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Neste cap´ıtulo foram propostas duas novas distribui¸c˜oes de tempo de vida: a distri- bui¸c˜ao E2G e a CE2G, ambas no cen´ario de risco latentes, onde a E2G ´e desenvolvida no cen´ario com riscos competitivos e a CE2G com riscos complementares.

A distribui¸c˜ao E2G generaliza a distribui¸c˜ao EG proposta por (Adamidis e Loukas, 1998) e possui fun¸c˜ao de risco crescente, decrescente e unimodal. As propriedades da distri-

bui¸c˜ao E2G foram discutidas, incluindo provas anal´ıticas da sua f.d.p., da fun¸c˜ao de sobre- vivˆencia, da fun¸c˜ao de risco, dos momentos, do r-´esimo momento da i-´esima estat´ıstica de ordem e a vida residual m´edia. Os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca foram obtidos di- retamente da maximiza¸c˜ao da log-verossimilhan¸ca. Na aplica¸c˜ao do modelo em dados reais foi apresentado conjuntos de dados que mostram a importˆancia do modelo E2G frente a outros modelos por sua interpreta¸c˜ao.

A distribui¸c˜ao CE2G possui fun¸c˜ao de risco crescente, decrescente e em forma de banheira. As propriedades da distribui¸c˜ao CE2G foram discutidas, incluindo provas anal´ıticas de sua f.d.p., da fun¸c˜ao de sobrevivˆencia, da fun¸c˜ao de risco, dos momentos, do r-´esimo momento da i-´esima estat´ıstica de ordem, a vida residual m´edia, uma medida de entropia e uma medida de confiabilidade. Os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca foram obtidos diretamente da maximiza¸c˜ao da log-verossimilhan¸ca. Na aplica¸c˜ao do modelo em dados reais foi apresentado conjuntos de dados que mostram a importˆancia do modelo CE2G frente a outros modelos por sua interpreta¸c˜ao.

Neste cap´ıtulo n˜ao verificamos que o modelo ´e identific´avel, por´em no pr´oximo cap´ıtulo abordamos a identificabilidade de um modelo derivado pela transforma¸c˜ao logar´ıtima e assim a verifica¸c˜ao da identificabilidade dos modelos E2G e CE2G se tornam apenas um problema alg´ebrico por apresentar resultados bem pr´oximos para as fun¸c˜oes envolvidas na identificabili- dade.

Os resultados deste cap´ıtulo, foram apresentados a duas revistas e encontram-se publi- cados em Louzada et al. (2014) e Marchi et al. (2013).

Modelo de regress˜ao Log-CE2G

Na an´alise de sobrevivˆencia ´e comum o estudo de uma determinada rela¸c˜ao particular entre vari´aveis caracter´ısticas do objeto em estudo com uma determinada resposta. Uma rela¸c˜ao usual ´e a rela¸c˜ao linear, a qual costuma ser denominada modelos de vida logar´ıtima, os quais mant´em algumas propriedades da regress˜ao para modelos Normais com a vantagem de poder ser considerado dados censurados. Tais modelos s˜ao especialmente ´uteis no estudos de tempos de vida pois pela rela¸c˜ao particular entre as vari´aveis dependentes e a resposta, a resposta pode variar entre indiv´ıduos que possuem n´ıveis diferentes para os valores das covari´aveis.

Muitos autores tem sugerido o uso de modelos baseados na transforma¸c˜ao logar´ıtima das distribui¸c˜oes de tempo de vida. Franco (1984) propˆos o uso da distribui¸c˜ao log-Log´ıstiva para a distribui¸c˜ao do tempo at´e a falha em an´alise bin´aria. Smith e Hammond (1988) pro- puseram que a distribui¸c˜ao residual da m´edia tem a distribui¸c˜ao log-Gamma. Leiva et al. (2007) o uso da distribui¸c˜ao Birbaum-Saunders na presen¸ca de dados censurados. A distri- bui¸c˜ao Birbaun-Saunders ´e uma distribui¸c˜ao importante originada para o estudo do tempo de vida com o fator de fadiga. Oliveira et al. (2008) propuseram o uso da distribui¸c˜ao BurrXII com dados censurados como altenativa a distribui¸c˜ao log-Log´ıstica.

A importˆancia dessas distribui¸c˜oes tamb´em se deve ao fato que os modelos possuem fun¸c˜oes de risco n˜ao-mon´otonas, o que s˜ao comuns em an´alise de tempos de vida e confiabili- dade. Muitos autores tˆem sugerido distribui¸c˜oes com fun¸c˜oes de risco n˜ao-mon´otonas. Cancho et al. (2009) apresentaram a distribui¸c˜ao log-Exponenciada-Weibull com fra¸c˜ao de cura. San- tana et al. (2012) propuseram a distribui¸c˜ao Kumaraswamy-log-Log´ıstica que tˆem como caso particular a distribui¸c˜ao log-Log´ıstica e a log-BurXII. Lemonte et al. (2013) propuseram a distribui¸c˜ao exponenciada de Kumaraswamy baseada na fun¸c˜ao Beta generalizada.

Neste cap´ıtulo propomos o modelo de regress˜ao de log-loca¸c˜ao-escala para tempos 41

de vida usando a distribui¸c˜ao Exponencial exponenciada complementar-geom´etrica (CE2G) de Marchi et al. (2013), determinada de modelo de regress˜ao log-CE2G. A distribui¸c˜ao CE2G tamb´em foi obtida por Bidram et al. (2012), a qual ´e chamada de “New Generalized Exponential Geometric” (NGEG). A inferˆencia ser´a implementada de forma direta da maximiza¸c˜ao da log- verossimilhan¸ca e ser´a determinada uma an´alise de res´ıduos.

3.1

Modelo de regress˜ao log-CE2G

Muitos autores se baseiam no modelo de risco proporcional de Cox (Cox, 1972). Por outro lado, em muitas aplica¸c˜oes pr´aticas, os tempos de vida s˜ao afetados por vari´aveis, comu- mente chamadas de covari´aveis, como o n´ıvel de colesterol, a press˜ao sangu´ınea entre outras. Portanto, ´e importante explorar a rela¸c˜ao entre o tempo de vida e as vari´aveis explicativas tendo o comportamento do modelo de regress˜ao uma abordagem intuitiva sobre o tempo de vida.

Seja T uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao CE2G. Ent˜ao a transforma¸c˜ao Y = σ log(T ) tem distribui¸c˜ao log-CE2G. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao e a f.d.p. da distribui¸c˜ao log- CE2G s˜ao dadas por

F (y) = θ(1 − exp{−e y−µ σ })α 1 − (1 − θ)(1 − exp{−ey−µσ })α e (3.1.1) f (y) = αθ exp{ y−µ σ − e y−µ σ }(1 − exp{−e y−µ σ })α−1 σh_{1 − (1 − θ)(1 − exp{−e}y−µσ })α i2 , (3.1.2)

respectivamente, em que λ = exp{−µ/σ}, −∞ < y < ∞, σ > 0, α > 0 e −∞ < µ < ∞. A Figura 3.1 apresenta a f.d.p. e a fun¸c˜ao de risco para alguns valores desta distribui¸c˜ao.