SO(1,2) grubunun açılımlarına göre üreteçlerin ve Laplace-Beltrami operatörünün elde edilmesi

1. BÖLÜM

1.1. GİRİŞ

( )

,

( )

,

(

,

) (

, ,

)

, , 1

SO p SU p SO p q U p q p q≥ gruplarıyla bağlantılı simetrik

uzaylarda bir boyutlu kuantum sistemler, Laplace-Beltrami operatörünün çözümleri, düzlem dalgalar, grubun temsilleri gibi çeşitli çalışmalar yapılmıştır

[

1, 2,3, 4,5,6

]

. Çalışmalarda ortaya çıkan denklemler lineer, lineer olmayan, diferansiyel, integral denklemler veya daha genel operatör denklemler olabilir. Grup teori yaklaşımı denklemlerin çözümünü kolaylaştırır. Cebirsel denklemlerin çözümünde grup kavramını ilk kullananlardan biri Galois olmuştur. Daha sonra Sophus Lie sürekli dönüşüm gruplarıyla diferansiyel denklemler için benzer bir teoriyi oluşturmuştur.

Grubun elemanları reel parametrelerin bir kümesi ile belirtilebilir. Örneğin üç boyutlu Euclidean uzayda g dönme matrisi

(

x′ =gx

)

,

(

ϕ θ ψ gibi üç parametreyle , ,

)

verilebilir. Bu aynı zamanda dönme grubunun parametrizasyonu olur. Grubun parametrelerinin verildiği bölge grubun parametrik uzayı olarak tanımlanır. Bu uzayda gruba uygun birçok koordinat sistemi verilebilir. Bunların her biri grubun bir parametrizasyonu olarak tanımlanır. Çoğu zaman grubun tamamını parametrize etmek mümkün olmayabilir.

n

R uzayında x′ = Ax lineer dönüşümlerini ele alalım. A bu dönüşümün n n× lik matrisi olmak üzere bu türden lineer dönüşümler çarpma işlemine göre grup oluşturur ve bu grup genel lineer grup olarak adlandırılıp GL n R

(

,

)

ile gösterilir.

(

,

)

{

( )

_{i j, i j,} , , 1, 2,..

}

n n

GL n R A a a R i j n

×

= = ∈ =

n n× ortogonal matrislerin kümesi de GL n R

(

,

)

grubunun bir alt grubunu oluşturur ve bunlar ortogonal grup olarak tanımlanıp ,

(

,

)

{

( )

_,

(

,

)

t

}

i j n n O n R A a GL n R AA I × = = ∈ = şeklinde gösterilir.

( )

(

)

2

( )

= = t

(

,

)

O n R grubunun elemanlarından det A=1 olanlar bu grubun bir alt grubunu oluşturur ve bu yeni grupta özel ortogonal gruplar olarak adlandırılıp SO n R

(

,

)

şeklinde gösterilir.

(

,

)

{

(

,

)

det 1

}

SO n R = A O n R∈ A=

(

,

)

(

,

)

(

,

)

SO n R ⊆O n R ⊆GL n R

Ortogonal matrislerle verilen dönüşümler metriği yani skaler çarpımı, uzunluğu korur. n

C kompleks vektör uzayında x′ =ux biçiminde tanımlanan dönüşümlerin u matrisleri grup oluşturur ve GL n C

(

,

)

şeklinde gösterilir. u,n n× ’lik kompleks bir matris olmak üzere _uu−t =_{I ise u üniter matris olarak tanımlanır ve üniter dönüşümler} de uzunluğu korur. n n× ’ lik üniter matrisler GL n C

(

,

)

grubunun bir alt grubunu oluşturur ve bu grup U n C

(

,

)

ile gösterilir.

_{det uu}

( )

−t ₌

(

_{det u}

)

2 ₌1_{, det u= ±}1 1

=

det u olan uniter matrislerde U n C

(

,

)

’nin bir alt grubunu oluşturur ve bu grupta özel üniter grup olarak adlandırılıp

(

,

)

{

( )

_, t ,det 1, _, n, , 1, 2,..

}

i j _{n n} i j SU n C u a uu I u a C i j n × = = = = ∈ = şeklinde gösterilir. , n p q

R , uzaydaki Pseudo-Ortogonal dönüşümler ile belirlenen n n× tipinden ortagonal matrisler bir grup oluşturur ve O p q

(

,

)

ile gösterilir.

Grubun bir A O p q∈

(

,

)

elemanı ;

t AIA = I

(

1,...,1, 1,..., 1

)

I =diag − − , n_, p q x R∈ ,_x=

(

_x1_,...,xn

)

_{, n= +p q}

(

)

(

)

2

( )

1 t

det AIA = det A =det I , det A= ±

Pseudo-Ortogonallik koşulunu sağlar. Pseudo-Euclidean uzayda skaler çarpım ;

_{<x x, >=}

( )

_x1 2_{+ +...}

( ) ( )

_xp 2_{− x}p+1 2_{− −...}

( )

_xp q+ 2

1

det A= olan matrislerin kümesi O p q

(

,

)

grubunun bir alt grubunu oluşturur ve bu grup özel Pseudo-Ortogonal grup olarak adlandırılıp SO p q

(

,

)

şeklinde gösterilir.

Benzer şekilde n_, p q

C , n= +p q boyutlu Pseudo-Kompleks uzayda lineer dönüşümlerin belirttiği matrisler grup oluşturur. Bu grup U p q

(

,

)

şeklinde gösterilir.

Grubun bir A U p q∈

(

,

)

elemanı _AIA−t _{= Pseudo-Üniterlik koşulunu sağlar. I}

(

)

(

)

2

( )

1

−t _{= = = ±}

det AIA det A det I , det A

(

1

)

(

1

)

1 = 1,..., 1 , 2 = 2,..., 2 , 1, 2 ∈ n n n z z z z C ζ ζ ζ ζ 1 2 1 2 1 2 1 1 , p n k k k k k p z z z z ζ ζ = + < >=

∑

−

∑

Kompleks uzayda skaler çarpımı koruyan dönüşümler üniter dönüşümlerdir. 1

det A= olan kompleks matrisler kümesi U p q

(

,

)

grubunun bir alt grubunu oluşturur ve bu grup özel Pseudo-Üniter grup olarak adlandırılıp SU p q

(

,

)

şeklinde gösterilir.

Grup teori Kuantum Mekaniğinde önemli rol oynar. Tam çözülebilen kuantum sistemlerin pek çoğu çeşitli grup yapıları içinde incelenir. Ele alınan gruba karşılık bir homojen simetrik uzay verilir. Bu uzayda verilen farklı koordinat sistemlerine karşılık farklı kuantum sistemler bulunur. Gruba karşılık alınan simetrik uzayda Laplace-Beltrami Operatörünün elde edilmesi önemlidir. Ele alınan uzayda metrik matris bulunur ve bu metrik matristen istifade ederek Laplace-Beltrami operatörü oluşturulur. Bu operatör bir fonksiyona etki ettirilerek çözümleri araştırılır. Schrödinger denklemi çözülerek kuantum sistem incelenir. Laplace-Beltrami operatörü ikinci mertebeden bir diferansiyel operatörüdür. Kuantum sistemin “rank” bir ise operatör ikinci mertebeden, “rank” birden büyük ise daha yüksek mertebeden ve birden fazla Laplace-Beltrami (Casimir) operatörleri vardır. Laplace-Beltrami operatörü metrik matris kullanarak elde edildiği gibi grubun sonsuz küçük operatörleri kullanılarak da elde edilebilir. Bu çalışmada grubun sonsuz küçük operatörleri kullanılarak Laplace-Beltrami operatörü elde edilmiştir.

Grubun sonsuz küçük operatörleri incelenirken grubun bir parametreli alt grupları yazılır. Bu bir parametreli alt gruplarının elemanlarının parametreye göre türevlerinin sıfırdaki değeri alınarak grubun sonsuz küçük operatörleri bulunur.

Bu sonsuz küçük operatörlerden yararlanarak grubun Laplace-Beltrami operatörü oluşturulur. Sonsuz küçük operatörler aynı zamanda diferansiyel denklemlerin çözümlerinde, denklemin simetrilerinin bulmasında da kullanılır.

3

R uzayında dönme grubu SO 3

( )

’ü ele alırsak, bu grubun sonsuz küçük operatörleri ; 1 , 2 , 3 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + = − = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ X y x X y z X z x x y z y x z

şeklinde verilir. Bu elemanlar komutatör özelliğini sağlar ve

[

X X₁, ₂

]

= X₃ ,

[

X X₂, ₃

]

=X₁ ,

[

X X₃, ₁

]

= X₂ dir. Casimir operatörü de

[

]

3 , , 0 i i i i C=

∑

X X C X = biçimindedir.

Gruplar teorisinde önemli problemlerden birisi verilen grubun temsilinin öğrenilmesidir. Özellikle kuantum teorinin ortaya çıkmasıyla grubun temsiller teorisi önem kazanmıştır. Grubun temsili kavramı üstel fonksiyon

(

_{f x}( )_=eαx

)

_{kavramının bir} anlamda genelleştirilmesidir. Farklı yapılarda temsiller,temsil modelleri oluşturulabilir.

G grubunun bir g elemanının bir parametreli alt gruplarına göre Cartan, Iwasawa, Gel’fand-Naimark-Burahat gibi açılımları verilebilir.Grubun bir g elemanının bir parametreli alt gruplara göre açılımı önemlidir. Çünkü işlemler çoğu zaman grubun bir parametreli elemanlarıyla yapılır. Bu açılımlar işlemleri kolaylaştırır. Bu açılımları kullanarak grubun temsilinden sonsuz küçük operatörler bulunabilir.

Bu çalışmada da SO

( )

1, 2 grubunun bir g elemanının çeşitli açılımlarından yararlanarak grubun regüler temsilinin sonsuz küçük operatörleri ve Laplace-Beltrami operatörü elde edilmiştir.

1.2. SO(1,2) GRUBU

Reel üç boyutlu Pseudo-Euclidean vektör uzayında 3 1,2

R bir elemanı

(

0, ,1 2

)

x= x x x şeklinde verelim. Bu uzayda bir lineer dönüşüm x′ = gx veya

2 0 i ij j j x g x =

′ =

_∑

şeklinde yazılabilir. Bu lineer dönüşüm ;

[ ]

2 2 2

0 1 2

, t

x x =xIx = x −x −x

kuadratik formunu invaryant bırakır. Burada I ;

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I     =_ − _  ₋    metrik matristir.

Bu lineer dönüşümlerin kümesi üç boyutlu genel Lorentz grubunu tanımlar ve bu grup O

( )

1, 2 ile gösterilir.

Reel 3 3× matrislerini g =

( )

gij ile gösterelim.

x′ =xg dönüşümü altında ,

[ ]

t t t t

[

]

x,x =xIx =xgIg x =x Ix′ ′ = x ,x′ ′ 2 2 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 x −x −x =x′ −x′ −x′

kuadratik formu invaryant kalır. Buradan O

( )

1, 2 grubunun elemanları t

gIg = I

koşulunu sağlayan reel 3 3× matrisler olur. g matrisinin determinantını verelim. t

gIg = , I _{det gIg}

( )

t _{=det I}

( )

_{, det g det g=}

( )

t _{det g .det I .det g}

( )

( )

( )

t ₌1 _{, det I =} 1 det g.det g=1, det g

(

)

2 =1 , det g = ± 1

t gIg = özelliğinden I t l , , , 0 ,1, 2 ij jk k l i g I g = I i j k l = 00 01 02 00 10 20 10 11 12 01 11 21 20 21 22 02 12 22 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 g g g g g g g g g g g g g g g g g g         ₋   _{= −}          ₋    ₋        2 2 2 00 1 01 02 g = +g +g buluruz. 2_, 2

00 1

g ≥ veya g₀₀ ≤ − olup iki kısma ayrılır. 1 g₀₀ ≥ durumunda genel dönüşüm 1 Lorentz dönüşümü olarak tanımlanır.

[ ]

2 2 2

0 1 2

, 0

x x =x −x −x = denklemi 3 1,2

R Pseudo-Euclidean uzayda x ekseni ₀

yönünde x konisini tanımlar. ₀ x konisi ₀ 3 1,2

R uzayını iki kısma böler,

[ ]

x x, <0, koninin içi,

[ ]

x x, >0, koninin dışı.

Koninin üst kısmında

(

[ ]

x x, =0, x₀ >0

)

Lorentz dönüşümü korunur ve invaryant kalır. Bunu gösterelim ; yani x₀ > ise dönüşüm zamanı yine 0 x′₀ > 0 olmalı. x′ =gx 0 00 01 02 0 1 10 11 12 1 2 20 21 22 2 x g g g x x g g g x x g g g x ′        _{′ =}          _′        0 00 0 10 1 20 2 1 01 0 11 1 21 2 2 02 0 12 1 22 2 x g x g x g x x g x g x g x x g x g x g x ′ + +       _{′ = + +}        _{′ + +}      0 00 0 10 1 20 2 x′ =g x +g x +g x elemanını alalım. 2 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 1 2 x −x −x = , x =x +x 2 2 2 00 1 01 02 2 g = +g +g x ,

(

)

2

(

2 2

)(

2 2

)

2

(

2

)

10 1 20 2 1 2 10 20 0 00 1 g x +g x ≤ x +x g +g =x g −

(

)

2 2

(

2

)

10 1 20 2 0 00 1 g x +g x ≤x g −

(

)

(

)

2 2 2 0 00 1 10 1 20 2 0 x g − − g x +g x ≥

(

x g0 00−x g1 10−x g2 20

)(

x g0 00+x g1 10+x g2 20

)

≥0

(

)

0 0 00 1 10 2 20 0 x x g′ −x g −x g ≥ olur. x g_{0 00}〉x g_{1 10} , x g_{0 00}〉x g_{2 20}

Böylece g₀₀〉 ise 1 x ′₀〉 olur ki koninin üst bölgesinde Lorentz dönüşümleri 0 invaryant kalır. Bu Lorentz dönüşümlerinin oluşturduğu küme Lorentz grubu olarak tanımlanır ve O↑

( )

1, 2 ile gösterilir. det g

( )

=1 olan Lorentz dönüşümleri özel Lorentz dönüşümleri olarak tanımlanır.

Ve bu dönüşümlerin oluşturduğu grup da SO↑

( )

1, 2 _veya

( )

0 1, 2

SO şeklinde gösterilir.

( )

1, 2

g SO∈ ,g ‘ yi açık şekilde ifade edelim.

00 00 1 1 1 1 g ise det g g ise det g ≥ = ≥ = − veya 00 00 1 1 1 1 g ise det g g ise det g ≤ − = ≤ − = − olabilir.

(

x x0, 1

)

düzleminde dönüşüme bakarsak g elemanı ,

0 0 , 0 0 1 t a b g c d gIg I     =_{ } =     koşulundan; _a2_−b2 _{=1 , c}2 _−d2 _{= −1 , ac bd− = 0} 0 0 0 0 1 cos h sin h sin h cos h α α α α           , 0 0 0 0 1 cos h sin h sin h cos h α α α α −    ₋        0 0 0 0 1 cos h sin h sin h cos h α α α α − −   _{− −}        , 0 0 0 0 1 cos h sin h sin h cos h α α α α −   ₋        formunda olur.

1.3. SO(1,2) GRUBUNUN AÇILIMLARI

SO(1,2) grubu ;

X₁+ :

[ ]

x x, =1 , x₀ > ( iki oyuklu hiperboloid ) 0 X₋₁ :

[ ]

x x, = −1 , x₀ > ( tek oyuklu hiperboloid ) 0 X0 :

[ ]

x x, 0 , x0 0

+ _{= > ( koni )}

denklemleriyle verilen X₁+_, 1

X₋ , X₀+ _{yüzeyleri üzerinde geçişlidir, yani grubun bir}

elemanıyla yüzeyde bir noktadan diğerine gidilebilir. x=

(

x x x0, ,1 2

)

bir reel vektör

olmak üzere keyfi x noktasından 0 g_x∈SO

( )

1, 2 , g_x matrisiyle x x g= 0 _x başka bir

x elde edilir.

Şimdi g_x matrisinin açık şeklini elde edelim. İlk önce X₁+ _{iki oyuklu}

hiperboloidi ele alalım. g_x matrisinin açık şekli X₁+ üzerinde seçilen koordinat sistemine bağlıdır. Çok sayıda koordinat sistemi verilebilir. Bunlardan en uygunu küresel koordinat sistemidir. SO

( )

2 grubu SO

( )

1, 2 bir alt grubudur ve

(

)

0

1

1, 0, 0

x_{= ∈}X + _{noktasını sabit bırakır. Bu gruba K diyelim ; K =SO}

( )

_{2 .}

K grubunun elemanları ;

( )

10 0 0 0 k cos sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ     =_ − _    

(

x ,x1 2

)

düzleminde dönme formundaki reel 3 3× matristen oluşur. Bu durumda X₁+ _{‘ de küresel koordinat sistemi ;}

0 1 2 0 2 0 x cos h x sin h sin , , x sin h cos α α ϕ ϕ π α α ϕ = = ≤ < ≤ < ∞ = 2 2 2 0 1 2 1 x −x −x = şeklinde verilir.

( )

1, 2

SO grubunun başka bir alt grubu A SO=

( )

1,1 ⊂SO

( )

1, 2 dir ve bu grubun bir elemanı ;

( )

0 0 1 0 0 cos h sin h a sin h cos h α α α α α     =      

olup

(

x x₀, ₂

)

düzleminde dönme formunda reel 3 3× matristir. Kolayca görülebilir ki bir

(

0, ,1 2

)

1

x= x x x ∈X + reel vektörü x x g= 0 _x =x a0

( ) ( )

α k ϕ formunda temsil edilebilir.

( )

0 0

x x k= ϕ olduğundan k

( )

ϕ , x noktasını sabit bırakır. 0

( ) ( )

0 0 x x x g= =x a α k ϕ

(

, ,

)

( ) ( ) ( )

x g =g ϕ α ϕ′ =k ϕ′ a α k ϕ

Buradan her g SO∈

( )

1, 2 elemanı ,k k′∈ ,K a A∈ olmak üzere

g k ak= ′ (1) biçiminde yazıldığı görülür. Böylece X₁+ _{hiperboloidiyle bağlantılı keyfi bir}

( )

1, 2

g SO∈ elemanının bir açılımı elde edilir. g elemanının bu açılımına Cartan açılımı denir . İşlemler her zaman bir parametreli altgruplarla yapılır. Örneğin grup üç parametreli ise üç parametreyle aynı anda işlem yapmak zordur. Bu yüzden grubun çeşitli bir parametreli altgruplara açılımları kullanılır.

Şimdi X₋₁ hiperboloidiyle bağlantılı grubun bir g elemanının başka bir açılımını verelim.

( )

1,1

SO grubu SO

( )

1, 2 grubunun bir alt grubudur ve x0 =

(

0,0,1

)

∈X₋₁ noktasını sabit bırakır. Bu gruba H diyelim; H =SO

( )

1,1 dir. Bu grubun bir elemanı ;

( )

0 0 0 0 1 cos h sin h h sin h cos h α α α α α     =      

formunda reel 3 3× matristen oluşur. Bu durumda X₋₁ de hiperbolik koordinat sistemini seçmek uygun olur.

Hiperboloidin üst kısmında ,

(

)

(

)

0 0 2 0 1 2 , 1 , 0, 0,1 , , , x x x x x x x x  _{ = ≥ = =}     dir , ve

hiperbolik koordinat sistemi de ;

0 1 2 1 x sinh sinh x sinh cosh x cosh , , , α β α β ε α ε α β = = = ± − ∞ < < ∞ − ∞ < < ∞ 2 2 2 0 1 2 1 x −x −x = −

şeklinde verilir. Böylece x=

(

x x x₀, ,_{1 2}

)

∈X₋₁ vektörü 1 0 0 0,1 , 0 1 0 0 0 1 I ε     ′ = =_ − _  ₋    olmak üzere x x g= 0 _x =x I a0 ε′

( ) ( )

α h β (2) formunda yazılabilir. Tek oyuklu hiperboloidin tamamını koordinatla veremeyiz ancak parçalara ayrılarak verilebilir.

1

X₋ hiperboloidinde _x,x0 =_ x₂ ≤1

  ise küresel koordinatlar ;

0 1 2 x cosh sin x sinh sin x cos β θ β θ θ = = =

şeklinde verilir. Bu koordinatlar θ =0 için x0 =

(

0,1,1

)

sabit noktasını verir. Nokta koordinatlarla ifade edilmiş olunur. Böylece bir reel x X∈ ₋₁ vektörü

0

( ) ( )

,

2 2

x = x I kε′ θ h β − π ≤θ < π (3) formunda temsil edilebilir . Burada (2) ve (3) bağıntılarından her bir g SO∈

( )

1, 2 elemanlarının

g hI gh veya = ε_% g =I hgh (4) ε _%

biçiminde açılımı elde edilir. Burada ε =0,1 ; %g ise a

( )

α ve k

( )

θ matrislerinden

Şimdi X₀+ konisini ele alalım. Konide küresel koordinat sistemi ; 0 1 2 0 2 x e x e sin x e cos , α α α ϕ ϕ α ϕ π = = = − ∞ < < ∞ ≤ < 2 2 2 0 1 2 0 x −x −x =

şeklinde verilir. Buradan herhangi bir x=

(

x x x₀, ,_{1 2}

)

∈X₀+ reel vektörü x0 =

(

1, 0,1

)

olmak üzere

x x g= 0 _x =x a0

( ) ( )

α k ϕ

formunda temsil edilebilir.

( )

1

E grubu x0 ₌

(

1, 0,1

)

_∈X₀+ _{noktasını sabit bırakan SO}

( )

_{1, 2 grubunun bir alt}

grubu olmak üzere bu grubun bir elemanı ;

( )

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 c c c n c c c c c c   +     =      _{− − −}      , −∞ < < ∞c

biçimindedir. Bu alt gruba N diyelim , N =E

( )

1 . Böylece her bir g SO∈

( )

1, 2 elemanı ;

g=nak (5) açılımıyla verilebilir. g elemanının bu açılımı Iwasawa açılımı olarak tanımlanır.

Şimdi X₀+ _{konisinde parabolik koordinat sistemini verelim. Koniyi}

0 2 1

x +x = düzlemiyle kesersek arakesit ;

(

)

0 1 0 2 2 0 2 x x 1 , 1x x 1 x x y b b x _{+ =} + = − = = =

parabolü olur. Bu bizi x X_{∈ 0}+ _de

( )

_{b d, parabolik koordinatlarına götürür.}

2 2 1 1 , , 2 2 b b x d_{= } + b − _   x vektörü ; x x g= 0 _x ,

( ) ( )

t x g =a α n b yazılabilir.

2

d = eα , _{n b}t

( )

_{de n b}

( )

_{matrisinin transpozudur . n b}t

( )

_{matrisiyle verilen} dönüşüm x noktasını sabit bırakmaz, 0 x x n b0 = 0

( )

, _{x x n b}0 _≠ 0 t

( )

_ancak

(

₁ 2_{, 2 ,1} 2

)

x= +b b −b noktasına dönüştürür. _gIgt _{= özelliğinden I n b In b}

( ) ( )

t _=I alınır ve _nt

( )

_{− =b In b I}

( )

_{yazılabilir. Böylece grubun herhangi bir g SO∈}

( )

_{1, 2} elemanını bir parametreli altgruplara göre ;

_{g nan=} t ₍₆₎ açılımı yazılabilir. Bu açılım Gel’fand-Naimark-Burahat açılımı olarak tanımlanır. Parabolik koordinatlar söz konusu ise bu açılım uygun gelir.

Son olarak X₀+ konisinde hiperbolik koordinat sistemini verelim. X₀+ konisini

2 1 , 2 1 x = x = − düzlemleriyle kesersek ; 2 2 2 2 0 _{x 1} 1 _{x 1} 1 x x =± − =± =

hiperbolünü elde ederiz. Bu durumda X₀+_{konisinde hiperbolik koordinat sistemi}

0 1 2 1 x e cosh x e sinh , x e , α α α β β α β ε ε = = − ∞ < < ∞ − ∞ < < ∞ = = ± şeklinde verilebilir.

Buradan g=I aε′

( ) ( )

α h β bulunur. ε = ±1 göre ε′ = ±1 değerlerini alır. Neticede grubun her bir g SO∈

( )

1, 2 elemanı ;

g nI ah= ε veya t

g I n ah= ε ′ (7) formunda açılıma sahip olur. Böylece X0

+ _{konisiyle bağlantılı olarak her bir}

( )

1, 2

g SO∈ elemanının g nak= , t

g nan= , t

g I n ah= ε ′ şeklinde üç farklı açılımı elde edilir

[ ]

4 .

2. BÖLÜM

2.1. SONSUZ KÜÇÜK OPERATÖRLER

Sonsuz küçük operatörler grubun bir parametreli alt gruplarının elemanlarının verilen parametreye göre türevlerinin sıfırdaki değeri alınarak bulunur. Sonsuz küçük operatörleri anlatmak için örnek olarak üç boyutlu uzaydaki sabit bir eksen etrafındaki dönmeleri ele alalım.

1

x ekseni etrafındaki dönme,

1 1 2 2 3 3 2 3 cos sin sin cos x x x x t x t x x t x t ′ = ′ = − ′ = + (1) 2

x ekseni etrafındaki dönme,

1 1 3 2 2 3 1 3 cos sin sin cos x x t x t x x x x t x t ′ = + ′ = ′ = − + (2) 3

x ekseni etrafındaki dönme,

1 1 2 2 1 2 3 3 cos sin sin cos x x t x t x x t x t x x ′ = − ′ = + ′ = (3)

formunda ifade edilebilir. Bu dönmeleri matris formunda yazarsak dönme matrisleri ;

( )

1 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos a t t t t t     =_ − _     , ₂

( )

cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos t t a t t t     =   ₋    , ₃

( )

cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 t t a t t t −     =      

şeklinde olur. (1) , (2) , (3) denklemlerinin t ye göre türevleri alınarak t=0 da katsayılar matrisleri yazılırsa aşağıdaki matrisler

₁ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 a     =_ − _     , ₂ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a     =   ₋    , ₃ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a −     =      

Yukardakia tk

( )

matrisleri ile a matrsileri arasında k

( )

1 2 2 1 3 3 _... 2! 3! k ta k k k k a t =e = +I ta + t a + t a + bağıntısı vardır. 1

a ve a aynı mertebeden iki matris olmak üzere ₂ a a_{1 2}−a a_{2 1} matrisine a ve ₁

2

a matrislerinin komutatörü denir ve

[

a a₁, ₂

]

şeklinde gösterilir.

[

]

[

]

[

]

1 2 1 2 2 1 3 2 3 2 3 3 2 1 3 1 3 1 1 3 2 , , , a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − = = − = = − =

G dönme grubunun g→T g( ) bir temsilini ele alalım ve

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

1 1 2 2 3 3 A t T a t A t T a t A t T a t = = =

sağlansın. A t_k

( )

=T a t

(

_k

( )

)

, k=1, 2,3 için t ‘nin sürekli fonksiyonlarıdır. A t_k

( )

’nin 0

t= için türevini alalım.

( )

0 , 1, 2,3 k k t dA t A k dt ₌ = = k

A ifadesi g→T g

( )

temsilinin sonsuz küçük operatörü olarak adlandırılır. Bu operatörler

[

A A1, 2

]

=A3 ,

[

A A2, 3

]

=A1 ,

[

A A3, 1

]

=A2

sıra değişim bağıntısını sağlar.

( )

k A t ile A arasında _k

( )

2 2 _... 2! k tA k k k t A t = +I tA + A + =e bağıntısı vardır

[ ]

11 .

Bu çalışmada G SO=

( )

1, 2 grubunun çeşitli açılımlarına göre regüler temsilinin sonsuz küçük operatörleri araştırıldı.

Regüler temsil ;

( ) ( )

0

(

0

)

, 0,

T g F g =F gg g g G∈

formunda ifade edilebilir. Örneğin SO

( )

1, 2 grubunun g k ak= ′ (Cartan) açılımı kullanılarak regüler temsilin sonsuz küçük operatörleri ;

1 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 A Sin

A Cos Coth Sin

Sinh Cos

A Sin Coth Cos

Sinh ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ϕ ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ϕ ϕ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ∂ şeklinde bulunur

[ ]

4 .

2.2. LAPLACE-BELTRAMİ OPERATÖRÜ

Yapılan çalışmalara göre farklı mertebelerden Laplace operatörleri yazılabilir. Verilen Laplace operatörü grupla bağlantılı olarak yazılırsa adına Casimir (Laplace-Beltrami) operatörü denir. Casimir daha geneldir. Laplace bunun içindedir. Grupla bağlantılı olarak yazılan Laplace operatörlerinin içinden bir tanesi Laplace-Beltramidir ve bu en sadesi olur. Laplace-Beltrami operatörünü metrik matristen veya grubun üreteçlerinden faydalanarak (bu yol genelde zordur) yazabiliriz. Grup kaç parametreyle verilirse operatörde o kadar parametre bulunur. Şimdi Laplace-Beltrami operatörünün ifadesini verelim.

Riemann uzayında

( )

g metrik matrisi ve _ij k ij

Γ (Christoffel sembolü) bağlantısı tanımlanmış olsun. Eğer

( )

g metrik matrisinin kovaryant türevi _ij

0 ij l l k ij k ik lj jk il g g g g x ∂ ∇ = − Γ − Γ = ∂

sıfır ise bu bağlantıya metrik matrisle uzlaşan bağlantı denir. Metrik matrisle uzlaşan bağlantının ifadesi aşağıdaki formülle verilir.

1 2 lj ij k kl li ij i j l g g g g x x x ∂ ∂  ∂  Γ = _ + − _ ∂ ∂ ∂  

( )

1 0

T , ,η tipli tensörün diverjansını verelim. Tη tensörünün kovaryant türevi i m k k mk T T T x η η ∂ ∇ = + Γ ∂

formülü ile verildiğinden Tη tensörünün diverjansı için aşağıdaki formülü alırız.

( )

i m i i mi ij T divT T T , g det g x η η _{= ∇} η ₌ ∂ _{+ Γ =} ∂ 1 1 2 2 i il lm li mi mi i m l m g g g g g g x x x x ∂ ∂ ∂ ∂   Γ = _ + − _= ∂ ∂ ∂   formülünden yararlanarak

( )

i m i i mi ij T divT T T , g det g x η η _{= ∇} η ₌ ∂ _{+ Γ =} ∂ bağıntısından

(

)

1 i i i i i divT T gT x g ∂ = ∇ = ∂ alırız. Burada ij j T g x η ₌ ∂

∂ ifadesini yerine yazarsak ;

1 ij LB _xi g g _xj g ∂  ∂  ∆ = _{ } ∂  ∂ 

buluruz ki buna Riemann uzayında verilmiş Laplace-Beltrami operatörü denir.

(

1 2 n

)

x= x ,x ,...x kartezyen koordinatlar, g_ij =δ_ij metrik matris olmak üzere n

E , n boyutlu Euclidean uzayda Laplace operatörü ;

2 2 2 2 2 2 1 1 n i n i ... x x = x ∂ ∂ ∂ ∆ = + + = ∂ ∂

∑

∂

olarak verilir.

E

p,q pseudo-Euclidean uzayda metrik matris

( )

_ij 1_{1 1 1 p tan e q tan e

g =diag ,..., , ,..., − − 

 

 14243 şeklinde verilir. Bu durumda Laplace operatörü ;

2 2 2 2 2 2 2 2 1 p p 1 p q ... ... x x x ₊ x ₊ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ olur.

Örneğin _Sn−1 _{küresinde verilmiş}

(

)

1,..., n 1

θ θ ₋ küresel koordinat sistemi için Laplace-Beltrami operatörünü verelim.

(

)

1

1 n n x= x ,...,x ∈S − de küresel koordinatlar 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 n n n n n n n n n

x r sin sin ...sin sin x r sin sin ...sin cos ... ... x r sin cos x r cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − − − − − = = = = ₁

şeklinde verilir. Burada

2 2 2 1 n x + +... x = , r r≥0 , 0≤θ₁ ≤2π , 0≤θ_k ≤ , π 2≤ ≤ −k n 1 dir. Metrik matris,

( )

i j . . ij g = x ,xτ τ _   , τ1 = , r τ2 = , … , θ1 τn =θn−1

bağıntısından ;

( )

(

2 2 2 2 2 2

)

1 2 1

1

ij n n

g =diag ,r ,r sin θ ₋ ,...,r sin θ ...sin θ ₋

şeklinde bulunur. Buradan Laplace-Beltrami operatörü

( ) 1 ( )1 0 1 2 1 1 n n n LB _rn _rr _{r r} − − − ∂ ∂ ∆ = + ∆ ∂ ∂

olup birinci kısım operatörün radyal kısmını ∆(₀n−1) da açısal kısmını oluşturur. Burada

( 1) 2 ( 2) 0 2 1 2 0 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n sin sin sin sin ...

sin sin ...sin

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − − − − − − − − − − − − − ∂ ∂ ∆ = + ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂

dir. F r, ,...,

(

θ₁ θ_n

)

= Φrσ

(

θ₁,...,θ_n

)

, σ . dereceden homojen bir fonksiyon olmak üzere Laplace denklemini ele alalım.

( ) 1 ( )1 0 1 2 1 1 0 n n n LB n F F r F r r r r − − − ∂ ∂ ∆ = + ∆ = ∂ ∂ Buradan ( 1)

₍

_{) (}

₎

0 2 1 n n n ,..., σ σ θ θ − ∆ Φ = + − Φ denklemini yazabiliriz.

Burada Laplace-Beltrami operatörü metrik matristen faydalanarak oluşturuldu. Grubun sonsuz küçük operatörleri kullanılarak da bu operatör oluşturulabilir. Buna örnek verelim:

( )

1, 2

SO grubunun bir parametreli alt gruplara açılımlarından biri olan

(

1, , 2

)

( ) ( ) ( )

1 2

g ϕ α ϕ =k ϕ a α k ϕ , α∈

[

0,∞

)

, ,ϕ ϕ_{1 2}∈

[

0, 2π

)

,k SO∈

( )

2 ,a SO∈

( )

1,1 açımını ele alalım. Grubun regüler temsilinin sonsuz küçük operatörleri

0 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 B Sin

B Cos Coth Sin

Sinh Cos

B Sin Coth Cos

Sinh ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ϕ ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ϕ ϕ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ∂ biçiminde verilir

[ ]

4 .

Buradan Laplace-Beltrami operatörü ; 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 LB B B B Coth Cosh Sinh α α α α α ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ = + −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + _ − + _ ∂ ∂ _∂ ∂ ∂ _

şeklinde bulunur. Grubun matris temsillerinin elemanları Laplace-Beltrami operatörünün özfonksiyonlarıdır. Matris elemanları iki şekilde bulunabilir.

Birincisi temsillerin bir modeliyle bulunur. Bu modeli oluşturmak zordur. Örneğin ;

( ) ( )

( )

T g F x =F xg

bir temsil modelidir. Bunun için önce grup iyice araştırılır, sonra temsil kurulur ve daha sonra bunun temsil olduğu gösterilir. Farklı yapılarda farklı farklı temsiller, temsil modelleri kurulabilir.

İkincisi Casimir operatörünün belirli bir denkleme getirilip çözümünün bulunmasıdır. Buradan da görüleceği gibi temsil modelini kurmaktansa Casimir operatörünü ( Laplace-Beltrami operatörünü ) oluşturmak daha kolaydır.

3. BÖLÜM

3.1. LAPLACE-BELTRAMİ OPERATÖRÜNÜN ELDE EDİLMESİ

( ) ( )

0

(

0

)

T g F g =F gg regüler temsilin sonsuz küçük operatörleri, SO

( )

1, 2 grubunun bir g elemanının,

(

1, , 2

)

( ) ( ) ( )

1 2 g ϕ α ϕ =k ϕ a α k ϕ açılımından ; 0 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 B Sin

B Cos Coth Sin

Sinh Cos

B Sin Coth Cos

Sinh ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ϕ ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ϕ ϕ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ∂

şeklinde bulunup Laplace-Beltrami operatörünün ifadesi ;

2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 LB B B B Coth Cosh Sinh α α α α α ϕ ϕ ϕ ϕ ∆ = + −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + _ − + _ ∂ ∂ _∂ ∂ ∂ _

şeklinde verilmişti

[ ]

4 . Bu bölümde aynı işlemler farklı açılımlar için yapılmıştır. (i). SO

( )

1, 2 grubunun g kan= (Iwasawa) açılımını ele alırsak grubun bir parametreli alt gruplarının elemanları ;

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 _{2 2} 0 1 0 0 1 1 2 2 cosht sinht k t cost sint , a t

sint cost sinht cosht t t t cosht sinht h t sinht cosht , n t t t t t t         =_{ } =_{ }  ₋         ₊ −      _{ }   =_{ } = −        _{ − }     şeklinde verilebilir.

( )

( )

( )

0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 t t t dk t da t dh t a , a , a dt ₌ dt ₌ dt ₌             = =_{ } = =_{ } = =_{ }  ₋           

[

a ,a0 1

]

=a2 , a ,a

[

2 0

]

=a1 , a ,a

[

1 2

]

= − a0 2 2 2 1 2 0 2 a +a −a =

Grubun sonsuz küçük operatörlerinden (üreteçlerinden) invaryant operatörün ifadesi ;

2 2 2

1 2 0

B B B

∆ = + −

şeklinde verilmişti

[ ]

4 . Şimdi bunu başka bir formda ifade edelim.

( )

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 t t t n t t t t t t  ₊ −      = −     ₋      ,

( )

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 t t t t n t t t t t t   +     =      _{− − −}     

( )

( )

0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 t t t dn t dn t n , n dt dt + − = =         = =_ − _ = =_{ }    ₋      0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 a a n₋             + =_{  }+ _{ }= _=  ₋     ₋        0 2 n₋ =a + a 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 a a n₊             − =_{  }− _{ }= − =_    ₋          2 0 n₊ =a − a 2 2 2 1 2 0 2 a +a −a = 2

(

)(

)

1 2 0 2 0 2 a + a −a a +a = 2

{

(

)(

) (

)(

)

}

1 2 0 2 0 2 0 0 2 1 2 2 a + a −a a +a + a −a a +a =

2

{

}

1 1 2 2 a + n n_{+ −}+n n_{− +} =

Buradan invaryant operatörümüz ;

2

{

}

1 1 2 2 a n n_{+ −} n n_{− +} ∆ = + + = (1) formunda olacak demektir. Şimdi operatörün ifadesindeki sonsuz küçük operatörleri elde edelim.

( ) ( )

0

(

0

)

T g F g =F gg

(

1 2

)

( ) ( ) ( )

1 2 g ϕ α ϕ, , =k ϕ a α n ϕ

[

)

1 0 2, ϕ ∈ π , −∞ < < ∞α , −∞ <ϕ₂ < ∞

(

)

2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 0 0 0 _{2 2} 0 0 1 0 1 0 1 1 2 2 cos h sin h g , , cos sin

sin cos sin h cos h

ϕ _ϕ ϕ α α ϕ α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α α ϕ _ϕ ϕ  ₊ −       _{  }     =_{   } −     ₋       _{  − }    

(

)

2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 0 _{2 2} 1 1 2 2 cos h sin h

g , , sin h sin cos cos h sin

sin h cos sin cos h cos

ϕ _ϕ ϕ α α ϕ α ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ _ϕ ϕ  −  +    _{  }   = _{ } −     ₋   _{  − }    

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

cos h sin h cos h sin h

g , , sin h sin cos cos h sin sinh sin cos cosh sin

sin h cos sin cos h cos sinh cos sin cosh co

ϕ _α ϕ _{α ϕ α ϕ α} ϕ ϕ ϕ α ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ _{α ϕ ϕ ϕ} ϕ _{α ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ α}   + + +       = _ + _ + + + +     + − + − +     1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 s cos h sin h

sin h sin cos cos h sin

sin h cos sin cos h cos

ϕ ϕ _α ϕ _α ϕ _{α ϕ ϕ ϕ} ϕ _{α ϕ} ϕ _{α ϕ ϕ ϕ} ϕ _{α ϕ}              − + −         − _{− + − }   _      − _{+ + −}    _   

( )

10 0 0 0 k t cos t sint sint cos t     =    ₋   

için sonsuz küçük operatörü bulalım.

( )

1 2 1 _{t 0 t 0} 2 _{t 0} d d g g d g gk t g t . . . ... dt dt dt ϕ α ϕ ϕ α ϕ = = =  _{∂ ′ ∂ ′ ∂ ′}    = + + + + ∂ ∂ ∂   

(

1 2

)

(

1 2

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 g′=g ϕ α ϕ′, ,′ ′ =gk =g ϕ α ϕ, , k t =k ϕ a α n ϕ k t 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a g gk a a a a a a     ′ = _{=  }    

olur ve matrisin içindeki elemanlar aşağıdaki gibi bulunur.

2 2 2 2 11 1 2 2 a =_ +ϕ _cos hα +ϕ sin hα  

(

)

22 22

(

)

12 2 2 1 2 2

a = ϕ cos hα ϕ+ sin hα cos t+_−ϕ cos hα + − ϕ sin hα_ −sint

 

 

(

)

22 22

13 2 2 1

2 2

a = ϕ cos hα ϕ+ sin hα sint+_−ϕ cos hα + − ϕ sin hα_cos t

    2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 2

a =_ +ϕ _sin h sinα ϕ ϕ+ cosϕ +ϕ cos h sinα ϕ

 

(

)

22 22

(

)

22 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1

2 2

a =ϕsinh sinα ϕ+cosϕ ϕ+ cosh sin costα ϕ +_−ϕ sinh sinα ϕ ϕ− cosϕ+ − ϕ cosh sinα ϕ_−sint

 

 

(

)

22 22

23 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1

2 2

a = ϕsinh sinα ϕ+cosϕ ϕ+ cosh sinα ϕ sint+_−ϕ sinh sinα ϕ ϕ− cosϕ+ − ϕ cosh sinα ϕ_cost

    2 2 2 2 31 1 1 2 1 1 2 2

a =_ +ϕ _sin h cosα ϕ ϕ− sinϕ +ϕ cos h cosα ϕ

 

(

)

22 22

(

)

32 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1

2 2

a =ϕsinh cosα ϕ−sinϕ ϕ+ cosh cos costα ϕ +_−ϕ sinh cosα ϕ ϕ ϕ+ sin + − ϕ cosh cosα ϕ_−sint

 

 

(

)

22 22

33 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1

2 2

a = ϕsinh cosα ϕ −sinϕ ϕ+ cosh cosα ϕ sint+_−ϕ sinh cosα ϕ ϕ+ sinϕ+ − ϕ cosh cosα ϕ_cost

 

g ’ nin g elemanını ele alalım. ₁₁ 2 2 2 2 11 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 _{0 0} 2 _{0 0} 1 2 2 0 1 2 2 1 2 2 _t t t t g cosh sinh g g g

, sinh cosh , cosh sinh

d d g g d g d cosh sinh dt dt dt dt ϕ _α ϕ _α ϕ _α ϕ _{α ϕ α ϕ α} ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ _α ϕ _α ϕ α ϕ ₌ = = =   = +_{ } +     ∂ ∂ ∂ = = +_{ } + = + ∂ ∂ _{ } ∂  ′ ′ ′   ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{= + +}    ∂ ∂ ∂ _{ }

[

]

2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 d d

sinh cosh cosh sinh

dt dt ϕ _α ϕ _α α′ _{ϕ α ϕ α} ϕ′    + + + + =        (2)

g ’nin g elemanını ele alalım : ₁₃

2 2 2 2 13 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 0 1 2 2 g cosh sinh g g g

, sinh cosh , cosh sinh

ϕ

_α

ϕ

_α

ϕ

_α

ϕ

_α

_ϕ

_{α ϕ}

_α

ϕ

α

ϕ

  − = + −_{ }     − ∂ ₌ ∂ _{= + −} ∂ _{= − −}   ∂ ∂ _{ } ∂

[

]

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 d d

sinh cosh cosh sinh

dt dt ϕ _α ϕ _α α′ _{ϕ α ϕ α} ϕ ′ − _{+ −}   _{+ − − =}         =

ϕ

2cosh

α ϕ

+ 2sinh

α

(3) (2) ve (3) den ;

(

)

[

]

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 d d

sinh cosh cosh sinh

dt dt

d d

sinh cosh cosh sinh cosh sinh

dt dt

d

sinh cosh cosh sinh

dt ϕ _α ϕ _α α _{ϕ α α} ϕ ϕ _α ϕ _α α _{ϕ α α} ϕ _{ϕ α ϕ α} α α α ϕ α α + ′ ′    + + + + =        ′ ′ − _{+ −}   _{− + = +}         ′ + = + d ₂ dt α′ _=ϕ bulunur.

(

)

2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 d sinh cosh cosh sinh

dt

ϕ

_α

ϕ

_{α ϕ}

_ϕ

_α

_α

ϕ

′    + + + + =        

(

)

2 2 2 2 2 2 2 d

cosh sinh sinh sinh cosh dt

ϕ

ϕ

ϕ

α

+

α

′ = −

α

−

α

−

α

2 2 2 2 d sinh dt cosh sinh

ϕ

α

ϕ

α

α

′ = − − +

şimdi g ’nin g elemanını ele alalım : ₂₁

2 2

2 2

21 1 1 2 1 1

2 2

g = +_

ϕ

_sin h sin

α

ϕ ϕ

+ cos

ϕ

+

ϕ

cos h sin

α

ϕ

 

(

)

2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 0 2 d sinh cos sin cosh cos

dt cosh sin sinh sin

sinh sinh sin cos cosh sin .

cosh sinh ϕ _{α ϕ ϕ ϕ} ϕ _{α ϕ} ϕ ϕ _{α ϕ} ϕ _{α ϕ ϕ} ϕ α ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ α α ′    + − + +           +_ + _ + _ +       + + + _− − _= +   2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

1

2

2

2

2

2

2

d

sinh cos

sin

cosh cos

dt

cosh sin

cosh sin

sinh sin

sinh .cos

sinh

sinh sin

sinh sin

cosh

sinh

cosh

sinh

sinh

cos

cosh sin

cos

ϕ

_{α ϕ ϕ}

_ϕ

ϕ

_{α ϕ}

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

α ϕ

α ϕ

α ϕ

ϕ

α

ϕ

α

ϕ

α ϕ

α ϕ

α

α

α

α

ϕ

_{ϕ ϕ}

_{α ϕ}

α

′









+

−

+

=

















=−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

22 1

2

cosh sin

h

sinh

ϕ

_{α ϕ}

α

+

α

+

(

)

2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 d sinh cos sin cosh cos

dt

sinh cosh sin sin cosh sinh .

cosh sinh sinh

cos cos

cosh sinh

sinh .cos

cosh sin sinh sin cos cosh sinh

ϕ

_α

_{ϕ ϕ}

_ϕ

ϕ

_α

_ϕ

ϕ

α

ϕ

α ϕ ϕ

ϕ

α

α

α

α

ϕ

_ϕ

_ϕ

α

α

α

α

ϕ

ϕ

ϕ

α ϕ ϕ

α ϕ

ϕ

α

α

′    + − + =        = − + + + + + + = − + + + 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 d sinh cos sin cos h cos

dt

sinh cos sin cosh cos cosh sinh d dt cosh sinh

ϕ

_α

_{ϕ ϕ}

_ϕ

ϕ

_α

_ϕ

ϕ

ϕ

_α

_{ϕ ϕ}

_ϕ

ϕ

_α

_ϕ

α

α

ϕ

α

α

′    + − + =          + − +     = + ′ = +

Buradan a sonsuz küçük operatörü (üreteci) ; ₀

2 2 0 2 1 2 1 2 sinh a

cosh sinh cosh sinh

ϕ α ϕ α α ϕ α α α ϕ   ∂ ∂ ∂ = + + −_ − _ + ∂ ∂ _ + _∂ (4) şeklinde bulunur.

Şimdi a ve ₁ a sonsuz küçük operatörlerini bulmamız gerekir ancak biz bunun ₂

yerine sadece bize gerekli olan a , n , n_{1 + −} üreteçlerini bulmaya geçelim.

( ) ( )

0

(

0

)

T g F g = F gg regüler temsilinde parametreleri değiştirelim.

(

1 2

)

( ) ( ) ( )

1 2 g ϕ α ϕ, , =k ϕ a α n ϕ yerine

(

)

( ) ( ) ( )

g ϕ α τ, , =k ϕ a α n τ alalım.

(

)

2 2 2 2 1 1 0 0 0 _{2 2} 0 0 1 0 1 0 1 1 2 2 cos h sin h g , , cos sin

sin cos sin h cos h

τ _τ τ α α ϕ α τ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ α α τ _τ τ  ₊ −      _{ }    =_{  } −     ₋     _{ − }    

(

)

2 2 2 2 1 0 _{2 2} 1 1 2 2 cos h sin h

g , , sin h sin cos cos h sin

sin h cos sin cos h cos

τ _τ τ α α ϕ α τ α ϕ ϕ α ϕ τ τ α ϕ ϕ α ϕ τ _τ τ  ₊ −     _{ }   =_{ } −     ₋   _{ − }    

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2

cos h sin h cos h sin h

g sin h sin cos cos h sin sin cos h sin h cos

sin h cos sin cos h cos cos cos h sin h sin

cos h sin h s τ _α τ _{α τ α α} τ _{α ϕ τ ϕ} τ _{α ϕ τ ϕ α α ϕ} τ _{α ϕ τ ϕ} τ _{α ϕ τ ϕ α α ϕ} τ _α τ _α τ    + + +           = _ + _ + + + +        +_{ } − + + −      − _{+ −}     − 2 2 2 1 2 1 2 2

in h sin cos cos h sin

sin h cos sin cos h cos

τ α ϕ τ ϕ α ϕ τ _{α ϕ τ ϕ} τ _{α ϕ}       _ − + −_{ }       _ + + −_{  }    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e cos h e e sin h

g sin e sin h sin cos sin e cos sin e cos h sin cos

cos e sin h cos sin cos e sin cos e cos h cos sin

α α α α α α α α α τ _{α τ} τ _α τ _{ϕ α ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ} τ _{ϕ α ϕ τ ϕ} τ _{ϕ α ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ} τ _{ϕ α ϕ τ ϕ}  ₊ − ₊       −  =_ + + + + − _    _{+ − − − + +}     

( )

0 01 0 1 cos ht sin ht a t sin ht cos ht     =      

için a sonsuz küçük operatörünü bulalım. ₁

( )

_{( )}

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 t da t a t dt ₌     _′ =_{ }=     , 00 01 02 10 11 12 20 21 22 g g g g g g g g g g     =      

( )

0010 0111 0212 1202 0010 20 21 22 22 20 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 g g g g g ga t g g g g g g g g g g           ′ =_{   }= _           2 00 2 0 0 0 2 2 2 0 2 2 2 t t t g e cosh g g g , e sinh , e g d g d g d dt dt dt d d e sinh e e sinh dt dt α α α α α α

τ

_α

τ

_α

_τ

ϕ

α

τ

ϕ

α

τ

ϕ

α

τ

τ

_α

α

_τ

τ

τ

_α

= = = = + ∂ ₌ ∂ _{= +} ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ′ ′   =_ + _ + = − +   01 0 0 g e g g g , e , e d d e e dt dt α α α α α

τ

τ

ϕ

α

τ

α

τ

τ

τ

= ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ′ ′ + = 11 0 0 g sin e cos g g g

cos e sin , sin e , sin e

d

cos e sin sin e sin e

dt d dt α α α α α α α τ α ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ α τ ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ = + ∂ ∂ ∂ = − = = ∂ ∂ ∂ ′  −  + − =   =

Buradan a sonsuz küçük operatörü ; ₁

a₁ τ α τ ∂ ∂ = − ∂ ∂ (5) şeklinde bulunur.

Benzer şekilde n₋ operatörü de ;

( )

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 t t t n t t t t t t  −  +     = −     ₋      n τ − ∂ = ∂ (6) olarak bulunur.

n₊ sonsuz küçük operatörünü bulalım ;

( )

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 t t t t n t t t t t t   +     =      _{− − −}     

( )

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 t t dn t dt ₌     =    ₋   

( )

01 00 02 01 11 10 12 11 0 21 20 22 21 t t g g g g dn t g g g g g dt g g g g = −     =_ − _  ₋    2 00 2 00 00 00 2 2 0 2 2 g e cosh g g g , e sinh , e d d e sinh e e dt dt α α α α α α

τ

_α

τ

_α

_τ

ϕ

α

τ

τ

_α

α

_τ

τ

_τ

= + ∂ ₌ ∂ _{= +} ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ′ ′   + + =     2 02 2 02 02 02 2 2 0 2 2 g e sinh g g g , e cosh , e d d e cosh e e dt dt α α α α α α

τ

_α

τ

_α

_τ

ϕ

α

τ

τ

_α

α

_τ

τ

_τ

= − + ∂ ₌ ∂ _{= − +} ∂ _{= −} ∂ ∂ ∂ ′ ′   − + − =  