Faz Döngülü bSSFP Görüntülemede T1 ve T2 Haritalamaya
Parametre Tahmini Yaklaşımı
Parameter Estimation Approach to T1 and T2 Mapping in
Phase-Cycled bSSFP Imaging
Kübra Keskin
1,2, Tolga Çukur
1,2,31.
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği,
2.
Ulusal Manyetik Rezonans Araştırma Merkezi,
3.
Sinirbilim Programı, Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü,
Bilkent Üniversitesi
{kubra, cukur}@ee.bilkent.edu.tr
Özetçe
Faz döngülü dengeli kararlı-durum serbest devinim (bSSFP) sinyali eliptik sinyal modeline sahip olduğundan, T1 ve T2 relaksasyon zamanları tek bir faz döngülü bSSFP sekansından tahmin edilebilmektedir. Modelin parametreleri elipse özel doğrusal en küçük kareler yöntemi ile çözülerek bulunabilir. Böylece, model parametrelerinin tahmini doğrudan elips oturtma sonuçlarına bağlıdır. Bu yüzden yüksek sapmalı gürültü varlığında tahminler gerçek parametre değerlerinden uzaklaşır. Bu problemin üstesinden gelmek için, bu çalışmada parça temelli bir yaklaşım sunulmuştur. Bu yaklaşımla, gürültünün tahminler üzerindeki etkisini azaltmak için komşu voksellerdeki veri noktaları kullanılmıştır. Bu yöntem orijinal elips oturtma yöntemiyle ortalama mutlak yüzde hata ve yapısal benzerlik açısından karşılaştırılmıştır.
Abstract
Relaxation times T1 and T2 can be estimated simultaneously from a phase cycled balanced steady state free precession (bSSFP) sequence, when the bSSFP signal is considered to have an elliptical signal model. Parameters of the model can be found by solving an ellipse specific linear least squares. Hence, estimation of the model parameters directly relies on the resulting ellipse fits. Therefore in the presence of highly deviated noise, estimations diverge from the true parameter values. In order to tackle this problem, a patch-based approach is presented in this study. With this approach, data points of the neighbor voxels are used to decrease the effect of noise on estimations. This method is compared with original ellipse fitting approach in terms of mean absolute percentage error and structural similarity.
1.
Giriş
Niceliksel MR görüntüleme teknikleri, klinik tanıda doğru doku nitelendirilmesi yapılması ve tedavinin doğru yönlendi-rilmesi için önemlidir. Boyuna (T1) ve enine (T2) relaksasyon zamanı haritaları ise bu amaçla birçok klinik uygulamada kullanılan önemli bir araçtır [1]. T1 ve T2 zamanı haritalaması için sıklıkla kullanılan ve hassas ölçüm veren yöntemler bulun-maktadır, fakat uzun tarama süreleri gerektiren bu yöntemler
pratik uygulama gerektiren klinik kullanımlar için zorlu olmak-tadır [2]. Bu yüzden, kısa tarama sürelerinde yüksek sinyal-gürültü oranı (SNR) sağlayan yöntemler hızlı görüntüleme teknikleri için önemlidir. Dengeli kararlı-durum serbest devinim (bSSFP) sekansları ise yüksek çözünürlüklü ve hızlı görüntü sağlamasıyla yaygın şekilde kullanılmaktadır [3]-[8]. Fakat bSSFP, manyetik alan homojensizliklerine karşı yüksek hassasiyete sahiptir ve rezonans dışı frekanslardan kaynak-lanan bükülme artifaktları içermektedir [9]. Bu bükülme arti-faktlarını engellemek için artifaktlar birbiri üstüne gelmeyecek şekilde farklı faz döngüleriyle alınan çoklu tarama yöntemleri uygulanmakta ve elde edilen görüntüler çeşitli yöntemlerle birleştirilmektedir [10], [11]. Çoklu taramalarla artan görüntü-leme süresini azaltmak için sıkıştırılmış algılama yöntemi ile hızlandırılmış görüntüleme kullanılmaktadır [12].
Bükülme artifaktlarını azaltmak için parametre tahmini teknikleri de kullanılmıştır [13]-[15]. Son yapılan çalışmalarda ise bükülme artifaktı olmayan görüntü ve T1 ve T2 tahminini eşzamanlı olarak gerçekleştiren yöntemler önerilmiştir. LORE-GN isimli algoritmada doğrusal en küçük kareler yöntemi ve ardından doğrusal olmayan yinelemeli bir oturtma yöntemi kullanılarak bükülme artifaktı olmayan görüntü başarılı bir şekilde tahmin edilmiştir [15]. Fakat normal bir SNR değerinde eşzamanlı T1 ve T2 tahminleri yapmanın zor olacağı sonucuna varmışlardır. En son yapılan PLANET isimli algoritmada ise eliptik sinyal modeli kullanılarak faz döngülü bSSFP sekans-larından elde edilmiş verilere elips oturtulmuş ve elipsin sağla-dığı bilgilerden yararlanılarak parametre tahmini yapılmıştır [16]. Düşük gürültü seviyelerinde başarılı çalışan bu yöntemin gürültü seviyesi arttıkça eşzamanlı T1 ve T2 tahminleri için gürültüye oldukça hassas olduğu gözlemlenmiştir.
Bu çalışmada gürültüye karşı hassas olan bu yöntemi geliş-tirmek amacıyla sinyalleri parçalar halinde işleyen bir yöntem önerilmiştir. Bu yöntemde tahminler yapılırken vokseller tek tek işlenmek yerine, etrafındaki voksellerin verilerinden yarar-lanılarak işlenmiş ve böylece T1 ve T2 tahminlerinde gürültüye karşı daha gürbüz sonuçlar elde edilmesi hedeflenmiştir. Bu teknik, PLANET algoritmasıyla ortalama mutlak yüzde hata ve yapısal benzerlik bakımından karşılaştırılmıştır. Bu tekniğin sinyal gürültü oranının düşük olduğu durumlarda karşılaştırılan algoritmadan daha iyi sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir.
2.
Yöntem
Bu çalışmadaki simülasyonlar için gerçekçi bir beyin fantomu kullanılmıştır. Her bir voksel için faz döngülerinden elde edilen N farklı karmaşık değerli bSSFP sinyali bulunmaktadır. Yöntemleri test ederken bu sinyallere çeşitli seviyelerde gürültü eklenmiştir.
2.1. Sinyal Modeli
Faz döngülü bSSFP sinyali eliptik sinyal modeli ile tanımlanabilir [8]. Elde edilen verilerde herhangi bir voksele karşılık gelen karmaşık değerli S sinyalinin n’inci faz döngüsü aşağıdaki şekilde modellenebilir:
ܵൌ ܯכ ଵି
ഛ
ଵି௦ሺణሻכ ݁
ఝ (1)
Sinyal modelinin içindeki parametreler aşağıdaki şekilde tanımlanır: ܯൌ ܭܯ݁ ሺି்ா் మሻ ܯ ൌ ݅ ܯሺͳ െ ܧଵሻݏ݅݊ߛ ͳ െ ܧଵܿݏߛ െ ሺܧଵെ ܿݏߛሻܧଶଶ ܽ ൌ ܧଶǡܾ ൌ ܧଶሺͳ ߛሻሺͳ െ ܧଵሻ ͳ െ ܧଵܿݏߛ െ ሺܧଵെ ܿݏߛሻܧଶଶ ܧଵൌ ൬െ ܴܶ ܶଵ ൰ ǡ ܧଶൌ ൬െ ܴܶ ܶଶ ൰ ߴൌ ߠെ οߠ ߠൌ ʹߨο݂ܴܶ ߮ ൌ ʹߨο݂ܶܧ
Denklemlerde relaksasyon zamanları ܶଵ- ܶଶ, tekrarlama zamanı
ܴܶ, eko zamanı ܶܧ, döndürme açısı ߛ, etkin magnetizasyon ܯ, bobin duyarlılığı ܭ, denge magnetizasyonu ise ܯ ile ifade
edilmiştir. Ofset rezonans açısı ߴ, rezonans dışı frekansa (ο݂ሻ
ve n’inci faz döngüsündeki faz artırımına ሺοߠሻ bağlıdır.
Bir voksele karşılık gelen N faz döngülü karmaşık değerli bSSFP sinyalleri (ܵ, ݊ ൌ ሼͲǡͳǡ ڮ ǡ ܰ െ ͳሽ) karmaşık düzlemde
gösterildiğinde bir elips ifade etmektedirler. Elipsi ifade eden her bir nokta, bir faz döngüsünden elde edilen transvers magnetizasyona karşılık gelmektedir.
2.2. Elips Oturtma
Bir vokseldeki sinyallerin ifade ettiği elips kullanılarak ܶଵ,
ܶଶ, ο݂ ve ܯ değerleri bulunabilir [10]. Bunun için sinyaller
reel ve sanal bileşenlerine ayrılır ve bu bileşenlere karmaşık düzlemde bir elips oturtulur. Bu oturtma işlemi direkt doğrusal en küçük kareler yöntemi kullanılarak yapılır. Elipsi ifade eden katsayılar, genelleştirilmiş öz değer problemi çözülerek elde edilir [11], [12]. Bu katsayılar ܥ ൌ ሼܥଵǡ ܥଶǡ ܥଷǡ ܥସǡ ܥହǡ ܥሽ genel
konik denklemini sağlamaktadır:
ܨሺܥǡ ݔሻ ൌ ܥଵݔଶ ܥଶݔݕ ܥଷݕଶ ܥସݔ ܥହݕ ܥൌ Ͳ
2.3. Elips Kullanarak ࢀveࢀ Tahmini
Oturtulan elips dikey bir elipstir [14] ve parametrik olarak şu şekilde ifade edilebilir:
ሺሺݔ െ ݄ሻܿݏߙ ሺݕ െ ݇ሻݏ݅݊ߙሻଶ
ܣଶ
ሺሺݕ െ ݇ሻܿݏߙ െ ሺݔ െ ݄ሻݏ݅݊ߙሻଶ
ܤଶ ൌ ͳ
Elipsin katsayıları ܥ kullanılarak; elipsin merkezi ሺ݄ǡ ݇ሻ, küçük çapı ܣ, büyük çapı ܤ ve döndürme açısı ߙ bulunabilir [19]. Bulunan bu parametreler, bSSFP sinyal denklemi para-metreleriyle ilişkilidir [16]. Elipsin merkezinin orijin noktasına uzaklığına ݀ ൌ ξ݄ଶ ݇ଶ denilirse, (1) sinyal denklemindeki
ܽǡ ܾܯ parametreleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
ܾ ൌെ݀ܣ ඥሺ݀ܣሻ ଶെ ሺ݀ଶ ܤଶሻሺܣଶെ ܤଶሻ ሺ݀ଶ ܤଶሻ ܽ ൌ ܤ ݀ඥሺͳ െ ܾଶሻ ܾܤ ܯൌ ݀ሺͳ െ ܾଶሻ ሺͳ െ ܾܽሻ
Bu parametreler yardımıyla ଵ ve ଶ bulunur:
ܶଵൌ െ ܴܶ ݈݊ ൬ ܽሺͳ ሺͳ െ ܾܽሻܿݏߛሻ ܽሺͳ ܿݏߛ െ ܾܽሻ െ ܾܿݏߛ൰ ܶଶൌ െ ܴܶ ݈݊ሺܽሻ
Her bir voksel için elde edilen bu değerler ilk tahmin olarak kullanılır.
2.4. Parça Halinde Parametre Tahmini
ଵve ଶ değerleri, oturtulan elipsin parametrelerinden elde
edildiği için, gerçek elipse oldukça yakın bir elips oturtmak bu değerleri tahmin etmek için oldukça önemlidir. Gürültülü bir sinyal, parametreleri gerçek değerinden uzak tahmin etmemize neden olur. Bu yüzden, her bir vokselin doku parametrelerini teker teker tahmin etmek yerine, etraftaki voksellerin bilgilerini de kullanarak parçalar halinde tahminler yapmak gürültüden kaynaklı yanlış tahminlerin etkisini azaltmaya yardımcı olabilir. Bu yöntem için izlediğimiz adımlar takip eden başlıklardaki gibidir:
2.4.1. Parça Halinde Elips Oturtma
Bir voksel -vokselin dokuların değiştiği bir sınırda bulun-ması dışında- etrafında bulunan voksellerle benzer doku para-metrelerine sahiptir. Bu yüzden, vokseller parçalar halinde işlenip daha fazla bilgi kullanılarak daha doğru sonuçlar elde edilebilir. Vokseller parçalar halinde işlenmeden önce Canny kenar belirleme algoritması kullanılarak [20], voksellerin doku-ların değiştiği bir sınırda bulunup bulunmadığı belirlenir. Kenar olarak belirlenen vokseller için yeni bir işlem yapılmayıp ilk tahmin değerleri kullanılır. Kenar olarak belirlenmeyen vokseller ise 3x3lük parçalar halinde işlenir.
Bir parça içerisindeki vokseller benzer doku paramet-relerine sahip oldukları için oluşturdukları elipslerin küçük çap ve büyük çap gibi özellikleri de benzer olacaktır. Fakat farklı ο݂ değerlerine sahip olabilecekleri için karmaşık düzlemde
ifade ettikleri elipslerin rotasyon açıları ve merkezleri de birbirinden farklı olur. Bütün voksellerin bir arada işlenmesi için elipsler hepsi aynı rotasyon açısına sahip olacak şekilde döndürülmelidir. Bu yüzden 3x3lük bir parça içerisindeki bütün vokseller, ilk tahminde elde ettiğimiz elipslerin merkez noktaları reel eksenin üstünde olacak şekilde orijin etrafında döndürülür. Bu döndürme açısını merkezin reel eksenle yaptığı açıyı kullanarak bulabiliriz: ିଵሺ݇ ݄Τ ሻ
Ters tanjant fonksiyonu ቂെగ
ଶǡ గ
ଶቃ aralığında tanımlı olduğu
için elde edilen açıların ሾെߨǡ ߨሿ aralığına genişletilmesi gerekir. Verileri orijin etrafında döndürmek için gereken ܴ döndürme matrisi, ߙ döndürme açısı için aşağıdaki gibidir:
ܴ ൌ ቂܿݏߙ െݏ݅݊ߙ ݏ݅݊ߙ ܿݏߙቃ
Böylece, döndürülerek merkezleri aynı eksene getirilmiş vokseller, hep birlikte yeni bir elips tanımlarlar. Bu elips daha fazla veri noktası (9N tane) kullanılarak oturtulduğu için gürültüye karşı daha gürbüz tahminler sunar.
2.4.2. Elips Tahminini İyileştirme
3x3 lük parça içerisindeki veri noktalarına oturtulan elipsi iyileştirmek için gürbüz regresyon kullanılır. Her bir voksel için veri noktaları ile oturtulan elips arasındaki uzaklık hesaplanır. Bir veri noktasının elipse uzaklığı ȁݖ்ܦݖȁ değeri hesaplanarak
bulunabilir. ݖ ൌ ܴ݁ሺܵሻ ܫ݉ሺܵሻ ͳ ൩, ܦ ൌ ܥଵ ܥଶ ܥସ Ͳ ܥଷ ܥହ Ͳ Ͳ ܥ ൩
Veri noktalarının oturtulan elipse uzaklığı en değişken olan iki voksel bulunur ve 3x3lük parçadaki veri setinden çıkartılır. Geriye kalan veri noktalarına (7N tane) tekrar bir elips oturtulur. Böylece gürültüden kaynaklı uçdeğerler elimine edilip oturtulan elips için daha gürbüz bir sonuca ulaşılır.
2.4.3. Parametre Tahminlerini Güncelleme
Yukarıda anlatılan işlemler sonucunda elde edilen elips kullanılarak dokuların kenar olarak belirlenmemiş vokselleri için ଵveଶ tahminleri güncellenir. Elde edilen güncellenmiş
parametre tahminleri kullanılarak bükülme artifaktı içermeyen görüntü ܵ de hesaplanabilir: ܵ ൌ ܯ
ଵା ଵା 2.5. Simülasyonlar
Parametre tahmin yöntemlerinin başarısını gözlemlemek için gerçekçi bir beyin fantomu kullanılmıştır. Simülasyonlar aksiyal kesitlerde döndürme açısıߛ ൌ ͵Ͳι, tekrarlama zamanı ܴܶ ൌ ͳͲ݉ݏ, eko zamanı ܶܧ ൌ ͷ݉ݏ, faz döngüsü sayısı ܰ ൌ ͺ ve faz artırımı οߠൌ ʹߨ݊ ܰΤ െ ߨǡ ݊ ൌ ሼͲǡͳǡ ڮ ǡ ܰ െ ͳሽ
olacak şekilde yapılmıştır.
Referans için kullanılan veriler gürültüsüzken, simülasyon için kullanılan verilere çeşitli seviyelerde gürültüler eklen-miştir. Tahmin edilen parametreler ortalama mutlak yüzde hata (MAPE) ve yapısal benzerlik (SSIM) metrikleri kullanılarak referans değerlerle karşılaştırılmıştır. Bu çalışmanın gürbüzlü-ğünü göstermek için simülasyonlar 3 farklı aksiyal kesitte ve 3 farklı SNR değeri için tekrarlanmıştır.
3.
Sonuçlar
Sunduğumuz parça temelli yöntemin PLANET yöntemiyle 3 aksiyal kesitte alınan sonuçlara göre karşılaştırılması ortalama ve standart sapma değerleriyle birlikte tablolarda gösterilmiştir. Farklı SNR değerlerinde tahmin edilen T1 ve T2 relaksasyon zamanlarının ortalama mutlak yüzde hata (MAPE) ve yapısal benzerlik oranları (SSIM) sırasıyla Tablo 1 ve Tablo 2’den incelenebilir. Tablolardan görüldüğü üzere parça temelli yön-tem, tüm SNR değerlerinde daha düşük hata oranına (MAPE) ve daha yüksek yapısal benzerlik oranına (SSIM) sahiptir.
Simülasyon sonuçlarından 40 SNR seviyesi için elde edilen bir örnek Şekil 2 ve Şekil 3’ten görülebilir. Şekil 1’de referans T1 ve T2 relaksasyon zamanı haritaları gösterilmiştir. Kulla-nılan renklerin temsil ettiği zaman değerleri haritaların yanla-rında bulunan renk ölçeklerinde bulunmaktadır ve değerler milisaniye (ms) cinsindedir. Şekil 2’de sol sütunda tahmin edilen T1 haritaları, sağ sütunda ise ortalama mutlak yüzde hata gösterilmiştir. Şekil 3’te de aynı şekilde sol sütunda T2 haritaları, sağ sütunda ise ortalama mutlak yüzde hata gösteril-miştir. İki şekilde de ilk satırda PLANET yönteminin sonuçları gösterilirken, ikinci satırda parça temelli yöntemin sonuçları gösterilmiştir. Haritalarda elde edilen değerler, şekillerin yanlarında bulunan renk ölçeğiyle birlikte incelenebilir.
4.
Tartışma
Bu çalışmada faz döngülü bSSFP verilerinden tahmin edilen parça temelli bir haritalama yöntemi incelenmiştir. Voksellerin tek tek işlendiği diğer elips oturtma yönteminden farklı olarak bu yöntem ile gürültüye karşı daha gürbüz sonuçlar elde edilmiştir. Ortalama mutlak yüzde hata haritalarına bakıldığında doku kenarları dışındaki alanlarda hata oranlarının başarılı bir şekilde azaltıldığı görülmektedir. Parça temelli yöntemin geliştirilmesi için doku kenarlarına denk gelen voksellerin de işleneceği bir yöntem geliştirilerek performans arttırılabilir. Parça temelli teknikte bütün fazlar beraber işlen-diği için, gerçek deneyler yapılırken faz döngüleri arası denek hareket ederse verilerde oluşacak bozulmalar hareket düzeltici izdüşümler kullanılarak engellenebilir [21]. Bunun dışında çoklu kesit teknikleri ile çok kanallı bobinlerle elde edilen uzamsal kodlama bilgisi kullanılarak geri çatım iyileştirilebilir ve işlenecek verilerin daha doğru olması sağlanabilir [22]–[24].
Şekil 1: Referans T1 ve T2 relaksasyon zamanları Tablo 1: Ortalama Mutlak Yüzde Hata Karşılaştırması
Tablo 2: Yapısal Benzerlik Karşılaştırması
Kaynaklar
[1] H. Margaret Cheng, N. Stikov, N. Ghugre and G. Wright, "Practical medical applications of quantitative MR
relaxometry", Journal of Magnetic Resonance Imaging, vol. 36, no. 4, pp. 805-824, 2012.
Şekil 2: İki yöntemle tahmin edilen T1 zamanı (a,c) ve karşılık
gelen ortalama mutlak yüzde hata haritaları (b,d). PLANET tekniğine (a) kıyasla sunduğumuz parça temelli yöntem (c) daha başarılı bir haritalama sağlamaktadır.
[2] M. Bernstein, K. King and X. Zhou, Handbook of MRI pulse sequences. Amsterdam [u.a.]: Elsevier, Acad. Press, 2005. [3] T. Çukur and D. G. Nishimura, “Multiple repetition time balanced
steady-state free precession imaging.” Magn Reson Med, vol. 62, no. 1,pp. 193–204, Jul 2009.
[4] T. Çukur, J. H. Lee, N. K. Bangerter, B. A. Hargreaves, and D. G. Nishimura, “Non-contrast-enhanced flow-independent peripheral MR angiography with balanced SSFP,” Magn Reson Med, vol. 61, no. 6, pp. 1533–1539, 2009.
[5] N. K. Bangerter, T. Cukur, B. A. Hargreaves, B. S. Hu, J. H. Brittain D. Park, G. E. Gold, and D. G. Nishimura, “Three-dimensional fluidsuppressed T2-prep flow-independent peripheral angiography using balanced SSFP.” Magn Reson Imaging, vol. 29, no. 8, pp. 1119–1124, Oct. 2011.
[6] T. Çukur, A. Shimakawa, H. Yu, B. A. Hargreaves, B. S. Hu, D. G. Nishimura, and J. H. Brittain, “Magnetization-prepared IDEAL bSSFP: A flow-independent technique for noncontrast-enhanced peripheral angiography.” J Magn Reson Imaging, vol. 33, no. 4, pp. 931–939, Apr. 2011.
[7] O. Yilmaz, E. U. Saritas, and T. Çukur, “Enhanced phase-sensitive SSFP reconstruction for fat-water separation in phased-array acquisitions,” Journal of Magnetic Resonance Imaging, vol. 44, no. 1, pp. 148–157, 2016.
[8] E. Ilicak, S. Cetin, E. Bulut, K. K. Oguz, E. U. Saritas, G. Unal, and T. Çukur, “Targeted vessel reconstruction in non-contrast-enhanced steady-state free precession angiography,” NMR in Biomedicine, vol. 29, no. 5, pp. 532–544, 2016.
[9] K. Scheffler and S. Lehnhardt, “Principles and applications of balanced SSFP techniques,” Eur Radiol, vol. 13, no. 11, pp. 2409– 2418, 2003.
[10] N. K. Bangerter, B. A. Hargreaves, S. S. Vasanawala, J. M. Pauly, G. E. Gold, and D. G. Nishimura, “Analysis of multiple-acquisition SSFP,” Magn Reson Med, vol. 51, no. 5, pp. 1038– 1047, 2004.
[11] E. Ilicak, L. K. Senel, E. Biyik, and T. Çukur, “Profile-encoding reconstruction for multiple-acquisition balanced steady-state free precession imaging,” Magnetic Resonance in Medicine.
[12] T. Cukur, “Accelerated Phase-Cycled SSFP Imaging With Compressed Sensing,” Medical Imaging, IEEE Transactions on, vol. 34, no. 1, pp. 107–115, Jan. 2015.
Şekil 3: İki yöntemle tahmin edilen T2 zamanı (a,c) ve karşılık
gelen ortalama mutlak yüzde hata haritaları (b,d). T1 zamanı tahmin sonuçlarında olduğu gibi parça temelli yöntem (c) PLANET’tan (a) daha başarılı bir haritalama sağlamaktadır.
[13] M. Hoff, J. Andre and Q. Xiang, "Combined geometric and algebraic solutions for removal of bSSFP banding artifacts with performance comparisons", Magnetic Resonance in Medicine, vol. 77, no. 2, pp. 644-654, 2016.
[14] Q. Xiang and M. Hoff, "Banding artifact removal for bSSFP imaging with an elliptical signal model", Magnetic Resonance in Medicine, vol. 71, no. 3, pp. 927-933, 2014.
[15] M. Björk, R. Ingle, E. Gudmundson, P. Stoica, D. Nishimura and J. Barral, "Parameter estimation approach to banding artifact reduction in balanced steady-state free precession", Magnetic Resonance in Medicine, vol. 72, no. 3, pp. 880-892, 2013. [16] Y. Shcherbakova, C. van den Berg, C. Moonen and L. Bartels,
"PLANET: An ellipse fitting approach for simultaneous T1 and T2 mapping using phase-cycled balanced steady-state free precession", Magnetic Resonance in Medicine, 2017.
[17] A. Fitzgibbon, M. Pilu and R. Fisher, "Direct least square fitting of ellipses", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21, no. 5, pp. 476-480, 1999.
[18] R. Halir and J. Flusser, "Numerically Stable Direct Least Squares Fitting Of Ellipses" 1998
[19] D. Eberly, Geometric Tools, 2017. [Online]. Available: https://www.geometrictools.com/Documentation/InformationAb outEllipses.pdf. [Accessed: 28- Sep- 2017].
[20] J. Canny, "A Computational Approach to Edge Detection", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. -8, no. 6, pp. 679-69-8, 1986.
[21] M. Aksoy, C. Forman, M. Straka, T. Cukur, J. Hornegger, and R. Bammer, “Hybrid prospective and retrospective head motion correction to mitigate cross-calibration errors.” Magn Reson Med, vol. 67, no. 5, pp. 1237–1251, May 2012.
[22] T. Çukur, J. M. Santos, J. M. Pauly, and D. G. Nishimura, “Variable density parallel imaging with partially localized coil sensitivities.” IEEE Trans Med Imaging, vol. 29, no. 5, pp. 1173– 1181, May 2010.
[23] T. Cukur, J. M. Santos, D. G. Nishimura, and J. M. Pauly, “Varying kernel-extent gridding reconstruction for undersampled variable-density spirals.” Magn Reson Med, vol. 59, no. 1, pp. 196–201, Jan. 2008.
[24] E. U. Saritas, D. Lee, T. Cukur, A. Shankaranarayanan, and D. G. Nishimura,“Hadamard slice encoding for reduced-FOV diffusion-weighted imaging,” Magn Reson Med, vol. 72, no. 5, pp. 1277– 1290, 2014.
