Performance of Stack Equalizer over Frequency Selective Fading Channels

(1)

Frekansa Ba˘glı S¨on ¨umlemeli Kanallarda Yı˘gıt Denkles¸tiricinin Bas¸arımı

Performance of Stack Equalizer over Frequency Selective Fading Channels

Tansal Güçlüo˘glu

Kadir Has ¨

Universitesi, Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü, 34083, Cibali, ˙Istanbul

tansal@khas.edu.tr

¨

Ozetc¸e

Bu bildiride, düs¸ük karmas¸ıklı˘ga sahip de˘gis¸tirilmis¸ yı˘gıt denkles¸tiricisinin frekansa ba˘glı sönümlemeli kanallardaki bas¸arımı incelenmektedir. Sunulan benzetim sonuçlarıyla, hesaplama karmas¸ıklı˘gından önemsiz miktarda taviz verilerek, de˘gis¸tirilmis¸ yı˘gıt denkles¸tiricisinin bas¸arımının optimale yakın olabilece˘gi gösterilmektedir. Bu denkles¸tiricinin kodlanmamıs¸ sistemlerde veya bit serpis¸tirilip kodlanmıs¸ ve döngülü alıcı kul-lanan sistemlerde uygulanması mümkün olabilmektedir.

Abstract

In this paper, the performance of the low complexity modified stack equalizer over frequency-selective fading channels is in-spected. With the help of simulation results, it is illustrated that by sacrificing the computational complexity insignificantly, the performance of the modified equalizer can be made closer to optimum. This equalizer can be used at the receiver of un-coded systems or bit interleaved un-coded systems with iterative receivers.

1. Giris¸

Telsiz iletis¸im sistemlerinde veri hızını artırmak için sembol süresi kısaltıldı˘gında kanalın frekansa ba˘glı de˘gis¸im gösterme ihtimali artmaktadır. Frekansa ba˘glı kanallardaki hata oranını azaltmak için alıcıda denkles¸tirici kullanılmaktadır. Ancak bas¸arımı yüksek denkles¸tiricilerin karmas¸ıklı˘gı da yüksek ol-maktadır [1]. Ozellikle pratikte kullanılan ve giris¸im mik-¨ tarı fazla sistemler için bas¸arımı yüksek, karmas¸ıklı˘gı düs¸ük denkles¸tiriciler gerekmektedir.

Tek veya çok antenli sistemlerdeki kodçözücüler için op-timal fakat karmas¸ıklı˘gı yüksek, kod kafesi üzerinde çalıs¸an BCJR [2] algoritması yerine, kod a˘gacı üzerinde çalıs¸an, karmas¸ıklı˘gı düs¸ük ve optimale yakın bas¸arım sa˘glayan ardıs¸ık yapıdaki algoritmalar [3] kullanılabilir. Bu yapıdaki ilk teknikler konvolüsyonel kodlar için gelis¸tirilmis¸ olan Fano [4] ve yı˘gıt [5, 6] algoritmalarıdır. Bu yöntemlerin hesaplama karmas¸ıklı˘gı kodlayıcının belle˘ginden ba˘gımsız olup yüksek sinyal gürültü oranlarında (SGO) optimale yakın bas¸arım sa˘glanabilmektedir. Ardıs¸ık algoritmalar simgeler-arası giris¸imle (SAG) mücadele eden denkles¸tiricilerde de kul-lanılabilmektedir [7, 8].

˙Ikiz-yı˘gıt diye adlandırılan de˘gis¸tirilmis¸ yı˘gıt algorit-ması [9] klasik yı˘gıt algoritalgorit-masının yumus¸ak giris¸i kabul

edecek s¸ekilde tasarlanmasıyla elde edilmektedir. Bu teknikte [10]’te önerilen metrik kullanılmakta ve bu metrik kullanılarak bitlerin güvenilirli˘gi bilgisi BCJR algoritması yardımıyla elde edilebilmektedir. Ayrıca, bu yeni algo-ritmanın manyetik kayıt (sabit SAG) kanallarına yönelik döngülü denkles¸tirici/kodçözücü alıcılarında kulanılabilece˘gi de sunulmus¸tur [11]. Yumus¸ak giris¸, yumus¸ak çıkıs¸ (YGYÇ ) yı˘gıt algoritmasının tek veya çok anten kullanan, kodlanmıs¸ veya kodlanmamıs¸, frekansa ba˘gımlı sönümlemeli kanallar için de uyarlanabilece˘gi [12]’da sunulmaktadır.

Bu bildiride, tek antenli sistemlerde kullanılan yumus¸ak bilgi tabanlı de˘gis¸tirilmis¸ yı˘gıt denkles¸tiricisinin bas¸arımının optimal BCJR algoritmasına nasıl daha da yaklas¸tırılabilece˘gi gösterilmektedir. Bu amaçla frekansa ba˘glı kanallar için tablo kullanımı veya sabit es¸ik ile karmas¸ıklı˘gı düs¸ük tutulan ikiz yı˘gıt veya tek yı˘gıtlı fakat birden fazla bo˘gum (node) uzatan denkles¸tiriciler önerilmektedir.

Bildiri s¸u s¸ekilde düzenlenmistir. Bölüm 2 sistem modelini açıklamaktadır. Bölüm 3 önerilen yı˘gıt denkles¸tiricisini sun-maktadır. Bölüm 4 benzetim sonuçlarını ve son olarak Bölüm 5 bu bildirinin sonuçlarını özetlemektedir.

2. Sistem Modeli

Bu çalıs¸mada kullanılan sistemin blok diyagramı S¸ekil 1’de gösterilmis¸tir. Serpis¸tirilip kodlanmıs¸ bitlerin frekansa ba˘glı kanallar üzerinden gönderilmekte ve döngülü denkles¸tirici/kodçözücü ile alınmaktadır. Kodçözücü ve denkles¸tirici kodlanmıs¸ bitlerin yumus¸ak bilgilerini döngülü olarak de˘gis¸tokus¸ ederek bilgi kayna˘gından gönderilen bitler için daha do˘gru karar verilmesini sa˘glamaktadır. Kul-lanılan kanal denkles¸tirici de˘gis¸tirilmis¸ yı˘gıt algoritmasını kullanmaktadır.

Genel olarak, tek antenli sistemler için L kademeli frekansa ba˘glı sönümlemeli kanaldan k anında alınan sinyal s¸u s¸ekilde yazılabilir, yk= ρ L L−1 l=0 hlvk−l+ wk. (1)

Bu ifadedeki h_l, SAG kademesi l olan kanal katsayısını, v_k, k anında gönderilen sembolü, ve w_k, k anında alınan gürültüyü temsil etmektedir. h_l ve w_k sıfır ortalamalı her boyutta1/2 varyanslı karmas¸ık Gauss da˘gılımlıdır. ρ ise alıcıdaki ortalama SGO de˘geridir.

(2)

Kodlayici Serpistirici _{Denklestirici}

Yutak Frekansa

Bagli

Kanal _{Ters -Serpistirici} _{Kodçözücü}

Serpistirici Kaynak

S¸ekil 1: Serpis¸tirilip kodlanmıs¸ bitlerin frekansa ba˘glı kanallar üzerinden gönderimi ve döngülü denkles¸tirici/kodçözücü ile alınması.

3. De˘gis¸tirilmis¸ Yı˘gıt Denkles¸tirici

Bu bölümde, frekansa ba˘glı kanallarda denkles¸tirici olarak kullanılmak üzere de˘gis¸tirilmis¸ olan YGYÇ yı˘gıt algoritması tanıtılmaktadır. Ardıs¸ık kodçözücülerden Fano ve yı˘gıt al-goritmalarındaki amaç, kanal (veya kod) a˘gacında Fano [4] tarafından gelis¸tirilen bir metrik yardımıyla her zaman dil-imi için muhtemel bo˘gumlardan geçen bir yol belirlemek-tir. Fano algoritmasına göre daha hızlı çalıs¸an yı˘gıt al-goritmasında, üzerinden geçilen her kod a˘gacı bo˘gumu için toplam metrik ve gönderilen sembol bilgileri bellekte tutulmak-tadır (daha genis¸ bilgi için [5, 6]). En büyük metri˘ge sahip olan bo˘gum, gönderilebilecek sembollere göre uzatılarak kod a˘gacında yeni bo˘gum bilgileri elde edilir. Elde edilen yeni bo˘gumlar a˘gacın yapraklarına, yani gönderilen son sembollere kars¸ılık geldi˘ginde, en yüksek metrikli bo˘gumdan kestirilen semboller elde edilir.

YGYÇ yı˘gıt algoritması için Fano metri˘gine önsel olasılık bilgisinin eklenmesiyle, frekansa ba˘glı kanalların çözülmesinde kullanılmak üzere as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir [10, 12],

log P (yk|vk) P (yk) + log(P (uk)). (2) Bu ifadede P(.) olasılık ifade etmektedir. uk, k anında g¨onderilen bit ve vkise SAG kanalının uk, uk−1, ..., uk−(L−1)

kullanılarak elde edilen gürültüsüz çıkıs¸ını göstermektedir. Kodçözme senaryosundan farklı olarak denkles¸tirmede kul-lanılması gereken as¸a˘gıdaki ifade

P (yk) =

vk

P (yk|vk)P (vk), (3) kanalın belle˘gine üssel olarak ba˘glıdır [12]. Frekansa ba˘glı kanallarda denkles¸tirme için kullanılacak yı˘gıt algoritmasında, karmas¸ıklı˘gı düs¸ük tutmak için P(y_k) de˘gerini yukarıdaki ifadeden hesaplamak yerine önceden hazırlanmıs¸ bir tablodan okunabilir veya sabit bir es¸ik (bias) de˘geri B kullanılarak elde edilecek yeni metrik as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir [12],

log(P (yk|vk)) + log(P (uk)) + B. (4)

Tablo kullanma yönteminde, Monte Carlo tekni˘giyle rast-gele üretilen kanal katsayıları ve gürültü üzerinden ortalama alınarak indeksi SGO ve y_kolan P(y_k) tablosu elde edilebilir. Tablo sadece bas¸langıçta üretilmekte olup sistem çalıs¸ırken bellekte tutulmakta, gerçek zamanlı bir yük getirmemekte-dir. Sabit es¸ik yönteminde deneysel olarak elde edilen sabit de˘ger kullanılmaktadır. Her iki yöntemin de yeterince bas¸arılı

oldu˘gu ve karmas¸ıklı˘gı düs¸ük tuttu˘gu ve bu özgün yı˘gıt denkles¸tiricisinin uzay zaman kodlanmıs¸ çoklu anten sistem-leri için de bazı basit uyarlamalarla kolaylıkla uygulanabilece˘gi [12]’da gösterilmektedir.

Optimal BCJR denkles¸tiricisinin bas¸arımına yaklas¸tırabilmek için yı˘gıt algoritmasını gelis¸tirmek tekli ve çoklu anten sistemleri için önemlidir. Ozellikle döngülü¨ alıcı sistemlerinde düs¸ük karmas¸ıklı˘ga sahip ve optimale yakın bas¸arım sa˘glayan denkles¸tiricilere duyulan gereksinimden dolayı bu bildiride frekansa ba˘glı kanallara uyarlanmıs¸ yı˘gıt algoritmasının [12] bas¸arımının artırılması amaçlanmıs¸tır. Klasik yı˘gıt denkles¸tiricisi tek bir yı˘gıt kullanmaktadır ve hata oranını düs¸ürmek için ikiz yı˘gıt algoritması [9] frekansa ba˘glı kanallara uyarlanabilir. Bu teknikte, gönderilen iki BPSK sem-boli için iki ayrı yı˘gıt tutulmakta ve her zaman diliminde her iki yı˘gıttaki en yüksek metrikli bo˘gumlar uzatılmaktadır. Uzatılan bo˘gum daha fazla oldu˘gu için gönderilen bilgi için elde edilen yumus¸ak bilgi daha güvenilir olmaktadır. Denkles¸tirici bas¸arımını artırmak için önerilen di˘ger yöntem de, frekansa ba˘glı kanallar için uyarlanmıs¸ tek yı˘gıt algoritmasında birden fazla bo˘gum uzatmaktır. Literatürde, ardıs¸ık kodçözücü algoritmaların bas¸arımı genel olarak bilgisayar benzetimleriyle incelenmektedir.

4. Bilgisayar Benzetim Sonuc¸ları

Bu bölümde, önerilen yı˘gıt denkles¸tiricileri için bilgisayar benzetimleri ile elde edilen bit hata oranları ve hesaplama karmas¸ıklıkları sunulmaktadır. BPSK sembolleri yarı-dura˘gan Rayleigh sönümlemeli, tekbiçimli güç da˘gılımlı frekansa ba˘glı kanallar üzerinden gönderilip alıcıda yı˘gıt denkles¸tirici kul-lanılmaktadır.

S¸ekil 2, tek ve ikiz yı˘gıt denkles¸tiricilerinin (tablodan okuma yöntemi ile kullanılarak) bit hata oranı bas¸arımları 8 kademeli kanal için gösterilmektedir. Bu sistem için gereken hesaplama karmas¸ıklı˘gı S¸ekil 3’de gösterilmektedir. ˙Ikiz yı˘gıt kullanmak hata oranını düs¸ürmekte ve optimal denkles¸tirici bas¸arımına yaklas¸tırmaktadır. Karmas¸ıklık ise tek yı˘gıt algo-ritmasına göre (iki bo˘gum uzatıldı˘gı için) iki katı (4) olsa da optimal denkles¸ticininkinden (128) hala oldukça düs¸üktür.

S¸ekil 4 tek ve ikiz yı˘gıt denkles¸tiricilerinin (tabloya bas¸vurularak kullanılmıs¸) bit hata oranları frekansa ba˘glı 6 kademeli kanal için gösterilmis¸tir. Bu sistemdeki bitler (5,7) sekiz tabanlı üreteç kullanan konvolüsyonel kodlama ile kodlanmıs¸ ve rastsal serpis¸tirici kullanıldıktan sonra kanala gönderilmis¸tir. Alıcıda da döngülü

(3)

denkles¸tirici/BCJR-0 2 4 6 8 10 12 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Sinyal Gürültü Orani (dB)

Bit Hata Orani

optimal tek yigit, tablo ikiz yigit, tablo

S¸ekil 2: Tabloya bas¸vurularak kullanılan tek ve ikiz yı˘gıt denkles¸tiricilerinin BER bas¸arımları, L= 8.

0 2 4 6 8 10 12 100 101 102 103 Sinyal Gürültü Orani (dB) KARMASIKLIK

tek yigit, tablo ikiz yigit, tablo optimal

S¸ekil 3: Tabloya bas¸vurularak kullanılan tek ve ikiz yı˘gıt denkles¸tiricilerinin hesaplama karmas¸ıklı˘gı, L= 8.

kodçözücüsü kullanılmıs¸tır. Bu sistem için karmas¸ıklık oranı da S¸ekil 5’da gösterilmektedir.

S¸ekil 6 tablodan okuma yöntemi ile kullanılan fakat birden fazla bo˘gum uzatan tek yı˘gıt denkles¸tiricilerinin bit hata oran-larını 6 kademeli kanal için göstermektedir. Uzatılan bo˘gum sayısı arttıkça bas¸arım daha da iyiles¸mektedir. Grafik olarak gösterilmese de önceki örneklere benzer olarak karmas¸ıklık yüksek sinyal gürültü oranlarında uzatılan bo˘gum sayısının iki katında sabit kalmaktadır. Optimal denkles¸tiricininki ise25 ol-maktadır.

S¸ekil 7, sabit es¸ik kullanan denkles¸tiricilerin bit hata oran-larını frekansa ba˘glı 8 kademeli kanal için göstermektedir. Bu sistem için karmas¸ıklık S¸ekil 8’de gösterilmektedir. Tabloya bas¸vurma yönteminde oldu˘gu gibi ikiz yı˘gıt kul-lanmak tek yı˘gıt kullanmaya göre daha düs¸ük bit hata oranı sa˘glamakta ve optimal denkles¸tiricinin bas¸arımına yaklas¸tırmaktadır. Karmas¸ıklı˘gın bütün SGO de˘gerleri için

op-0 2 4 6 8 10 12 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Sinyal Gürültü Orani (dB)

Bit Hata Orani

ikiz yigit, tablo, 5 dongu tek yigit, tablo, 5 dongu optimal denklestirici, 5 dongu

S¸ekil 4: Döngülü alıcıda tabloya bas¸vurularak kullanılan tek ve ikiz yı˘gıt denkles¸tiricilerinin bit hata bas¸arımları, L= 6.

0 2 4 6 8 10 100 101 102 103 Sinyal Gürültü Orani (dB) KARMASIKLK

ikiz yigit, tablo tek yigit, tablo optimal denklestirici

S¸ekil 5: Döngülü alıcıda tabloya bas¸vurularak kullanılan tek ve ikiz yı˘gıt denkles¸tiricilerinin hesaplama karmas¸ıklı˘gı, L= 6.

timal denkles¸tirici karmas¸ıklı˘gına göre oldukça düs¸ük olması bu yöntemle mümkün olabilmektedir.

Yukarıda gösterilen benzetim sonuçlarına benzer sonuçlar farklı kanal ve kodlama durumları için de elde edilmis¸ ve önerilen tekniklerle karmas¸ıklı˘gı biraz artırarak (hala kanal uzunlu˘gundan ba˘gımsız) optimal denkles¸tirici bas¸arımına yaklas¸manın mümkün oldu˘gu gözlenmis¸tir. Yeni denkles¸tiricinin bas¸arım aras¸tırması devam etmektedir.

¨

Orne˘gin, uzay zaman kodlanmıs¸, c¸oklu anten sistemlerinde kanal durum bilgisinin m¨ukemmel olmadı˘gı ve sembol sayısının 2’den fazla olaca˘gı durumlarda da karmas¸ıklık ve hata oranları merak edilmektedir.

5. Sonuc¸

Bu bildiride, d¨us¸¨uk karmas¸ıklı˘ga sahip de˘gis¸tirilmis¸ yı˘gıt denkles¸tiricisinin bas¸arımı kodlanmıs¸ ve kodlanmamıs¸ tek

(4)

0 2 4 6 8 10 12 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Sinyal Gürültü Orani (dB)

Bit Hata Orani

tek yigit, tablo, 1 bogum tek yigit, tablo, 2 bogum tek yigit, tablo, 3 bogum optimal

tek yigit, tablo, 6 bogum

S¸ekil 6: Tabloya bas¸vurularak kullanılan de˘gis¸tirilmis¸ tek yı˘gıt denkles¸tiricisinin c¸ok bo˘gum kullanılması ile elde edilen bit hata oranları, L= 6.

antenli sistemler için sunulmus¸tur. Tabloya bas¸vurma ve sabit es¸ik kullanımı yöntemleri ile frekansa ba˘glı sönümlemeli kanallar üzerinde de karmas¸ıklı˘gın düs¸ük ol-ması sa˘glanan denkles¸tiricinin bit hata bas¸arım oranının op-timal denkles¸tiricisininkine yaklas¸tırılabilece˘gi gösterilmis¸tir.

¨

Onerilen de˘gis¸tirilmis¸ ikiz yı˘gıt kullanımı ve tek yı˘gıttan çok bo˘gum uzatma ile bas¸arım artırılırken, karmas¸ıklık yüksek sinyal gürültü oranlarında kanal uzunlu˘gundan ba˘gımsız kalmaktadır.

6. Kaynakc¸a

[1] J. G. Proakis, “Digital Communications,” McGraw-Hill

Inc., 4th edition, 2000.

[2] L. Bahl and J. Cocke and F. Jelinek and J. Raviv, “Optimal decoding of linear codes for minimizing symbol error rate,”

IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-20, pp.

284-287, March 1974.

[3] J. M. Wozencraft and B. Reiffen, “Sequential Decoding,”

MIT Press Cambridge, Mass., 1961.

[4] R. M. Fano, “A heuristic discussion of probabilistic decod-ing,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-9, pp. 64-74, Jan. 1963.

[5] K. Zigangirov, “Some sequential decoding procedures,”

Prob. Peredach. Inform., vol. 2, no. 4, pp. 13-15, 1966.

[6] F. Jelinek, “A fast sequential decoding algorithm using a stack,” IBM J. Res. Develop., vol. 13, pp. 675-685, 1969. [7] F. Xiong and A. Zerik and E. Shwedyk, “Sequential

se-quence estimation for channels with intersymbol interfer-ence of finite or infinite length,” IEEE Transactions on

Communications, vol. 38, no. 6, pp. 795-804, June 1990.

[8] D. Bauer and R. Rupprecht, “Sequential decoding algo-rithms for detection of severely distorted data signals,”

8th European Conference on Electrotechnics, pp. 114-117,

June 1988. 0 2 4 6 8 10 12 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Sinyal Gürültü Orani (dB)

Bit Hata Orani

optimal ikiz yigit, B=2 ikiz yigit, B=3 tek yigit, B=3

S¸ekil 7: Sabit es¸ik kullanılarak de˘gis¸tirilmis¸ ikiz yı˘gıt denkles¸tiricisi ic¸in bit hata bas¸arımları, L= 8.

0 2 4 6 8 10 12 100 101 102 103 Sinyal Gürültü Orani (dB) KARMASIKLIK ikiz yigit, B=2 ikiz yigit, B=3 tek yigit, B=3 optimal

S¸ekil 8: Sabit es¸ik kullanılarak de˘gis¸tirilmis¸ ikiz yı˘gıt denkles¸tiricisi ic¸in gerekli hesaplama karmas¸ıklı˘gı, L= 8.

[9] R. Sivasankaran, S. W. McLaughlin, “Twin-stack decoding of recursive systematic convolutional codes,” IEEE

Trans-actions on Communications, vol. 49, no. 7, pp. 1158-1167,

July 2001.

[10] C. Weiss, S. Riedel, J. Hagenauer, “Sequential decoding using a priori information,” Electronics Letters, vol. 32, no. 13, pp. 1190-1191, June 1996.

[11] R. Sivasankaran, S. W. McLaughlin, L. L. McPheters, “Sequential turbo decoding for PR-equalized magnetic recording channels,” IEEE Transactions on Magnetics, vol. 36, no. 5, pp. 2179-2182, Sept. 2000.

[12] T. Gucluoglu, T. M. Duman, “Soft input soft output stack equalization for MIMO frequency selective fading chan-nels,” IEEE International Conference on Communications, vol. 1, pp. 510 - 514, May 2005.