Topolojik gruplar üzerine

(1)

T.C

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TOPOLOJİK GRUPLAR ÜZERİNE

G.Gözde YILMAZGÜÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPOLOJİ ANABİLİM DALI

Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hülya İŞCAN 2011

(2)

T.C

G.Gözde YILMAZGÜÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPOLOJİ ANABİLİM DALI

Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hülya İŞCAN 2011

(3)

T.C

G. Gözde YILMAZGÜÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ

TOPOLOJİ ANABİLİM DALI

Bu Tez …./…./2011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Tarafından Kabul Edilmiştir.

Prof. Dr. Hülya İŞCAN Yrd. Doç. Dr. Fitnat KARAALİ TELCİ Danışman Üye

Doç. Dr. Şaban AKTAŞ

(4)

i

ÖZET

Bu çalışmada topolojik gruplar üzerine çalışılmak amaçlanmıştır.

I. Bölümde, topolojik grup kavramı verilmiş ve bu gruplarla ilgili teoriler incelenmiştir.

II. Bölümde, önce sınırlı topolojik gruplar çalışılmıştır. II. Bölümün ikinci kısmında mixed topolojik gruplarla ilgili belirli teoriler ve sonular verilmiştir. Özellikle alt uzaylar ve çarpım uzayları üzerindeki mixed topolojiler belirlenmiştir.

(5)

ii

ABSTRACT

In this work, it is aimed to research in topological groups.

In Chapter I, the concept of topological groups are given and the general teories about these groups are investigated.

In Chapter II, firstly bounded topological groups are studied. In the second part of Chapter II, certain theories and corollaries relative to mixed topological groups are given. In particularly, mixed topologies on subspaces and product spaces are determined.

(6)

iii

ÖNSÖZ

Bir yüksek lisans tez çalışması olan bu kitap sadece oluşumu aşamasında değil öncesindeki süreçle birlikte benim için unutulmayacak anıların, derslerin, sohbetlerin, paylaşımların, kimi zaman da hüzünlerin olduğu hayatımdan bir kesit ve dolu dolu üç sene boyunca dertlerimi dinleyen, sıkıntımı paylaşan, yaşadıklarından örnek aldığım sevgili hocam Prof. Dr. Hülya İŞCAN’ın her satırında hakkı olduğunu düşündüğüm bir emek örneğidir. Aynı zamanda aldığım ya da dinlemek için katılmış olduğum yüksek lisans dersleri ve hocamın ders niteliğinde olan sohbetlerinin bu kitabı olduğu gibi beni de satır satır işlediğine inanıyorum. Gerek kazandığım matematik bakış açısı gerekse bu kazanımın getirdiği bilgi ve güven için sevgili hocam Prof. Dr. Hülya İŞCAN’a sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum. Bazı teoremler unutulabilir ama buradaki her satır için harcanan emeğin unutulmayacağını, unutulmaması için yaşatılacağını biliyorum.

Sevinçlerin, hüzünlerin, başarıların, sıkıntıların yaşandığı bu yıllar içerisinde yanımda olan, maddi manevi desteğini esirgemeyen sözlüm Müslüm Güzel’e ve ailemize çok teşekkür ediyorum. Her zaman yanımda olduklarının, mutluluğumun onları mutluluğu başarımın onların başarısı olduğunu biliyorum. Ayrıca sadece bu tez çalışmasında değil tüm akademik hayatım boyunca bana katkısı olan, isimlerini saymadığım hocalarım, arkadaşlarım ve akrabalarıma sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.

(7)

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET ………. i ABSTRACT ………ii ÖNSÖZ ………...iii İÇİNDEKİLER ………...iv GİRİŞ ……….. 1

I.BÖLÜM / TOPOLOJİK GRUPLAR ………... 3

1.1. Genel Kavramlar ……….. 3

1.2. Birimin Komşuluklar Sistemi ……….. 11

1.3. Alt Gruplar ve Bölüm Grupları ……… 15

1.4. Homomorfizmalar ve İzomorfizmalar ………. 24

1.5. Bağlantılı ve Tamamen Bağlantısız Gruplar ……… 34

1.6. Yerel Özellikler ve Yerel İzomorfizma ……… 39

II.BÖLÜM / SINIRLI TOPOLOJİK GRUPLAR VE MIXED TOPOLOJİK GRUPLAR ………... 44

2.1. Sınırlı Topolojik Gruplar ………. 44

2.2. Mixed Topolojik Gruplar ……….. 51

KAYNAKLAR ……… 64

(8)

GİRİŞ

Bu tez çalışmasında, cebir ve topolojinin buluştuğu topolojik gruplar kavramı ele alınarak, bu kavramın pekiştirilmesi ve bazı uygulamaları ile yeni sonuçlar çıkartılması amaçlanmıştır.

Topolojik gruplar, sınırlı topolojik gruplar ve mixed topolojik gruplarla ilgili bu çalışmada öncelikle topolojik grup tanımı ve bununla ilgili temel kavramlar verildikten sonra cebir ve topolojinin ortak çalışabileceği teorilere yer verilmiştir. Topolojik grup kavramı öncelikle Rus matematikçi L.S. Pontryagin tarafından “Selected Works” adlı çalışmasında teorik olarak ele alınmıştır. Bu kavram ayrıca Taqdir Hussain tarafından “Introduction to Topological Groups” başıklı kitabında derinlemesine incelenmiştir. Topolojik gruplarla ilgili literatürde çok sayıda çalışma bulunmamasına rağmen bu kavramın uygulamaları ile ilgili makaleler bulunmaktadır. Topolojik grup kavramının yerel özelliklerinden yola çıkıldığında cebirsel topolojinin önemli bazı kavramları olan Lie grupları, Lie cebiri, grup temsilleri gibi kavramların ortaya çıktığı görülür.

Bu çalışmanın ilk bölümünde topolojik grup kavramının temel özellikleri incelenmiştir. Topolojik grup yapısı, bir grup ve o grup üzerindeki topolojinin grup yapısıyla uyumlu olabilmesi durumunda ortaya çıkar. Uyumluluk, grup üzerindeki işlemin ve bir elemanı tersine götüren dönüşümün sürekliliği ile açıklanır. Bir topolojik grup, aynı zamanda bir grup olduğundan bir birim elemanı vardır. Birim eleman üzerinden çalışılabilme avantajı özellikle yerel topolojik özelliklerin araştırılmasında çok önemlidir. Ayrıca bu çalışmanın ilk kısmında, grup teorisindeki alt grup, normal alt grup, bölüm grubu ve çarpım grubu yapıları topoloji göz önüne alınarak topolojik gruplara taşınmıştır. Bunun yanı sıra, topolojik grupların sadece cebirsel özellikleri değil bağlantılılık, kompaktlık, düzgünlük gibi topolojik özellikleri de incelenmiştir.

Tezin ikinci bölümünde öncelikle sınırlı topolojik gruplar ele alınmış, Kazem Haghnejad Azar’ın “Bounded Topological Groups” adlı çalışmasından yararlanılarak sınırlı topolojik gruplarda bir topolojik grubun sınırlı olması, sınırlılığın analizdeki

(9)

sınırlılıkla ilişkisi, sınırlılığın kompaktlık, kapalılık ve bağlantılılık kavramları ile ilişkileri incelenmiştir.

İkinci bölümün ikinci kısmında mixed topolojik gruplar ele alınmıştır. Bu kısımda N.R.Das ve P.Das’ın “Mixed Topological Groups” adlı çalışmasından yararlanılarak aynı grup üzerinde farklı iki topoloji kullanılarak belli amaçları sağlayan yeni bir topolojik grup elde edilmiş ve bu topolojik grubun sağladığı durumlar incelenmiştir. N.R.Das ve P.Das’ın bu çalışmaları ışığında 2.2.4. örneği verilmiş, 2.2.7. ve 2.2.9. teoremlerinde alt uzayda ve çarpım uzaylarında mixed topolojilerin nasıl oluşturulacağı kanıtlanmıştır.

(10)

I. BÖLÜM

TOPOLOJİK GRUPLAR

1.1. GENEL KAVRAMLAR

1.1.1. Tanım: G boştan farklı bir küme, “⋅” G üzerinde bir ikili işlem olsun.

i) Her , ,a b c∈G için a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) (a b c) sağlanır.

ii) Bir e∈G için her hangi bir a∈G elemanı alındığında a e⋅ = ⋅ =e a a sağlanır. iii) Her a∈G için a a⋅ −1=a a−1. =e olacak biçimde bir a−1∈G vardır.

koşullarını sağlayan ( , )G ⋅ cebirsel yapısına bir grup denir.

1.1.2. Tanım: G boştan farklı bir küme,

τ

⊆℘( )G olsun. Eğer;

i) ∅ ∈

τ

ve G∈

τ

ii) Her ,A B∈

τ

için A∩ ∈B

τ

iii) Her A_i∈

τ

için _i i I

A

τ

∈ ∈

∪

koşulları sağlanıyorsa

τ

ailesine G üzerinde bir topoloji ve ( , )G

τ

ikilisine de

topolojik uzay denir.

1.1.3. Not: ( , )G

τ

bir topolojik uzay, a∈G olsun.

a elemanının komşuluklar ailesi B( )a _{ile gösterilir.}

{

}

( )a = N⊆ ∃ ∈G T

τ

için a∈ ⊆T N

(11)

1.1.4. Tanım: ( , )G

τ

ve ( , )H δ topolojik uzaylar ve f G: →H bir dönüşüm olsun. Eger f dönüşümü;

i) Her B∈δ için f−1( )B ∈

τ

sağlanır.

ii) Her a∈G ve her V∈B( ( ))f a _{için ( )}_{f U} ⊆_V _{sağlayan bir}_U∈B_{( )}_a _vardır.

koşullarından birini sağlıyorsa f ’ye sürekli dönüşüm denir.

1.1.5. Tanım: ( , )G

τ

ve ( , )H δ topolojik uzaylar ve f G: →H bir dönüşüm olsun.

f homeomorfizma ⇔ (i) f , 1-1 ve örten (ii) f sürekli (iii) 1 f− sürekli olmasıdır. 1.1.6. Tanım: Eğer; i) ( , )G ⋅ bir gruptur.

ii) G bir topolojik uzaydır.

iii) : G G⋅ × →G ve : Gϕ →G ( , )a b a b. aa−1

dönüşümleri süreklidir.

koşulları sağlanıyorsa G kümesine bir topolojik gruptur denir.

(iii) koşulu aşağıdaki (a) ve (b) koşullarına denktir;

a) Her ,a b∈G ve her W∈B( . )a b _için_{U V}_. ⊆_W _{olacak biçimde bir}_U∈B_{( )}_a _ve

bir V∈B( )b _vardır.

b) Her a∈G ve her V∈B( )a _için 1

U− ⊆V olacak biçimde bir U∈B( )a _vardır.

(12)

c) Her ,a b∈G ve her W∈B( .a b−1)_için 1

.

U V− ⊆W olacak biçimde U∈B( )a _ve

bir V∈B( )b _vardır.

1.1.7. Önerme: G bir topolojik grup olsun. c∈G elemanı bir a∈G ve bir r∈ için r

a biçiminde yazılabiliyorsa W∈B( )c _için r

U ⊆W sağlayan bir U∈B( )a

kümesi vardır.

Kanıt: c∈G ∋ ∃ ∈a G , ∃ ∈r ∋ c=ar olsun.

r∈ olması durumunda önermenin doğruluğu aşağıdaki gibi kanıtlanır.

, c∈G ∋ ∃ ∈a G ∃ ∈r ∋ c=ar olsun. 1 r= durumunda, 1 ( ) W a

∀ ∈B _için∃ ∈_W B_{( )}_a ∋ _W ⊆_W _oldu_ğ_{undan önermenin ko}_ş_{ulu sa}_ğ_lanır.

2

r= durumunda,

2

( )

W a

∀ ∈B _{alınırsa 1.1.6. Tanımın (a)}_ş_{ıkkı kullanılarak}∃ ∈_U B_{( )}_a ∋ _{U U}_. ⊆_W

bulunur. Yani, 2 ( ) W a ∀ ∈B _için 2 ( ) U a U W

∃ ∈B ∋ ⊆ _oldu_ğ_{undan önermenin ifadesi sa}_ğ_lanır. r=k için önermenin ifadesi sağlansın. Bu durumda,

( k) W a ∀ ∈B _için _{( )} k U a U W ∃ ∈B ∋ ⊆ _olacaktır. 1 r= +k durumunda, 1 ( k ) W a + ∀ ∈B _alınsın. 1 . k k

a + =a a biçiminde yazılabileceğinden ve 1.1.6. Tanımdan

( ) , ( k)

U a V a

∃ ∈B ∃ ∈B ∋ _{U V}_. ⊆_W_{bulunur. Buradan} _r=_k_durumundaki

varsayım kullanılırsa; 1 ( k ) W a + ∀ ∈B _için _{( )} _. k _. U a U U U V W ∃ ∈B ∋ ⊆ ⊆ _olacaktır.

∴ c∈G ∋ ∃ ∈a G , ∃ ∈r ∋ c=ar için, her W∈B( )c _için r U ⊆W

sağlayan bir U∈B( )a _{kümesi vardır.}

,

c∈G ∋ ∃ ∈a G ∃ ∈r ∋ c=ar olsun.

0

r< ise c=(a− −1) r , a−1∈G yazılabilir. − >r 0 olacağından yukarıdaki kanıtta a yerine a−1 alınarak kanıt tamamlanır.

(13)

∴ c∈G ∋ ∃ ∈a G ,∃ ∈r ∋ c=ar için, her W∈B( )c _için r U ⊆W

sağlayan bir U∈B( )a _{kümesi vardır.}

1.1.8. Önerme: G bir topolojik grup olsun.

Bir c∈G elemanı a a₁, ₂,...,a_n∈G , r r₁, ₂,...,r_n∈ olmak üzere 1 2

1 . 2 .... n r r r n c=a a a

biçiminde yazılırsa, her W∈B( )c _için 1 2

1 . 2 .... n r r r n U U U ⊆W olacak biçimde ( ) i i U a ∃ ∈B _,_i=_{1, 2,...,}_n_{kümeleri vardır.}

Kanıt: Her n∈ için a a1, 2,...,an∈G , r r1, 2,...,rn∈ olmak üzere

1 2 1 . 2 .... n r r r n

c=a a a elemanı için önermenin doğruluğu tümevarımla gösterilebilir.

1

n= için 1

1 r

c=a olacaktır. 1.1.7. Önermeden her W∈B( )c _için

1 ( )1 U a ∃ ∈B 1 1 ( )1 r U a ∋ ∈B _oldu_ğ_{u görülür.} ∴ n=1 için önermenin ifadesi doğrudur.

n=k için önermenin ifadesi doğru olsun. Bu durumda, her W∈B( )c _için 1 2 1 . 2 .... k r r r k U U U ⊆W olacak biçimde ∃ ∈U_i B( )a_i _,_i=_{1, 2,...,}_k vardır. 1 n= +k durumunda 1 2 1 1 . 2 .... . 1 k k r r r r k k c a a a a + + = elemanını 1 1 2 1 2 1 ( r. r.... rk). rk k k c a a a a + +

= biçiminde iki elemanın çarpımı olarak düşünülürse 1.1.6. Tanımdan her W∈B( )c _için,_{U V}_. ⊆_W _{olacak biçimde}

1 2 1 2 ( r. r.... rk) k U a a a ∃ ∈B _, 1 1 ( rk ) k V a + +

∃ ∈B _{vardır. Buradan}_n=_k_durumundaki

varsayım ve 1.1.7. Önerme kullanılarak 1 2 1

1 . 2 .... . 1 . k k r r r r k k U U U U + U V W + ⊆ ⊆ olacak biçimde ∃ ∈U_i B( )a_i _, 1 ( 1) k k U ₊ a ₊ ∃ ∈B _bulunur.

∴n= +k 1 için önermenin ifadesi doğrudur.

∴ Her n∈ için a a₁, ₂,...,a_n∈G , r r₁, ₂,...,r_n∈ olmak üzere 1 2

1 . 2 .... n r r r n c=a a a

olmak üzere her W∈B( )c _için 1 2

1 . 2 .... n r r r n U U U ⊆W olacak biçimde ∃ ∈U_i B( )a_i _, 1, 2,..., i= n kümeleri vardır.

(14)

1.1.9. Önerme: G bir topolojik grup ve a∈G olmak üzere,

:

f G→G , f ' :G→G ve ϕ: G→G xx a. xa x. xx−1

biçiminde tanımlanan f, f ' ve ϕ dönüşümleri birer homeomorfizmadır.

Kanıt: Her x x₁, ₂∈G için f x( )₁ = f x( ₂) ise x a₁. =x a₂. dır. Buradan, G kümesinin bir grup olduğu kullanılarak x₁ =x₂ olduğu görülür.

f

∴ fonksiyonu 1-1’dir.

Her y∈G için ∃ =x y a. −1∈G ∋ f x( )= f y a( . −1)=( .y a−1).a= y a a.( −1. )= y olacağından f fonksiyonu örtendir.

Her W∈B( ( ))f x =B( . )x a _{alınırsa 1.1.6. Tanımdan} _{U V}_. ⊆_W _sa_ğ_layan

( ) , ( )

U x V a

∃ ∈B ∃ ∈B _{kümeleri vardır.} _{f U}_{( )}=_{U a}_{.{ }}_ve _{a V}∈ _oldu_ğ_u

kullanılarak

( ) .{ }

f U =U a ⊆U V. ⊆W olacağı görülür. Bu durumda, her W∈B( ( ))f x _için

( )

f U ⊆W sağlayan ∃ ∈U B( ) ,x ∃ ∈V B( )a _{kümesi vardır.} f

∴ süreklidir.

f dönüşümü 1-1 örten olduğundan,

f−1:G→G

y y a. −1

dönüşümü f ’nin ters fonksiyonudur ve sürekliliği f dönüşümünün sürekliliğine benzer şekilde gösterilebilir.

f

∴ homeomorfizmadır.

'

f dönüşümünün homeomorfizma olduğu f dönüşümününkine benzer şekilde gösterilebilir.

(15)

Her x x₁, ₂∈G için ϕ( )x₁ =ϕ(x₂) ise x₁−1=x₂−1 ‘dir. Buradan

1 1

1. 1 . 2 1. 2 . 2

x x− x =x x− x eşitliğinden x₁=x₂ olduğu görülür.

ϕ

∴ fonksiyonu 1-1’dir.

Her y∈G için ∃ =x y−1∈G ∋ ϕ( )x =ϕ(y−1)=(y− −1) 1= y olacağından ϕ fonksiyonu örtendir. G topolojik grup olduğundan, ϕ süreklidir. ϕ ϕ= −1 olacağı göz önüne alınarak ϕ−1

dönüşümü de süreklidir.

ϕ

∴ homeomorfizmadır.

1.1.10. Tanım: G bir topolojik uzay olsun. Her p q, ∈G için,

g G: →G pg p( )=q

olacak biçimde bir g homeomorfizması varsa G topolojik uzayına homojendir denir.

1.1.11. Sonuç: G bir topolojik grup ise her p q, ∈G için, g G: →G

pg p( )=q

olacak biçimde bir g homeomorfizması vardır. Yani, G topolojik grubu homojendir.

Kanıt: G bir topolojik grup olsun.

Her p q, ∈G verilsin. a= p q. −1 alınırsa 1.1.9. Önermede f G: →G biçiminde bir

xx a.

homeomorfizmanın tanımlanabileceği kullanılarak,

1 1

( ) . .( . ) ( . ).

f p = p a= p p q− = p p− q=q olacaktır.

G

∴ homojendir.

1.1.12. Not: Her topolojik grup homojen olduğundan bir topolojik grubun yerel özellikleri tek bir noktası üzerinden incelenebilir. Bu yüzden e grubun birim elemanı

(16)

olmak üzere yerel özellikler için yalnızca e birim elemanı üzerinden çalışılması yeterli olacaktır.

1.1.13. Önerme: G bir topolojik grup olsun. Eğer,

F G’nin kapalı bir alt kümesi, U G’nin açık bir alt kümesi, P G’nin herhangi bir alt kümesi ve a∈G ise F a a F. , . ve 1

F− kapalı kümeler; U P. , P U. ve U−1

açık kümelerdir.

Kanıt: F kapalı bir küme ve 1.1.9. Önermedeki f G: →G dönüşümü

xx a.

homeomorfizma olduğundan f F( )=F a. kümesi de kapalıdır.

.

a F kümesinin kapalılığı da f ' :G→G dönüşümünün homeomorfizma xa x.

olması kullanılarak benzer biçimde gösterilir.

1.1.9. Önermedeki ϕ: G→G dönüşümünün bir homeomorfizma ve F xx−1

kümesinin kapalı olduğu kullanılarak ϕ( )F kümesi kapalıdır. Bu durumda,

1 1

( )F { ( )x x F} {x x F} F

ϕ ₌ ϕ _∈ ₌ − _∈ ₌ −

kümesi kapalı küme olacaktır.

U açık bir küme ise benzer şekilde U a a U. , . ve U−1 kümelerinin de açık olduğu gösterilir.

P G’nin herhangi bir alt kümesi ve U G’nin açık bir kümesi ise her a∈P için

.

U a açık kümeler ve açık kümelerin bileşimi de açık olacağından ( . ) .

a P

U a U P

∈

=

∪

açık olacaktır. Benzer biçimde P U. kümesinin de açık olduğu gösterilebilir.

1.1.14. Örnek:

1) ( , )+ bir grup ve

1

d

τ

her x y, ∈ için d x y₁( , )= −x y metriği ile üzerine kondurulmuş topoloji olsun.

2

d

τ

, d₂(( ,x y₁ ₁), ( ,x y₂ ₂))= (x₁−x₂)2+(y₁−y₂)2 biçiminde tanımlı d metri₂ ği ile × üzerine kondurulmuş topoloji olsun.

(17)

:+ × → ve f : → ( , )x y x+y x−x

dönüşümlerinin sürekliliği açıkça görüldüğünden ( , )+

1

d

τ

topolojisi ile bir topolojik gruptur.

2) ( ,

τ

_d) topolojik grubu verildiğinde bölüm grubu bir topolojik gruptur.

3) G= n kümesi, x=( ,x x₁ ₂,...,x_n) ve y=( ,y y₁ ₂,...,y_n)∈G için

1 1 2 2

( , ,..., _n _n)

x+ =y x +y x +y x +y işlemi ile bir gruptur.

G, 2 1 ( , ) ( ) n i i i d x y x y =

=

∑

− metriği ile tanımlanan topoloji ile bir topolojik gruptur. Bu topolojik grup kompakt olmayan, ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlayan yerel kompakt topolojik gruptur.

4) G bir grup ve üzerinde ayrık olmayan topoloji tanımlanmış olsun. 1 .

G G− =G

olduğundan topolojik grup tanımından süreklilik koşulu sağlanacaktır. O halde, G

bir topolojik gruptur. Bu topolojik uzay Hausdorff uzayı değildir.

5) G bir grup ve üzerinde ayrık topoloji tanımlanmış olsun. Her x y, ∈G olmak üzere, 1

.

x y− elemanının herhangi bir W komşuluğu için x elemanının bir

{ }

x ve y

elemanının

{ }

y açık komşulukları vardır ve

{ } { }

x . y −1 =

{ }

x y. −1 ⊆W olacaktır. O halde, G bir topolojik gruptur. Bu topolojik uzay Hausdorfftur.

1.1.15. Önerme: ( , )X

τ

bir topolojik uzay olsun.

( , )X

τ

uzayının düzgün olması için gerekli ve yeterli koşul her x∈X elemanının her U komşuluğu için V ⊆U sağlayan açık bir V komşuluğu vardır. (Bourbaki,1966)

(18)

1.1.16. Önerme: Her topolojik grup düzgündür.

Kanıt: ( , )G ⋅ grubu

τ

topolojisi ile bir topolojik grup olsun. İlk olarak teoremin ifadesini e∈G birim elemanı için doğru olduğunu gösterelim.

Herhangi bir U∈B( )e _alınsın. 1 .

e=e e− olduğundan U∈B( .e e−1)_{ve 1.1.6.} Tanım kullanılarak V V. −1⊆U olacak biçimde bir V∈B( )e _oldu_ğ_{u görülür.}

p V

∀ ∈ alınsın. V∈B( )e _oldu_ğ_undan _{p V}_. ∈B_{( )}_p _{olacaktır. Bu durumda,}

.

p V∩ ≠ ∅V dır. O halde, ∃a b V, ∈ ∋ p b. =a bulunur ve buradan da

1 , . a b V p a b− ∃ ∈ ∋ = olacağından 1 . p V V∈ − olduğu görülecektir. 1 . V V− ⊆U

olduğundan V ⊆U sonucuna ulaşılır.

∴ Önermenin ifadesi e∈G için doğrudur.

1.1.12. Notu göz önüne alınırsa her a∈G elemanının her U∈B( )a _kom_ş_ulu_ğ_{u için}

V ⊆U sağlayan bir V∈B( )a _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır. Bir önceki önermeden,}_G_düzgün

uzaydır.

1.2. BİRİMİN KOMŞULUKLAR SİSTEMİ

1.2.1. Tanım: X bir topolojik uzay, a∈X , Σ ⊆℘( )X olsun.

a elemanını bulunduran her V açık kümesi için U⊆V olacak biçimde U∈Σ açık kümelerinden oluşan Σ ailesine a ’nın bir tam komşuluklar sistemi denir.

1.2.2. Tanım: G bir grup ve U⊆G olsun. 1

{

1

}

U− = a− a U∈ olmak üzere,

1

U =U− oluyorsa U kümesine simetriktir denir.

1.2.3. Önerme: Bir topolojik grubun birim elemanının simetrik kümelerden oluşan bir komşuluklar sistemi vardır.

(19)

Kanıt: V_{ailesi birimin açık kom}_ş_{uluklarının bir sistemi olsun.} 1

e=e− olduğundan herhangi bir V∈V_{kümesi için,} 1

e V∈ − olacaktır. Ayrıca V açık küme olduğundan ve 1.1.13. Önermeden V−1 de açık kümedir. Bu durumda V−1 kümesi e birim elemanının açık bir komşuluğu olur. Buradan her V∈V_{kümesi için} 1

U = ∩V V−

kümesi de e ’nin açık bir komşuluğu olacaktır. U = ∩V V−1 =U−1 olacağından U

kümeleri simetriktir. O halde her V kümesi için U ⊆V sağlayan simetrik bir U

komşuluğu vardır. Ayrıca birim elemanın her komşuluğu bir V∈V_kümesini

bulunduracağından U kümelerinin ailesi birim elemanın simetrik kümelerden oluşan bir komşuluklar sistemidir.

1.2.4. Önerme: G bir topolojik grup ve U_{ailesi birimin kom}_ş_{uluklar sistemi olsun.}

Her A⊆G için, ( . ) ( . ) U U A AU U A ∈ ∈ =

∩

=

∩

U U eşitliği sağlanır.

Kanıt: Herhangi bir x∈A alınsın. Herhangi bir U∈U_için, 1

. ( )

x U− ∈B x

olacağından A∩x U. −1≠ ∅ bulunur. Bu durumda, x u. −1∈A olacak biçimde bir

u∈U bulunur. O halde, x∈AU. olur.

( . ) U A AU ∈ ∴ ⊆

∩

U (1)

Her hangi bir ( . )

U

x AU

∈

∩

U

elemanı alınsın. Her U∈U_için_x∈_AU_. _olacaktır.

Buradan, herhangi bir P∈B( )x _için 1 .

P− x∈U_olaca_ğ_ından 1 . .

x∈A P− x bulunur. Bu durumda, x=a p. −1.x olacak biçimde bir a∈A ve bir p∈P vardır. Buradan,

1

.

a p− =e elde edilir. O halde, A∩ ≠ ∅P olacağından x∈A bulunur. ( . ) U AU A ∈ ∴

∩

⊆ U olur. (2) (1) ve (2) sonucundan ( . ) U A AU ∈ =

∩

U

elde edilir. Benzer biçimde, ( . )

U A U A ∈ =

∩

U olduğu da gösterilir.

(20)

∴ Her A⊆G için, ( . ) ( . ) U U A AU U A ∈ ∈ =

∩

=

∩

U U eşitliği sağlanır.

1.2.5. Teorem: G bir topolojik grup ise e birim elemanının,

i) Her U∈U_için_U_simetriktir.

ii) Her U∈U_için 2

V ⊆U sağlayan bir V∈U_vardır.

iii) Her U∈U_{ve her}_a∈_G_için 1

. .

a V a− ⊆U sağlayan bir V∈U_vardır.

koşullarını sağlayan bir U_{kapalı kom}_ş_{uluklar sistemi vardır.}

Tersine, yukarıdaki koşulları sağlayan bir U_{süzgeç tabanı varsa,}_G _{üzerinde tek}

şekilde tanımlı bir

τ

_u topolojisi vardır , G kümesi bu topoloji ile bir topolojik gruptur ve U_{ailesi birimin kom}_ş_{uluklar sistemidir.}

Kanıt:

G bir topolojik grup olduğundan birimin kapalı ve simetrik kümelerden oluşan bir

U_{temel kom}_ş_{uluklar sistemi vardır. O halde, (i) ko}_ş_{ulu sa}_ğ_lanır.

.

e e=e olduğundan ve topolojik grup tanımı kullanılarak her U∈U_için

V

∃ ∈U∋_{V V}_. ⊆_U_oldu_ğ_{u görülür. O halde, (ii) ko}_ş_{ulu sa}_ğ_lanır.

1.1.9. Önermede a−1∈G için f ve a∈G için f ' dönüşümlerinin homeomorfizma olduğu göz önüne alınarak f ' f bileşkesi de bir homeomorfizma dolayısıyla sürekli bir dönüşüm olur. Bu durumda, her U∈U_{ve her} _a∈_G_için

1

. .

a V a− ⊆U sağlayan bir V∈U_{kümesi vardır. O halde, (ii) ko}_ş_{ulu sa}_ğ_lanır.

Tersine, U_{(i) - (iii) ko}_ş_{ullarını sa}_ğ_{layan bir süzgeç tabanı olsun.}

Her U∈U_{için (i) ve (ii) ko}_ş_{ulları sa}_ğ_ladı_ğ_ından∃ ∈_V U 1

.

V V− U

∋ ⊆ bulunur.

Buradan, her x V∈ için x x. −1∈V V. −1⊆U dolayısıyla e U∈ bulunacaktır.

Her U∈U_{ve her}_x∈_G_için _{x U}_. _ve_{U x}_. _{kümeleri ailesi x elemanının bir temel}

komşuluklar sistemini oluşturacak şekilde G üzerinde tek şekilde bir

τ

_u topolojisi belirler. G’nin bu topoloji ile bir topolojik grup olduğunun gösterilmesi için 2.1.2 Tanım (c) koşulunun sağlandığını göstermek yeterlidir.

(21)

Her 1

( . )

W∈B x y− _{kapalı kom}_ş_ulu_ğ_{u alınırsa} 1

. . ( )

x W y− ∈B e _{kümesi kapalı bulunur.}

Bu durumda, 1

. .

x W y− ∈U_{olacaktır. Teoremin (ii) ko}_ş_{ulu sa}_ğ_landı_ğ_ından

2 1

. .

V ⊆x W y− olacak biçimde bir V∈U_{vardır. Buradan} ∃ ∈_V U_için

1

( . ).( .x V V y− )⊆W bulunur. Teoremin (i) koşulundan V kümesi simetriktir. O halde,

V ∃ ∈U_için 1 1 1 ( . ).(x V V−.y− )=( . ).( . ) x V y V − ⊆W bulunur. 1 ( . ) W x y− ∴ ∀ ∈B _için∃ _{x V}_. ∈B_{( )}_x _ve∃ _{y V}_. ∈B_{( )}_y ∋ 1 ( . ).( . ) x V y V − ⊆W olur. G

∴ kümesi

τ

_u topolojisi ile bir topolojik gruptur.

1.2.6. Tanım: G bir topolojik grup olsun. G’nin yığılma noktası yoksa G topolojik grubuna ayrıktır denir. Başka bir deyişle, herhangi bir elemanın sadece kendisini içeren bir komşuluğu varsa G topolojik grubuna ayrıktır denir.

1.2.7. Tanım: G bir topolojik uzay ve a∈G olsun. G nin a elemanını bulunduran açık kümelerden en az biri yalnızca a elemanını içeriyorsa a elemanına G nin

ayrık noktası denir.

1.2.8. Önerme: Bir G topolojik grubunun ayrık olması için gerekli ve yeterli koşul birim elemanının G’nin ayrık bir noktası olmasıdır.

Kanıt: Bir önceki tanım kullanılarak ayrık bir topolojik grubun her elemanı ayrık nokta olacağından birim eleman da ayrık nokta olacaktır.

Tersine; e∈G birim elemanı G topolojik grubunun ayrık bir elemanı olsun. Bu durumda, ∃ ∈U B( )e _için

(

_U−

{ }

_e

)

∩ = ∅_G _{olur. Buradan,}_U =

{ }

_e _bulunur.

Herhangi bir a∈G alınırsa, ∃ =V U a. =

{ }

a ∈B( )a ∋

(

_V −

{ }

_a

)

∩ = ∅_G _{dir. O}

halde, a∈G ayrık noktadır.

G

(22)

1.3. ALT GRUPLAR VE BÖLÜM GRUPLARI

1.3.1. Tanım: G bir topolojik grup ve H ⊆G olsun.

,

H G kümesinin bir alt grubu ise G kümesinin H üzerine indirgediği topolojiye göre H bir topolojik gruptur. Bu H kümesine G’nin topolojik alt grubu denir.

G bir topolojik grup ve N⊆G olsun.

,

N G kümesinin normal alt grubu ve topolojik alt grubu ise N kümesine G

topolojik grubunun topolojik normal alt grubu denir.

1.3.2. Önerme: G bir topolojik grup ve H G, ’nin alt grubu ise,

i) H , G’nin topolojik alt grubudur.

ii) H G, ’nin normal alt grubu ise H , G’nin topolojik normal alt grubudur.

iii) H kümesi, G üzerindeki topolojiye göre açık küme ise H =H’tır.

koşulları sağlanır.

Kanıt:

i) H kümesinin G’nin bir alt grubu olduğu gösterilirse istenilen elde edilir.

Her a b, ∈H alınsın. Her W∈B( .a b−1)_için, _G_{topolojik grup oldu}_ğ_undan

1

.

U V− ⊆W sağlayan bir U∈B( )a _{ve bir}_V∈B_{( )}_b _{vardır. ,}_{a b}∈_H_oldu_ğ_undan

U∩ ≠ ∅H ve V∩ ≠ ∅H bulunur. Bu durumda ∃ ∈ ∩x U H ve ∃ ∈ ∩y V H

elemanları vardır. Buradan x y. −1∈U V. −1⊆W ve H G, ’nin alt grubu olduğundan

1

.

x y− ∈H bulunur. O halde, 1

.

x y− ∈ ∩W H olacaktır. Bu da, a b. −1∈H olduğunu gösterir.

∴ ∀a b, ∈H için a b. −1∈H bulunur.

H

∴ , G’nin alt grubudur.

ii) H kümesinin G’nin normal alt grubu olduğu gösterilirse önermenin ifadesi elde edilecektir. Her a∈H ve her g∈G alınsın. Her W∈B(g−1. . )a g _için,_G_topolojik

(23)

grup olduğundan V−1. .U V ⊆W sağlayan bir U∈B( )a _{ve bir} _V∈B_{( )}_g _vardır.

g∈V olduğundan 1

. .

g U g− ⊆W bulunur. a∈H olduğundan U∩ ≠ ∅H dır. Bu durumda, ∃ ∈ ∩x U H elemanı vardır. Buradan, g−1. .x g∈g U g−1. . ⊆W ve

,

H G’nin normal alt grubu olduğundan g−1. .x g∈H bulunur. O halde,

1

. .

g− x g∈ ∩W H olacaktır. Bu da, g−1. .x g∈H olduğunu gösterir.

∴ ∀ ∈a H ve ∀ ∈g G için g−1. .x g∈H bulunur.

H

∴ , G’nin normal alt grubudur.

iii) H G, ’nin açık bir alt kümesi olsun.

H ⊆H her zaman doğrudur.

Herhangi bir a∈H alınsın. H birim elemanı bulunduran açık bir küme olduğundan

.

a H kümesi de a elemanını bulunduran açık bir kümedir. Bu durumda,

.

a H∩ ≠ ∅H olacaktır. ∃ ∈x a H. ∩H elemanı vardır. x∈a H. , x∈H ve H bir grup olduğundan a−1.x∈H ve x−1∈H bulunur. Buradan da, (a−1. ).x x−1∈H

bulunur. Grubun özellikleri kullanılarak a∈H olduğu görülür. O halde, H ⊆H

olur.

∴ H =H bulunur.

1.3.3. Önerme: G bir topolojik grup olsun.

H alt grubunun kapalı küme olması için gerekli ve yeterli koşul bir U∈B( )e _kapalı

komşuluğu için H∩ ⊆U G kümesinin kapalı olmasıdır.

Kanıt: H G’nin kapalı bir alt kümesi ise kapalı bir U∈B( )e _kom_ş_ulu_ğ_{u için} H∩U G’nin kapalı bir alt kümesi olur.

Tersine, ∃ ∈U B( )e _{kapalı kom}_ş_ulu_ğ_{u için}_H∩_U_{kapalı bir küme olsun.}

( )

U∈B e _oldu_ğ_undan∃ ∈_V B_{( )}_e 2 V U

∋ ⊆ olacaktır.

H kapalı bir alt küme olması için H ⊆H olduğunun gösterilmesi yetecektir.

x∈H alınırsa, 1.3.2. Önermeden H kümesi de bir alt grup olacaktır. Böylece,

1

(24)

Dolayısıyla, 1 1

. ( )

V x− ∈B x− _kom_ş_ulu_ğ_{u için} 1 . V x− ∩ ≠ ∅H bulunur. Buradan, 1 . y V x− H ∃ ∈ ∩ vardır.

Ayrıca, x∈H olduğundan H kümesinde x elemanına yakınsayan bir

{ }

x_α

ağı vardır. x V. ∈B( )x _oldu_ğ_undan

0

α α

∀ ≥ için x_α∈x V. sağlayan bir α₀ vardır. y x, _α∈H ve H alt grup olduğundan y x. _α∈H ’dır. ∀ ≥α α₀ için

1 2

. . . .

y x_α∈V x− x V =V ⊆U bulunur. Böylece, .y x_α∈ ∩H U olur.

{ }

. .

y x_α →y x olacağından ve H∩U kapalı olduğundan y x. ∈ ∩H U bulunur. Buradan, x= y−1. .y x∈H2 =H olur. O halde, x∈H olacaktır.

H

∴ kapalı bir alt gruptur.

1.3.4. Tanım: G bir topolojik grup ve H G’nin alt grubu olsun. Her x∈G için G

H bölüm kümesi H x. sağ denklik sınıflarının kümesi ve

:G G

H

ϕ → xH x.

doğal dönüşümü göz önüne alınsın. ϕ dönüşümünü sürekli kılan G

H bölüm

kümesi üzerindeki en ince topoloji bölüm topolojisidir. G

H bölüm kümesine

üzerinde tanımlanan topoloji ile birlikte bölüm uzayı denir.

1.3.5. Teorem: G bir topolojik grup ve H G’nin alt grubu olsun.

G

H bölüm uzayı ve ϕ doğal dönüşüm olmak üzere, aşağıdakiler sağlanır: i) ϕ örtendir.

ii) ϕ süreklidir.

iii) ϕ açık dönüşümdür.

iv) G

(25)

Kanıt: i)şıkkı açıktır.

ii) 1.3.4. Tanımdan sağlanır.

iii) U , G’nin açık bir alt kümesi olsun.

Eğer ϕ ϕ−1( ( ))U kümesinin G’de açık olduğu gösterilirse1.3.4. Tanımdan ϕ( )U

açık bir küme olacaktır.

1

( ( ))U {x G ( )x ( ) } {U x G H x. ( )}U H U.

ϕ ϕ− _{= ∈} ϕ _∈ϕ _{= ∈} _∈ϕ ₌

olur. Varsayımdan,

U , G’nin açık bir kümesi ise H U. kümesi de açık olacaktır. O halde, ϕ ϕ−1( ( ))U

açık küme olur.

∴ ϕ( )U açıktır.

∴ ϕ açık dönüşümdür.

iv)

υ

, ϕ’yi sürekli kılan G

H üzerindeki bölüm topolojisinden farklı bir

topoloji olsun. V kümesi

υ

topolojisine göre açık bir küme olsun. ϕ−1( )V kümesi

G’de açık bir kümedir. 1.3.4. Tanımdan V kümesi bölüm topolojisinin bir elemanıdır. Dolayısıyla

Bölüm topolojisi G

H üzerinde ϕ’yi sürekli kılan en ince topolojidir.

1.3.6. Önerme: G bir topolojik grup , H G’nin alt grubu , ϕ doğal dönüşümü ve

A⊆G olsun.

{ .H a a∈A} kümesinin G

H’da açık olması için gerekli ve yeterli koşul

. .

a A

H a H A

∈

=

∪

kümesinin G’de açık olmasıdır.

Kanıt: D={ .H a a∈A}_{kümesi G}

H ’da açık bir küme olsun.

ϕ doğal dönüşümü sürekli olduğundan,

1 ( ) { ( ) . } { . . } { . } . x G x H x x H x H a x x H a H a ϕ− _{= ∈} ϕ ₌ _{∈ =} ₌ = ∈ = D D

kümesi G’de açık kümedir. Açık kümelerin bileşimleri de açık küme olacağından

.

(26)

∴ . .

a A

H a H A

∈

=

∪

kümesi G’de açıktır.

Tersine, . .

a A

H a H A

∈

=

∪

kümesi G’de açık bir küme olsun. 1.3.5. Teoremden

ϕ açık dönüşümdür. Dolayısıyla,

( . )H A { ( )x x H A. } { .H x x H A. } { .H a a A}

ϕ = ϕ ∈ = ∈ = ∈

kümesi de açık olacaktır.

1.3.7. Önerme: G bir topolojik grup , H G’nin alt grubu ise G

H bölüm uzayı

homojendir.

Kanıt: Her hangi ,x y G H

∈ alınsın. Bu durumda, x =x H. ve y = y H. olacaktır.

1 . y x α ₌ − _{olsun. Her} _G x H ∈ için, : G G f H H α → x f_α( )x =α.x

biçiminde bir dönüşüm tanımlansın. f_α iyi tanımlıdır.

, G

x y H

∈ için, f_α( )x = f_α( )y olsun. Bu durumda, α.x=α.y olacaktır. 1

.

y x

α ₌ −

olduğundan, y x. −1.x= y x. −1.y bulunur. Buradan da, y=y x. −1.y olur. Bu da,

1

.

x− y=e olduğunu gösterir. O halde, x =y bulunur.

f_α birebirdir. Her y G

H

∈ için, bir α−1 =( .x y− −1) 1∈G elemanı vardır ve 1.y G H

α− _∈

dır.

( )

1

.

f_α α− y = y olur. O halde, f_α örtendir.

1 : G G f H H α− → x f_α−1( )x =α−1.x

dönüşümü f_α’nın tersidir. f_α’nın açık olduğu gösterilirse, f_α−1 dönüşümü de benzer şekilde açık olacağından f_α bir homeomorfizma olacaktır.

(27)

{ .H u u U}

= ∈

D _{kümesi G}

H ’da açık bir küme olsun. ϕ sürekli

olduğundan 1

( ) U

ϕ− _D ₌ _kümesi

G’de açıktır. G bir topolojik grup olduğundan,

. .H U

α kümesi de G’de açık bir kümedir. Buradan, ϕ açık dönüşüm ve

( ) ( . . )

f_α D =ϕ α H U _oldu_ğ_undan _f_α_{( )}_{D kümesi G}

H’da açık bir küme olarak

bulunur.

∴ f_α açık dönüşümdür.

∴ G

H bölüm uzayı homojendir.

1.3.8. Önerme: G bir topolojik grup , N G’nin normal alt grubu olsun. G

N

bölüm grubu üzerindeki bölüm topolojisine göre,

: G G

h

N → N

( , )x y x y. −1

dönüşümü süreklidir.

Kanıt: Her hangi bir W*∈B( .x y−1)_kom_ş_ulu_ğ_{u alınsın.}ϕ_do_ğ_{al dönü}_ş_{ümü sürekli} olduğundan ϕ−1(W*)∈B( .x y−1)_olacaktır. _G_{bir topolojik grup oldu}_ğ_undan,

1 1 *

. ( )

U V− ⊆ϕ− W sağlayan bir U∈B( )x _{ve bir} _V∈B_{( )}_y _kom_ş_{ulukları vardır.}

Buradan, ϕ( .U V−1)⊆ϕ ϕ( −1(W*))⊆W* bulunur. ϕ dönüşümünün homeomorfizma olduğu kullanılarak,

1 1 *

( .U V ) ( ). ( )U V W

ϕ − ₌ϕ ϕ − _⊆ _sa_ğ_{layan bir} _ϕ_{( )}_U _∈_B_{( )}_x _ve _ϕ_{( )}_V _∈_B_{( )}_y

komşulukları bulunur.

O halde, h dönüşümü süreklidir. Bu durumda, G

N bölüm grubu üzerindeki bölüm topolojisi ile bir topolojik

(28)

1.3.9. Tanım: G bir topolojik grup , N G’nin normal alt grubu olsun.

G

N topolojik grubuna G topolojik grubunun N normal alt grubu ile topolojik bölüm grubu denir.

1.3.10. Önerme: G topolojik grup, H <G ise G

H bölüm uzayı düzgündür.

Kanıt: G bir topolojik grup , H <G ve G

H bölüm kümesi H alt grubunun sağ

denklik sınıfları uzayı olsun. G

H bölüm uzayı homojen olduğundan düzgünlüğü G

H kümesindeki birim olan H denklik sınıfı ile çalışılması yeterli olacaktır.

Her hangi bir U*∈B(H) _alınırsa, _U∈B_{( )}_e _dir. _Buradan,

1

.

V V− ⊆Usağlayan bir V∈B( )e _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır. E}_ğ_er, * *

V ⊆U olduğu gösterilirse düzgünlüğün birim eleman için ifadesi sağlanmış olacaktır.

.

x∈H V alınsın. x V. ∈B( )x _oldu_ğ_undan _{x V}_. ∩_{H V}_. ≠ ∅_{bulunur. Bu}

durumda, bir c∈x V. ∩H V. elemanı vardır. Buradan, c=x a. =h b. olacak biçimde

,

a b V∈ ve h∈H vardır. x=h b a. . −1∈H V V. . −1 ve V V. −1⊆U olduğu kullanılarak

. x∈H U bulunur. O halde, H V. ⊆H U. bulunur. ( . )H V { .H x x H V. } { .H v v V ϕ = ∈ = ∃ ∈ için x=h v. } ={ .H v v V∈ }=V*

Benzer biçimde, ϕ( . )H U =U* olacaktır.

. .

H V ⊆H V göz önüne alınarak ϕ( . )H V ⊆ϕ( . )H V olur. ϕ doğal dönüşümü homeomorfizma olduğundan ϕ( . )H V kapalı kümedir. ϕ( . )H V kümesi ϕ( . )H V ’yi kapsayan en küçük kapalı küme olduğundan ϕ( . )H V ⊆ϕ( . )H V bulunur. Ayrıca,

. .

H V ⊆H U olduğu kullanılarak ϕ( . )H V ⊆ϕ( . )H U olacağından ϕ( . )H V ⊆ϕ( . )H U

(29)

∴ G

H bölüm uzayı düzgündür.

1.3.11. Önerme: G bir topolojik grup , H G’nin alt grubu olsun.

G yerel kompakt ise G

H bölüm uzayı da yerel kompakttır.

Kanıt: :G G H

ϕ → doğal dönüşümü ve a∈G olsun. G yerel kompakt olduğundan kapanışı kompakt olan bir U∈B( )a _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır.}

U kapalı ve kompakt bir küme ϕ dönüşümü sürekli olduğundan ( )ϕ U kompakttır.

G

H bölüm uzayı Hausdorff uzay olduğundan ( )ϕ U kapalı bir küme olur.

U ⊆U olduğundan ϕ( )U ⊆ϕ( )U ve ϕ( )U kümesi ϕ( )U kümesini kapsayan en küçük küme olduğundan ϕ( )U ⊆ϕ( )U bulunur. Buradan ϕ( )U kompakt, ϕ( )U

onun kapalı alt kümesi olduğundan ϕ( )U kümesi de kompakt bulunur. Her hangi bir a H. ∈G

H elemanı için U kompakt olan bir U∈B( )a komşuluğu

olduğundan ϕ( )U ∈B( . )a H _{kompakt kom}_ş_ulu_ğ_{u bulunur.}

∴ G

H bölüm uzayı da yerel kompakttır.

1.3.12. Önerme: G bir topolojik grup , H G’nin kompakt alt grubu ve

:G G

H

ϕ → doğal dönüşüm olsun. Eğer, Q G H

⊆ kümesi kompakt ise ϕ−1( )Q

kümesi kompakttır.

Kanıt: ∆, ϕ−1( )Q alt uzayının kapalı alt kümelerden oluşan sonlu arakesit özelliğine sahip bir aile olsun. ∆*

ailesi de *

{

}

( )F Q F ϕ

∆ = ⊆ ∈∆ biçiminde

tanımlansın.

∆ ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip olduğundan,

1 n i i F = ≠ ∅

∩

, F_i∈∆ sağlanır.

(30)

Buradan,

( )

1 1 n n i i i i F F ϕ ϕ = =   ∅ ≠  ⊆ 

∩



∩

olacaktır. Bu durumda, * ∆ ailesi de sonlu arakesit özeliğine sahiptir. Q kompakt olduğundan, ∆*

ailesinin keyfi arakesitleri de boştan farklı olacaktır. Bu durumda, ∆* ailesindeki kümelerin ortak bir a H. kapanış

noktası vardır.

Her hangi bir U∈B( )e _alınırsa, _{( . ).}_{a H U} _{kümesinde bulunan denklik}

sınıflarını içeren U* G H

⊆ kümesi açıktır ve a H. ∈U* olacaktır. Sonuç olarak,

* ( ) . ( ) F a H F ϕ ϕ ∈∆ ∈

∩

ve * .

a H∈U olduğundan, her ϕ( )F ∈ ∆* için ϕ( )F ∩U*≠ ∅ olur. Yani,

F∈∆ olmak üzere, F U. −1∩a H. ≠ ∅ olacaktır. Bu durumda,

{

1

}

' F U. − a H F. ,U ( )e

∆ = ∩ ∈∆ ∈B _{ailesi sonlu arakesit özelli}_ğ_{ine sahiptir.}

.

a H denklik sınıfı H kompakt uzayı ile topolojik eş yapılı olduğundan a H. kümesi de kompakt olur. ∆' ailesi sonlu arakesit özelliğine sahip olduğundan ∆' ailesindeki kümelerin ortak bir a kapanış noktası vardır.

( )

V∈B e _alınsın. 1

. .

F U− ∩a V ≠ ∅ bulunur. Buradan da, F∩a V U. . ≠ ∅

olur.

Her hangi bir W∈B( )e _alınırsa, ∃_{U V}_, ∈B_{( )}_e ∋ _{V U}_. ⊆_W _olaca_ğ_ından,

. . .

a V U ⊆a W buradan da F∩a V U. . ⊆ ∩F a W. bulunur. Bu durumda, F∩a W. ≠ ∅

olur.

O halde, a∈F olur. F kapalı küme olduğundan a∈F olacaktır.

Her F∈∆ için a∈F bulunduğundan ∆ ailesinin keyfi arakesitleri boştan farklı olur.

(31)

1.4. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

1.4.1. Tanım: G ve G* iki topolojik grup ve *

:

g G→G bir dönüşüm olsun.

Eğer, g G: →G* bir grup homomorfizması ve sürekli bir dönüşüm ise g’ye bir homomorfizma denir.

Eğer g G: →G* homomorfizma ve açık dönüşüm ise g’ye açıktır denir.

1.4.2. Tanım: G ve G' iki topolojik grup ve f G: →G' bir dönüşüm olsun.

Eğer, f G: →G' bir grup izomorfizması ve bir topolojik eş yapı dönüşümü (homeomorfizma) oluyorsa f ’ye izomorfizma denir.

Eğer G=G' ise bu izomorfizmaya otomorfizma denir.

1.4.3. Önerme: G ve G* iki topolojik grup ve g G: →G* bir grup homomorfizması olsun.

g dönüşümünün sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul * *

e ∈G birim elemanının her U* komşuluğu için g U( )⊆U* olacak biçimde e∈G birim elemanının bir U komşuluğu olmasıdır.

Kanıt: ⇒: g G: →G* dönüşümü sürekli ise her a∈G noktasında sürekli olacağından e∈G birim elemanı olmak üzere e ’de de süreklidir. Bu durumda, her U*∈B( ( ))g e _için *

( )

g U ⊆U sağlayan bir U∈B( )e _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır.} _g

dönüşümü bir grup homomorfizması olduğundan g e( )=e* olacaktır.

∴ Her U*∈B( )e* _için *

( )

g U ⊆U sağlayan bir U∈B( )e _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır.}

:

⇐ * *

e ∈G birim elemanının her U* komşuluğu için g U( )⊆U* olacak biçimde

(32)

Her hangi bir a∈G elemanı için *

( ( ))

U ∈B g a _{açık kom}_ş_ulu_ğ_{u alınsın.}

Buradan, U*.

(

g a( )

)

−1 kümesi açık kümedir ve g a( )∈U* olduğundan

(

)

1

(

)

1

* *

( ). ( ) . ( )

e =g a g a − ∈U g a − olacaktır. O zaman, varsayımdan

(

)

1

* *

. ( ) ( )

U g a − ∈B e _için *

(

)

1

( ') . ( )

g U ⊆U g a − sağlayan bir U'∈B( )e _açık

komşuluğu vardır. U'∈B( )e _{açık kom}_ş_{uluk oldu}_ğ_undan,_{U a}_'. ∈B_{( )}_a _{kümesi de}

açık komşuluktur.

g bir grup homomorfizması olduğundan g U a( '. )=g U( '). ( )g a dır. Buradan,

(

)

(

_* 1

)

_*

( '. ) ( '). ( ) . ( ) . ( )

g U a =g U g a ⊆ U g a − g a =U olur. Her hangi bir a∈G elemanı için *

( ( ))

U ∈B g a _alındı_ğ_ında∃ =_V _{U a}_'. ∈B_{( )}_a _için

* ( ) g V ⊆U bulunur. ∴ * : g G→G dönüşümü süreklidir. 1.4.4. Önerme: G ve *

G iki topolojik grup ve *

:

g G→G bir grup homomorfizması olsun.

g dönüşümünün açık olması için gerekli ve yeterli koşul e∈G birim elemanının her

V komşuluğu için *

( )

V ⊆g V olacak biçimde * *

e ∈G birim elemanının bir *

V

komşuluğu olmasıdır.

Kanıt: ⇒: g G: →G* dönüşümü açık ise her a∈G noktasında açık olma koşulu sağlanacağından e∈G birim elemanı için de açık olma koşulu sağlanacaktır. Bu durumda,

her V∈B( )e _için *

( )

V ⊆g V sağlayan bir V*∈B( )e* _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır.} _g

dönüşümü bir grup homomorfizması olduğundan *

( )

g e =e olacaktır.

∴ Her V∈B( )e _için *

( )

V ⊆g V sağlayan bir V*∈B( )e* _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır.} :

⇐ e∈G birim elemanının her V komşuluğu için V*⊆g V( ) olacak biçimde

* *

(33)

Her hangi bir a∈G elemanı için V∈B( )a _{açık kom}_ş_ulu_ğ_{u alınsın. Buradan,}

1

. ( )

V a− ∈B e _{kümesi açık kom}_ş_{uluktur. O zaman, varsayımdan} * 1

( . )

V ⊆g V a−

sağlayan bir * *

( )

V ∈B e _kom_ş_ulu_ğ_{u vardır.}_g_{bir grup homomorfizması oldu}_ğ_undan,

(

)

1 1 ( . ) ( ). ( ) g V a− =g V g a − olacaktır. Buradan, V g a*. ( )⊆g V a( . −1). ( )g a =g V( ) bulunur. * . ( ) ( ( ))

V g a ∈B g a _oldu_ğ_undan_{g V}_{( )}∈B_{( ( ))}_{g a} _olacaktır.

∴ Her a∈G ve her V∈B( )a _için_{g V}_{( )}∈B_{( ( ))}_{g a} _bulunur.

∴ *

:

g G→G dönüşümü açıktır.

1.4.5. Önerme: G topolojik grup, NG ve G

N topolojik bölüm grubu olsun.

:G G

H

ϕ → doğal dönüşümü bir açık homomorfizmadır.

Kanıt: ϕ doğal dönüşümü grup homomorfizması ve 1.3.5. Teoremden açık ve sürekli bir dönüşüm olduğundan :G G

H

ϕ → doğal dönüşümü bir açık homomorfizmadır.

1.4.6. Teorem: G G iki topolojik grup, , * g G: →G* dönüşümü açık homomorfizma

ve N =Çek g olmak üzere N∈G* olsun. Bu durumda, NG olur ve

1.izomorfizma teoreminden elde edilen grup izomorfizması bir topolojik grup izomorfizmasıdır.

Kanıt: N =Çek g ise NG olacaktır.

:G G

N

ϕ → doğal dönüşüm olmak üzere, 1. izomorfizma teoreminden f g =ϕ

sağlayan bir tek f G: * G

N

→ izomorfizması vardır. f dönüşümünün topolojik grup izomorfizması olduğunu göstermek için homeomorfizma olduğunu göstermek yeterlidir.