Como descrito no Apêndice C e aplicado para o caso de uma planta linear simples no Apêndice D, esta metodologia de estimação recursiva da variância mínima requer, primeiramente, que se encontre a ordem de um modelo para o qual não haja alterações significativas do Índice de Variância Mínima com a introdução de novos regressores. Desborough e Harris (1992) indicam a aplicação de um modelo do tipo auto regres- sivo. Nota-se que, para o caso linear, consegue-se definir uma ordem mínima de 10 regressores, a partir dos quais não se verificaram variações acentuadas para o cálculo do índice de desempenho, como mostrado pela Figura D.1.
É necessário, para a planta de controle de pH que possui uma dinâmica não-linear, definir a ordem do modelo que seja comum aos diversos pontos de operação, para que com isso, possa-se fazer uma estimação confiável da variância mínima em qualquer circunstância. Para tanto, são utilizados dados da aplicação do controlador GPC para experimentos realizados em torno do pH 9 e pH 4. Para todos os testes, o pH do reagente ácido é de 1,06 e o do reagente básico era igual a 11, o que resulta em concentrações de íons [H+] de 0.087 mol/l e de íons [OH−] de 0.001 mol/l. O volume do tanque de
mistura é mantido constante em 3,5 l. Em todos os casos, aplica-se uma perturbação no sistema, com o aumento da vazão de base em 67%. O tempo de amostragem é igual a 1.6 segundos.
A resposta do controlador GPC em torno do pH 9 é mostrado na Figura 3.1. Para esse experimento, a perturbação, caracterizada pelo aumento da vazão do reagente base, é introduzida na amostra 620, a partir da qual, se percebe visualmente pelo gráfico da Figura 3.1, uma variação mais freqüente do pH e um menor espaçamento entre as
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rajadas da bomba peristáltica.
Figura 3.1: Resposta do controlador GPC para a malha de controle em torno do pH 9.
Como descrito no Apêndice C, a estimativa de Desborough e Harris (Desborough e Harris, 1992) requer o conhecimento do tempo morto do processo. De acordo com o que já foi discutido anteriormente, escolhe-se o valor definido na Seção 2.4. Sendo assim, para cada experimento realizado, calcula-se o Índice de Variância Mínima dado pela Equação (1.7) para modelos do tipo AR (auto-regressivo) do tipo:
pH(k) = −αn. pH(k−n)−αn−1. pH(k−(n−1))−αn−2. pH(k−(n−2))+· · ·−α2. pH(k−2) (3.2)
variando a ordem do modelo de n = 2 até n = 50. Para a série temporal da Figura 3.1, o procedimento de cálculo do Índice de Variância Mínima proposto por (Desborough e Harris, 1992) resulta no gráfico da Figura 3.2. De acordo com (Desborough e Harris, 1992) e baseado em uma análise do gráfico da Figura 3.2, a menor ordem do modelo AR
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que melhor representa os dados da Figura 3.1 é n = 17. Ou seja, a partir do regressor pH(k − 17), não se observam alterações no cálculo do Índice de Variância Mínima.
Figura 3.2: Variação do Índice de Variância Mínima (η), Equação 1.7, em função da ordem do modelo AR para o pH 9 para o método de Desborough e Harris (Desborough e Harris, 1992) não-recursivo.
O grande questionamento para índices de desempenho que dependem de um bom modelo para o sistema são os erros e avaliações equivocadas cometidos devido às alterações na planta. Ou seja, um modelo, que é válido para um ponto de operação específico, pode não corresponder aos dados de processo em uma outra situação. Esse fato se agrava ainda mais na análise de um sistema de controle de dinâmica não-linear, (vide planta de pH), na qual ocorrem variações do ganho do processo e mudança no tempo morto ao longo de toda a faixa de operação.
Para analisar a dificuldade de definir um modelo AR comum para toda a faixa de trabalho da planta de pH, faz-se a estimação da variância mínima para ordens distintas de um modelo AR com os dados de um experimento realizado com o mesmo contro- lador GPC, agora em torno do pH 4. A resposta do processo ao Controlador Preditivo Generalizado é mostrada na Figura 3.3, na qual ocorre a aplicação da perturbação de base no instante igual a 290 amostras.
O Índice de Variância Mínima (η) da Equação (1.7), para cada ordem do modelo AR, é apresentada na Figura 3.4. Por meio dessa percebe-se a dificuldade de convergência
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Figura 3.3: Resposta do controlador GPC para a malha de controle em torno do pH 4.
Figura 3.4: Variação do Índice de Variância Mínima (η), Equação 1.7, em função da ordem do modelo AR para o pH 4 para o método de Desborough e Harris (Desborough e Harris, 1992) não-recursivo.
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do índice de desempenho para um valor estável. Ao passo em que são adicionados regressores ao modelo, o índice η manifesta variações consideráveis, que não podem ser desprezadas, o que indica a necessidade de um modelo com mais regressores. Além disso, a equivalência com o modelo escolhido para o pH 9, em que foram necessários 17 regressores para o cálcuo do Índice de Variância Mínima, ficou longe de ser alcançada. Para o pH 4, de acordo (Desborough e Harris, 1992) e analisando a Figura 3.4, a matriz de regressores X do Mínimos Quadrados deve incluir dados até pH(k − 38).
Mesmo que, porventura, o número de regressores para ambos os casos fosse idên- tico, percebe-se que, normalmente, para o método de Desborough e Harris (Desborough e Harris, 1992), os modelos necessários para garantir a convergência do Índice de Va- riância Mínima requerem um conjunto numeroso de regressores(Kempf, 2003). Esse fato é observado não somente para o caso da planta não-linear, como também para o sistema simples do Apêndice C, no qual foi conveniente a modelagem até y(k − 10). A ordem elevada para o modelo, para a estimação de parâmetro por meio do Mínimos Quadrados, implica em uma matriz de regressores X grande, o que aumenta a complex- idade do processo de estimação. Considerando o caso recursivo, um número excessivo de parâmetros é prejudicial à convergência dos mesmos. Além disso, aumentando a complexidade do modelo, tem-se um aumento na variância dos parâmetros estimados, e conseqüentemente, uma redução na confiabilidade do modelo (Jota, 2004).
Fica claro que o procedimento apresentado de Desborough e Harris (Desborough e Harris, 1992) apresenta inúmeras dificuldades para uma boa estimação da variância mínima, ainda mais se for considerado o caso de uma dinâmica não-linear. Desta forma, experimenta-se outro método de estimação da variância mínima, baseada na determinação de um preditor r passos a frente para a série temporal de pH.