MUTLAK RİESZ TOPLANABİLME METOTLARININ
TOPLANABİLME ÇARPANLARI ÜZERİNE
İbrahim Ethem ÖZER
Temmuz 2006 DENİZLİ
MUTLAK RİESZ TOPLANABİLME METOTLARININ
TOPLANABİLME ÇARPANLARI ÜZERİNE
Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı
İbrahim Ethem ÖZER
Danışman: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL
Temmuz 2006 DENİZLİ
TEŞEKKÜR
Bu tez çalışmasında her zaman bana güvenmiş ve destek olmuş olan aileme, bu konuda çalışmamı sağlayan ve çalışmalarım süresince her türlü ilgi ve yardımını esirgemeyen değerli hocam Sayın Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL’e ve Pamukkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki tüm öğretim elemanlarına gönülden teşekkür ederim.
ÖZET
MUTLAK RİESZ TOPLANABİLME METODLARININ TOPLANABİLME ÇARPANLARI ÜZERİNE
Özer, İbrahim Ethem
Yüksek Lisans Tezi, Matematik ABD Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL
Temmuz 2006, 39 Sayfa
Üç bölümden oluşan bu çalışmada toplanabilme teorisi alanında önemli bir yer tutan mutlak Riesz Toplanabilme metotları ve bu metotların toplanabilme çarpanları incelenmiştir.
Birinci bölümde, ikinci ve üçüncü bölümde kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir.
İkinci bölümde mutlak Riesz toplanabilme metotları ile tanımlanan dizi uzaylarının temel özelliklerinin yanı sıra kullandığımız bazı lemmaların sadece ifadeleri veya ispatları verilmiştir.
Üçüncü bölümde toplanabilme çarpanlarını karakterize eden temel teoremler ile bazı sonuçları verilmiştir.
Anahtar kelimeler: Mutlak Riesz toplanabilme, toplanabilme çarpanları. Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL
Doç. Dr. Sadulla JAFAROV Doç. Dr. Murat ALP
ABSTRACT
ON SUMMABİLİTY FACTORS OF ABSOLUTE RİESZ SUMMABİLİTY METHODS
Özer, İbrahim Ethem M. Sc. Thesis in Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL July 2006, 39 Pages
In this study which is prepared as three chapters, Riesz Summability Methods that are important in Summability Theory and these methods’ summability factors are examined.
In the first chapter, basic definitions and theorems that will be used in the others are given.
In the second chapter, the basic properties of the sequence spaces defined by Absolute Riesz Summability Methods and some lemmas with or without their proofs that we used are given.
In the third chapter, The theorems which chracterize summability factors and some corollaries are given.
Keywords: Absolute Riesz summability, Inclusion, summability factors. Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL
Assoc. Prof. Dr. Sadulla JAFAROV Assoc. Prof. Dr. Murat ALP
İÇİNDEKİLER
Yüksek Lisans Tezi Onay Formu………...i
Bilimsel Etik Sayfası……..………...ii
Teşekkür…..……...………..iii
Özet………...………....iv
Abstract………...v
İçindekiler.………....vi
Simge ve Kısaltmalar Dizini……..………....viii
BİRİNCİ BÖLÜM 1.1. Temel Tanım ve Teoremler……...……….. 1.1.1. Lineer Uzay……….……...1
1.1.2. Lineer Dönüşüm………...……...2
1.1.3. Sınırlı Lineer Dönüşüm……...2
1.1.4. Teorem....………...2
1.1.5. Norm ve Normlu Uzay………...2
1.1.6. Yarınormlu Uzay………...3
1.1.7. Tanım………...3
1.1.8. Tanım………...3
1.1.9. Resonance Teoremi…...………...3
1.1.10. Cauchy Dizisi………...3
1.1.11. Normlu uzayda yakınsaklık………...4
1.1.12. Banach Uzayı………...………...4 1.1.13. Banach-Steinhause teoremi………...4 1.1.14. Matris Dönüşümü………...4 1.1.15. Lemma………...5 1.1.16. Lemma……….………...5 1.1.17. Lemma………...6 1.1.18. Minkowski Eşitsizliği………...6 1.1.19. Hölder Eşitsizliği………...6 İKİNCİ BÖLÜM 2.1. Tanım………...7 2.2. Tanım………...7 2.3. Tanım………...8 2.4. Tanım………...8 2.5. Tanım………...8 2.6. Tanım………...9 2.7. Tanım………...9 2.8. Tanım………...9 2.9. Teorem………9 2.10. Lemma………...9 2.11. Lemma………11 2.12. Lemma………12 2.13. Abel-Dini Teoremi.……….………...14
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM 3.1. Teorem………...15 3.2. Teorem………...16 3.3. Lemma………...16 3.4. Sonuçlar………...24 3.4.1. Sonuç………...24 3.4.2. Sonuç………...24 3.4.3. Sonuç………...25 3.4.4. Sonuç………...26 3.5. Lemma………...26 3.6. Teorem………...29 3.7. Teorem………...32 3.8. Sonuçlar………...35 3.8.1. Sonuç………...35 3.8.2. Sonuç………...35 3.8.3. Sonuç………...35 3.8.4. Sonuç………...36 3.8.5. Sonuç………...36 Kaynaklar………...……...37 Özgeçmiş………...39
SİMGE VE KISALTMALAR DİZİNİ C/ Kompleks sayılar cümlesi.
BV Sınırlı salınımlı diziler uzayı.
C Kompleks veya reel terimli yakınsak diziler uzayı.
∞
l Kompleks veya reel terimli sınırlı diziler uzayı.
p l
{
x (x ): x ,p 0, p 1 k k k <∞ > =∑
∞ = k x∀ reel veya kompleks sayıdır.
}
(C,1) 1. mertebeden Cesáro toplanabilme.k
1 ,
C k indisli 1. mertebeden mutlak Cesáro toplanabilme. ) p , N ( n Riesz ortalaması. k n p ,
N k indisli 1. mertebeden mutlak Riesz toplanabilme
[
A,B]
∑
x serisi A toplanabilir olduğunda n∑
x λn n serisi B toplanabilirolacak
BİRİNCİ BÖLÜM
Bu bölümde, bundan sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler ifade edilecektir.
1.1 Temel Tanım ve Teoremler:
Tanım 1.1.1 (Lineer uzay):
X boş olmayan bir cümle, F reel veya kompleks sayıların bir cismi olsun. Bu durumda,
T:XxX→X, T(x,y)= x+y
Ç:FxX→X, Ç(α,x)=α.x
fonksiyonları ∀x,y,z∈ X ve ∀α,β∈ F için aşağıdaki şartları sağlıyorsa, X cümlesine F cismi üzerinde bir lineer uzay (vektör uzay) denir;
1) x+y∈X
2) x+(y+z)=(x+y)+z
3) x+θ=θ+x =x olacak şekilde bir tek θ∈X vardır.
4) x+(−x)=(−x)+x=θ olacak şekilde bir tek (−x)∈X vardır. 5) x+y= y+x
6) α. ∈x X
7) (α+β).x=α.x+β.x 8) (α.β).x=α.(β.x) 9) 1 = .x x
Tanım 1.1.2 (Lineer dönüşüm) :
L ve /
L aynı F cismi üzerinde iki lineer uzay olmak üzere T : L → /
L dönüşümü verilmiş olsun. Eğer ∀ ,x y∈L ve α∈F için
T(x+y)=T(x)+T(y)
T(α.x)=α.T(x)
şartları sağlanıyorsa T’ye Lineer dönüşüm denir. Özel olarak Kompleks değerli lineer dönüşüme ise lineer fonksiyonel adı verilir.
Tanım 1.1.3 (Sınırlı lineer dönüşüm):
X ve Y iki normlu uzay ve T:X→Y lineer dönüşüm olsun. Eğer ∀x ∈X için T(x) ≤ K. x
olacak şekilde K>0 reel sayısı varsa T’ye sınırlı lineer dönüşüm denir. Bir sınırlı lineer dönüşümün normu ise,
x ) x ( T sup T o x≠ = biçiminde tanımlanır.
Teorem 1.1.4 : X ve Y iki normlu uzay ve T:X→Y lineer dönüşüm olsun. Bu takdirde T dönüşümünün sürekli olması için gerek ve yeter şart T’nin sınırlı olmasıdır ( Bayraktar, 1998 ).
Tanım 1.1.5 (Norm ve Normlu uzay) :
X, F cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer : X → R fonksiyonu ∀x,y∈X ve ∀α∈C/ için
N1) x =0⇔x =θ
N2) αx = α. x
şartlarını sağlıyorsa, fonksiyonuna X üzerinde bir norm ve (X, . ) ikilisine normlu lineer uzay veya kısaca normlu uzay denir.
Tanım 1.1.6 (Yarınormlu uzay) :
X bir lineer uzay olsun. Eğer P:X→R fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa, P’ye X üzerinde bir yarınorm, (X,P) ikilisine de yarınormlu uzay adı verilir.
Y ) 1 P(α.x)= α.P(x) (∀x∈X, ∀α∈C/)
Y ) 2 P(x+y)≤P(x)+P(y) (∀x,y∈X)
Tanım 1.1.7 : A bir cümle, B yarınormlu uzay ve Φ , f:A→B olacak şekilde fonksiyonların ailesi olsun. Eğer her bir a ∈A için
{
f(a):f∈Φ}
B’de sınırlı bir cümle ise Φ ’ye noktasal sınırlıdır denir (Wilansky 1964).Tanım 1.1.8 : A ve B yarınormlu uzay Φ , f:A→B lineer fonksiyonların bir ailesi veya A üzerinde tanımlı yarınormlar olsun. ∀f∈Φ için f ≤M olacak şekilde bir M sayısı varsa Φ ’ye düzgün sınırlıdır denir (Wilansky 1964).
Teorem 1.1.9 (Resonance Teoremi) :
Φ tam yarınormlu uzay üzerinde tanımlı sürekli yarınormların noktasal sınırlı bir ailesi olsun. Bu takdirde Φ düzgün sınırlıdır (Wilansky 1964).
Tanım 1.1.10 ( Cauchy dizisi) :
(xn), ( ,X ) normlu uzayında bir dizi olsun.Eğer ∀ >0 için ε m,n>n 0
olduğunda xm−xn <ε olacak şekilde bir n sayısı bulunabiliyorsa, 0 (xn)
Tanım 1.1.11 (Normlu uzayda yakınsaklık) :
(xn), ( ,X ) normlu uzayında bir dizi ve x ∈ olsun.Eğer εX ∀ >0 sayısına karşılık n >n olduğunda 0 xn −x <ε olacak şekilde bir n sayısı varsa, 0 (xn)
dizisi x noktasına yakınsaktır denir ve xn → veya x limxn x
n =
biçiminde gösterilir. Norm fonksiyonunun özelliğinden x −n xm = xn −s+s−xm ≤ xn −s + xm−s
olduğu açıktır. Buna göre Normlu bir uzayda yakınsak her dizi aynı zamanda bir Cauchy dizisidir. Bu iddianın karşıtı ise her normlu uzayda doğru değildir.
Tanım 1.1.12 (Banach uzayı) :
( ,X ) normlu uzayı olsun. Eğer X’de alınan her Cauchy dizisi normuna göre yakınsak ise bu uzaya Banach uzayı (tam uzay) denir.
Tanım 1.1.13 (Banach - Steinhause teoremi) :
Eğer (An) bir X Banach uzayından Y normlu uzayı içine sınırlı lineer dönüşümlerin bir dizisi ve X üzerinde sup An(x)
n
< ∞ ise bu takdirde
n n
A
sup < ∞ ’dur. Yani ( A ) normlar dizisi sınırlıdır. n
Tanım 1.1.14 (Matris Dönüşümü) :
A=(ank), (n,k=1,2,…) kompleks veya reel terimli sonsuz bir matris, X ile Y’de herhangi iki dizi uzayını göstersin. Eğer ∀x=(xk)∈X için,
∑
∞ = = 1 k k nk n(x) a x A ( =n 1,2,...)serisi yakınsak ve A(x)=(An(x))∈Y ise bu takdirde A’ya X’den Y’ye bir matris dönüşümü denir. X’den Y’ye olan bütün matris dönüşümlerinin kümesi (X,Y) ile gösterilir. Hemen görüleceği gibi matris dönüşümleri özel lineer dönüşümlerdir.
Bu arada bütün kompleks veya reel terimli bütün dizilerin kümesi s ile gösterilir. Açıktır ki, s kümesi x=(xk) , y=(yk) s∈ ve α∈C/ için
x+y=(xk +yk) , αx=(αxk) işlemlerine göre lineer uzaydır. Öte yandan ∞ < − = = + ∞ =
∑
k 1 1 k k k): x x x ( x BV C ={
x =(xk):limk xk mevcut}
l∞ = ∞ < = k k k):supx x ( x lp = > ∞ < =∑
∞ = 0 p , x : ) x ( x p 1 k k kdizi uzayları, normlarına göre Banach uzayıdır.
Lemma 1.1.15 : 1≤ k<∞ olsun. k 1 n nv v k , 1 nv) (l l ) sup a a ( T
∑
∞ = ⇔ ∈ = < ∞ (Maddox 1970). Lemma 1.1.16 : 1≤k< ∞ , 1≤r< ∞ olsun. x=(
xn)
, y=( )
yn , u=( )
un , v=( )
vn dizilerini, v 0 v nv n a x y∑
∞ = = (n=0,1,2,…)∑
∞ = = 0 n v nv v a u v (v=0,1,2,…)şeklinde tanımlayalım. Bu takdirde ∀x ∈lk için y ∈ olması için gerek ve yeter lr
şart ∀u∈lr* için v∈lk* olmasıdır. Burada
*
r ve *
k sırasıyla ve r ve k ’nın eşleniğidir (Mehdi 1959).
Lemma 1.1.17 : 1 < k < ∞ olsun. Eğer A=
(
anv) (
∈ lk,l1)
ise bu takdirde * k nn) l a ( ∈ ’dır (Mehdi 1959).Teorem 1.1.18 (Minkowski Eşitsizliği) :
p≥1, a1,a2,...,an ≥0, b1,b2,...,bn ≥0 olsun. Bu takdirde
(
)
p 1 n 1 k p k p 1 n 1 k p k p 1 n 1 k p k k b a b a + ≤ +∑
∑
∑
= = = olur.Teorem 1.1.19 (Hölder eşitsizliği) :
p>1 , 1 q 1 p 1 = + , a1,a2,...,an ≥0 ve b1,b2,...,bn ≥0 olsun. Bu takdirde, q 1 n 1 k q k p 1 n 1 k p k n 1 k k k.b a . b a ≤
∑
∑
∑
= = = dır.İKİNCİ BÖLÜM
Bu bölümde mutlak Riesz toplanabilme metotları ile tanımlanan dizi uzaylarının temel özelliklerinin yanısıra kullandığımız bazı lemmaların sadece ifadelerini veya ispatlarını vereceğiz.
Tanım 2.1:
∑
x kısmi toplamlar dizisi n (sn) olan bir seri olsun. Bu durumdau =n
∑
= + n o v v s 1 n 1eşitliği ile tanımlı (un) dizisine
∑
x serisinin birinci mertebeden Cesáro nortalaması denir. Eğer limn→∞un =s ise
∑
x serisi s’ye n (C,1) toplanabilir veBV ) u ( u = n ∈ , yani
∑
− <∞ ∞ = − 1 n 1 n n u uise C toplanabilirdir denir. E,1 ğer k ≥1 için
∑
n u (x) u (x) ∞ ∞ 1 n k 1 n n 1 k < − = − −ise
∑
x serisi n C,1k toplanabilirdir denir (Flett 1957).Tanım 2.2:
∑
x kısmi toplamlar dizisi n (sn) olan bir seri ve (pn) isePn =p0 +p1+p2 +...+pn →∞ (n→∞) ,P−1 =p−1=0
olacak şekilde pozitif sayıların bir dizisi olsun. Bu durumda ∀n ∈IN için
v n o v v n n p s P 1 u
∑
= =∑
(
)
n 0 v v 1 v n n x P -P P 1 = − =biçiminde tanımlanan (un)’e (sn) dizisinin (N,pn) ( Riesz ortalaması ) dönüşüm
dizisi denir. Bu dönüşüme karşılık gelen A=(anv) matrisi,
> ≤ ≤ = n v , 0 n v 0 , P p a n v nv dır. Eğer limun s
n→∞ = ise
∑
x serisine ( veya n (sn) dizisine ) s’ye (N,pn)toplanabilir (limitlenebilirdir) denir.
Tanım 2.3:
∑
x kısmi toplamlar dizisi n (sn) olan bir seri olsun. un(x), (sn)dizisinin (N,pn) ortalaması olmak üzere eğer
(
un(x))
sınırlı salınımlı yani− − <∞ ∞ =
∑
un(x) un 1(x) 1 nise bu takdirde
∑
x serisine n N,pn toplanabilirdir denir. Açıktır ki, ∀n için1
pn = alınırsa N,pn metodu C metoduna indirgenir. ,1
Tanım 2.4:
(
un(x))
,∑
x serisinin n (N,pn) ortalaması olsun. Eğer k ≥ için 1 − <∞ − ∞ = −
∑
k 1 n n 1 n 1 k n n u (x) u (x) p P ise bu takdirde∑
x serisine nk n
p ,
N toplanabilirdir denir (Bor 1985). Eğer k = 1
alınırsa
k n
p ,
N toplanabilme metodu, N,pn toplanabilme metoduna dönüşür.
Ayrıca n∀ için pn =1 alırsak
k n
p ,
N toplanabilme metodu, C,1k toplanabilmeye dönüşür.
Tanım 2.5:
∑
x kısmi toplamlar dizisi n s =( )
sn olan bir seri ve A =( )
anv pozitifnormal bir matris olsun. s dizisinin A dönüşüm dizisini A(s)=
(
An(s))
ile gösterelim,yani, A (s) a s (n 0,1,2, ) n 0 v v nv n =
∑
= … = alalım. Eğer,
∑
− <∞ ∞ = − − 1 n k 1 n n k 1 nn A (s) A (s) aise
∑
x serisi n A toplanabilirdir denir (Sarıgöl 1994). Açıktır ki A’nın Riesz kmatrisi olması durumunda A toplanabilme metodu k
k n p , N toplanabilme metoduna indirgenir.
Tanım 2.6:
∑
x herhangi bir seri ve A ile B iki toplanabilme metodu olsun. En ğer Atoplanabilen her
∑
x serisi için n∑
x λn n serisi B toplanabiliyorsa, bu takdirde( )
λn=
λ ’e A’dan B’ye bir toplanabilme dizisi denir ve
[
A,B]
biçiminde gösterilir (Sarıgöl ve Bor 1995).Tanım 2.7: Pozitif terimli (an) ve (bn) dizileri verilsin. Eğer her n ≥n0 için
n n c.b
a ≤ olacak şekilde c >0 ve n0≥1 tamsayısı varsa, an =O(bn) , n→∞
şeklinde yazılır.
Tanım 2.8: A ve B verilen iki toplanabilme metodu olsun. Eğer A toplanabilen her dizi
aynı zamanda B toplanabiliyorsa A , B’yi gerektirir denir veA ⇒B ile gösterilir. Eğer B
A ⇒ ve B ⇒A ise A metodu B metoduna denktir denir ve A ⇔B ile gösterilir.
Teorem 2.9: Eğer pozitif sabitlerin (pn) dizisi için npn =O(Pn) ve
) np ( O =
Pn n şartları sağlanıyorsa, bu takdirde
k n k N,p 1 , C ⇒ ’dır (Bor 1985).
Şimdi ifade ve ispatından çokca yararlandığımız bir lemmayı ifade ve ispat verelim.
Lemma 2.10: Kabul edelim ki k >0 ve n →∞ için Pn =p0+p1+...+pn→∞ olsun. Bu takdirde ∀v≥ 1 için
k 1 v ∞ v n k 1 n n n k 1 v P N ≤ P P p ≤ P M
∑
− − − − = = = = −−−− − − − −olacak şekilde (pn) dizisinden bağımsız pozitif M ve N sabitleri vardır (Sarıgöl 1991). İspat: f:
[
0,1)
→ R (1-x ) x 1 1 ) x ( f k 1 − =fonksiyonunu gözönüne alalım. Açıktır ki bu fonksiyon sürekli ve pozitiftir. Öte yandan x→ 1−0 için k 1 → ) x ( f . Çünkü , 0 0 x 1 ) x 1 ( lim ) x ( f lim k 1 0 1 → x 0 1 → x − = − = − −
belirsizliği mevcut olduğundan L’Hospital kuralı uygulanarak,
k 1 x lim k 1 x k 1 lim x 1 ) x 1 ( lim ) x ( f lim k k 1 0 1 → x k k 1 0 1 → x k 1 0 1 → x 0 1 → x − = = = − = − − − − − −
elde edilir. Dolayısıyla ∀x∈
[
0,1)
için M≤ f(x)≤Nolacak şekilde k’ya bağlı M ve N sabitleri vardır. Şimdi ∀n∈IN için
k n n k n 1 n P p 1 P P x − − − − = = = = = == = −−−− alalım. Bu durumda, ) P P 1 ( P P 1 1 x 1 x 1 ) x ( f n 1 n k n k 1 n k 1 − − − − = − − = k 1 n n n k 1 n k n k 1 n k n n n k n k 1 n k n P P p . P P P P P p P P P 1 − − − − − = − = olduğuna göre, M − − k n k 1 n P 1 P 1 ≤ k 1 n n n P P p − ≤ N − − k n k 1 n P 1 P 1
∑
∑
∑
∞ = − ∞ = − ∞ = − − ≤ ≤ − v n k n k 1 n v n k 1 n n n v n k n k 1 n P 1 P 1 N P P p P 1 P 1 Mbulunur. Öte yandan,
∑
∞ v n k n k 1 n P 1 P 1 = − −serisi yakınsaktır. Çünkü kısmi toplamlar dizisini (sm) dersek
∑
= − ∞ → ∞ → − = m v n nk k 1 n m m m P 1 P 1 lim s lim − + + − + − = − + − ∞ → k m k 1 m k 1 v k v k v k 1 v m P 1 P 1 P 1 P 1 P 1 P 1 lim k 1 v k m k 1 v m P 1 P 1 P 1 lim − − ∞ → = − = dır. Böylece, k 1 v ∞ v n k 1 n n n k 1 v P N ≤ P P p ≤ P M∑
− = − − elde edilir.Lemma 2.11 : 1<k≤ s<∞ olsun. Ayrıca B ve C matrisleri aşağıdaki şekilde
tanımlansın;
(
)
≥ − ≤ ≤ ε + ε ∆ = − + − n v , 0 1 n v 1 , P p Q Q p P Q 1 Q q b * k 1 v v 1 v v v 1 v v v 1 n s 1 n n nv ≠ = ε = n v , 0 n v , p P Q q c n k 1 n n s 1 n n nv Bu takdirde, B∈(
lk,ls)
⇔ O(Q ) P p Q ) Q ( p P * * k m v v k m 1 v 1 v v v 1 v v v = ε + ε ∆∑
= + − , 1 k 1 k 1 * = + C∈(
lk,ls)
⇔ = ε k 1 n n s 1 n n n P p q Q O dır (Bennett 1987). Şimdi k n p ,N toplanabilme metodu ile tanımladığımız dizi uzayının çok kullandığımız temel bir özelliğini veren bir lemmayı ifade ve ispat edelim.
Lemma 2.12: 1 ≤ <k ∞ olsun. Bu takdirde, =
{
= i∑
i k p x (x ): x N , k n p , N toplanabilir}
dizi uzayı, k 1 k n 1 v v 1 v 1 n n n 1 n 1 k n n k 0 P x P P p p P x x + =∑
∑
= − − ∞ = −normuyla birlikte Banach uzayıdır (Sarıgöl 1991).
İspat: Önce
k p
N ’nın lineer uzay olduğunu gösterelim. Bunun için ) x ( x= i , k p i) N y ( y= ∈ ve α∈C/ alalım. x+ y=(x1+y1, x2+y2, ... ,xn +yn,...) ve αx =(αx1,αx2,...,αxn,...)
olduğuna göre Minkowski eşitsizliği nedeniyle,
k 1 k n n 0 n 1 k n n k 1 k n 0 n 1 k n n U (x) U (y) p P ) y x ( U p P y x + = + = +
∑
∑
∞ = − ∞ = − <∞ + ≤∑
∑
∞ = − ∞ = − k 1 k n 0 n 1 k n n k 1 k n 0 n 1 k n n U (y) p P ) x ( U p P ve dolayısıyla x+ y∈ k p N bulunur. k p N x ∈α olduğu ise açıktır. O halde
k p
N lineer uzaydır. Şimdi de x ’in
k p
N üzerinde bir norm olduğunu gösterelim. N1) x=θ =(0,0,...,0,...) ise x = ’dır. Tersine 0 . 0 x P P P p , 0 n 0 ) x ( U , 0 n 0 ) x ( U p P x n 1 v v 1 v 1 n n n n k 1 k n 0 n 1 k n n
∑
∑
= − − ∞ = − = ≥ ∀ ⇒ = ≥ ∀ ⇒ = = , ⇒ U0( )
x =x0 =0 0 x 0 x P ) x ( U 1 1 0 1 = ⇒ = = ⇒N2) k 1 k n 0 n 1 k n n U ( x) p P x α = α
∑
∞ = − U (x) . x p P k 1 k n k 0 n 1 k n n α = α =∑
∞ = − N3) Minkowski eşitsizliğinden , k 1 k n 0 n 1 k n n U (x y) p P y x + = +∑
∞ = −(
)
k 1 k n n 0 n 1 k n n U (x) U (y) p P + ≤∑
∞ = − y x ) y ( U p P ) x ( U p P k 1 k n 0 n 1 k n n k 1 k n 0 n 1 k n n + = + ≤∑
∑
∞ = − ∞ = −elde edilir. Şu halde
k p
N normlu uzaydır. Nihayet
k p
N ’nın tamlığı için keyfi bir )
x
( m Cauchy dizisi alalım. Bu durumda her bir m∈ IΝ için
x (x ) (x ,x ,...,xm, ...) i m 2 m 1 m i m = = ∈ Np k
olur. Bu takdirde ∀ε>0 için m,n>n0 olduğunda,
<ε − + − = −
∑
∑
= − − ∞ = − k 1 i 1 v n v m v 1 v 1 i i i 1 i 1 k i i k n 0 m 0 n m k ) x x ( P P P p p P x x x x *olacak şekilde n mevcuttur. Buradan da 0 v= 0, 1, 2, ... ve m,n >n0 için
ε < − nv
m
v x
x yazılabilir. Şu halde her bir v için (x ,x ,...,xm,...)
v 2 v 1
v dizisi C/ ’de bir
Cauchy dizisidir. C/ tam olduğuna göre bu Cauchy dizisi yakınsaktır. Yani
v m v
mlim→∞x =x olacak şekilde xv∈ vardır. Diyelim ki C/ x =(x0,x1,..., xv, ...) olsun.
x x için m→∞ m → ve x=
( )
xk ∈ k pN olduğunu göstermek yeterlidir. *’ dan
0 n n , m > için − 0n <ε m 0 x x ve ∀j ∈N için − <ε
∑
∑
= = − − − j 1 i i 1 v n v m v 1 v 1 i i i 1 k i i P (x x ) P P p p Pbulunur. Bu eşitsizlikte n→∞ için limite geçilirse m >no için k k 0 m 0 x x − <ε ve k k j 1 i i 1 v v m v 1 v 1 i i i 1 k i i P (x x ) P P p p P ε < −
∑
∑
= = − − −elde edilir. Son eşitsizlik ∀j ∈N için sağlandığına göre ∀m >n0 için
) 1 ( 2 k ) x x ( P P P p p P x x x x k k k 1 i 1 v v m v 1 v 1 i i i 1 i 1 k i i k 0 m 0 m <ε +ε < ε ε< − + − = −
∑
∑
= − − ∞ = −bulunur ki bu ise m→∞ için xm −x →0 yani xm → demektir. Ayrıca x Minkowski’s eşitsizliğinden x ≤ x−xm + xm < ∞ olduğundan
( )
∈ = xk x k p N ’dır. Şu halde k p N Banach uzayıdır.Teorem 2.13 (Abel- Dini Teoremi):
∑
∞
=1 n
n
p pozitif sabitlerin keyfi ıraksak bir serisi ve Pn =p1+p2 +...+pn , yani
serinin kısmi toplamı olsun. Bu takdirde,
∑
∑
∞ = α ∞ = ≡ 1 n n n 1 n n P p a ≤ α > α ise 1 , ıraksak ise 1 , yakınsak dır (Knopp 1944).ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
Bu bölümde toplanabilme çarpanlarını karakterize eden temel teoremler ile bazı sonuçlarını inceleyeceğiz.
Aksi söylenmediği sürece bu bölümde (pn) ve (qn),
Pn =p0 +p1+p2 +...+pn , Pn →∞, (P−1 =p−1=0) ve
Qn =q0+q1+q2+...+qn , Qn →∞, (Q−1 =q−1 =0)
olacak şekilde pozitif sabitlerin dizilerini ve n =0,1,2,... için ∆εn =εn −εn+1
eşitliğini gösterecektir.
Açıktır ki genel olarak
k n p , N ve k n q ,
N her bir k≥1 indisi için farklı farklı toplanabilme metotlarıdır. Diğer bir ifadeyle bu metotlar birbirinden bağımsızdır.
Dolayısıyla bir toplanabilme çarpanı ile iki metottan birinin toplanabilme alanından diğerinin toplanabilme alanına geçilip geçilemeyeceğini sormak doğaldır. Bu bağlamda
(Bor, 1993) , aşağıdaki teoremi vermiştir.
Teorem 3.1: k ≥ 1 olsun. Eğer
k n
p ,
N toplanabilen her
∑
x serisi için n∑
εnxn serisi N,qn k toplanabilirse, bu takdirde(i) = ε k 1 n n n n n P q Q p O ve
(ii) = ε ∆ k 1 n n n P p O dır (Bor 1993).
Şimdi bu teoremi genişleterek gerek ve yeter formda ortaya koyan Sarıgöl ’e (1994) ait olan bir teoremi ifade ve ispat edelim.
Teorem 3.2:1<k≤ s<∞ olsun. Bu takdirde ε=
( )
εn ∈[
N,pn k , N,qn s]
olması için gerek ve yeter şart
(a) = ε k 1 n n s 1 n n n P p q Q O (b) O(Q ) P p Q ) Q ( p P * * k m v v k m 1 v 1 v v v 1 v v v = ε + ε ∆
∑
= + − , 1 k 1 k 1 * = + (1) olmasıdır.Bu teoremi ispatlamak için önce aşağıdaki lemmayı ifade ve ispat edelim.
Lemma 3.3:1≤k≤s<∞ olsun. Eğer ε=
( )
εn ∈[
N,pn k , N,qn s]
isebu takdirde (1 a) sağlanır (Sarıgöl 1994).
İspat:
(
un(x))
ve(
tn(x))
sırasıyla∑
xn ve∑
εnxn serilerinin(
N,pn)
ve(
N,qn)
Riesz ortalamalarını göstersin. Bu durumda,
∑
n 0 v v v n n p s P 1 ) x ( u = =∑
∑
v 0 i i n 0 v v n x p P 1 = = =∑ ∑
n 0 i i n i v v n x p P 1 = = =∑
(
)
n 0 v v 1 v n n x P -P P 1 = − =olduğuna göre U0(x)=u0(x)=s0 =xo ve n ≥1 için Un(x)=un(x)−un−1(x)
(
)
(
P P)
x P 1 x P -P P 1∑
∑
n1 0 v v 1 v 1 n 1 n n 0 v v 1 v n n − = − − − = − − − =∑
∑
∑
∑
n 0 v v 1 v n 1 n 0 v v 1 v 1 n 0 v n 1 v 1 n n o v n1 v n n x P P 1 x P P 1 x P P 1 x P P 1 = − − = − − = − − = − − + − =∑ ∑
n 0 v 1 n 0 v v v x x = − = − = + n n n n 1 n 0 v v 1 v n 1 n 0 v v 1 v 1 n x P ) p P ( x P P 1 x P P 1∑
∑
− − − − = − − = − − n n n n n n n v n 0 v 1 v 1 n n n n x P p x x P p x P P P p x +∑
− − + = = − − =∑
n 0 v v 1 v 1 n n n P x P P p = − − , (P−1 =0) (2) bulunur. Benzer olarak,
∑
n 0 v v v n n q s Q 1 ) x ( t = =∑
∑
v 0 = i i i n 0 = v v n x ε q Q 1 =∑ ∑
n 0 i i i n i v v n x q Q 1 = = ε =∑
(
)
n 0 v v v 1 v n n x Q Q Q 1 = − ε − = ve∑
n 1 v v v 1 v 1 n n n 1 n n n Q x Q Q q ) x ( t ) x ( t ) x ( T = − − − = ε − = , T0(x)=ε0x0 (3) olur. s,k ≥1 için{
∑
k n i i): x , N,p x ( x F= = toplanabilir}
lineer uzayı , k 1 n 1 k ∞ 0 n n n F k ) x ( U p P x∑
= − = (4) ve benzer olarak{
(
)
∑
s n i i i ix : x , N,q G= ε ε toplanabilir}
lineer uzayı, s 1 s n ∞ 0 n 1 s n n G q T (x) Q x
∑
= = − (5) normlarıyla birlikte birer Banach uzayıdır. Hipotezden F ⊂G olduğundan x F <∞ ise∞ <
x G dır. Her bir n∈ IN için
v n 1 v v 1 v 1 n n n n Q x Q Q q ) x ( T
∑
= − − ε =şeklinde tanımlanan Tn :F→ C/ dönüşümünü göz önüne alalım. ∀x,y∈F ve α∈C/ için Tn
(
x+y)
=Tn( )
x +Tn( )
y ve Tn(αx)=α.Tn(x) olduğu açıkça görüldüğünegöre T dönün şümü lineerdir. Öte yandan T sınırlıdır. Bunun için Teorem 1.1.4 n
nedeniyle bu dönüşümün sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. Her bir n∈IN için
s 1 n 0 i s i 1 s i i n
∑
T(x) q Q ) x ( f = = −fonksiyonelini göz önüne alalım. fn, F üzerinde bir yarınormdur. Çünkü, her bir i∈N
için Ti lineer olduğundan Minkowski eşitsizliğinden,
s 1 n 0 i s i 1 s i i n
∑
T(x y) q Q ) y x ( f + = + = − s 1 n 0 i s i 1 s i i s 1 n 0 i s i 1 s i i∑
∑
T(y) q Q ) x ( T q Q ≤ + = − = − =fn(x)+fn(y)dır. Ayrıca fn(αx)= α .fn(x) olduğu ise açıktır. Şu halde f , n F üzerinde bir
yarınormdur. Bunun yanı sıra ∀i için Ti’lerin F üzerinde sınırlı lineer fonksiyonel
olması nedeniyle fn F üzerinde sınırlıdır. Eğer f(x) limfn(x) n
= dersek
f(x)= x G <∞ (6)
olur. Bu ise
{ }
fn ailesinin F üzerinde noktasal sınırlı olması demektir. Resonanceteoremi ( Wilansky 1964 ) nedeniyle bu aile F üzerinde düzgün sınırlıdır, yani ∀n∈N için fn ≤M olacak şekilde bir M sabiti vardır. Dolayısıyla ∀x∈F için
fn ≤M (n∈N) ⇒ fn(x)=f(x)≤ M. x F
⇒ x G ≤ M. x F
yazılabilir. Özel olarak v∈N için ev=(0,...,0,1,0,...) ( v. terim 1) olmak üzere (3) ve (4) ifadelerinde x=ev −ev+1 alınırsa, > − = < = − v n , P P p p v n , P p v n , 0 ) x ( U 1 n n n v v v n bulunur. Çünkü, P x 0 P P p ) x ( U için v n
∑
n 1 v v 1 v 1 n n n n = = < = − − n = için v v v v 1 v 1 v v v v P p x P P P p ) x ( U = − = − olur. n >v için aynı incelemeyi yapalım. n= v+1 ise, v 1 v 1 v v v 1 v v 1 v 1 v 1 v 1 i i 1 i v 1 v 1 v 1 v P P p p ) P -P ( P P p x P P P p ) x ( U∑
+ + − + + + = − + + + = = =− n=v+2 ise, 1 v 2 v 2 v v v 1 v 1 v 2 v 2 v 2 v 1 i i 1 i 1 v 2 v 2 v 2 v P P p p ) P -P ( P P p x P P P p ) x ( U∑
+ + + − + + + + = − + + + + = = =−ve bu şekilde devam edilirse,
1 n n n v n P P p p ) x ( U − − =
elde edilir. Benzer şekilde,
> ε ∆ = ε < = − − ,n v Q Q q ) Q ( v n , Q q v n , 0 ) x ( T 1 n n n v 1 v v v v n
k 1 k n ∞ 0 n 1 k n n F p U (x) P x
∑
= = − k 1 1 v n k 1 n n n k v v v k n 1 v 0 n 1 k n n P P p p P p ) x ( U p P + + =∑
∑
∞ + = − − = − k 1 ∞ 1 v n k 1 n n n k v v v∑
P P p p P p + = + = − ve s 1 s n ∞ 0 n 1 s n n G q T (x) Q x∑
= = − s 1 s v 1 v 1 n n n ∞ 1 v n 1 s n n s v v v 1 s v v (Q ) Q Q q q Q Q q q Q∑
ε ∆ + ε = − − + = − − s 1 ∞ 1 v n s 1 n n n s v 1 v v v s v∑
Q Q q ) Q ( Q q ε ∆ + ε = + = − −elde edilir. x G ≤ M x F eşitsizliğinde bu sonuçlar yerine koyulursa Lemma 2.10’dan, + ≤ ε ∆ + ε + = − + = − − k 1 ∞ 1 v n k 1 n n n k v v v s 1 ∞ 1 v n s 1 n n n s v 1 v v v s v
∑
∑
P P p p P p M Q Q q ) Q ( Q q ⇒ + ≤ ε + = − k 1 ∞ 1 v n k 1 n n n k v v v s 1 v v s v∑
P P p p P p M Q q ⇒(
)
+ ≤ ε k P p K P p M Q q v v v v s k v v s v v v 1 k v v v v P p ) K 1 ( M P p K 1 P p M ≤ + + ≤ − = v v 1 P p M , bulunur. Buradan da,k 1 v v 1 s 1 v v v P p M Q q ≤ ε ⇒ k 1 v v s 1 v v 1 v P p q Q M ≤ ε ⇒ = ε k 1 n n s 1 n n n P p q Q O
elde edilir ki bu ise (1 a)’nın sağlanması demektir.
Teorem 3.2’nin ispatı: Lemma 3.3’te tanımlanan sembolleri kullanarak önce bazı eşitlikler elde edelim. (2)’nin tersini (3)’te yerine yazarsak,
∑
n 1 v v 1 v 1 n n n n P x P P p ) x ( U = − − =olduğuna göre n ≥ için 1
⋅ =
∑
⇒ = − − v n 1 v 1 v n n 1 n n U (x) P x p P P ⋅ − ⋅ = − = − ⇒ − = − = − − − − − −∑
∑
n 1 n v 1 n 1 v 1 v v n 1 v 1 v 1 n 1 n 2 n 1 n n n 1 n n U (x) P x P x P x p P P ) x ( U p P P U (x) p P ) x ( U p P x n 1 1 n 2 n n n n n − − − ⋅ − ⋅ = ve U0(x)=x0bulunur. Buradan da,
∑
n 1 v v v 1 v 1 n n n n Q x Q Q q ) x ( T = − − ε =∑
n 1 v 1 v 1 v 2 v v v v v 1 v 1 n n n U (x) p P ) x ( U p P Q Q Q q = − − − − − ⋅ − ε =∑
∑
n 1 v 1 v v 1 v 1 v 2 v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n ) x ( U Q p P Q Q q ) x ( U p Q P q ) x ( U Q p P Q Q q = − − − − − − = − − ε − ε + ε =
∑
∑
n 2 v 1 v v 1 v 1 v 2 v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n ) x ( U Q p P Q Q q ) x ( U p Q P q ) x ( U Q p P Q Q q = − − − − − − = − − ε − ε + ε =( )
∑
∑
∑
1 n 1 v v 1 v v 1 n n n 1 n 1 v v 1 v v v v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n ) x ( U Q Q Q q ) x ( U Q p P Q Q q x U p Q P q ) x ( U Q p P Q Q q − = + − − = + − − = − − ε + ε − ε + ε = U (x) p Q P q ) x ( U Q ) Q ( p P Q Q q n n n n n n v 1 n 1 v 1 v v v 1 v v v 1 n n n∑
ε + ε + ε ∆ = − = + − − 1 n ≥ ∀ için .U (x) p P ) x ( U n k 1 1 n n * n − = ve .T (x) q Q ) x ( T n s 1 1 n n * n − = alalım. Bu durumda, U (x) p P ) x ( U * n 1 k 1 n n n ⋅ = − ve ) x ( U p P p Q P q q Q ) x ( U P p Q ) Q ( p P Q Q q q Q ) x ( T * n 1 k 1 n n n n n n n s 1 1 n n * v k 1 v v 1 v v 1 n 1 v v 1 v v v 1 n n n s 1 1 n n * n *∑
− − + − = − − − ε + ε + ε ∆ = U (x) p P Q q ) x ( U P p Q ) Q ( p P Q 1 Q q * n n k 1 n n s 1 n n * v k 1 v v 1 v v 1 n 1 v v 1 v v v 1 n s 1 n n *∑
ε + ε + ε ∆ = + − = − −∑
∞ 1 v * v nvU (x) a = = , yazalım. Bu takdirde(
T*(x))
n dizisi,(
U (x))
* n dizisinin > = ε − ε + ε ∆ = + − − n v , 0 n v , p P Q q 1 n ≤ v ≤ 1 , P p Q ) Q ( p P Q 1 Q q a n k 1 n n s 1 n n k 1 v v 1 v v v 1 v v v 1 n s 1 n n nv *
matrisiyle yapılan dönüşüm dizisi olur. Öte yandan,
U (x) p P ) x ( U n k 1 1 n n * n − = , n k 1 k n n k * n U (x) p P ) x ( U
∑
∑
− = ve T (x) q Q ) x ( T n s 1 1 n n * n − = ,∑
∑
n s 1 s n n s * n T (x) q Q ) x ( T − =eşitsizlikleri nedeniyle
∑
xn serisi N,pn k toplanabilir olduğunda∑
εnxn serisi s n q , N toplanabilirdir ⇔ U*(x)k <∞ n∑
olduğunda T*(x)s <∞ n∑
dır. Bu da(
anv) (
∈ lk,ls)
A = olmasıdır. Lemma 2.11’deki B ve C matrislerinin tanımları nedeniyle
∑
∞ 1 v * v nv * n(x) a U (x) T = = b U*(x) c U*n(x) 1 n 1 v nn v nv∑
− = + = (7) yazılabilir ve dolayısıyla A=B+C olur. Şu haldeT (x) Bn(x) Cn(x)
*
n = + (8)
olur.
Yeterlilik: Eğer (1 a) ve (1 b) sağlanıyorsa Lemma 2.11’dan B,C∈
(
lk,ls)
ve (8)eşitliğinden A ∈
(
lk,ls)
bulunur. Şu halde (1 a) ve (1 b) yeterlidir.Gereklilik: Eğer A ∈
(
lk,ls)
ise Lemma 3.3 nedeniyle (1 a) sağlanır. DolayısıylaLemma 2.11’dan B∈
(
lk,ls)
olur. Öte yandan C (x) T (x) Bn(x) *n
n = − eşitliğinden
(
lk,ls)
∈
3.4. Sonuçlar:
Teorem 3.2, mutlak toplanabilme metodları arasında ilişki kuran, bilinen bir çok teoremi özel durum olarak kapsamaktadır. Şimdi bunların bazılarını ifade edelim. Teorem 3.2’de pn =εn =1 , k=s ve pn =qn alınırsa aşağıdaki sonuç elde
edilir.
Sonuç 3.4.1: 1<k<∞ olsun C,1 k toplanabilen her seri aynı zamanda
k n p , N toplanabilirdir ⇔ = + = = ) P ( O v 1 p ) 1 v ( -P ii.) ) P ( O np i.) * * k m m 1 v k v v n n
∑
(9)şartlarının sağlanmasıdır. Burada *
k , k’nın eşleniğidir.
Dikkat edilmelidir ki bu sonucun şartları Teorem 2.9’un şartlarından daha zayıftır. Çünkü npn =O(Pn) ve Pn =O(npn) sağlanıyorsa, v 1 P ) 1 ( O v 1 p ) 1 v ( -P
∑
∑
n 1 v k v k n 1 v v v * * ⋅ = ⋅ + = = ⋅ = = − v P P ) 1 ( O v n 1 v 1 k v∑
* v n 1 v 1 k v p P (1) O∑
* = − =∑
= − = n 1 v v 1 k n p P ) 1 ( 0 * O(Pk*) n = .Tersi ise doğru değildir. Dolayısıyla Sonuç 3.4.1, Teorem 2.9’u kapsar.
Sonuç 3.4.2: 1 <k< s < ∞ olsun. Bu takdirde
k n
p ,
N toplanabilen her seri ,
s n p , N toplanabilirdir ⇔ Pn =O(npn) (10) şartının sağlanmasıdır.
İspat: Teorem 3.2’de pn =qn ve εn =1 alalım. Bu durumda = ε k 1 n n s 1 n n n P p q Q O olduğuna göre k 1 n n s 1 n n P p q Q K ≤ 1 ⇔ s 1 k 1 n n P p K ≤ 1 − ⇔ n n P p K ≤ 1 ⇔Pn =O(pn)’dir.
Şimdi (10) şartını sağlayan bir
( )
p dizisinin mevcut olup olmadığı sorulabilir. Bunun niçin bir örnek verelim. p xv, v 0,1,2,... x 1
v = = > olacak şekilde
( )
p dizisi alalım. vBu durumda, 1 x x ≈ p P v v − , yani v v p P , 1 x x − ifadesine asimtotiktir. Çünkü, 1 x ) 1 x )( x ... x x ( lim x 1 x p P lim v1 v 1 0 ∞ → x v v ∞ → x = − + + + = − ⋅ + .
Sonuç 3.4.3: 1<k<∞ olsun. Pozitif sabitlerin
( )
pn dizisi için = = ) Q p ( O P q ) b ( ) P q ( O Q p ) a ( n n n n n n n n (11)
şartları sağlansın. Bu takdirde
k n k n N,q p , N ⇔ ’dır.
İspat: Teorem 3.2’de εn =1 ve k =s alalım. Bu durumda (1 a) ve (1 b) şartları sırasıyla ve = ⋅ − = = ) Q ( O P p p q P Q ) Q p ( O P q * * k m v v k m 1 v v v v v n n n n
∑
(12)şartlarına dönüşür. Dikkat edelim ki (11 a) ve (11 b) şartları (12) eşitliğini gerektirir. Gerçekten her v∈ için N Pvqv ≤ K1pvQv ve Qvpv≤K2qvPv olacak şekilde K 1
ve K sabitleri mevcut oldu2 ğuna göre,
v v k m 1 v v v v v 0 v v k m 1 v v v v v P p p q P Q K ≤ P p p q P Q * *
∑
∑
⋅ + ⋅ − = = v v v m 1 v 1 -k v 1 v v m 1 v k v 1 P p Q Q K P p Q K ≤∑
*∑
* = = = ⋅∑
∑
m 1 v v 1 -k m 2 v m 1 v 1 -k v 2 Q q K Q q K ≤ * * = = = k* m 2Q K = bulunur. Şu halde k n p , N ⇒ k n qN, olur. Nihayet p ve n q ’ nin rolleri n
değiştirilerek k n q N, ⇒ k n p , N ve dolayısıyla k n p , N ⇔ k n q , N elde edilir.
Sonuç 3.4.4: 1<k<∞ olsun. Bu takdirde
k n p , N ⇔ k n q ,
N olması için gerek ve yeter şart (11 a) ve (11 b) şartlarının sağlanmasıdır.
İspat: Teorem 3.2’de k=s ve εn =1 alınarak istenen elde edilir. Sonuç 3.4.3 ve sonuç 3.4.4 Bor ve Thorpe ile Sarıgöl tarafından verilmiştir.
Şimdi mutlak toplanabilme metodları ile ilgili toplanabilme çarpanlarını karakterize eden teoremleri ifade ve ispat ederek bilinen bir çok sonucu genelleştireceğiz.
Lemma 3.5: k ≥ 1 olsun. Eğer
∑
an serisi N,pn toplanabilir olduğundan nλ a
∑
serisi k n q ,N toplanabilir ise bu takdirde λn =O(1) olur.
İspat: (tn) ve (Tn) sırasıyla
∑
a ve n∑
anλn serilerinin(
N,pn)
ve(
N,qn)
Riesz ortalamaları olsun. Bu takdirde,
v n 0 v 1 v n n v 0 i i n 0 v v n v n 0 v v n n (P P )a P 1 a p P 1 s p P 1 t
∑
∑
∑
∑
= − = = = − = = =v n 1 v 1 v 1 n n n 1 n n n P a P P p t t x
∑
= − − − = − = , n≥ 1 , x0 =a0 (13) ve benzer olarak n ≥ 1 içinv 1 v v n 0 v n n i v 0 i i n 0 v v n v n 0 v v n n (Q -Q )a Q 1 a q Q 1 s q Q 1 T =
∑
=∑
∑
λ =∑
− λ = = = = v v n 1 v 1 v 1 n n n 1 n n n Q a Q Q q T -T y = =∑
λ = − − − , y0 =a0λo (14)yazabiliriz. Hipotez nedeniyle
∑
an serisi N,pn toplanabilir olduğunda∑
anλnserisi
k n
q ,
N toplanabilir olduğuna göre
∑
∞ = ∞ < 1 n n x (15) olduğunda, y ∞ q Q k n ∞ 1 n 1 k n n∑
< = − (16)yazabiliriz. (15 ) şartını sağlayan diziler uzayı,
∑
∞ 0 = n n x =
x normuyla birlikte Banach uzayı ve (16) şartını sağlayan (yn) diziler uzayı Lemma 2.12’deki
k 1 k n ∞ 0 n 1 k n n y q Q y
∑
= = −normuyla birlikte Banach uzayıdır. (14) eşitliği ile verilen dönüşüm (15) şartını sağlayan dizileri (16) şartını sağlayan dizilere dönüştürdüğüne göre Banach- Steinhause teoremi nedeniyle her x için
y ≤C.x (17) olacak şekilde C sabiti bulunabilir. Gerçekten, bunun için
> ≤ ≤ = n v , 0 n v 0 , ) x ( T ) x ( An v olmak üzere k p 1 n :l N
A → dönüşümünü göz önüne alalım. Bu durumda her bir
IN n∈ için
olduğuna göre An lineerdir. Çünkü ∀x,y∈l1 ve α∈C/ için Tn’nin lineerliğinden An(x+y)=(T1(x+y),...,Tn(x+y),0,...) =(T1(x)+T1(y),...,Tn(x)+Tn(y),0,...) =(T1(x),...,Tn(x),0,...)+(T1(y),...,Tn(y),0,...) =An(x)+An(y) , An(αx)=(T1(αx),...,Tn(αx),0,...) =(αT1(x),...,αTn(x),0,...) =α(T1(x),...,Tn(x),0,...) =αAn(x)
dır. Öte yandan her bir An süreklidir (sınırlıdır), zira ∀x∈l1 için Ti’nin sınırlılığı
nedeniyle k 1 k v n 1 v 1 k v v k 0 n T (x) q Q ) x ( T ) x ( A + =
∑
= − k 1 n 0 v k v 1 k v v k k k 0 M q Q x x M + ≤∑
= −(
M K1k)
. x n 0+ ≤dır. l tam uzay ve 1 sup An(x) T(x) n
≤ ( Burada T(x)=y=
( ) (
yn = Tn(x))
aldık. )olduğuna göre Banach-Steinhause teoremi nedeniyle ∀n∈N için An ≤ yani C IN
n∈
∀ ve ∀x∈l1 için
An(x) ≤ An . x ≤C. x
olacak şekilde C > sayısı vardır. Buradan da 0 ∀x∈l1 için
supAn(x) T(x) C. x
n
≤ =
elde edilir. Şimdi bu eşitsizlik özel olarak v ≥ için 1 av = ve r 1 ≠ v için ar = 0
olmak üzere x=
( )
xv ∈l1 dizisine uygulanırsa, (13) ve (14) eşitsizlikleri nedeniyle < = − − , n ≥ v P P p P v n , 0 x 1 n n n 1 v n λ < = − − ,n ≥ v Q Q q Q v n , 0 y 1 n n v n 1 v n
elde edilir. Öte yandan,
∑
∞∑
0 n ∞ v n n n 1 n 1 v n P P p P x x = = − − = = =∑
∞ v n n n 1 n 1 v P P p P = − − = 1 P 1 . P 1 v 1 v = − − ve k 1 k n ∞ 0 n 1 k n n y q Q y∑
= = − = k 1 k 1 n n v n 1 v ∞ v n 1 k n n Q Q q Q q Q∑
λ − − = − = k 1 ∞ v n k 1 n n n v 1 v∑
Q Q q Q λ = − −olur. Böylece (17) eşitsizliği ve Lemma 2.10 nedeniyle v∀ için
k 1 ∞ v n k 1 n n n v 1 v
∑
Q Q q Q λ = − − ≤C.1 ≤C Q M Q 1 v k 1 v 1 v − − λ ⋅ ⇒ λn =O(1) bulunur ki, bu ise ispatı tamamlar.Teorem 3.6: 1≤k<∞ olsun.
[
]
k n n ,N,q p , N ∈ λ ⇔ = λ = λ ∆ = λ k 1 n n n n n n n n n q Q . P p O ) c ( P p O ) b ( ) 1 ( O ) a ( . (18)İspat : Lemma 3.5’teki notasyonları kullanacağız. (13) eşitliğinde a terimini, v x n
terimi cinsinden çekip (14) ifadesinde yerine yazılırsa,
∑
∑
n 1 v 1 v 1 v 2 v v v v v 1 v 1 n n n n 1 v v v 1 v 1 n n n n x p P x p P Q Q Q q a Q Q Q q y = − − − − − = − − − λ = λ =∑
∑
n 1 v 1 v v 1 v 1 v 2 v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n Q x p P Q Q q x p Q P q x Q p P Q Q q = − − − − − − = − − λ λ + λ =∑
∑
n 2 v 1 v v 1 v 1 v 2 v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n Q x p P Q Q q x p Q P q x Q p P Q Q q = − − − − − − = − − λ − λ + λ = x p Q P q + x Q Q Q q x p Q P Q Q q x p q P Q Q q x p Q P Q Q q n n n n n n 1 n 1 v v 1 v v 1 n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n v 1 n 1 v v v v v 1 n n n 1 n 1 v v v v v v 1 n n n∑
∑
∑
∑
λ λ + λ − λ − λ = − = + − − = + − − = − − = −{
}
n n n n n n v 1 v v v v v v 1 n 1 v v v v v 1 n n n x Q p P q x Q p P q p Q P Q Q q∑
λ + λ + λ − λ ∆ = + − = olur. n ≥ 0 için n k 1 1 n n n y q Q Y − = diyelim. Bu takdirde n ≥ 1 için
{
}
∑
∑
n 1 v v nv n n n n k 1 n n v 1 v v v v v v 1 n 1 v v v v v 1 n k 1 n n n x a x p P Q q x Q p P q p Q P Q 1 Q q Y = + − = − = λ + λ + λ − λ ∆ = = λ − λ + λ − λ ∆ = + − n v , p P Q q 1 n ≤ v ≤ 1 , ) Q p P q p P Q ( Q 1 ) Q q ( a n n n k 1 n n 1 v v v v v v v v v v 1 n k 1 n n nv
olmak üzere
( )
x dizisinin A dönün şüm dizisi olur. Buna göre lemma 1.1.15’tenλ=
(
λn)
∈[
N,pn,N,qn k]
⇔A∈(
l1,lk)
⇔ <∞ = k ∞ 1 n nv v∑
a sup (19) olur. (19) ifadesinden ) 1 ( O Q Q q Q p P q p P Q p P Q q∑
∞ 1 v n k 1 n n n k 1 v v v v v v v v v v k v v v v v + ∆λ − λ + λ = λ + = − + , v→∞ , (20)yazılabilir. Açıktır ki terimlerin pozitif olduğu dikkate alınırsa (20) şartının sağlanması
için gerek ve yeter şart
k v v v v v p P Q q λ =O(1) (21) ve O(1) Q Q q Q p P q p P Q k 1 ∞ 1 v n k 1 n n n 1 v v v v v v v v v v
∑
= λ + λ − λ ∆ + = − + (22)olmasıdır. 2.10. lemması göz önüne alarak (22) şartı denk olarak
O(1) p Q P q p P 1 v v v v v v v v v = λ + λ − λ ∆ + (23) yazılabilir. (21)’den, λ v v v k 1 v v p P Q q =O(1)
⇒ = λ −k 1 1 v v v v v v v Q q O p Q P q =O(1)
olduğuna göre (23) şartı
O(1) p P 1 v v v v∆λ +λ = + (24)
şartına denk olur. Şu halde (21) ve (24) nedeniyle (a) , (b) , (c) hipotezleri yeterlidir. Bununla birlikte lemma 3.5 , (21) , (24) şartlarından Teorem 3.6’nın hipotezlerinin gerekli olduğu görülür. Böylece teoremin ispatı tamamlanır.
Teorem 3.7 : 1<k <∞ olsun. λ∈
[
N,pn k,N,qn]
⇔ a) * k 1 v v v v ∞ 1 v v v ) p P ( ) P p (∑
+ = λ + λ ∆ <∞ b){
}
∞ Q p P q ) P p ( v k* ∞ 1 v v v v v v v∑
λ < = . (25)İspat: Lemma 3.5’ teki notasyonlara göre,
∑
∑
n 1 v 1 v 1 v 2 v v v v v 1 v 1 n n n n 1 v v v 1 v 1 n n n n x p P x p P Q Q Q q x Q Q Q q y = − − − − − = − − − λ = λ =∑
∑
n 1 v 1 v v 1 v 1 v 2 v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n Q x p P Q Q q x p Q P q x Q p P Q Q q = − − − − − − = − − λ − λ + λ =∑
∑
n 2 v 1 v v 1 v 1 v 2 v 1 n n n n n n n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n Q x p P Q Q q x p Q P q x Q p P Q Q q = − − − − − − = − − λ − λ + λ =∑
∑
∑
1 n 1 v n n n n n n v 1 v v 1 n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n 1 n 1 v v v 1 v v v 1 n n n x p Q P q x Q Q Q q x p Q P Q Q q x Q p P Q Q q − = + − = + − − = − − λ + λ + λ − λ ==
{
(
)
}
n n n n n n v 1 v v v 1 v 1 n 1 v v v 1 n n n x p Q P q x Q Q . p P Q Q q∑
λ + λ + λ ∆ − + − = − , n ≥ 1. 1 n ≥ için n k 1 1 n n n x p P X − = koyarsak;{
(
)
}
n 1 k 1 n n n n n n n v 1 k 1 v v 1 v v v 1 v 1 n 1 v v v 1 n n n n X p P p Q P q X p P Q Q . p P Q Q q y − − + − − = − λ + λ + λ ∆ =∑
∑
n 1 = v v nvX a =elde ederiz. Bu durumda
( )
y dizisi, n A=(anv) matrisi
(
)
= λ − λ + λ ∆ = − − + − − n v , p P p Q P q 1 n ≤ v ≤ 1 , p P Q Q p P Q Q q a 1 k 1 n n n n n n n 1 k 1 v v 1 v v v 1 v v v 1 n n n nvolmak üzere
(
X dizisinin A-dönün)
şüm dizisi olur. Böylece∑
an serisi N,pn ktoplanabilir olduğunda
∑
anλn serisi N,qn toplanabilir olması için gerek veyeter şart A∈
(
lk,l1)
olmasıdır. Lemma 1.1.16’dan aynı durum için gerek ve yeterşartlar her zn =O(1) için
∑
∞ v = n n nvz a (v=1,2,3,…) yakınsak ve zn =0(1) olduğunda
∑ ∑
<∞ ∞ = ∞ = * k 1 v n v n nvz a olmasıdır. Şimdi,∑
∑
(
)
∞ + = − + − − ∞ = λ + λ ∆ + λ = 1 v n n 1 k 1 v v 1 v v v 1 v v v 1 n n n v v k 1 v v v v n v n nv z p P Q Q p P Q Q q z p P Q q z a = v v k 1 v v v v z p P Q q λ +(
)
v 1 k 1 v v 1 v v v 1 v v v d p P Q Q p P − + − λ + λ ∆yazalım. Burada , ∞ n 1 v n n n 1 n v z Q Q q d =
∑
⋅ + = −dır. Bu seri zn =O(1) olduğunda yakınsaktır.Dolayısıyla teoremin doğruluğu için gerek ve yeter şartlar, zv =O(1) olduğunda
(
)
d ∞ p P Q Q p P z p P Q q∑
∞ 1 v k v 1 k 1 v v 1 v v v 1 v v v v v k 1 v v v v * < λ + λ ∆ + λ = − + − (26)serisinin yakınsak olmasıdır. ∀v∈IN için zv = alınırsa 1
n ∞ 1 v n n n 1 n v z Q Q q d =
∑
⋅ + = − v ∞ 1 v n n n 1 n Q 1 Q Q q∑
= = + = −olur. Bu takdirde (26) ifadesinden,
∑
(
)
∞ 1 v k v 1 k 1 v v 1 v v v 1 v v v v k 1 v v v v * Q 1 p P Q Q p P p P Q q = − + − ⋅ λ + λ ∆ + λ (
)
k* v v 1 v v 1 v v v v v k 1 v v 1 v P p Q Q 1 Q q p P ⋅ λ + λ ∆ + λ = − + ∞ =∑
k* v v 1 v v v v v v v v k 1 ∞ 1 v v v P p ) ( Q q Q q p P∑
λ + λ ∆ + λ − λ = + = * k ∞ 1 v 1 v v v v k 1 v v∑
) P p ( ) p P ( = + λ + λ ∆ =∑
∞ 1 v k 1 v v v v v v ∞ p P ) P p ( * = + < λ + λ ∆ = (27)bulunur. Öte yandan Lemma 1.1.18’den
∞ p Q P q P p
∑
∞ 1 v k v v v v v v v * < λ =dır. Dolayısıyla teoremin hipotezleri gerek şartlardır. Nihayet zv =O(1) olduğunda
(a b)k* 2k*(ak* bk*) + ≤
+ (a,b≥0)
eşitsizliği dikkate alınarak (26) elde edilir ki bu da yeterliliğin ispatını tamamlar.
3.8 Sonuçlar:
Teorem 3.6 ve Teorem 3.7 bilinen bazı sonuçları özel durum olarak içerir. Bu sonuçları ifade edelim.
Sonuç 3.8.1:
[
]
= λ = λ ∆ = λ λ ) P q Q p ( O ) c ) P p ( O ) b ) 1 ( O a) ⇔ q , N , p , N ∈ n n n n n n n n n n n (28)Teorem 3.6’da k=1 alınarak elde edilen bu sonucun yeterlilik kısmı Khan-Alauddin (1976) tarafından daha kuvvetli şartlar olan (28b), (28c) ve pnQn =O(qnPn) altında
ispatlanmıştır. Sonuç 3.8.2: ∈
[
N,p ,N,q]
⇔ P q Q p n n n n n n ) q P ( O Q pn n = n n ve O(1) p p q Q P P q Q n n 1 n 1 n 1 n n n n = ∆ ⋅ ⋅ + ∆ + + + dır. İspat:Teorem 3.6’da k=1 ve n n n n n P q Q p =λ alınarak istenen elde edilir. Bu sonucun yeterlilik kısmı Kishore ve Hotta (1970) tarafından daha kuvvetli şartlar altında
ispatlanmıştır.
Sonuç 3.8.3 : N,pn ⇒ N,qn olması için gerek ve yeter şart qnPn =O(pnQn)
Teorem 3.6’da k=λn =1 alınarak elde edilen bu sonucun yeterlilik kısmı Sunouchi (1949) ve gereklilik kısmı ise Bosanquet (1954) tarafından verilmiştir.
Sonuç 3.8.4 : k ≥ olsun. 1 k n n N,q p ,
N ⇒ olması için gerek ve yeter şart q P =O(Q pk) n n k n n olmasıdır.
İspatı için Teorem 3.6’da λn =1 almak yeterlidir. Öte yandan Teorem 3.7’ de 1 = λn alırsak (25 a) şartı , <∞ P p
∑
∞ 1 = v v vşartına dönüşür ki Abel-Dini teoremi nedeniyle bu mümkün değildir. Bu nedenle
aşağıdaki sonuç Sarıgöl (1993) tarafından ortaya atılan problemi çözer.
Sonuç 3.8.5: 1<k<∞ olsun. Bu takdirde n
k n N,q p , N ⇒/ ’dır, yani k n p , N
KAYNAKLAR
Bayraktar, M. (1998) Fonksiyonel Analiz, Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Bursa, s140-141.
Bennett, G. (1987) Some elementary inequalities. The Quarterly Journal of Mathematics Oxford 38: 401-25.
Bor, H. (1985) On two summability methods, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 98: 147- 149.
Bor, H. (1993) On absolute weighted mean summability methods. Bulletin of the London Mathematical Society 25: 265-268.
Bor, H. and Thorpe, B. (1987) On some absolute summability methods, Analysis 7: 145-52.
Bor, H. and Kuttner B. (1989) On the necessary condition for absolute weighted arithmetic mean summability factors, Acta Math. Hungar. 54: 57-61.
Bosanquet, L. S. (1954) Math. Rev. 11, 654s.
Flett T. M. (1957) Proc. London Math. Soc. 7, 113-41.
Khan-Alauddin, F. M. (1976) On N,pn summability factors, Revue de la Faculte des
Sciences de l’Université d’Istanbul, Ser. A 41, 99-105.
Kishore N. And Hotta G. C. (1970) On N,pn summability factors, Acta Sci. Math.
(Szeged), 31, 9-12
Knopp, K. (1944) Theory and application of infinite series, Blackie and Son limited London and Glasgow, 480s.
Maddox, I. J. (1970) ‘Elements of Functional Analysis’, Cambridge Univ. Pres, Cambridge,
Mehdi, M. R. (1959) Ph. D. thesis, London.
Sarıgöl, M. A. (1991) On absolute summability factors, Commentationes Mathematicae 31, 157-63
Sarıgöl, M. A. (1991) Necessary and sufficient conditions for the equivalance of the summability methods
k n
p
N, and C,1k, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 22, 483-489.
Sarıgöl, M. A. (1992) On absolute weighted mean summability methods, Proceedings of the American Mathematical Society 115, 157-160.
Sarıgöl, M. A. (1993) A note on summability, Stud. Sci. Math. Hungar. 28, 395-400. Sarıgöl, M. A. (1994) , Characterization of summability factors for Riesz methods, Journal of the University of Kuwait (Science), Vol. 21, pp 1-8.
Sarıgöl, M. A. And Bor, H. (1995) Characterization of absolute summability factors, Journal of mathematical analysis and applications 195, 537-545.
Sunouchi, G (1949) Notes on Fourier analysis (18 ), Absolute summability of a series with constant terms, Tohoku Math. J. 1, 57-65
Wilansky, A (1964) Functional Analysis, Blaisdell Publishing Company, New York, Toronto, London,290 pp.
ÖZGEÇMİŞ
İbrahim Ethem ÖZER, 31 Ağustos 1978 tarihinde Muğla’da doğmuştur.
İlköğrenimini, Muğla Atatürk İlkokulunda 1989 yılında tamamladı. Eylül1989-Haziran 1996 tarihleri arasında Muğla Anadolu Lisesi’nde hazırlık, ortaokul ve lise eğitimine devam etmiştir. Ekim 1996’da Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde lisans eğitimine başladı ve 2000 yılında mezun oldu.
Aynı yıl Denizli ili, Çardak ilçesi, Gemiş İlköğretim Okuluna, Matematik Öğretmeni olarak atanmıştır. 2005-2006 Eğitim ve Öğretim yılı sonunda zorunlu hizmet nedeniyle Denizli ili Beyağaç Lisesine atanmıştır ve halen bu görevine devam etmektedir.
