Makale: ÇİFT TERS SARKAÇ SİSTEMİNİN DENGE VE KONUM KONTROLÜ İÇİN ARI ALGORİTMASI İLE LQR KONTROLCÜ PARAMETRELERİNİN TAYİNİ / DETERMINATION OF LQR CONTROLLER PARAMETERS FOR STABILIZATION AND POSITION CONTROL OF DOUBLE INVERTED PENDULUM USING THE BEES ALGOR

DETERMINATION OF LQR CONTROLLER PARAMETERS

FOR STABILIZATION AND POSITION CONTROL OF DOUBLE

INVERTED PENDULUM USING THE BEES ALGORITHM

Muhammed Arif Şen

Arş. Gör., Selçuk Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi,

Makina Mühendisliği Bölümü, Konya marifsen@selcuk.edu.tr

Hasan Hüseyin Bilgiç*

Arş. Gör.,

İskenderun Teknik Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Hatay bilgichh@gmail.com

Mete Kalyoncu

Doç. Dr., Selçuk Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi,

Makina Mühendisliği Bölümü, Konya mkalyoncu@selcuk.edu.tr

ÇİFT TERS SARKAÇ SİSTEMİNİN DENGE VE KONUM

KONTROLÜ İÇİN ARI ALGORİTMASI İLE LQR KONTROLCÜ

PARAMETRELERİNİN TAYİNİ

ÖZ

Ters sarkacın sisteminin dengelenmesine yönelik kontrol teorileri geliştirmek, bu alanda çalışan araş-tırmacılar arasında oldukça popüler bir konudur. Ters sarkaç sistemi, kararsız ve doğrusal olmayan yapısı sayesinde mevcut kontrolcülerin performansının belirlenmesinde ve yeni kontrolcülerin tasarı-mında sıklıkla kullanılan bir sistemdir. Bu çalışmada, üç serbestlik dereceli çift ters sarkaç sisteminin denge ve konum kontrolü için Arı Algoritması (AA) kullanılarak LQR kontrolcü tasarımı yapılmıştır. Ön tasarımı yapılan LQR kontrolcüye ait parametreler (Q ve R matrisleri) Arı Algoritması ile optimize edilerek LQR kontrolcü kazanç matrisi (K) elde edilmiştir. Sistemin modellenmesi, kontrol sistemi-nin tasarımı ve optimizasyon işlemleri MATLAB/Simulink programında gerçekleştirilmiştir. Çalışma kapsamında sunulan yöntemin etkinliğini araştırmak amacıyla, Arı Algoritması parametreleri farklı konfigürasyonlarda seçilerek üç ayrı optimizasyon işlemi gerçekleştirilmiştir. Elde edilen LQR kont-rolcü kazanç matrislerinin sistem cevabı üzerindeki etkileri simüle edilmiş ve karşılaştırmalı sonuçlar grafiksel olarak sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: LQR kontrolcü, çift ters sarkaç, arı algoritması, optimizasyon

ABSTRACT

Control theory for stabilization of the inverted pendulum is quite popular among researchers working in this field. The inverted pendulum with unstable and non-linear structure is system which commonly used for determining the performance of the current controller and designing new control theories. In this study, LQR controller has been designed with The Bees Algorithm (BA) for stabilization and position control of double inverted pendulum which is of three degrees of freedom. LQR controller parameters (Q and R) which are predesigned, optimised with The Bees Algorithm and obtained LQR gain matrix. Modelling of system, controller design and optimisation process has been carried out with MATLAB and MATLAB/Simulink program. Three different configurations were made selecting different The Bees Algorithm parameters for examining the effectiveness of the presented method which is scope of this study. Effect of the system response of LQR gain matrices have been simulated and results are presented graphically.

Keywords: LQR controller, double inverted pendulum, the bees algorithm, optimisation

* _{İletişim Yazarı}

Geliş tarihi : 04.05.2016 Kabul tarihi : 22.08.2016

miş koordinatlar belirlenmiş, bu koordinatlar için sistemin her bir elemanının kinetik ve potansiyel enerjileri hesaplanmıştır. Hesaplamalarda kullanılan Euler-Lagrange Denklemi Eşitlik 1 ile gösterilmiştir. 2 i i i L L _Q t q q ∂ ₋∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (1) Burada; L : Lagrange operatörü T+V T : Kinetik enerji V : Potansiyel enerji Qi : Genelleştirilmiş kuvvetler qi : Genelleştirilmiş koordinatlar

qi genelleştirilmiş koordinatlar Eşitlik 2’de gösterildiği gibi;

α(t) ilk sarkacın açısı, θ(t) ikinci sarkacın birinci sarkaca göre açısı ve xc(t) arabanın konumu olarak belirlenmiştir.

( )

T

[ ( ) ( ) ( )]

c

q t

=

x t

α

t

θ

t

(2)

Qi genelleştirilmiş kuvvetler ise Eşitlik 3 ile aşağıdaki gibi

verilmiştir. 1 2 3 1 2 [ ] [ ] T i c eq c p p Q ₌ Q Q Q ₌ F B x₋  ₋B

α

 ₋B 

θ

₍₃₎

Burada Fc, sistemi kararsız denge noktasında dengede tutmak

için arabaya uygulanan kuvvettir. Arabanın hareket etmesi için uygulanması gereken kuvvet, servo motora uygulanan Vm

motor voltajı ile belirlenir ve Eşitlik 4’te olduğu şekilde ifade edilir.

(4)

Sistemin hareket denklemleri MATLAB programa aktarılarak sistem matrisleri, durum ve çıkış matrisleri oluşturulmuştur. Eşitlik 5, sisteme ait durum-uzay modelinin gösterimidir. Sistem durumları (x ve çıkışlar, y) Eşitlik 6’da gösterildiği gibidir. x Ax Bu y Cx Du = + = + (5) 1 2 3 4 5 6 1 2 3

[ ] [ ]

[ ]

T T c c

x

x

x

x x x x x x

y

x x x







α θ

α θ

=

=

=

(6)

Burada “u”, sistem girişi olan Fc kuvvetidir.

Çift ters sarkaç sistemi matematik modeli oluşturulurken

he-Şekil 1. Çift Ters Sarkaç Modeli

g g t g m c m m m mp mp c

K K

K K x

F

V

R r

r



η

η

=



_

−

+



_





Parametre Açıklama Parametre Açıklama

g=9.81 Yer çekimi sabiti [m/sn2_{] B}

p1=0.0024 Alt sarkaç sönüm oranı [N.m.sn/rad] mp1=0.072 Alt sarkaç ağırlığı [kg] Bp2=0.0024 Üst sarkaç sönüm oranı [N.m.sn/rad] m_p2=0.127 Üst sarkaç ağırlığı [kg] K_m=0.0077 Ters elektromotor kuvveti sabiti [V.s/rad] m=0.70313 Sarkaç arabasının ağırlığı [kg] K_t=0.0077 Motor tork sabiti [N.m/A]

l_p1=0.2096 Alt sarkaç uzunluğu [m] K_g=3.71 Planet dişli kutusu dişli oranı l_p2=0.3365 Üst sarkaç uzunluğu [m] R_m=2.6 Motor armatür direnci [Ohm]

ηg=1 Planet dişli kutusu verimi rmp=0.0064 Motor pinyon dişlisi yarıçapı [m]

ηm=1 Motor verimi Vm Motor voltajı [V]

B =4.3 Eşdeğer sönüm oranı [N.m.sn/rad]

Tablo 1. Çift Ters Sarkaç Sistem Parametreleri [17]

1. GİRİŞ

İ

nsan müdahalesini en aza indirmek amacıyla geliştirilen otomasyon ve robotik sistemlerin endüstriyel alanlarda-ki uygulamalarının yaygınlaşması, endüstriyel sistem ta-sarımda imalat teknolojilerinin yanı sıra, kontrol teorisi ve kontrolcü geliştirilmesini de zorunlu kılmaktadır. Özellikle zor ve karmaşık insansı hareketleri üretebilecek robotik uygu-lamalar; doğrusal olmayan, kararsız ve kontrole ihtiyaç duyan sistemlerden oluşmaktadır. Bu çalışmada incelenen, birçok endüstriyel sistemin kontrol çalışmalarında teorik altyapıyı oluşturan ters sarkaç sisteminin ve özellikle kontrolcü tasarı-mı için önerilen Arı Algoritması ile optimizasyon yönteminin, endüstriyel alanlardaki karasız sistemler için kontrol teorileri-nin geliştirilmesinde katkı sağlayacağı düşünülmektedir. Kararsız ve doğrusal olmayan yapısı ile ters sarkaç sistemi kontrol alanında çalışan araştırmacılar arasında oldukça po-pülerdir. Gerek yeni tasarlanan kontrolcü performansının gözlemlenmesi, gerekse mevcut kontrolcü performanslarının iyileştirilmesine yönelik literatürde oldukça fazla çalışma bu-lunmaktadır [1-3]. Ayakta duran insanın modellenmesinde, insan kolunun modellenmesinde, itme kuvvetinin alttan uygu-landığı roket, füze vb. sistemlerde ve benzer birçok sistemde ters sarkaç ve çift ters sarkaç modelinden faydalanılmaktadır [4-8]. Ayrıca, uçuş sistemlerinin kalkış ve iniş problemleri-nin üstesinden gelinmesinde, gemilerdeki denge problemiproblemleri-nin çözümünde, hava türbülansına giren uçakların dengede kal-masının sağlanmasında, çeşitli kuvvet ölçüm cihazlarında ve benzer daha birçok endüstriyel alanda çift sarkaç sistemi ve eş sarkaçlar kullanılmaktadır [9-12].

Singh ve Yadav, klasik doğrusal kontrolcü tasarım yöntemleri kullanarak çift ters sarkaç sistemi için PD ve LQR kontrolcü tasarımı gerçekleştirmişlerdir. Her iki kontrolcünün de siste-min konum ve denge kontrolünde başarılı olduğunu; ancak PD kontrolcünün LQR kontrolcüye kıyasla daha iyi sonuç verdiğini vurgulamışlardır [13]. Bilgiç ve arkadaşları, doğ-rusal arabalı çift ters sarkaç sisteminin denge kontrolü için yapay sinir ağı tabanlı bulanık kontrolcü tasarımı gerçekleş-tirmişlerdir. Bulanık kontrolcü için gerekli eğitim verilerini LQR kontrolcüden elde etmişler ve veri setini MATLAB/ Anfis editör aracılığı ile eğitmişlerdir. Sonuç olarak, sistemin denge kontrolü için hızlı etkin ve iyi bir performansa sahip Bulanık Mantık Kontrolcü elde ederek doğrusal olmayan sis-tem davranışlarının üstesinden gelmeye çalışmışlardır [14]. Bogdanov ise yine doğrusal arabalı çift ters sarkaç sisteminin optimal kontrolü için LQR, Bulanık Mantık, durumlara bağlı “Ricatti Eşitliği” ve kombinasyonlarından oluşan farklı kont-rolcü yaklaşımları test etmiştir. Sonuçta, en iyi performansı LQR kontrol üzerinden durumlara bağlı Ricatti Eşitliği ile ta-sarladığı kontrolcüde elde etmiştir [15]. Prasad ve arkadaşları, arabalı ters sarkaç sistemi için PID, LQR ve birleşimlerinden

oluşan kontrolcüler tasarlamışlar. MATLAB/Simulink orta-mında oluşturdukları sistem üzerinden simülasyon çalışma-ları yapmışlardır. Kontrolcülerin performansçalışma-larının daha iyi anlaşılması için referans giriş haricinde sisteme ilave gürültü de eklemişlerdir. PID kontrol uygulanan sisteme, doğrusal du-rum uzay modeli üzerinden doğrusal olmayan sistem dudu-rum- durum-ları LQR kontrolcüye geri besleme yapılarak hibrit PID-LQR kontrolcü tasarlamışlardır. Tasarlanan LQR kontrolcüye ait kazanç matrisinin iyi bir şekilde optimize edildiğinde, LQR kontrolcünün doğrusal olmayan sistemlerde dahi başarılı ola-bileceği sonucuna ulaşmışlardır. Ayrıca çalışmalarında, sis-temde gürültü varken kontrolcü performansı PID-LQR kont-rolcüde en iyi olduğu sonucuna ulaşmışlardır [16].

Bu çalışmada, çift ters sarkaç sisteminin denge ve konum kontrolünü sağlamaya yönelik ön tasarımı yapılan LQR kont-rolcü parametrelerinin Arı Algoritması ile optimizasyonu ele alınmıştır. Çalışmanın ikinci bölümünde, sistemin Euler-Lag-range eşitlikleri kullanılarak elde edilmiş hareket denklemleri-ne ve giriş-çıkış formunda ifade edilen Durum Uzay modelidenklemleri-ne yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, Arı Algoritması detaylı bir şekilde anlatılarak LQR kontrolcü parametrelerinin tayini için Arı Algoritması ile optimizasyon uygulaması geliştirilmiştir. Arı Algoritmasına ait parametrelerin LQR kontrolcü perfor-mansı üzerindeki etkisinin belirlenmesi için farklı konfigüras-yonda Arı Algoritması parametreleri belirlenerek üç ayrı op-timizasyon işlemi gerçekleştirilmiştir. Dördüncü bölümde ise optimizasyon sonucu elde edilen LQR kontrolcülerin sistemin kontrolü üzerindeki etkinliklerini inceleyebilmek amacıyla, MATLAB/Simulink ortamında sistemin simülasyon çalışma-ları yapılmış, sonuçlar tablo ve grafikler halinde sunulmuştur. Sonuçta, çift ters sarkaç sistemi için kontrolcünün tasarımında farklı bir yaklaşım sunan bu çalışmada, Arı Algoritmasının, sistemin LQR kontrolcü tasarımında başarılı olduğu, farklı Arı Algoritması parametrelerinin sistem cevabı üzerinde ben-zer eğilim gösterdiği sonucuna ulaşılmıştır.

2. ÇİFT TERS SARKAÇ SİSTEMİNİN

MATEMATİKSEL MODELİ

Üç serbestlik derecesine sahip çift ters sarkaç sistemi, bir ara-ba, arabaya mesnetlenmiş ve serbest durumda döner hareket yapabilen bir alt sarkaç ve bu sarkaca bağlı ve mesnetlendiği noktada döner hareket yapabilen üst sarkaçtan oluşmaktadır (Şekil 1). Sistemin kararsız olmasının nedeni, sarkaçlar dü-şeyde denge durumundayken küçük bir bozucu girişte dahi denge konumundan hızla sapmasıdır. Bu sebeple, sistemi dengede tutacak bir Fc kontrol kuvveti sürekli olarak sisteme

uygulanarak sarkaçların düşey (α ve θ açıları “0” derecede olduğu) konumda dengede tutması istenmektedir.

Çift ters sarkaç sisteminin matematik modeli oluşturulurken Euler-Lagrange Eşitliği kullanılmıştır. İlk olarak

genelleştiril-mevcut arama yöntemlerinin kontrolcü tasarımına yönelik performanslarının kıyaslanmasına farklı ve detaylı bir çalış-mada yer verilmesi düşünülmektedir. Ayrıca, Arı Algoritması ile farklı bir arama algoritmanın çeşitli standart problemlerin çözümüne yönelik karşılaştırmalı değerlendirmelerini ve çok kapsamlı performans testlerini içeren çalışmalar da mevcuttur [32].

İlk olarak 2006 yılında D. T. Pham ve arkadaşları tarafından önerilen temel Arı Algoritmasına ait parametreler; kâşif arı sayısı (n), ziyaret edilen n nokta içinden seçilen en uygun böl-ge sayısı (m), seçilen m bölböl-ge içindeki elit bölböl-ge sayısı (e), en iyi e bölgeye gönderilen arı sayısı (nep), kalan (m-e) bölgeye gönderilen arı sayısı (nsp), bölge boyutu (ngh) ve durdurma kriteri/iterasyon (itr) sayısıdır.

Arı Algoritması n adet kâşif arının araştırma uzayına rastgele yerleştirilmesi ile başlar. 2. adımda, kâşif arılarca ziyaret edi-len noktaların birbirlerine göre uygunlukları değeredi-lendirilir. 3. adımda, n adet bölge içerisinde diğerlerine göre daha uygun-luk değerine sahip m adet bölge seçilir. 4 ve 5. adımda, m adet bölge içerisinde en iyi uygunluk değerine sahip elit bölgeler (e) ve geriye kalan bölgeler (m-e) seçilir. Bu bölgelerin şuluk arama boyutu (ngh) belirlenir. Seçilen bölgelerde kom-şuluk araması (bölge içinde en uygun noktaların araştırılması) için, daha umut verici çözümleri temsil eden en iyi e bölgeye seçilen diğer bölgelere göre daha fazla takipçi arı (nep), di-ğer bölgelere ise daha az takipçi arı (nsp) gönderilerek detaylı arama yapılır. Her bölge içerisinde en uygun değere sahip arı seçilir. 6, 7 ve 8. adımda ise her bölgede en uygun değere sahip arı haricindeki diğer arılar araştırma uzayından ayrılır. Popülasyondaki diğer arılar (n-m) yeni potansiyel çözümler elde etmek için tekrar, rastgele olarak, araştırma uzayına

yer-leştirilir. Optimizasyon durdurma kriteri (itr) sağlanana kadar devam ettirilir. Her bir iterasyonun sonunda yeni popülasyon, seçilen her bir bölgenin temsilcileri ve rastgele arama yapan kâşif arılar olmak üzere iki parçadan oluşur. Arı Algoritması-na ait akış şeması Şekil 2’de sunulmuştur [27].

Şekil 3’te, çift ters sarkaç sistemine ait LQR kontrol blok şe-ması verilmiştir. Sistemin denge ve konum kontrolü için op-timize edilen kapalı çevrim LQR kontrolcü ile sağlanmıştır. Kontrol sisteminin girişi, arabanın istenen doğrusal konumu (Ref); çıkışları ise arabanın gerçekleşen doğrusal konumu (xc),

sarkaçların açısal konumları (α, θ) ve değişim hızlarıdır. Sis-temin kendini dengede tutarak, istenilen referans konuma ha-reketinin sağlanması için arabaya uygulanacak kuvvet, LQR kontrolcü tarafından üretilmektedir.

Bu çalışmada, ön tasarımı yapılan LQR kontrolcünün

Q=diag[q1,q2,q3,q4,q5,q6] ve R=diag [r1] matrislerine ait

pa-rametreler Arı Algoritması kullanılarak optimize edilmiştir. Optimizasyonda sistemin, denge kararlılığını koruyarak (sar-kaçların denge noktalarından en az sapması) referans konuma hareketi için gerekli optimum LQR kontrolcü tasarımı hedef-lenmiştir. Sistemin durum değişkenlerine ait birim-basamak-zaman cevaplarını içeren Je amaç fonksiyonunu minimize edecek değerler araştırılmıştır. Sistemin denge ve konum kontrolünü birlikte sağlayabilecek optimum LQR kontrolcü-yü elde edebilmek için, her üç durum değişkenine ait zaman cevaplarını (kontrolcü performanslarını) içeren kapsamlı bir amaç fonksiyonu belirlenmiştir. Eşitlik 12’de; yükselme za-manı (tr), oturma zaza-manı (ts), tepe zaza-manı (tp), mutlak maksi-mum aşma (max), kalıcı durum hatası (ess) ve matriksel norm (norm) olarak ifade edilmiştir. Değişkenlerinin etkilerini bir-birlerine göre dengelemek için sabit sayılar kullanılmıştır. Tablo 2’de ise optimize edilen parametrelerin optimizasyon aralıkları verilmiştir. Amaç fonksiyonun belirlenmesinde, Arı Algoritmasına ait parametrelerin ve optimizasyon aralıkları-nın tespitinde, sistemin dinamik karakteristiği ve yazarların Arı Algoritması ile ilgili mevcut çalımlarından [28-31] elde edilen tecrübeler göz önüne alınmıştır.

Şekil 2. Arı Algoritması (AA) Akış Şeması Şekil 3. Sistemin LQR Kontrol Blok Şeması

4.Takipçi arıları seçilen bölgelere gönder (elit bölgelere daha çok arı)

saplamalar için kullanılan parametreler ve değerleri Tablo 1’de sunulmuştur. Sistem parametreleri seçilirken daha ger-çekçi sonuçlar elde etmek amacıyla, deneysel doğrulamaları yapılmış olan Quanser firmasına ait çift sarkaç deney seti pa-rametreleri kullanılmıştır.

Tablo 1 ile verilen parametreler kullanılarak sistemin durum matrisleri ve çıkış matrisleri MATLAB programı yardımıyla;

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 4.87 0.16 35.47 0.01 0.01 0 76.60 31.91 185.09 0.37 0.72 0 84.30 123.77 203.70 0.72 2.06 A = − − − − − − − −                   (7) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 , 0 4.16 0 0 1 0 0 0 0 21.70 23.89 B= C= D −       _{   }   _{   }   _{   }   _{    }       (8) olarak hesaplanmıştır.

3. ARI ALGORİTMASI İLE LQR

KONTROLCÜ PARAMETRELERİNİN

OPTİMİZASYONU

LQR (İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici/Lineer Quad-ratic Regulator), en uygun kontrol girdisini hesaplamak için performans indeksi ve durum değişkenlerini kullanarak ya-pılan hesaplamalarla tasarlanan bir kontrol yöntemidir. LQR kontrol yönteminde amaç, durum takip hatası ve sistem girdi maliyeti kullanılarak Eşitlik 9 ile sunulan J performans indek-sinin minimize edilmesidir. LQR kontrolcü tasarımında, kul-lanıcı tanımlı olan ve Eşitlik 10 ile sunulan Q ve R köşegen matrislerine bağlı olarak performans indeksi minimize edecek sistem girdisi “u” bulunur. Sistemin durum-uzay modelinde de görülen x Ax Bu= + için sistem girdisi; u=K.(Ref-x) şek-lindedir. Burada LQR kontrolcü kazancı, K=R-1 _BT _{P olup,}

P ise Eşitlik 11 ile sunulan Ricatti Eşitliği’nin çözümünden

bulunabilen simetrik bir matristir [18].

0

1

(

)

2

T T

J

=

∫

∞

e Qe u Ru dt

+

₍₉₎ (10) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0 m q r Q R q r     = =

















































1

₀

T T

PA A P Q PBR B P

₊

_{+ −}

−

₌

(11) LQR kontrolcü tasarımında parametre tayini; sisteme ait du-rum değişkenlerinin birbirlerine ve sistemin kontrolü üzerine etkileri dikkate alınarak, genellikle deneme-yanılma yönte-miyle yapılmaktadır. Q ve R matrislerinin, LQR kontrolcü verimliliğini ve performansını artırmak amacıyla, bir arama algoritması optimizasyonu ile ilgili birçok çalışma mevcuttur [19]. Literatürde, LQR kontrolcü tasarımı için önerilen baş-lıca Sezgisel algoritmalar; Memetik Algoritması [20], Çok Amaçlı Diferansiyel Gelişim Algoritması [21], Genetik Algo-ritma [22], Kuantum Parçacık Sürü Optimizasyonu Algorit-ması [23] ve Yapay Arı Koloni AlgoritAlgorit-ması [23, 25] olarak sıralanabilir.

Arı Algoritması (The Bees Algorithm) [26, 27]; D. T. Pham tarafından geliştirilen, arıların nektar ve su gibi kaynak ara-ma davranışları, öğrenme, hatırlaara-ma ve bilgi paylaşara-ma gibi kolektif zeka özelliklerini taklit eden popülasyon tabanlı, sez-gisel bir arama algoritmasıdır. Arı Algoritması kullanılarak kontrolcü optimizasyona ait ilk teorik ve deneysel çalışmalar [28, 29], Pham ve Kalyoncu tarafından gerçekleştirilen elastik uzuvlu bir robot kolunun kontrolü için Arı Algoritması kul-lanarak Bulanık Mantık ve PID kontrolcüleri tasarladıkları çalışmalardır. Şen ve Kalyoncu, Arı Algoritmasının kontrol-cü optimizasyonundaki performansını incelemek üzere, ters sarkaç sistemi için Arı Algoritması ile PID ve LQR kontrolcü tasarımı gerçekleştirmişlerdir [30, 31]. Çalışmaları sonucun-da, Arı Algoritmasının kontrolcü parametrelerinin optimi-zasyonunda başarılı sonuçlar verdiği, geleneksel yöntemlere kıyasla sistemin konum ve denge kontrolünde iyileşme gös-terdiği, özellikle sistemin geçici ve kalıcı rejim cevap kriterle-rinin (yerleşme zamanı, maksimum aşma, kalıcı durum hatası vb.) ayarlanmasına imkân sağladığı, ayrıca önerilen yöntemin farklı sistem ve kontrolcülere yönelik geliştirilmeye açık ol-duğu belirtilmiştir.

Bu çalışma kapsamında, popüler bir kontrol problemi olan çift ters sarkaç sistemi için LQR kontrolcü tasarımına yönelik sunulan mevcut sezgisel algoritmaları çeşitlendirmek ama-cıyla, Arı Algoritması ile optimizasyon yöntemi önerilmiştir. Çalışmanın ana hedefi, Arı Algoritmasının LQR kontrolcü optimizasyonunda kullanılabilirliğini incelemenin yanı sıra, Arı Algoritması parametrelerinin sistem cevabı üzerinde-ki etüzerinde-kisini de araştırmaktır. Bu sebeple, Arı Algoritması ile

1. n adet kaşif arıyı araştırma uzayına rastgele yerleştir

2. Kaşif arılarca ziyaret edilen noktaların uygunluğunu araştır

3. En iyi uygunluk değerine sahip bölgeleri (m) komşuluk araması için seç

5. Her bölgedeki en iyi arıyı seç

6. Seçilen arıların haricindeki bölgelerden ayrıl

7. Popülasyonda kalan arıları (n-m) yeni potansiyel çözümler için rastgele araştırma uzayına gönder

konum girişi sonrası sarkaç arabasının referansa ulaşmasına ilişkin simülasyon sonuçlarına göre, sarkaç arabası üç fark-lı konfigürasyonda sarkaçların denge kontrolünü sağlarken aynı zamanda referans konuma başarılı bir şekilde ulaşmıştır.

Grafikten de anlaşılacağı üzere, sistem denge kontrolü yapı-lırken konum kontrolünün de başarılı bir şekilde sağlandığı görülmektedir. Konfigürasyonlara ilişkin performans kriterle-ri Tablo 4’te sunulmuştur.

Şekil 4. Üst Sarkaç Açısının Zamana Bağlı Değişimi

Şekil 5. Alt Sarkaç Açısının Zamana Bağlı Değişim

Şekil 6. Arabanın Konumunun Zamana Bağlı Değişimi

(

)

(

)

(

)

3 max max max 2.5 1.4 1 55 3.10 12 0.9 8 235 715 40 1.8 50 455 805 e r s p ss norm s p ss norm s p ss J Xt Xt Xt e t t e t t e α α α α α θ θ θ θ θ = × + × + × + × Χ + × Χ + × + × + × + × + × + × + × + × + × + × (12)

4. SİMÜLASYON SONUÇLARI

Simülasyon çalışmalarında, çift ters sarkaç sisteminin kont-rolü için farklı konfigürasyonlarda belirlenen Arı Algoritması parametreleri ile üç farklı LQR kontrolcü optimizasyon işlemi gerçekleştirilmiştir. Belirlenen Arı Algoritmasına ait paramet-reler, optimizasyon sonrası elde edilen LQR kontrolcüye ait ağırlık matrisleri (Q ve R) ile kazanç matrisi (K), her bir kon-figürasyon için ayrı ayrı Tablo 3’te sunulmuştur.

Çift ters sarkaç sisteminin denge ve konum kontrolü için yapılan simülasyon sonuçları, üst sarkaç açısının, alt sarkaç

açısının, sarkaç arabasının ve motor voltajının zamana bağlı değişim grafikleri Şekil 4-7 ile sunulmuştur. Şekil 4 ile veri-len grafikte üst sarkaç açısının zamana bağlı değişimi görül-mektedir. Sarkaç arabasına verilen bir referans giriş ile araba, belirtilen konuma giderken üst sarkaç açısı denge noktasın-dan sapmış ve daha sonra LQR kontrolcü sistemi tekrar denge noktasına getirmiştir. LQR kontrol için elde edilen üç farklı konfigürasyon, aynı grafikte gösterilmiş ve performans kriter-leri de Tablo 4’te paylaşılmıştır.

Şekil 5 ile verilen grafikte ise alt sarkaç açısının zamana bağ-lı değişimi görülmektedir. Üst sarkaç açısının değişimine benzer şekilde, sarkaç arabasına verilen bir referans giriş ile araba, belirtilen konuma giderken alt sarkaç açısı denge nok-tasından sapmış ve daha sonra LQR kontrolcü sistemi tekrar denge noktasına getirmiştir. Sistem için sadece denge kont-rolü değil aynı zamanda konum kontkont-rolü de yapılmıştır. Alt sarkaç açısının performansı incelendiğinde, LQR kontrol için elde edilen üç farklı konfigürasyon aynı grafikte gösterilmiş ve performans kriterleri Tablo 4’te paylaşılmıştır. Grafikler-den de anlaşılacağı üzere, konfigürasyon 1, 2 ve 3’te benzer eğilimde sonuçlar gözlenmiştir.

Şekil 6’da verilen grafikte sarkaç arabasının konumunun za-mana bağlı değişimi görülmektedir. Arabaya verilen referans q₁ q₂ q₃ q₄ q₅ q₆ r₁

Maks. 100 500 500 1 2 2 0.2

Min. 0 0 0 0 0 0 0

Tablo 2. Parametrelerinin Optimizasyon Aralıkları

Tablo 3. Optimizasyon Parametreleri ve Sonuçları

Konfigürasyon 1 Konfigürasyon 2 Konfigürasyon 3

Arı Algoritması Parametreleri

n 20 30 50 m 10 15 20 e 7 10 14 nep 12 16 22 nsp 8 12 16 ngh 0.01 0.005 0.001 itr 20 50 100 LQR Kontrolcü Parametreleri Q q1 42.169 34.266 31.7089 q2 347.382 255.685 376.861 q3 479.868 240.257 289.851 q4 0.1871 0.1783 0.6314 q5 1.1744 1.6251 0.6391 q6 1.1039 1.8643 1.7112 R r1 0.1327 0.1107 0.0500 Kazanç Matrisi (K) [23.949, -153.837, -408.323, 20.518, -43.654, -41.514] [15.268, -105.3073, -297.680, 11.788, -30.923, -30.637] [25.229, -178.007, -467.130, 23.397, -49.922, -47.982]

Min. Hata (Je) 37.338 37.078 37.994

Optimizasyon Süresi

ise denge konumuna minimum sapmalar ile daha hızlı ve ka-rarlı bir şeklide ulaşabildiği anlaşılmıştır.

5. SONUÇ

Birçok endüstriyel sistemin kontrol çalışmalarında teorik alt-yapıyı oluşturan ters sarkaç sisteminin ve özellikle kontrolcü tasarımı için önerilen Arı Algoritması ile optimizasyon yön-teminin, endüstriyel alanlardaki karasız sistemler için kont-rol teorilerinin geliştirilmesinde katkı sağlayacağı düşünülen bu çalışmada, üç serbestlik dereceli çift ters sarkaç sistemine ait Euler-Lagrange Eşitliği kullanılarak elde edilmiş hareket denklemleri ve durum-uzay modeli ile sistem için MATLAB/ Simulink ortamında modellenmiş ve Arı Algoritması kullanıla-rak LQR kontrolcü tasarımı yapılmıştır. Kontrolcü tasarımında sistemin denge ve konum kontrolünü birlikte gerçekleştirebi-lecek LQR kontrolcünün elde edilmesi amaçlanmıştır. Ön ta-sarımı yapılan LQR kontrolcüye ait parametreler (Q ve R mat-risleri) Arı Algoritması ile optimize edilerek LQR kontrolcü kazanç matrisi elde edilmiştir. Arı Algoritması parametreleri ve amaç fonksiyonu, sistemin dinamik karakteristiği ve benzer çalışmalar göz önüne alınarak belirlenmiştir. Çalışmada sunu-lan yöntemin etkinliğini araştırmak amacıyla, Arı Algoritması parametreleri farklı konfigürasyonlarda seçilerek üç ayrı opti-mizasyon yapılıştır. Elde edilen LQR kontrolcü kazanç mat-rislerinin sistem cevabı üzerindeki etkileri simüle edilmiş ve sonuçlar grafiksel olarak incelenmiştir. Aynı amaç fonksiyonu-nu minimize etmeye yönelik farklı konfigürasyonlardaki Arı Algoritması parametreleri ile yapılan üç farklı optimizasyon işlemi ile elde edilen LQR kontrolcüler, sistem cevabı üzerin-de benzer etki göstermiştir. Sunulan yöntemin üzerin-deneysel doğru-lama ile desteklenebileceği, farklı sistemler ve farklı kontrolcü tasarımları için de uygulanabileceği öngörülmektedir.

SEMBOLLER

Fc : sarkaç arabasına uygulanan kuvvet

α : alt sarkaç açısal konumu θ : üst sarkaç açısal konumu

xc : sarkaç arabasının konumu

α : alt sarkaç açısal hızı

θ : üst sarkaç açısal hızı

c

x

_{: sarkaç arabasının doğrusal hızı} L : lagrange operatörü T : kinetik enerji V : potansiyel enerji Qi : genelleştirilmiş kuvvetler qi : genelleştirilmiş koordinatlar Beq : eşdeğer sönüm oranı

Bp1 : alt sarkaç sönüm oranı

Bp2 : üst sarkaç sönüm oranı

ηg : planet dişli kutusu verimi

ηm : motor verimi

Kg : planet dişli kutusu dişli oranı

Kt : motor tork sabiti

Km : ters elektromotor kuvveti sabiti

Rm : motor armatür direnci

rmp : motor pinyon dişlisi radüsü

Vm : motora uygulanan gerilim

x : durum vektörü u : kontrol vektörü y : çıkış vektörü A : sistem matrisi B : giriş matrisi C : çıkış matrisi

D : doğrudan iletim matrisi

KAYNAKÇA

1. Nikolov, S., Nedev, V. 2016. “Bifurcation Analysis and Dyna-mic Behaviour of an Inverted Pendulum with Bounded Cont-rol,” Journal of Theoretical and Applied Mechanics, vol. 46 (1), p. 17-32.

2. Bilgiç, H. H., Şen, M. A., Yapıcı, A., Kalyoncu, M. 2014. “Doğrusal Ters Sarkacın Denge Kontrolü İçin Yapay Sinir Ağı Tabanlı Bulanık Mantık & LQR Kontrolcü Tasarımı,” Oto-matik Kontrol Ulusal Toplantısı (TOK 2014) (Poster), 14-17 Haziran 2015, İzmir, Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı Bil-diriler Kitabı, Makina Teorisi Derneği, Ankara, s. 921-926 3. Saidi, E., Hammi, Y., Douik, A. 2016. “Equivalence

betwe-en PWA Formalism and MLD Formalism: Inverted Pbetwe-endulum System Example,” International Journal of Applied Enginee-ring Research, vol. 11 (2), p. 1353-1360.

4. Bilgiç, H. H., Conker, Ç., Yavuz, H., Şen, M. A. 2015. “Sar-kaç Tipi Bir Tepe Vincinin Kontrolüne Bulanık Yaklaşım,” Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, 14-17 Haziran 2015, İzmir.

5. Mifsud, A., Benallegue, M., Lamiraux, F. 2016. “Stabiliza-tionof a Compliant Humanoid Robot Using Only Inertial Me-asurement Units with a Viscoelastic Reaction Mass Pendulum Model,” Rapport LAAS, 16063, hal-01285643.

6. Suzuki, Y., et al. 2012. "Intermittent Control with Ankle, Hip, and Mixed Strategies during Quiet Standing: A Theoretical Proposal Based on a Double Inverted Pendulum Model," Jo-urnal of Theoretical Biology, vol. 310, p. 55-79.

7. Colobert, B., et al. 2006. "Force-Flate Based Computation of Ankle and Hip Strategies from Double-Inverted Pendulum Model," Clinical Biomechanics, vol. 21(4), p. 427-434.

Şekil 7’de verilen grafikte motor voltajının zamana bağlı de-ğişimi görülmektedir. Arabaya verilen referans konum girişi sonrası sarkaç arabasının referansa ulaşması sırasında motora uygulanması gereken voltaj değerlerindeki değişim, her bir konfigürasyon için aynı grafikte sunulmuştur.

Elde edilen sonuçlar, sistem performansının ölçülebilmesi için MATLAB/Simulink ortamında oluşturulan sistem modeli ile simüle edilerek yükselme zamanı, yerleşme zamanı, tepe zamanı, maksimum aşma ve kalıcı durum hatası gibi

perfor-mans kriterleri elde edilmiş ve Tablo 4’te sunulmuştur. Elde edilen sonuçları kıyaslayarak önerilen yöntemi değerlendire-bilmek amacıyla, çift ters sarkaç sistemi için klasik doğru-sal kontrolcü tasarım yöntemleri kullanarak elde edilen PD ve LQR kontrolcüye ait sistemin birim basamak cevapları mevcut bir çalışmadan [13] alınarak Tablo 4’te belirtilmiştir. Sonuçlar değerlendirildiğinde, klasik yöntemlere kıyasla öne-rilen Arı Algoritması ile LQR kontrolcü tasarım yönteminin daha başarılı olduğu; arabanın referans konuma, sarkaçların

Şekil 7. Motor Voltajının Zamana Bağlı Değişimi

Değişken Zaman Cevabı Konf. 1 Konf. 2 Konf. 3 LQR [13] PD [13]

x

Yükselme Zamanı (tr) [sn] 1.8001 2.0093 1.9031 0.51 0.15

Yerleşme Zamanı (ts) [sn] 2.0852 2.4859 2.2156 3.05 3.0

Tepe Zamanı (tp) [sn] 2.8650 3.6210 3.0450 3.5 2.0

Maksimum Aşma (max) [mm] 1.1743 0.1160 1.2975 %20 %5.8

Kalıcı Durum Hatası (ess) [mm] 0 0 0 0.02 0.0117

α

Matriksel Norm (deg) 51.3141 49.1082 50.0535 -

-Yerleşme Zamanı (ts) [sn] 2.3022 2.3067 2.3738 4.67 3.08

Tepe Zamanı (tp) [sn] 0.0340 0.0380 0.0320 0.85 0.8

Maksimum Aşma (max) [deg] 4.4212 4.3493 4.3894 %5 %7

Kalıcı Durum Hatası (ess) [deg] 0 0 0 0 0

θ

Matriksel Norm (deg) 35.2139 32.2689 34.4977 -

-Yerleşme Zamanı (ts) [sn] 1.2559 1.1837 1.2798 4.68 2.876

Tepe Zamanı (tp) [sn] 0.0340 0.0380 0.0320 0.75 0.7

Maksimum Aşma (max) [deg] 3.7390 3.6564 3.7067 %1.6 %7.5

Kalıcı Durum Hatası (ess) [deg] 0 0 0 0 0

8. Nagasaki, T., Kajita, S., Yokoi, K., Kaneko, K., Hirukawa, H., Tanie, K. 2003. “Running Pattern Generation for a Huma-noid Robot,” Journal-Robotics Society of Japan, vol. 21(8), p. 74-80.

9. Poorhossein, A., Vahidian, K. A. 2010. “Design and Imple-mentation of Sugeno Controller for Inverted Pendulum on a Cart System,” In IEEE 8th International Symposium on Intel-ligent Systems and Informatics, 10-11September 2010, Subo-tica, Serbia, p. 641-646.

10. Kizir, S. 2008. “Doğrusal Olmayan Ters Sarkaç Sisteminin Tasarımı ve Kontrolü,” Yüksek Lisans Tezi, Kocaeli Üniversi-tesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Kocaeli.

11. Boubaker, O. 2012. “The Inverted Pendulum: A Fundamen-tal Benchmark in Control Theory and Robotics,” In Educati-on and e-Learning InnovatiEducati-ons (ICEELI), 2012 InternatiEducati-onal Conference, 1-3 July 2012, Sousse, Tunus, p. 1-6.

12. Wanli, Z., Guoxin, L., Lirong, W. 2014. “Research on the Control Method of Inverted Pendulum Based on Kalman Filter,” In Dependable, Autonomic and Secure Computing (DASC), IEEE 12th International Conference, 24-27 August 2014, Dalian, China, p. 520-523.

13. Singh, N., Yadav, S. K. 2012. “Comparison of LQR and PD Controller for Stabilizing Double Inverted Pendulum System,” International Journal of Engineering, vol. 1 (12), p. 69-74. 14. Bilgiç H. H., Conker Ç., Yavuz, H. 2016. “Çift Ters

Sarka-cın Denge Kontrolü İçin Yeni Bir Bulanık Mantık Kontrolcü Yaklaşımı,” International Conference on Natural Science and Engineering (ICNASE’16) 19-20 March 2016, Kilis, Turkey, p. 2899-2908.

15. Bogdanov, A. 2004. “Optimal Control of a Double Inverted Pendulum on a Cart,” Oregon Health and Science University, Tech. Rep. CSE-04-006, OGI School of Science and Enginee-ring, Beaverton, OR.

16. Prasad, L. B., Tyagi, B., Gupta, H. O. 2011. “Optimal Cont-rol of Nonlinear Inverted Pendulum Dynamical System with Disturbance Input Using PID Controller & LQR,” In Control System, Computing and Engineering (ICCSCE), 2012 Interna-tional Conference, 23-25 November 2012, Penang, p. 540-545. 17. Quanser. 2012. Linear Double Inverted Pendulum

Experi-ment User Manuel, Quanser Inc.

18. Anderson, B. D. O., Moore, J. B. 1989. Optimal Control–Li-near Quadratic Methods, ISBN: 0 – 13 – 638651 – 2, Prentice Hall.

19. Amir, S., Basiri, S. O. 2011. “Optimal Design of LQR We-ighting Matrices Based on Intelligent Optimization Methods,” International Journal of Intelligent Information Processing, vol. 2, p. 57–62.

20. Zhang, J., Zhang, L., Xie, J. 2011. “Application of Memetic Algorithm in Control of Linear Inverted Pendulum,” IEEE In-ternational Conference on Cloud Computing and Intelligence Systems, 15-17 September 2011, Beijing, China, p. 103-107. 21. Tijani, I. B., Akmeliawati, R., Abdullateef, A. I. 2013.

“Control of an Inverted Pendulum Using MODE-Based

Op-timized LQR Controller,” IEEE 8th Conference on Industrial Electronics and Applications (ICIEA), 19 -21 June 2013, Mel-bourne, Australia, p. 1759-1764.

22. Wongsathan, C., Sirima, C. 2009. “Application of GA to De-sign LQR Controller for an Inverted Pendulum System,” In Robotics and Biomimetics, ROBIO 2008. IEEE International Conference, 22 - 25 February 2009, Bangkok, Thailand, p. 951-954.

23. Hassani, K., Lee, W. S. 2014. “Optimal Tuning of Linear Qu-adratic Regulators Using Quantum Particle Swarm Optimiza-tion,” In Proceedings of the International Conference on Cont-rol, Dynamic Systems, and Robotics (CDSR’14), 14-15 May 2014, Ottawa, Ontario, Canada, paper no:59.

24. Ata, B., Coban, R. 2015. “Artificial Bee Colony Algorithm Based Linear Quadratic Optimal Controller Design for a Non-linear Inverted Pendulum,” International Journal of Intelligent Systems and Applications in Engineering, vol. 3 (1), p. 1-6. 25. Wang, H., Zhou, H., Wang, D., Wen, S. 2013.

“Optimiza-tion of LQR Controller for Inverted Pendulum System with Artificial Bee Colony Algorithm,” In Proceedings of the 2013 International Conference on Advanced Mechatronic Systems, 25-27 September, Luoyang, China, p. 158-162.

26. Pham, D. T., Ghanbarzadeh, A., Koc, E., Otri, S., Rahim, S., Zaidi, M. 2005. The Bees Algorithm. Technical Note, Ma-nufacturing Engineering Centre, Cardiff University, UK, p. 1-57.

27. Pham, D. T., Ghanbarzadeh, A., Koc, E., Otri, S., Rahim, S., and Zaidi, M. 2011. “The Bees Algorithm–a Novel Tool for Complex Optimisation,” In Intelligent Production Machi-nes and Systems-2nd I* PROMS Virtual International Confe-rence, 3-14 July 2006, Cardiff, UK.

28. Pham, D. T., Kalyoncu, M. 2009. “Optimisation of a Fuzzy Logic Controller for a Flexible Single-Link Robot Arm Using the Bees Algorithm,” In 2009 7th IEEE International Confe-rence on Industrial Informatics, 23 - 26 June 2009, Cardiff, UK., p. 475-480.

29. Pham, D. T., Koc, E., Kalyoncu, M., Tınkır, M. 2008. “Hi-erarchical PID Controller Design for a Flexible Link Robot Manipulator Using the Bees Algorithm,” In Proceedings of 6th International Symposium on Intelligent Manufacturing Systems, 14-17 October 2008, Sakarya, Turkey, p. 757-765. 30. Sen, M. A., Kalyoncu, M. 2015. "Optimisation of a PID

Cont-roller for an Inverted Pendulum Using the Bees Algorithm," Applied Mechanics and Materials, vol. 789-790, p. 1039-1044. 31. Şen, M. A., Kalyoncu, M. 2016. “Optimal Tuning of a LQR

Controller for an Inverted Pendulum Using The Bees Algo-rithm,” Jounal of Automation and Control Engineering, vol. 4 (5), p. 384-387.

32. Pham, D. T., Castellani, M. 2013. “Benchmarking and Com-parison of Nature-Inspired Population-Based Continuous Op-timization Algorithms,” Soft Computing - A Fusion of