SAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 1 (1998) 21-24
BULANlK MANTlK İLE FONKSiYON TANIMLAMA
Musa ALCI Turgay
ETÇİBAŞI
SA Ü. Mühendislik Fakültesi Elek-Elektronik Mühendisliği Bölümü
ÖZET
: Bulanık Mantık Sistemlerinin fonksiyontanımlama özelliği bilinmektedir. Bu çalışmada bir sinüs fonksiyonunun giriş/çıkış bilgisine karşı düşen Bulanık Mantık Sistemi iki ayrı durolayıcı ile gerçeklenmiştir. Sonuçlar sistem modellernesi açısından karşılaştınlmıştır.
ı.
GİRİŞ
g(x) : U c Rn � R olmak üzere, fonksiyon taıumlaınada üç durunıla karşılaşılmaktadır.
ı.
g(x)
in analitik ifadesi bilinmiyor.2.
g(x)
in analitik ifadesi bilinmiyor. Ancak herhangi bir x E U değerleri içing( x)
değerleri biliniyor. Bu durum şekii l .de gösterilmiştir.1
BULANIKX ----.t f---+• y
SİSTEM : f(x) Şekil I.
3.
g( x)
analitik olarak bilinmiyor. Sınırlı sayıda giriş/çıkış bilgisi var.(xl,g(x1)) x1
EV eşit aralıklı değil.Burada 2. ve 3. Duruma karşı düşen problemlerle gerçek hayalta daha çok karşılaşmaktayız. Yapılan çalışmada g(x) in analitik ifadesinin bilinmediği ve
x
E U olmak üzere giriş/çıkış çiftlerinin(x,g(x))
bilindiği durum göz önüne alınacaktır.II. ÜYELİK FONKSİYONLARININ
TANIMLANMASI
Üyelik fonksiyonlan değişik şekillerde tanımlanabilir. En yaygın olanlan ; üçgen, Gauss, yarnuk tipi üyelik
fonksiyonlandır. Şekil 2'de sırası ile; üçgen, Gauss ve yaınuk tipi üyelik fonksiyonlan gösterilmiştir.
J.lA(x) ,---,---,---.---. ---,--- ---r ---1 1 1
0.8 ---
--- ... ---- - -:
- --- t---1 1 10.6
---ı ---ı- - ----t---- - - ·-1 1 ı ı0.4
______ _, __ ----1---- - -�---ı ı0.2
_ _____ _ı _______ ı _______ L ___ - - -1 1Şekil 2.a Üçgen üyelik fonksiyonu
ı ı ı ----�---�---- ---- �--- -�----1 ı
0.8
----� ---�---- �- -- �----+----1 J ı ı t0.6
:
:
ı:
:
ı
ı ı ı ı ı 02 ____ L___ ı ____ ı ___ _ ı ı ı ı ı ı 1 J ı ı04
f
----�---�- --�---
�
----
�----
i
0
ı ı ı ı 1 X cŞekil 2.b Gauss üyelik fonksiyonu
Bulanık Mantık ile Fonksiyon Tanımlama f-l A (X) :--�---,---r--·-,--. , 1 1 1
l
-
- -
- -
;_
--- - _,_: ---ı--
-- - T --
-
--0.8i
ı ı --- --ı----ı 0.6-
----�-- -�
- - - --�--- --+
--
---1 ı ı ı aŞekil 2.c Yamuk üyelik fonksiyonu
Üçgen üyelik fonksiyonu ;
ı mı=
---(abs)(a-c) ı mı= ---(abs)(b- c)x E[a,c)
xE(c,b]
(1) (2) (3)Bu çalışınada sadece üçgen üyelik fonksiyonları kullanılmıştır. Bu nedeille diğerlerinin ifadelerine yer verilmemiştir. Genel olarak üçgen üyelik fonksiyonu
f.iA (x) = f(x;a,b,c) şeklinde ifade edilebilir.
ID.
BULANlK SİSTEM TASARIMI
Bulanık sistem tasanmı üç adıında gerçeklenmiştir. Bunlar sırası ile verilecektir.
Adım
ı: [
a,
fJ]
aralığında N adet fuzzy setA
ı, A 2 ,... , AN
tanımlanır. Bu üyelikfonksiyon1annın; normal
(rnax(JlA (x))
=1),
sıralı( A
ı < A 2 < ... <AN
) ve tüm uzayı taramasıgerekınektedir [ı].
Adım 2: M kural sayısı olmak üzere M=N adet yani
fuzzy set sayısı kadar fuzzy IF-TREN kuralı tanımlaıur.
i =
1,2,
... , N dir. Tanımlanan bulanık sistemde(4)
B'
nin merkezi, yani maksimum olduğu nokta
-,
y ilegösterilecektir. ei i. üyelik fonksiyonunun merkezini -i
göstermek üzere
y
=g(e1)
olacak şekilde seçilir.ı
N
e =aı. e =aNve . ı .el
=-(bl+c1),j=2,3,
... ,N-l2
(5)Adım 3: N adet kuraldan fuzzy sistemi;
Çarpımsal
sonuççıkarına (product infrence engine) ve tekil bulandıncı (singleton fuzzifier) kullanarak f(x) oluşturulur. Durolayıcı olarak,
a) Ağırlıklı ortalama durulayıcı (Center average defuzzifier)
b) Maksimum durolayıcı (Maxsimum
defuzzifier) kullanılacaktır.
Burada tekil bularuk değer (fuzzy singleton)
A'
E U olmak üzere{ *
l X= X f.iA (x) = •Ü X -:1:- X (6)
•
şeklinde tanımlanır (2]. x ölçülen değeri temsil
etmektedir.
(7) •
ilişkisi Ux V de tanımlı iken x = x girişi ıçın
çarpıınsal sonuç çıkarma ile çıkış,
M N •
f-Ls·(Y)
= max[TI ;.ıAt(xi),uBt(y)]
i= ı 1 =ı 1 ifadesi ile verilir [3].
N
TI
J1 A l(
Xi* )
i= ı ' dersek (8) (9) 22M.Aicı, T.Etçibaşı
J.l.s·
(y)
=f.JA (x);.ıs (y)
(lO)olur. Ağırlıklı ortalam a durıılayıcı ile bu1anık sistem
çıkışı, N -J
� y f.JAJ(x)
j (X)
= ..;;_} ...,= �:-:---olur [5].� ;.ı Ai (x)
j=l (ll)Maksimum durıılayıcı kullamldığınd a bu1amk sistem çıkışı, -k
f(x)
= y k E{1,2,
...
.,M}
öyle ki N Nn J.iAk (xi) �n
f..LA1i= ı ' i= ı '
l E
{1,2,
..
...,M}
olur.IV.
ÖRNEK SİSTEM TASARIMI
(12)
(13)
U= [ -3,3]
aralığındag(x)
= sin(
x)
fonksiyonunuBulamk sistem ile gerçekleyelim.
U= [ -3,3]
aralığında 0.2 aralıkla 31 a det üçgen üyelik fonksiyonu tanırnlannuştır. j=l için, J.1 ı(x)
= J.1 ı (x;-3,-3,-2.8) A A j=2 için, f-l 2(x) =
f-l 2 (x;-3,2.8,2.6) A A j=31 için, f-l 3ı(x)
= f-l 31 (x;2.8,3,3) A A ve genel olarak. (14)j
= 2,3, .... ,30 olmak üzere ej = -3 +01 *(j-1)şeklinde ifade edilebilir.
Eşitlik (l l)'e göre tanımlanan Bulanık sistem çıkışı
,
ağırlıklı ortalama durulayıci kullanıldığındaolur. 3ı .
L: sin(e1 )J.J
AJ(x)
f(x)
= J=I 31 .L.J.JA1(x)
· J=l (15)Matiab'da yazılan pogramda öncelikle üyelik
fonksiyonlan tanıtılıruş, ardından eşitlik (15) ve (12) ile
tanımlanan bulamk sistemler oluşturulmuştur [6].
Tarurnlanan üyelik fonksiyonu ve bulanık sistem
çıkışlan aşağıdaki şekillerde aynntılı olarak verilmiştir. Şekil 3. 'e karmaşıklıktan kaçınmak için tüm üyelik
fonksiyonlan gösterilmemiştir.
Şekil 4. 'de ve Şekil 5 . 'de gerçek fonksiyon değerleri ve bu1aruk fonksiyon çıkışlan karşılaştırma açısından ayın
grafik üzerinde her iki durolayıcı için ayrı, ayrı verilmiştir. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o -3 -2 -1 o
Şekil 3.Üyelik Fonksiyonlan
2 3
Bulanık Mantık ile Fonksiyon Tanımıama 0.8 0.6 0.4 0.2 o -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
Şekil 4. Ağırlıklı ortalama durolayıcı ile f(x) ve g(x)=sin(x) grafıkleri.
O : verilen değer -: hesaplanan değer
Şekil 5. Maksimwn durolayıcı ile f(x) ve g(x)=siıı(x) grafikleri.
V.SONUÇ
Yapılan çalışmada, tasarlanan örnek istem üzerinde de görüleceği gibi ağırlıklı ortalama durulayıcısının fonksiyonu istenen hassasiyetle yeterli üyelik fonksiyonu ile tanırolayabildiği gösterilmiştir. Sonuç olarak kontrol sistemlerinde ve sistem tanımlama problemlerinde her
iki yöntem de kullanılabilir. Ancak maksimum durolayıcı daha çok yerel modeli temsil etmektedir.
VI. KAYNAKLAR
11] Li-Xin Wang,"Stable Adaptive Fuzzy Control of
Nonlİnear Systems", IEEE Trans. On Fuzzy Systems,
Vol.l, No.2, May 1993
[2} Timothy J.Ross, Fuzzy Logic With Engineering Applications, Mc.Graw Hill, 1995_
[3} Li-Xin Wang, A Course in Fuzzy Systems and
Control, Prentice-Hall, 1997.
[4] Chuen Chien Lee, "Fuzzy Ligic in Control Systems:
Fuzzy Controller Part ll ", IEEE Trans. On Sys. Man and Cbemetics, Vol.20, No.23, March 1990.
[5] Li-Xin Wang, Adaptive Fuzzy System and ControL
Prentice-Hall, 1994.
[6} Katsuhiko Ogata, Solving Control Engineering Problems with Matlab, Prentice-HalL 1994.