Genelleştirilmiş inverslerin aşikar ifadeleri ve işaretli genelleştirilmiş inversli matrisler

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSLERİNLERİN

AŞİKAR İFADELERİ VE İŞARETLİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ

İNVERSLİ MATRİSLER

FUNDA ÖZDEMİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSLERİNLERİN

AŞİKAR İFADELERİ VE İŞARETLİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ

İNVERSLİ MATRİSLER

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

Konya-2008

Bu tez 10.03.2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir

Yrd.Doç.Dr. Hasan Köse Prof.Dr. Durmuş Bozkurt Yrd. Doç.Dr. Necati Taşkara (Danışman) (Üye) (Üye)

Yüksek Lisans Tezi

GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSLERİN AŞİKAR İFADELERİ VE İŞARETLİ GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVERSLİ MATRİSLER

Funda ÖZDEMİR Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman Yrd.Doç.Dr. Hasan KÖSE

2008, 42 Sayfa

Jüri

Prof.Dr. Durmuş BOZKURT Yrd.Doç.Dr. Necati TAŞKARA

Yrd.Doç.Dr. Hasan KÖSE

Bu çalışmada “İşaretli Genelleştirilmiş Tersli Matrisler”

[ ]

1 , ”İşaretli Genelleştirilmiş Tersler Üzerinde Bir Problemin Çözümü“

[ ]

2 , ” Matrislerin Sıfırdan Farklı Girişlerinin Sayısı”

[

2

S NS

]

3 , ” Devirsiz İkili Graflı Matrislerin Moore- Penrose Tersleri”

[ ]

4 adlı makaleler dört bölüm olarak derlenmiştir.

Birinci bölümde çalışmada kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde işaretli genelleştirilmiş tersleri olan matrislerin özelliklerinin üç uygulaması incelenmiştir.

Üçüncü bölümde n.mertebeden matrislerin sıfırdan farklı girişlerinin sayısı için kesin sınırlar ve eşitliğin karekterizasyonu incelenmiştir.

2

S NS

Son bölümde Asiklik ikili Graphlı matrislerin, Moore-Penrose tersleri verilmiştir. Bazı sonuçlar ile bir Asiklik ikili graph’taki gerek ve yeter koşullar verilmiştir.

.

Anahtar Kelimeler: Moore–Penrose Tersi, İşaret Model, İşaretli Genelleştirilmiş Ters, Asiklik İkili Graph

Master Thesis

Explicit Expression of Generalized İnverses and

Matrices with Signed Generalized İnverses

Funda ÖZDEMİR Selçuk Universty

The Institute Of Natural And Applied Science Deparment Of Mathematics

2008, 42 pages

Supervisor: Assist.Prof.Dr. Hasan Köse Jury:

Prof.Dr.Durmuş BOZKURT

Assist.Doç.Dr. Necati TAŞKARA Assist.Doç.Dr. Hasan KÖSE

This study consist of four sections and investigated three articles title “Matrices signed generalized inverses”

[ ]

1 ,”The solution of a problem on having signed generalized inverses”

[ ]

2 ,”Number of nonzero entries of 2 matrices”

S NS

[ ]

3 ,“The Moore-Penrose inverse of matrices with an acyclic bibartite Graph”

[ ]

4 .

In the first section, we gave basic definitions and the theorems.

In the second section, three applications of properties of matrices with signed generalized inverses have been investigated.

In the third section, sharp bounds for number of nonzero entries of matrices of order and characterization of equality have been investigated.

2

S NS

n

In the last section, Moore- Penrose inverses of acyclic bipartite graphs are given. Some results and necessary and sufficient conditions in an acyclic bipartite graph are given

Key words : Moore–Penrose Inverse, Sign Pattern, Signed Generalized Inverse, Acyclic Bibartite Graph

Bu çalışma bir derleme olup Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim üyesi Yrd.Doç.Dr. Hasan KÖSE yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde genel tanımlar, işaretli genelleştirilmiş terslerle ve graphlarla ilgili tanım ve bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde işaretli genelleştiriliş tersli matrislerin özellikleri ve işaretli alt matrisler incelenmiştir.Üçüncü bölümde tamamen ayrıştırılamayan Formda, . Mertebeden matrislerin sıfırdan farklı elemanlarının sayısı üzerinde kesin sınırlar belirlenmiştir. Dördüncü bölümde asiklik ikili graphların, Moore-Penrose terslerin bir tanımını elde etmek için nasıl kullanılabileceği sunulmuştur ve bir asiklik ikili graph’ daki yeterli ve gerekli koşullar işaretli genelleştirilmiş terslerlerle ilişkilendirerek verilmiştir.

n S NS2

Bu çalışma süresince benden yardımlarını esirgemeyen değerli danışmanım Sayın Yrd.Doç.Dr Hasan KÖSE ‘ ye ve katkılarından dolayı hocalarım Sayın Prof. Dr Durmuş BOZKURT , Sayın Yrd .Doç. Dr. Necati TAŞKARA’ya ve aileme teşekkürlerimi ve saygılarımı sunuyorum.

Funda ÖZDEMİR Konya 2008

SEMBOLLER

sgn A : A Matrisinin İşaret Modeli

( )

Q A : A Matrisinin Kalitatif Sınıfı

( )A

ρ : A matrisinin terim rankı

A+ : A matrisinin Moore-Penrose (genelleştirilmiş) tersi

T

A : A matrisinin transpozu det A : A matrisinin determinantı

( )

D A : A matrisinin di-Graphı

, m n

K : m ve n köşeli ikili Graph

[ ]

,

A γ δ : A matrisinin alt matrisi ( )

r

N A : A matrisinin satır sayısı ( )

c

N A : A matrisinin sütun sayısı

( )

k

M B : B deki k tane kenar içeren eşleştirmelerin ailesi

İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1. Genel Tanımlar..……… 1

1.2. Genelleştirilmiş Tersli Matrisler..……….………. 2

1.3. İşaretli Genelleştirilmiş Tersli Matrisler………... 2

2. İŞARETLİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TERSLERİ OLAN MATRİSLER …………. 9

2.1. İşaretli Genelleştirilmiş Tersler ve L Matrisler ……… 9

2.2. Matrislerin İşaret Sırası Ve İşaretli Alt Matrisler……….………... 11

2.3. Tam Sütun(Satır) Terim Ranklı Matrisler İçin İşaretli Genelleştirilmiş tersler…. 18

3. 2 MATRİSLERİN SIFIRDAN FARKLI ELEMANLARININ SAYISI …….. S NS 19 3.1. Tamamen Ayrıştırılamaz 2 Matrisler İçin Sınırlar………... S NS 19 3.2. İşaretli Genelleştirilmiş Tersli Matrislerle Hadamard Çarpımı………... 23

4. ACYLİC İKİLİ GRAPHLI MATRİSLERİN MOORE-PENROSE TERSLERİ… 25 4.1. Asiklik İkili Graphlı Matrisler İçin Moore-Penrose TerslerinBirFormülü……… 25

4.2. Bir Asiklik İkili Graphdaki Gerekli ve Yeterli Koşullar……... 31

KAYNAKLAR ………..…………..………... 43

1. GİRİŞ

1.1. Genel Tanımlar

İşaretli genelleştirilmiş tersler Lineer Cebirde oldukça yaygın bir biçimde kullanılmakta ve üzerinde çalışılmaktadır.

Bu çalışmada matrislerin işaretli genelleştirilmiş terse sahip olmaları ile ilgili özellikler incelenmiştir. n. mertebeden (genel) bir _{S NS matrisinin, sıfırdan} 2

farklı elemanlarının sayısı üzerinde kesin üst sınırlar belirlenmiştir. Devirsiz ikili grafların, Moore-Penrose terslerin bir tanımını elde etmek için nasıl kullanılabileceği sunulmuştur ve bir devirsiz ikili graftaki yeterli ve gerekli koşullar işaretli genelleştirilmiş terslerlerle ilişkilendirerek verilmiştir.

Tanım 1.1.1. (İşaret model)

A reel matrisinin işaret modeli; her elemanı, o elemanın işaretiyle değiştirilerek A matrisinden elde edilen (0,1, 1)− matrisidir.

Tanım 1.1.2. (Kalitatif sınıf)

İşaret modeli A ile aynı olan reel matrisler kümesi A ’nın kalitatif sınıfı olarak adlandırılır ve ( )Q A ile gösterilir.

Q A( )=

{

B: sgn( )B =A

}

biçiminde yazılabilir.

Tanım 1.1.3.(Terim rank)

ρ( )A ile gösterilen, A matrisinin terim rankı; A ’nın ikisi aynı satır veya sütunda bulunmayan sıfırdan farklı en çok elmanı bulunduran kümesinin eleman sayısıdır.

A bir m n× (0,1, 1)− matris olsun. ( )Q A kalitatif sınıfında matrislerin ranklarını göz önünde bulunduralım. A ’nın terim rankı, onun determinantı sıfıra özdeş olmayan kare alt matrisinin en büyük mertebesine eşittir.

Açıkça Q A ’ daki en büyük ranklı matrisin rankı, A ’nın terim rankına eşittir. ( ) Tanım 1.1.4.

Eğer A matrisin rankı, A ’nın satırlarının veya sütunlarının sayısına eşitse, A matrisinin “tam satır veya tam sütun rankı” vardır denir.

Tanım 1.1.5. (L-Matris)

( )Q A ’daki her matris lineer bağımsız sütunlara sahip ise A matrisine L-matris denir. Örnek olarak;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ matrisini gösterebiliriz.

1.2. Genelleştirilmiş Tersli Matrisler

A , bir m n× reel matris olsun. bir n m× reel matris X aşağıdaki koşulları sağlıyorsa, X ’ e A ’ nın genelleştirilmiş tersi (veya Moore-Penrose tersi ) denir ve GI şeklinde kısaltılır.

_{AXA A= , XAX = X , (AX)}T _{= AX , (XA)}T _=XA

İyi bilinir ki, her A matrisi için, A ’nın GI’ sı vardır ve tektir. A+ _ile

gösterilir. A , tersi alınabilir kare matris ise, o zaman _A+ _{= A}−1_{’ dir.}

1.2.1. Moore-Penrose tersin özellikleri

( ) ( )

1. 0 0 2. 0 0 T T A A A A B B + ₊ + + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3.

(

,0

)

0 A A + + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

4. A lineer bağımsız sütunlara sahip ise _A+ ₌

( )

_{A A}T −1_AT _olur.

[ ]

₁

1.3. İşaretli Genelleştirilmiş Tersli Matrisler

A bir reel matris olmak üzere, ( )Q A ’daki her B matrisi için sgnA+ =sgnB+ ise A ’nın işaretli genelleştirilmiş tersi vardır. Basitçe A ’nın işaretli GI’ sı vardır veya A+ _{işaretlidir denir.}

Tanım 1.3.1. SNS (İşaret Tekil Olmayan) Matris

A kare reel matris olmak üzere, Q(A)’ daki her matris tekil değil ise, A işaret tekil olmayan matris olarak adlandırılır ve SNS matris diye kısaltılır.

Q A ’daki matrislerin terslerinin, hepsinin işaret modeli aynı ise, SNS olan ( ) A matrisine “Güçlü SNS Matris” denir ve _{S NS matris diye kısaltılır.} 2

Örnek 1.3.1. n, tamsayı ve n≥2 olmak üzere,

1 1 0 . . . 0 0 1 1 1 . . . 0 0 1 1 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . -1 -1 -1 . . . -1 1 -1 -1 -1 . . . -1 -1 H n − ⎛ ⎞ ⎜_{− −} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.1)

Hessenberg matrisi SNS matristir.

[ ]

5

Lemma 1.3.1.

( )ρ A < ⇔ A ’ nın determinantı sıfıra özdeştir Bütün n A Q A∈ ( ) için detA~=0

olur.

[ ]

1

Lemma 1.3.2.

A matrisi SNS matris olmak üzere;

_{A işaretlenmiştir}+ _{⇔ A S NS matristir,} 2 _.

Aslında A , n.mertebeden bir kare reel matris ve ( )ρ A =n ise bu ifade _{A işaretlenmiştir}+ _{⇔ A S NS matristir,} 2 şeklinde söylenebilir.

[ ]

1 Örnek1.3.2. 1 1 0 1 1 1 2 1 1 A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = −_⎢ − _⎥ ⎢− − − ⎥ ⎣ ⎦

matrisi SNS matristir. A ile aynı işaret modeline sahip

1 1 0 1 1 1 1 1 1 B − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = −_⎢ − _⎥ ⎢− − − ⎥ ⎣ ⎦

matrisini göz önüne alırsak, A ile B ’nin terslerinin elemanlarının işaretleri farklıdır ve A , _{S NS matris değildir.} 2

Örnek1.3.3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 A ⎡ ⎤ ⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦

olsun. Gerçekten A bir _{S NS matristir ve ( )}2 _{Q A ’daki her matrisin tersinin}

işaret modeli 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢₋ ⎥ ⎣ ⎦ şeklinde yazılır. Örnek1.3.4. 1 1 1 1 0 1 0 1 1 A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olsun. A bir _{S NS matristir ve Q(A) ‘daki her matrisin tersinin işaret modeli} 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 B − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦ şeklindedir. 1.4 Graflar Tanım1.4.1 (Graflar)

Bir G grafı, köşeler kümesini ve kenarlar E kümesini (köşelerin sıralı olmayan çiftlerinin koleksiyonunu) içerir.

Bir graf sembolik olarak G=( , )V E ile gösterilir. Bir grafın mertebesi, onun köşelerinin sayısıdır ve genişliği onun kenarlarının sayıdır.

Tanım 1.4.2. ( Bir Matrisin Digrafı )

Bir “yönlü Graf” veya “Digraf” sonlu bir köşeler kümesi V ve ayrık köşelerin sıralı çiftlerinin bir kümesini (yay ) içerir.

{ }

u v, yönlü çifti bir a yayı ise , a yayı u dan v ye yönlüdür denir. Bu bağlamda a yayı u köşesinden bitişiktir ve

v köşesine bitişiktir. Her yay belli bir yönde iki köşe ile birleşir.

A ’nın birleşik digrafı ( )D A , nokta kümesi V =

{

1, 2,...,n

}

ve yay kümesi

{

( , )i j a_ij ≠0,i≠ j

}

olan (köşeleri 1, 2,..., n ) ve i köşesinden j köşesine ancak ve ancak i≠ ve j a_ij ≠ ise ( , )0 i j yayı bulunan n. mertebeden digraf olarak tanımlanır.A ’nın birleşik işaretli digrafı ( )S A , a ’nin işaretini _ij D A ’daki her ( ) yaya devrederek, D A ’dan elde edilir. ( )( ) D A digrafı A ’nın ana köşegenindeki elemanlardan bağımsızdır. Örnek 1.4.1. 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ olsun.

A’nın digrafı şekil 1.1 de gösterilmiştir.

Şekil 1.1 : A ’nın digrafı 1 2 4 6 7 5 3

Tanım1.4.3.( İkili Graflar)

Bir “ikili graf”, köşelerinin kümesi X ve Y diye iki kümeye ayrılabilen ve her kenar X de bir köşe ve Y de bir köşe arasında olan bir basit graftır Tanım1.4.4. (Tam ikili graf )

K , _n n köşeli , her köşe çifti tam olarak bir kenar ile birleşen bir graftır. Bir köşeli ve kenarsız K grafı aşikar graf olarak bilinir. Tam İkili graf ₁ K_{m n,} , X de m köşeli ve Y de n köşeli, X de her köşe ve Y de her köşe arasında bir kenar olan ( , , )X Y E grafıdır.

Şekil 1.2: İkili graf örneği

Tanım1.4.5.( İşaretli digraf )

D , mertebesi n ve köşeleri 1, 2,..., n olan bir digraf olsun. D ’nin i köşesinden j köşesine k≥0 uzunluğundaki α yolu , farklı köşelerini i i= _{0 1}, ,...,i_k−1,i_k = j dizisidir. Öyle ki; _{p=1, 2,...,k}2 _için

1

(i_p− , )i_p , D ’nin bir yayıdır ve α yolunu

0 1 ... k 1 k

i → → →i i ₋ → ile gösteririz. i

k ≥1 uzunluğundaki D ’nin bir yönlü deviri γ , köşelerin j j₁, ,...,₂ j_k = j₁ dizisidir. Öyle ki j j₁, ,...,₂ j farklıdır ve _k q=1, 2,...,k için ( ,j j_{q q+1}) D ’nin bir yayıdır.

γ yönlü devri j₁→ j₂ → →... j_k → ile gösterilir. j₁ k=0 olmasını ve böylece bir köşenin yolunu yaysız kabul ettiğimize dikkat edin . Böyle bir yola boş yol denir.

Her farklı u ve v köşe çifti için D ’ de u ’dan v’ye ve v’den u’ya bir yol varsa, D digrafı güçlü bağlanmıştır.

( )D A grafının her bir ( , )i j yayı için, sgna sayısını saptayabiliriz, ve sonra _ij A ’nın işaretli digrafından söz edebiliriz. ( , )i j yayının işareti, sgna olarak _ij tanımlanır. Hiçbir yayın işaretinin sıfıra eşit olmadığına dikkat ediniz.

α , k uzunluğunda i ’den j ’ye i i= → → →₀ i₁ ... i_k−1→ = i_k j olsun.

α ’ nın işareti;

signα =signa a_{i i0 1 i i1 2}...a_{i ik−1k}

şeklindedir ve yayların işaretlerinin çarpımına eşittir. Sıfır uzunluğundaki bir yolun işareti (boş çarpım olarak ) +1 olarak tanımlanır. γ , k uzunluğunda yönlü devir

1 2 ... k 1

j → j → → j → olsun. Yönlü devir j γ ’ nın işareti

1 2 2 3... k1k k1

j j j j j j j j

signγ =signa a a ₋ a olur ve yayların işaretlerinin çarpımına eşittir. Tanım 1.4.6.

Bir işaretli digraf S, aşağıdaki 2 koşulu sağlarsa , S ye bir _{S NS} 2

işaretli digraf denir.

1. S’ nin her devrinin işareti negatiftir

2. S’ deki aynı ilk ve son tepe noktalı yol çifti aynı işaretlidir. Tanım 1.4.7.

A a= _ij, n. mertebeden bir kare reel matris olsun. A ’nın birleşik digrafı ( )

D A , nokta kümesi V =

{

v₁,....,v_n

}

ve yay kümesi

{

( )

i,j a_ij ≠ ,0 i ≠ j

}

olan digraf olarak tanımlanır. A ’nın birleşik işaretli digrafı ( )S A , a ‘nin işaretini _ij

( )

2.İŞARETLİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TERSLERİ OLAN MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ

2.1 İşaretli Genelleştirilmiş Tersler ve L Matrisler Lemma 2.1.1.

ρ(A)=n olmak üzere , n. mertebeden reel A matrisini alalım. A , SNS matris değilse , ( )Q A ’da tersinir A₁ ve A₂ matrisleri vardır. öyle ki indisler 1≤ ≤p n ve 1≤ ≤ olmak üzere, q n

( ) ( )

1 1 1 _qp 2 _qp 0 A− A− < olur.

[ ]

1 İspat:

ρ(A)=n olsun. ( )Q A ’da tekil olmayan B matrisi vardır. A , SNS olmadığından ( )

Q A ’nın bir elemanı olan tekil C matrisi de var olur . Genel olarak B ‘yi C’den ( ( , )p q için 1≤ ≤p n ve 1≤ ≤ olmak üzere) q n

( )B _pq =b C, ( )_pq =c ve b c≠

pozisyonunda farklı kabul edebiliriz. bu nedenle ,

{ } { }

det det det

( 1) ( ) det 0 B B C p q b c B p q = − + _{⎡ ⎤} = − − _{⎣ ⎦}≠ (2.1)

olur. Şimdi 0< <ε c ve A_i = + −C ( 1) 1, 2iε E_pq

(

i=

)

alalım.

( )Q A ’da tersi alınabilen A₁ ve A₂ matrisleri vardır.Öyle ki ( , )p q elemanları 1 ve diğer tüm elemanları 0 dır. detA_i = −( 1)i p q+ + ∈detA_i⎣⎡

{ } { }

p q _⎦⎤ (i=1, 2) (2.2) buradan ( 1) 1 ( 1) i qp i A

ε

− ₌ − elde ederiz ve 1 1 1 2 2 1 (A ) (_qp A )_qp 0 ε − − _{= − < olur.}

Lemma 2.1.2.

A , m n× matris ve ( )ρ A = olsun. A matrisi işaretli genelleştirilmiş terse sahip n ise A , L matristir.

[ ]

1

İspat:

B , ρ( )B = olmak üzere n n.mertebeden bir kare matris iken A B C ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ olduğunu varsayalım. B ’ nin SNS matris olduğunu gösterirsek; A ’nın L matris olduğunu göstermiş oluruz. Olmadığını varsayarsak ; lemma2.1.1 e göre ( )Q B ’nin elemanı olan, tersi alınabilen B₁ve B₂matrisleri vardır

(indisleri p,q .için 1≤ ≤p n ve 1≤ ≤ ) öyle ki; q n

( ) ( )

1 1

1 _qp 2 _qp 0

B− B− _{< (2.3)}

olur. Şimdi yeter mertebede küçük ε >0alalım ve

( )

i i B A C ε ε ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (i=1,2)

alalım. Sonra, A_i

( )

ε ∈Q A

( )

’ dır ve (1.2.1.) Moore-Penrose tersin özelliklerinden dolayı

A_i

( )

ε + =

(

A_i

( ) ( )

ε T A_i ε

)

−1A_i

( )

ε T (i=1,2) elde edilir. Diğer taraftan,

(

( ) ( )

)

(

2

)

(

)

2

0 0

lim det T lim det T T det 0

i i i i i

A A B B C C B

ε→ ε ε =ε→ +ε = ≠

Böyle olduğu için A_i

( )

ε ∈Q A

( )

, kafi derecede küçük ε için ε ‘ un sürekli bir

fonksiyonudur. Bu nedenle, _lim

( )

( )

₀

(

_,0

) (

1_,0

)

0 i i i i i B A ε A B B + + + ⎛ ⎞ _{+ −} = =_{⎜ ⎟} = = ⎝ ⎠ (i=1, 2)

Şimdi (2.3) den dolayı, ε>0 için sgnA₁

( )

ε + ≠sgnA₂

( )

ε + olur. Bundan dolayı A işaretli genelleştirilmiş terse sahip değildir. A₁

( )

ε ve A₂

( )

ε , her ikisi de

( )

2.2. Matrislerin İşaret Sırası ve İşaretli Alt Matrisler Lemma 2.2.1.

A= ⎣ ⎦ negatif ana köşegeni olan ⎡ ⎤a_ij n.mertebeden bir SNS matris olsun ve r ile s 1≤r s n, ≤ koşulunu sağlayan farklı tamsayılar olsun. ( )Q A ’ da A matrisi vardır. Öyle ki _A−1_{’in ( , )r s girişi pozitiftir, sırasıyla negatiftir, ancak ve ancak}

( )

D A işaretli digrafında r ’den s’ye bir negatif, sırasıyla pozitif, yol vardır.

[ ]

5

Teorem 2.2.1.

A köşegen tüm köşegen elemanları negatif olan bir kare reel matris olsun. A ,

2

S NS matristir⇔ A ‘nın birleşik işaretli digrafı bir _S2_{NS digraftır.}

[ ]

₁

Tanım2.2.1.

( Permütasyon Denk) A ve B m n× matrisleri olmak üzere , Eğer A , satır ve sütunlarının yerleri değiştirilerek B ’ e dönüştürülebiliyorsa, A ve B ’ e permütasyon denk denir.

Tanım 2.2.2 1 2 0 A B A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ biçimindeki matrisin permütasyon denk’ i ise A1 ve A2 kare

matrisler olmak üzere, A kare matrisine “kısmi ayrıştırılabilir” denir. Bir matris kısmi ayrıştırılabilir değilse, tamamen ayrıştırılamazdır.

İyi bilinir ki, eğer A en fazla terim ranklı bir kare matris ise, A aşağıdaki tamamen ayrıştırılamaz normal forma permütasyon denktir.

1 21 2 1 2 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . k k k A B A B B A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2.4)

Teorem2.2.2.

A= ⎣ ⎦ matrisi negatif ana köşegeni olan, ⎡ ⎤a_ij n. mertebeden bir SNS matris olsun ve r ile s , 1≤r s n, ≤ koşulunu sağlayan farklı tamsayılar olsun.

(i)

{

_A−1_{:A Q A∈ ( )}

}

_{’da ki matrislerin ( , )s r konumundaki elemanları aynı}

işaretlidir ancak ve ancak ( )D A işaretli digrafındaki r ’den s’ye tüm yollar aynı işarete sahiptir.

(ii) ( )D A ’da ki s'den r ’ye tüm yollar aynı işarete ε ’a sahipse ,

{

_A−1_{:A Q A∈ ( )}

}

da ki matrislerin her birinin ( , )s r konumundaki elemanların işareti −ε dır. (buradaε s’den r ‘ye yol yoksa sıfır olarak tanımlanmıştır.)

(iii)Eğer A tamamen ayrıştırılamaz ve a_rs ≠ ise, o zaman 0

{

_A−1_{:A Q A∈ ( )}

}

_’da

ki matrislerin her birinin ( , )s r konumundaki elemanının işareti

a

rsdir.

[ ]

5

Örnek2.2.1

(1.1) deki Hessenberg matrisi n=5 için

₅ 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H − ⎡ ⎤ ⎢_{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − − − ⎢_{− − − −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢_{− − − − −} ⎥ ⎣ ⎦ şeklindedir.

Q H( ₅) deki her matrisin tersinin işaret modeli

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 1 1 1 * * 1 1 1 * * * 1 1 − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ _{− − − −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − − ⎥ ⎢ _{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ şeklindedir.

Tanım 2.2.3.

Her i=1,...,m ve j=1,...,n için

b

_ij

≤

a

_ij ise; B , A ’dan işaret majördür. denir ve B A≤ ile gösterilir.

Şunu görmek kolaydır ki: B A≤ ancak ve ancak B , ˆA Q A∈

( )

‘ dan ˆA ’ nın bazı sıfırdan farklı girişleri sıfırla değiştirilerek elde edilir.

Lemma 2.2.2.

S_n(m),

[ ]

m ’nin tüm alt kümelerinin bir kümesi ve eleman sayısı nolsun. Eğer T , tamsayıların sonlu bir kümesi ise ve q T∈ , T ’ nin içindeki a’ ya eşit yada

q ’dan küçük olan elemanlarının sayısını ( , )N q T ile gösteririz.

A , bir m n× matris olsun. A lineer bağımsız sütunlara sahip ve p ile q tamsayı olsun. 1≤ ≤p n , 1≤ ≤ q n olduğunda, S_A =

{

T S m∈ _n( ) A T⎡_⎣ : ⎤_⎦ tersi alınabilir

}

(2.5)

( )

( )

( )

( )

{ } { } 1 ( , ) 1 : det det : det \ g p N q T A _{pq T} T q T S A A _A A T A T p ε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ × _{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} − + _{= ∑ −} ∈ (2.6) şeklindedir.

Eğer A

[ ]

Tl: -nın tersi alınabiliyorsa,

[ ]

( )

[ ]

{ } { }

( , ) 1 , ( , ) 1 : det \ q det : p N q T p N q T A T A T p A T + − − _{⎡ ⎤} Ι = _⎣ Ι _⎦ Ι

olduğu için (3.2) tekrar şu şekilde yazılabilir.

( )

( )

[ ] [ ]

1 2 : _{, ( , )} 1 det : : det A T pq T q T S _{p N q T} A A T A T A A − + ∈ ∈ =

∑

Ι Ι (2.7)

(_{A A pozitif tanımlı matris , det(}T _{A A}T _{) 0> )}

Örnek 2.2.2. 1 1 1 1 0 1 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olsun . A bir L matristir ve A Q A∈ ( ) için, a b c d pozitif sayıları vardır. , , , Öyle ki; 0 a b A c d e ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

şeklindedir. Öyleyse (2.6) dan 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 det T ( ) e b d ad cbd cb dab A A A _{acd bc be cab da de} c ab cd + ₌ ⎡ − − + ⎤ ⎢ _{− +} ⎥ − + + − + + ⎣ ⎦ olur.

Böylece, A+’nın (1,3) ve (2,3) elemanlarının işaretli olduğu görülür ve A+’nın başka hiçbir elemanı işaretli değildir.

Teorem 2.2.3.

( )

ij

A= a , m n× matris ve ρ( )A = olsun. n _{A işaretlenmiştir} + _{⇔ A matrisi}

1) A ’nın mertebesi n olan her alt matrisinin determinantı sıfıra özdeştir (B , A ’nın alt matrisi olmak üzere ( )Q B ’deki her matrisin determinantı sıfırdır) yada

2

S NS matristir.

2) Her ,p q ve her T T ikilisi için ₁ , ₂ q T∈ ∈_i S_A (i=1, 2) olmak üzere (1≤ ≤p n , 1≤ ≤ ) q m 1 2 1 , ( , ) : 0 i i i p N q T A T − = ⎡ ⎤ ≥ ⎣ ⎦

∏

(2.8) koşullarını sağlar.

[ ]

1

Lemma 2.2.3.A , n.mertebeden _{S NS matris olsun. B} 2 _{≤A ve ρ}

( )

_{B =n ise}

B , _{S NS matristir ve} 2 _B−1_≤A−1_dir.

[ ]

₁

İspat:

B ’nin köşegenindeki elemanların negatif olduğunu varsayalım. A , 2

S NS matris ve onun birleşik işaretli digrafı S A da ( ) 2

S NS işaretli digraftır.( teorem 2.2.1’den) Fakat ( )S B , ( )S A ’nın işaretli alt digrafıdır. B ≤A olduğu için S B de ( ) 2

S NS işaretli digraftır ve bu nedenle B ,

2

S NS matristir.

Daha sonra , _B−1_{≤ A}−1 _{olduğu gösterilir. Açıkça,}

( ) ( )

1 1

ii ii

B− _≤ A− _{(i=1,.., )n}

olur.Çünkü

( ) ( )

1 1

ii ii

B− ve A− ’ in elemanlarının hepsi negatiftir.Şimdi varsayalım ki , bazı i≠ için j

( )

1

0

ii

B− ≠ olsun.Öyleyse, teorem 2.2.2 den

( )

1

sgn

ii

B−

− = ( )S B

ifadesinde ki i ’den j ’ye bütün yolların ortak işareti ( )S A ’ daki i ’den j ’ ye bütün yolların ortak işareti _sgn

( )

1

ij

A−

− olur. Buradan

( ) ( )

1 1

ij ij

B− _≤ A− _elde

edilir.(Her ,i j için i≠ ) j _B−1_{≤ A}−1 _{elde edilir.}

Teorem2.2.4.

A , m n× matris öyle ki , A+ _{işaretlenmiş olsun. B A≤ ve ρ}

( )

_{B =n}

olduğunu varsayalım . Öyleyse B+ işaretlenmiştir ve B+≤ A+ dır.

[ ]

1

İspat:

B+_{’nın işaretli olduğunu göstermek için öncelikle teorem2.2.3’ü kullanırız.} 1

B , B ’nin boyutu n olan ve ρ( )B1 = koşuluna uyan bir alt matrisi olsun. n A de 1

A ’nın aynı şartları taşıyan alt matrisi olsun . B1≤ ve A1 ρ( )A1 = olduğundan n 1

A , _{S NS dir. Çünkü} 2 _{A işaretlidir . Buradan A , teorem 2.2.3’ün (1).} +

koşulunu sağlar.

Lemma 2.2.3’ den , şu söylenebilir ki B , 1 2

S NS matris ve bu nedenle B de teorem2.2.3’ ün (1) . koşulunu sağlar.

Şimdi B ’nin teorem 2.2.3’deki (2). Koşulu sağladığını kanıtlayalım. A ,

teorem 2.2.3’ ün (2). Koşulunu sağladığında ,S_B ⊆S_A olur ve

Diğer taraftan , B T⎡ ⎤ ≤ ⎡ ⎤_{⎣ ⎦i} : A T_{⎣ ⎦i} : (i=1,2) olduğundan lemma 2.2.3.’den ,

B T⎡ ⎤ ≤ ⎡ ⎤_{⎣ ⎦i} : −1 A T_{⎣ ⎦i} : (i=1,2)-1 (2.9) (2.8),(2.9) ve “b1≤ ve a1 b2 ≤ ise a2 b b1 2≤a a1 2” ifadesinden, 1 2 1 , ( , ) : 0 i i i p N q T B T − = ⎡ ⎤ ≥ ⎣ ⎦

∏

olur.

Bu nedenle , B teorem 2.2.3’ ün (2). koşulunu sağlar. Ve B+ _{işaretlidir. Şimdi}

her p q tamsayı çifti için , , 1≤ ≤p n , 1≤ ≤ ve q m q T S∈ ∈ B ⊂SA olmak üzere

lemma 2.2.3 ile B T⎡ ⎤ ≤ ⎡ ⎤_{⎣ ⎦}: A T_{⎣ ⎦ olur, ve böylece} : B T⎡_⎣ :⎤ ≤ ⎡_⎦−1 A T_⎣ : ⎤_⎦-1

eşitsizliği yazılır.Bu yüzden (2.7) yi A ve B için kullanarak, şu sonuca varılır. ( )B +_{pq ≤}( )A +_pq (1≤ ≤p n , 1≤ ≤ olan ,q m ∀ p q için) Buradan B+ _≤A+ _olur. Teorem2.2.5. A B 0 C D ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ , ρ( )B =N B vec

( )

( )ρ D =N Dr

( )

koşuluna uyan bir matris olsun.

A+_{’nın işaretlenmiş olduğunu varsayalım. Öyleyse} 1

A ≤ ve A ρ( )A₁ =ρ( )A şartını sağlayan herhangi bir A₁ matrisi için, A₁+ _{de işaretlenmiştir ve}

1

Teorem 2.2.6.

A ve A₁ , A1≤ ve A ρ

( )

A1 =ρ

( )

A koşulunu sağlayan iki m n× matris

olsun. ( n m≤ ) A+ _{işaretlenmiş ise} 1

A+ _{işaretlenmiştir ve} 1

A+ _≤ A+ _dır.

[ ]

₁

Teorem2.2.7.

B , A ’nın ρ

( )

A =ρ

( )

B koşulunu sağlayan bir alt matrisi olsun A+ işaretlenmiş ise , B+_{da işaretlenmiştir.}

[ ]

₂

İspat: A B F C D ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ve 1 0 0 0 B A = ⎜⎛ ⎞_⎟ ⎝ ⎠

alırsak A1≤ ve A ρ

( )

A1 =ρ

( )

B =ρ

( )

A olur. Böylece teorem 2.2.6 ileA1 +

işaretlenmiştir ve bu yüzden B+ _{işaretlenmiştir.}

Şunu fark ediyoruz ki , teorem 2.2.7 ρ

( )

A =ρ

( )

B varsayımını almazsak doğru olmaz. Örneğin;

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ve 1 1 1 1 B_{= ⎜}⎛ ⎞_⎟ ⎝ ⎠

A, _{S NS matris olduğu halde B ,} 2 _{S NS matris değil bu yüzden A}2 +_işaretlidir

fakat B+ işaretli değildir.

2.3 Tam Sütun(Satır) Terim Ranklı Matrisler için İşaretli Genelleştirilmiş Tersler

Teorem2.3.1.

Hem B hem D tam sütun terim ranklı olmak üzere , A B 0

C D

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

İspat: A+ işaretli olsun . 1 0 0 B A A D ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟}≤ ⎝ ⎠

alalım. Teorem 2.2.6 ile 2.2.7 dan hem B+ , hem D+ işaretlidir Lemma 2.3.1.

B tam sütun ranklı ve D tam satır ranklı olmak üzere, A B 0

C D

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

bir reel matris olsun. O zaman, A B 0 D CB D + + + + + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ şeklinde olur.

[ ]

2 Teorem 2.3.2.

B tam sütun terim ranklı ve D tam satır terim ranklı olmak üzere, A B 0

C D

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

bir reel matris olsun.Öyleyse A+ _{işaretlidir ⇔ hem B}+ _{, hem D}+ _{işaretli ve}

1, 2, 3 4

n n nve n

Ι Ι Ι Ι

uygun boyutlarda birim matrisler olmak üzere

1 2 3 4 0 0 0 n n n n D o C o o B o o o + + ⎛−Ι ⎞ ⎜ ⎟ −Ι ⎜ ⎟ ⎜ _−Ι ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _−Ι ⎟ ⎝ ⎠ (2.10)

3. _{S NS MATRİSLERİN SIFIRDAN FARKLI ELEMANLARININ SAYISI} 2

3.1 Tamamen Ayrıştırılamaz _{S NS Matrisler için Sınırlar} 2

( )N A , A matrisinin sıfırdan farklı girişlerinin sayısı olsun Lemma3.1.1.

A , her köşegen bloğu Ai, “ tamamen ayrıştırılamaz normal form” içeren

bir _S2_{NS matris olsun. O halde, her kapalı-köşegen bloğu}

(

₁

)

ij

B ≤ j i k≺ ≤ en fazla bir tane sıfırdan farklı köşegen bulundurur.

[ ]

3

Tanım 3.1.1.

Eğer A bir _{S NS matris ise, fakat A ’dan, bir sıfır girişi , sıfırdan farklı} 2

bir girişle yer değiştirerek elde edilen her matris _S2_{NS matris değilse , A}

matrisine “En Büyük _S2_{NS matris” denir.}

Teorem 3.1.1

A , n. Mertebeden tamamen ayrıştırılamaz en büyük _{S NS matris olsun.} 2

Öyleyse N A

( )

=3n−2 dir.

[ ]

3

Sonuç 3.1.1.

A , n. mertebeden tamamen ayrıştırılamaz _{S NS matris olsun . Öyleyse} 2

( )

3 2

N A ≤ n− dir. Ve eşitlik ancak ve ancak A n.mertebeden tamamen ayrıştırılamaz, en büyük _{S NS matris ise sağlanır.} 2

[ ]

₃

Lemma 3.1.2.

1 k n≤ ≤ şartını sağlayan n ve k tamsayıları için aşağıdaki eşitsizlik yazılabilir. 1 ( 5) 1 veya 4 1 ( 5) 2 2 _{2 2 veya 3} n n n n k k n ⎧ _{− = ≥} ⎪ − ≤ ⎨ ⎪− = ⎩ (3.1)

Eşitlik ancak ve ancak n ve k . ( ) 1 4 ( ) 2,3, 4 1 a n k veya n k b n ve k = = = ≥ = =

Örnek 3.1.1.

Aşağıdaki n≥4, n. mertebeden matris, kısmen ayrıştırılabilir, en büyük

2

S NS matris olan ve kaynaklar

[ ]

5 ‘de verilen bir örnektir. 0 . . . 0 1 . . . 0 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ (3.2)

Burada, A ’nın işaretli digrafı ( )S A devirsiz olduğundan ve ( )S A ’nın her yayı pozitif olduğundan, A bir _{S NS matristir. (3.2) matrisinin en büyük} 2

2

S NS olması, teorem 3.1.2 ‘de ki (3.3.) eşitsizliğinin bir sonucu olarak sayılabilir.

Teorem3.1.2.

A , n. mertebeden bir (0,1,-1) _{S NS matris olsun .Öyleyse} 2

( )

(

)

1 1 1 4 2 3 2 2 3 n n _veya n n N A veya n n ⎧ ₊ ⎪⎪ = ≥ ≤ ⎨ ⎪ ⎪ _{− =} ⎩ (3.3)

eşitlik ancak ve ancak aşağıdakilerden biri varsa sağlanır.

1. n≠2,3 ve A , uygun bir şekilde satır ve sütunlarının yerleri değiştirilerek ve işaretlenerek (2.4) formunda bir matrise dönüştürülebilir. 2. A, 2,3 veya 4. mertebeden tamamen ayrıştırılamaz , en büyük _{S NS} 2

matristir.

[ ]

3

İspat:

Önce farz edebiliriz ki A ’nın (2.4) formu vardır öyle ki her köşegen blok

i

A , n i_i

(

=1,...,k

)

mertebeden bir tamamen ayrıştırılamaz matristir. A bir

2

S NS matris olduğu için her A bir tamamen ayrıştırılamaz _{i S NS matristir ve} 2

her B en fazla bir sıfırdan farklı giriş içerir (lemma 3.1.1’ e göre). _ij Böylece sonuç 3.1.1 e göre,

N B

( )

_ij ≤ (1 j i k1 ≤ ≺ ≤ ) olur bu yüzden (3.1)’e göre

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 3 2 1 2 1 3 5 2 k i ij i j i k k i i N A N A N B n k k n k k = ≤ ≤ = = + ≤ − + − = + −

∑

∑

∑

≺

(

)

1 1 1 4 2 3 2 2 3 n n _veya n n veya n n ⎧ ₊ ⎪⎪ = ≥ ≤ ⎨ ⎪ ⎪ − = ⎩ (3.4)

Eşitlik durumu için, yeterlilik kısmı açıktır. Şimdi gereklilik kısmını ispatlayalım,

(3.4) eşitliğin sağlandığını farz edelim. Öyleyse son eşitlik, ( 3.1 )’ in eşitlik durumuna göre ya (a) ya da (b) nin doğruluğu anlamına gelir.

( )

a n k= =1 veya n k= ≥4, veya

( )

b n=2,3, 4 vek=1

eğer (b) doğruysa , o zaman k=1 , A ’nın tamamen ayrıştırılamaz olduğu anlamına gelir.

Böylece eşitlik durumu , A ’nın 2,3 veya 4. mertebeden tamamen ayrıştırılamaz en büyük _{S NS matris olduğunu gösterir.} 2

Eğer (a) doğruysa , o zaman n k= , her köşegen blok A ‘nin 1. mertebeden i

sıfırdan farklı bir matris olduğunu gösterir, ve (3.4)’ ün eşitlik 1 j i k≤ ≺ ≤ yi sağlayan her blok B ’nin , aynı zamanda 1. mertebeden sıfırdan farklı bir ij

matris olduğunu da gösterir. Yani bu durumda A , (2.4) ‘deki matrisle aynı sıfır modeline sahiptir.

Uygun satır ve sütun işaretlemesi ile , farz edebiliriz ki A ’nın her köşegen elmanı -1 dir ve A ’nın ilk sütunundaki tüm kapalı - köşegen girişleri 1 dir. Şimdi _{S NS işaretli digraf S(A) ‘ da 2}2 _{≤ j i n< ≤ şartını sağlayan herhangi bir}

( ) ( )

i j, + j,1 ve

( )

i,1 yolları , aynı ilk köşeyi i ’ ye ve aynı son köşe 1 ‘ e sahiptir. , böylece _{S NS işaretli digrafın tanımından dolayı aynı işarete} 2

sahiptirler.

Bu, yay ( , )i j ’ nin işaretinin 1 olduğu anlamına gelir ve böylece 1≤ j i k≺ ≤ şartını sağlayan tüm kapalı köşegen elemanları B , 1 dir. Yani _ij

A , (3.2) formunda bir matristir. ( uygun satır ve sütun yer değişimleri ve işaretlemeleri yapıldıktan sonra )

Teorem 3.1.3. 1 ( 1) 1 veya 4 ( ) 2 3 2 2 veya 3 n n n n f n n n ⎧ _{+ = ≥} ⎪ = ⎨ ⎪ − = ⎩

fonksiyonu (3.3) eşitsizliğinin sağ taraftaki kısmı olsun. Öyleyse n k≤ ≤ f n

( )

şartını sağlayan her k tamsayısı için, ( )N A = olan k n. mertebeden bir _{S NS,} 2

A matrisi bulunur.

[ ]

3

İspat:

A0 , N A

( )

0 = f n

( )

eşitliğini sağlayan n. mertebeden bir 2

S NS matris olsun. Genelliği kaybetmeden , A ’ın tüm köşegen girişlerinin negatif olduğunu 0

varsayabiliriz.

Şimdi n k≤ ≤ f n

( )

eşitsizliği 0≤ f n

( )

− ≤k f n

( )

−n anlamına gelir. A matrisini , A 0 matrisinden , A0 ın f n

( )

−k kapalı - köşegen sıfırdan farklı

girişlerini ( tüm f n

( )

−n kapalı - köşegen sıfırdan farklı girişler arasında) sıfırla yer değiştirerek elde edilen bir matris kabul edelim. Öyleyse açıktır ki

( )

N A = ve A ’ nın tüm köşegen girişleri negatiftir. Şimdi işaretli digraf ( )k S A bir _{S NS işaretli digraftır. Çünkü o,} 2 _{S NS işaretli digraf} 2

( )

0

S A ’ın bir işaretli alt digrafıdır. Bu nedenle teorem 2.2.1’ den ,

3.2.İşaretli Genelleştirilmiş Tersli Matrislerle Hadamard Çarpımı

Tanım3.2.1. Hadamard çarpımı

A=

( )

a_ij ve B=

( )

b_ij m n× matrisler olsun. A Bο _{= ⎣}⎡a b_{ij ij m n}⎤_{⎦ ×} çarpımına A ve B matrisinin Hadamard çarpımı denir

(

i=1,..., ;m j=1,...,n

)

Teorem3.2.1.

A=

( )

a_ij matrisi işaretli GI‘sı bulunan m n× matris olsun öyleyse _{A A}+_ο T _≥ 0 dır.

[ ]

3

İspat:

n m≤ kabul edelim ( aksi taktirde A yerine _{A yi hesaba katabiliriz)} T

İlk olarak A ’nın _{S NS matris olduğu durumun sonucunun aslında} 2 _lemma 2.2.1 ve teorem 2.2.2’ nin sonucunda bulunduğunu göz önünde bulunduralım. Daha sonra ρ

( )

A =n ve ρ

( )

A ≺n durumlarını göz önüne alalım.

İlk olarak ρ

( )

A =nolduğunu varsayalım. 1 q m≤ ≤ ve 1 p n≤ ≤ yi sağlayan herhangi ,p q alıp,

( )

. _qp 0

pq

A+ a _{≥ olduğunu göstermek istiyoruz. Eğer}

( )

₀

pq

A+ ₌

ise , o zaman sonuç besbelli doğrudur. Bu yüzden

( )

0

pq

A+ _{≠ olduğunu}

varsayalım.

A ’nın satırlarını uygun bir şekilde yer değiştirerek , q= olduğunu 1 varsayabiliriz. , 1∈ ⊆T

{

1,...,m

}

yi sağlayan bir T indeks kümesi bulunur, öyle ki A T⎡ ⎤_{⎣ ⎦ bir} : _{S NS matristir ve} 2

(

1

)

1 : 0 p A T⎡ ⎤_{⎣ ⎦}− ≠ olur. . Böylece

( )

(

1

)

1 ₁ sgn sgn : p _p A+ = A T⎡ ⎤_{⎣ ⎦}− (3.5) Yazılabilir. Diğer taraftan, sonuç _{S NS matris} 2

A T

⎡ ⎤

:

⎣ ⎦

için doğrudur. Ayrıca;

(

1

)

(

)

1 1 : . : 0 p p A T⎡ ⎤_{⎣ ⎦}− A T⎡ ⎤_{⎣ ⎦} ≥ (3.6) eşitsizliği yazılabilir.

Fakat

(

A T⎡ ⎤⎣ ⎦:

)

_1p =a1p

vardır. Bu yüzden istendiği gibi (3.5) ve (3.6) ifadelerine göre

( )

. ₁ 0

1

A _{a p}

p

+ _{≥ dır.}

Daha sonra ρ

( )

A ≺n olduğunu varsayalım. A B 0

C D

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

yazabiliriz.Burada hem B , hem _{D en fazla sütun terim rankına ve işaretli GI} T

‘ya sahiptirler. ve 0 * B A D + + + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

olur. İlk durum nedeniyle , _{B B}+_ο T _{≥ ve} 0 _{D D}+_ο T _{≥ dır. Böylece; 0}

0 * 0 0 0 0 T T T T T T T B B C A A D D B B C D D ο ο ο ο ο ο + + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟}≥ ∗ ⎝ ⎠ olur.

4.ACYLİC İKİLİ GRAFLI MATRİSLERİN MOORE-PENROSE TERSLERİ

4.1 Devirsiz ikili graflı matrisler için Moore-Penrose terslerin bir formülü Tanım4.1.1.

,m n≥ verilmiş olsun . 1 U =

{

u₁,...,u_m

}

ve V =

{

v₁,...,v_m

}

ayrık kümeler olsun . Her m n× türünde A_{= ⎣ ⎦ matrisi için, ( )}⎡ ⎤a_ij B A köşeleri U∪V olan ve kenarları

{

{ }

u v u_i, _{j i}∈U v, _j∈V a, _ij ≠0

}

olan ikili graf olsun . β sonlu devirsiz ikili grafların ailesini belirtsin.

Tanım 4.1.2. (Eşleştirme)

Bir ikili graftaki eşleştirme iki tanesi komşu olmayan kenarların alt kümesidir.

Eğer bir eşleştirme E , tüm köşeleri örtüyorsa, o zaman E ’ ye “mükemmel eşleştirme” denir.

Lemma 4.1.1.

Bir B ikili grafı devirsizdir ⇔ B nin her alt grafı en fazla bir tane mükemmel eşleştirme içerir.

[ ]

4

Lemma 4.1.1’ den , eğer A bir mxn matris ise,

( )

B A ∈β ⇔ A ‘nın her kare alt matrisinin en fazla bir köşegeni vardır. Bu tür mxn matrislerin tümünün ailesini Α ile gösteririz.

Lemma 4.1.2

A∈ Α ‘ nın her alt matrisinin rankı , onun terim rankına eşittir.

1 k l≤ ≤ şartını sağlayan her k ve l tamsayısı için ; Q , 1,...,l tamsayılarından _{k l,}

k‘nın artan dizilerinin ailesini göstersin.

Eğer γ =

(

γ1,...,γk

)

∈Qk l, ve i∉ ise; γ

( ) (

i,γ , , ,...,i γ1 γ sıralı kümesini k

)

göstersin.

A_{= ⎣ ⎦ , satır ve sütunları sırasıyla 1,...,m ve1,...,n tamsayıları ile sınıflanan} ⎡ ⎤a_ij bir m n× matris ise ve ,γ δ sırasıyla 1,..., m ve 1,..., n ’ in sıralı alt kümeleri ise , o zaman A⎡_⎣γ δ⎤_{⎦ , (i,j) . girişi} aγ δ_{i j} ‘ ye eşit olan γ δ× matrisi göstersin.

: :

A i⎡_⎣ γ j δ⎤_{⎦ sırasıyla}

( ) (

i:γ ve j:δ düzenli satır ve sütunlara sahip iken,

)

A⎡_⎣γ δ⎤_{⎦ ’ nin , A ’nın} γ satırlı ve δ sütunlu alt matrisi olduğuna dikkat edin Teorem 4.1.1

A , r≥ ranklı bir mxn matris olsun . 2 A

α

ij

+ _{⎡ ⎤}

= ⎣ ⎦ , A’ nın Moore – penrose tersini göstermek üzere,

(

)

1, 1, , , , , 2 det det : : det r m r n r m r n Q i Q j ji Q Q A A i j A γ γ δ δ ρ τ γ δ γ δ α ρ τ − − ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

∑

yazılabilir.

[ ]

4

Lemma 4.1.3’ de A=⎡ ⎤_{⎣ ⎦}a_ij ∈ Α , r≥ ranklı bir matris , 2 1 i m≤ ≤ ve 1 j n≤ ≤ ve i∉ ve jγ ∉ olmak üzere δ γ ∈Qr−1,m ve δ ∈Qr−1,n olduğunu farzedelim.

Örnek4.1.1.

0 0 1 2 1 2 2 3

A_{= ⎢}⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ matrisinin rankı r= dir ve Teorem4.1.1’ de 2 m=2,n=4 1 j= ve i=2 alırsak ,

(

)

1,2 1,4 2,2 2,4 ,2 ,1 12 2 det det 2 : 1: det Q Q Q Q A A A γ γ δ δ ρ τ γ δ γ δ α ρ τ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

∑

olur . Buradan α₁₂ =5 26 olarak bulunur. Ve diğer elemanlarda aynı şekilde bulunarak 8 26 5 26 16 26 10 26 2 26 2 26 12 26 1 26 A+ − ⎡ ⎤ ⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ olur.

Lemma 4.1.3.

Eğer detA⎡_⎣γ δ_⎦⎤detA i⎡_⎣ :γ j:δ_⎦⎤ ≠0 ise; B A i

(

_⎣⎡ :γ j:δ⎤_{⎦ ,}

)

u ’den _i v ’ye _j bir yol ve eşleştirme içerir ki, bu yol ve eşleştirme B A i

(

⎡_⎣ :γ j:δ⎤_{⎦ ‘ nin}

)

bütün köşelerini kaplar ve nokta - ayrıktır.

[ ]

4

İspat:

Eğer detA⎡_⎣γ δ_⎦⎤detA i⎡_⎣ :γ j:δ⎤ ≠_⎦ 0 ise, o zama A_⎣⎡γ δ⎤_{⎦ ve} A i⎡_⎣ :γ j:δ⎤_{⎦ ’nin} her biri bir köşegen içerir .Böylece , B A

(

⎡_⎣γ δ⎤_{⎦ ve}

)

B A i

(

⎡_⎣ :γ j:δ_{⎦ ’nin her} ⎤

)

biri bir eşleştirme içerir. Bu eşleştirmelere sırasıyla E veE diyelim . _{1 2}

G, V B A i

(

(

_⎣⎡ :γ j:δ⎤_⎦

)

)

nokta kümeli ve E₁∪E₂ kenar kümeli ikili grafı göstersin. Ve Gˆ , G’ nin u veya _i v içermeyen her kenarını silerek _j elde edilen , G’ nin diğer hiçbir kenarına komşu olmayan bir alt grafını göstersin. Gˆ ‘de , u ve _i v köşeleri 1. mertebedendir. Ve diğer tüm köşeler 2. _j mertebedendir. B A

( )

∈β olduğu için , Gˆ hiçbir devir içeremez. Böylece Gˆ ,

i

u ’den v ’ye bir yoldan oluşur. Bu nedenle, bu yolda olmayan tüm köşeleri _j

kaplayan bir ( muhtemelen boş ) eşleştirme gibi, B A i

(

⎡_⎣ :γ j:δ⎤_⎦

)

i

u ’den v ’ye olan bu yolu içerir. _j Lemma 4.1.4 .

Eğer B A i

(

⎡_⎣ :γ j:δ⎤_⎦

)

u ’ den _i v ’ ye bir yol içerirse , _j u_i →v_j1 →u_i1 →v_j2 →u_i2 → →... v_js →u_is → , v_j ve

B A

(

_⎣⎡γ −

{

i₁,...,i_s

}

δ −

{

j₁,..., j_s

}

⎤_⎦

)

matrisinin bir mükemmel eşleştirmesi E ’yi içerirse,

( )

( )

{ } 1 1 1 2 2 2 , det det : : 1 ... s s s k l s ij i j i j i j i j kl u v E A γ δ A i γ j δ a a a a a a ∈ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∏

olur.

[ ]

4

İspat:

(

i₁,...,i_s

)

sayılarını artan bir dizi oluşturmak için yeniden sıralansın , bu İ ile gösterilsin. Ve Π ,

(

1,..., s

)

kümesinde bu yeniden sıralamayı ( etkileyen , gerçekleyen) bir Permütasyon olsun .

Buna benzer şekilde,

(

1,..., s

)

artan bir dizi oluşturmak için yeniden sıralansın, bu J ile gösterilsin . ve σ ,

(

1,..., s

)

kümesinde bu yeniden sıralamayı etkileyen bir permütasyon olsun.

a ai j1 1 i j2 2...a girişleri A i ji js s ⎡ ⎤⎣ ⎦ ’nin bir köşegenini oluştursun. ai j12,...,ais−1js,ai js girişleri A i İ j J⎡_⎣ : : ⎤_{⎦ ’ nin bir köşegenini oluştursun. Ve}

{

a_kl ( , )k l ∈E

}

girişleri

A⎡ −_⎣γ İ δ − ⎤J_{⎦ ’ nin bir köşegenini oluştursun.}

Lemma 4.1.1’ den, bunlar bu matrislerin tek köşegenleridir.Ve A⎡_⎣γ δ⎤_{⎦ ,}

: :

A i⎡_⎣ γ j δ⎤_{⎦ matrislerinin her birinin tam olarak bir köşegeni vardır. Böylece,} determinantların işaretlerini hesaba katarak ,

detA⎡_⎣γ δ⎤_⎦0detA i j⎡ ⎤_{⎣ ⎦}detA_⎣⎡ −γ İ δ − ⎤J_⎦

detA i_⎣⎡ :γ j:δ⎤ =_⎦ detA i İ j J_⎣⎡ : : ⎤_⎦detA⎡ −_⎣γ İ δ − ⎤J_⎦ olur.

A i⎡_⎣1,...,i j_{s 1},...,j_s⎤_{⎦ matrisinde,}

a a

_{i j1 1 i j2 2}

...

a

_{i js s} girişleri ana köşegende bulunurlar. Böylece,

detA i j_{⎣ ⎦}⎡ ⎤ =sgn

( )

Π detA i_⎣⎡₁,...,i j_{s 1},..., j_s⎤_⎦sgn

( )

σ =sgn

( )

Π a a_{i j1 1 i j2 2}...a_{i js s}sgn

( )

σ

olur ve A i i_⎣⎡ , ,...,₁ i j j_s , ,...,₁ j_s⎤_{⎦ matrisinde,} a a_{i j1 1 i j2 2}...a , girişlerini içeren _{i js s} köşegene karşılık gelen permütasyon , s+1 uzunluğunda bir devirdir.

Böylece detA i İ j J⎡_⎣ : : _⎦⎤ =sgn

( )

Π detA i i⎡_⎣, ,...,₁ i j j_s , ,...,₁ j_s⎤_⎦sgn

( )

σ =

( )( )

( )

_{( )}

1 1 2 1 1 1 sgn 1 ... , sgn s s s s ij i j i j i j a a a₋ a σ + − Π − olur.Bunun sonucu olarak :

(

)

2

det det : :

det det : : det

A A i j A İ J A i İ j J A i j

γ δ

γ

δ

γ

δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎡ −_⎣ − ⎤_⎦

( )

( )

( )( )

( )

( )

{ }

( )

( )

{ } 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 , 2 , sgn ... sgn sgn 1 ... sgn 1 ... s s s k l s s s k l s i j i j ij i j i j kl u v E s ij i j i j i j i j kl u v E a a a a a a a a a a a a π σ σ ∈ ∈ = Π − × = −

∏

olur.

k≥1 ve herhangi bir ikili graf B için , M B_k

( )

B deki k tane kenar içeren eşleştirmelerin ailesini göstersin

Teorem 4.1.2.

A∈ Α r≥ rankı olan bir mxn matris olsun. ve 2

A

α

ij

+

_{⎡ ⎤}

= ⎣ ⎦

A ‘nın Moore – penrose tersini göstersin . Eğer ( )B A , uzunluğu 2s+1 olan ve s≥0 ı sağlayan 'den 'ye u_i v_j bir p yolu içeriyorsa ,

1 1 2 2 ... s s i j i j i j i j u →v →u →v →u → v →u → v o zaman,

( )

( )

{ }

( )

{ } 1 1 1 1 1 2 2 ( ( )) , ( ) ( ) 2 , 1 ... ( ( )) r s k l s s s r k l kl E M B A u v E s V E V P ji ij i j i j i j i j kl F M u v F a a a a a a B A a α ∈ ∩− − =∅ ∈ ∈ ∈ = −

∑

∏

∑

∏

İspat:

İlk olarak teorem 4.1.1 teki α_ji ibaresindeki 1, , 1, , det det : : r m r n Q i Q j N A A i j γ γ δ δ γ δ γ δ − − ∈ ∉ ∈ ∉ =

∑

∑

⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎡_⎣ ⎤_⎦

numeratörünü ele alalım. Lemma. 4.1.3 ve 4.1.4’ den , N ’nin sıfırdan farklı terimleri , ( )B A ’nın u ’ den _i v ’ ye _j 2s+1 uzunluğunda bir p yolu içerdiği ve

1

r s− − kenarlı , kenarları p ‘ye komşu olmayan bir eşleştirme içerdiği örneklere tam olarak uyar.

Eğer 'den ' yei j yol yoksa , o zaman N =0 dır. Böylece teorem 4.1.3 ‘ den , α_ji = dır. 0 u ‘den _i v ’ ye bir p yolu varsa , _j

1 1 2 2 ... s s

i j i j i j i j

u →v →u →v →u → →v →u → v

o zaman bu , bu şekildeki tek yoldur. ( B A devirsiz olduğu için) ( ) Böylece lemma 4.1.4’ den ,

( )

( )

{ } 1 1 1 1 2 1 2 ( ( )) , ( ) ( ) 1 ... s s s r s k l s ij i j i j i j i j kl E M B A u v E V E V P N a a a a a a − − ∈ ∈ ∩ =∅ = −

∑

∏

olur. Şimdi α_ji için olan ifadedeki paydasını dikkate alalım, ve ρ∈Q_{r m,} ve

, r n

Q

τ∈ verilsin. Lemma 4.1.1’ den detA⎡_⎣ρ τ⎤ ≠_⎦ 0 ⇔ (B A⎡_⎣ρ τ⎤_⎦ )

ifadesinin bir F eşleştirmesi varsa , bu doğruysa , c= ±1 olmak üzere { , } det k l kl u v F A ρ τ c a ∈ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦

∏

olur ve böylece ,

( )

{ } , , 2 2 ( ( )) , (det ) r m r n r k l kl Q Q F M B A u v F A a ρ τ ρ τ ∈ ∈ ∈ ∈ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦

∑ ∑

∑

∏

olur ve teorem 4.1.1 ispatı neticelendirir.