Yurttaş Foto Muhabirliği’ne İlişkin Bulgular

Neste exemplo, s˜ao investigados os m´etodos de suaviza¸c˜ao frente a um problema com condi¸c˜ao de contorno essencial senoidal. A calha ´e um quadrado de dimens˜oes 1m× 1m, como mostra a Figura 3.2. As paredes x = 0, x = 1m e y = 0 est˜ao a um potencial de 10V. A parede superior (y = 1m) tem um potencial dado por uma fun¸c˜ao senoidal com um valor m´aximo igual a 100V. Testam-se os NS-PIM, ES-PIM e CS-PIM com sele¸c˜ao de n´os suporte por esquemas

3.1. Problemas Eletrost´aticos 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x (m) Potencial elétrico (V)

Figura 3.1: Potencial el´etrico no capacitor de placas paralelas com dois diel´etricos obtida pelo NS-PIM.

T e fun¸c˜oes de forma geradas pelo PIMp e RPIMp com RBF do tipo Multiqu´adrica [Liu 2009]. A solu¸c˜ao anal´ıtica do problema ´e dada por:

Va₌ 90 sen (πx) senh (πy)

senh(π) + 10 [V]. (3.15) O primeiro passo foi verificar se os modelos conseguem aproximar corretamente o potencial el´etrico. Para isso, a solu¸c˜ao ´e calculada ao longo da linha x = 0, 5m para os modelos NS-PIM com esquema T6/3, ES-PIM com esquemas T3 e T6/3 e, finalmente, ES-PIM com fun¸c˜oes RPIMp (ES-RPIM) e esquema T2L para sele¸c˜ao de n´os de suporte. A Fig. 3.3 mostra a solu¸c˜ao anal´ıtica e as produzidas pelos modelos para efeito de compara¸c˜ao. Pode ser notado que os resultados num´ericos de todos os modelos est˜ao em conformidade com a solu¸c˜ao anal´ıtica.

Com intuito de investigar a taxa de convergˆencia dos m´etodos para a solu¸c˜ao exata, quatro distribui¸c˜oes de n´os s˜ao utilizadas para calcular o erro na norma L2_{. Para efeito de}

compara¸c˜ao, o m´etodo dos elementos finitos tamb´em ´e testado. Todos os modelos utilizam os mesmos conjuntos de n´os e as mesmas malhas. A Fig. 3.4 mostra o erro da solu¸c˜ao em escala logar´ıtmica para as diferentes densidades de n´os, representadas pelo espa¸camento nodal h. Como esperado, o FEM alcan¸ca uma taxa de convergˆencia em torno de 2,0 (2,04), igual ao valor te´orico esperado para modelos lineares baseados em formas fracas. A solu¸c˜ao produzida pelo CS-PIM(T3) ´e exatamente a mesma que a produzida pelo FEM, o que ´e esperado dado que seus dom´ınios de suaviza¸c˜ao s˜ao os triˆangulos das malhas. Com exce¸c˜ao

3.1. Problemas Eletrost´aticos

1

1

x (m)

y (m)

0

ε

ρ

Figura 3.2: Calha quadrada com condi¸c˜ao de contorno sonoidal na parte superior.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y (m) Potencial Elétrico (V) Solução analítica NS-PIM(T6/3) ES-PIM(T3) ES-PIM(T6/3) ES-RPIM(T2L)

Figura 3.3: Potencial el´etrico na calha em x = 0, 5m calculado utilizando m´etodos de suaviza¸c˜ao.

do ES-PIM quadr´atico, que obteve uma taxa de 1,94, todos os outros modelos tiveram taxas de convergˆencia superiores `a do m´etodo dos elementos finitos. Pode ser observado que os

3.1. Problemas Eletrost´aticos m´etodos de suaviza¸c˜ao baseados em n´os possuem acur´acia inferior ao FEM. Por outro lado, os m´etodos de suaviza¸c˜ao baseados em aresta geraram os melhores resultados, em especial quando constroem suas fun¸c˜oes de forma PIM utilizando fun¸c˜oes de base radial. Isso tamb´em ´e esperado uma vez que estes modelos utilizam os esquemas T6 e T2L, que selecionam um n´umero de n´os de suporte maior para construir suas fun¸c˜oes de forma, aumentando a precis˜ao da aproxima¸c˜ao.

A maior taxa de convergˆencia (2,36) foi obtida pelo ES-RPIM com esquema T2L, indicando a presen¸ca de superconvergˆencia [Liu 2009]. Outro modelo que tamb´em alcan¸cou uma boa taxa (2,24) foi o ES-PIM com esquema T3, cuja solu¸c˜ao tamb´em ´e mais precisa que a do m´etodo dos elementos finitos. Este m´etodo ´e particularmente interessante pois utiliza poucos n´os de suporte, o que lhe concede boa eficiˆencia computacional em termos de uso de mem´oria e tempo de execu¸c˜ao, al´em de n˜ao possuir parˆametros a serem ajustados como ocorre com os modelos que utilizam as fun¸c˜oes de base radial. De acordo com a experiˆencia do autor, determinar esses parˆametros ´e uma tarefa dif´ıcil pois estes podem variar de problema para problema e os valores adotados podem impactar significantemente a qualidade da solu¸c˜ao num´erica. Al´em disso, n˜ao h´a uma f´ormula geral para obter seus valores ´otimos.

-1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 log 10(h) log 1 0 (e L 2 ) FEM(r=2.04) NS-PIM(T3)(r=2.1) NS-PIM(T6/3)(r=2.11) ES-PIM(T3)(r=2.24) ES-PIM(T6/3)(r=1.94) ES-RPIM(T6)(r=2.11) ES-RPIM(T2L)(r=2.36) CS-PIM(T3)(r=2.04)

Figura 3.4: Taxas de convergˆencia na norma L2 _{dos m´etodos de suaviza¸c˜ao. Para com-}

3.1. Problemas Eletrost´aticos Prosseguindo com a investiga¸c˜ao das caracter´ısticas dos m´etodos de suaviza¸c˜ao, uma avalia¸c˜ao da eficiˆencia computacional dos modelos foi realizada. Uma vez que os m´etodos de suaviza¸c˜ao por aresta apresentaram os melhores resultados para taxa de convergˆencia e precis˜ao, foram os ´unicos inclu´ıdos no teste.

Sabe-se que o m´etodo dos elementos finitos possui um tempo de processamento conside- ravelmente inferior ao dos m´etodos sem malha tradicionais, como o EFG e o MLPG, quando utilizam a mesma distribui¸c˜ao de n´os. Todavia, uma compara¸c˜ao mais justa ´e avaliar o custo computacional em rela¸c˜ao `a precis˜ao da solu¸c˜ao num´erica dos modelos. Seguindo essa linha, o m´etodo dos elementos finitos ainda assim supera os m´etodos sem malha tradicionais. Esse cen´ario muda quando compara-se o FEM com os m´etodos de suaviza¸c˜ao de gradiente. Os erros na norma L2 _{em fun¸c˜ao do tempo de processamento gasto pelos modelos s˜ao mostrados}

na Figura 3.5. Todos os m´etodos de suaviza¸c˜ao, exceto o ES-PIM (T6/3), possuem eficiˆencia computacional compar´avel ao m´etodos dos elementos finitos. Em particular, o ES-PIM com esquema T3 mostrou ser o m´etodo computacionalmente mais eficiente em termos de tempo de processamento, como colocado anteriormente, superando inclusive o FEM em todo o ce- n´ario considerado. Este resultado deve-se ao fato do ES-PIM (T3) gerar solu¸c˜oes com menor erro que o FEM para a mesma malha, mas gastando um tempo de processamento n˜ao muito maior, isto ´e, as diferen¸cas de tempo de processamento entre os dois ´e compensada por uma precis˜ao maior do m´etodo de suaviza¸c˜ao.