Zaman kavramını içeren veriler genellikle karşımıza ekonomik veriler olarak çıkmaktadır. Söz konusu bu veriler ile çalışmak için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu yöntemler tek değişkenli modeller oluşturabilirken çok değişkenli modeller oluşmasına da olanak vermektedir. Böylelikle değişkenler arasındaki ilişki incelenmiş olup değişkenlerin etkilerinin yönleri hakkında da bize bilgi vermektedir. Ancak iktisadi verilerde sebep sonuç ilişkisinin kurulmasında çok değişkenli denklemlerde hangi değişkenin sebep hangi değişkenin sonuç olduğuna karar vermek oldukça zordur. Bu zorluğu aşabilmek için modellere bazı kısıtlamalar getirilmektedir. Bu kısıtlamalardan birini de Sims (1980) yılında getirmiştir. Böylelikle yeni bir ekonometrik model elde edilmiştir.
4.1.2. Vektör Otoregresif Modelin Modellenmesi
Sims (1980) 'in geçtiğimiz yüzyılın seksenlerinin başlarındaki eleştirisinden bu yana, vektör otoregresif modeller bağlamında çok değişkenli veri analizi, ekonometride standart bir araç olarak gelişmiştir. İstatistiksel testler sıklıkla bağımlılıklar ve değişkenler arasındaki dinamik ilişkilerin belirlenmesinde kullanıldığından, bu metodoloji daha önce istatistiksel olmayan bir ön bilgi içererek zenginleştirilmiştir. VAR modelleri, endojen değişkenleri yalnızca deterministik regresörler dışında değil kendi geçmişleriyle de açıklar.
Buna karşılık, yapısal vektör otoregresif modelleri, sol taraftaki değişkenler arasındaki birbirine bağımlılığın açık bir şekilde modellenmesine izin verir. Dolayısıyla, bu tip modeller VAR modellerinin eksikliklerini ortadan kaldırmaya çalışmaktadır. Sims ile aynı zamanda 1940'larda ve 1950'lerde Cowles Vakfı tarafından ortaya konan çoklu yapısal denklem modellerinin paradigmasını tehlikeye attığı gibi, Granger (1981) ve Engle ve Granger (1987), ekonomistlere ekonomik ilişkileri modellemek ve test etmek için güçlü bir araç sağlamıştır. Günümüzde, bu araştırma dalları vektörel hata düzeltme (VECM) ve yapısal vektörel hata düzeltme modelleri (SVEC) şeklinde bir araya getirilmektedir (Pfaff, 2008).
Böylelikle VAR modellerinin çeşitlemesi ortaya çıkmıştır. Aşağıdaki modelleme Sims tarafından gerçekleştirilen temel modeldir (Pfaff, 2008).
Temel formunda bir VAR, K kümesi endojen
değişkenlerinden oluşur. için VAR (p) işlemi daha sonra şöyle tanımlanır:
; için katsayılı matrisler ve ve zamanla
değişmeyen pozitif kesin kovaryans matrisi (Beyaz gürültü) ile K
boyutlu bir işlemdir.
Bir işleminin önemli bir özelliği, kararlılığıdır. Bu, yeterli başlangıç değerleri verilen zamanla değişmeyen araçlar, varyanslar ve kovaryans yapısı ile durağan zaman serileri oluşturduğu anlamına gelir. Bir karakteristik polinom değerlendirilerek bu kontrol edilebilir:
için
Yukarıdaki denklemin çözümü için bir kök içeriyorsa, işlemindeki
değişkenlerin bazıları veya tümü, birinci girdi, yani ile birleştirilir. Değişkenler arasındaki eşbütünleşme mevcut olabilir. Bu örnek daha sonra bir VECM bağlamında daha iyi analiz edilebilir.
Uygulamada, deneysel bir işleminin kararlılığı, eşlik eden form dikkate alınarak ve katsayı matrisinin özdeğerleri hesaplanarak analiz edilebilir. Bir
işlemi işlemi olarak yazılabilir:
Burada, yığılmış vektörlerin ve ' nin boyutları ve matrisin A boyutu
'dir. A'nın öz değerlerinin modülleri birden küçükse, işlemi stabildir.
Verilen endojen değişkenlerin bir örneği için ve yeterli ön örnek değerleri
bir işleminin katsayıları, denklemlerin her birine ayrı olarak
uygulanan en küçük kareler ile verimli bir şekilde tahmin edilebilir.
Bir modeli tahmin edildikten sonra, yol daha fazla analiz için tamamen açıktır. Bir araştırmacı, otokorelasyonun yokluğu için test, hata bulma sürecinde heteroseksüellik veya normal olmayan testler gibi teşhis testleriyle ilgilenebilir / ilgilenmelidir. Nedensel çıkarım, deneysel modelin dinamik davranışını tahmin etme ve / veya teşhis etme, yani dürtü yanıt fonksiyonları ve hata varyansı ayrışmasını tahmin etme ile daha fazla ilgilenebilir. Son iki basamak, şöyle tanımlanmış olan kararlı
işlemleri için Wold hareketli ortalama ayrışmasına dayanır:
ve aşağıdakilere göre yinelemeli olarak hesaplanabilir:
Son olarak, ampirik bir işleminin 'i olan kat için tahminler aşağıdakilere göre tekrar tekrar üretilebilir:
için
Tahmin hatası kovaryansı matrisi şöyle verilir:
ve matrisleri, Wold hareketli ortalamalarının yukarıda gösterildiği gibi sabit bir işleminin temsili olan ampirik katsayılı matrisleridir. Operatörü bir Kronecker ürünüdür.
4.1.3. Dikey Fuller Test İstatistiği
Otoregressif modeli aşağıdaki gibi varsayalım (Dickey ve Fuller,1979). (1.1)
Buradaki , gerçek bir sayıdır ve ortalama sıfır ve varyans σ2 ile
bağımsız normal rastgele değişkenlerin bir dizisidir [yani et NID (0, σ2)]. Yt zaman serisi (t
→∞) ise durağan bir zaman serisine dönüşür. ise, zaman serileri durağan
değildir ve Yt varyansı 'dir. olan zaman serilerine bazen rastgele yürüyüş denir.
Eğer ise, zaman serileri durağan değildir ve zaman serisinin varyansı t arttıkça üssel olarak artar. N gözlemleri göz önüne alındığında, Y1, Y2, ..., Yn, 'nin maksimum
olasılık tahmincisi aynı zamanda en küçük kareler tahmincisidir. 1.2
Rubin (1950), 'nin, 'nin tüm değerleri için tutarlı bir tahmin edici olduğunu
sınırlayıcı ortak moment oluşturma fonksiyonunu elde etmiştir. için, ’nin sınırlayıcı dağılımını elde etmek için ortak moment oluşturma fonksiyonunu tersine
çevirebilmiştir. için n1/2 ’nin sınır dağılımı normaldir. için
'nin sınırlayıcı dağılımı Cauchy'dir. için, White, Wiener işleminde tanımlanan iki integralin oranıyla 'in sınırlayıcı dağılımını temsil edebilmiştir.
Rao (1961), White'ın sonuçlarını, karakteristik denklemlerinin tek bir kökü ve kalan kökleri mutlak değerde birden daha az olan yüksek dereceli otoregresif zaman serisine genişletmiştir. Anderson (1959), mutlak değerde birden fazla kökü aşan yüksek dereceli işlemler için tahmin edicilerin sınırlayıcı dağılımlarını elde etmiştir.
olan hipotez, uygulamada biraz daha ilgi görmüştür çünkü zaman serisini farklılaştırarak dönüştürmenin uygun olduğu hipotezine dayanır. Uygulayıcılar otomatik korelasyon fonksiyonunun görsel incelemesi temelinde bir zaman serisini değiştirmeye karar verebilirler. Sonrasında sabitlenen modelden sapmaların kendi kendine korelasyon işlevi, modelin uygunluğunun bir testi olarak araştırılır. Box ve Jenkins (1970, s. 291); Box ve Pierce (1970) test istatistiklerini önermiş ve
ve 'ler, sabitlenen modelin artıklarıdır. Sıfır hipotezi altında, istatistik yaklaşık olarak serbestlik derecelerine sahip ki-kare rasgele bir değişken olarak ayrıştırılır, burada tahmin edilen parametre sayısıdır. Eğer (1.1)’ i sağlıyorsa, boş hipotez
altında ve olur.
Bu çalışmada ve 'nin sınır dağılımları için, olması koşuluyla gösterimler elde edilmiştir. Gösterimler, istatistikler için yüzde puan tablolarının oluşturulmasına izin vermektedir. İstatistikler ayrıca kesişme ve zaman terimlerini içeren modellere genelleştirilebilir.