İNTEGRAL UYGULAMALARI 01

A a b





b a

f

x

dx

A

(

)







b a

f

x

dx

A

(

)

a _A b a b A₁ A₂











b a c b

f

x

dx

dx

x

f

A

(

)

(

)

R

b

a

f

:

[

,

]



tanımlı ve bu aralıkta sürekli olmak koşuluyla;



b

a

dx

x

f

(

)

İntegralinin değerine x=a dan x=b ye kadar f(x) eğrisi ve x _{ekseni arasındaki alan denir.}

f(x) in grafiği y-ekseni y=m ve y=n doğrularıyla sınırlı bölgenin alanı m n A





n

m

xdy

A

NOT:



 6

3

f

(

x

)

dx

a) Yukarıda verilen f(x) fonksiyonuna göre

integralinin değeri nedir? Denildiğinde alanların cebirsel toplamı yapılır.



     6

3 f ( dxx9 5 20 15

b)|-3,6| aralığında f(x) ve x ekseni arasındaki taralı alan nedir? denildiğinde ise mutlak değerce toplamı yapılır.

2 6 3

f

(

x

)

dx





5



20



25

br



 -3 _3br2 6 20br2

ÖRNEK1 :x+2 doğrusu x=-1, x=2 doğruları ve x-ekseni arasında kalan alankaç br2dir?

ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de çözülebilir.

2 2 2 1 2 1 2 1 2

2

15

2

2

1

2

*

2

2

2

2

2

)

2

(

)

(

br

x

x

dx

x

dx

x

f

A













 

































  _ y=x+2 x -2 2 -1 2 y

ÖRNEK2: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz. ÇÖZÜM: -2 2 2

   

2 3 3 2 2 2 2 3 2

3

16

3

4

4

3

4

4

6

2

2

*

2

6

2

2

*

2

3

*

2

1

2

2

2

br

x

x

dx

x

A























_











































 



Şekillerde görüldüğü gibi taralı alan;



f

x

g

x



dx

dir

A

b a

(

)

(

)

'







a b f(x) g(x) 1) f(x) g(x) a b g(x) f(x) g(x) a b f(x)

2) İki eğri arasında kalan alan şekildeki gibi ise f(x) a b c g(x)







c a

f

x

g

x

dx

A

(

)

(

)





















b a c b

f

x

g

x

dx

dx

x

f

x

g

(

)

(

)

(

)

(

)

ÖRNEK3: y=x2 eğrisi ile y=x+2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?

ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir.

y=x2 _{, y=x+2} x2_=x+2 x2_-x-2=0 (x+1) (x+2)=0 x=-1 , x=2 y=x+2 y=x2 x -2 2 2 -1 y







  b a f x g x dx den A ( ) ( ) ' 2 2 1 2 1 3 2 2 9 1 5 3 1 3 8 2 1 2 6 3 1 2 2 1 3 8 4 2 3 2 2 ) 2 ( br x x x dx x x A               _{ }        _{ }         



ÖRNEK4: y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir? ÇÖZÜM: y=x-6 y2=_x 3 -2 x y y2_=y+6 y2_-y-6=0 (y+2) (y-3)=0 y=-2 , y=3

Şekilden de anlaşılacağı gibi y ekseni arasında kalan alanı bulmalıyız.





dir

br

y

y

y

dy

y

y

A

'

6

125

6

11

19

3

8

2

9

19

3

8

10

9

2

9

3

8

12

2

4

3

27

18

2

9

3

6

2

6

2 3 2 3 2 3 2 2

































_

_















_

_















 



ÖRNEK5: f(x)=x2-x, g(x)=3x-x2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM: iki eğriyi ortak çözüp integral sınırlarını bulalım.

f(x)=g(x) x2_-x=3x-x2 _{ise 2x}2_{-4x=0 x=0, x=2 dir.}

























2 0 2 0 2 2

3

)

(

)

(

x

f

x

dx

x

x

x

x

dx

g

A















2 0 2 0 3 2 2

3

2

2

4

2

4

x

x

dx

x

x

A

.

'

3

8

3

16

8

0

3

8

*

2

4

*

2

_

_

_

_

_

_br

2

_dir











_



ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki

gibidir. Buna göre; ve

ise değeri nedir?



c



a

f

(

x

)

dx

10



c  a f (x)dx 18



c b

f

(

x

)

dx

'

in

_a b c f(x) ÇÖZÜM:

ise üstteki pozitif alan ile alttaki negatif alanın toplamıdır.



c 

a f (x) dx 18 şekildeki taralı alanların toplamıdır.



c  a f (x)dx 10



b  a f (x)dx A



 c b f (x)dx B (B<0) dersek,

















c a c a

B

A

dx

x

f

B

A

dx

x

f

10

)

(

18

)

(

4

14

10

18















B

A

B

A

B

A



c





b

f

(

x

)

dx

4

Yani; bulunur.

ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu,

x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan taralı alan kaç br2_dir?

y=x2_+2x 2 -2 x y













2 2 0 2 3 0 2 2 3 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1 2

8

3

24

3

20

3

4

0

4

3

8

4

3

8

0

3

3

2

2

2

)

(

br

x

x

x

x

A

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

x

A

A

dx

x

f

































 



























_

_























































   









ÇÖZÜM:

Y=f(x) denklemi ile temsil edilen eğrinin [a,b] aralığına ait

parçanın Ox ekseni etrafından döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi :









b

a

b

a

x

f

x

dx

y

dx

V



(

)

2



2

x y=f(x) y b a

1.

2.

Aynı şekilde y=f(x) denklemi ile temsil edilen [c,d]

aralığına ait parçanın Oy ekseni etrafında

döndürülmesi ile meydana getirilen cismin hacmi:









c

c

d

c

y

f

y

dy

x

dy

V



(

)

2



2

d a b c x y y=f(x) f(a)=c f(b)=d

3.

b a y x f(x)

g(x) _{İki eğri arasında kalan alanın Ox}

ekseni etrafında 360 derece döndürülmesinden elde edilen şeklin hacmi:







b

a

x

f

x

g

x

dx

V



[

(

)

2

(

)

2

]

Örnek 1:

y=x2 eğrisi ile x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 _dür?

3 2 0 5 2 0 4 2 0 2

5

32

5

br

x

dx

x

dx

y

V

_x





















dür.

x=2 x y y=x2

Çözüm:

Örnek 2:

y=ex eğrisi ve x=1 doğrusu ve eksenler arasında kalan bölgenin Ox

ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 _dür?

Çözüm:

y=ex 1 x y

 



2



3 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 1 0 2

1

2

2

2

2

e

e

e

e

br

dx

e

dx

e

dx

y

V

x x x X





































Örnek3:

Çözüm:

y=cosx eğrisinin x=0, x=л doğruları ve x ekseni arasında kalan alanın yine ox ekseni etrafında döndürülmesinden meydana gelen cismin hacmi kaç br3_’tür?

y=cosx

/2 

0 y

x

0 ve /2arasındaki alan, /2 ile  arasında kalan alana eşit olduğundan x ekseni etrafında dönmesinden oluşacak hacimlerde eşit olacağından;

























2 0 2 0 2 0 2 2 0 2

1

2

cos

2

1

2

cos

2

cos

2

2

   









dx

x

dx

x

xdx

dx

y

V

_x

 

3 2 2 0

2

2

0

2

2

1

*

2

2

sin

2

2

1

*

2

sin

br

x

















































_















_



Örnek4:

Çözüm:

f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler

arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3_’tür?

Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir. Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.

-3/2 3/2 x y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3 m=f-1_(x)=-4 x=1 için f(1)=2 A(1,2) Teğetin denklemi: y-y₁=m(x-x₁) y-2=-4(x-1) y=-4x+6

1. Yol:

Şekil konidir. Koninin hacminden; 3 2 2

2

9

3

*

4

6

*

9

*

3

6

*

2

3

*

3

*

*

br

h

r

V









_



_





_



_

_



2.Yol:





 





3 3 3 2 3 6 0 2 3 6 0 2 6 0 6 0 2 2

9

72

*

6

6

72

16

0

6

*

36

6

*

6

3

6

16

36

2

12

3

16

36

12

16

4

6

br

y

y

y

dy

y

y

dy

y

dy

x

V

_y

































































































Örnek5:

İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.

Çözüm:

Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım.

A(0,r) B(h,0) y x

A (0 , r) = (x

₁

, y

₁

) , B = (h , 0) =

(x

₂

, y

₂

)

(x-x

₁

) * (y

₂

-y

₁

) = (x

₂

-x

₁

) * (y-y

₁

)

(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)

Buna göre;

 

3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2

3

*

*

3

0

3

*

*

3

*

2

*

2

*

*

*

*

2

*

br

h

r

V

h

r

h

r

h

r

h

h

r

h

h

r

h

r

x

h

r

x

h

r

x

r

dx

h

r

x

h

r

x

r

dx

h

r

x

r

V

x h h h x















































































































 







1 )

y=x

2

-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan

alan kaç br

2

_’dir?

E)

3/2

ÇÖZÜM:

_A=A1+A2 y=x2_-2x y x 3 2









2 3 2 2 3 2 0 2 3 2 0 3 2 2 2

3

8

3

4

0

3

4

4

3

8

9

3

27

0

4

3

8

2

2

3

2

2

3

2

2

br

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

A



















 















_



























 





















































2)

y=x

3

eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan

kaç br

2

_’dir?

E )

A )

4

B)

₂

C )

3

₄

D )

₃

3

₄

4

4

3

ÇÖZÜM:

-1 y=3 y=x3_-1









2 3 3 4 3 4 3 4 3 1 3 4 4 3 1 3 1 3 2 2 3 3 1 3 1 3

4

3

4

*

4

3

)

1

1

(

1

3

4

3

1

4

3

4

3

3

3

*

*

3

1

1

br

y

t

dt

t

dt

t

t

A

dy

dt

t

y

t

dy

y

xdy

A



















_



























    









3)

y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan

düzlemsel bölgenin alanı kaç br

2

_’dir?

E)

5/2

e 1 y=lnx y x



 



2 1 1

1

1

0

)

(

1

1

ln

*

1

ln

*

ln

*

*

*

ln

ln

br

e

e

e

e

e

x

x

x

x

dx

x

x

x

xdx

A

e e

































x

u ln



du



dx

_x

_dv



_dx

v



x





e

xdx

A

1

ln

CEVAP B

ÇÖZÜM:

4)

y=2-x

2

ile y=x

2

eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br

2

’dir?

E)

8/3

ÇÖZÜM:

-1 1 1 y=x2 y=2-x2 y=x2 y=2-x2 x2_=2-x2 2x2_{=2 ise x}2₌₁ x=1, x=-1









 

 

2 3 3 1 1 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 1 2

3

8

3

4

3

4

3

4

3

4

3

2

2

3

2

2

3

1

*

2

1

*

2

3

1

*

2

1

*

2

3

2

2

2

2

2

)

(

br

x

x

dx

x

dx

x

x

dx

y

y

A



































_

_



















_









































   







CEVAP E

5 )

f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve

f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br

2

’dir?

E)

(e-2)/2

ÇÖZÜM:

Önce teğetin denklemi bulunur.

f(x) = lnx A(e,1)

f´(x)=1/x ise m=1/e dir

y-y

₁

=m(x-x

₁

)

y-1=1/e(x-e)

y=x/e-1+1 y=x/e

T y=lnx 0 1 e 1

2

1

1

ln

*

ln

2

1

*

*

2

1

1 1























e

e

A

x

x

x

xdx

S

e

e

A

e e üçgen

CEVAP E

6 )

f(x)=x

2

_{parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan}

düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360

 döndürülmesi ile

oluşan cismin hacmi nedir?

E)



A )

/15

B)

2/15

C )

1/15

D)

15/

A )

/15

B)

2/15

C )

1/15

D)

15/

ÇÖZÜM:

f(x) =g(x)

 x

2

_=x

 x=0 veya x=1

 

 









3

1

0

5

3

1

0

4

2

1

0

2

2

15

2

5

1

3

1

5

1

3

1

*

br

x

x

dx

x

x

dx

x

f

x

g

V























 















_















1 f(x) =x2 g(x) = x

7 )

y=x

2

parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan

bölgenin Oy eksen etrafında 360

 döndürülmesi ile elde

edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.

E)

/3 br

3

2 _y=2

y= x

ÇÖZÜM: y = x2  x = y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:

3

2

0

2

2

0

2

2

0

2

4

2

*

*

*

*

br

y

dy

y

dy

y

V





















8 )

x

2

_+(y-3)

2

_{=4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni}

etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?

E)

/2 br

3

3 1 5 y=(4-x2)+3 -2 2

ÇÖZÜM:

M(0,3) r=2

Oluşacak şekil küre

olduğundan

Kürenin hacmi ile de

çözülebilir.

Vy=4/3

 br

3

=4/3

*8

32/3

 br

3

9 )

y= x

2

_{eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde}

edilen cismin hacmi kaç br

3

_’tür?

E)

/256 br

3

ÇÖZÜM:

x

2

_{=y x}

2

_{=4 x=2 , x=-2}

y

₂

=x

2

y

₁

=4

-2

₂









3 2 2 4 2 2 2 2 2 1

5

256

16

*

*

br

dx

x

dx

y

y

V

_x





 

















CEVAP D