YAKIN-HALKALARDA Bİ-İDEALLİK VE Bİ-REGÜLERLİK

Halkalar için bi-ideallik kavramı, birbirlerinden bağımsız olarak Lajos-Szasz [4] , Le Rouxs [5] ve Szasz [8] tarafından daha sonra yakın-halkalar için bu kavram Tamizh Chelvam ve Ganesan [9,10] tarafından ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmaya başlanmıştır.N bir yakın-halka ve A,BN olsun. Bu durumda,

} , {ab a A b B AB   1 2 1 2 1 2 * { a (a +b)-a a , , } A B a a A bB

ile tanımlanmıştır. Eğer, N ’nin bir B alt grubu için,

( )*

BNB BN BB

sağlanıyorsa B’ye N’nin bir bi-ideali denir. N N₀ olduğunda  xb BNB için,

(0 ) 0 ( )*

xbx  b x  BN B

olduğundan,

( )*

BNB BN B

dir. Dolayısıyla N ’nin sıfır-simetrik yakın-halka olması durumunda bi-ideal kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

Bu bölümde tüm yakın-halkalar sıfır-simetrik yakın-halka olarak alınacaktır.

Tanım 4.1. [11] N bir yakın-halka olsun. N’nin bir Balt grubu için,

BNBB (4.1.) oluyorsa B’ye N’nin bir bi-idealidir denir. Eğer m n, Z^olmak üzere,

m n

B NB B (4.2.) oluyorsa B’ye genelleştirilmiş



m n bi-ideal denir. ,



Tanım 4.2. [11] N bir yakın-halka, A N’nin bir alt grubu olsun.

NA A( AN A) (4.3.) oluyorsa A’ya N’nin bir sol (sağ) N-alt grubu denir.

Tanım 4.3. [6] N bir yakın-halka olmak üzere aN tarafından üretilen N ’nin bi-ideali (invaryant N-alt grubu )

 

a (_b

 

a _n) şeklinde gösterilir.

21

Tanım 4.4. [6] N bir yakın-halka olmak üzere aN tarafından üretilen sağ (sol)

N-alt grubu

 

a (_r

 

a ) şeklinde gösterilir. _l

Tanım 4.5. [6] N bir yakın-halka olsun. a N için,

   

_{b b}

a a N a (4.4.) oluyorsa N’ye bir bi-regüler yakın-halka denir.

Önerme 4.6. [6] Her regüler yakın-halka bi-regülerdir. Fakat tersi genelde doğru olmak zorunda değildir.

İspat: N bir regüler yakın-halka olsun. Dolayısıyla  a N için,

aaxa

olacak şekilde xN vardır. Buradan,

   

_{b b}

aaxa a N a

olduğundan N bi-regülerdir. Tersinin doğru olmadığı aşağıdaki örnekte gösterilmiştir.

Örnek 4.7.



Z4,



grubu aşağıda verilen tablodaki işleme göre



Z4, ,.



bir bi-regüler yakın-halkadır. . 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 2 0 3 0 3 3 0 Burada,

 

3 3 3 N  0

olduğundan N yakın-halkası regüler yakın-halka değildir.

Önerme 4.8. [6] N bir yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir. a) N bi-regülerdir.

b) A, N ’nin bir bi-ideali ve B bir invaryant N-alt grup olmak üzere,

ABA A B

22 c) a b, N için,

         

a _b b _n  a _b b _n a _b dir. d)  a N için,

         

a _b a _n  a _b a _n a _b dir.

İspat a)b) : N bi-regüler yakın-halka olsun. Aynı zamanda, A N’nin bir bi-ideali ve B invaryant N-alt grup olsun. A bir bi-ideal olduğundan,

ANA A

dır. Buradan,

ABAA

olur. Aynı zamanda B bir invaryant N-alt grup olduğundan,

ABAB

olup,

ABA A B

dir. x A B olsun. N bi-regüler yakın-halka olduğundan,

   

_{b b}

x x N x

dir. Buradan xynz olacak şekilde y z, 

 

x _b , nN vardır. y z, 

 

x _b  A B

olduğu açıktır. Yine N bi-regüler yakın-halka olduğundan,

   

_{b b} y y N y ANB dir. Bu taktirde, ( ) xA NBN zABA olup, A B ABA

dir. Dolayısıyla A B ABA  dır.

b)c) : A , N’nin bir bi-ideali ve B bir invaryant N-alt grup olmak üzere,

ABA A B

23 c)d) : a b, N için,

         

a _b b _n  a _b b _n a _b

olsun. Burada, ab olarak alınırsa ispat elde edilir. d)a) :  a N için,

         

a _b a _n  a _b a _n a _b olsun.

   

_{b n} a a  a olduğundan,

         

_{b n b b b} a a a a  a N a

olup N bir bi-regüler yakın-halkadır.

Tanım 4.9. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

xNN (4.5.) oluyorsa N’ye

 

 özelliğine sahiptir denir.

Tanım 4.10. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

xNx (4.6.) oluyorsa N’ye bir S-yakın-halka denir.

Tanım 4.11. [11] N bir S-yakın-halka olsun.  x N için,

xxN (4.7.) oluyorsa N’ye bir S -yakın-halka denir.

Önerme 4.12. [6] N

 

 özelliği ile bir S -yakın-halka olsun. Bu taktirde

aşağıdakiler denktir. a) N bi-regülerdir. b) N regülerdir.

c) N ’nin her B bi-ideali için BNBB dir.

İspat a)b) : N bi-regüler yakın-halka ve xN olsun. Her sağ ve sol N alt-grup bir bi-ideal olduğundan,

       

_{b b r l}

x x N x  x N x

24

xA ve ANA

olup,

xN ANA

dır. Buradan, N

 

 özelliği ile bir S yakın-halka olduğundan xN, x ’i içeren en

küçük sağ N-alt gruptur. Buradan, xN 

 

x _r dir. Benzer şekilde, Nx

 

x _l dir.

           

_{b b r l}

x x N x  x N x  xN N Nx xNx

olup N regülerdir.

b)c) : N regüler yakın-halka ve B, N’nin bi-ideali olsun. N regüler olduğundan,

BBNB

dir. Aynı zamanda B bi-ideal olduğundan,

BNBB

dir. Dolayısıyla,

BNBB

dir.

c)a) : N’nin her B bi-ideali için BNBB olsun.  x N için

 

x bi-ideal _b

olduğundan,

     

_{b b b}

x x  x N x

dir. Dolayısıyla, N bir bi-regüler yakın-halkadır.

Tanım 4.13. [11]N bir yakın-halka olsun.  a N için,

2

aba (4.8.) olacak şekilde  b N varsa N ’ye bir kuvvetli regüler yakın-halka denir.

Not: Her kuvvetli regüler yakın-halka regüler yakın-halkadır [11]. Tanım 4.14. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

0

ab iken axb0

oluyorsa Nyakın-halkasına bir IFP yakın-halka denir. Tanım 4.15. [11] N bir yakın-halka olsun.  a N için,

2

25 oluyorsa N’ye bir sol bi-potent yakın-halka denir. Tanım 4.16. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

k

xNx ( k

xx N) (4.10.) oluyorsa N’ye bir S (_k S^'_k) yakın-halka denir.

Not: N bir S yakın-halka ise _k  j k için N bir S_j yakın-halkadır [11]. Tanım 4.17. [11] N bir yakın-halka olsun. ,r mZ^ olmak üzere  a N için,

r m

a N Na (4.11.) oluyorsa N’ye bir P r m( , ) yakın-halka denir.

Tanım 4.18. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için, k

x NxNx ( k

Nx xNx ) (4.12.) oluyorsa N’ye bir P (_k P^'_k) yakın-halka denir.

Tanım 4.19. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

k r m

x Nx Nx (Nx^k x Nx^{r m} ) (4.13.) oluyorsa N’ye bir P r m (_k



,



'

 

, k

P r m ) yakın-halka denir.

Lemma 4.20. [11] N bir yakın-halka ve E idempotentlerin kümesi olsun. Eğer

e E   için, eNeNeNe ise EC N( ) dir. İspat:  e E için, eNeNeNe

olsun. Dolayısıyla  n N için,

neeue ve eneve

olacak şekilde u v, N vardır. Buradan,

( ) ( )

enee ne e eue euene

( ) ( )

ene en e eve eeveen

olup,

enne

26

Önerme 4.21. [11] N bir S yakın-halka olsun. Bu taktirde, N ’nin P(1, 2) yakın-halka olması için gerek ve yeter şart N’nin alt değişmeli ve N’nin her B bi-ideali için BBNB olmasıdır.

İspat: N bir P(1, 2) yakın-halka olsun.  e E için,

2

eN Ne Ne

dir. Buradan,

( ) ( )

eNee Ne e eN eN

Dolayısıyla Lemma 4.20. ’den,

( )

EC N

dir. N bir S yakın-halka olduğundan  a N için,

2

aaNNa

olup, N kuvvetli regüler, dolayısıyla regüler yakın-halkadır. Dolayısıyla, aaba

olacak şekilde bN vardır. Burada ab ve ba idempotent elemanlar olduğundan,

( ) ( ) aN aba NaN ba Na ve ( ) ( ) NaN aba  ab NaaN olup, aNNa

dır. Yani, N alt değişmelidir. N’nin her B bi-ideali için,

BNBB

dir. N kuvvetli regüler olduğundan  b B için,

2 bNb NbbbNbBNB olup, BBNB dir. Buradan, BBNB elde edilir.

Tersine N alt değişmeli ve N’nin her B bi-ideali için BBNB olsun. Nx ve xN

bi-ideal olduğundan,

( ) ( )

27 olup, 2 ( ) ( ) ( ) Nx  Nx x Nx N Nx xNx 2 ( ) ( ) ( ) ( ) NxN xN NxN Nx NxNN xN xNN Nx xNx olduğundan, 2 NxNx xN

elde edilir. Dolayısıyla N bir P(1, 2) yakın-halkadır.

Önerme 4.22. [11] N , ( ) özelliği ile bir S yakın-halka olsun. Eğer, N değişmeli yakın-halka ve N’nin her B bi-ideali için BBNB ise, N bir P(1, 2) yakın-halkadır.

İspat: N değişmeli yakın-halka ve N’nin her B bi-ideali için BBNB olsun.

a N

  için aN, N’nin bir bi-ideali olduğundan,

aNaNNaNaNaNaNNa

dir. Yani,

aaNNaaNa

dir. Dolayısıyla,

aaba

olacak şekilde bN vardır. Buradan, N regülerdir. N değişmeli olduğundan

n N

  için,

2 2 2

( ) ( )

an aba n baa nba nbna Na

olup,

2

aNNa

dir. Bunun yanında,

2

2 2

( ) ( ) ( )

na n aba a nab a  anb a aN

olup, 2 Na aN dir. Dolayısıyla, 2 Na aN

28

Teorem 4.23. [11] N bir alt değişmeli S yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdaki ifadeler denktir;

a) N’nin genelleştirilmiş ( , )m n bi-ideali B için, BB NB^{m n} dir. b) N , regüler yakın-halkadır.

c) N , kuvvetli regüler yakın-halkadır. d) N , sol bi-potent yakın-halkadır.

e)  a N için, 2

aNaNaNa dir.

f) N ’nin her B bi-ideali için, BBNB dir.

İspat a)b) : N’nin genelleştirilmiş ( , )m n bi-ideali B için, BB NB^{m n} olsun. Buradan,

m n

BB NB BNB

dir. Dolayısıyla, N’nin her B bi-ideali için BBNB olur.  a N için aN,

N’nin bir bi-ideali ve N alt değişmeli olduğundan,

aNaNNaNaNaNaNNa

dır. Yani,

aaNNaaNa

dır. Dolayısıyla N regülerdir.

b)c) : N regüler olsun. Dolayısıyla  a N için,

aaba

olacak şekilde bN vardır. N alt değişmeli olduğundan,

2

aabacaaca

olacak şekilde cN vardır. Bu ise N’nin kuvvetli regüler olduğunu gösterir. c)d) : N kuvvetli regüler olsun. Dolayısıyla a n, N için,

2 2

nanba Na

olacak şekilde bN vardır. Buradan,

2

NaNa

elde edilir. Aynı zamanda,

2

Na Na

olduğundan,

2

29 elde edilir.

d)e) : N sol bi-potent olsun. N alt değişmeli ve S yakın-halka olduğundan

a N   için, 2 ( ) NaNa  Na aaNa dır. Dolayısıyla, 2 aNaNaNa dir. e)f) :  a N için, 2 aNaNaNa

olsun. N bir S yakın-halka olduğundan,

aNaaNa

olup N regülerdir. Dolayısıyla, N’nin her B bi-ideali için,

BBNB

dir.

f)a) : N’nin her B bi-ideali için,

BBNB

olsun.  a N için aN, N’nin bir bi-ideali ve N alt değişmeli olduğundan,

aNaNNaNaNaNaNNa

dır. Yani,

aaNNa

dır. Dolayısıyla N regülerdir. B , N’nin genelleştirilmiş bir ( , )m n bi-ideali olsun.

N regüler olduğundan,  x B için,

( ) ( ) ( ) ... ( ) (^m )( )ⁿ

xxyx xyx y xyx xy xyx yx  xy xyx yx

olacak şekilde yN vardır. Aynı zamanda, N alt değişmeli, xy, yx idempotentler olduğundan Lemma 2.1.12. ’den idempotentler merkezil olup,

(xy)^m x y^{m m}

ve

(xy)ⁿ x y^{n n}

30 ( ) m m n n m n m n xx y xyx y x x Nx B NB oduğundan, m n BB NB dir. Buradan, m n BB NB elde edilir.

Belgede ?1, ?2 Yakın-halkaların regülerliği üzerine (sayfa 29-40)