Kuaterniyonik İnvolüt – Evolüt Eğrilerine Ait Frenet Çatısına Göre Smarandache Eğrileri

T.C.

ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KUATERNİYONİK İNVOLÜT - EVOLÜT

EĞRİLERİNE AİT FRENET ÇATISINA GÖRE

SMARANDACHE EĞRİLERİ

CEYDA CEVAHİR

YÜKSEK LİSANS TEZİ

II ÖZET

KUATERNİYONİK İNVOLÜT – EVOLÜT EĞRİLERİNE AİT FRENET ÇATISININA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ

Ceyda CEVAHİR Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2016

Yüksek Lisans Tezi, 87s.

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT

Bu çalışma altı bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş bölümünde çalışmanın amacı ve konunun ele alınma nedeni tartışıldı. Önceki çalışmalar bölümünde kuaterniyonlar ve Smarandache eğrileri ile ilgili çalışmalara yer verildi. Genel bilgiler bölümünde Öklid uzayı ile ilgili bilgilerden söz edilmiştir. Materyal ve yöntem bölümünde Öklid uzayında involüt-evolüt eğrileri ve Smarandache eğrileri ile ilgili temel kavramlar anlatılmıştır.

Bulgular Bölümü çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. Burada uzaysal kuaterniyonik involüt eğrisinden elde edilen Smarandache eğrilerinin Frenet vektörleri, eğrilikleri ve burulmaları uzaysal kuaterniyonik involüt eğrisine ait birim Darboux vektörü ile binormal vektörü arasındaki açıya bağlı olarak hesaplanmıştır. Elde edilen bulguların, evolüt eğrisinin Frenet aparatları cinsinden karşılıkları verilmiştir. Son olarak bir örnek verilerek oluşan yeni Smarandache eğrilerin şekilleri Mapple programında çizdirilmiştir. Anahtar kelimeler: Kuaterniyonik involüt-evolüt eğrileri, Kuaterniyonik Smarandache

III ABSTRACT

SMARANDACHE CURVES OF QUATERNIONIC INVOLUTE - EVOLUTE CURVES ACCORDING TO FRENET FRAME

Ceyda CEVAHİR University of Ordu

Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematics, 2016

MSc. Thesis, 87p.

Supervisor: Asst. Prof. Dr. Süleyman ŞENYURT

This study consist of six fundamental chapters. In the introduction chapter, the aim of study and the reasons why this subject is interested are given. The next chapter is covered with literature review of quaternion and Smarandache curve. In general formation chapter is included with some information about Euclidean space. The basic consepts of involute-evolute curves spatial quaternion curves on Euclidean space are given in the material and method chapter.

The findings chapter is the original part of the study. Here, Frenet vectors, curvatures and torsions quaternionic vector of Smarandache curves obtained from spatial quaternionic involute curve, are calculated depending on the angle between unit Darboux vector and binormal vector of the spatial quaternionic involute curve. The findings are given depending on Frenet apparatus of evolute curve. Finally, an example is given and shapes of these new Smarandache curves are drawn by using Mapple programme.

Keywords: Euclidean space, Quaternionic involute-evolute curves, Quaternionic Smarandache curves.

IV TEŞEKKÜR

Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan, maddi ve manevi olarak beni destekleyen emektar hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT’ a en içten duygularım ile şükranlarımı sunarım.

Ayrıca, çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Matematik Bölümü hocalarıma en samimi duygularım ile teşekkür ederim.

Aynı zamanda, manevi desteklerini her an üzerimde hissettiğim annem, abim ve rahmetli babam Sedat CEVAHİR’ e teşekkürü bir borç bilirim.

V İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ BİLDİRİMİ…….………... I ÖZET………...….. II ABSTRACT………... III TEŞEKKÜR………... IV İÇİNDEKİLER………... V ŞEKİLLER LİSTESİ………... VI SİMGELER ve KISALTMALAR…...………...…... VII

1. GİRİŞ………... 1

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR………..…... 3

2.1. Genel Bilgiler... 4

2.1.1. Öklid Uzayında Temel Kavramlar.……...………...………... 4

2.1.2. Kuaterniyonlar (Dörtlü Grup, Dördey)... 8

3. MATERYAL ve YÖNTEM... 15

3.1. 3-Boyutlu Öklid Uzayında İnvolüt-Evolüt Eğrileri... 15

3.2. Uzaysal Kuaterniyonik İnvolüt-Evolüt Eğrileri... 16

3.3. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Frenet Çatısına Göre Smarandache Eğrileri... 22

3.4. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Frenet Çatısına Göre Uzaysal Kuaterniyonik _{Smarandache Eğrileri... 29}

4. BULGULAR ... 38 4.1. t n - Smarandache Eğrisi... * 1* 38 4.2. n n - Smarandache Eğrisi... 1* 2* 45 4.3. t n - Smarandache Eğrisi... * 2* 52 4.4. t n n - Smarandache Eğrisi... 59 * 1* 2* 4.5. n w - Smarandache Eğrisi... 1* * 68 5. SONUÇ ve ÖNERİLER…….………... 82 6. KAYNAKLAR………... 84 ÖZGEÇMİŞ………... 86

VI

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil No Sayfa

Şekil 3.1.1 Darboux vektörü... 8 Şekil 3.2.1 Uzaysal kuaterniyonik involüt-evolüt eğrileri... 16 Şekil 3.2.2 Kuaterniyonik Darboux vektörü... 20 Şekil 4.1. _{ uzaysal kuaterniyonik eğrisine ait} *

involüt eğrisi... 80 Şekil 4.2. *

VII

SİMGELER ve KISALTMALAR 1



_: * *

1

t n - uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrisi

2



_: * *

1 2

n n - uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrisi

3



_: * *

2

t n - uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrisi

4



_: * * *

1 2

t n n - uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrisi

5



_: * *

1

n w - uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrisi

C _{: Birim Darboux vektörü}

D _{: Kuaterniyonik Darboux vektörü}

3

E _{: 3- boyutlu Öklid uzayı}

( )s

 _{: Bir eğrinin eğriliği}

( )

k s _{: Uzaysal kuaterniyonik bir eğrinin eğriliği}

 

N _{: Kuaterniyonik Norm}

( )

r s _{: Uzaysal kuaterniyonik bir eğrinin burulması}

( )s

 _{: Bir eğrinin burulması}

H : Uzaysal kuaterniyon

W _{: Darboux vektörü}

w _{: Kuaterniyonik birim Darboux vektörü}

: Norm

: Öklid iç çarpımı

: Kuaterniyonik iç çarpım

 _{: Kuterniyonik çarpım}

 _{: Vektörel çarpım}



t s n s b s( ), ( ), ( )



_{: Öklid Frenet 3- ayaklısı}

1 1. GİRİŞ

Kuaterniyon (dördey, dördübir) kavramı ilk kez İrlandalı matematikçi William

Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında 2

1, 1 1,

abe e   şeklinde verilen kompleks sayıların dae₁be₂ce₃ 



dae₁

 

 b ce e₁



₂, e₁ e₂ e₃, biçiminde

genelleştirmesiyle ortaya çıkmıştır. Her bir kuaterniyona



1, ,e e e_{1 2}, ₃



gibi dört birim eşlik etmektedir. Kuaterniyonlar günümüzde molekül yapılarının incelenmesinde, DNA ve protein yapılarında, göz hareketinin tanımlanmasında hidrodinamik, elastik, astronomi ve optikteki uygulamalarına kadar pek çok alanda kullanılmaktadır. Bharathi ve Nagaraj, (1987), uzaysal kuaterniyon kavramını tanımlamışlar ve bu kavram yardımıyla bir eğrinin Serret-Frenet formüllerini hesaplamışlardır. Karadağ ve Sivridağ, (1997), kuaterniyonik eğrilerin eğilim çizgisi ve harmonik eğriliğini vermişlerdir. Turgut ve Yılmaz, (2008), Smarandache eğrisi üzerinde çalışmışlardır. Ali, (2010), Öklid uzayında bazı özel Smarandache eğrilerine ait karakterizasyonları incelemiştir. Soyfidan, (2011), _{E ve} 3 _{E Öklid} 4

uzaylarında kuaterniyonik involüt-evolüt eğrilerinin Frenet elemanlarını hesaplamıştır. Çetin ve Kocayiğit, (2013), 3

E de kuaterniyonik Smarandache

eğrilerini elde etmişlerdir. Benzer bir düşünceyle Parlatıcı, (2013), Bishop çatıları esas alınarak kuaterniyonik ve uzaysal kuaterniyonik eğrilerin Smarandache eğrilerine ait bazı karakterizasyonlar vermiştir. Daha sonra Tuna ve Çöken, (2014), yarı Öklid uzaylarında kuaterniyonik eğrilerin Serret-Frenet formülleri, eğilim çizgileri ve harmonik eğriliklerine ait bazı karakterizasyonları vermişlerdir. Erişir ve Güngör, (2014), Yarı Öklid uzayında kuaterniyonik eğrilerin Smarandache eğrilerini incelemişlerdir. Son olarak Şenyurt ve Çalışkan, (2015), konum vektörü olarak aslinormal vektörü ile birim Darboux vektörünün oluşturduğu uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrisinin eğriliklerini hesaplamışlardır.

Bu tezde  uzaysal kuaterniyonik eğrisine ait



* kuaterniyonik involüt eğrisinin

* * *

1 2

, ,

t n n Frenet vektörleri ile w birim Darboux vektörü konum vektörü olarak alındığında bu vektörler tarafından oluşturulan

 





1 1 1 1 2 t n s t n         * * 1

2

 





1 2 2 1 2 1 2 n n s n n        n n_{1 2}  

- kuaterniyonik Smarandache eğrisi,

 





2 3 2 1 2 t n s t n       t n₂  

- kuaterniyonik Smarandache eğrisi,

 





1 2 4 1 2 1 3 t n n s t n n            t n n _{1 2} - kuaterniyonik Smarandache eğrisi,

 





1 5 1 1 2 n w s n w          n w1  

- kuaterniyonik Smarandache eğrisi,

Smarandache eğrilerinin eğrilikleri ve torsiyonları hesaplandı. Bulunan sonuçlar evolüt eğrisinin eğriliklerine bağlı ifadeleri verildi.

3 2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

Karadağ ve Sivridağ, (1997), “Tek Değişkenli Kuaterniyon Değerli Fonksiyon ve

Eğilim Çizgileri” adlı çalışmada 3

ve 4 deki kuaterniyonik eğrilerin eğilim çizgisi olması için bazı karakterizasyonlar vermişlerdir.

Demir ve Özdaş, (2005), “Reel Kuaterniyonlarla Serret-Frenet Formülleri” isimli çalışmada reel kuaterniyonların genel tanımı yapıldıktan sonra Serret-Frenet formülleri arasındaki bağıntılar incelemişlerdir.

Ünal, (2011), “Kuaterniyonlar ve Kuaterniyon Matrisleri” isimli yüksek lisans tezinde kuaterniyonların matris gösterimleri ve kuaterniyon matrislerinin özelliklerini araştırmıştır.

Soyfidan, (2011), “Kuaterniyonik İnvolüt-Evolüt Eğri Çiftleri” isimli yüksek lisans tezinde kuaterniyonik involüt-evolüt eğrilerinin Frenet çatısına göre Frenet elemanlarını hesaplamıştır.

Çetin ve Kocayiğit, (2013), “On the Quaternionic Smarandache Curves in Euclidean

3-Space” adlı makalede bir uzaysal kuaterniyonik eğriye ait Smarandache eğrilerinin

Frenet aparatları bulmuşlardır.

Parlatıcı, (2013), “Kuaterniyonik Smarandache Eğrileri” yüksek lisans tezinde Bishop çatısına göre kuaterniyonik eğriler için Smarandache eğrileri üzerine çalışmıştır.

Sivas, (2014), “İnvolüt- Evolüt Eğrilerine Ait Frenet Çatısına Göre Smarandache

Eğrileri” isimli yüksek lisans tezinde Frenet vektörlerinden elde edilen Smarandache

eğrilerinin bazı özellikleri incelemiştir.

Şenyurt ve Çalışkan, (2015), “An Application According to Spatial Quaternionic

Smarandache Curve” isimli çalışmada uzaysal kuaterniyonik eğrinin Frenet çatısına

göre Darboux vektörü bulunmuş ve normal vektör ile birim Darboux vektörünün oluşturduğu Smarandache eğrisinin eğrilik ve burulması hesaplamışlardır.

4 2.1. Genel Bilgiler

Bu bölümde 3

E , 3 boyutlu reel Öklid uzayında temel kavramlara yer verilmiştir.

2.1.1. Öklid Uzayında Temel Kavramlar

Tanım 2.1.1: A boş olmayan bir cümle, V de  cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.

f A A

:

 

V

fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa A ya V ile birleştirilmiş bir afin uzay denir.



 







1: , , için , , , , A P Q RA f P Q  f Q R  f P R





2: , V için , A  P A  



f P Q 



olacak şekilde bir tek A _{noktası vardır (Hacısalihoğlu, 2000).}

Tanım 2.1.2: V , A ile birleşen bir afin uzay olsun.

, :V V IR

   

fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bu fonksiyona bir iç çarpım fonksiyonu denir: , ,x y zV için i) Bilineerlik Aksiyomu; , , , , , , , , ax by z a x z b y z x ay bz a x y b x z                  

ii) Simetri Aksiyomu;

, , ,

x y y x

    

iii) Pozitif Tanımlılık (kararlılık) Aksiyomu;

, 0, , 0 0

x x x x x

        (Hacısalihoğlu, 2000).

Tanım 2.1.3: Reel standart afin uzayı n

IR olmak üzere,  ,X YIRn _için

1 , : , , n n n i i i IR IR IR X Y x y        



(2.1.1) şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. Bu iç çarpıma n

IR de

5

n

IR vektör uzayı ile birleşen afin uzayına n-boyutlu standart Öklid uzayı denir ve

n

E ile gösterilir (Hacısalihoğlu, 2000).

Tanım 2.1.4: n

E , n – boyutlu Öklid uzayında farklı üç nokta X,Y,Z olsun. XY ile XZ vektörleri arasındaki





açısı, 0 

 

olmak üzere,

, cos XY XZ XY XZ   (2.1.2) dır (O’neill, 1966). Tanım 2.1.5:









2 1 : , , n n n i i i d E E IR d X Y y x    



 şeklinde tanımlanan d

fonksiyonuna E Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu ve n d X Y



,



IR _{sayısına da} X ile Y noktaları arasındaki uzaklık denir (Hacısalihoğlu, 2000).

Tanım 2.1.6: I bir açık aralık ve

 



1

   

2

 



: , ,..., n n I E t t t t t











   (2.1.3)

diferensiyellenebilir fonksiyona E de bir eğri denir. Burada I aralığına n  eğrisinin parametre aralığı ve

t I



değişkenine de  eğrisinin parametresi denir (Hacısalihoğlu, 2000).

Tanım 2.1.7:



:

I



E

n diferensiyellenebilir bir eğri olsun.

 

1

 

2

 

 

, ,..., n t _t d t d t d t d t dt dt dt dt       _{ } _   (2.1.4)

vektörüne de  eğrisinin hız vektörü,



 

t



1

ise eğriye birim hızlı eğri denir. Bu durumda

t I



parametresine de eğrinin yay parametresi denir. Genellikle yay parametresi s ile gösterilir (Hacısalihoğlu, 2000).

6 Tanım 2.1.8:



:

I



E

n bir eğri ve a b, Iiçin

 

b

a

s





 t ds (2.1.5) reel sayısına 

 

a ile 

 

b noktaları arasındaki yay uzunluğu denir (Hacısalihoğlu, 2000).

Tanım 2.1.9:



: I



E

3 diferansiyellenebilir bir eğri olsun.



    , ,



lineer bağımsız cümlesinden _{Gram Schmidt ortogonalleştirme yöntemi ile elde edilen}

     



t s n s b s, ,



ortonormal sistemine  eğrisinin 

 

s noktasındaki Serret Frenet 3-ayaklısı denir (Hacısalihoğlu, 2000).

Teorem 2.1.1:



: I



E

3 _eğrisinin 

 

s _{noktasındaki Frenet 3-ayaklısı;} 1) s I yay parametresi ise

 

 

 

_{ }

 

     

1 t s s n s s s b s t s n s







 _{ }   _   _   _{ }  (2.1.6)

2) sI yay parametresi değilse

 

_{ }

 

     

 

_{ }

_{ }



 

 



1 1 t s s s n s b s n s b s s s s s













 _{ }  _   _{ }            (2.1.7)

şeklinde verilir (Hacısalihoğlu, 2000).

Tanım 2.1.10:



: I



E

3 eğrisinin Frenet 3-ayaklısı



t s n s b s

     

, ,



_olsun.

 

   

 

   

' , ' , s t s n s s n s b s         (2.1.8)

7

şeklinde tanımlı



,  fonksiyonlarına sırasıyla  _{eğrisinin eğrilik ve torsiyonu} (burulma) denir (Hacısalihoğlu, 2000).

Teorem 2.1.2:



: I



E

3 _eğrisinin 

 

s noktasındaki eğrilik ve torsiyonu sırasıyla

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 , ( ) a s s s s a s s s s s s                       _  _{  }  (2.1.9)

şeklinde verilir (Sabuncuoğlu, 2004).

Teorem 2.1.3:



: I  E3 eğrisinin Frenet 3-ayaklısı  eğrisinin 

 

s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı



t n b, ,



ile gösterilsin. Bu durumda Frenet formülleri

a) sI yay parametresi ise

 

   

 

       

 

   

, t s s n s n s s t s s b s b s s n s       _  _{   }    _{ }  (2.1.10)

b) sI yay parametresi değilse

 

     

 

 



       



 

( )

   

t s s s n s n s s s t s s b s b s s s n s          _{ }  _{    }        (2.1.11)

şeklinde verilir (Sabuncuoğlu, 2004).

Bir  eğrisi üzerinde



t n b, ,



Frenet 3-ayaklısı her s anında, (bir eksen etrafında) ani bir helis hareketi yaptığı kabul edilir ve bu eksene eğrinin 

 

s _{noktasındaki} Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön ve doğrultusunu veren vektör,

,

W

 

n n



W 

 

t b (2.1.12) şeklinde olur ve bu vektöre Darboux vektörü adı verilir ( Şekil 3.1 ).

8 Şekil 3.1.1. Darboux vektörü

W

_{ile b vektörleri arasındaki açı}



ile gösterilirse şekilden,

sin , cos

W W

 

   (2.1.13)

yazılır. W Darboux vektörü yönündeki birim vektör C _{ile gösterilirse}

sin cos

C



t



b _(2.1.14) şeklinde bulunur (Fenchell, 1951).

2.2.2. Kuaterniyonlar ( Dörtlü Grup, Dördey )

Bu bölümde kuaterniyonlar ve uzaysal kuaterniyonik eğrilerle ilgili çalışmamıza esas olan tanımlar ve teoremler verilmiştir.

Tanım 2.2.1: Bir reel kuaterniyon q d ae₁be₂ce d a b c₃, , , ,  şeklindedir. Burada i) e₁      e₁ e₂ e₂ e₃ e₃ 1, ii) 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 3 e e e e e e e e e e e e e e e               

9 şeklindedir. Reel kuaterniyonların cümlesi



3



1 2 3, , , , , ,1 2, 3 q d ae be ce d a b c e e q e        şeklinde gösterilir. Bir q kuaterniyonu q S d ,

V

_q



ae

₁



be

₂



ce

₃ olmak üzere q q

q



S



V

(2.2.1) şeklinde yazılabilir. Burada Sq ya skaler kısım ve Vq ya da vektörel kısım denir

(Hacısalihoğlu, 1983). Tanım 2.2.2: 1 1 1 q q q S V ve 2 2 2 q q

q S V kuaterniyonun toplamı, farkı, skaler ile

çarpımı ve eşitliği işlemi sırasıyla

1 2 1 2 1 2 q q q q

,

q

 

q

S

_



V

_ (2.2.2) 1 2 1 2 1 2 q q q q

,

q



q



S

_



V

_ (2.2.3)

,

q q

q

q

S

V















(2.2.4) 1 2 1 2 q q

q

 

q

S



S

ve

V

q₁



V

q₂ (2.2.5)

şeklinde tanımlanır. Bu durumda



, , , ,., 



 cümlesi bir uzay yapısına ulaşır ki bu uzaya reel kuaterniyonların uzayı denir (Hacısalihoğlu, 1983).

 1 e1 e2 e3 1  1 e1 e2 e3 1 e e₁ 1 e3 e2 2 e e₂ e₃ ₁ e1 3 e e₃ e₂ e₁ 1

10

Tanım 2.2.3: q1d1a e1 1b e1 2c e1 3 ve q2 d2 a e2 1b e2 2 c e2 3 iki

kuaterniyonun kuaterniyon çarpımı,



 





 











1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3

d

a e

b e

c e

d

a e

b e

c e

d d

a a

b b

c c

d a

a d

b c

c b e

d b

b d

c a

a c e

d c

c d

a b

q

q

b a e



















































şeklinde tanımlanır. Öklid’deki iç çarpım ve vektörel çarpım dikkate alındığında bu çarpım

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 q q q

,

q q q q q q q

q



q



S S



V V



S V



S V



V



V

(2.2.6)

şekline dönüşür (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.4: qS_q V_q  reel kuterniyonunun eşleniği

:

q q

q

q

S

V









(2.2.7) şeklinde tanımlanır.

Buna göre q kuaterniyonu ile eşleniğinin çarpımı



1 2 3

 

1 2 3



2 2 2 2 q q d ae be ce d ae be ce d a b c              (2.2.8) olur (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.5: q q1, 2 reel kuaterniyonları için



1 2



1 2



1 2 2 1



: 1 , , 2 q q q q q q q q        (2.2.9)

şeklinde tanımlı reel değerli, simetrik, bilineer fonksiyona kuaterniyonik iç çarpım fonksiyonu denir (Bharathi ve Nagaraj, 1987).

11

Tanım 2.2.6: q₁ ve q₂ kuaterniyonları için q q, 0 ise q₁ ile q₂ kuaterniyonuna ortogonaldir denir (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.7: Bir q kuaterniyonunun normu

 

2 _{2 2 2 2}

,

N q  q q   q q d a b c

 

  (2.2.10)

şeklinde bir reel sayıdır (Bharathi ve Nagaraj, 1987). Tanım 2.2.8: Bir q kuaterniyonunun tersi

 

 

 

 

1 1 : 0 0 q q q N q        (2.2.11)

şeklinde bir kuaterniyondur (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.9: q2 0 olmak üzere, q1 in q2 kuaterniyonuna bölümü

1 1

1 1 2

,

2 2 1

r

 

q

q



r



q





q

(2.2.12) şeklinde tanımlı iki farklı kuaterniyondur. Burada r1 kuaterniyonuna q1

kuaterniyonunun q₂ kuaterniyonu ile sağdan bölümü, r₂ kuaterniyonuna da q₁ kuaterniyonunun q₂ kuaterniyonu ile soldan bölümü denir (Hacısalihoğlu, 2000). Tanım 2.2.10: Normu bir birim olan kuaterniyona birim kuaterniyon denir ve q₀ ile gösterilir. Bu tanıma göre q0 birim kuaterniyonu,

 

1 2 3 0 _{2 2 2 2} d ae be ce q q N q _{d a b c}         (2.2.13) şeklinde yazılır.

Diğer yandan q₀ birim kuaterniyonu

0 q 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 ae be ce d a b c d a b c a b c d a b c               (2.2.14)

12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 0 _{2 2 2} cos , sin , d w d a b c a b c w d a b c ae be ce S a b c  _  _{  }       _             _{ }  (2.2.15) alınırsa q₀ kuaterniyonu 0 cos 0sin q  wS w (2.2.16)

olur. S₀ birim vektörüne

q

₀ birim kuaterniyonunun ekseni denir (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.11: _H 



q q q 0



cümlesine uzaysal kuaterniyonlar cümlesi, bu cümlenin her bir elemanına da uzaysal kuaterniyon adı verilir.

Herhangi bir q d ae₁be₂ce₃ kuaterniyonu için

1 2 3 1 2 3 0 ( ) ( ) 0 2 0 0 d ae be ce d ae b c q e d e q d               

bulunur. Bu durumda _H uzaysal kuaterniyonun her bir elemanı

1 2 3

qae be ce (2.2.17)

şeklinde bir başka kuaterniyon olur. Bunun bir sonucu olarak iki uzaysal kuaterniyonun kuaterniyon çarpımı (3.2.6) bağıntısından

1 2 1

,

2 1 2

q



q

 

q q

 

q

q

(2.2.18) dır (Hacısalihoğlu, 1983).

13 Tanım 2.2.12:

 

 

 

3 1 : 0,1 _H, _{i i} i s s e







  



(2.2.19) şeklinde tanımlanan eğriye uzaysal kuaterniyonik eğri denir (Bharathi ve Nagaraj, 1987).

 

: 0,1 _H

  eğrisinin teğet vektörleri t s

 

, aslinormal vektörü n s₁

 

ve binormal vektörü n s₂

 

ile gösterilirse şu teorem verilebilir:

Teorem 2.2.1:



:[0,1] _H uzaysal kuaterniyonik eğrisinin Frenet vektörleri

 

 

 

_

 

_{ }

_

   

 

1 2 1 t s s s n s N s n s t s n s          _  _   _{ }  (2.2.20)

şeklinde hesaplanır. Bu vektörler arasında

   

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

 

 

 

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 t s t s n s n s n s n s t s n s n s n s t s n s n s t s n s n s n s t s n s t s n s                        _{    }  (2.2.21)

olacak şekilde bir bağıntı vardır (Karadağ ve Sivridağ, 1997).

Teorem 2.2.2:



:[0,1] _H uzaysal kuaterniyonik eğrisi keyfi parametre ile verilirse Frenet vektörleri

 

_{ }

 

 



 



 

   

 

_

       

_{       }

_

1 2 2 , s t s s N s s n s n s t s s s s s n s N s s s s                     _{ }   _{     }  _         (2.2.22)

14

Teorem 2.2.3:



:[0,1] _H uzaysal kuaterniyoik eğrisinin k s

 

eğriliği ve r s

 

burulması(torsiyonu) sırasıyla,

 



       

_{ }



 



 



 

     

       





3 2 , , N s s s s k s s N s s s s s r s N s s s s                       _       _{   }           (2.2.23)

şeklinde verilir (Soyfidan, 2011).

Teorem 2.2.4:



:[0,1] _H uzaysal kuaterniyonik eğrisinin



t s n s n s

     

, ₁ , ₂



Frenet vektörleri ile bunların türev vektörleri arasında

 

   

 

       

 

   

1 1 2 2 1 t s k s n s n s k s t s r s n s n s r s n s           _    (2.2.24)

15 3. MATERYAL ve YÖNTEM

Bu bölümde involüt-evolüt eğrileri, uzaysal kuaterniyonik involüt-evolüt eğrileri, Smarandache eğrileri ve uzaysal kuaterniyonik Smarandache eğrileri hakkında kısaca bilgiler verilmiştir.

3.1. 3- Boyutlu Öklid Uzayında İnvolüt-Evolüt Eğrileri Tanım 3.1.1: Birim hızlı 3

: I E

  eğrisi ve *: I E3 eğrisi verilsin.  eğrisinin 

 

s noktasındaki teğet vektörü



*( )s noktasından geçiyor ve bu noktadaki teğete dik oluyor ise ( )s eğrisine evolüt,



*( )s eğrisine de ( )s eğrisinin involütü denir (Sabuncuoğlu, 2004).

Teorem 3.1.1: * eğrisi  eğrisinin bir involütü olsun. Bu eğriler arasında

 

  

  

*

,

s s c s t s c

     (3.1.1) bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu, 2004).

Teorem 3.1.2: * 3

I E

   eğrisi  _{I E}3

eğrisinin bir involütü, Frenet çatıları sırasıyla



t n b, ,



ve



t n b, , 



ile gösterilirse bu çatılar arasında

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) t s n s n s b s s t s b s s s s s s s t s b s s s s s s                       _             (3.1.2)

bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu, 2004).

Teorem 3.1.3: * 3

I E

   eğrisi 3

I E

  eğrisinin bir involütü olsun.  eğrisinin eğrilikleri  ve  , * eğrisinin eğrilikleri  ve  ise bu eğrilikler arasında





 



  



 









 

2 2 2 2 ( ( ) ) s c s s s s c s s s               _  _  _    _  _ _     (3.1.3)

16 bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu, 2004).

Teorem 3.1.4: * 3

I E

   eğrisi  _{I E}3

eğrisinin involütü ve Frenet çatıları sırasıyla



t n b, , 



ve



t n b, ,



olsun. b binormal vektörü ile W Darboux vektörü

arasındaki açı  ile gösterilirse Frenet çatıları arasında

* * * * * * ( ) ( ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) cos ( ) t s n s n s t s b s b s t s b s             _{ }  (3.1.4)

bağıntısı vardır (Bilici, 1999).

3.2. Uzaysal Kuaterniyonik İnvolüt-Evolüt Eğrileri

Tanım 3.2.1: Birim hızlı : 0,1

 

 _H eğrisi ve : 0,1

 

 _H uzaysal kuaterniyonik eğrisi verilsin.  eğrisinin 

 

s noktasındaki teğet vektörü



*( )s noktasından geçiyor ve bu noktadaki teğete dik oluyor ise ( )s uzaysal kuaterniyonik eğrisine evolüt, *

( )s



eğrisine de ( )s eğrisinin uzaysal kuaterniyonik involütü denir (Şekil 3.2.1).

17 Teorem 3.2.1:  : 0,1

 

H

 _

eğrisi : 0,1

 

 H uzaysal kuaterniyonik

eğrisinin bir involütü olsun. Bu eğriler arasında

 

  

  

*

,

s s c s t s c

     (3.2.1) bağıntısı vardır (Soyfidan, 2011).

İspat: İnvolüt eğri tanımından *

 

 

   

s s s t s

   şeklinde yazılır. Türev

alınırsa



1 ( ) ( )



( ) ( ) ( )1 t d ds s t s s k s n s ds ds  _{ }       

olur. * eğrisi  eğrisinin bir involütü olduğundan

 

 

1 s  0  s   s c bulunur.

Teorem 3.2.2: : 0,1

 

 _H eğrisi : 0,1

 

 _H uzaysal kuaterniyonik eğrisinin bir involütü olsun. Bu eğrilerin Frenet çatıları sırasıyla



t n n, ₁, ₂



ve



t n n, ,1 2



ile gösterilirse bu çatılar arasında

* 1 * 1 2 2 2 2 2 * 2 _{2 2 2 2} 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t s n s k s r s n s t s n s k s r s k s r s r s k s n s t s n s k s r s k s r s    _  _{ }  _{ }           (3.2.2)

bağıntısı vardır (Soyfidan, 2011). İspat: *

 

  

  

s s c s t s

    bağıntısından türev alınırsa

    

    

* * 1 d ds t s t s c s k s n s ds ds       veya

18



    

* * 1 ds t c s k s n s ds  

olur. Buradan norm alınırsa

 



*



*



  



 



1 , ds N t s c s k s N n s ds  



  

* ds c s k s ds  

bulunur. Bu ifade yukarıda yerine yazılırsa

 

 

*

1

t s n s (3.2.3) olur. Bu ifadenin tekrar türevi alınırsa

 

   

 

_

_

* 1 * * 1 * * 1 , 1 , ( ) dn s dt ds ds ds ds ds ds dn s k s n s ds c s k s   

   



       



_

_

* * 1 2 1 ( ) k s n s k s t s r s n s c s k s     (3.2.4)

olur. Her iki taraf kuaterniyonik olarak iç çarpılırsa *

k eğriliği

   

   

       

_

_{  }

2

       

_

_{  }

2 * * * * 1 , 1 , k s t s r s n s k s t s r s n s k s n s k s n s c s k s c s k s       

 





2

 

_{ }

2

 

_

2 * 2 2 k s r s k s k s c s    veya

   



*



k2

 

_

s r

_

2

 

s k s k s c s    (3.2.5)

bulunur. Bu ifade (3.2.4) denkleminde yerine yazılırsa *

 

1

19

 

_

       

_{    }

2 * 1 * k s t s r s n s n s c s k s k s     veya (3.2.5) bağıntısından * 1 _{2 2 2 2} 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s r s n s t s n s k s r s k s r s      (3.2.6)

şeklinde elde edilir. *

 

*

 

*

 

2 1 n s t s n s olduğundan *

 

2 n s binormal vektörü

 

 

       

 

 

2 * 2 1 _{2 2} , k s t s r s n s n s n s k s r s      * 2 _{2 2 2 2} 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s k s n s t s n s k s r s k s r s     (3.2.7) olur.

Teorem 3.2.3: : 0,1

 

 _H eğrisi : 0,1

 

 _H uzaysal kuaterniyonik eğrisinin bir involütü olsun. *

eğrisinin eğrilikleri k

 

s ve r s

 

, ve  eğrisinin eğrilikleri k s

 

ve r s

 

ise bu eğrilikler arasında





2 2 * * 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s k s k s r s k s k s r s c s k s c s k s r s       _{ }      (3.2.8)

bağıntıları vardır (Soyfidan, 2011).

Tanım 3.2.2: : 0,1

 

 _H uzaysal kuaterniyonik eğrisinin



t s n s n s

     

, ₁ , ₂



Frenet çatısına ait Darboux vektörü

2

. .

Dr tk n (3.2.9) şeklinde verilir. D ile n₂ arasındaki açı



ile gösterilirse Şekil 3.2.2 den

20

Şekil 3.2.2. Kuaterniyonik Darboux vektörü

   





   





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , cos 2 , sin 2 D kn D kn kn D _k N D N kn _{k k r k r} D rt D rt rt D _r N D N rt _{r k r k r}    _{  }  _{  }  _{ }            _{ }  (3.2.10)

olur ve bu durumda w birim Darboux vektörü

2

sin cos

w



t



n (3.2.11) şeklinde yazılır (Şenyurt ve Çalışkan, 2015).

Sonuç 3.2.1: *

H

I

   eğrisi



 I _H eğrisinin involütü, Frenet çatıları da sırasıyla



t n n, ₁, ₂



ve



t n n, ₁, ₂



olsun. Bu çatılar arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

* * 1 * * 1 2 * * 2 2 ( ) ( ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) cos ( ). t s n s n s t s n s n s t s n s             _{ }  (3.2.12) Sonuç 3.2.2: * H I

   eğrisi



 I _H eğrisinin involütü olsun.  eğrisinin eğrilik ve torsiyonu sırasıyla k ve r , *

eğrisinin eğrilik ve torsiyonu sırasıyla k ve r ile gösterilsin. n₂ aslinormal vektörü ile D kuaterniyonik Darboux vektörü arasındaki açı  ile gösterilirse *

k ve r eğrilikleri arasında * * sec * ( ) , ( ) ( ) k s r s c s c s k s       (3.2.13)

21 şeklinde verilir.

Teorem 3.2.4: *

H

I

   eğrisi



 I H eğrisinin involütü ve Darboux

vektörleri sırasıyla D ve D ile gösterilirse bu vektörler arasında *





* 1 1 ( ) D D n k c s     (3.2.14) bağıntısı vardır.

İspat: (3.2.9) bağıntısına benzer olarak *

D vektörü

* * * * *

2

D r t k n

şeklinde yazılır. Burada * * * 2

, ,

t n k ve r yerine (3.2.12) ve (3.2.13)’den karşılıkları *

yazılırsa





* 1 2 sec sin cos ( ) ( ) D n t n c s k c s   _{ }      veya * 1 2 sin 1 cos ( ) ( ) ( ) D t n n c s c s k c s          

denklemi bulunur. Burada (3.2.10) dikkate alınırsa

2 2 * 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) r k r D t n n k _{c s k c s} c s k r          veya





* 1 2 1 ( ) D rt n kn k c s     

olur. Burada (3.2.9) bağıntısı yerine yazılırsa D Darboux vektörü *





* 1 1 ( ) D D n k c s    

22 Teorem 3.2.5: *

H

I

   eğrisi



 I H eğrisinin bir involütü, birim Darboux

vektörleri de sırasıyla w ve w* olsun. Bu Darboux vektörleri arasında

2 2 * 1 2 2 2 2 2 2 k r w n w k r k r              (3.2.15) bağıntısı vardır.

İspat: n₂ binormal vektörü ile w* Darboux vektörü arasındaki açı



* olmak üzere (3.2.11) bağıntısından * * * * * 2 sin cos w   t   n (3.2.16) yazılır. Burada

 

 

* * * * sin r , cos k N D N D     (3.2.17) veya (3.2.13) ve (3.2.14) bağıntılarından 2 2 * * 2 2 2 2 2 2 sin , cos k r k r k r                (3.2.18)

bulunur. Bulunan bu ifade (3.2.16) da yerine yazılırsa

2 2 * 1 2 2 2 2 2 2 k r w n w k r k r              elde edilir.

3.3. 3-Boyutlu Öklid Uzayında Frenet Çatısına Göre Smarandache Eğrileri Tanım 3.3.1: Konum vektörü olarak herhangi bir eğrinin Frenet vektörleri alınarak elde edilen regüler eğriye Smarandache eğrisi denir (Turgut ve Yılmaz, 2008).

Bu tanım şu şekilde de verilebilir:

Tanım 3.3.2: 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin t n b, , Frenet vektörlerine sıkı sıkıya bağlı

23

 

           

 

2

 

2

 

2 x s t s y s n s z s b s s x s y s z s       (3.3.1)

vektörün çizdiği regüler eğriye Smarandache eğrisi denir (Şenyurt ve Sivas, 2013).

Tanım 3.3.3: 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



t n b, ,



olsun.

tn -Smarandache eğrisi

 

1





2

tn s t n

   (3.3.2)

şeklinde tanımlanır (Ali, 2010).

Teorem 3.3.1: : IE3eğrisinin Frenet çatısı



t n b, ,



, eğriliği  ve torsiyonu  olsun. tn - Smarandache eğrisinin Frenet vektörleri,

tn   eğriliği ile tn   torsiyonu sırasıyla,

 



















2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 tn tn tn t s t n b n t n b b t n b                                         _{  }  _{  }     _{  }  _{     }       _{ }  _{     }   _{ }    _{  }  (3.3.3)













































2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 (3.3.4) 2 2 2 2 tn tn                                  _{ }  _  _    _{           }  _  _{         } 

24









 



















2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 (2 3 2 2 3 3 3 2                                                                                              

şeklinde birer katsayıdır (Ali, 2010).

Tanım 3.3.4: 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



t n b, ,



olsun.

nb - Smarandache eğrisi

 

1





2

nb s n b

   (3.3.5) şeklinde tanımlanır (Ali, 2010).

Teorem 3.3.2: : IE3eğrisinin Frenet çatısı



t n b, ,



, eğriliği  ve torsiyonu  olsun. nb - Smarandache eğrisinin Frenet vektörleri, _nb eğriliği ile nb torsiyonu

sırasıyla,

 























2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 nb nb nb t s t n b n t n b b t n b                                          _{  }  _{  }                 _{  }  _{ }  _{     }   _{ }       (3.3.6)

25

















2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 nb nb                                   _{ }                   _  _{             }  _{   }  (3.3.7) şeklinde verilir. Buradaki



₂,



₂, ₂,



₂,



₂ ve 2











 





 



2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3                                                                                       _{    } 

şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt ve Sivas, 2013).

Tanım 3.3.5: 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



t n b, ,



olsun.

tb -Smarandache eğrisi





1 2 tb t b    (3.3.8) şeklinde tanımlanır (Sivas, 2014).

Teorem 3.3.3: 3

: I E

  eğrisinin Frenet çatısı



t n b, ,



, eğriliği  ve torsiyonu  olsun. tb - Smarandache eğrisinin Frenet vektörleri, _tb eğriliği ile _tb torsiyonu sırasıyla,

 

2 2 2 2 2 2 2 2 tb tb tb t s n n t b b t b                     _{ }  _{ }           (3.3.9)

26













2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 tb tb                              _    _{    }  _  _{     }       (3.3.10)

şeklinde verilir. Buradaki



₃,



₃ve 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3                          _{      }   _{    } 

şeklinde birer katsayıdır (Sivas, 2014).

Tanım 3.3.6: 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



t n b, ,



olsun.

tnb - Smarandache eğrisi





1 3 tnb t n b     (3.3.11) şeklinde tanımlanır (Ali, 2010).

Teorem 3.3.4: : IE3 eğrisinin Frenet çatısı



t n b, ,



, eğriliği  ve torsiyonu  olsun. tnb - Smarandache eğrisinin Frenet vektörleri, _tnb eğriliği ve _tnb torsiyonu sırasıyla,

 







































2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 tnb tnb tnb t s t n b n t n b b t n b                                                    _{  }                 _{  }                              (3.3.12)

27













2 2 2 4 4 4 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 ₂ 3 2 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 tnb tnb                                              _{ }               _{          }  _  _{         }     _{      }     (3.3.13)

şeklinde verilir. Buradaki



4,



4, 4,



4,



4 ve 4











 









 









 







2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 3 2 4 3 3 4 2 3 4 2 4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 3 2 3 3 2                                                                                                                                                _{ }  

şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt ve Sivas, 2013).

Tanım 3.3.7: 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



t n b, ,



olsun.

nC - Smarandache eğrisi





1 2 nC n C    (3.3.14) şeklinde tanımlanır (Şenyurt ve Sivas, 2013).

Teorem 3.3.5: : IE3 eğrisinin Frenet çatısı



t n b, ,



, eğriliği  ve torsiyonu  olsun. nC - Smarandache eğrisinin Frenet vektörleri, _nC eğriliği ve nC torsiyonu

28

 

 

 





 





















 

















 

2 2 2 2 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 _{2 2 2} 5 5 5 5 5 2 2 _{2 2 2} 5 5 5 5 2 2 cos sin 2 2 sin 2 sin cos 2 cos 2 nC nC nC t s t b W W W W n t n b b t W W n W W W                                                                                                 







2 2 2



5 5 5 , b W                       _{ }  (3.3.15)

 





2 2 2 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 5 5 5 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 2 2 2 5 5 5 5 5 2 2

2 sin ( ) sin sin ( ) cos

cos 2 cos cos cos sin

cos cos sin cos sin

2 nC nC W W                                                                                            

 







 



 







 



 

 

 

2 2 3 2 5 5 5 5 5 2 3 3 5 5 5 5 2 2 2 _{2 2 2 3} 2 2 2 3 2 2 sin

sin cos cos sin sin

sin cos sin 2 sin

cos sin cos sin                                                                            _{       }     _{          }              



 2 2



3 2 2 2 cos sin                               _{      }   _{ }  (3.3.16) şeklinde verilir. Buradaki



5,



5, 5,



5,



5 ve 5