Yarı Benzeştirme

As principais extensões do algoritmo baseado em tableau definidas por Straccia (2001) estão relacionadas à representação do tableau, às regras de expansão e às condições que configu- ram uma contradição, pois devem levar em consideração a semântica estendida dos construtores

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de conceito e os graus de verdade das asserções fuzzy. A representação do tableau é estendida para um tableau fuzzy de modo que o conjunto L(x) de rótulos de um nó x contenha um conceito hCi⊲⊳ni se CI_i(xI) ⊲⊳ n. Cada aresta hx,yi entre os nós x e y deve ser rotulada com

um relacionamento hRi⊲⊳ni caso RI_i(xI,yI) ⊲⊳ n, para ⊲⊳ ∈ {<,≤,>,≥}. Neste caso, o nó y é

chamado de sucessor-Rido nó x.

As regras de expansão são estendidas de acordo com a semântica dos construtores de fuzzy ALC e dos operadores relacionais ⊲⊳, adicionando rótulos aos nós e arestas do tableau. As situações que configuram contradições também são modificadas, considerando intervalos de graus de verdade disjuntos em asserções envolvendo um mesmo conceito ou relacionamento. Por exemplo, caso um nó x contenha dois rótulos hx : C > ni e hx : C < mi, com n > m, há mais de um intervalo possível de graus de verdade para a asserção x : C, o que configura uma contradição na base de conhecimento.

O algoritmo estendido considera algumas suposições quanto à notação. As descrições de conceito devem estar na NNF, assim como no algoritmo original. O símbolo ⊳ corresponde a um dos operadores relacionais {<,≤} e ⊲ a um dos operadores {>,≥}, enquanto ⊲⊳ se refere a qualquer um desses operadores relacionais. Os símbolos ⊳-1_{, ⊲}-1_{, ⊲⊳}-1 _{denotam suas reflexões,}

sendo que ⊳-1 _{indica a substituição de < por >, ≤ por ≥, de modo análogo para ⊲}-1 _(YAN;

ZHANG; MA, 2012).

Para uma asserção ψ de fuzzy ALC, ψC _{denota um conjugado de ψ. De acordo com Straccia}

(2001), um par conjugado é um conjunto de duas inequações restringindo o grau de verdade de uma mesma asserção α que não possuem uma sobreposição. A Tabela 3.6 mostra as condições em que os pares de asserções fuzzy são pares conjugados. Vale ressaltar que um conjugado de uma asserção fuzzy pode não ser único; por exemplo ambos hC(a) < 0.6i e hC(a) ≤ 0.7i são conjugados de hC(a) ≥ 0.8i.

Tabela 3.6: Situações que definem pares conjugados (STRACCIA, 2001).

hα < mi hα ≤ mi

hα ≥ ni n≥ m n > m

hα > ni n≥ m n≥ m

Iniciando por uma ABox A, o algoritmo inicializa o tableau fuzzy da seguinte forma: • Define um nó para cada indivíduo x que ocorre em A, rotulado com um conjunto de

rótulos L(x) = {hC ⊲⊳ ni} para cada asserção fuzzy hC(x) ⊲⊳ ni em A;

• Define uma aresta hx, yi, rotulada com um conjunto L(hx, yi) = {hR ⊲⊳ ni} para cada asserção hR(x,y) ⊲⊳ ni em A.

Depois dessa inicialização, o algoritmo expande o tableau fuzzy pela aplicação das regras de expansão. Cada regra de expansão do algoritmo tradicional (⊓,⊔,∀,∃), juntamente com a negação (¬), foi estendida para contemplar os operadores relacionais ⊳ ∈ {<,≤}, ⊲ ∈ {>,≥} e ⊲⊳, em função da semântica dos construtores. A Tabela 3.7 apresenta as regras de expansão de fuzzyALC definidas por Straccia (2001).

Tabela 3.7: Regras de expansão para fuzzy ALC extraídas de (STRACCIA, 2001).

1) regra-¬ se h¬C ⊲⊳ ni ∈ L(x)_{então L(x) → L(x) ∪ {hC ⊲⊳}-1_{1 − ni}}

2) regra-⊓⊲

se hC1⊓ C2⊲ ni ∈ L(x)

então L(x) → L(x) ∪ {hC1⊲ ni, hC2⊲ ni} 3) regra-⊔⊳

se hC1⊔ C2⊳ ni ∈ L(x)

então L(x) → L(x) ∪ {hC1⊳ ni, hC2⊳ ni} 4) regra-⊔⊲

se hC1⊔ C2⊲ ni ∈ L(x)

então L(x) → L(x) ∪ {hC1⊲ ni} ou L(x) → L(x) ∪ {hC1⊲ ni} 5) regra-⊓⊳

se hC1⊓ C2⊳ ni ∈ L(x)

então L(x) → L(x) ∪ {hC1⊳ ni} ou L(x) → L(x) ∪ {hC2⊳ ni} 6) regra-∀⊲

se (1) h∀R.C ⊲ ni ∈ L(x) e

(2) x tem um sucessor-R y tal que ψC_{∈ L(hx, yi) com ψ = hR, ⊲}-1_{,1 − ni e hC ⊲ ni < L(y)}

então L(y) → L(y) ∪ {hC ⊲ ni} 7) regra-∃⊳

se (1) h∃R.C ⊳ ni ∈ L(x) e

(2) x tem um sucessor-R y tal que ψC_{∈ L(hx, yi) com ψ = hR ⊳ ni e hC ⊳ ni < L(y)}

então L(y) → L(y) ∪ {hC ⊳ ni} 8) regra-∃⊲

se (1) h∃R.C ⊲ ni ∈ L(x) e

(2) x não tem um sucessor-R y tal que hR ⊲ ni ∈ L(hx,yi) e hC ⊲ ni ∈ L(y)

então crie um novo sucessor-R y de x tal que L(hx,yi) = {hR ⊲ ni} e L(y) = {hC ⊲ ni} 9) regra-∀⊳

se (1) h∀R.C ⊳ ni ∈ L(x) e

(2) x não tem um sucessor-R y tal que hR ⊳-1_{1 − ni ∈ L(hx,yi) e hC ⊳ ni ∈ L(y)}

então crie um novo sucessor-R y de x tal que L(hx,yi) = {hR ⊳-1_{1 − ni} e L(y) = {hC ⊳ ni}}

É possível notar que as regras combinam a semântica de cada construtor de conceito (¬,⊓,⊔, ∀, ∃) com os operadores relacionais presentes em asserções fuzzy. A regra 1 trata a negação, complementando tanto o operador relacional (⊲⊳-1) quanto o grau de verdade (1 − n). As regras de 2 a 5 combinam a semântica dos construtores ⊓,⊔ com os operadores relacionais. Como a interpretação de C ⊓ D é definida pela operação de mínimo, ambos os graus de verdade de C e D devem ser maiores que n, no caso dos operadores do tipo ⊲. Por outro lado, para os operadores do tipo ⊳, é suficiente que C ou D tenham grau de verdade menor que n. Esse raciocínio é análogo para as regras do construtor ⊔, definido pela operação de máximo.

Nas regras 6 e 7, ψC _{corresponde a um conjugado de ψ, em que os intervalos de graus}

de verdade de ψ e ψC _{são disjuntos. Considerando a regra 6, para que hx : ∀R.C ⊲ ni seja}

consistente, é suficiente que 1−RI_{(x, y) ou C}I_{(y) sejam maiores que n, em função da semântica}

de (∀R.C)I_{(x) = inf}

y∈∆Imax{1 − RI(x, y),CI(y)}. Como h1 − RI(x, y) ⊲ ni corresponde a

hRI(x, y) ⊲-1 1 − ni, as asserções de relacionamento ψ = hR(x,y) ⊲-11 − ni tornam a asserção hx : ∀R.C ⊲ ni consistente, independentemente de CI_{(y), pela combinação das operações max}

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e in f . No entanto, na presença de conjugados de ψ (ψC_{), é preciso garantir que hy : C ⊲ ni para}

que a asserção hx : ∀R.C ⊲ ni seja consistente. Portanto, neste caso, a regra 6 adiciona o rótulo hy : C ⊲ ni para manter a consistência da base de conhecimento. Esse raciocínio é análogo para a regra 7, que considera a semântica do construtor ∃R.C e os operadores do tipo ⊳.

Com relação à regra 8 (∃_⊲), ambas restrições hR(x,y) ⊲ ni e hC(y) ⊲ ni devem ocorrer, para algum x, y ∈ ∆I_{, para que hx : ∃R.C ⊲ ni seja consistente. Assim, caso essa situação não exista}

no tableau, a regra 8 deve adicioná-la na base de conhecimento para manter a consistência. Esse raciocínio é análogo para a regra 9, considerando a semântica do construtor ∀R.C e os operadores relacionais do tipo ⊳.

As situações que configuram contradições também são estendidas em função dos graus de verdade presentes nos rótulos dos nós e das arestas do tableau fuzzy. Segundo Straccia (2001), L(x) contém uma contradição se L(x) contiver um par conjugado (Tabela 3.6) ou se L(x) contiver alguma das seguintes situações:

• h⊥ ≥ ni, onde n > 0; • h⊤ ≤ ni, onde n < 1;

• h⊥ > ni, h⊤ < ni, hC < 0i, hC > 1i, onde n ∈ [0, 1].

Por exemplo, caso um nó x contenha um par conjugado em L(x) como hC > ni e hC < mi, com n > m, então existe mais de um intervalo possível de graus de verdade para x : C, o que configura uma contradição.

O algoritmo baseado em tableau fuzzy finaliza a execução quando o tableau está completo, ou seja, nenhuma regra de expansão pode ser mais aplicada, ou então existe algum nó x con- tendo uma contradição. Um tableau fuzzy é denominado livre de contradição se nenhum de seus nós contém uma contradição. Por fim, se as regras de expansão podem ser aplicadas de modo a resultar em um tableau fuzzy completo e livre de contradições, então a base de conhecimento verificada por ele é consistente. O tableau fuzzy resultante representa uma interpretação I que prova que a K é consistente. Caso o tableau fuzzy contenha alguma contradição, o algoritmo retorna que a base de conhecimento é inconsistente.