T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
EKSPONENSİYEL CHEBYSHEV METODU
Büşra KAYA YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalını
Mart-2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.
Büşra KAYA Tarih:
iv ÖZET
YÜKSEK LİSANS
EKSPONENSİYEL CHEBYSHEV POLİNOMLARI
Büşra KAYA
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ Yıl, 39 Sayfa
Jüri
Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ Prof. Dr. Galip OTURANÇ Yrd. Doç. Dr. İsmail KINACI
Bu çalışmada, öncelikle Chebyshev Polinomlarının ve Rasyonel Chebyshev Polinomlarının yardımıyla diferansiyel denklemlerin çözümünden ve bu yöntemlerin özelliklerinden bahsedilmiştir. Ayrıca, özellikle sonsuz sınır şartlı adi diferansiyel denklemlerin çözümünde oldukça kullanışlı olabilecek Eksponensiyel Chebyshev metodu tanıtılmıştır. Bu yöntem yardımıyla sonsuz sınırlara sahip karışık şartlı sınır-değer problemlerinin etkin şekilde çözülebilmesi mümkün olacaktır. Diğer taraftan, önerilen yönteme ait rekürans bağıntıları, operasyonel matrisler ve diğer özellikler incelenmiş ve metodun kullanımı ile ilgili açıklayıcı örnekler verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Chebyshev Polinomları, diferansiyel denklemler, tau ve kollokasyon metotları
v ABSTRACT
MS THESIS
EXPONENTIAL CHEBYSHEV METHODS
Büşra KAYA
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
DEPARTMENT OF MATHEMATICS Advisor: Asst. Prof. Dr. Aydın KURNAZ
2012,39 Pages Jury
Asst. Prof. Dr.. Aydın KURNAZ Prof. Dr. Galip OTURANÇ Asst. Prof. Dr. İsmail KINACI
In this study, the solution of ordinary differential equations by the Chebyshev polynomials and Rational Chebyshev polinomials and their properties have been mentioned. Then, relatively a new alternative procedur which is called Exponential Chebyshev method that can be efficient and useful for the solution of differential equations with infinite boundary conditions is proposed. Recurrence relations, operational matrices and other properties of the method have been obtained. Finally, some illustrative examples are given in order to see the use of the method and its efficiency.
Keywords: Chebyshev polynomials, ordinary differential equations, tau and collocation methods
vi ÖNSÖZ
Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Ana Bilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Bu tez; 1. Bölüm Giriş Bölümü, 2. Bölüm Kaynak Araştırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Rasyonel Chebyshev Polinomları, 5. Bölüm Eksponensiyel Chebyshev Polinomları, 6. Bölüm Sonuç ve Öneriler, 7. Bölüm Kaynaklar olmak üzere yedi bölümden oluşmaktadır.
Çalışmalarım boyunca beni yönlendiren ve desteklerini esirgemeyen değerli danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ’a, her konuda yardımıma koşan sevgili hocam Arş Gör. Ayşe Betül KOÇ’a ve tüm hayatım boyunca bana destek olan aileme teşekkürlerimi bir borç bilirim.
Büşra KAYA KONYA-2012
vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ...v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii 1. GİRİŞ ...1 1.1. Tezin Yapısı ...3 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ...4 3.TEMEL KAVRAMLAR ...7 3.1 Ortogonallik ...7 3.2 Chebyshev Polinomları ...8
4. RASYONEL CHEBYSHEV POLİNOMLARI ... 11
4.1 Genel Özellikleri ... 11
4.2 Rasyonel Chebyshev Tau Metodu ... 15
4.2.1 Örnek ... 17
4.3 Rasyonel Chebyshev Kolokasyon Metodu ... 18
4.3.1 Örnek ... 22
5. EKSPONENSİYEL CHEBYSHEV POLİNOMLARI ... 25
5.1 Eksponensiyel Chebyshev Polinomları ... 25
5.2 Eksponensiyel Chebyshev Tau Metodu ... 29
5.2.1 Örnek ... 31
5.3 Eksponensiyel Chebyshev Kolokasyon Metodu ... 33
5.3.1 Örnek ... 35
6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 37
1. GİRİŞ
Gerçek hayat problemleri de dahil olmak üzere günümüzde pek çok problem diferansiyel denklemler ile ifade edilmektedir. Bu nedenle diferansiyel denklemlerin çözümlerinin bulunması oldukça önemlidir. Ancak sınırlı sayıda diferansiyel denklem hariç, bu denklemlerin analitik çözümünü bulmak oldukça güçtür. Bunun için diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunabilmesi için bazı metotlar geliştirilmiştir. Bu metotlardan bir tanesi; diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunurken ortogonal polinomların kullanıldığı spektral metottur. Diferansiyel denklem çözümlerinde kullanılan ortogonal polinomların bazıları; Chebyshev, Laguerre, Legendre ve Hermite polinomlarıdır.
Biz bu çalışmada ilk olarak Chebyshev polinomlarının genel özelliklerinden ve Chebyshev polinomlarının tanım aralığının pozitif reel eksene taşınmasıyla elde edilen Rasyonel Chebyshev polinomlarının genel özelliklerinden bahsedeceğiz. Ardından Chebyshev polinomlarının tanım aralığını tüm reel eksene taşıyarak Eksponensiyel Chebyshev polinomları adını verdiğimiz yeni polinom ailesinin genel özelliklerini ve bazı işlem matrislerini vereceğiz.
Chebyshev polinomları yaklaşık olarak bir yüzyıl önce Rus matematikçi Chebyshev tarafından bulunmasına rağmen, önemi bundan elli yıl kadar önce C. Lancoz sayesinde daha iyi anlaşılmıştır. Bilgisayarın çıkması ve pek çok alanda uygulamasının olması ile Chebyshev polinomlarının kullanımının önemi daha da artmıştır . Bu nedenle literatürde Chebyshev polinomları ve Chebyshev yaklaşımları üzerine yapılmış pek çok çalışma vardır(Sezer ve Kaynak, 1994).
Lineer diferansiyel denklemlerin, yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin, lineer integral denklem sistemlerinin, lineer integro-diferansiyel denklemlerin ve Fredholm integral denklemlerin çözümlerinde Chebyshev polinomlarının kullanılması, Chebyshev polinomlarına ilişkin uygulamaların sadece birkaçıdır(Sezer ve Doğan, 1996; Sezer ve Kaynak, 1996; Akyüz ve Sezer, 1998; Akyüz, 2004; Akyüz ve Sezer, 2003).
Chebyshev yaklaşımı, yaklaşım fonksiyonundaki hatayı en küçük yapmaya çalışır. Çok terimliler ile interpolasyon yapıldığında nokta sayısı arttıkça, aralık değerlerinde büyük sapmalar olmaktadır. Bu sapmaları Chebyshev polinomlarını kullanarak önlemek mümkündür(Bakioğlu, 2004).
0 ( ) k k( ) ( 1 1) k f x a T x x
1 2 1 ( ) ( ) 2 1 k k f x T x a dx x
şeklinde seriye açılabilir(Fox ve Parker, 1968; ; Burden ve ark., 1981; Bakioğlu, 2004;). Chebyshev polinomlarının kullanıldığı metotlarda, diferansiyel denklemin çözümünün 0 ( ) ( ) N k k k y x a T x
şeklinde Chebyshev polinomlarının sonlu toplamı olarak alınması ve verilen diferansiyel denklemdeki tüm fonksiyonların Chebyshev polinomları cinsinden yazılması esastır. Bu sayede verilen diferansiyel denklem veya diferansiyel denklem sistemi bir matris eşitliğine dönüşür. a katsayılarından oluşan kkatsayılar matrisi, işlem ve zaman tasarrufu sağlayan bilgisayar programlarının kullanılmasıyla kolayca bulunur. Yapılan örneklerde kesme terimi olan N sayısının daha büyük alınmasıyla diferansiyel denklemin kesin çözümüne daha çok yaklaşıldığı görülmüştür( Sezer ve Doğan, 1996; Akyüz ve Sezer, 2003; Sezer ve Kaynak, 1996).
Chebyshev polinomlarının tanım aralığı olan
1,1,
aralığının
0,
aralığına taşınmasıyla Rasyonel Chebyshev Polinomları olarak adlandırılan polinomlar elde edilmiştir. Rasyonel Chebyshev polinomları1 ( ) 1 n n x R x T x
şeklinde ifade edilir( Guo ve ark., 2002; Parand ve Razzaghi, 2004).
Parand ve Razzaghi (2004), Sezer ve ark. (2009) çalışmalarında Rasyonel Chebyshev poilnomlarını Tau ve Kolokasyon metotlarıyla birlikte kullanmışlardır. Chebyshev polinomları için geçerli olan hemen hemen tüm özelliklerin Rasyonel Chebyshev polinomları için de geçerli olduğu görülmüştür.
Bu çalışmanın esas amacı ise Chebyshev polinomlarının tüm reel eksene taşınmasıyla elde edilecek yeni polinomların incelenmesidir. Chebyshev polinomlarının tanımlı olduğu
1,1
aralığını reel eksene taşıyarak elde ettiğimiz bu yeni polinom ailesine tarafımızdan Eksponensiyel Chebyshev Polinomları ismi verilmiştir. Elde edilen bu yeni polinom ailesinin ağırlık fonksiyonunu, ortogonalliğini, çarpım ve türev matrisi gibi işlem matrisleri yine tarafımızdan incelenmiştir. Bu polinomlar yardımıyla sonsuz sınır şartlı denklemlerin çözümünde, Kolokasyon ve Tau metotlarından yararlanılmıştır. Verilen örneklerin incelenmesiyle görülecektir ki reel eksen üzerindetanımlı diferansiyel denklemlerin çözümünde (ortogonal polinomlarla çözümler dikkate alındığında) bu yöntem oldukça kullanışlı ve etkindir.
1.1. Tezin Yapısı
Bu tezin, birinci bölümünü oluşturan giriş kısmında ortogonal polinomlar ve Chebyshev polinomlarından kısaca bahsedilmiştir. İkinci bölümde ise bu çalışmada yararlanılan kaynaklar ve içeriklerinden bahsedilmiştir. Chebyshev polinomları ve genel özelliklerinden ise üçüncü bölümde bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde; [-1,1] aralığında tanımlı Chebyshev polinomlarının
0,
aralığına taşınmasıyla elde edilen Rasyonel Chebyshev polinomlarının ve bunlara ait rekürans bağıntısının özellikleri verilmiştir. Beşinci bölümde ise Chebyshev polinomlarının tüm reel eksene taşınmasıyla oluşan Eksponensiyel Chebyshev polinomları adını verdiğimiz yeni polinom ailesi tanıtılmış, bunlara ait ortogonallik bağıntıları verilmiş ve denklem çözümlerinde kullanılmak üzere operasyon matrisleri elde edilmiştir. Ayrıca bazı örnekler üzerinde yöntem açıklanmıştır. Son bölümde ise, bu çalışmanın sonuçları verilmiştir.2. KAYNAK ARAŞTIRMASI
Sezer M., Kaynak M. (1994) Bu çalışmada, Chebyshev matris metodu verilmiştir. Bu metotta verilen diferansiyel denklemin yaklaşık çözümü Chebyshev serilerinin sonlu toplamı olarak ele alınmış, verilen eşitlikteki fonksiyonlar da yine Chebyshev serilerinin sonlu toplamı olarak ifade edilmiş ve matris formları verilen eşitlikte yerine yazılmıştır. Böylece verilen eşitlik bir matris eşitliğine dönüşmüş ve buradan Chebyshev katsayıları bulunmuştur.
Akyüz A., Sezer M. (1998) Bu çalışmada, lineer integro-diferansiyel denklemlerin nümerik çözümü için Chebyshev kolokasyon metodu adı verilen bir matris metodu verilmiştir. Bu metotta Chebyshev kolokasyon noktaları ( i cos , 0,1,...,
i x i N N )
kullanılarak integro-diferansiyel denklem bir matris eşitliğine dönüşmüş ve bilgisayar yardımıyla Chebyshev katsayıları kolaylıkla hesaplanmıştır.
Akyüz A., Sezer M. (2003) Bu çalışmada, değişken katsayılı yüksek mertebeden lineer adi diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümü için Chebyshev kolokasyon metodu verilmiştir.
Akyüz A. (2004) Bu çalışmada, lineer integral eşitlik sistemlerinin Chebyshev polinomları cinsinden çözümü için Chebyshev kolokasyon metodu verilmiştir.
Burden R L., Faires J. D, Reynolds A. C.(1981) Bu kitabın bir kısmında, Chebyshev Polinomlarının
1,1
aralığında tanımlı ve2 1 ( ) 1 w x x ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal oldukları ve bu polinomların elde edilmesinde
1( ) 2 ( ) 1( )
n n n
T x xT x T x rekürans bağıntısının kullanıldığı gösterilmiştir. Ayrıca Chebyshev polinomlarına ait bazı temel özellikler de verilmiştir.
Fox. L., Parker I. (1968) Bu kitapta nümerik analizde Chebyshev polinomlarının kullanımımdan bahsedilmiş, bunun için Chebyshev polinomlarının bir takım özellikleri incelenmiştir. Bu kitabın bir kısmında ise, diferansiyel denklemlerin çözümünde, y x ( ) çözümünün 1 ( ) ( ) N i i i y x a T x
şeklinde Chebyshev polinomları cinsinden yazılabileceği ve çeşitli işlemler uygulanarak a katsayılarının bulunmasıyla problem çözülebileceği iSezer M., Doğan S. (1996) Bu çalışmada, ikinci tip lineer ve lineer olmayan Fredholm integral eşitliklerini yaklaşık olarak çözmek için matris metodu uygulanmıştır. Metot, verilen eşitlikteki fonksiyonların kesilmiş Chebyshev serileri cinsinden yazılması ve bunların matris forma indirgenmesi üzerine kuruludur.
Sezer M., Gülsu M., Tanay B. (2009) Bu çalışmada,
1 ( ) ( ) 0 (0) ( ) , 0 , 0,1,..., 1 m k k ik ik i k a y b y b b i m
koşulları altında değişkenkatsayılı yüksek mertebeden lineer adi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümü için kolokasyon metodu verilmiştir. Bu metotta çözüm, Rasyonal Chebyshev polinomlarının sonlu seri toplamı olarak ele alınmıştır.
Parand K., Razzaghi M. (2003) Bu çalışmada
( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0, m j j j f x y x g x x
( ) (0) , 0,1,..., 1 j j y j meşitlikleri ile verilen diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri araştırılmıştır. Bu yaklaşık çözüm Rasyonel Chebyshev polinomları cinsinden ele alınmıştır ve Tau metodu kullanılarak Rasyonel Chebyshev katsayıları bulunmuştur.
Fox L., (1962) Bu çalışmada diferansiyel denklem çözümleri için kullanılan ve Chebyshev polinomlarının özelliklerinden faydalanan Lancoz ve Clenshaw metotları incelenmiş ve bu metotlar birbirleriyle kıyas edilmiştir.
Scraton R.E., (1965) Bu çalışmada,
1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) N n i i i y P x y F x
diferansiyel denklemi verilmiş ve Clenshaw’ın orijinal metodu genişletilerek P x i( ) fonksiyonu Chebyshev polinomları cinsinden yazılmış ve çözüm bu şekilde aranmıştır. Wright K., (1964) Bu çalışmada, adi diferansiyel denklem çözümü için Lancoz’un seçilmiş noktalar ve kolokasyon prensibi üzerine kurulu çözüm metotları verilmiştir. Çözüm sonlu Chebyshev serileri cinsinden ele alınmış, metotların özellikleri ve uygulamaları verilmiştir.
Kizner W., (1966) Bu çalışmada, biri çözümün maksimum hatasını minimum yapan, diğeri de son noktadaki hatanın kesin değerini minimize eden iki yeni “seçilmiş nokta” ailesinin nasıl elde edileceği gösterilmiştir.
Boggs R. A. C., Smith F. J (1971) Bu çalışmada residualin iki değişik hali kullanılarak, Lancoz’un metodunun birbirinden farklı iki şekli elde edilmiştir. Bu metotlar
Chebyshev kolokasyon metodu ve Clenshaw’ın Chebyshev metotlarıyla kıyaslanmıştır. Guo B. Y., Shen J., Wang Z. Q. (2002) Bu çalışmada yarı eksen üzerinde tanımlı Rasyonel Chebyshev fonksiyonu üzerine dayandırılmış ağırlıklı bir ortogonal sistem verilmiş ve bu yaklaşıma ilişkin izdüşüm ve interpolasyonlar ile ilgili temel bazı sonuçlar kurulmuştur. Hem nümerik hem de teorik olarak bir model problem alınmış, hata tahminleri yapılmıştır. Nümerik sonuçların teorik tahminlerle uyuşması bu yaklaşımın etkisini göstermiştir.
3.TEMEL KAVRAMLAR
Diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümünün bulunmasında ortogonal polinomların kullanılması oldukça yaygın bir yöntemdir. Diferansiyel denklem çözümlerinde kullanılan ortogonal polinomların bazıları; Laguerre, Legendre, Hermite ve Chebyshev polinomlarıdır.
Bu bölümde ilk olarak ortogonalliğin tanımı verilmiş ve ortogonal polinomların bazı genel özelliklerinden bahsedilmiş ve daha sonra da Chebyshev polinomları ve özellikleri ifade edilmiştir.
3.1 Ortogonallik
Bir ( , )a b aralığında tanımlı iki fonksiyon g x( ) ve h x( ) olsun. Yine bu aralıkta ( ) 0
w x pozitif bir fonksiyon olmak üzere, g ve h fonksiyonlarının iç çarpımı veya skaler çarpımı, g h şeklinde gösterilir ve ,
, ( ) ( ) ( )
b a
g h
g x h x w x dxşeklinde tanımlanır. Fonksiyonların ortogonalliği ve bazı temel özelikleri aşağıdaki şekilde verilebilir (Fox ve Parker, 1968; Burden ve ark., 1981):
g ve h fonksiyonlarının iç çarpımı sıfır ise, yani g h ise bu iki fonksiyon , 0 “w x( ) ağırlık fonksiyonuna göre ( , )a b aralığında ortogonaldir” denir.
Herhangi bir w x( )ağırlık fonksiyonuna göre iç çarpımları sıfır olan polinomlara
Ortogonal Polinomlar denir.
Herhangi bir aralıkta tanımlı olan polinomların tümü yine aynı aralıkta tanımlı olan ortogonal polinomların bir lineer kombinasyonu cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir; 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) n m m n I n n n n n n n n I f x x w x dx f f x x x x x w x dx
Burada n( )x ortogonal polinomları, f x bu ortogonal polinomlar ile aynı ( ) aralıkta tanımlı ve aynı mertebeden bir fonksiyonu ve ( )w x ise bu ortogonal polinomlar
için tanımlanmış olan ağırlık fonksiyonunu göstermektedir.
Ortogonal polinomların pek çok uygulamaları vardır. Örneğin; integrasyon metotlarını tanımlamak veya bazı fonksiyonlar için tam bir yaklaşım elde etmek için kullanılırlar. Yaygın olarak kullanılan ortogonal polinomlar ise; Legendre, Laguerre ve Chebyshev polinomlarıdır. Ortogonal polinomları kullanmak kolaydır, çünkü iyi yakınsama özellikleri vardır(Bakioğlu,2004).
Bu polinomların kullanım alanları oldukça genişlemiştir ve özellikle günümüz teknolojisi ve bilgisayarlarının gelişmişliği dikkate alındığında uygulanabilirlik açısından oldukça yaygınlaşmıştır. Ortogonal polinomların uygulama alanları ise matematiksel fizik, mühendislik, bilgisayar bilimleri olup matematiğin de aktif bir araştırma alanıdır. Bu alanlardaki problemlerin matematiksel modelleri adi ve kısmi diferansiyel denklemler ile integral denklemler olup bu tip denklemlerin bazıları elementer yöntemlerle çözülebilir; fakat çoğunun tam çözümlerinin bulunması ya çok zordur ya da mümkün değildir. Bu durumlarda genellikle seri çözümlere başvurulur. Bu seriler, klasik ortogonal polinomlar veya özel fonksiyonlar olan Chebyshev, Legendre, Laguarre, Hermite, Bessel ve Bernstein polinomlarına veya fonksiyonlarına dayalı serilerdir(Durmuş, 2010). 3.2 Chebyshev Polinomları
1,1
aralığında tanımlı ve 2 1 ( ) 1 w x x ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan polinomlara Chebyshev Polinomları denir ve T x ile gösterilir(Fox ve Parker, n( ) 1968; Burden ve ark., 1981). Burada
( ) cos n
T x n (3.2.1) cos
x (3.2.2)
dır. Chebyshev polinomlarını veren rekürans bağıntısı (3.2.1) ve (3.2.2) eşitlikleri yardımıyla
1( ) cos(( 1) ) cos( ) cos sin( ) sin
n
T x n n n
1( ) cos(( 1) ) cos( ) cos sin( ) sin
n
T x n n n
1( ) 2 cos( ) cos 1( ) n n T x n T x 1( ) 2 ( ) 1( ) n n n T x xT x T x (3.2.3)
şeklindeki rekürans bağıntısı bulunmuş olur(Fox ve Parker,1968).
(3.2.3) formülü yardımıyla hesaplanmış ilk birkaç Chebyshev Polinomu aşağıdaki gibidir; 0( ) 1 T x 1( ) T x x 2 2( ) 2 1 T x x 3 3( ) 4 3 T x x x 4 2 4( ) 8 8 1 T x x x 5 3 5( ) 16 20 5 T x x x x
Chebyshev Polinomlarının ortogonalliği (3.2.1) ve (3.2.2) eşitliklerini kullanılarak şu şekilde gösterilebilir;
2 cos arccos 1 dx x x d x 1 0 2 1 0 0, ( ) ( )
cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) , 0 1 , 0 2 n m m n T x T x dx n m d n m d m n x m n
1,1
aralığında tanımlı olan bir f x fonksiyonu Chebyshev polinomlarının ( ) toplamı şeklinde yazılabilir (Fox ve Parker, 1968; Burden ve ark., 1981):0 ( ) n n( ) n f x a T x
(3.2.4) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) n n n a f x T x w x dx c
(3.2.5) 2, 0 1, 0 n n c n Eğer bu toplam a TN N( )x teriminde kesilirse o takdirde N.inci dereceden bir yaklaşım polinomu elde edilmiş olur.
İki Chebyshev polinomunun çarpımı yine Chebyshev polinomları cinsinden yazılabilir ve bu çarpımı veren formül şöyledir;
1 1
( ) ( ) cos( ) cos( ) (cos(( ) ) cos(( ) ) ( ( ) ( ))
2 2
n m n m n m
T x T x n m nm nm T x T x
Chebyshev Polinomlarının diğer bazı pratik özellikleri ise aşağıdaki gibidir; Tn(x) ( 1)nT xn( ) Tn(1) 1 T n( 1) ( 1)n T2n(0) ( 1)n T2n1(0)0 T T xn( m( ))Tn(cosm)cos(nm)Tnm( )x
Chebyshev polinomlarının tanım aralığı olan
1,1
aralığını x x0, 1,...,xN ile N parçaya bölelim. Bu N noktaya sıralama (kolokasyon) noktaları adı verilir. Özellikle 10 1
x ve x olmak üzere sıralama noktaları, N 1 cos , i=0,1,...,N i i x N
4. RASYONEL CHEBYSHEV POLİNOMLARI
4.1 Genel Özellikleri
1,1
aralığında tanımlı olan Chebyshev Polinomlarına 1 1 x x
dönüşümünün uygulanmasıyla yeni bir polinom ailesi elde edilir. Guo ve ark. (2002) elde edilen bu yeni polinom ailesini aşağıdaki şekilde tanımlamışlardır;
Bu polinom ailesi
0, aralığında tanımlı ve
1 ( ) 1 x x x ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldirler ve bu polinomlara Rasyonel Chebyshev Polinomları denir. Rasyonel Chebyshev Polinomları1 ( ) 1 n n x R x T x (4.1.1)
şeklinde ifade edilir. Bu gösterimi Parand ve Razzaghi(2004), Sezer ve ark. (2009) da çalışmalarında kullanmışlardır.
Birinci bölümde Chebyshev polinomları için verilen özelliklerinin tümünde 1
1 x x
dönüşümünün uygulanması ile aynı özellikler Rasyonel Chebyshev Polinomları için de elde edilmiş olur.
(3.2.3) eşitliğinde x yerine 1 1 x x
yazılmasıyla Rasyonel Chebyshev Polinomları için rekürans bağıntısı
0 1 1 ( ) 1, ( ) 1 x R x R x x n+1 n n-1 1 R ( ) 2 ( ) ( ) 1 x x R x R x x n+1 1 n n-1 R ( )x 2R x R x( ) ( )R ( ),x n 1 (4.1.2)
şeklinde bulunur(Parand ve Razzaghi, 2004; Sezer ve ark., 2009). Parand ve Razzaghi (2004) ve Sezer ve ark. (2009), Rasyonel Chebyshev
Polinomlarının ortogonalliğini aşağıdaki eşitlik yardımıyla göstermişlerdir;
0 ( ) ( ) ( ) 2 m n m mn c R x R x x dx
(4.1.3) Burada;2, 0 1, 0 m m c m 1, 0, mn m n m n
şartını sağlayan Kronecker fonksiyonudur.
0, aralığında tanımlı bir
f x( ) fonksiyonu Rasyonel Chebyshev polinomları cinsinden 0 0 1 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... n n( ) ... n n( ) n f x a R x a R x a R x a R x a R x
(4.1.4)şeklinde yazılabilir. Bu eşitlikte Rasyonel Chebyshev katsayıları olarak adlandırılan a n
katsayılarını veren formül
0 2 ( ) ( ) ( ) n n n a R x f x x dx c
(4.1.5) 2, 0 1, 0 n n c n şeklindedir(Parand ve Razzaghi, 2004; Sezer ve ark., 2009).
Tıpkı Chebyshev polinomlarında olduğu gibi, iki Rasyonel Chebyshev polinomunun da çarpımı yine Rasyonel Chebyshev polinomları cinsinden yazılabilir;
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n m n m n m R x R x R x R x (4.1.6)Parand ve Razzaghi (2004) nin Rasyonel Chebyshev polinomlarının türevlerini bulmak için aşağıda izlediği yolu Sezer ve ark. (2009) da çalışmalarında kullanmışlardır;
(4.1.2) eşitliğinin her iki tarafının da türevi alınırsa;
' 0( ) 0 R x ' 1 2 2 ( ) ( 1) R x x
' ' ' 1 2 1 4 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 n n n n x R x R x R x R x x x (4.1.7) olduğu görülür. ' 1( )R x polinomu Rasyonel Chebyshev Polinomları cinsinden yazılmak istenirse (4.1.5) formülü kullanılarak
' 1 0 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 R x R x R x R x (4.1.8) şeklinde yazılabilir. ( )
R x Rasyonel Chebyshev polinomlarını içeren
0( ), 1( ),... 1( )
T N
R x R x R x şeklinde bir vektör olmak üzere, Rasyonel Chebyshev polinomlarının türevlerinden oluşan vektör
'
( ) ( )
R x DR x (4.1.9) şeklindedir.
;
D NNtipinde bir matristir. D matrisi ise
1 2
DD D (4.1.10) şeklinde tanımlıdır.
Yine Parand ve Razzaghi (2004) nin D matrisini oluşturan D ve 1
2
D matrislerini veren aşağıdaki tanımı Sezer ve ark. (2009) da kullanmışlardır;
1 7 , , 4 4 i D diag i i (4.1.11) şeklinde bir tridiagonal matristir.
2 D matrisi ise 10 , 0, 1 1, 1 ij j j i d d kic j i (4.1.12)
1 i j 1 k ile tanımlanan bir matristir. 6
1
0
0
0
0
0
0
7
1
1
0
0
0
4
4
7
1
0
2
0
0
2
2
2 1
3
0
0
3
0
4
4
0
0
0
7
4
1
3 5
0
0
0
0
5
4
D
20
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
6
0
0
0
0
4
8
8
0
0
0
5
10
10
10
0
0
D
1 2 DD D den,0
0
0
0
0
0
3
1
1
0
0
0
4
4
7
1
2
2
0
0
2
2
21
3
3
6
3
0
4
4
4
8
8
7
4
1
35
5
10
10
10
5
4
D
bulunur. 0, 1,..., na a a bilinmeyenleri Rasyonel Chebyshev polinomlarının katsayıları olmak üzere Avektörü bu katsayıları içeren bir vektör olsun;
0, 1,..., 1
T n
Bir fonksiyonun Rasyonel Chebyshev polinomlarının toplamı şeklinde yazılabileceği (4.1.4) eşitliğinde gösterilmişti. Bu eşitlikte N . inci terimden daha 1 büyük terimler atılırsa
( ) T( ) T( )
R x R x A AR x (4.1.14) eşitliği elde edilir. Bu eşitlikteki A matrisi (4.1.6) özelliği yardımıyla
3 0 1 2 3 1 1 0 2 1 3 2 4 2 2 1 3 0 4 1 5 3 2 4 1 5 0 6 4 1 2 3 4 0 . . . 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 N N N N N N N N a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a a (4.1.15)şeklinde bulunur(Parand ve Razzaghi, 2004; Sezer ve ark. 2009).
4.2 Rasyonel Chebyshev Tau Metodu
Chebyshev polinom yaklaşımlarında Tau metodundan oldukça yararlanılmaktadır (Fox ve Parker(1968), Boggs ve Smith (1971)). Parand ve Razzaghi (2004) ise, çalışmalarında Tau metodunu Rasyonel Chebyshev polinomlarıyla birlikte kullanmak için aşağıdaki problemi ele almışlardır;
( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0, m j j j f x y x g x x
(4.2.1) ( ) (0) , 0,1,..., 1 j j y j m (4.2.2) şeklinde bir başlangıç değer problemi verilmiş olsun. Verilen eşitliklerde0( ), 1( ),..., m( )
f x f x f x fonksiyonları
0, aralığında sürekli fonksiyonlar ve
fm( )x , 0 ayrıca 0, 1,...,m1 de sabit sayılardır.Rasyonel Chebyshev Tau metodunda, (4.2.1) ve (4.2.2) eşitliklerinde verilen ( )
j
f x ,g x( ),y( )j ( )x ve y( )j (0) fonksiyon ve eşitlikler (4.1.4) ve (4.1.5) eşitlikleri kullanılarak Rasyonal Chebyshev polinomları cinsinden yazılır ve böylece yukarıda
verilen denklem sistemi bir matris eşitliğine dönüşür. Bu matris eşitliğinde (4.1.13) eşitliği ile verilen A matrisi bulunduğunda problem çözülmüş olur.
Yukarıdaki eşitliklerde verilen f xj( ),y( )j ( )x ,g x( )vey x( ) fonksiyonlarını Rasyonel Chebyshev Polinomları cinsinden
1 0 ( ) ( ) ( ) N T i i i y x a R x A R x
(4.2.3) 1 0 ( ) ( ) ( ) N T i i i g x g R x G R x
4.2.4
1 0 ( ) ( ) ( ), 0,..., N T j ij i j i f x R x B R x j m
4.2.5
1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0,..., N j j T j i i i y x a R x A D R x j m
4.2.6
şeklinde yazılabilir. jD , (4.1.10) eşitliğinde verilen Dmatrisinin j .inci kuvvetidir.
Parand ve Razzaghi (2004), (4.2.4), (4.2.5) ve (4.2.6) eşitliklerinde verilen matrisleri şu şekilde tanımlamışlardır;
R x( )
R x R x0( ), 1( ),...,RN1( )x
T
4.2.7
A
a a0, ,...,1 aN1
T
4.2.8
Bj 0j,1j,...,(N1)j T
4.2.9
G g g0, 1,...,g(N1) T
4.2.10
( ) ( ) j ( ) T j ( ) T( ) T j j ( ) j j f x y x A D R x R x B A D B R x
4.2.11
jB matrisi (4.1.15) de verilen A matrisi gibi bulunur. (4.2.4) ve (4.2.11) eşitlikleri kullanılarak (4.2.1) problemi için resm( )x ;
0 ( ) ( ) m m T j j T j res x A D B G R x
4.2.12
şeklinde yazılır(Parand ve Razzaghi, 2004).
0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0,1,..., ( 1) m m k k res x R x res x R x x dx k N m
4.2.13
0 (1) 1 ( 1) 1 1 (0) (0) (0) (0) . . . (0) (0) T T m T m m y A R y A DR y A D R
4.2.14
eşitliklerinden de m tane cebirsel eşitlik elde edilir. (4.2.13) ve (4.2.14) eşitlikleri
birlikte ele alındığında N tane cebirsel eşitlik elde edilir ve bu N tane cebirsel eşitliğin
çözülmesiyle (4.2.3) eşitliğinde verilen katsayılar bulunur, böylece y x( ) çözümü bulunmuş olur. 4.2.1 Örnek
'' 2 2 1 1 ( ) ( ) , 0,1 (1 ) ( 1) x y x y x x x x 1 (0) 1, (1) 2 y y Çözümü ( ) 1 1 y x x olan yukarıdaki sınır değer problemini Rasyonel Chebyshev Tau Metodu ile çözümü şu şekildedir (Parand ve Razzaghi, 2004);
'' 2 2 1 1 ( ) ( ) , 0,1 (1 ) ( 1) x y x y x x x x 4 N alalım. 3 0 ( ) i i( ) i y x a R x
3 2 0 1 ( ) ( ) ( 1) i i i g x g R x x
3 0 2 0 0 1 ( ) ( ) ( 1) i i i x f x R x x
olsun. Buradag ve i katsayıları i0 g x( ) ve f x fonksiyonları bilindiği için 0( ) rahatlıkla bulunabilir. a katsayılarını bulmak için i
2 2 0 ( ) T j j T ( ) j res x A D B G R x
eşitliği kullanılarak (4.2.13) eşitliğinden iki denklem elde edilir. 3 0 (0) T (0) i i(0) 1, i y A R a R
3 0 1 (1) (1) (1) , 2 T i i i y A R a R
Tüm bu eşitlikler çözüldüğü zaman katsayılar
0 1 2 3 1 1 , , 0, 0 2 2 a a a a şeklinde bulunur.
Bu bulunan katsayılar yerine yazıldığında y x( ) çözümü şöyledir;
3 0 1 ( ) ( ) 1 i i i y x a R x x
4.3 Rasyonel Chebyshev Kolokasyon Metodu
Diferansiyel denklemlerin çözümünde kolokasyon noktaları kullanılarak Chebyshev yaklaşımlarından oldukça yararlanılmaktadır (Akyüz ve Sezer, 1998). Benzer şekilde, Rasyonel Chebyshev polinomları ile kolokasyon noktalarının, diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunmasında nasıl kullanıldığı incelenmiştir (Sezer ve ark., 2009).
Bir polinomun tanım aralığının x x0, 1,...,xN ile N parçaya bölünmesiyle elde edilen bu N noktaya sıralama (kolokasyon) noktaları adı verilir. 01 xi b olmak üzere, Sezer ve ark. (2009) bu aralıkta tanımlı olan Rasyonel Chebyshev polinomları için sıralama (kollokasyon) noktalarını şu şekilde belirtmişlerdir:
, i=0,1,...,N i b x i N (4.3.1)
Rasyonel Chebyshev Kolokasyon metodu Chebyshev Tau, Chebyshev Taylor Kolokasyon ve Chebyshev Kolokasyon metotlarının geliştirilmiş bir hali olarak incelenmiş ve yüksek mertebeden homojen olmayan lineer diferansiyel denklemlere uygulanmıştır(Sezer ve ark., 2009).
Sezer ve ark. (2009) Rasyonel Chebyshev polinomları yardımıyla Kolokasyon metodunu kullanabilmek için aşağıdaki problemi ele almışlardır;
( ) 0
( )
( )
( ), 0
m k k kP x y
x
g x
x
4.3.2
1 ( ) ( ) 0 (0) ( ) , 0 , 0,1,..., 1 m k k ik ik i k a y b y b
b i m
4.3.3
Buradaki y x( ) çözümü; 0 ( ) ( ), 0 N n n n y x a R x x
4.3.4
şeklinde olsun(Sezer ve ark., 2009).Yukarıdaki eşitliklerde P x ve k( ) g x( ) fonksiyonları
0, aralığında sürekli
fonksiyonlar, a ,ik b ve ik de uygun sabitlerdir i( )
y x ve onun türevleri olan y( )k ( )x lerin Rasyonel Chebyshev polinomları
yardımıyla matris formu
y x( )
R x A( ) (4.3.5) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,1, 2,..., k k y x R x A k m N (4.3.6) şeklinde yazılabilir.Buradaki A ve R( )k ( )x matrisleri ise şöyle tanımlanmıştır(Sezer ve ark.,
2009): ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) ( )... ( ) k k k k N R x R x R x R x (4.3.7) A
a a0 1...aN
(4.3.8) ( ) ( ) kR x polinomları (4.1.7) eşitliğinin kullanılması ile
(1) ( ) T ( ( ))T R x D R x (4.3.9) veya (1) ( ) ( ) T R x R x D
şeklinde ifade edilebilir.
Sezer ve ark. (2009), y x çözümünün( ) türevlerinden oluşan y xk( ) matrisini aşağıdaki gibi ifade etmişlerdir;
( )
( ) k
R x matrisinin elde edilebilmesi için (4.3.9) eşitliği k nın diğer değerleri için
de tekrar ve tekrar uygulanır;
(1)
( ) ( ) T
(2) (1) 2 ( ) ( ) T ( )( T) R x R x D R x D (3) (2) 3 ( ) ( ) T ( )( T) R x R x D R x D ……… ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )( ) k k T T k R x R x D R x D (4.3.10) Bu eşitlikteki D matrisi (4.1.10), (4.1.11) ve (4.1.12) eşitlikleri ile verilen matristir. y( )k ( )x R( )k ( )x A eşitliğinde (4.3.10) eşitliği kullanılırsa;
( ) ( ) ( )( ) k T k y x R x D A (4.3.11)
şeklinde bulunur(Sezer ve ark., 2009).
Rasyonel Chebyshev Kolokasyon metodunda; kolokasyon noktaları adı verilen noktalar, verilen diferansiyel denklemdeki fonksiyonlarda x yerine yazılır ve katsayılar
matrisi bulunmaya çalışılır.
(4.3.2) eşitliğinde x yerine kolokasyon noktalarının yazılmasıyla
( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0,1,..., m k k i i i k P x y x g x i N
(4.3.12) eşitliği elde edilir.Son eşitliğin matris formu
( ) 0 m k k k P Y G
(4.3.13) şeklindedir. Buradaki P ve k G matrisleri ise şu şekilde tanımlıdır(Sezer ve ark., 2009):0 1 ( ) 0 . . . 0 0 ( ) . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ( ) k k k k N P x P x P P x
( )
0( ) . . .
1(
)
T NG
g x
g x
g x
Kolokasyon noktalarının ( ) ( ) ( )( ) k T k y x R x D A eşitliğinde yerine yazılmasıyla;
( ) ( ) ( )( ) , 0,1,..., k T k i i y x R x D A i N
( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) . . ( ) k k k T k k N y x y x Y R D A y x (4.3.14)
matrisi elde edilir,
0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) N N N N N N N N R x R x R x R x R x R x R x R x R x R x R R x R x R x R x R x
Tüm bu matris gösterimleri tek bir eşitlikte toplanırsa (Sezer, 2009);
0 ( ) m T k k k P R D A G
(4.3.15) 0x ve x noktalarının (4.3.11) eşitliğinde yerine yazılmasıyla; b
( ) (0) (0)( ) k T k y R D A ( ) ( ) ( )( ) k T k y b R b D A
bulunur. Bu son eşitliklerin başlangıç koşullarını veren (4.3.3) eşitliğinde yerine yazılmasıyla da;
1 0 ( (0) ( ))( ) , 0 , 0,1,..., 1 m T k ik ik i k a R b R b D A b i m
(4.3.16)eşitliği elde edilir. Burada R(0) ve R b( )matrisleri ise
0 1
(0) (0) (0) . . . N(0) R R R R
0 1
( ) ( ) ( ) . . . N( ) R b R b R b R b şeklinde tanımlanır.(4.3.2) problemi (4.3.13) formunda yazıldığında bilinmeyen
katsayıları için N tane cebirsel eşitlik elde edilir. Bu eşitlikler yine matris formunda 1 ve daha sade bir biçimde
WAG veya
W G ;
(4.3.17)şeklinde yazılabilir.
0, ,...,1 n
Sezer ve ark. (2009), WAG matrisinin çözümünü 0 ( ) , , 0,1,..., m T k pq k k W w P R D p q N
şeklinde vermişlerdir.(4.3.3) eşitliğinin matris formu (4.3.16) eşitliğinin yardımıyla
, 0,1,..., 1i i
U A i m (4.3.18)
şeklinde bulunur ve U matrisi i
1 0 1 0 (0) ( ) ( ) . . . m T k i ik ik i i iN k U a R b R b D u u u
ile tanımlıdır.(4.3.2) ve (4.3.3) eşitlikleri ile verilen diferansiyel denklemin çözümünün bulunması için (4.3.17) eşitliği ile verilen matrisin son m satırı çıkarılıp yerine (4.3.18)
eşitliği ile verilen matrisin elemanları yerleştirilir ve böylece aşağıdaki gibi yeni bir matris sistemi elde edilir(Sezer ve ark., 2009);
00 01 0 0 10 11 1 1 .0 .1 . * * 00 01 0 0 10 11 1 1 1.0 1.1 1. 1 . . . ; ( ) . . . ; ( ) ... ... ... ... ... ... ; ... . . . ; ( ) ; . . . ; . . . ; ... ... ... ... ... ... ; ... . . . ; N N N m N m N m N N m N N m m m N m w w w g x w w w g x w w w g x W G u u u u u u u u u (4.3.19)
Bu matris kısaca şöyle ifade edilebilir Sezer ve ark. (2009):
* *
W AG
Eğer rank W( *)rank W G( *; *)N ise 1
* 1 *A W G
yazılabilir. Böylece a a0, ,...,1 a katsayıları rahatlıkla bulunmuş olunur. n
Bir önceki bölümde Parand ve Razzaghi tarafından Rasyonel Chebyshev Tau metodu ile çözülen sınır değer problemini Sezer ve ark. (2009) Rasyonel Chebyshev Kolokasyon metodu ile şu şekilde çözmüşlerdir;
'' 2 2 1 1 ( ) ( ) , 0,1 (1 ) ( 1) x y x y x x x x 0 ( ) ( ) N n n n y x a R x
şeklinde olsun.
0 2 1 2 2 1 1 ( ) , ( ) 0, ( ) 1, ( ) 1 1 x P x P x P x g x x x 4N için kolokasyon noktaları;
0 1 2 3 4 1 1 3 0, , , , 1 4 2 4 x x x x x (2.3.15) eşitliğinin yardımıyla
0 1 2
0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) T T T P R D P R D P R D AG yazılabilir. 0, 1P P ve P 2 5 5 tipinde matrislerdir ve şöyledirler;
0 1 0 0 0 0 12 0 0 0 0 25 2 0 0 0 0 9 4 0 0 0 0 49 0 0 0 0 0 P 1 (0) 1, (1) 2 y y
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P 1 1 1 1 1 3 7 117 527 1 5 25 125 625 1 7 23 17 1 3 9 27 81 1 47 143 2017 1 7 49 343 2401 1 0 1 0 1 R
W G matrisinin son iki satırı başlangıç koşullarının sağlandığı ;
1 1 1 1 1 ; 1
1 1 0 1 1 1 ; 2 vektörleriyle değiştirilir ve * * ; W G matrisi çözülürse, katsayılar matrisi
1 1 0 0 0 2 2 T A
bulunur. Bu ise problemin çözümünün
0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 y x R x R x x olduğu gösterir.
5. EKSPONENSİYEL CHEBYSHEV POLİNOMLARI
Bu bölümde tüm reel eksende tanımlı ve özellikle karışık şartlı değişken katsayılı lineer diferansiyel denklemlerin çözümünde oldukça kullanışlı olabilecek Eksponensiyel Chebyshev polinomlarını ve bunların özelliklerini vereceğiz.
Mühendislik ve uygulamalı alanlarda genellikle problemlerin gelecekteki davranışı ile birlikte geçmişteki durumları da önemli olmaktadır. Dolayısıyla problemlerin oluşturulmasında zamana ait tüm reel eksen göz önüne alınmaktadır. Bu sebeple aşağıda önereceğimiz yöntemin bu problemlerde etkin bir şekilde kullanılabileceği söylenebilir.
5.1 Eksponensiyel Chebyshev Polinomları
Chebyshev polinomları
1,1
aralığında2 1 ( ) 1 w x x ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal polinomlardır. Bu bölümde ise bu ortogonal polinom ailesi yerine tüm reel eksende tanımlanan ve ortoganallik özelliklerine sahip yeni bir polinom ailesini tanıtacağız ve özelliklerini inceleyeceğiz. Elde edilen bu yeni polinomları
Eksponensiyel Chebyshev Polinomları olarak isimlendirdik. Burada fonksiyonların iç
çarpımı ve tanımlı olduğu uzaydan bahsetmek faydalı olacaktır (Guo ve ark., 2002):
;
x: x
şeklinde tanımlanan sonsuz bir aralık ve w x de e( ) ağırlık fonksiyonu olsun.2 2 2 ( ) : f L ( ) e( ) L f f x w x dx
uzayında tanımlı f ve g şeklinde iki fonksiyonun iç çarpımı şu şekildedir;( ) , ( ) ( ) ( ) e e w x f g f x g x w x dx
2 ( )L uzayında tanımlı herhangi bir f fonksiyonunun, negatif olmayan bir k tamsayısı için k. mertebeden türevi de L2( ) uzayındadır 2
( ) ( ) k k d f x L dx ,
Bilindiği üzere, n dereceden bir Chebyshev polinomu olan . T y , aşağıdaki n( ) ikinci mertebeden diferansiyel denklemi sağlamaktadır;
2 '' ' 2
(1y T) n( )y yTn( )y n T yn( )0
Yukarıdaki özelliklerden de faydalanarak n dereceden bir Eksponensiyel . Chebyshev polinomunu şu şekilde tanımlayacağız;
: 1,1 E ( ) ( ) n n E x T y Burada 1 1 x x e y e şeklinde tanımlanmıştır.Elde edilen bu yeni n dereceden polinom ailesi de aşağıdaki ikinci mertebeden . denklemi sağlar; 2 '' 2 ' 2 4 ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) 0 1 x x n x n n e e E x E x n E x e
Sonuç olarak Eksponensiyel Chebyshev polinomlarını aşağıdaki şekilde ifade etmiş oluruz; 1 ( ) 1 x n n x e E x T e
Eksponensiyel Chebyshev polinomlarının ortogonalliğini şu şekilde inceleyebiliriz; 1 2 1 0, ( ) ( ) , 0 1 , 0 2 n m m n T t T t dt m n t m n
eşitliğinde 1 1 x x e t e ve 2 2 ( 1) x x e dt dx e yazıldığı zaman 0, ( ) ( ) , 0 1 , 0 2 x n m x n m e E x E x dx n m e n m
olduğu görülür. Bu da Eksponensiyel Chebyshev polinomlarının ( )
1 x x e w x e ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olduğunu gösterir.
1 1 x x e t e ve 2 2 ( 1) x x e dt dx e
dönüşümleri (3.2.3) eşitliğinde de kullanıldığı zaman Eksponensiyel Chebyshev polinomları için rekürans bağıntısı,
0 1 ( ) 1 1 ( ) 1 x x E x e E x e 1( ) 2 1( ) ( ) 1( ), 1 n n n E x E x E x E x n (5.1.1) şeklinde bulunur.
Bu rekürans bağıntısı ile bulunan Eksponensiyel Chebyshev polinomlarının ilk birkaç tanesi; 0 E ( ) 1x 1 1 E ( ) 1 x x e x e 2 2 2 2 1 E ( ) ( 1) x x x e e x e 3 2 3 3 15 15 1 E ( ) ( 1) x x x x e e e x e şeklindedir.
aralığında tanımlı olan bir ,
f x( ) fonksiyonu Eksponensiyel Chebyshev polinomları cinsinden yazılabilir;(5.1.2)
Buradaki a katsayılarını veren formül, n 1 1
2
( ) ( ) ( )
2,
0
1,
0
n n n na
E x f x w x dx
c
n
c
n
1 ( ) n n( ) n f x a E x
1 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 x n x n n e E x E x E x e şeklindedir.
( ) cos n
E x n ve Em( )x cosm olmak üzere iki Eksponensiyel Chebyshev polinomunun çarpımı
1 1
( ) ( ) cos .cos cos( ) cos ( ) ( )
2 2
n m n m n m
E x E x n m nm nm E x E x
ile tanımlıdır.
(5.1.1) eşitliğinde eşitliğin her iki tarafının da türevi alınırsa Eksponensiyel Chebyshev polinomlarının türevini veren eşitlik;
' 0 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 1 x x e E x E x E x e şeklindedir. Bu son eşitlik kullanılarak bir düzenleme yapılırsa
' ' ' 1 1 1 ' 1 0 1 ' 0 ( ) 2. ( ) ( ) ( ), 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) 0 n n n E x E x E x E x n E x E x E x E x elde edilir ve bu eşitlikler yardımıyla Eksponensiyel Chebyshev polinomlarının türev matrisi , 0, , 0,1, 2,..., 1 4 4 i i Ddiag i N şeklinde tanımlanır.
Örneğin N 4 için türev matrisi aşağıdaki gibidir;
0 0 0 0 1 1 0 0 4 4 1 1 0 0 2 2 3 0 0 0 4 D
0, 1,..., 1 T N A a a a olmak üzere ( ) T( ) T( ) E x E x A AE x eşitliğini sağlayan A matrisi
3 0 1 2 3 1 1 0 2 1 3 2 4 2 2 1 3 0 4 1 5 3 2 4 1 5 0 6 4 1 2 3 4 0 . . . 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 . . . 2 2 2 2 2 N N N N N N N N a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a a şeklindedir.5.2 Eksponensiyel Chebyshev Tau Metodu
Bu metotta Rasyonel Chebyshev Tau metodu geliştirilip, Rasyonel Chebyshev polinomlarının yerine Eksponensiyel Chebyshev polinomlarından faydalanılmış ve Rasyonel Chebyshev Tau metodundan farklı olarak, Eksponensiyel Chebyshev polinomları için bulunmuş türev matrisi kullanılmıştır.
.
m inci mertebeden bir başlangıç değer problemi
( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0, m j j j f x y x g x x
(5.2.1) ( ) (0) , 0,1,..., 1 j j y j m (5.2.2) şeklinde tanımlansın.Burada f x0( ),f x1( ),..., fm( )x fonksiyonları
,
aralığında sürekli fonksiyonlar 0, 1,...,m1 ler de sabit sayılardır.(5.1.2) ve buradaki a katsayılarını veren formülün yardımıyla (5.2.1) ve n
yazılır ve matris formuna dönüştürülür. Bu fonksiyonlar Eksponensiyel Chebyshev polinomları cinsinden yazılmak istenirse;
1 0 ( ) ( ) ( ) N T i i i y x a E x A E x
(5.2.3) 1 0 ( ) ( ) ( ) N T i i i g x g E x G E x
(5.2.4) 1 0 ( ) ( ) ( ), 0,..., N T j ij i j i f x E x B E x j m
(5.2.5) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0,..., N j j T j i i i y x a E x A D E x j m
(5.2.6)eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerdeki matrisler ise
0 1 1
( ) ( ), ( ),..., N ( ) T E x E x E x E x (5.2.7)
0, ,...,1 1
T N A a a a (5.2.8) 0 , 1 ,..., ( 1) T j j j N j B (5.2.9) 0, 1,..., ( 1) T N G g g g (5.2.10) şeklinde tanımlanırlar.Bu eşitlik ve matrisler kullanıldığında verilen diferansiyel denklem
( )
( ) j ( ) T j ( ) T( ) T j j ( )
j j
f x y x A D E x E x B A D B E x
şeklinde yazılabilir.B matrisi daha önce verilen j A matrisi gibi bulunur. Tüm bu matris ve eşitlikler kullanılarak (5.2.1) ve (5.2.2) ile verilen diferansiyel denklem için m( )
res x 0 ( ) ( ) m m T j j T j res x A D B G E x
(5.2.11) şeklindedir. 0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0,1,..., ( 1) m m k k res x E x res x E x x dx k N m
eşitliğinden (Nm) tane eşitlik elde edilir.
0 (0) T (0) y A E (1) 1 (0) T (0) y A DE . .
. ( 1) 1 1 (0) (0) m T m m y A D E
eşitliklerinden de m tane eşitlik gelir. Bu eşitlikler birlikte ele alındığında N tane eşitlik elde edilmiş olur. Bunların birlikte çözülmesiyle (5.2.8) eşitliği ile verilen A matrisinin elemanları olan Eksponensiyel Chebyshev katsayıları bulunmuş olur ve bunların (5.2.3) eşitliğinde yerine yazılmasıyla verilen diferansiyel denklem için yaklaşık çözüm bulunur. 5.2.1 Örnek
2 '' 2 3 2 ( ) ( ) 1 1 x x x x e e y x y x e e , x
,
( ) 0, ( ) 2 y y başlangıç değer problemini Eksponensiyel Chebyshev Tau metodu ile çözümü şu şekildedir; Bu problemde
0 2 1 2 3 2 , 0, 1, ( ) 1 1 x x x x e e B B B g x e e tür. 4N için bu diferansiyel denklemin çözümünün
4 0 ( ) n n( ) n y x a E x
şeklinde olduğu kabul edilsin.
Eksponensiyel Chebyshev katsayılarının bulunmasını sağlayan
1 1 2 ( ) ( ) ( ) n n n a E x f x w x dx c
formülünün kullanılması ile diferansiyel denklemdeki fonksiyonların matris formları da şu şekildedir;0 1 1 0 0 8 8 1 1 0 0 16 16 1 1 0 0 16 8 1 1 0 0 16 8 B
