌ Tα_⊕ntrα _⊥S Tα⊥

elde edilir [3].

2.2.6. Tanım: (2.2) eşitliği ile verilen ( )tr α ya α nın (S Tα⊥) _{e göre transversal vektör} demeti denir. Teorem 2.2.5 de verilen N vektör alanına α nın d

dt

α

ye göre null transversal vektör alanı denir [3].

2.2.7. Tanım: M, bir Lorentz manifoldu olsun. M üzerinde Levi-Civita konneksiyonu ∇ olmak üzere, M üzerinde α eğrisi boyunca

0 α′α′

∇ =

ise α eğrisine bir geodezik eğri adı verilir [8].

2.2.8. Tanım: M, bir Lorentz manifoldu ve M üzerinde bir null eğri α olsun. Eğer α null eğrisi için

0 α′α′

∇ =

3. s-DEJENERE EĞRĐLER

3.1. s-Dejenere Eğriler ve Frenet Çatıları

E, bir reel vektör uzayı ve g E üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. E nin

(

)

{

: , 0,

}

RadE=

ξ

∈E g

ξ

v = ∀ ∈v E

şeklinde tanımlı alt uzayına, g ye göre E uzayının radikal (veya null) uzayı denir. RadE’nin boyutuna g nin nulluk derecesi denir ve q_E ile gösterilir. Eğer q_E>0 ise g dejeneredir, q_E=0 ise g non-dejeneredir denir [3].

3.1.1. Tanım: Eğer g( vu, )=0 ise u ve v vektörleri ortogonaldir denir ve u⊥v şeklinde cümlesi ortogonaldir denir [10].

3.1.2. Tanım: V nin E₁∩E₂=

{ }

0 olacak şekilde E₁ ve E₂ gibi iki ortogonal alt uzayı verilsin, E₁ ve E₂ nin ortogonal direkt toplamı E₁ ⊥E₂ şeklinde yazılır [5].

3.1.3. Tanım: _Mn

1 n-boyutlu Lorentz manifold ve I ⊂R olmak üzere

n M

I ₁

: →

γ

diferensiyellenebilir bir eğri olsun.

γ

eğrisi boyunca herhangi bir V vektör alan için , ' V

γ

boyunca V nin kovaryant türevidir.

( )

t Sp

{

( )

t

( )

t

( )

t

}

E ' '' n

i = γ ,γ ,...,γ olarak yazılsın, Burada t∈ ve I i=1,2,...,n dir. d sayısı d =max

{

i:boyE_i

( )

t =i,herticin

}

olacak şekilde tanımlanır.

3.1.4. Tanım: Rad

( ) { }

Es ≠ 0 ve her j< için s Rad

( )

Ej =

{ }

0 olacak şekilde s,

(

0<s≤d

)

, varsa ve her t için,

(

1≤i≤d

)

, olacak şekilde boyRad

(

E_i

( )

t

)

sabit ise

n M

I ₁

: ⊂ R→

γ

eğrisine s-dejenere eğridir denir.

3.1.5. Lemma: ( , , )E bir bilineer uzay ve F, E nin bir hiperdüzlemi olsun. ( )

F

q =boyRad F ve qE =boyRad E( ) olsun. Bu takdirde aşağıdaki durumlar vardır.

ii) Eğer q_F =q_E∈

{ }

0,1 ise E=F ⊥span V

_{{ }}

olacak şekilde bir birim non-null V vektör vardır.

Ayrıca Rad E( )=

{ }

0 ise V tek olarak belirtilir.

iii) Eğer q_F = ve 1 q_E = , 0 L∈Rad F( ) ve F₁ non-dejenere olacak şekilde F =F₁⊥L ise bu taktirde L N, =

ε ε

, = ±1 ve E=(span L

{ }

⊕span N

{ }

)⊥F1 olacak şekilde bir tek N null

vektörü vardır [5].

Đspat:

i) F non-dejenere olsun. Bu taktirde E=F ⊥F⊥ olup burada belirli bir L vektörü için

{ }

F⊥ =span L dir. Burada Rad E( )⊂F⊥ olup Rad E( )=F⊥ olur. Buna göre L bir null vektördür.

ii) q_F =q_E =1 olduğunu kabul edelim. F non-dejenere ve L null olacak ₁ şekilde

{ }

1

F =F ⊥span L olduğunu göz önüne alalım. Bu taktirde E=F₁⊥F₁⊥ olur. boyF1

⊥₌₂

olduğundan F₁⊥ =span L

{ }

⊕span V

{ }

olur ki burada Rad E( )=span L

{ }

ve V, F⊥ _{de bir}

non-null vektördür. Böylece benzer şekilde diğer durumda göz önüne alınırsa ispat

tamamlanmış olur.

iii) Benzer şekilde F =F₁⊥span L

{ }

olduğunu kabul edelim. Burada

{ }

{ }

1

F⊥ =span L ⊕span V dir. Rad E( )=

_{{ }}

0 olduğundan L V, ≠0 dır. Ayrıca N vektör alanı , , 2 , V V N V L L V L V ε   = _ − _  

olacak şekilde tanımlansın. Bu durumda N N, =0, L N, =

ε

ve N F1 ⊥

∈ olur. Bu da ispatı tamamlar.

Frenet çatıların bulunması için, sırasıyla, dört durum vardır [5].

Bu halde,

γ

eğrisinin belirli _ _ 1,..., m 3 k k +          

eğrilik fonksiyonları için aşağıdaki eşitlikler elde edilir;

_ 1 ₁ k W γ′ = , _ ' 2 1 2 W =k W , _ _ ' 1 1 i 1, 2 2 i i i i W = −k W₋ +k+ W₊ ≤ ≤ − , i s _ _ ' 1 1 s 2 s s s W₋ = −k − W₋ +εk L, _ _ 1 2 , s s _s L′ =εk + L+k + W _ _ ' 3 2 , s s s W =εk + L−εk + N _ _ _ _ 1 3 4 1 s s s 1, s s s s N′ = −k W₋ −εk + N−k + W +k + W₊ _ _ ' 4 5 1 s s 2 s s W₊ = −εk + L+k + W₊ , _ _ ' 3 ₁ 4 ₁, j j j j j W = −k + W₋ +k + W₊ s+ ≤ ≤2 j m− 1, _ ' 3 ₁ m m m W = −k + W ₋ .

{

W1, ....,Ws−1, ,L W N Ws, , s+1, ..., Wm

}

ℑ = cümlesi γ boyunca Frenet çatısı olarak adlandırılır. Yukarıdaki denklemler ℑ cümlesine göre γ nın Frenet eşitlikleri olarak adlandırılır [5].

2. Durum. d<n ve s d= olması durumu:

Birinci duruma benzer şekilde L null vektör olacak şekilde

{

W1,...,Ws−1,L

}

cümlesinin varlığı gösterilebilir.

{

W1,...,Ws−1

}

cümlesi space-like vektörlerin ortonormal cümlesi olup

{

1, ..., 1,

}

d s

E =span W W₋ L dir. Böylece γ eğrisinin belirli k_1,...,ks1 − +           eğrilik fonksiyonları için aşağıdaki eşitlikler elde edilir;

_ 1 ₁ k W γ′ = , _ ' 2 1 2 W =k W , _ _ ' 1 1 i 1, 2 2 i i i i W = −k W₋ +k+ W₊ ≤ ≤ − , i s _ _ ' 1 1 s 2 s s s W₋ = −k − W₋ +εk L, _ 1 s L′ =εk + L . [5].

3. Durum. d<n ve s=d− olması durumu: 1

Birinci duruma benzer şekilde, Ed =span W

{

1,...,Ws−1, ,L Ws

}

cümlesi aşağıdaki denklemlerle elde edilir.

_ _ ' 1 1 s 2 s s s W₋ = −k − W₋ +εk L, _ _ 1 2 , s s _s L′ =εk + L+k + W _ ' 3 s s W =εk + L. [5].

4. Durum. d<n ve s<d-1 olması durumu:

Burada E_d =span W

_{

₁, ...,W_s−1, ,L W N W_s, , _s+1, ...,W_d−2

_}

dir. Eğrilerin non-dejenere olması durumu [12] de çalışılmıştır, Eğer ₁n

M Lorentz uzay form ise bu taktirde γ d-boyutlu non-dejenere total geodezik light-like altmanifold da yatar [5].

3.1.6. Özellik: s-dejenere eğrilerde s tipi, eğrinin parametresinden bağımsızdır.

_

t bir diğer parametre olsun ve

_

( )t ( ( ))t t

alınırsa _ 1 ( ) n ( ) ( ) i j ij j t x t t γ β =

=

∑

elde edilir, yani

{

( )

}

{

( )

}

'( ),..., i ( ) '( ),..., i ( ) i

E =span γ t γ t =span β t β t olup, kabul doğrudur.

Diğer taraftan , : 1 1

n n

M M

Φ → bir izometri ve γ_( ) (t = Φ γ)( )t olsun. Böylece γ

boyunca her bir V vektör alanı için

( ) ( ) ( _t ( )) _t ( ( )) D D d V t d V t dt γ γ dt − Φ = Φ olur. Burada D_t ve _ t D , sırasıyla, γ ve γ_ boyunca kovaryant türevlerdir. Buna göre ( ) ( ) _ _ ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) i j i _t j _{t t t}

γ γ = γ γ olur ki bu Lorentz dönüşümü altında bu eğri çeşitlerinin değişmez olduğu anlamına gelir. Yani s-dejenere eğrilerde s tipi Lorentz dönüşümleri altında değişmez [5].

3.2. s-Dejenere Eğrilerin Cartan Çatıları

Bu bölümde Lorentz dönüşümleri altında değişmez olacak şekilde eğrilik sayılarının minimum olması durumunda Frenet çatısı verilmiştir. Bu birinci durumun sınırlandırılmış halidir. Genelliği bozmadan, γ nın W₁=γ′ ve k_₁= olması durumunda yay uzunluğu ile 1 parametrelendirildiğini kabul edelim. k__s = alınarak 3.1.5 Lemma göz önüne alınırsa ε

{

W1, ...,Ws−1,L

}

cümlesi bulunur. Buna göre yalnız Ws in bulunması gerekli olur. Kabul edelim ki W_s ve *

s

W iki farklı Frenet çatısından türetilmiş iki farklı vektör alanı olsun. Bu durumda

{

}

{

}

_ _ _ _ _ 1 2 1 3 1 1 1 * * _ _ _ _ _ * * * * 1 2 1 3 1 1 1 , ..., , , , , , ..., 1, , ..., 1, , ..., , , ..., , , , , ,..., 1, ,..., 1, , ..., s s m s s s m s s m s s s m W W L W N W W k k k k k W W L W N W W k k k k k + + − + + + − +   → = =        → = =     

* _, s s W = fL W+ * 1 2 _, 2 s N = − f L+N− fW * _ _ _ 1 1 2 s s s k + =k + − f k + , (3.1)

olduğu gösterilir. Burada :f I→R diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Dolayısıyla f ,

* _

1 0

s

k + = olacak şekilde seçilebilir. Buradan belirli

{

k₁,...,k_m

}

eğrilik fonksiyonları

için, 1. Durumdaki Frenet çatısı tekrardan aşağıdaki şekilde elde edilir [5].

1 W γ′ = , ' 1 1 2 W =k W , ' 1 1 1, 2 2 i i i i i W = −k W_{− −} +k W₊ ≤ ≤ − , i s ' 1 2 2 s s s W₋ = −k₋ W₋ + , L 1 , s s L′ =k₋ W ' 1 , s s s W =εk L−εk− N 1 1 1, s s s s s N′ = −εW− −εk W +k+ W+ ' 1 1 2 2 s s s s W+ = −εk+ L+k+ W+ , ' 1 1 1, j j j j j W = −k W₋ +k ₊ W₊ s+ ≤ ≤2 j m− 1, ' 1 m m m W = −k W ₋ . (3.2) 3.2.1. Teorem: : 1, 2, n I M n m

γ → = + s>1 olacak şekilde birim s-dejenere eğri olsun. Kabul edelim ki _{( ) 1}n

t

T_γ M de

{

γ′( ),t γ′′( ), ...,t γ( )n ( )t

}

tarafından gerilsin. Bu taktirde (3.2) şeklinde bir tek Frenet çatısı vardır [5].

3.2.2. Tanım: s>1 olacak şekilde bir s−dejenere eğrisi yukardaki koşulları sağlarsa bir dejenere

s− Cartan eğri denir ve (3.2) denklemi γ nın Cartan çatısı ya da Cartan gösterimi olarak adlandırılır.

Burada m>s olduğunda ε = − ve i1 ≠ için s k_i>0 olduğu gözlenir ve

{

γ'( ),...,t γ( )n ( )t

}

nin pozitif ya da negatif yönlendirilmiş olmasına göre, sırasıyla, k_m> 0 ya da k_m< 0 olur.

Aksine, m s= olduğunda

{

( )

}

'( ),...,_t n ( )_t

γ γ nin pozitif ya da negatif olarak yönlendirilmiş olmasına göre, sırasıyla, ε = ya da 1 ε = − olur ve i1 ≠s için k_i>0 dır [5].

3.3. Lorentz Uzay Formunda s-Dejenere Eğriler

: 1( )

n I M c

γ → s-dejenere Cartan eğri olsun, 1( )

n

M c c=0,c= ve 1 c= − olmasına 1 göre, sırasıyla, 1, 1 1

n n n

R S ve H e karşılık gelir. Dt, γ boyunca 1( )

n

M c de kovaryant türev olarak tanımlansın. Böylece γ boyunca V vektör alanı için D V_t =V′+c V,γ γ′

elde edilir. Burada , metriği 1

1, 1

n n

R R + ya da R₂n+1 de tanımlanan standart metriktir. Eğer

_{

W₁, ...,W_s−1, ,L W N W_s, , _s+1, ...,W_m

_}

Cartan gösterimi ise, (3.2) denkleminden aşağıdaki eşitlikler yazılır [5];

1 W γ ′ = , ' 1 1 2 W =k W −cγ, ' 1 1 1, 2 2 i i i i i W = −k W_{− −} +k W₊ ≤ ≤ −i s , ' 1 2 2 s s s W₋ = −k₋ W₋ +L, 1 , s s L′ =k₋ W ' 1 , s s s W =εk L−εk₋ N 1 1 1, s s s s s N′ = −εW− −εk W +k+ W+ ' 1 1 2 2 s s s s W₊ = −εk₊ L+k₊ W₊ , ' 1 1 1, j j j j j W = −k W₋ +k ₊ W₊ s+ ≤ ≤2 j m− 1, ' 1 m m m W = −k W ₋ . (3.3) 3.4. 4 1 M de 2-Dejenere Eğriler Bu bölümde 4 1

M Lorentz uzay formunda 2-dejenere eğrilerin sınıflandırılması ve Cartan çatısı verilmiştir.

3.4.1. Tanım: Bir 2-dejenere α eğrisinde

{

W1,L,W2, N

}

pseudo-ortonormal bazı 1 = , = , = , 0, = , = ,L N N L N N L ε ε ± L 2 1 0, = , = ,W N W ≤i≤ L _{i i} şartlarını sağlar [5].

4. REKTĐFĐYAN EĞRĐLER

Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda 4-boyutlu Öklid uzayında rektifiyan eğriyle ilgili [7] de çalışılmış olan tanımlar ve teoremlere yer verilmiştir.

Đkinci kısım ise bu çalışmamın orijinal olan kısmıdır. Bu kısımda 4-boyutlu Lorentz uzayında dejenere eğrilerin rektifiyan eğri olması için tanımlar ve teoremler verilmiş ve 2-dejenere rektifiyan eğriler karakterize edilmiştir.

4.1. 4

E Öklid Uzayında Rektifiyan Eğrilerin Karakterizasyonları

Bu kısımda 4

E Öklid uzayındaki temel tanımlar ve rektifiyan eğrilerin bazı karakterizasyonları verilecektir.

4.1.1. Tanım: I ⊆R açık alt cümle olmak üzere diferensiyellenebilir n E I → : α t→α(t)=(α₁(t),...,α_n(t))

fonksiyonu verilmiş olsun.

(

I,α

)

koordinat komşuluğu ile tanımlanan α

( )

I ⊂En e n E de bir eğri denir. t ye α eğrisinin yay parametresi ve I ya da α eğrisinin parametre aralığı adı verilir [10].

4.1.2. Tanım: _En _{de bir M eğrisinin}

(

_I,α

)

_ve

(

_J,β

)

_{gibi iki koordinat kom} şuluğu verilsin I J h₌ −1 _: → β α 

diferensiyellenebilir fonksiyonuna M nin bir parametre değişimi denir [10].

4.1.3. Tanım: M eğrisi

(

I,α

)

koordinat komşuluğu ile verilmiş olsun.∀s∈I için

( )

s =1 '

α

ise M eğrisi

(

I,α

)

ya göre birim hızlı eğridir denir. Bu durumda, eğrinin s∈I parametresine yay parametresi adı verilir [10].

4.1.4. Tanım: n E

M ⊂ eğrisi

(

I,α

)

koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda

( )

{

' '' r

}

α α α

ψ = , ,..., sistemi lineer bağımsız ve ∀α( )k , k> r, için; α( )k ∈Sp

{ }

ψ olmak üzere, ψ den elde edilen

{

V1,...,Vr

}

ortonormal sistemine, M eğrisinin Serret-Frenet r-ayaklı alanı

M

m∈ için

{

V1

( )

m,...,V_r

( )

m

}

ye ise m∈M noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı denir. Her

bir 1≤i≤r ye Serret-Frenet vektörü adı verilir [10].

4.1.5. Tanım: n=3 özel halinde,

{

T

( ) ( ) ( )

s,N s,B s

}

Frenet 3-ayaklısını gözönüne alalım:

( ) ( )

{

T s N s

}

Sp ,

vektör uzayı ile birleşen, α

( )

s noktasındaki afin alt uzaya oskülatör düzlem,

( ) ( )

{

N s B s

}

Sp ,

vektör uzayı ile birleşen, α

( )

s noktasındaki afin alt uzaya normal düzlem ve

( ) ( )

{

T s B s

}

Sp ,

vektör uzayı ile birleşen, α

( )

s noktasındaki afin alt uzaya rektifiyan düzlem denir.

Burada, oskülatör kelimesi yapışan anlamında, normal dik anlamında ve rektifiyan kelimesi

de tamamlayan anlamındadır [10].

4.1.6. Tanım: T teğet ve B binormal vektör alanı olmak üzere, Öklid 3-uzayında yer

vektörü, eğrinin T teğet ve B binormal vektör alanları tarafından gerilen rektifiyan

düzleminde yatan eğriye rektifiyan eğri denir.

Buna göre 3

E teki rektifiyan eğrinin seçilmiş bir orijine göre yer vektörü ) ( ) ( ) ( ) ( = ) (s λ s T s µ s B s α + denklemini sağlar.

Burada λ(s) ve µ(s), s∈I⊂ R, yay uzunluğu parametresi için keyfi

diferensiyellenebilir fonksiyonlardır [10].

4.1.7. Tanım: 3

E Öklid uzayına benzer yaklaşımla, E4 Öklid uzayındaki rektifiyan eğri;

4

:I ⊂R→E

α birim hızlı bir eğri ve

{

T, N,B1,B2

}

, 4

E de α(s) eğrisi boyunca Frenet

çatısı olsun, α eğrisinin α(s) yer vektörü, N nin dik tümleyeni olan N⊥ =

{

T,B₁,B₂

}

_de

yatıyorsa, α birim hızlı eğrisine rektifiyan eğri denir.

Buradan 4

( )

s =λ(s)T(s) µ(s)B1(s) ν

( ) ( )

sB2 s

α + +

denklemini sağlar. Burada s yay uzunluk fonksiyonu λ(s), µ(s) ve ν

( )

s diferensiyellenebilir fonksiyonlardır.

Bu tanımlardan sonra, rektifiyan eğriler eğrinin kendi eğrilik fonksiyonuna göre k₁

( )

s,

( )

s

k2 ve k3

( )

s cinsinden karakterize edilmiştir. 4

E teki herhangi bir eğrinin rektifiyan eğri

olması için gerek ve yeter şartlar bulunarak E4 teki bir rektifiyan eğri için açık bir denklem

elde edilmiştir [7].

4.1.8. Teorem: α , 4

E de k1(s), k2(s) ve k3

( )

s eğrilikleri sıfırdan farklı olan birim hızlı

bir eğri olsun. Bu takdirde α eğrisinin bir rektifiyan eğriye kongruent olması için gerek ve

yeter şart,

( )

(

)

( )

s c R k s k s k s k s k s k c s s k s k s k c s s k s k ' ' ' ∈       _{+ + −} + + 0, = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 1 olmasıdır [7]. 4.1.9. Teorem: Tamamı 4

E de bulunan, k1(s), k2(s) ve k3

( )

s eğrilikleri sabit ve sıfırdan

farklı olan rektifiyan eğri yoktur [7].

4.1.10. Teorem: α=α

( )

s , 4

E de k1(s), k2(s) ve k3

( )

s eğriliklerine sahip birim hızlı eğri

olsun. Bu takdirde a) k1(s)=sbt>0,k2(s)=sbt≠0 ve

( )

+ ∈ ∈ − − − R c R c c cs s s k ₁ 1 2 3 , , 2 2 1 = . b) k2(s)=sbt≠0,k3

( )

s =sbt≠0 ve

( )

( ) ( ) , = 1 3 2 3 1 c s e c e c s k s ik s ik + + − , R c∈ c 1, + ∈ R c2 . c) k1(s)=sbt >0,k3

( )

s =sbt ≠0 ve

( )

= _{( ) ( )}, 3 2 3 1 2 ik s ik s e c e c c s s k ₋ + + , R c∈ ,c 1 + ∈ R c₂ . ise α bir rektifiyan eğriye kongruenttir [7].

4.1.11. Teorem:

( )

4

, E s

hızlı rektifiyan eğri olsun. Bu takdirde aşağıdaki şartlar sağlanır. i) ρ

( )

s = α

( )

s uzaklık fonksiyonu

( )

= 1 2, 2 2 c s c s s + + ρ c1∈R, c2∈R0 denklemini sağlar.

ii) Eğrinin yer vektörünün teğet bileşeni α

( ) ( )

s,T s =s+c, c∈ denklemini sağlar. R iii) Eğrinin yer vektörünün _αN

( )

s _{normal bileşeni sabit uzunluğa sahiptir ve ρ}

( )

_{s uzaklık} fonksiyonu sabit değildir.

iv) Eğrinin yer vektörünün birinci binormal bileşeni ve ikinci binormal bileşeni, sırasıyla,

( ) ( )

( )(

)

( )

s k c s s k s B s 2 1 1 = , + α

( )

( )

(

)

( )

s c R k s k s k s k s k s k c s s k s k s B s ' ' ∈ − + + , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = , 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 α denklemlerini sağlar. Tersine, eğer α

( )

s 4

E de sıfırdan farklı, k1(s), k2(s) ve k3

( )

s eğriliklerine sahip birim

hızlı eğri olmak üzere, (i), (ii), (iii) ve (iv) durumlarından birini sağlarsa bir rektifiyan eğridir [7] .

4.2. 4 1

M de 2-dejenere Rektifiyan Eğriler ve Karakterizasyonları

Bu kısımda 4 1

M Lorentz uzayındaki 2-dejenere rektifiyan eğrileri α ile gösterip, bu eğrilikleri eğrilik fonksiyonlarını kullanarak karakterize edeceğiz. Ayrıca bu kısımda g metriği yerine , ifadesi kullanılacak ve kısalığın hatırı için zaman zaman s paramatresine bağlı olan

) ( ), ( ), ( ), ( 2 1 s L s W s N s

W k1(s)vek2(s) ifadeleri s parametresi kullanılmadan ifade edilecektir.

4.2.1. Tanım: 4

1

: I R M

α ⊂ → , eğrisi _α' _,α''' _space-like ''_,

α _αIV _{null olmak üzere}

{

W1,L,W2,N

}

Cartan çatısına sahip ise

α

eğrisine 2-dejenere eğri adı verilir.

4.2.2. Tanım: α, 4 1

M uzayında bir 2-dejenere eğri ve

{

W1,L,W2,N

}

,

4 1

M de α( )s 2-dejenere eğrisi boyunca hareketli Cartan çatısı olsun. 2-dejenere αeğrisinin ( )α s yer vektörü, W2 nin dik tümleyeni olan W2 =

{

W1,L,N

}

2-dejenere rektifiyan eğri denir. Buradan 4

1

M teki bir

α

rektifiyan eğrinin seçilmiş herhangi bir orjine göre yer vektörü;

( )

s

λ

( ) ( )

sW s

µ

( ) ( )

s Ls

ν

( ) ( )

s N s

α

= ₁ + + (4.1) denklemini sağlar. Burada s yay uzunluk fonksiyonu λ(s), µ(s) ve

ν

( )

s diferensiyellenebilir fonksiyonlardır.

Bu tanımlardan sonra, rektifiyan eğriler eğrinin kendi eğrilik fonksiyonuna göre

( )

,

, ,

, ₂

1 LW N s

W k₂

( )

s ve k3

( )

s cinsinden karakterize edilmiştir.

4 1

M teki herhangi bir eğrinin rektifiyan eğri olması için gerek ve yeter şartlar bulunmuştur.

4.2.3. Tanım:

{

W₁,L,W₂,N

}

, 2-dejenere

α

eğrisi boyunca hareketli Cartan çatısı olsun. Burada W₁,L,W₂ ve N, sırasıyla teğet, birinci binormal, asli normal ve ikinci binormal vektör alanı olarak tanımlanır. Ayrıca W1, W2 space-like ,L N null vektördür. Bu taktirde

Cartan formülleri                         − − −               N W L W k k k k N W L W ' ' ' ' 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 = ε ε ε (4.2)

olarak verilir. Burada k₁ ve k₂ fonksiyonları, sırasıyla, 2-dejenere

α

eğrisinin birinci ve ikinci

eğrilikleri olarak adlandırılır [5].

4.2.4.Teorem: ,α M14 de k1(s) ve k2(s) eğrilikleri sıfırdan farklı olan 2-dejenere bir eğri

olsun. Bu durumda 2-dejenere

α

eğrisinin bir rektifiyan eğriye kongruent olması için gerek ve

yeter şart,

( ) ( )

( ) ( )

R c c s k s k s k s k s k' ' ∈ ≠ +       − 0 , 1 = ) ( 2 1 1 2 2 1

_ε

olmasıdır.

Đspat:Đlk olarak M₁4 deki rektifiyan eğriler kendi eğrilik fonksiyonlar cinsinden karakterize

edilecektir.

α

=

α

( )

s, 4 1

eğrilikler olsun. 2-dejenere

α

eğrisinin yer vektörü λ(s), µ(s) ve

ν

( )

s diferensiyellenebilir fonksiyonlar cinsinden (4.1) denklemiyle belirtilmişti. Verilen (4.1) denkleminin s ye göre

türevi alınarak ve (4.2) Cartan formülleri kullanılarak

( )

s

(

( )

s

( )

s

)

W

( )

s

(

( )

s

( )

s

)

L

( )

s W1 = λ' −εν 1 + λ +µ' ₊

(

_µ

( ) ( )

s k s _−ν

( ) ( )

s k s

)

W

( )

s _+ν'

( ) ( )

s N s 2 2 1

denklemi elde edilir. Gerçekten;

( )

s

λ

sW

( )

s

µ

s L

( )

s

ν

( ) ( )

s N s

α

= ( ) 1 + ( ) + dir.

( )

s ' sW sW'

( )

s ' s L

( )

s s L'

( )

s '

( ) ( )

s N s

( ) ( )

s N' s ' _{λ λ µ µ ν ν} α = ( ) 1+ ( ) 1 + ( ) + ( ) + + (4.3)

olup, bu denklem s∀ ∈I ⊂R için doğrudur.

Burada = W1

'

α olduğundan ve (4.3) denkleminden

2 2 1 1 2 2 2 1 1 =L,L =kW ,W = k L k N veN = W kW W' ' ' ε −ε ' −ε −

olduğu biliniyor. Bunlar (4.3) de yerine yazılırsa

(

1 2

)

(

1 2 2

)

1 1= W L L kW N W kW W λ' +λ +µ' +µ +ν' +ν −ε −

(

)

W

(

)

L

(

k k

)

W N W _λ' _{−εν + λ+µ}' _{+ µ −ν +ν}' 2 2 1 1 1= (4.4) elde edilir.

Daha sonra (4.4) denklemi W1 ile 2-dejenere eğri için Lorentz iç çarpımına tabi tutulursa,

(

)

(

)

(

)

(

)

, > =< , _{1 1 1 2 2 1} 1 W W L k k W N W W

λ

'−

εν

+

λ

+

µ

' +

µ

−

ν

+

ν

'

(

)

, > <

(

)

, > =< , _{1 1 1 1} 1W W W LW W

_λ

'₋

_εν

₊

_λ

₊

_µ

' ⇒ <

₍

k1 k2

₎

W2,W1> < N,W1> ' ν ν µ − + +

(

−

)

+

(

+

)

+ ⇒ W₁,W₁ =

λ

'

εν

<W₁,W₁>

λ

µ

' <L,W₁>

(

k1 k2

)

<W2,W1> <N,W1> ' ν ν µ − +

olur. Burada <W₁,W₁>=1, <L,W₁>=<W₂,W₁>=<N,W₁>=0 olduğu göz önüne alınırsa 1

=

εν λ' −

bulunur.

Şimdi (4.4) denklemi L null vektör alan ile 2-dejenere eğri için Lorentz iç çarpımına tabi

tutulursa,

(

)

(

)

(

)

(

W L k k W N

)

L L W1, = λ' −εν 1+ λ+µ' + µ 1−ν 2 2 +ν' ,

(

)

, > <

(

)

, > <

(

)

, > =< , _{1 1 2 2} 1 L W L L L k k W L W

_λ

' ₋

_εν

₊

_λ

₊

_µ

' ₊

_µ

₋

_ν

_{+< , >} L N ' ν

(

−

)

< , >+

(

+

)

< , >+ = , ₁ 1 L W L L L W

λ

'

εν

λ

µ

'

(

k1 k2

)

<W2,L> <N,L> ' ν ν µ − + .

Buradan <L,N >=ε, <L,L>=<W₁,L>=<W₂,L>=0, olduğu göz önüne alınırsa 0

= '

ν elde edilir.

Yine (4.4) denklemi W₂ ile 2-dejenere eğri için Lorentz iç çarpımına tabi tutulursa,

(

)

(

)

(

)

(

1 1 2 2

)

2 2 1,W = W L k k W N ,W W λ' −εν + λ+µ' + µ −ν +ν'

(

−

)

, >+<

(

+

)

, >+ =< , _{2 1 2 2} 1 W W W LW W

_λ

'

_εν

_λ

_µ

' _<

(

)

_{, > < , >} 2 2 2 2 1 k W W N W k ν ν' µ − +

(

−

)

< , >+

(

+

)

< , >+ = , _{2 1 2 2} 1 W W W LW W

λ

'

εν

λ

µ

'

(

k1 k2

)

<W2,W2> <N,W2 > ' ν ν µ − +

olur. Burada <W₂,W₂ >=1, <W₁,W₂>=<L,W₂ >=<N,W₂>=0, olduğundan

0 = 2 1 k k

ν

µ

− ⇒ elde edilir.

Son olarak (4.4) N null vektör alanı ile 2-dejenere eğri için Lorentz iç çarpımına tabi

tutulursa,

(

)

(

)

(

)

(

W L k k W N

)

N N W1, = λ' −εν 1+ λ+µ' + µ 1−ν 2 2+ν' ,

(

−

)

, >+<

(

+

)

, >+ =< , ₁ 1 N W N L N W

λ

'

εν

λ

µ

' <

(

k1 k2

)

W2,N > < N,N > ' ν ν µ − +

(

−

)

T B +

(

−

)

L N + N W_{, =} ' _, ' _, 2 1

λ

εν

λ

εν

(

k k

)

W N N N ' _, , 2 2 1

ν

ν

µ

− +

olur. Burada <L,N >=ε, <N,N>=<W₁,L>=<W₂,L>=0, olduğundan

0 = ' µ λ + ⇒

elde edilir. Böylece

1 = εν λ' − _(4.5) 0 = ' ν 0 = 2 1 k k

ν

µ

− 0 = ' µ λ +

bulunur. (4.5) denklemleri çözülürse

c s

' _{=0 ( )=}

ν

λ ⇒

olur. Bulunan bu ifadeler

µ

k₁−

ν

k₂=0 eşitliğinde yerine yazılırsa,

( )

c s k s k s k k ) ( ) ( = 0 = 1 2 2 1 ν µ µ − ⇒ elde edilir.

) (s

µ in s ye göre kısmi türevi alınırsa

( ) ( )

( ) ( )

c s k s k s k s k s k s ' ' ' ₎ ) ( ( = ) ( ₂ 1 2 1 1 2 − µ bulunur. Bu da _{λ +µ}' =0 _e

şitliğinde yerine yazılırsa

( )

( ) ( )

( ) ( )

c s k s k s k s k s k s s ' ' '       ₋ − ) ( = ) ( = ₂ 1 1 2 2 1

µ

λ

dir. Böylece

( )

( ) ( )

( ) ( )

c s k s k s k s k s k s ' '       ₋ ) ( = ₂ 1 1 2 2 1

λ

(4.6)

( )

c s k s k s ) ( ) ( = 1 2 µ c s)= ( ν

elde edilir. Burada c≠ 0∈R dir. Bu yolla λ(s), µ(s) ve

ν

( )

s fonksiyonlar 2-dejenere

α

eğrisinin k₁(s) ve k₂(s) eğrilik fonksiyonlar cinsinden gösterilmiş olur. Üstelik (4.5) in en

son denklemini ve (4.6) eşitliklerini kullanarak k₁(s) ve k₂(s) ile ilgili aşağıdaki eşitlik

kolayca bulunabilir.

Gerçekten λ' −εν =1 _{alınır ve burada (4.6) e}

şitlikleri yerine yazılırsa

( ) ( )

( ) ( )

R c c c s k s k s k s k s k' ' ' ∈ ≠ −       ₋ 0 1, = ) ( 2 1 1 2 2 1 ε veya

( ) ( )

( ) ( )

c c s k s k s k s k s k' ' ' ε +       ₋ 1 = ) ( 2 1 1 2 2 1 ya da

( ) ( )

( ) ( )

c s k s k s k s k s k' ' ' 1 = ) ( 2 1 1 2 2 1 ₊       ₋ ε (4.7) elde edilir. Tersine; 4 1

M de herhangi bir 2-dejenere

α

eğrisinin k1(s) ve k2(s) eğriliklerinin (4.7)

denklemini sağladığı kabul edilsin. X ∈M₁4 vektörü

( )

s

( )

s sW s s L s

( ) ( )

s N s

X =

α

−

λ

( ) ₁( )−

µ

( ) ( )−

ν

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

L

( )

s cN

( )

s k k c s W s k s k s k s k s k c s s X ' ' − −       − − 1 2 1 2 1 1 2 2 1 _{( )} ) ( =

α

yazılabilir. Burada X in sabit bir vektör olduğu gösterilirse

α

nın bir rektifiyan eğriye

kongruent olduğu ispatlanmış olur. Böylece (4.2) ve (4.7) eşitlikleri göz önüne alınırsa

( )

s =0

X' olduğu kolayca görülür. Gerçekten (4.2) ve (4.7) den

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ) ( = 2 1 1 1 2 2 1 _{W s} s k s k s k s k s k c s s X ' ' ' ' '       ₋ − α

( ) ( )

( ) ( )

( ) ) ( 2 1 1 2 2 1 _{L s} s k s k s k s k s k' '       ₋ −

( )

( )

( )

( )

( )

s kW c

(

W

( )

s k

( ) ( )

sW s

)

k s k c s L s k s k c 1 2 1 2 2 1 2 1 2 _{− − − −}       −

ε

olur. Burada

α

'

( )

s =W1

( )

s olduğu ve yine (4.7) denkleminden

( )

s

(

(

c

)

c

)

W s

(

s s

)

L

(

k

( )

s c k

( )

sc

) ( )

W s

X' = 1− 1+

ε

+

ε

1( )+ −

λ

( )−

µ

'( ) + − 2 + 2 2 = 0

ve X'

( )

s =0 bulunur bu da X in sabit bir vektör olduğu anlamına gelir. Bu ise

α

nın bir

rektifiyan eğrisine kongruent olduğunu gösterir.

4.2.5. Teorem: Tamamı 4 1

M de bulunan, k₁(s) ve k₂(s) eğrilikleri sabit ve sıfırdan farklı

olan 2-dejenere rektifiyan eğri yoktur.

Đspat: k₁

( )

s =sbt, k₂

( )

s =sbt olsaydı

( )

( )

=0 1 2 ' s k s k      

olup buda (4.7) denklemiyle çelişirdi. Dolayısıyla tamamı M₁4 de bulunan, k₁(s) ve k₂(s) eğrilikleri sabit ve sıfırdan farklı

olan, 2-dejenere rektifiyan eğri yoktur.

4.2.6. Teorem:

α

=

α

( )

s , 4 1

M de k₁(s) ve k₂(s) ve eğriliklerine sahip 2-dejenere eğri

olsun. Bu takdirde a) k₁(s)=sbt≠0 ve _      + +       + − 1 2 2 1 2 2 1 = ) ( s cs c c k s k

ε

_{∈ ∈} + R c c R c , 1, 2 , , b) k2(s)=sbt≠0ve

( )

, 2 1 1 = 2 1 2 2 1 c s c s k c s k + +             + − ε , R c∈ c1, + ∈ R c₂ ,

Đspat:

a) k₁(s)=sbt ≠0 ve k₂(s) sabit olmayan bir fonksiyon olsun. Burada k1(s) sabit olduğundan özel olarak k₁(s)=k alınacaktır. (4.7) den, ₁

( ) ( )

( ) ( )

R c c s k s k s k s k s k' ' ' ∈ ≠ +       ₋ 0 , 1 = ) ( 2 1 1 2 2 1 ε bulunur. Burada 1 =0 '

k olduğu göz önüne alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa

( )

c k s k' ' 1 = 1 2 ₊       − ε olur. Dolayısıyla

( )

(

)

      + − c k s k' ' ₌ 1 1 2 ε

diferensiyel denklemi elde edilir. Elde edilen bu diferensiyel denklemin çözümü için, yukarıdaki eşitlikte a c k1 1=      + ε denirse,

( )

(

k2' s

)

' =a −

( )

(

k' s

)

'ds

∫

ads

∫

− 2 =

( )

1 2 s =as c k' + −

( )

1 2 _{=as c} ds s dk + −

( ) (

s as c

)

ds dk2 = + 1 −

olur. Burada düzenlemeler yapılırsa,       + +       + − 1 2 2 1 2 2 1 = ) ( s cs c c k s k ε bulunur.

b) k1(s)≠sbt ve k2

( )

s =sbt>0 olsun. Burada k1(s) sabit olduğundan özel olarak

) (

1 s

k =k alınacaktır. Bu fonksiyonlar (4.7) denkleminde kullanılarak 1

( ) ( )

( ) ( )

R c c s k s k s k s k s k' ' ' ∈ ≠ +       ₋ 0 , 1 = ) ( 2 1 1 2 2 1 ε

elde edilir. Burada ₂' =0

k olduğu göz önüne alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa

( )

c s k s k k ' ' ₁ = ) ( 2 1 1 2  +      ε

( )

            +       2 2 1 1 1 = ) ( k c s k s k' '

ε

diferensiyel denklemi bulunur. Elde edilen bu diferensiyel denklemin çözümü için, yukarıdaki

eşitlikte b k c = 1 2 _           + ε denirse,

( )

bds ds s k s k' '

∫

∫

      = ) ( 2 1 1

( )

1 2 1 1 ₌ ) (s bs c k s k' +      

(

_{) (}

₎

ds c bs s k s k d 1 2 1 1 ₌ ) ( ) ( + 2 1 2 2 1 2 1 1 = ) ( c s c s k c s k + +             + − ε bulunur. 4.2.7. Teorem: α

( )

s, 4 1

M de sıfırdan farklı k₁(s) ve k₂(s) eğriliklerine sahip 2-dejenere

rektifiyan eğri olsun. Bu takdirde aşağıdaki şartlar sağlanır.

i)

ρ

( )

s =

α

( )

s uzaklık fonksiyonu

( )

( )

( )

, = 3 1 2 2 1 2 2 c s k s k c s c c s s + + + ρ _{c c ∈ R}+ 2 , R c c₁, ₃≠ 0∈ denklemini sağlar.

ii) Eğrinin yer vektörünün _αN

( )

s _{normal bile}

şeni ve

ρ

( )

s uzaklık fonksiyonu sabit uzunluğa sahip değildir.