Bulanık Mantık İle Fonksiyon Tanımlama

(1)

SAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 1 (1998) 21-24

BULANlK MANTlK İLE FONKSiYON TANIMLAMA

Musa ALCI Turgay

ETÇİBAŞI

SA Ü. Mühendislik Fakültesi Elek-Elektronik Mühendisliği Bölümü

ÖZET

: Bulanık Mantık Sistemlerinin fonksiyon

tanımlama özelliği bilinmektedir. Bu çalışmada bir sinüs fonksiyonunun giriş/çıkış bilgisine karşı düşen Bulanık Mantık Sistemi iki ayrı durolayıcı ile gerçeklenmiştir. Sonuçlar sistem modellernesi açısından karşılaştınlmıştır.

ı.

GİRİŞ

g(x) : U c Rn � R olmak üzere, fonksiyon taıumlaınada üç durunıla karşılaşılmaktadır.

ı.

g(x)

in analitik ifadesi bilinmiyor.

2.

g(x)

in analitik ifadesi bilinmiyor. Ancak herhangi bir x E U değerleri için

g( x)

değerleri biliniyor. Bu durum şekii l .de gösterilmiştir.

1

BULANIK

X ----.t _{f---+• y}

SİSTEM : f(x) Şekil I.

3.

g( x)

analitik olarak bilinmiyor. Sınırlı sayıda giriş/çıkış bilgisi var.

(xl,g(x1)) x1

EV eşit aralıklı değil.

Burada 2. ve 3. Duruma karşı düşen problemlerle gerçek hayalta daha çok karşılaşmaktayız. Yapılan çalışmada g(x) in analitik ifadesinin bilinmediği ve

x

E U olmak üzere giriş/çıkış çiftlerinin

(x,g(x))

bilindiği durum göz önüne alınacaktır.

II. ÜYELİK FONKSİYONLARININ

TANIMLANMASI

Üyelik fonksiyonlan değişik şekillerde tanımlanabilir. En yaygın olanlan ; üçgen, Gauss, yarnuk tipi üyelik

fonksiyonlandır. Şekil 2'de sırası ile; üçgen, Gauss ve yaınuk tipi üyelik fonksiyonlan gösterilmiştir.

J.lA(x) ,---,---,---.---. ---,--- ---r ---1 1 1

0.8 ---

_{--- ... ---- - -}

_:

- --- t---1 1 1

0.6

---ı ---ı- - ----t---- - - ·-1 1 ı ı

0.4

______ _, __ ----1---- - -�---ı ı

0.2

_ _____ _ı _______ ı _______ L ___ - - -1 1

Şekil 2.a Üçgen üyelik fonksiyonu

ı ı _ı ----�---�---- ---- �--- -�----1 ı

0.8

----� ---�---- �- -- �----+----1 J ı ı t

0.6 :

:

ı

:

ı

ı ı ı ı ı 02 ____ L___ ı ____ ı ___ _ ı ı ı ı ı ı 1 J ı ı

04

f

----�---�- --�---

�

----

�----

i

0

_ı _ı _ı _ı ₁ _X c

Şekil 2.b Gauss üyelik fonksiyonu

(2)

Bulanık Mantık ile Fonksiyon Tanımlama f-l A (X) :--�---,---r--·-,--. , 1 1 1

l

-

- -

;_

--- - _,_: ---ı-

-

-- - T -

-

--0.8

i

ı ı --- --ı----ı 0.6

-

----�-- -

�

- - - --�--- --

+

-

---1 ı ı ı a

Şekil 2.c Yamuk üyelik fonksiyonu

Üçgen üyelik fonksiyonu ;

ı mı=

---(abs)(a-c) ı mı= ---(abs)(b- c)

x E[a,c)

xE(c,b]

(1) (2) (3)

Bu çalışınada sadece üçgen üyelik fonksiyonları kullanılmıştır. Bu nedeille diğerlerinin ifadelerine yer verilmemiştir. Genel olarak üçgen üyelik fonksiyonu

f.iA (x) = f(x;a,b,c) şeklinde ifade edilebilir.

ID.

BULANlK SİSTEM TASARIMI

Bulanık sistem tasanmı üç adıında gerçeklenmiştir. Bunlar sırası ile verilecektir.

Adım

ı: [

a

,

fJ

]

aralığında N adet fuzzy set

A

ı, A 2 ,

... , AN

tanımlanır. Bu üyelik

fonksiyon1annın; normal

(rnax(JlA (x))

=

1),

sıralı

( A

ı < A 2 < ... <

AN

) ve tüm uzayı taraması

gerekınektedir [ı].

Adım 2: M kural sayısı olmak üzere M=N adet yani

fuzzy set sayısı kadar fuzzy IF-TREN kuralı tanımlaıur.

i =

1,2,

... , N dir. Tanımlanan bulanık sistemde

(4)

B'

nin merkezi, yani maksimum olduğu nokta

-,

_y ile

gösterilecektir. ei i. üyelik fonksiyonunun merkezini -i

göstermek üzere

y

=

g(e1)

olacak şekilde seçilir.

ı

N

e =aı. e =aNve . _ı .

el

=-(bl

+c1),j=2,3,

... ,N-l

2

(5)

Adım 3: N adet kuraldan fuzzy sistemi;

Çarpımsal

sonuç

çıkarına (product infrence engine) ve tekil bulandıncı (singleton fuzzifier) kullanarak f(x) oluşturulur. Durolayıcı olarak,

a) Ağırlıklı ortalama durulayıcı (Center average defuzzifier)

b) Maksimum durolayıcı (Maxsimum

defuzzifier) kullanılacaktır.

Burada tekil bularuk değer (fuzzy singleton)

A'

E U olmak üzere

{ *

l X= X f.iA (x) = _•

Ü X -:1:- X (6)

•

şeklinde tanımlanır (2]. x ölçülen değeri temsil

etmektedir.

(7) •

ilişkisi Ux V de tanımlı iken x = x girişi ıçın

çarpıınsal sonuç çıkarma ile çıkış,

M N •

f-Ls·(Y)

= max[TI ;.ıAt(xi

),uBt(y)]

i= ı 1 =ı 1 ifadesi ile verilir [3].

N

TI

_J1_A_l

₍

_X

_{i* )}

i= ı ' dersek (8) (9) 22

(3)

M.Aicı, T.Etçibaşı

J.l.s·

(y)

=

f.JA (x);.ıs (y)

(lO)

olur. Ağırlıklı ortalam a durıılayıcı ile bu1anık sistem

çıkışı, N -J

� y f.JAJ(x)

j (X)

= ..;;_} ...,=

�:-:---olur [5].

� ;.ı Ai (x)

j=l (ll)

Maksimum durıılayıcı kullamldığınd a bu1amk sistem çıkışı, -k

f(x)

= y k E

{1,2,

..

.

,M}

öyle ki N N

n J.iAk (xi) �n

f..LA1

i= ı ' i= ı '

l E

{1,2,

.

...

,M}

olur.

IV.

ÖRNEK SİSTEM TASARIMI

(12)

(13)

U= [ -3,3]

aralığında

g(x)

= sin

(

x

)

fonksiyonunu

Bulamk sistem ile gerçekleyelim.

U= [ -3,3]

aralığında 0.2 aralıkla 31 a det üçgen üyelik fonksiyonu tanırnlannuştır. j=l için, J.1 ı

(x)

= J.1 ı (x;-3,-3,-2.8) A A j=2 için, f-l 2

(x) =

f-l 2 (x;-3,2.8,2.6) A A j=31 için, f-l 3ı

(x)

= f-l 31 (x;2.8,3,3) A A ve genel olarak. (14)

j

= 2,3, .... ,30 olmak üzere ej = -3 +01 *(j-1)

şeklinde ifade edilebilir.

Eşitlik (l l)'e göre tanımlanan Bulanık sistem çıkışı

,

ağırlıklı ortalama durulayıci kullanıldığında

olur. 3ı .

L: sin(e1 )J.J

AJ

(x)

f(x)

= J=I 31 _.

L.J.JA1(x)

· J=l (15)

Matiab'da yazılan pogramda öncelikle üyelik

fonksiyonlan tanıtılıruş, ardından eşitlik (15) ve (12) ile

tanımlanan bulamk sistemler oluşturulmuştur [6].

Tarurnlanan üyelik fonksiyonu ve bulanık sistem

çıkışlan aşağıdaki şekillerde aynntılı olarak verilmiştir. Şekil 3. 'e karmaşıklıktan kaçınmak için tüm üyelik

fonksiyonlan gösterilmemiştir.

Şekil 4. 'de ve Şekil 5 . 'de gerçek fonksiyon değerleri ve bu1aruk fonksiyon çıkışlan karşılaştırma açısından ayın

grafik üzerinde her iki durolayıcı için ayrı, ayrı verilmiştir. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o -3 -2 -1 o

Şekil 3.Üyelik Fonksiyonlan

2 3

(4)

Bulanık Mantık ile Fonksiyon Tanımıama 0.8 0.6 0.4 0.2 o -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

Şekil 4. Ağırlıklı ortalama durolayıcı ile f(x) ve g(x)=sin(x) grafıkleri.

O : verilen değer -: hesaplanan değer

Şekil 5. Maksimwn durolayıcı ile f(x) ve g(x)=siıı(x) grafikleri.

V.SONUÇ

Yapılan çalışmada, tasarlanan örnek istem üzerinde de görüleceği gibi ağırlıklı ortalama durulayıcısının fonksiyonu istenen hassasiyetle yeterli üyelik fonksiyonu ile tanırolayabildiği gösterilmiştir. Sonuç olarak kontrol sistemlerinde ve sistem tanımlama problemlerinde her

iki yöntem de kullanılabilir. Ancak maksimum durolayıcı daha çok yerel modeli temsil etmektedir.

VI. KAYNAKLAR

11] Li-Xin Wang,"Stable Adaptive Fuzzy Control of

Nonlİnear Systems", IEEE Trans. On Fuzzy Systems,

Vol.l, No.2, May 1993

[2} Timothy J.Ross, Fuzzy Logic With Engineering Applications, Mc.Graw Hill, 1995_

[3} Li-Xin Wang, A Course in Fuzzy Systems and

Control, Prentice-Hall, 1997.

[4] Chuen Chien Lee, "Fuzzy Ligic in Control Systems:

Fuzzy Controller Part ll ", IEEE Trans. On Sys. Man and Cbemetics, Vol.20, No.23, March 1990.

[5] Li-Xin Wang, Adaptive Fuzzy System and ControL

Prentice-Hall, 1994.

[6} Katsuhiko Ogata, Solving Control Engineering Problems with Matlab, Prentice-HalL 1994.