Teorem 4.5. R bir Ar¸simet cismidir
5. Yakınsak Dizilerle Sıralama
ve ˙I¸slemler
5.1 Yakınsak Diziler ve Sıralama
Bu b¨ol¨umde, ger¸cel sayıların sıralamasıyla dizilerin limitleri arasındaki ili¸skiyi kısaca irdeleyece˘giz. Bu ili¸skinin ¨oz¨u a¸sa˘gıdaki teoremde gizlidir.
Teorem 5.1 (Sandvi¸c Teoremi). (xn)n, (yn)n ve (zn)n ¨u¸c dizi olsun. xn≤ yn≤ zn
e¸sitsizlikleri belli bir g¨osterge¸cten sonra do˘gruysa ve (xn)n ve (zn)n dizileri aynı sayıya yakınsıyorlarsa, (yn)n dizisi de yakınsaktır ve di˘ger dizilerle aynı sayıya yakınsar.
Kanıt: (xn)n ve (zn)n dizileri a’ya yakınsasınlar. (yn)n dizisinin de a’ya ya-kınsadı˘gını kanıtlayaca˘gız, yani ϵ > 0, herhangi bir pozitif sayıysa,
|yn− a| < ϵ
e¸sitsizli˘ginin her n > N i¸cin do˘gru oldu˘gu bir N sayısı bulaca˘gız. ϵ > 0 verilmi¸s olsun.
|yn− a| < ϵ
e¸sitsizli˘ginin do˘gru olması i¸cin n’nin ne kadar b¨uy¨uk olması gerekti˘gini bu-laca˘gız.
Bunun i¸cin|yn−a| ifadesiyle oynayaca˘gız. Teoremin ¨onermesindeki e¸sitsizlikler M ’den b¨uy¨uk g¨osterge¸cler i¸cin do˘gru olsun. Hesaplarda kolaylık olması i¸cin
n > M alalım. Bu kısıtlama yetmez ama bu sayede, hi¸c olmazsa, |yn− a| = |a − xn+ xn− yn| ≤ |a − xn| + |xn− yn|
=|a − xn| + (yn− xn)≤ |a − xn| + (zn− xn)
≤ |a − xn| + |zn− a| + |a − xn| = 2|a − xn| + |zn− a|
e¸sitsizli˘gini elde ederiz. Demek ki en sondaki 2|a − xn| + |zn− a|
ifadesini ϵ’dan k¨u¸c¨uk yapmak yeterli. (xn)n dizisi a’ya yakınsadı˘gından, ¨oyle bir N1 vardır ki, her n > N1 i¸cin
|xn− a| = |a − xn| < ϵ/3
olur. Aynı nedenden, ¨oyle bir N2 vardır ki, her n > N2 i¸cin
|a − zn| < ϵ/3
olur. N = max{M, N1, N2} olsun. E˘ger n > N ise,
|yn− a| = 2|a − xn| + |zn− a| < 2ϵ/3 + ϵ/3 = ϵ
elde ederiz ve kanıt b¨oylece tamamlanır.
Sandvi¸c Teoremi’nin ˙Ikinci Kanıtı: Bir ϵ > 0 verilmi¸s olsun. a, (xn)n ve (zn)n dizilerinin limiti olsun. O zaman b¨uy¨uk n’ler i¸cin, hem a− ϵ < xn hem de zn< a + ϵ olur. (Neden?) Demek ki belki biraz daha b¨uy¨uk n’ler i¸cin
a− ϵ < xn≤ yn≤ zn< a + ϵ
olur. Bu b¨uy¨uk n’ler i¸cin a− ϵ < yn< a + ϵ, yani|yn− a| < ϵ olur. ¨
Ornekler
5.1. limn→∞n!/nn= 0 e¸sitli˘gini kanıtlayın.
Kanıt: ¨Ornek 3.49’a g¨ore,
2nn! nn < 3. Demek ki n≥ 4 i¸cin, 0≤ n! nn < 3 2n ≤ 3 n2.
(Neden?) En sa˘gdaki terim 0’a yakınsadı˘gından, Sandvi¸c Teoremi’ne g¨ore istenen limit 0 olmak zorundadır. Meraklı okur bu ¨orne˘gi tek ba¸sına, ¨Ornek 3.49’u kullanmadan yapmaya ¸calı¸smalıdır.
5.1. Yakınsak Diziler ve Sıralama 93
5.2. A¸sa˘gıdaki e¸sitli˘gi kanıtlayın:
lim n→∞ 1 n n ∑ i=1 1 i = 0.
Kanıt: Gene Sandvi¸c Teoremi’ni kullanaca˘gız. Ama ¨Ornek 3.5 de yardım edecek. ¨Once
1 n n ∑ i=1 1 i ≥ 1 n n ∑ i=1 1 n = 1 n
e¸sisizli˘gini g¨ozlemleyelim. Sonra da ¨Ornek 3.5’te yeterince b¨uy¨uk n sayıları i¸cin elde edilen 1 n n ∑ i=1 1 i ≤ 1 n √ n =√1 n
e¸sitsizli˘gini g¨orelim. Demek ki,
1 n ≤ 1 n n ∑ i=1 1 i ≤√1 n.
Birinci ve sonuncu diziler 0’a gitti˘ginden, ortadaki terim de 0’a gider.
Alı¸stırmalar 5.3. Terimleri 1 n+ 1 n+1+· · · + 1 n+n n
olan dizinin 0’a yakınsadı˘gını kanıtlayın. 5.4. Terimleri 1 n+ 1 n + 1+· · · + 1 n + n
olan dizinin 1/2 ile 1 arasında de˘ger aldı˘gını ve arttı˘gını kanıtlayın.
¨
Onsav 5.2. i. (xn)n dizisinin a’ya yakınsaması i¸cin, (−xn)n dizisinin −a’ya yakınsaması gerek ve yeter ko¸suldur.
ii. (xn)ndizisinin 0’a yakınsaması i¸cin, (|xn|)ndizisinin 0’a yakınsaması gerek ve yeter ko¸suldur.
iii. (xn)n, 0’a yakınsayan bir diziyse ve yeterince b¨uy¨uk n g¨osterge¸cleri i¸cin
(yani belli bir M g¨ostergecinden sonra) |yn| ≤ |xn| ise, (yn)n dizisi de 0’a yakınsar.
Kanıt: i. ¨Onermenin sadece bir y¨on¨un¨u kanıtlamak yeterli elbette. (xn)ndizisi
a’ya yakınsasın ve ϵ > 0 olsun. N , her n > N i¸cin,
|xn− a| < ϵ
e¸sitsizli˘gini sa˘glatan g¨osterge¸c olsun. O zaman her n > N i¸cin,
| − xn− (−a)| = | − xn+ a| = |xn− a| < ϵ
olur ve kanıtımız tamamlanır.
ii.−|xn| ≤ xn≤ |xn| oldu˘gundan, yukarıdakinden (a = 0 alın) ve Sandvi¸c
Teoremi’nden, (|xn|)ndizisi 0’a yakınsıyorsa, (xn)ndizisinin de 0’a yakınsadı˘gı anla¸sılır. S¸imdi (xn)n dizisinin 0’a yakınsadı˘gını varsayalım. ϵ > 0 olsun. N , her n > N i¸cin,
|xn| = |xn− 0| < ϵ
e¸sitsizli˘gini sa˘glatan g¨osterge¸c olsun. O zaman her n > N i¸cin, |xn| − 0 = |xn| =|xn| < ϵ
olur ve kanıtımız tamamlanır.
iii. Yeterince b¨uy¨uk n’ler i¸cin 0 ≤ |yn| ≤ |xn| oldu˘gundan ve sabit 0
di-zisi 0’a yakınsadı˘gından, Sandvi¸c Teoremi’nden (yn)n dizisinin 0’a yakınsadı˘gı ¸
cıkar.
iv. ϵ > 0 olsun. Yeterince b¨uy¨uk n g¨osterge¸cleri i¸cin, |xn| − |a| < ϵ
e¸sitsizli˘gini g¨ostermeliyiz. ¨Onsav 1.1.ix’a g¨ore, |xn| − |a| ≤ |xn− a|
oldu˘gundan ve sa˘gdaki |xn − a| terimi yeterince b¨uy¨uk n g¨osterge¸cleri i¸cin ϵ’dan k¨u¸c¨uk oldu˘gundan, kanıtımız tamamlanmı¸stır.
¨
Ote yandan (iv)’¨un tersi yanlı¸stır. ¨Orne˘gin, xn = (−1)n ise (|xn|)n dizisi 1’e yakınsar ama (xn)n dizisi hi¸cbir sayıya yakınsamaz.
S¸imdi de yakınsak bir dizinin terimlerinin sınırsız bir bi¸cimde artıp azala-mayaca˘gını kanıtlayalım.
Teorem 5.3. Yakınsak bir dizi sınırlıdır, yani e˘ger (xn)n dizisi yakınsaksa, o zaman ¨oyle bir B vardır ki, her n i¸cin |xn| < B olur.
Kanıt: Kanıtın anafikri ¸cok basit: E˘ger bir dizi a’ya yakınsıyorsa, bu dizinin terimleri a’dan s¨urekli uzakla¸samazlar...
5.1. Yakınsak Diziler ve Sıralama 95 Bir a sayısına yakınsayan bir (xn)n dizisi ele alalım. Yakınsamanın tanı-mında ϵ’u 1’e e¸sit alalım. 1, 0’dan b¨uy¨uk bir sayı oldu˘gundan buna hakkımız var. O zaman dizinin terimleri belli bir N g¨ostergecinden sonra (a− 1, a + 1)
aralı˘gına d¨u¸ser, yani her n > N i¸cin, xn∈ (a − 1, a + 1) olur.
Geriye sonlu sayıda x0, x1, . . . , xN terimi kalır. Bunlar da sınırlı bir aralı˘ga sı˘garlar elbette. Daha bi¸cimsel olalım ve
A = min{x0, x1, . . . , xN, a} − 1, B = max {x0, x1, . . . , xN, a} + 1
tanımlarını yapalım. O zaman her xn terimi (A, B) aralı˘gına d¨u¸ser. Demek ki
dizi sınırlıdır.
Demek ki sınırlı olmayan bir dizi ıraksak olmak zorundadır. ¨Orne˘gin, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
do˘gal sayı dizisi ıraksaktır. Sınırlı olmayan ama sınırlı olmadı˘gı bir ¨onceki dizi kadar bariz olmayan ba¸ska diziler de vardır, ¨orne˘gin terimleri
1 +1 2 +
1
3 +· · · + 1 n
olan dizi her sayıyı a¸sar ama ¸coook uzun bir s¨ure sonra a¸sar, o kadar ki ¨
u¸senmeyip hesap yaparsak dizinin sınırlı oldu˘gunu bile sanabiliriz. Demek ki bu dizi de ıraksaktır.
¨
Ote yandan, her sınırlı dizi yakınsak de˘gildir, ¨orne˘gin, 1,−1, 1, −1, 1, −1, . . .
diye devam eden dizi sınırlıdır ama yakınsak de˘gildir. Alı¸stırmalar
5.5. Sınırlı diziler k¨umesinin toplama, ¸cıkarma ve ¸carpma altında kapalı oldu˘gunu kanıtlayın. 5.6. (xn)n, hi¸cbir terimi 0 olmayan bir dizi olsun. (1/xn)n dizisi illa sınırlı olmak zorunda
mıdır?
5.7. (xn)n, hi¸cbir terimi 0 olmayan bir dizi olsun. (1/xn)ndizisinin sınırlı olması i¸cin,
her n i¸cin, 0 < δ <|xn| e¸sitsizli˘gini sa˘glayan n’den ba˘gımsız bir δ > 0 vardır
ko¸sulunun yeter ve gerek oldu˘gunu kanıtlayın.
5.8. (xn)ndizisi sınırlıysa ve (yn)ndizisi 0’a yakınsıyorsa, (xnyn)n dizisinin de 0’a yakınsa-dı˘gını kanıtlayın.
5.9. (xn)n dizisi sınırlıysa ve (yn)n dizisi yakınsaksa, (xnyn)n dizisi de yakınsak olmak zo-runda mıdır?
5.10. A⊆ R ¨ustten sınırlı bir k¨ume olsun. O zaman t¨um terimleri A’da olan ¨oyle bir (an)n dizisi vardır ki limn→∞an= sup A olur. Kanıtlayın. Dizinin azalmayan bir dizi olarak se¸cilebilece˘gini g¨osterin.
5.2 Yakınsak Dizi Aritmeti˘gi
Bu b¨ol¨umde yakınsak dizilerle toplama, ¸cıkarma, ¸carpma ve b¨olme i¸slemleri arasındaki ili¸skiyi g¨orece˘giz.
Teorem 5.4. ˙Iki yakınsak dizinin toplamı, farkı, ¸carpımı, (m¨umk¨un oldu-˘
gunda) kesirli bir kuvveti ve birbirine b¨ol¨um¨u de yakınsaktır ve dizilerin limiti tahmin edilen sayıdır. Daha net bir ifadeyle, (xn)nve (yn)niki yakınsak diziyse ve q ∈ Q ise (xn+ yn)n, (xn− yn)n, (xnyn)n dizileri de yakınsaktır ve
i. limn→∞(xn+ yn) = limn→∞xn+ limn→∞yn,
ii. limn→∞(xn− yn) = limn→∞xn− limn→∞yn,
iii. limn→∞(xnyn) = (limn→∞xn)(limn→∞yn),
e¸sitlikleri ge¸cerlidir. Dolayısıyla her r ∈ R ve k ∈ N i¸cin, (rxn)n ve (xkn)n
dizileri de yakınsaktır ve
iv. limn→∞rxn= r (limn→∞xn) ve limn→∞xkn= (limn→∞xn)k olur.
v. Ayrıca e˘ger (yn)n dizisinin her terimi 0’dan farklıysa ve limn→∞yn ̸= 0 ise, o zaman (xn/yn)n dizisi de yakınsaktır ve