Yakınsak Ger¸ cel Sayı Dizileri

4.1 Dizi

Ta en ba¸sından, dizinin tanımından ba¸slayalım. X herhangi bir k¨ume olsun.

X’ten sırayla elemanlar se¸celim:

x0, x1, x2, x3, . . .

˙I¸ste dizi b¨oyle bir ¸seydir. Buna X-dizisi denir. ¨Orne˘gin, 1 2^, 2 3^, 3 4^, 4 5^, 5 6^{, . . .}

bir Q-dizisidir, ve aynı zamanda bir R-dizisidir elbette.

π, π², π³, π⁴, π⁵, . . .

ise bir R-dizisidir. (Her ne kadar π diye bir sayının varlı˘gını tanımlamamı¸ssak da, b¨oyle bir ger¸cel sayının varlı˘gı okurun kula˘gına kadar gelmi¸stir... Dileyen

π yerine herhangi bir ba¸ska ger¸cel sayı da alabilir.)

Bu b¨ol¨umde sadece ger¸cel sayı dizilerini konu edece˘gimizdenR-dizisi yerine kısaca dizi diyece˘giz.

Daha matematiksel olalım. Matematiksel olarak bir dizi (yani birR-dizisi), do˘gal sayılar k¨umesiN’den ger¸cel sayılar k¨umesi R’ye giden bir x fonksiyonu-dur. E˘ger n∈ N ise, x’in n’de aldı˘gı x(n) de˘geri yerine xn yazılır. Ayrıca, x fonksiyonu de˘gerleriyle belirlendi˘ginden, x yerine (x_n)_n yazılır:

x = (x_n)_n.

¨

Orne˘gin yukarıdaki 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, . . . dizisi, e˘ger tahmin edildi˘gi gibi

devam ediyorsa, (

n + 1 n + 2

) n

olarak yazılır. xn’ye x dizisinin n’inci terimi adı verilir. n’ye de xn’nin

g¨ostergeci ya da endisi denir¹.

Bazı dizilerin tanımında yapay bir tanım sorunu olabilir. ¨Orne˘gin,

x_n= ¹

n(n− 2)

dizisi n = 0 ve 2 g¨osterge¸cleri i¸cin sorun ya¸sar. Bu durumda dizinin 3 ve daha b¨uy¨uk g¨osterge¸cler i¸cin tanımlandı˘gını varsayabiliriz, ya da bu dizi yerine,

x_n= ¹

(n + 3)(n + 1) dizisini alabiliriz. Nitekim,

( 1 n(n− 2) ) n≥3 = ( 1 (n + 3)(n + 1) ) n≥0 .

Bu y¨ontemle sonlu sayıda g¨osterge¸cte tanımsız olan dizilerin her g¨osterge¸cte tanımlı olduklarını varsayabiliriz.

Bir dizi aslında bir fonksiyon oldu˘gundan, dizinin grafi˘gini de ¸cizebiliriz. A¸sa˘gıda bir ¨ornek verdik.

Her terimi sabit bir a sayısı olan diziye sabit a dizisi adı verilir. Bu diziyi

s(a) olarak g¨osterece˘giz. Demek ki s(a) dizisi,

a, a, a, a, a, a, . . .

diye ba¸slar ve aynen b¨oyle devam eder. Sabit 0 dizisi ve sabit 1 dizisi ¨onemli sabit dizilerdendir. Kimi zaman bir dizi hemen de˘gil ama zamanla

sabitle-¸

sebilir , ¨orne˘gin,

b, c, b, a, a, a, a, a, a, . . .

dizisi zamanla -d¨ord¨unc¨u adımda- sabitle¸sen bir dizidir.

1Bu son tanımın ¸su tuhaflı˘gı var: xn = xm ise xn’nin g¨ostergeci n midir yoksa m mi-dir? Dolayısıyla bu bir tanım olamaz, bu tanım lafın geli¸sinden her ¸seyin anla¸sıldı˘gı, yani muallakta kalınmadı˘gından emin olundu˘gunda kullanılır. Ayrıca, e˘ger n̸= m ise xn = xm olsa bile xnterimiyle xmteriminin farklı terimler oldu˘gu varsayılır, biri n’inci, di˘geri m’inci terimdir! ¨Orne˘gin “(xn)n dizisinin 50 terimi 0’a e¸sittir” demek, 50 farklı n g¨ostergeci i¸cin

4.1. Dizi 77 Dizilerden olu¸san k¨umeyi D ile g¨osterelim. D k¨umesi ¨ust¨une toplama,

¸

cıkarma ve ¸carpma gibi standart i¸slemleri ¸s¨oyle -en do˘gal bi¸cimde, fonksi-yonların toplamını, farkını, ¸carpımını tanımladı˘gımız gibi- tanımlayabiliriz:

(x_n)_n+ (y_n)_n= (x_n+ y_n)_n,

(xn)n− (yn)n= (xn− yn)n,

(xn)n(yn)n= (xnyn)n.

Bunlara sırasıyla terim terim toplama, ¸cıkarma ve ¸carpma denir, ¸c¨unk¨u di-zileri toplamak, ¸cıkarmak ve ¸carpmak i¸cin aynı i¸slemi dizilerin terimleriyle yapıyoruz. E˘ger her n i¸cin y_n ̸= 0 ise bir diziyi (yn)_n dizisine “terim terim” b¨olebiliriz:

(xn)n/(yn)n= (xn/yn)n.

s(0) sabit dizisi toplamanın, s(1) sabit dizisi de ¸carpmanın etkisiz elemanlarıdır

elbette. s(0) ve s(1) yerine 0D ve 1D de yazılabilir. E˘ger x = (xn)n∈ D ise

−x = 0_D − x = (−xn)n tanımını yapabiliriz.

Alı¸stırmalar

4.1. Bir dizi t¨umevarımla tanımlanabilir. ¨Orne˘gin e˘ger x0sayısı verilmi¸sse

xn+1= 1− x2

n

form¨ul¨u bir dizi tanımlar. E˘ger x0 = 0 alırsak, 0, 1, 0, 1, 0, . . . dizisini elde ederiz. x0 = 1/2 alarak bu dizinin ilk birka¸c terimini bulun. Dizinin terimlerinin giderek ya 0’a ya da 1’e yakın olduklarını g¨ozlemleyin.

4.2. x0= 2 ve xn+1=√

xn olsun. ¨Ust¨unde karek¨ok d¨u˘gmesi olan bir hesap makinası kulla-narak (xn)n dizisinin ilk 20 terimini hesaplayın. Ne g¨ozlemliyorsunuz? S¸imdi aynı ¸seyi

x0 = 0,5 i¸cin yapın. x0 i¸cin farklı de˘gerlerle aynı i¸slemi yaptı˘gınız zaman ne g¨ ozlemli-yorsunuz?

4.3. Excel gibi bir yazılım kullanarak yukarıdaki dizinin ilk y¨uz terimini ¸ce¸sitli x0 de˘gerleri i¸cin bulmaya ¸calı¸sın. ¨Ozellikle x0 = 1,61803 ve x0 = 1,61805 i¸cin dizinin davranı¸sını g¨ozlemleyin.

4.4. xn+1=−x2

n+ 3xn+ 1 olsun. x0= 1 i¸cin diziyi bulun. Excel gibi bir yazılım kullanarak aynı soruyu x0= 0, 5 i¸cin yanıtlamaya ¸calı¸sın. Dizinin terimlerinin 0,198, 0,1555, 3,247 gibi sayıların civarında dolanıp durduklarını g¨ozlemleyin.

4.5. xn+1 = 6− 1/xn olsun. x0’ı elbette 0’a e¸sit alamayız, yoksa x1 tanımlanmaz. Ama 1/6’ya da e¸sit alamayız, yoksa x2 tanımlanmaz. x0 = 6/35 olabilir mi? Bundan b¨oyle

x0 = 1 olsun. Her n≥ 1 i¸cin xn’nin tanımlandı˘gını ve xn ≥ 5 e¸sitsizli˘gini kanıtlayın;

ayrıca xn≤ 6 e¸sitsizli˘gini kanıtlayın. Excel gibi bir yazılımla dizinin ilk birka¸c terimini

hesaplayın. Ne g¨ozlemliyorsunuz? x = 6− 1/x denkleminin ¸c¨oz¨um¨uyle dizinin aldı˘gı

de˘gerleri kar¸sıla¸stırın. Gene x0= 1 ve n≥ 1 i¸cin, |xn+1− xn| ≤ ¹

25|xn− xn−1|

4.6. Bazen bir diziyi t¨umevarımla tanımlamak i¸cin ilk iki terimi bilmek gerekebilir. ¨Orne˘gin me¸shur Fibonacci dizisi xn+2 = xn+ xn+1 ve x0 = x1 = 1 e¸sitlikleriyle tanımlanır.

yn= xn+1/xnolsun. yn+1= 1/yn+ 1 ve y0= 1 e¸sitliklerini g¨ozlemleyin. (yn)ndizisinin ilk birka¸c terimini (¨orne˘gin Excel’le) hesaplayın ve bu terimlerle y²−y−1 = 0

denklemi-nin pozitif k¨ok¨u arasındaki ili¸skiyi g¨ozlemleyin. Her n i¸cin 1≤ yn+1≤ 2 e¸sitsizliklerini

kanıtlayın.|yn+1− yn| sayıları arasında bir ¨onceki alı¸stırmadaki gibi bir e¸sitsizlik bulun.

4.7. s≥ 0 ve x0≥ 0 sayıları verilmi¸s olsun. Her n ≥ 0 i¸cin xn+1=√

s + xntanımını yapalım. Her xn’nin bu form¨ulle ger¸cekten tanımlandı˘gını kanıtlayın.

xn+1≤ xn⇔ x2

n− xn≥ s

¨

onermesini kanıtlayın. Bunu kullanarak

xn+1≤ xn⇔ xn+2≤ xn+1 ¨ onermesini kanıtlayın. α = max { x0,^{1 +} √ 1 + 4s 2 }

olsun. α2−α−s ≥ 0 e¸sitsizli˘gini g¨ozlemleyerek, her n i¸cin xn≤ α e¸sitsizli˘gini kanıtlayın

(bkz. ¨Ornek 7.15).

4.8. a0 > 0 bir kesirli sayı olsun. Her n ∈ N i¸cin an+1 = a^an tanımını yaparak, ¸ce¸sitli

a ∈ (0, 2) kesirli sayıları i¸cin (an)n dizisinin b¨uy¨uk n’ler i¸cin davranı¸sını bulun. (Bir hesap makinası ya da Excel kullanın.)

4.9. T¨um kesirli sayıları i¸ceren bir dizi var mıdır?

4.2 Yakınsak Diziler

Kesirli sayı dizileri bir sayıya giderek daha ¸cok yakla¸sabilirler. ¨Orne˘gin giri¸ste verdi˘gimiz 1 2^, 2 3^, 3 4^, 4 5^, 5 6^{, . . .} ¨

orne˘gindeki dizi giderek daha ¸cok 1’e yakla¸sır, yakla¸smaktan da ¨ote (¸c¨unk¨u dizi 2’ye de yakla¸sır) 1’in burnunun dibine girer.

¨

Ote yandan 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . . kesirli sayı dizisi giderek daha fazla 0’ın burnunun dibine girer, 0’a yaslanır neredeyse. Buna matematikte

yakın-samak denir.

Tanım. (x_n)_nbir dizi ve a∈ R olsun. E˘ger her ϵ > 0 sayısı i¸cin,

(∗) n > N ⇒ |xn− a| < ϵ

¨

onermesini sa˘glayan bir N do˘gal sayısı varsa, o zaman, (xn)ndizisi (n sonsuza giderken) “a’ya yakınsar ” ya da “a, (x_n)_n dizisinin limiti dir” denir.

4.2. Yakınsak Diziler 79 Bir sayıya yakınsayan dizilere yakınsak denir. Yakınsak olmayan dizilere de ıraksak denir.

¨

Orneklere ge¸cmeden ¨once bu ¨onemli tanım ¨uzerine biraz kafa yoralım. Bu tanımı ¨oz¨umsemek ¸cok ¨onemlidir.

Okur, tanımın, sezgileriyle algıladı˘gı “yakınsama”nın anlamını matema-tiksel olarak verdi˘gine ikna olmalıdır, dolayısıyla a¸sa˘gıda yazılanları laf ebeli˘gi olarak nitelemeyip dikkatle okumalıdır.

Tanımın Tartı¸sması. |xn− a| < ϵ e¸sitsizli˘giyle, xn∈ (a − ϵ, a + ϵ) ¨onermesi

birbirine denktir, nitekim ¨Onsav 1.1.vi’ya g¨ore,

|xn− a| < ϵ ⇔ −ϵ < xn− a < ϵ ⇔ a − ϵ < xn< a + ϵ⇔ xn∈ (a − ϵ, a + ϵ)

denklikleri ge¸cerlidir. Demek ki tanıma g¨ore, (x_n)_ndizisinin a’ya yakınsaması i¸cin, her ϵ > 0 sayısı i¸cin ¨oyle bir N do˘gal sayısı olmalı ki, N ’den b¨uy¨uk her n g¨ostergeci i¸cin,

x_n∈ (a − ϵ, a + ϵ)

olsun. Yani (xn)n dizisi belli bir g¨osterge¸cten sonra (a− ϵ, a + ϵ) aralı˘gına

d¨u¸smeli. Dolayısıyla bir dizinin limiti olmasında ilk birka¸c terimin, ¨orne˘gin ilk 1 milyar terimin ne oldu˘gu hi¸c ama hi¸c ¨onemli de˘gildir, ¨onemli olan dizinin son kısmının, yani

“kuyru˘gu”nun genel davranı¸sıdır. Sonu¸c olarak, dizinin ilk terimleri yakınsa-mayı etkilemez. ¨Orne˘gin,

1 2^, 2 3^, 3 4^, 4 5^, 5 6^{, . . .}

dizisi 1’e yakınsıyorsa -ki yakınsıyor, daha sonra kanıtlayaca˘gız bunu- o zaman, 9, 199, 3543, ¹ 2^, 2 3^, 3 4^, 4 5^, 5 6^{, . . .}

dizisi de 1’e yakınsar. Nitekim verilmi¸s bir ϵ > 0 i¸cin birinci dizide N yeterliyse, aynı ϵ i¸cin ikinci dizide N + 3 yeterlidir. Bunun gibi

3 4^, 4 5^, 5 6^, 7 8^, 9 10^{, . . .}

dizisi de 1’e yakınsar. Kanıtını ileride verece˘gimiz ¸su daha genel sonu¸c ge¸cer-lidir (bkz. sayfa 88).

Teorem 4.1. Yakınsak bir dizinin sonlu sayıda terimini de˘gi¸stirirsek ya da