Cebirsel Riccati denklemlerinin nümerik çözümleri

T.C.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK

ÇÖZÜMLERİ

DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

A.BURCU ÖZYURT SERİM

DANIŞMAN

PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM

T.C.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK

ÇÖZÜMLERİ

DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

A.BURCU ÖZYURT SERİM

DANIŞMAN

PROF. DR. MUSTAFA BAYRAM

T.C.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK

ÇÖZÜMLERİ

A. Burcu ÖZYURT SERİM tarafından hazırlanan tez çalışması 30.09.2011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Tez Danışmanı

Prof. Dr. Mustafa BAYRAM Yıldız Teknik Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. Mustafa BAYRAM

Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________

Prof. Dr. İrfan ŞİAP

Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________

Prof. Dr. Müfit GİRESUNLU

İstanbul Üniversitesi _____________________

Doç. Dr. Ünsal TEKİR

Marmara Üniversitesi _____________________

Doç. Dr. Fatih TAŞÇI

Önsöz

Bu tezde sistemler ve kontrol teori de önemli bir rol oynayan cebirsel Riccati denklemler incelenmiştir. Son zamanlarda kontrol problemleri altında tanımlanan modellerin karmaşıklığı Riccati denklemlerin önemini ortaya koymaktadır. Özellikle cebirsel denklemlerin matris formu biçiminde genelleştirilmesi, mühendislik alanında kontrol problemlerinin modellemesinde kolaylık sağlayan bir etken olduğu düşünülmektedir. Bunun sonucu olarak, son otuz yıl içinde bu denklem ile ilgili araştırmalardaki ilerleme net olarak gözlemlenebilmektedir.

Bunun yanında konrol probleminin çözümünü gerçekleştiren yeni nümerik yöntemler geliştirilmiştir. Daha çok büyük ölçekli sistemler için geliştirilen bu yöntemler daha küçük ölçekli sistemlere oranla uygulamada pek çok sıkıntıyı da beraberinde getirmektedir. Bu nedenle son yıllardaki araştırmalar büyük ölçekli problemler üzerine yoğunlaşmıştır. Ele alınan problemlerdeki matrislerin seyrek ya da yapılandırılmış matrisler olması nümerik yöntemlerde yeni uygulamalara imkan vermiştir

Bu yeni uygulamalar çerçevesinde, kontrol teoride ortaya çıkan kontrol edilebilirlik, gözlemlenebilirlik, kararlılık, erişilebilirlik, matris kalemi ve değişmez alt uzay gibi yeni tanımlar ile anlaşılması güç kavramlara açıklık getirilmiştir. Bu yönde yapılan araştırmalarda çok sayıda farklı nümerik çözümler ele alınmıştır ve Krylov alt uzayına dayalı Arnoldi yöntemi ile yapılan çözümler bunlardan biridir. Arnoldi yönteminin diğer yöntemlerle kıyaslandığında en önemli özelliği ise, çözüme daha kısa sürede ulaşması ve böylece zaman ve maliyet açısından belli ölçüde tasarruf sağlamasıdır. Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla bana yol gösteren, yönlendiren ve önerilerde bulunarak değerli zamanını benden esirgemeyen sayın Hocam Prof. Dr. Mustafa BAYRAM’ a ve desteğini benden esirgemeyen babam Prof. Dr. M. Sabri ÖZYURT ve eşime teşekkürü borç bilirim.

Temmuz, 2011

v

İÇİNDEKİLER

Sayfa SİMGE LİSTESİ...vii KISALTMA LİSTESİ...ix ŞEKİL LİSTESİ...x ÖZET...xi ABSTRACT ...xii BÖLÜM 1...1 GİRİŞ ...1 1.1. Literatür Özeti...1 1.2. Tezin Amacı ...3 1.3. Bulgular...3 BÖLÜM 2...5 MATRİSLERLE İLGİLİ ÖN BİLGİLER...5

2.1 Benzerlik ve Kompleks Jordan Form...5

2.2 Değişmez Altuzaylar ...14

2.3 İzdüşümler ve Değişmez Alt Uzaylar ...21

2.4 Reel Matrisler ve Kanonik Formlar ...24

2.5 İzdüşümler ve Değişmez Alt Uzaylar ...29

2.6 Düzenli Matris Kalemleri ...31

vi

BÖLÜM 3...43

CEBİRSEL RICCATI DENKLEMİ ...43

3.1. Cebirsel Riccati Denkleminin Çözümlerinin Sınıflandırılması...46

3.2. Hermit Çözümler ...48 3.3. Tek Çözümün Varlığı...49 3.4. Saf Çözümler ...58 3.5. Teoremlerin Sınıflandırılması...63 3.6. Çözümlerin Kardinalliği...72 3.7. Belirli Çözümler...74

3.8. Ekstrem Çözümlerin Varlığı...74

3.9. Sınıflandırma Teoremleri ...78

3.10. Kararlı Çözümler ...86

BÖLÜM 4...89

AYRIK CEBİRSEL RİCCATİ DENKLEMİ İÇİN GEOMETRİK BİLGİLER...89

4.1. Ön Hazırlık ...89

4.2. Hermit Çözümler Ve Değişmez Lagrangıan Alt Uzaylar ...91

4.3. Değişmez Alt Uzaylar Aracılığıyla Çözümlerin Açıklaması ...102

4.4. ’ Nin Pozitif Tanımlılığı Ve Hermitian Çözümlerin Varlığı...106

4.5. Kontrol Edilebilirlik Şartını Zayıflatma ...115

4.6. Genel Anlamda Ayrık Cebirsel Riccati Denklemi (DARE)...120

4.7. Reel Durum...127

BÖLÜM 5...131

ARNOLDİ METODU... 131

5.1. Arnoldi Metodu...131

5.2. Arnoldi Metodunun Özellikleri ...132

5.3. Arnoldiye Farklı Bir Bakış ...135

5.4. Arnoldi Algoritması ...136

5.5. Rasyonel Krylov Metotlar ...138

5.6. Kapalı Olarak Yeniden Başlatılan Arnoldi Metodu...138

5.7. Blok Arnoldi Metodu ...140

5.8. Blok Arnoldi İndirgemeleri ...140

5.9. Matris-Vektör Formunda Algoritma ...142

BÖLÜM 6...151

SONUÇ VE ÖNERİLER ... 151

KAYNAKLAR ...154

vii

SİMGE LİSTESİ

n

 n boyutlu reel uzay

n

 n boyutlu karmaşık uzay dim V V vektör uzayının boyutu



u,v



Vektörlerinin iç çarpımı

x x vektörünün normu ya da uzunluğu

F

x x vektörünün Frobenius normu

I Birim matris

 

ij

A a a_ij elemanlarından oluşan A matrisi

 

rank A

A

matrisinin rankı

trA

A

matrisinin izi

det A

A

matrisinin determinantı

1 A

A

matrisinin tersi T A

A

matrisinin transpozesi A

A

matrisinin konjugesi *

A

A

matrisinin konjuge transpozesi

A

A

blok matrisinin determinantı

 

A

A

matrisinin pincipal alt matrisi

 

Ker A

A

matrisinin çekirdeği

 

Im A

A

matrisinin A uzayının sanal kısmı

 

max A



A

matrisinin en büyük özdeğeri

 

max A



A

matrisinin en büyük singüler değeri 0

A 

A

matrisi pozitif tanımlıdır

AB A B pozitif tanımlıdır



1, 2, , n



diag     köşegeni  1, 2,,n den oluşan matris

A B A ve B matrislerinin Hadamardı

viii ( )

Ric A

A

matrisinin alt uzaylarının bir fonksiyonu

 

r

J  r r tipinde üst üçgensel Jordan blok matrisi

 

Inv A

A

matrisinin değişmez alt uzaylarının kümesi

ix

KISALTMA LİSTESİ

CARE Sürekli Cebirsel Riccati Denklemi DARE Ayrık Cebirsel Riccati Denklemi LQR Lineer Kuadratik Regülatör FOM Full Ortogonalleştirme Metodu

x

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa

Şekil 5.1 Arnoldinin matris gösterimi……….131 Şekil 5.2 Matlab programında yazılımı………...150

xi

ÖZET

CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK

ÇÖZÜMLERİ

A.Burcu ÖZYURT SERİM Matematik Anabilim Dalı

Doktora Tezi

Tez Danışmanı: Prof. Dr. Mustafa BAYRAM

Bu tez çalışmasında uygulamalı matematik ve mühendislik bilimlerinde kullanılan cebirsel Riccati denklemlerinin nümerik çözümleri incelenmiştir. Bu çalışmada verilen cebirsel Riccati denkleminin Arnoldi metodu ile çözümü incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: ARE, CARE, DARE, Arnoldi.

xii

ABSTRACT

NUMERICAL SOLUTIONS FOR ALGEBRAIC RICCATI

EQUATIONS

A.Burcu ÖZYURT SERİM

Department of Mathematics Ph. D. Thesis

Advisor: Prof. Dr. Mustafa BAYRAM

In this thesis the solutions of algebraic Riccati equation which are used in applied mathematics and engineering sciences are examined. The algebraic Riccati equation which is the subject of this research is examined by the Arnoldi method.

Keywords: ARE, CARE, DARE, Arnoldi.

YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE

1

BÖLÜM 1

GİRİŞ

1.1. Literatür Özeti

1950 li yıllardan günümüze kadar cebirsel Riccati denklemleri ile ilgili pek çok gelişme olmuştur. Bu nedenle çok sayıda araştırma yayını gerçekleşmiştir. Tarihsel olarak, Riccatti nin yaptığı çalışmalarının çoğunluğu diferansiyel denklemler üzerinedir. Spesifik olarak Riccati denklemleri değişen zaman ve sabit parametrelerle

2

xax bx c biçimindeki skaler denklemler çevresinde geliştirildi. Riccati denklemi ilk olarak m sabit olmak üzere

2 m

xax t (1.1)

2 2

xax tt (1.2) biçiminde yazılan diferensiyel denklemlerle ifade edilmiştir. Bu Riccati denkleminin ilk belgesi olarak kabul edilir. (1.1) ve (1.2) dışında birinci mertebeden birkaç denklemi,

, ve

m p q sabitler olmak üzere

2

p m

xt x t (1.3)

p q m

xt x t (1.4) olarak yazılır. Buradan görüldüğü gibi p 0 olduğunda (1.3) denklemi (1.1) denklemine eşittir ve (1.4) denklemi de q 2 özel durumu için (1.3) denklemine eşit olur. Ricatti’ yi bu denklemleri analiz etmeye yönlendiren sebeplerden biri de lineer diferensiyel denklemi sağlayan noktaları orijinle birleştiren doğrunun eğiminin özellikleri olmuştur. Böylece, Riccati yüzyıllar boyu mühendislik ve uygulamalı matematik alanlarında büyük öneme sahip olacak bir denklemi oluşturmuş olur.

2

Modern zamanda Riccati denkleminin önemi oldukça çok vurgulanmaktadır. Denklemin matris form içinde bir genellemesinin yapılması, modern mühendisliğin tasarım problemleri arasındaki filtreleme ve kontrol problemlerinde oldukça önemli bir rol oynar. Özellikle Kalman’ ın (1960a ve 1960b) filtreleme ve kontrol üzerine yaptığı ilk çalışmalar Riccati denklemleri arasında zayıf bir bağlantıyı kurma özelliğine sahiptir. Bu durum optimal filtre dizaynı ve kontrol teori problemleri için cebirsel Riccati denklemlerinin ve onların çözümleri ile bu problemlerin anlaşılmasını daha da kolaylaştırmıştır. Tüm bu gelişmelere paralel olarak son yıllarda bu denklemler etrafında araştırma faaliyetlerinde büyük ilerlemeler kaydedildi. Örneğin; Potter (1966) ve Kleiman (1968) makaleleri lineer cebirin rolünü ve nümerik methodlarla çözümünü ortaya çıkarmıştır. Wonham(1970) tarafından yazılan kavramsal teorinin birinci baskısı o zamanın başyapıtlarından biriydi ve hala sıklıkla referans gösterilmektedir. Sürekli cebirsel Riccati denklemlerinin çözümlerinin özelliklerinin çok kapsamlı analizleri Willems ve Coppel tarafından [27] ve [5] de verilmiştir. Rasyonel matris fonksiyonlarının analizleri kararlı bir şekilde cebirsel Riccatti denklemlerine yerleştirilmiştir ve bu alandaki bazı kilit gelişmeleri Bart ve diğerlerinin (1979 ve 1980) çalışmalarında görülmektedir [27; 29; 30]. Gelişmelerden biride ilk defa Pappas (1980) makalesinde ortaya konan tek operatör yerine lineer kalem operatörü teorisi olmuştur. Bu gelişme teoride ve nümerik yöntemlerde önemli ilerlemeleri de beraberinde getirmiştir.

Denklemin gelişimine dair daha yakın zaman ele alındığında, Ando [1] ve Mehrmann (1991) nin cebirsel Ricatti denklemlerinin nümerik metod çözümlerinin ilk kapsamlı incelemesini ve Bittanti ve diğerlerinin [2] araştırma ve inceleme makalelerinin toplamı olan çalışmaları gösterilmektedir.

Yirminci yüzyılın ikinci yarısına gelindiğinde ise mühendislik alanında ki sistem teorisi kavramı ilk kez ortaya konularak kontrol bilimindeki teorik analizlere yeni bir yaklaşım oluşturulmuştur. Günümüzde bu yaklaşımla kontrol edilebilirlik ve gözlemlenebilirlik, kararlılık ve algılanabilirlik gibi kavramlar geliştirilerek, bu kavramların denklemi çalışmak için önemi araçlar olduğu tespit edilmiştir [30]. Böylece önceden bilinmeyen birçok özellik geliştirme imkanı doğmuştur. Ayrıca Riccati denkleminin ayrık zamanlı

3

kısmı için de benzer çalışmalar yapılmıştır [32]. Sürekli ve ayrık zamanlı bu denklemleri çözmek için ilerleyen zaman içinde etkili nümerik algoritmalar belirlenmiştir [6]. Son on yıl içinde gerçekleşen dinamik araştırmalar şüphesiz birçok yeni çözüm metodunu geliştirmeye imkan vermiştir.

1.2. Tezin Amacı

Bu tezin amacı, cebirsel Riccati denklemlerinin kontrol teorisindeki belirsiz, anlaşılması güç bazı temel kavramlara açıklık getirmekle birlikte bu denklem üzerindeki çalışmaları takip edebilmek ve yeni çalışmaları yapabilmek için gerekli temeli oluşturmaktır. Aynı zamanda cebirsel Riccati denklemlerinin bilinen çözüm metotları dışında yeni metotlarla çözüme farklı bir yaklaşım getirme amaçlanmıştır. Bu sebeple tezde Arnoldi metodu ile denklem çözümünün yapılması gerçekleştirilmiştir.

1.3. Bulgular

Çalışma Arnoldi faktorizasyonunu kullanarak

_

A B,

_

matris çiftinin oluşturduğu ortogonal Krylov alt uzayından elde edilen yaklaşık çözümlerin gerçek çözüme daha yakın bir sonuç alma hipotezi üzerine kurulmuştur. Bunu test etmek için Arnoldi ve blok Arnoldi metotları incelenmiştir. Bu çalışmada cebirsel Riccati denklemine uygulanan Arnoldi algoritmaları ile elde edilen çözümlerin gerçek çözüme diğer yöntemlere göre oldukça yakın olduğu tespit edilmştir. Bu ise çözümler arasındaki hatanın minumum olduğunu gösterir. Bu sonuçlar doğrultusunda mühendislik alanındaki LQR optimal kontrol probleminde kontrolör matrisi ile sistemin istenen büyüklüklerinin minumum olmasını sağlaması beklenmektedir [31; 32].

Bu amaca göre hazırlanan tez, giriş bölümüyle birlikte dört bölümden oluşmaktadır.

İlk bölümde sonraki bölümlerde kullanılacak olan matris özellikleri ile ilgili tanımlar verildi. Kompleks elemanlı bir A matrisinin genelleştirilmiş karakteristik uzayı ve değişmez alt uzay kavramları ile ilgili teoremler ifade edilip ispatlar yapıldı. Son

4

kısımda ise  ’den n  ’e lineer dönüşümlü matrisler içinde benzer sonuçların n gerçekleştiğini ve temel kavram tanımlarının da geçerli olduğu belirlendi.

İkinci bölümde cebirsel Riccati denkleminin çözümleri ayrıntılı olarak anlatıldı. Bu bölüm altında Hermit ya da Hermit olmayan, sonlu veya sonsuz çözümler şeklinde çözümlerin bir sınıflandırılması yapıldı. Ayrıca burada CARE denkleminin grafik alt uzayla bağlantılı X çözümleri bulundu ve bu çözümleri veren hem önerme hem de lemma koşulları sağlandı. Bu çözümlere ilişkin verilen temel teoremler ve sonuçlar değerlendirildi.

Üçüncü bölümde Diskret Cebirsel Riccati denklemler başlığı altında Hermit çözümler ve değişmez Lagrangian alt uzaylar tanıtılır. Değişmez alt uzaylar aracılığıyla çözümlerin tanımı yapılır. Hermit çözümlerin varlığıyla ilgili teoremler verilir ve teoremlerin ispatları yapılır.

Dördüncü bölümde cebirsel Riccati denklemler için nümerik çözüm metotlarından biri olan Krylov alt uzayına dayalı Arnoldi algoritmaları incelenmektedir. Bu metot büyük mertebeli denklem sistemlerinin daha küçük mertebeden sistemlere indirgemeyi sağlayan pek çok yaklaşım metodundan biridir. Bu bölümde Arnoldi algoritmaları yardımıyla cebirsel Riccati denklemi için daha büyük boyutlu matrislerin çözümlerinin yapılabildiği gösterildi. Bu son kısım Matlab programında algoritmanın yazılımının yapılması ile gerçekleşerek farklı matris girdileri için program çalıştırılır.

5

BÖLÜM 2

MATRİSLERLE İLGİLİ ÖN BİLGİLER

2.1 Benzerlik ve Kompleks Jordan Form

A, elemanları kompleks olan n n tipinde bir matris olsun. Bu durumda A,  den n

n

 ’e bir lineer dönüşüm gösterir. Burada _{ , elemanları kompleks sayılar olan n} n

elemanlı sütun vektörlerinin uzayını temsil eder. Biz burada bu dönüşümü A harfi ile göstereceğiz. Yani, A:n n lineer dönüşümü

( )

A x Ax, n

x  

olarak tanımlanır.

0

 kompleks sayı ve sıfırdan farklı n

x   ’ ler için

0

Ax x (2.1) eşitliği sağlanıyorsa A matrisinin bir özdeğeri  dır denir. Sıfırdan farklı x vektörleri, ₀

(2.1) sağlıyorsa  özdeğeri ile beraber ₀ A’ nın özvektörleri olarak adlandırılır. Böylece

0

 , A’ nın özdeğeri olması için gerek ve yeter koşul  , ₀ det



I A



karakteristik polinomunun kökü olmasıdır. Bundan dolayı karakteristik polinom n.derecedendir. Bu ise cebirin temel teoreminden A’ nın n özdeğeri olduğu sonucunu doğurur.

6

Tanım 2.1 A ve B, n n tipinde iki matris, AS1BS olacak şekilde S tekil

olmayan bir matris varsa A ve B matrisleri benzerdir denir. Geometrik olarak benzer matrisler  den n  ’ e aynı lineer dönüşümü gösterir. n

Teorem 2.1 [13] S , tekil olmayan bir matris ve A S1BS olmak üzere A’ nın, B’ ye benzer olduğunu kabul edelim. A ve B’ nin aynı özdeğerleri vardır. Buna göre  öz ₀

değerine karşılık gelen A’ nın özvektörünün x  n olması için gerek ve yeter koşul aynı  özdeğerine karşılık gelen ₀ B’ nin özvektörünün Sx olmasıdır.

İspat:det

 

S1 



detS



1 olduğundan



IA



det



S



IB



S



det



I B



det 1

dır. Böylece A ve B aynı karakteristik polinoma sahiptir ve bundan dolayı aynı öz değerleri vardır. Buna ek olarak

0 Ax x , x  0 1 0 S BSx  x  ya da BSX ₀



SX



olarak yeniden yazılır.

S , tekil olmadığından x  demek 0 Sx 0 demektir ve bu teoremin ikinci kısmını açıklar. A, diyagonal matrise benzer ise A, n n tipinde diyagonal matristir denir. Yani, köşegen üzerinde A’ nın özdeğerleri olmalıdır. A’ nın diyagonal olması için gerek ve yeter koşul A’ nın özvektörlerinden oluşan  ’ de bir bazının var olmasıdır. n Böylece köşegen matrisin yapısı özdeğer ve özvektörlerden oluşur. Ancak tamamen her matris diyagonalleşebilir değildir ve diyagonal olmayan matrislerin yapılarını tanımlamak için genelleştirilmiş özvektörler ve Jordan blokları kavramları kullanılır.

Tanım 2.2 A, n n tipinde bir matris olsun. A matrisinin Jordan zinciri x  ve ₁ 0 A’ nın bazı  özdeğeri için ₀



A0I x



1 0



A0I x



2 x1,...,



A0I x



r xr1 (2.2)

7

Böylece x , ₁ A’ nın  özdeğerine karşılık gelen özvektörü ve Jordan zincirinde olan ₀ 2,..., r

x x vektörleri x özvektörü ile ₁  özdeğerine bağlı ₀ A’ nın genelleştirilmiş öz vektörleri olarak adlandırılır.  ’ a karşılık gelen Jordan blokları benzerliğe göre iyi ₀

tanımlıdır.

Teorem 2.2 S tekil olmayan bir matris ve AS1BS olmak üzere  ’a karşılık gelen ₀



1,...,



n r

x x   nin A için bir Jordan zinciri olması için gerek ve yeter koşul B’ de  ’ ₀

a karşılık gelen Sx₁,...,Sx Jordan zincirinin olmasıdır. İspat teorem 2.1 ispatına çok _r

benzerdir. İspat: 0 0 x  için Ax₀ ₀x₀ ise 1 0 0 0 Ax  x x ve 2 0 2 1 Ax  x x … 0 1 r r r Ax  x x_

olduğu biliniyor. Burada teoremde verilen AS BS1 eşitliği yukarıdaki ifadelerde yerine yazılırsa 1 0 0 0 0 0 0 S BSx  x BSx  Sx 1 1 0 1 0 1 0 1 0 S BSx  x x BSx Sx Sx      1 2 0 2 1 2 0 2 1 S BSx  x x BSx  Sx Sx … 1 0 1 0 1 r r r r r r S BSx  x x BSx  Sx Sx       

bulunur. Buradan Sx 0 olmak üzere



Sx Sx₁, ₂,...,Sx   olur. Buna göre teorem 2.1 _r



n

de B’ nin karakteristik vektörlerinin oluşturduğu Sx ler için



Sx Sx₁, ₂,...,Sx_r



şeklinde Jordan blokları vardır.

8

0 0 0

BSx  Sx

ifadesinin her iki tarafını S1 ile çarpıldığında

0 0 0 Ax  x

olur. Buradan B’ nin her Sx özvektörü için A da ki  özdeğerine karşılık gelen bir x ₀

özvektörlerinden oluşan bir Jordan zinciri vardır.

Örnek 2.1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 . . . . . . 1 0 0 0 . . . _nxn A                          

A matrisini ele alalım. Bu matrise,  özdeğeriyle birlikte bir Jordan bloğu denir. ₀

Açıkça  , ₀ A’ nın tek özdeğeridir ve e sıfırdan farklı kompleks sayılar ile çarpımına ₁

bağlı olan tek özvektördür. Burada e (i.)inci bileşeninde 1 ve diğer yerlerde sıfır olan _i

sütunlar olarak belirlenir. A’ nın Jordan zinciri e₁,e₂,...,e_n olur. Bu Jordan zinciri tek değildir ve A’ nın Jordan zincirleri için genel form 1 ; ₁, ₂,..., n

r r n        ve 0 1   olmak üzere ₁e₁;₁e₂ ₂e₁;₁e₃ ₂e₂ ₃e₁;...;₁e_r ₂e_r1 ..._re₁ şeklinde gösterilir.

Örnek 2.2 A diyagonalleşebilir matris ise A’ nın Jordan zincirleri sadece öz vektörlerden oluşur.

Teorem 2.3 A’ nın x₁,...,x Jordan zincirleri lineer bağımsız olmalıdır. _r

İspat: Gerçekten,  _i  olmak üzere

1 0 r i i i x   



(2.3)

alındığında. (2.2) eşitlikleri i r ve



A₀I



r1x_r x₁ için



0



1 0

r i

9

olması demektir. Böylece (2.3) ün her iki tarafına



A₀I



r1 uygularsak _rx₁ elde 0 edilir. Buradan x  olduğundan ₁ 0 _r 0 olur. Şimdi (2.3) ün her iki tarafına





2

0 

 I r

A  uygular ve benzer bir yöntemle _r1 0 sonucu bulunur. Bu işlem tekrarlandığında tüm  katsayıları sıfır olarak elde edilir ve bundan dolayı _i x1,...,x r

vektörleri lineer bağımsızdır.

Tanım 2.3 A’ nın x₁,...,x Jordan zinciri tarafından gerilmiş r



x1,...,xr



alt uzayı A

için bir Jordan alt uzayı olarak adlandırılır.

Şimdi tezdeki işlemlerde önemli yer tutan Jordan form teoremlerine kısaca bir göz atalım.

Teorem 2.4 [13, 14] A herhangi bir n n tipinde bir matris ve A’ nın Jordan zincirlerinden oluşan  ’ de bir taban var. Yani, n  ’ de taban formları n 1 j r_i ve

k i 



1 olacak şekilde _x_ij_ vektörlerin kümesi sırasıyla  ,...,₁ _k özdeğerlere karşılık gelen i1,...,k için A’ nın



₁,...,



i

i ir

x x Jordan zincirleridir.

Burada teorem 2.4 ü ispatlanmayacaktır. Çünkü bu sonuç klasiktir ve bulunabilir [14]. Teorem 2.4 e denk bir durumu matrislerin benzerliği aracılığıyla da verilebilir. Bu durumu açıklamak için Jordan matrisleri tanıtacağız.

Tanım 2.4    özdeğeriyle r r Jordan bloğu J_r

 

 ile ifade edelim. Yani,

 

                                                0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 r J

10

 

 

 

                    k r r r k J J J    . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 2 1 2 1 (2.4)

şeklinde diyagonal formda blokları olan matrisler Jordan matrisler olarak adlandırılır. Jordan matrislerin sınıfları diyagonal matrisler içerir. Onlar köşegen üzerinde diyagonal 1 1 Jordan bloklarına sahiptir. Jordan matrisler açıkça üst üçgensel matrislerdir.

k



 ,...,₁ lar (2.4) Jordan matrisin özdeğerleridir. Şimdi ˆ_A:_n _{ lineer dönüşüm} n n

x   için A xˆ

_{ }

 Ax ile tanımlanmış olarak bir

A n n tipinde matrisini alalım. A matrisinin standart tabanı e₁,e₂,...,e_n olan Aˆ yı gösterir. Şimdi  ,...,₁ _k özdeğerine karşılık gelen A’ nın i1,...,k olmak üzere



xi1,...,xiri



Jordan zincirlerinden oluşan

n  de ki bir taban



11,..., 1r1, 21,..., 2r2,..., k1,..., krk



X  x x x x x x (2.5) olsun. X tabanına göre n

x   nin koordinat vektörlerini

 

X x ile gösterelim. _ij  ve 1 1 i r k ij ij i j x  x   

 

ise

11

 

1 11 1 1 . . . . . . . . . k r X k kr x                                               

şeklinde yazılır.

X

tabanına göre Aˆ yı temsil eden B matrisi



11



 

1₁



1



 

ˆ _... ˆ _... ˆ _... ˆ k r k kr X X X X BA x  A x  A x  A x            

dır. Jordan zincirleri tanımından i1,...,k olmak üzere

 

1



2



2 1

 

₁ ˆ _, ˆ _,..., ˆ i i i ij i i i i i i ir i ir ir A x x A x x x A x x x       olur. Böylece

 

 

 

                     k r r r k J J J B    . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 2 1 2 1

matrisi bir Jordan matrisidir.

Tersini görmek kolaydır.

X

tabanına göre Aˆ matrisini temsil eden matris bir Jordan matrisi ise X , A matrisinin Jordan zincirlerinden oluşur. Başka bir ifadeyle Aˆ lineer dönüşüm için Jordan zincirleridir. Hatırlarsak farklı tabanlara göre aynı lineer dönüşümü temsil eden matrisler benzerdir. Şimdi aşağıda belirtildiği gibi teorem 2.4 yeniden ifade edilecektir.

12

Teorem 2.5 [13] Her n n tipindeki A matrisi bir Jordan matrise benzerdir.

A ’ nın Jordan formu olarak adlandırılan bu Jordan matris A tarafından tek olarak belirlenir. Yani,

 

r

 

k r J k J B₁  ₁ ₁ ...  ve

 

sl

 

l s J J B₂  ₁ ₁ ... 

aynı n n tipinde A matrisine benzer iki Jordan matris ise k  dir. Yani l B ve ₁ B ₂

nin köşegen diyagonal üzerinde Jordan bloklarının sayısı aynı olduğundan

 

sl

 

l

s J

J ₁  ,...,₁  blokları _r

 

_r

 

_k

k

J

J 1 1 ,...,  tarafından elde edilir. Bundan dolayı A ’

nın Jordan form özellikleri Jordan bloklarının yer değiştirmesi altında sabit kalması gerçekten A ’ nın kendisinin özelliğidir. Burada bu özelliklerin birkaçını tanımlayalım.

Tanım 2.5 A ’ nın bir  özdeğeri verilsin. ₀  özdeğeriyle Jordan blokların sayısı ₀  ’ ₀

ın geometrik katlılığı olarak adlandırılır. Bu Jordan blokların boyutu  ’ ın kısmi ₀

katlılığı olarak adlandırılır ve kısmi katlılıkların toplamı  ’ ın cebirsel katlılığını verir. ₀

Örnek 2.3                              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 B

Bu Jordan matrisin 1 ve 0 özdeğerleri vardır. “1” özdeğerinin geometrik katlılığı 3, cebirsel katlılığı 6 ve kısmi katları 4,1 ve 1’dir. “0” özdeğerinin geometrik katlılığı 2, cebirsel katlılığı 3 ve kısmi katları 2 ve 1’dir.

A matrisinin kendisini katları açısından ifade etmek için



0



i

Ker A I 

  i1,2,... (2.6) alt uzayları tanıtacağız. Burada KerX , m n tipinde bir X matrisinin çekirdeğidir.

13 Yani,



n 0



KerX  y Xy

olacak şekilde  de bir alt uzay olur. Bu (2.6) alt uzayları zincir biçiminde n



0





0



2 ...



0



...

p

Ker A I Ker A I  Ker A I  (2.7) şeklinde yazılabilir. Gerçekten



A₀I



p y0 ise



A₀I



p1y 0 olduğu bellidir. (2.7) deki alt uzaylardan  meydana gelir ve bu da alt uzayların sonlu boyutta n olmalarını gerektirir. Açıkça sonsuz boyutta alt uzaylar Ker



A₀I



p p1,2,... şeklinde olan alt uzaylardan tamamen farklı olamaz.









1 0 0 0 0 _{ }   I p Ker A I p A Ker   (2.8) olacak şekilde en küçük pozitif tamsayı olarak p seçelim. Gerçekten tüm ₀ r p₀ 1 için





p





r I A Ker I A Ker _0 0 _{ 0} (2.9) dır. r  p₀ 1 den başlayarak r ye kadar tümevarım yöntemi ile (2.9) ispatlanır.(Bu (2.8) tarafından doğrulanır.)

0

 ’ ın katsayısı burada p sayısına uygulayarak alalım. Ayrıca ₀ p ın ₀  özdeğeriyle ₀ A ’nın en büyük Jordan boyutu olduğunu görmek zor değildir.

(2.7) alt uzaylara göre  ’ ın katları aşağıdaki gibi verilir. ₀

Teorem 2.6 [13] A ’ nın bir özdeğeri olarak  alalım. ₀  ’ ın geometrik katlılığı ₀



A I



Ker ₀

dim 

ifadesine eşittir ve  ’ ın cebirsel katlılığı ₀





0

0

dimKer A I p

14

İspat: Eğer A bir Jordan matris ise basit bir inceleme ile teorem 2.6 doğrulanır. A ,

genel matrisi teorem 2.5 den AS1BS şeklinde yazılır. Burada B, A ’ nın bir Jordan formudur. S(Ker



A₀I



r) tarafından tanımlanan küme







r



I A Ker x Sx  ₀ dır. r 1,2,... için





r





r I B Ker I A Ker S( 0 ) 0

olduğunu göstermek kolaydır. S tersinir olduğundan r 1,2,... için





r





r I B Ker I A Ker ₀ dim ₀ dim    (2.10) demektir. Burada önceden B Jordan formu için teorem 2.6 ispatlanmıştı. A ’ nın bir öz değeri olan  ’ ın geometrik(sırasıyla cebirsel) katlılığı, ₀ B’ nin bir özdeğeri olan  ’ ₀

ın geometrik(sırasıyla cebirsel) katlılığı tanımı gereğidir. Şimdi A için teorem 2.6, (2.10) ifadesinden bulunur.

2.2 Değişmez Altuzaylar

Tanım 2.6

A

girdileri kompleks olan n n tipinde matris olsun. Her x   için

Ax   oluyorsa  n alt uzayı A matris için değişmez olarak adlandırılır. Ya da kısaca A da değişmezdir denir.

Benzer bir tanımı A:n n bir lineer dönüşüme uygulayacak olursak Ax   için x   olacaktır ve   alt uzayı A da değişmez olur. Bu durumda A,   e bir lineer dönüşüm olarak düşünülür ve bu lineer dönüşüm A  ile gösterilir. Şimdi A

da değişmez alt uzaylarına bazı örnekler verelim.

Örnek 2.4

 

0 ve  alt uzayları her n nn  tipinde A matris için A da değişmezdir. Bu alt uzaylara değişmez aşikâr alt uzaylar denir.

15

Örnek 2.5 A ’ nın bir



x₁,...,x_r



Jordan zincirleri tarafından gerilmiş Jordan alt uzay span



x₁,...,x_r



A da değişmezdir.

X

Im notasyonu ile bir m n tipinde X matrisinin imajiner kısmını göstereceğiz. Buna göre,





ImX  Xy y n

şeklinde tanımlanır. Böylece ImX ,  de bir alt uzay ve ayrıca m X ’ in sütun uzayı olarak da ifade edilir. Aynı notasyon

 





Im n

X  X y y 

olmak üzere X :n m bir lineer dönüşüme uygulanacaktır.

Teorem 2.7 [13] A’ nın bir özdeğeri  olsun. ₀ r0,1,2,... için





r I A Ker ₀ ve



0







0





Im A I r  A I rx x n alt uzayları A da değişmezdir.

İspat:



0



r

xKer A I ise

_

A₀I

_

r x0 dır. Ayrıca



0





0



0

r r

A A I x A I Ax

olur ve buradan AxKer A

_

₀I

_

r dir. Bu Ker



A₀I



r nin A da değişmez olduğunu gösterir. Üstelik bazı n

x   için y

_

A₀I

_

r x oluyorsa



0



r

Ay A I Ax dir ve buradan AyIm



A₀I



r yazılır. Daha genel olarak B, A matrisi ile değiştirildiğinde



BA AB gibi



KerB ve ImB alt uzayları A da değişmezdir.

Tanım 2.7  , ₀ A’ nın bir özdeğeri olsun. Bu durumda p, en küçük pozitif tamsayı olmak üzere

16









1 0 0     I p Ker A I p A Ker  

olsun. Burada p,  ın kök kuvvetidir. Tüm ₀ r  p pozitif tamsayıları için





p





r I A Ker I A Ker ₀  ₀ (2.11) olur. Bu durumda (2.11) alt uzayına genelleştirilmiş karakteristik uzay ya da  ’ a ₀

karşılık gelen A ’ nın kök alt uzayı denir ve bu alt uzay

 

0 A



 ile gösterilir. Böylece Örnek 2.5’ den dolayı bu alt uzay A da değişmezdir.

S lineer uzayının alt uzayları 1,...,p ise bunların toplamı





1... p  X1...Xp:Xj j, j1, 2,...,p

  

ile tanımlanır ve bu toplam S’ nin bir alt uzayıdır.

Tanım 2.8 ₁,...,_p A’ nın farklı özdeğerleri olsun. Genelleştirilmiş karakteristik uzayların toplamı

 

 

1 A ... p A

   

 

A da değişmezdir ve bu alt uzaya aynı zamanda A’ nın bir spektral alt uzayı da denir. Burada şimdi tezin diğer bölümlerinde kullanılacak değişmez alt uzaylar ile ilgili bazı teoremleri verelim.

Teorem 2.8 A da değişmez alt uzayların kümesi bir latistir. Yani  ve  A da

değişmez alt uzaylar ise   ve    de A da değişmezdir.

İspat:

n

M   alt uzayı A da değişmez ve N   alt uzayı n A da değişmez olsun. Buradan



n , ve



M N  z z x y xM yN

biçiminde tanımlansın. M ve N alt uzayları A da değişmez olduğundan AxM ve

AxN dir.

z  olacak şekilde bir zx y M N için AzAxAy ifadesinden AzMN

olur ve böylece M N   elde edilir. Bu ise Mn N alt uzayınınA da değişmez olduğunu gösterir.

17



ve



MN  x xM xN biçiminde tanımlansın.M ve N alt uzayları A da değişmez ise xM N için AxM ve AxN olduğundan AxMN dir. Buradan da M N alt uzayı A da değişmezdir denir.

Teorem 2.9 ₁,..., n

k

x x   lineer bağımsız vektörlerin kümesi olsun. A:n n bir lineer dönüşüm ya da

A

n n tipinde matris ise aşağıdaki ifadeler denktir. Burada

A

,

n n



  bir lineer dönüşüm olarak alınmıştır. (i) span



x₁,...,x_k



alt uzayı A da değişmezdir.

(ii) x₁,...,x _k

A

lineer dönüşümün ilk k vektörü,  de bir tabana göre n

      22 12 11 0 A A A (2.12)

üçgensel matris bloğu ile verilir. Burada köşe sol alt sıfırı



n k



 dır. k

(iii) A ’ nın matris gösterimi  de n x₁,...,x ilk _k k vektörleri herhangi bir taban için

(2.12) formundadır.

i

Ax , x₁,...,x nın lineer birleşimi olduğundan span_k



x₁,...,x_k



A da değişmezdir. İlk k

vektörü x₁,...,x değerlerini alan _k  de ki herhangi bir n X 



x₁,...,x y_k, _k1,...,y_{n k}



tabanı için



Ax_{i X}



kolon vektörleri içindeki n k inci bileşen sıfırdır.

Teorem 2.10 [13] A ve B , n n tipinde matrisler ve A S1BS olsun. Bu durumda (i)  n bir alt uzay A da değişmez olması için gerek ve yeter koşul S  , B de değişmez olmasıdır.

(ii)  n alt uzayı A için bir kök alt uzayıdır olması için gerek yeter koşul S  , B

için bir kök alt uzayıdır.

(iii)  n bir alt uzayı A için bir spektral alt uzay olması için gerek ve yeter koşul

S  , B için bir spektral alt uzayıdır.

Burada değişmez alt uzayları, genelleştirilmiş karakteristik uzaylarla alt uzayların arakesiti aracılığıyla tanımlanmış olduğunu göstereceğiz. İlk başta alt uzayların direkt

18

toplamı kavramını verelim. n alt uzayı ve ₁₂..._r  olsun. Bu durumda

(i) ₁,...,_r alt uzayları lineer bağımsızdır. Örneğin, i1,...,r için x _i _i olmak üzere x₁...x_r 0 oluyorsa her x sıfıra eşittir. _i

(ii)  , ₁,...,_r’ lerin toplamına eşittir. Örneğin,  , x₁₁,...,x_r_r olmak üzere x1 ...x_r formundaki vektörlerin kümesine denktir.

Bu şartlar sağlanıyorsa  ,   ₁₂..._r olacak şekilde ₁,...,_r alt uzayların direkt toplamı olarak adlandırılır.

Teorem 2.11

A

, n n tipinde matris olsun.  uzayı n ₁,..., , r

A

’ nın özdeğerleri

olmak üzere

A

’ nın genelleştirilmiş karakteristik uzayların bir direkt toplamıdır. Yani,

 

 

1 ... r n A A         (2.13) dır. İspat:

 









0 0 0 n n A x A I x     

  şeklinde kök alt uzay tanımlansın. A’ nın bir  ₁

karakteristik değerini alalım. Burada q, pozitif bir tamsayı olmak üzere



1



Im



1



q q n Ker AI  AI   ve



1







1



0



1

 

q _n q Ker AI  x AI x _ A dır. Tümevarım yöntemiyle 2

 , karakteristik değeri için













 

2

2 2 0

q _n q

Ker A I  x A I x _ A

3

 , karakteristik değeri için













 

3 3 3 0 q _n q Ker A I  x A I x _ A . . .

19

r

 , karakteristik değeri için











0



 

r

q _n q

r r

Ker A I  x A I x _ A

olur. Bunları taraf tarafa topladığımızda



1





2



...





₁

 

₂

 

... r

 

q q q

r

Ker AI Ker A I  Ker A I _ A _ A  _ A

eşitliği yazılır. Cayley-Hamilton Teoremine göre karakteristik polinom

 

det





A I A      ve

 





1 r q A i i     





 olduğu biliniyor. Buna göre

 





1 r q A i i A A I    





olarak yazılır. Buradan





1 1 r n q n i i i i Ker A  x        _{ }  _{ }    







olacak şekilde yazıldığında



1



1



2



2 ...





q q q

n

r r

Ker A  x Ker A  x Ker A  x

      



dır. Böylece yukarıdaki eşitliklerden

 

 

 

1 2 ... r n _{A A A}           

Teorem 2.12 [14]

A

, n n tipinde matris ve n olsun. Bu durumda  ,...,₁ _s,

A

’ nın farklı özdeğerleri olmak üzere

 

 

1

( _ A ) ... ( _s A )

  

    

olacak şekilde A da değişmez bir alt uzayı vardır.

İspat: Teorem 2.11 den

A

, A  şeklinde yazılabilir. Böylece  ,...,₁ _r A  ’ nın

farklı özdeğerleri olmak üzere









1 A ... r A

 

  

    

dır. Bunu _j _iolacak şekilde her  , _j  lerin birisiyle çakışacak olduğunu _i

20





 

1 A i A

  

   

olur ve  ler A  ’ nin özdeğerleri olsun. Böylece _i

 

 

0

i A

 

 

yazılır.

Şimdi adjoint matrislerin değişmez alt uzaylarla ilgili bazı bilgiler verelim. Burada  n vektör uzayında standart öklidyen skaler iç çarpım



  n i i iy x y x 1 ,

olarak tanımlanır. Burada

                 n x x x . . . 1 ,                  n y y y . . . 1

dır. Aşağıdaki kavramlar bu skaler çarpıma göre tanımlanır. (i) n

x   vektörlerin normu x

(ii) ,x y n ve , x ile yarasında ki açı olmak üzere x0ve y 0 için

y x y x   , cos , 2 0 

(iii)  n boş olmayan kümesine dikey tümleyen



x n x y, 0 , tüm y için





   

 

gözlemlendiğinde dikey tümleyen her zaman  de bir alt uzaydır. Burada  ’ nın n kendisinin de  nin herhangi bir alt kümesi olması gerekir. n

Dikkat edelim ki

 

0



  

21 ve  bir alt uzay ise

n



    

olur. Bu tümleyen teriminin kullanımını açıklar.

Teorem 2.13 [14] n alt uzayının n n tipinde bir

A

matrisinin de değişmez olması için gerek ve yeter koşul  ’ nin dikey tümleyeninin A adjoint matris için *

değişmez olmasıdır. İspat:

Kabul edelim ki M , A

da değişmez olsun. xM alalım. Her yM için A y M

olduğundan

_

Ax y,

_



x A y, 



0

  olur. Buradan AxM dir.

Tersine kabul edelim ki M, A da değişmez olsun. yM alalım. Her xM için



A y x ,







y Ax,



0 dır. Buradan A y M dir. Böylece M , A da değişmezdir.

2.3 İzdüşümler ve Değişmez Alt Uzaylar

P:n n ile tanımlanan bir lineer dönüşüm P 2 P’ yi sağlıyorsa bir izdüşüm olarak adlandırılır. İzdüşümlerin önemli özelliği tüm izdüşümlerin kümesi ile  de alt n uzayların tümleyenlerinin tüm çiftlerinin kümesi arasında birebir benzerlik olmasıdır. Bu benzerlik teorem 2.14 de verilmiştir.

İlk başta  ,  alt uzayları   

 

0 ve    n şartlarını sağlıyorsa  ,  birbirinin tümleyeni olarak adlandırılır.

 ,  alt uzayları her x   ve y   için x,y 0 şartını sağlıyorsa ortogonaldir denir ve onlar birbirlerinin dikey tümleyenleridir. Yani,





  ve    dır.

22

Teorem 2.14 [13] P, bir izdüşüm olsun.



ImP,KerP



 de alt uzayların n

tümleyenlerinin bir çiftidir. Tersine ,  de alt uzay tümleyenlerinin her n



  çifti ₁, ₂



için Im P ₁ KerP ₂ olacak şekilde bir tek P izdüşümü vardır.

İspat:

n

X   olsun.





X  X PX PX olacak şekilde yazalım. Im

PX P ve X PXKerP dir. Böylece ImPKerP n dir.

Eğer XImPKerP ise y n için X PY dir ve PX  dır. Böylece 0





2

0

X PY P Y P PY PX 

ve ImPKerP

 

0 olduğundan Im P ve KerP tümleyen alt uzaylardır.

Tersine 1 ve 2 tümleyen alt uzayların bir çifti olsun.

1

X  için PX X ve

2

X  için PX  0

olacak şekilde  de bir lineer n P dönüşümü tanımlansın. Buradan P2 P olduğundan

1Im P

 ve ₂ KerP olur. Yukarıda gösterilen ImPKerP n eşitliğinden

1Im P

 ve ₂ KerP olarak belirlenir. Böylece koşulları sağlayan P dönüşümü bir izdüşümdür.

Her XImP için PX  X olduğunda P’ nin tek olduğu gösterilir. P₁P , P₂P ve

1 2

P P olarak seçelim. Her XImP için P X₁  X ve P X₂  X eşitliklerinden

1 2

P X P X yazılır. Bu ise P₁P₂ sonucunu verir. Böylece P’ nin tek olduğu belirlenir.

P, Im P ₁ ve KerP ₂ şartlarını sağlıyorsa ₂ boyunca ₁ üzerine izdüşümdür.







 P

KerP Im ise P izdüşümü ortogonaldir. Böylece benzer tümleyen alt uzaylar birbirlerine ortogonaldir. Ortogonal izdüşümler aşağıdakiler gibi karakterize edilebilirler.

23

İspat: Dikkat edildiğinde P bir izdüşüm ise I P de izdüşümdür. Gerçekten



IP



2  I2PP2 I 2PP IP

dır. Üstelik



I P



KerP Im  ve ImPKer



I P



dır.

Bu P izdüşümleri ve I P tümleyen izdüşümler olarak adlandırılırlar.

Şimdi A:n n bir lineer dönüşüm için  yi bir değişmez alt uzay olarak düşünelim. Im P   olduğundan herhangi bir P izdüşümü için

AP

PAP  (2.14) yazılır. Gerçekten x KerP ise açık olarak

APx PAPx 

olur. Eğer xImP  ise Ax ,  ye ait ve böylece

APx Ax

PAx

PAPx  

olur. n KerPImP olduğundan (2.14) eşitliği korunur.

Tersine, (2.14) ü sağlayan bir izdüşüm P ise her xImP için PAx  Ax dır. Diğer bir ifade ile ImP, A da değişmezdir. Böylece bir  alt uzayının A da değişmez olması için gerek ve yeter koşul  ’ nin (2.14) ü sağlayanlar P izdüşümün imajineri olmasıdır.

 , A da değişmez bir alt uzay ve P de  üzerinde bir izdüşüm olsun. P’ nin çekirdeği  olsun.  n



 

   direkt toplamına göre A, _      22 21 12 11 A A A A 2 2 tipinde blok matris olsun. Burada

11 A , PAP  :  ; A , ₁₂ PA I



P



 :  ;





21 : A  IP AP   , 



 



22 : A  IP A IP    

24

birer lineer dönüşüm ve tüm bu lineer dönüşümler  ve  tabanlarına göre  matrisler olarak yazıldı.  , A da değişmez olduğundan denklem (2.14) den



IP



AP0 olur. Yani, A₂₁ 0’ dır. Bundan dolayı

       22 12 11 0 A A A A (2.15)

olur. Bu sonuç teorem 2.9 ile uyumludur.

2.4 Reel Matrisler ve Kanonik Formlar

Burada girdileri reel ya da  ’ den n  ’ e lineer dönüşümlü matrisler ele alınacaktır. n

A, n n tipinde bir reel matris olsun. A’ nın n tane özdeğeri olmak zorunda değildir.

Örneğin _      1 0 1 0

matrisinin hiç reel özdeğeri yoktur. Diğer yandan A’ nın reel olmayan özdeğerleri kompleks sayılar olarak düşünüldüğünde , reel ve  0 olmak üzere iolacak şekilde kompleks eşlenik çiftlerden meydana gelir. Reel olmayan kompleks eşlenik özdeğerlere sahip olan reel değerli A matrisinin bir modeli reel Jordan bloklarıdır.





                                                  . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 1 0 0 1 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 2 i J _k  ; ,

   ve  0olmak üzere matrisinin boyutu 2k2k’ dır. k , pozitif bir

25

Tanım 2.9 Bir diyagonal matris

                     p K K K B . . . 0 0 . . . . . . . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 2 1

Her K blok ya bir reel özdeğerli bir Jordan blok ya da reel olmayan kompleks eşlenik _i

özdeğerli çiftli bir reel Jordan blok oluyorsa B bir reel Jordan matris olarak adlandırılır.

Teorem 2.16 [13; 14] Her reel değerli A, n n tipindeki matris bir reel benzerlik matris ile bir reel Jordan matrise benzerdir. Üstelik reel Jordan matris ana köşegen üzerinde blokların permütasyonuna bağlı olarak A tarafından tek olarak belirlenir. Bir n n tipinde reel matris A’ ya benzer olan reel Jordan matrise A’ nın reel Jordan formu denir.

Kompleks matrisler için olduğu gibi aynı amaçla reel matrislerin özdeğerlerinin cebirsel katlılığı, geometrik katlılığı ve kısmi katları kavramları da vardır. Böylece reel matris



i



J



i



J



i



J



i



J₆ 1  ₁₀ 1  ₁₄ 1  ₂ 23



1i



ve



2 3i



özdeğerleri vardır.



1i



ve



1i



özdeğerlerin her birinin cebirsel katlılığı 15, geometrik katlılığı 3 ve kısmi katları 3,5 ve 7’ dir.



2 3i



ve



2 3i



öz değerlerinin her birinin cebirsel ve geometrik katlılığı 1’ dir.

Her A, n n tipinde bir reel matrisi verildiğinde n alt uzayı her x   için Ax   oluyorsa  ’ ye A da değişmezdir denir. Bu tanım ayrıca A:n n lineer dönüşümlere de uygulanabilir.

Önceki bölümde verilen değişmez alt uzayların birçok örneği reel matrisler içinde benzerdir.

Örnek 2.6  , n n₀  tipinde reel A matrisinin reel bir özdeğeri olsun. Eğer



0







0



0



p _n p