Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri = Spectral Properties of Dirac Operator With Discontinuity Conditions Inside an Interval

C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi

Fen Bilimleri Dergisi (2005)Cilt 26 Sayı 1

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ

Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas

emirov@cumhuriyet.edu.tr, yguldu@cumhuriyet.edu.tr

Received:17.07.2006, Accepted: 06.09.2006

Özet: Bu çalışmada sonlu aralığın iç noktasında süreksizlik koşuluna sahip Dirac operatörü için spektral

verilerin özellikleri araştırılmıştır.

Anahtar kelimeler: Operatör, Spektrum, Dirac Operatör

Spectral Properties of Dirac Operator With Discontinuity Conditions Inside an Interval

Abstract: We study properties of spectral datas for the Dirac operator on a finite interval with

discontinuity conditions inside the interval.

Key Words: Operator, Spectrum, Dirac Operator

1. Giriş

Dirac operatörü için

[

0,∞

)

yarı ekseninde spektral fonksiyona göre ters problem M. G. Gasimov ve B. M. Levitan[1] tarafından çözülmüştür. Bu çalışmada p(x) ve

) (x

    − = 0 1 1 0 B , Q(x)=     − ( ) ) ( ) ( ) ( x p x q x q x p ,     = ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 λ λ λ x y x y x y olmak üzere y y x Q dx dy B + ( ) =λ , 0< x<∞ (1.1) , 0 ) 0 ( 1 = y y₂(π)+Hy₁(π)=0 (1.2) 0 ) 0 ( 1 = y , y₂(π)+H₁y₁(π)=0 H₁ ≠ H (1.2’) sınır problemi ele alınmıştır. Bu takdirde

    = ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 λ ϕ λ ϕ λ ϕ x x x , (1.1) denkleminin 0 ) , 0 ( 1 λ = ϕ , ϕ₂(0,λ)=−1 (1.3) başlangıç şartlarını sağlayan çözümü, monoton artan ρ(λ)(−∞<λ <∞) fonksiyonu (1.1), (1.2) probleminin spektral fonksiyonu ve her f(x)∈L₂(0,∞) fonksiyonu için

0 ( ) ( ) ( , ) n T n F λ =

∫

f xϕ x λ dx olacak biçimde

{

}

2 lim ( ) _n( ) ( ) 0 n F λ F λ dρ λ ∞ →∞ −∞ − =

∫

olmak üzere 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) T f x f x dx F λ ρ λd ∞ ∞ −∞ =

∫

∫

(1.4)

Parseval eşitliğinin sağlandığı gösterilmiştir.

İki spektruma göre regüler Dirac operatörünün belirlenmesi problemi M. G. Gasimov ve C. Cebiyev[2] tarafından yapılan çalışmada verilmiştir. Bu çalışmada aşağıdaki önemli teoremler ispatlanmıştır:

Teorem 1.1:

{ }

λ_n ∞_−∞ ve

{ }

µ_n ∞_−∞ dizileri sırası ile (1.1), (1.2) ve (1.1) (1.2′) problemlerinin özdeğerleri ise

∏

∞ −∞ = − − − − = k n k n k n n n H H µ µ λ λ λ µ α 1 ' , (n=0,m1,m2,K) (1.5) dir.

Teorem 1.2: p(x) ve q(x),

[ ]

0,π aralığında tanımlı reel fonksiyonlar ve k. mertebeden türevleri L₂(0,π) de olacak biçimde

{ }

λ_n ∞_−∞ ve

{ }

µ_n ∞_−∞ dizileri sırası ile (1.1), (1.2) ve (1.1) (1.2′) problemlerinin spektrumları olması için

1.

{ }

λ ve _n

{ }

µ sayılarının sıralı olması, yani _n

K K K K<λ₋n <µ₋n <λ₋n₊1 < <λ0 < µ0 <λ1 < <λn <µn <λn₊1 < 2. α ≠β, 0≤β, α ≤π ve

∑

∞ −∞ = n k n 2 , α ,

∑

∞ −∞ = n k n 2 ,

β serileri yakınsak olmak üzere

k k n k k n n n n n α1 α ₁1 α , π α λ = − + +_K+ ₋− + k k n k k n n n n n β1 β ₁1 β , π β µ = − + +_{L −}− +

asimptotik formüllerinin sağlanması gerek ve yeterdir.

2n mertebeli Dirac denklemler sistemi için ters saçılma problemi [3] çalışmasında incelenmiştir. Sonlu aralıkta ) ( ) ( ) ( ) (x x y x y x y B ′ +Ω =λ , 0< x<π (1.6) Dirac diferansiyel denklemlerin kanonik sistemi ele alınsın.

0 ) 0 ( ) 0 ( ₁ 2 −hy = y (1.7) 0 ) ( ) ( ₁ 2 π +Hy π = y (1.8) sınır koşulları ve      π _π ,

2 aralığının x=a iç noktasındaki ) 0 ( ) 0 (a− = Ay a+ y (1.9) süreksizlik koşulu ve (1.6) denklemi tarafından üretilen sınır değer problemi L ile gösterilsin. Burada,     − = 0 1 1 0 B , Ω(x)=     − ( ) ) ( ) ( ) ( x p x q x q x p ,     = ) ( ) ( ) ( 2 1 x y x y x y ) (x p ,q(x) reel değerli ve p(x),q(x)∈L2(0,π),     = ₋1 0 0 α α A , a∈      π _π , 2 ve 0 >

α , α ≠1 olan reel sayıdır.

Ayrıca (1.9) süreksizlik koşulundaki A matrisi için detA=1 dir. Diğer taraftan

L operatörü, tanım kümesi D(L)

{

y(x)

(

y1(x) y2(x)

)

:y1(x),y2(x);[0,a),(a,π] T

= =

aralıklarında y(a−0)= Ay(a+0) süreksizlik koşullarını sağlayan mutlak sürekli fonksiyonlar, y₂(0)−hy₁(0)=0,y₂(π)+Hy₁(π)=0

}

olan self-adjoint operatördür.

2. Karakteristik Fonksiyon ve Özellikleri

0 )

( ≡

Ω x olduğu durumda L problemi L olarak gösterilsin. ₀ Ω(x)≡0 olduğu durumda, By′=λy denkleminin     = h 1 ) , 0 ( 0 λ ϕ başlangıç koşullarını ve ) 0 ( ) 0 ( 0 0 a− = Aϕ a+ ϕ ,     = ₋1 0 0 α α

A süreksizlik koşullarını sağlayan     = ) , ( ) , ( ) , ( 02 01 0 _{ϕ λ} λ ϕ λ ϕ x x x çözümü, 0 sin cos , 0 cos sin sin cos ( , ) cos sin 1 0 cos (2 ) sin (2 ) , 0 1 cos (2 ) sin (2 ) h x x x a h x x h x x x h x x a x h a x h a x a x λ λ λ λ λ λ ϕ λ α λ λ λ λ α λ λ + − − +   _{< <}  ₊    − +   = _{ } +   − − −    +  ₋  _{− + −}     a x π         < < 

şeklinde gösterime sahiptir. )

( 0 λ

∆ ile L probleminin karakteristik fonksiyonu gösterilecek olursa; ₀

0 ) , ( ) , ( ) ( _{2 1} 0 = + = ∆ λ y π λ Hy π λ olduğundan )) 2 ( sin ) 2 ( cos ( ) sin cos ( ) ( 0 λ =α λπ + λπ +α − λ −π − λ −π ∆ + _h − _{h a a}

+H[α+(cosλπ −hsinλπ)+α−(cosλ(2a−π)−hsinλ(2a−π))]=0 olduğu açıktır.

Bu denklemin kökleri L probleminin özdeğerleridir. Burada ₀ n>0 ise λ0_n >0, 0

=

n için λ0₀ =0 ve n<0 ise λ0_n <0 olarak kabul edilirse; n=1,2,Kiçin λ₋0_n =−λ_n0 olduğu açıktır.

Aşağıdaki lemma doğrudur.

Lemma 2.1: inf λ_n0 −λ0_m =β >0 yani ∆₀( )λ =0 karakteristik denkleminin kökleri ayrıktır.

İspat: Tersi kabul edilecek olursa, yani

{ }

0 n λ dizisinin

{ }

0 k n λ ve

{ }

_ˆ0 k n

λ alt dizileri vardır,

öyleki 0 ˆ0 k k n n λ ≠λ ve k→∞ iken 0, ˆ0 k k n n λ λ → ∞ ve ayrıca 0 ˆ0 lim 0 k k n n k→∞λ −λ = dır. L₂(0,π;R2) uzayında L probleminin _{0 0}( , 0 ) k n x λ ϕ ve ₀( , ˆ0) k n x ϕ λ özfonksiyonlarının

ortogonallik koşulundan yararlanılırsa;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k n n n n x x dx x x dx π π ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ =

∫

=

∫

0 0 0 0 0 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) k k k n n n x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ  +

∫

_ − _ veya 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k a n n n n a x x dx x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ =

_∫

+

_∫

0 0 0 0 0 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) k k k n n n x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ  +

∫

_ − _ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k k a n n n n n x x dx x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ  ≥

∫

+

∫

_ − _

(

0 0 0 0

)

0 0 0 0 0 sin cos

sin cos cos sin

cos sin k k k k k k k k a n n n n n n n n h x x h x x h x x dx h x x λ λ λ λ λ λ λ λ − +  = − + + _ _ +  

∫

0 0 0 0 0 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) k k k n n n x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ  +

_∫

_ − _ 2 0 ( 1) a h dx =

∫

+ 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) k k k n n n x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ  +

∫

_ − _ a h 1) ( 2 + = 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) k k k n n n x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ  +

∫

_ − _

olur. Burada <⋅,⋅> sembolü R öklid uzayındaki iç çarpımı gösterir. Böylece 2 a h 1) ( 0≥ 2 + ₀ 0 ₀ 0 ₀ 0 0 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) k k k n n n x x x dx π ϕ λ ϕ λ ϕ λ  + _ − _  

∫

(2.1)

) , (

0 λ

ϕ x çözümünün ifadesinden görüldüğü gibi her x∈[0,π] için x'e göre düzgün olarak 0 0 0 ˆ 0 lim ( , ) ( , ) k k n n k→∞ ϕ x λ −ϕ x λ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ

sin cos sin cos

lim

cos sin cos sin

k k k k k k k k n n n n k n n n n _R h x x h x x h x x h x x λ λ λ λ λ λ λ λ →∞ − + + − + − − 2 _ˆ0 0 2 2 _ˆ0 0 2

lim ( 1)(sin sin ) ( 1)(cos cos )

k k k k n n n n k→∞ h λ x λ x h λ x λ x = + − + + −

(

)

0 0 2 _ˆ0 0 2 (ˆ )

lim 2( 1) 1 cos( ) lim 2 ( 1) sin 0

2 k k k k n n n n k h x k h x λ λ λ λ →∞ →∞ − = + − − = + =

olur. Burada ⋅ _R2 = <⋅,⋅> dir.

Bu nedenle (2.1) eşitsizliğinde k→∞ iken limite geçilirse 0>(h2 +1)a olduğu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki Lemma 2.1'in doğru olduğunu gösterir.

) (λ

∆ ,

{ }

λ ve _n

{ }

α 'ler sırasıyla L probleminin karakteristik fonksiyonunu, _n özdeğer dizisini ve normalleştirici sayılar dizisini göstersin.

    = ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 λ ϕ λ ϕ λ ϕ x x

x fonksiyonu ile (1.6) denkleminin

    = h 1 ) , 0 ( λ ϕ başlangıç

koşullarını ve (1.9) süreksizlik koşullarını sağlayan çözümü gösterilsin.     + + − = ih i h x Y x f 1 ) , ( ) , ( 0 0 λ λ ,     + + − = ih i h x Y x F 1 ) , ( ) , ( λ λ

vektör çözümleri yardımı ile,

          − − − −     + + − = − = ih i h x Y ih i h x Y i i x F x F x 1 ) , ( 1 ) , ( 2 1 2 ) , ( ) , ( ) , ( λ λ λ λ λ ϕ     = h x Y( ,λ) 1           − − − −     + + − = − = ih i h x Y ih i h x Y i i x f x f x 1 ) , ( 1 ) , ( 2 1 2 ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 _{0 0} 0 λ λ λ λ λ ϕ     = h x Y₀( ,λ) 1 yazılabilir.

∫

− − + = x x Bt dt e t x K x Y x Y( ,λ) ₀( ,λ) ( , ) λ gösteriminden yararlanılırsa, 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) x Bt x x x K x t e dt h λ ϕ λ ϕ λ − −   = + _{ }  

∫

elde edilir. Böylece, ϕ x( ,λ) matris çözümünün ϕ x₁( ,λ) ve ϕ x₂( ,λ) bileşeni için ) , ( ) , ( ₀₁ 1 λ ϕ λ ϕ x = x 11 12

{ ( , )[cos sin ] ( , )[ cos sin ]}

x x K x t λt h λt K x t h λt λt dt − +

∫

− + + ) , ( ) , ( ₀₂ 2 λ ϕ λ ϕ x = x 21 22

{ ( , )[cos sin ] ( , )[ cos sin ]}

x x K x t λt h λt K x t h λt λt dt − +

∫

− + + olur. Buradan, ) , ( ) , ( ₀₁ 1 λ ϕ λ ϕ x = x _{11 11} 0 [ ( , ) ( , )]cos x K x t K x t λtdt +

∫

+ − 11 11 12 12 0 0 [ ( , ) ( , )] sin [ ( , ) ( , )] cos x x K x t K x t h λtdt K x t K x t h λtdt +

_∫

− − +

_∫

+ − 12 12 0 [ ( , ) ( , )]sin x K x t K x t λtdt +

_∫

− − veya ) , ( ) , ( ₀₁ 1 λ ϕ λ ϕ x = x ~ 11 11 0 0 ( , ) cos ( , ) sin x x K x t λtdt K≈ x t h λtdt +

∫

+

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) cos ( , ) sin x x K x t h λtdt K x t λtdt ≈ +

∫

+

∫

yazılır. Burada ) , ( ) , ( ) , ( _{11 11} 11 ~ t x K t x K t x K = + − ) , ( ) , ( ) , ( _{11 11} 11 x t K x t K x t K≈ = − − ) , ( ) , ( ) , ( _{12 12} 12 ~ t x K t x K t x K = + − ) , ( ) , ( ) , ( _{12 12} 12 x t K x t K x t K≈ = − − Benzer şekilde, ) , ( ) , ( 02 2 λ ϕ λ ϕ x = x ~ 21 21 0 0 { ( , ) cos { ( , ) sin x x K x t λtdt K x t h λtdt ≈ +

∫

+

∫

~ 22 0 ( , ) cos x K x t h λtdt +

∫

22 0 ( , ) sin x K≈ x t λtdt +

∫

olur. Burada ) , ( ) , ( ) , ( _{21 21} 21 ~ t x K t x K t x K = + − ) , ( ) , ( ) , ( _{21 21} 21 x t K x t K x t K = − − ≈ ) , ( ) , ( ) , ( _{22 22} 22 ~ t x K t x K t x K = + − ) , ( ) , ( ) , ( 22 22 22 x t K x t K x t K = − − ≈ ve ayrıca 2 1 , ~ ) , ( =       _⋅ j i ij x K ve ( ,) ₂( , ) 2 1 , x x L x K j i ij  ∈ −      _⋅ = ≈ dir. Böylece L probleminin karakteristik denklemi

~ 21 21 0 0 0 ( ) ( ) K ( , ) cost tdt K ( , ) sint h tdt π π λ λ π λ ≈ π λ ∆ = ∆ +

_∫

+

_∫

~ 22 22 0 0 ( , ) cos ( , ) sin K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ +

_∫

+

_∫

~ 11 11 0 0 ( , ) cos ( , ) sin H K t tdt K t h tdt π π π λ ≈ π λ  + _ + 

∫

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) cos ( , )sin 0 K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ  + + _= 

∫

∫

şeklinde elde edilir. Burada ∆₀(λ)=ϕ₀₂(π,λ)+Hϕ₀₁(π,λ) dır.

Lemma 2.1: L probleminin özdeğerleri basittir. Yani ∆•(λ_n)≠0 dır.

İspat: Bϕ′(x,λ)+Ω(x)ϕ(x,λ)=λϕ(x,λ) ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( λ ϕ λ λϕ λ ϕ λ ϕ x x x x x B ′ +Ω = + • • •

olduğundan R öklid uzayında 1.denklem 2 ϕ x( ,λ)

•

, 2.denklem ise ϕ x( ,λ) ile skaler olarak çarpılır ve taraf tarafa çıkarılırsa,

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ2 λ ϕ x x B x x x B •′ − ′ • = olur. Yani, > ′ < − > ′ >=< <ϕ(x,λ),ϕ(x,λ) Bϕ•(x,λ),ϕ(x,λ) Bϕ (x,λ),ϕ•(x,λ)

2 2 2 1 2 0 0 ( , ) [ ( , ) ( , )] n x n dx x n x n dx π π α =

_∫

ϕ λ =

_∫

ϕ λ +ϕ λ

olduğu gözönünde bulundurulursa, 2 2 1 1 2 0 0 ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] n x n dx x n x n x n x n dx π π α =

∫

ϕ λ =

∫

ϕ•′ λ ϕ λ −ϕ•′ λ ϕ λ 1 2 2 1 0 [ ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n)]dx π ϕ′ λ ϕ• λ ϕ′ λ ϕ• λ −

∫

− 2 1 2 1 1 2 ₀ 0 0 ( ,x n) ( ,x n) ( ,x n) ( ,x n)dx ( ,x n) ( ,x n) π π π ϕ• λ ϕ λ ϕ• λ ϕ′ λ ϕ• λ ϕ λ = −

∫

− 1 2 2 1 1 2 0 0 ( ,x _n) ( ,x _n)dx [ ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n)]dx π π ϕ• λ ϕ′ λ ϕ′ λ ϕ• λ ϕ′ λ ϕ• λ +

_∫

−

_∫

− ) , 0 ( ) , 0 ( ) , 0 ( ) , 0 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( _{1 1 2 2 1 1 2} 2 π λn ϕ π λn ϕ π λn ϕ π λn ϕ λn ϕ λn ϕ λn ϕ λn ϕ• − • − • + • = 1 2 2 1 0 ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n) dx π ϕ• λ ϕ λ ϕ• λ ϕ λ  _{′ ′}  + _ − _  

∫

1 2 2 1 0 ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n) ( ,x _n) dx π ϕ λ ϕ• λ ϕ λ ϕ• λ  _{′ ′}  − _ − _  

∫

) , 0 ( ) , 0 ( ) , 0 ( ) , 0 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 1 2 2 1 1 2 2 π λn ϕ π λn ϕ π λn ϕ π λn ϕ λn ϕ λn ϕ λn ϕ λn ϕ• − • − • + • = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 1 2 2 π λn ϕ π λn ϕ π λn ϕ π λn ϕ• − • = )) , ( )( , ( ) , ( ) , ( _{1 1 1} 2 π λn ϕ π λn ϕ π λn Hϕ π λn ϕ − − = • • )] , ( ) , ( )[ , ( _{2 1} 1 π λn ϕ π λn Hϕ π λn ϕ • + • = ϕ₁(π,λ_n) (λ_n) • ∆ = olur. Yani ) , ( ) ( n 1 n n λ ϕ π λ α =∆•

elde edilir. Buradan ∆•(λ_n)≠0 olduğu açıktır.

3. Özdeğerler ve Normalleştirici Sayıların Asimptotik İfadeleri Lemma .3.1: L probleminin özdeğerleri için λ_n =λ0_n +ε_n

asimptotik eşitliği doğrudur. Burada ε_n ∈l₂ dir.

İspat: δ yeterince küçük pozitif sayı olmak üzere ) 2 (δ << β       _{= + = ± ±} = Γ , 0, 1, 2,K 2 : 0_n n n β λ λ λ

{

: − 0 ≥ , =0,±1,±2,K

}

= n Gδ λ λ λn δ

olsun. ∆₀(λ) sinüs tipli olduğundan, λ G∈ _δ için ∆₀(λ) >C_δeImλπ olacak şekilde 0

>

δ

C vardır[4]. Diğer taraftan ) , ( ) , ( ) (λ =ϕ₂ π λ +Hϕ₁ π λ ∆ ve ) , ( ) , ( ) ( _{02 01} 0 λ =ϕ π λ +Hϕ π λ ∆ olduğundan ~ 21 21 0 0 0 ( ) ( ) K ( , ) cost tdt K ( , ) sint h tdt π π λ λ π λ ≈ π λ ∆ = ∆ +

∫

+

∫

~ 22 22 0 0 ( , ) cos ( , ) sin K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ +

∫

+

∫

~ 11 11 0 0 ( , ) cos ( , ) sin H K t tdt K t h tdt π π π λ ≈ π λ  + _ + 

∫

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) cos ( , ) sin K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ  + + _ 

∫

∫

yazılır. )) ( ) ( ( lim 0 Im λ λ π λ λ ∆ −∆ − ∞ → e ~ Im 21 21 0 0

lime K ( , ) cost tdt K ( , ) sint h tdt

π π λ π λ π λ π λ ≈ − →∞   = _ + _ 

∫

∫

 ~ 22 22 0 0 ( , ) cos ( , )sin K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ  + + _ 

∫

∫

π λ Im − +e ~ 11 11 0 0 ( , ) cos ( , ) sin H K t tdt K t h tdt π π π λ ≈ π λ  +  

∫

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) cos ( , ) sin 0 K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ  + + _= 

∫

∫

Yani n 'nin yeterince büyük değerlerinde λ∈Γ_n için π λ δ λ λ Im 0 2 ) ( ) ( −∆ <C e ∆

eşitsizliği sağlanır. Böylece n yeterince büyük doğal sayı olmak üzere λ∈Γ_n için ) ( ) ( 2 ) ( Im Im ₀ 0 λ λ λ π λ δ π λ δ > > ∆ −∆ > ∆ C e C e

eşitsizliği elde edilir.

Bu durumda Rouché teoremi uygulanırsa; n 'nin yeterince büyük değerlerinde n

Γ yörüngesinin iç kısmında ∆₀(λ) ve ∆₀(λ)+

{

∆(λ)−∆₀(λ)

}

=∆(λ) fonksiyonla-rının eşit sayıda sıfırları yani (2n+1) sayıda λ_−n,K,λ₀,K,λ_n sıfırları vardır.

Benzer şekilde Rouché teoreminden yararlanarak; yeterince büyük n 'ler için

δ λ λ− 0 <

n | dairelerinin herbirinde ∆(λ) fonksiyonunun yalnızca bir sıfırı olduğu gösterilir.

Bu durumda δ yeterince küçük pozitif sayı olduğundan, lim =0

∞ → n n ε olmak üzere n n n λ ε λ = 0 + yazılabilir. n

λ sayıları, ∆(λ) karakteristik fonksiyonunun kökleri olduğundan, ~ 0 0 0 21 21 0 0 0 ( n) ( n n) K ( , ) cos(t n n)tdt K ( , ) sin(t h n n)tdt π π λ λ ε π λ ε ≈ π λ ε ∆ = ∆ + +

∫

+ +

∫

+ ~ 0 0 22 22 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) K t h tdt K t tdt π π π λ ε ≈ π λ ε +

_∫

+ +

_∫

+ ~ 0 0 11 11 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) H K t tdt K t h tdt π π π λ ε ≈ π λ ε  + _ + + + 

∫

∫

~ 0 0 12 12 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) 0 K t h tdt K t tdt π π π λ ε ≈ π λ ε  + + + + _= 

∫

∫

dır. Diğer taraftan, n n n n n n n ε λ ε o ε λ o ε λ      _{∆ +} = + ∆ = + ∆₀( 0 ) •0( 0) ( ) •0( 0) (1)

dir. Eğer ∆₀(λ0_n+ε_n) ifadesi ∆(λ_n) ifadesinde yerine yazılırsa, ~ 0 0 0 0 21 21 0 0 ( _n) o(1) _n K ( , ) cos(t _{n n})tdt K ( , ) sin(t h _{n n})tdt π π λ ε π λ ε π λ ε • ≈ _{∆ +}  _{+ + + +}    

∫

∫

~ 0 0 22 22 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) K t h tdt K t tdt π π π λ ε ≈ π λ ε +

_∫

+ +

_∫

+ ~ 0 0 11 11 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) H K t tdt K t h tdt π π π λ ε ≈ π λ ε  + _ + + + 

∫

∫

~ 0 0 12 12 0 0 ( , ) cos( n n) ( , ) sin( n n) 0 K t h tdt K t tdt π π π λ ε ≈ π λ ε  + + + + _= 

∫

∫

olur. ∆₀(λ) fonksiyonu sinüs tipli olduğundan, tüm λ kökleri için 0_n N₁, N₂ sabitleri vardır öyle ki 0 ( ) 2 , 0, 1, 2,K 0 0 1 < ∆ < <∞ = ± ± < N • λn N n dir [4]. Ayrıca [5, 7] çalışmasından yararlanılırsa; h_n M n ≤

sup olmak üzere

n n =n+h 0 λ elde edilir. O halde ~ 21 21 0 _{0 0} 0 1 ( , ) cos( ) ( , ) sin( ) ( ) (1) n n n n n n K t n h tdt K t h n h tdt o π π ε π ε π ε λ ≈ •  = − _ + + + + +  ∆ +

∫

∫

~ 22 22 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) K t h n h tdt K t n h tdt π π π ε ≈ π ε +

_∫

+ + +

_∫

+ + ~ 11 11 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) H K t n h tdt K t h n h tdt π π π ε ≈ π ε  + _ + + + + + 

∫

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) cos( _{n n}) ( , ) sin( _{n n}) K t h n h tdt K t n h tdt π π π ε ≈ π ε  + + + + + +   

∫

∫

) , 0 ( ) , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( 22 22 ₂ ~ 21 21 ~ 12 12 ~ 11 11 ~ π π π π π π π π π K K K K K K K L K ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∈ ≈ ≈ ≈ ≈

olduğundan, (3.1)'den [5, sayfa 66-67]'ye göre ε_n ∈l₂ olduğu elde edilir.

Lemma .3.2: L probleminin normalleştirici sayıları için α_n =α_n0 +δ_n asimptotik eşitliği geçerlidir. Burada δ_n∈l₂ dir.

İspat: ~ 21 21 0 0 0 ( ) ( ) K ( , ) cost tdt K ( , ) sint h tdt π π λ λ π λ ≈ π λ ∆ = ∆ +

∫

+

∫

~ 22 22 0 0 ( , ) cos ( , ) sin K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ +

_∫

+

_∫

~ 11 11 0 0 ( , ) cos ( , ) sin H K t tdt K t h tdt π π π λ ≈ π λ  + _ + 

∫

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) cos ( , ) sin K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ  + + _ 

∫

∫

olduğundan ~ 0 21 21 0 0 ( _n) ( _n) t K ( , ) sint _ntdt t K ( , ) cost h _ntdt π π λ λ π λ π λ • • ≈ ∆ = ∆ −

_∫

+

_∫

~ 22 22 0 0 ( , ) sin _n ( , ) cos _n t K t h tdt t K t tdt π π π λ ≈ π λ −

∫

+

∫

~ 11 11 0 0 ( , ) sin n ( , ) cos n H t K t tdt t K t h tdt π π π λ ≈ π λ  + _− + 

∫

∫

~ 12 12 0 0 ( , ) sin _n ( , ) cos _n t K t h tdt t K t tdt π π π λ ≈ π λ  − + _ 

∫

∫

yazılır. ~ 11 11 1 01 0 0 ( , _n) ( , _n) K ( , ) cost _ntdt K ( , ) sint h _ntdt π π ϕ π λ =ϕ π λ +

∫

π λ +

∫

≈ π λ ~ 12 12 0 0 ( , ) cos _n ( , ) sin _n K t h tdt K t tdt π π π λ ≈ π λ +

_∫

+

_∫

ve ₂ ~ ~ 0 01 0 01 01(π,λn)=ϕ (π,λn +εn)=ϕ (π,λn)+δn, δn ∈l ϕ olduğu açıktır. L + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ = ∆• • • •• ••• ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _{n n n n n n} n n ε λ ε λ λ ε λ λ =∆0(λ0_n)+O(ε_n) • ve ) , ( ) ( _{n 1 n} n λ ϕ π λ α =∆• olduğundan,

) , ( ) ( ₁ 0 _{n n} n λ ϕ π λ α =∆• ~21 21 0 0 ( , ) sin _n ( , ) cos _n t K t tdt t K t h tdt π π π λ ≈ π λ  + −_ + 

∫

∫

~ 22 22 0 0 ( , ) sin n ( , ) cos n t K t h tdt t K t tdt π π π λ ≈ π λ −

∫

+

∫

~ 11 11 0 0 ( , ) sin n ( , ) cos n H t K t tdt t K t h tdt π π π λ ≈ π λ  + _− + 

∫

∫

~ 12 12 ₁ 0 0 ( , ) sin n ( , ) cos n ( , n) t K t h tdt t K t tdt π π π λ ≈ π λ ϕ π λ − + _ 

∫

∫

veya ~ ~ 0 0 ₀₁ 11 0 [ ( ) ( )] ( , ) n ( , ) cos n n O n n K t ntdt π α = ∆• λ + ε _ϕ π λ + +δ

∫

π λ ~ 11 12 12 0 0 0

( , ) sin n ( , ) cos n ( , )sin n

K t h tdt K t h tdt K t tdt π π π π λ π λ π λ ≈ ≈  + + + _ 

∫

∫

∫

~ ~ 21 21 22 0 0 0

( , )sin _n ( , ) cos _n ( , ) sin _n

t K t tdt t K t h tdt t K t h tdt π π π π λ ≈ π λ π λ  − + −  

∫

∫

∫

~ 22 11 11 0 0 0

( , ) cos n ( , ) sin n ( , ) cos n

t K t tdt H t K t tdt t K t h tdt π π π π λ π λ π λ ≈  ≈ + + _− + 

∫

∫

∫

~ 12 12 ₁ 0 0 ( , ) sin _n ( , ) cos _n ( , _n) t K t h tdt t K t tdt π π π λ ≈ π λ ϕ π λ − + _  

∫

∫

eşitliği alınır. Buradan,

~ ~ 0 0 0 0 0 ₀₁ 0 0 11 0 ( ) ( , ) ( ) n ( ) ( , ) cos n n n n n K t ntdt π α = ∆• λ ϕ π λ + ∆• λ δ + ∆• λ _ π λ 

∫

~ 11 12 12 0 0 0

( , ) sin _n ( , ) cos _n ( , ) sin _n

K t h tdt K t h tdt K t tdt π π π π λ π λ π λ ≈ ≈  + + + _ 

∫

∫

∫

~ ~ 0 11 11 01 0 0 ( _n) ( , _n) ( _n) n ( _n) ( , ) cos _n ( , ) sin _n O O O K t tdt K t h tdt π π ε ϕ π λ ε δ ε  π λ ≈ π λ + + + _ + 

∫

∫

~ 12 12 0 0 ~ 21 12 0 0 ( , ) cos ( , ) sin ( , ) sin ( , ) cos n n n n K t h tdt K t tdt t K t tdt t K t h tdt π π π π π λ π λ π λ π λ ≈ ≈  + + _   + −_ + 

∫

∫

∫

∫

~ 22 22 0 0 ~ 11 11 0 0 ( , ) sin ( , ) cos ( , ) sin ( , ) cos n n n n t K t h tdt t K t tdt H t K t tdt t K t h tdt π π π π π λ π λ π λ π λ ≈ ≈ − +  + _− + 

∫

∫

∫

∫

~ 12 12 ₁ 0 0 ( , ) sin _n ( , ) cos _n ( , _n) t K t h tdt t K t tdt π π π λ ≈ π λ ϕ π λ − +   

∫

∫

olur. Böylece, Lemma 3.1 'de olduğu gibi 2 0 , ∈l + = n n n n α δ δ α olduğu açıktır. Kaynaklar

[1]. M. G. Gasymov, and B. M. Levitan, 1966, The Inverse Problem for the Dirac System, Dokl. Akad. Nauk SSR, 167, 967-970.

[2]. M. G. Gasymov, and T. T. Dzhabiev, 1975, On the Determination of the Dirac System from Two Spectra, Transactions of the Summer School on Spectral Theory Operator, Baku/ELM., pp. 46-71.

[3]. M. G. Gasymov, 1967, The Inverse Scattering Problem for a System of Dirac Equations of Order 2n, Soviet Physics Dokl. 11, 676-678.

[4]. B. Ya. Levin, Entire Functions, Moscow University, Moscow (1971).

[5]. V. A. Marchenko, Sturm-Liouville Operators and Their Applications, Naukova Dumka, Kiev (1977).

[6]. V. F. Zhdanovich, Formulas for the Zeros of Dirichlet Polynomials and Quasipolynomials, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 135, No.8, 1046-1049 (1960).

[7]. M. G. Krein and B. Ya. Levin, On Entire Almost Periodic Functions of Exponential Type, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 64, No.3, 285-287 (1948).