VEKTÖR OTOREGRESİF MODEL (VAR)

VAR modelleri birden fazla içsel değişkenin birlikte bulunduğu eşanlı denklem modellerine dayanmaktadır. Eşanlı denklem modelleri birçok iktisadi olayı bir bütün şeklinde ele alarak bunlara kaynaklık eden ilişkileri, birden fazla denklemden oluşan bir sistem içinde inceleyen modellerdir.

Eşanlı denklem sistemlerinde bazı değişkenler içsel, bazıları da dışsal ya da önceden belirlenmiş olarak alınır. Böyle modelleri tahmin etmeden önce modeldeki denklemlerin tam ya da aşırı belirlenmiş olması gerekir (Gujarati, 2009:746).

Sims (1980), bir değişken takımı arasında gerçekten eşanlılık varsa içsel ve dışsal değişkenler arasında önsel bir ayrım yapılmasına karşı çıkmıştır. Bir ekonometrik modelde yer alan her değişkenin diğer bir değişkeni etkileyebileceğini ve aynı şekilde onlardan etkilenebileceğini ileri süren Sims VAR modelini geliştirmiştir.

VAR modeli, her bir değişken için bir tane olmak üzere k tane zaman serisi değişkeni ve k tane denklemden oluşan, tüm değişkenlerin gecikmeli değerlerinin bütün denklemlerde açıklayıcı değişken olarak yer aldığı bir modeldir.

136 İki değişkenli standart VAR(p) gösterimi;

𝑋_𝑡 = ∑ 𝛼_𝑖𝑋_𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1

+ ∑ 𝛽_𝑖𝑌_𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1

+ 𝑒_1𝑡

𝑌_𝑡 = ∑ 𝜆_𝑖𝑋_𝑡−𝑖

𝑝

𝑖−1

+ ∑ 𝛿_𝑖𝑌_𝑡−𝑖

𝑝

𝑖=1

+ 𝑒_2𝑡

(3.23)

Burada p gecikme sayısıdır.

İki değişkenli ve 1 gecikmeli eşanlı bir denklem sisteminin VAR gösterimi;

𝑦_𝑡 = 𝑏₁₀− 𝑏₁₂𝑧_𝑡+ 𝛾₁₁𝑦_𝑡−1+ 𝛾₁₂𝑧_𝑡−1+ 𝜀_𝑦𝑡 𝑧_𝑡 = 𝑏₂₀− 𝑏₂₁𝑦_𝑡+ 𝛾₂₁𝑦_𝑡−1+ 𝛾₂₂𝑧_𝑡−1+ 𝜀_𝑧𝑡

(3.24)

şeklindedir. Burada 𝑦𝑡 ve 𝑧𝑡 içsel değişkenleri temsil etmektedir ve durağan oldukları varsayılır. 𝜀𝑦𝑡 ve 𝜀𝑧𝑡 yapısal şokları temsil etmektedir ve sırasıyla 𝜎𝑦 ve 𝜎𝑧 standart sapmalarına sahip beyaz gürültü süreci sergilediği varsayılır. 𝜀𝑦𝑡 ve 𝜀𝑧𝑡’nin korelasyonsuz olduğu, diğer bir ifadeyle her bir şokun birbirinden bağımsız kaynaklar tarafından oluşturulduğu varsayılmaktadır (Enders, 1995:294).

Modelde yer alan 𝑏10 ve 𝑏20 sabit terimler, 𝛾11, 𝛾12, 𝛾21 ve 𝛾22 ise gecikmeli değişkenlere ait parametrelerdir. Eğer −𝑏21 sıfıra eşit değilse 𝜀𝑦𝑡’nin 𝑧𝑡 üzerinde dolaylı eşanlı bir etkisi olacaktır. Aynı şekilde −𝑏12 sıfıra eşit değilse 𝜀𝑧𝑡’nin 𝑦𝑡 üzerinde dolaylı eşanlı bir etkisi olacaktır.

𝑦_𝑡 ve 𝑧𝑡’nin birbirleri üzerinde eşanlı etkileri olması hata terimlerinin modelde yer alan değişkenlerle ilişkili olmasına yol açmakta ve katsayıların sapmasız ve tutarlı tahminlerinin elde edilebilmesinin önüne geçmektedir. Katsayıların tutarlı tahminlerinin elde edilebilmesi için standart VAR modeline geçilmesi gerekmektedir. Standart modele geçerken işlemlerde kolaylık sağlaması açısından (3.24) numaralı eşitlik matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

137



 







 







 







 







 







 









zt yt t

t t

t

z y c c

c c b

b z

y b

b





1 1 22 21

12 11 20

10 21

12

1

1 (3.25)

Bu eşitliğin kapalı matris notasyonu ile gösterimi aşağıdaki gibidir:

BXt = Γ₀+ Γ₁X_t−1+ ε_t (3.26) Burada;



 





1 b

b B 1

21

12 , _



 





t t

t z

X y , _



 







20 10

0 b

b , _



 







22 21

12 11

1 c c

c

c ve _



 







 



zt yt

t

(3.26) numaralı eşitlik VAR(1) modelinin yapısal biçimde gösterimidir. Bunu n değişkenli ve p gecikmeli bir modele genellersek;

BXt = Γ₀+ ∑^𝑝_𝑖=1Γ_iX_t−i+ ε_t (3.27) Burada B matrisi cari dönemde içsel değişkenler arasındaki etkileşimi göstermekte olup 𝑛𝑥𝑛 boyutlu bir kare matristir. Xt, 𝑛𝑥1 boyutlu içsel değişkenler matrisi ve Xt−i, 𝑖 = 1,2. . . 𝑝, içsel değişkenlerin gecikmeli değerlerinden oluşan 𝑛𝑥1 boyutlu matrislerdir.

ε_t, durağan hata terimleri vektörü olup 𝑛𝑥1 boyutludur. Γ0, 𝑛𝑥1 boyutlu sabit terim matrisini; Γi matrisi ise 𝑛𝑥𝑛 boyutlu katsayı matrislerini temsil etmektedir.

Sistemi standart formda VAR modelini elde edebilmek için (3.27) numaralı eşitliğin her iki tarafı B⁻¹ matrisi ile çarpılır.

B⁻¹BX_t= B⁻¹Γ₀+ B⁻¹Γ₁X_t−1+ B⁻¹ε_t (3.28) (3.28) numaralı modeli indirgenmiş biçim katsayılarıyla ifade ettiğimizde;

Xt= A₀ + A₁X_t−1+ e_t (3.29) Burada;

A_i = B⁻¹Γ_i i = 0,1, … . , p (3.30) (3.29) numaralı eşitlik kısıtsız bir VAR modelinin standart gösterimidir. Standart VAR modelinde her bir içsel değişken sistemde yer alan tüm değişkenlerin gecikmeli

138 değerleriyle açıklanmaktadır ve bu içsel değişkenlerin gecikmeli değerlerinin hata terimleriyle ilişkili olmadığı varsayıldığından her bir eşitlik EKK ile tahmin edilebilir.

(3.29) numaralı eşitlikte kapalı formda gösterilen model denklemler şeklinde yazılırsa;

𝑦_𝑡= 𝑎₁₀+ 𝑎₁₁𝑦_𝑡−1+ 𝑎₁₂𝑧_𝑡−1+ 𝑒_1𝑡

(3.31) 𝑧_𝑡 = 𝑎₂₀+ 𝑎₂₁𝑦_𝑡−1+ 𝑎₂₂𝑧_𝑡−1+ 𝑒_2𝑡

Burada hata terimleri 𝑒1𝑡 ve 𝑒2𝑡, εyt ve εyt şoklarının bileşiminden oluşmaktadır. 𝑒𝑡= 𝐵⁻¹ε_t olduğundan 𝑒1𝑡 ve 𝑒2𝑡’yi aşağıdaki gibi hesaplamak mümkündür.

𝑒_1𝑡 =(𝜀_𝑦𝑡− 𝑏₁₂𝜀_𝑧𝑡) (1 − 𝑏₁₂𝑏₂₁)

𝑒_2𝑡 =(𝜀_𝑧𝑡 − 𝑏₂₁𝜀_𝑦𝑡) (1 − 𝑏₁₂𝑏₂₁)

ε_yt ve εzt white noise (temiz dizi) sürecine sahip olduğundan artık 𝑒1𝑡 ve 𝑒2𝑡 sıfır ortalama ve sabit varyansa sahip ve korelasyonsuzdur.

(3.24) numaralı denklem yapısal VAR ya da ilkel sistem olarak adlandırılırken (3.31) numaralı denklem standart VAR olarak adlandırılır (Enders, 1995:295). Yapısal VAR modellerinde, 𝑧𝑡 değişkeninin hata terimi εyt ile korelasyonlu olması ve 𝑦𝑡

değişkeninin de hata terimi 𝜀𝑧𝑡 ile korelasyonlu olması, değişkenlerin EKK yöntemiyle tahminini engellemektedir. Oysa, standart VAR modelinde değişkenlerin EKK yöntemi ile tahmini mümkündür.

Yapısal VAR modeli parametreleri uygun şekilde kısıtlanmadıkça, standart VAR modeli parametreleri ile belirlenmesi mümkün değildir. Çünkü yapısal VAR modelinin parametre sayısı standart VAR modelinden daha fazladır. Standart VAR modeli 9 parametre (𝑎10, 𝑎₂₀, 𝑎₁₁, 𝑎₂₁, 𝑎₁₂, 𝑎₂₂, 𝑣𝑎𝑟(𝑒_1𝑡), 𝑣𝑎𝑟(𝑒_2𝑡), 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟(𝑒_1𝑡, 𝑒_2𝑡)) içerirken, yapısal VAR modeli 10 parametre (𝑏10, 𝑏₂₀, 𝑏₁₂, 𝑏₂₁, 𝛾₁₁, 𝛾₁₂, 𝛾₂₁, 𝛾_22,𝜎_𝑦, 𝜎_𝑧) içermektedir.

Dolayısıyla, yapısal VAR modelinde bir parametrenin kısıtlanması tüm sistemin belirlenebilmesine olanak sağlayacaktır (Kasapoğlu, 2007:42).

139 Sims (1980) kısıtsız VAR modelinin belirlenebilmesi için artıkların üçgensel olarak ayrıştırıldığı ardışık (recursive) yapıyı önermiştir. Bu yapıya Cholesky Ayrıştırması denmektedir. Bu ayrıştırmada 𝑛𝑥𝑛 boyutlu B matrisindeki diagonal elemanlarının üzerindeki elemanlar sıfır kabul edilir. Bu yapı sistemin belirlenebilmesi için gerekli kısıt sayısı olan (𝑛²− 𝑛/2) kısıtı sağlar ve sistem belirlenir. Bu sisteme göre, yapısal VAR modelinin 𝑏21 parametresi sıfır varsayılırsa, 𝑧𝑡değişkeni 𝑦𝑡 değişkeni üzerinde eş zamanlı bir etkiye sahipken, 𝑦𝑡 değişkeni 𝑧𝑡 değişkeni üzerinde bir dönem gecikmeli bir etkiye sahip olacaktır.

𝑏₂₁= 0 kısıtı altında



 



 





1 0

1 12

1 b

B

olacaktır. Matris formundaki yapısal model bu 𝐵⁻¹ ile çarpıldığında

^{0 1}

1 1

0 1 1

0

1 ₁₂

1 1 22 21

12 11 12 20

10

12 



 







 



 





 







 







 



 





 







 



 





 









zt yt t

t t

t b

z b y

b b b z

y











 (3.32)

ya da

^

 



 





 







 



  





 



 





 









zt zt 12 yt 1

t 1 t 22

21

22 12 12 21 12 11 20

20 12 10 t

t

ε ε b ε z

y γ

γ

γ b γ γ b γ b

b b b z

y (3.33)

olur. Elde edilen bu matris eşitliğinde

𝑎₁₀ = 𝑏₁₀−𝑏₁₂𝑏₂₀ 𝑎₁₁= 𝛾₁₁−𝑏₁₂𝛾₂₁ 𝑎₁₂= 𝛾₁₂−𝑏₁₂𝛾₂₂

𝑎₂₀ = 𝑏₂₀ 𝑎₂₁= 𝛾₂₁ 𝑎₂₂= 𝛾₂₂

𝑣𝑎𝑟(𝑒_1𝑡) = 𝑣𝑎𝑟(𝜀_𝑦𝑡− 𝑏₁₂𝜀_𝑧𝑡) = 𝜎_𝑦²+ 𝑏₁₂²𝜎_𝑧² 𝑣𝑎𝑟(𝑒_2𝑡) = 𝜎_𝑧²

𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟(𝑒_1𝑡, 𝑒_2𝑡) = −𝑏₁₂𝜎_𝑧²

140 Böylelikle standart VAR modelinden tahmin edilen parametrelerden hareketle yapısal VAR modeli parametreleri tahmin edilebilmektedir.

2.3.1. Etki-Tepki Analizi

VAR modelinin tahmin edilmesi sonucunda, elde edilen parametreleri yorumlamak yerine, sistemin tahmini sonucunda elde edilen artıkların analiz edilerek yorumlanması, geleceğe yönelik yorumlarda daha doğru sonuçlar vermektedir. Modelde yer alan değişkenlerin hata terimlerinde meydana gelecek şokların, diğer değişkenler üzerindeki etkisi, Etki-Tepki (Impulse-Response) fonksiyonları ile ölçülmektedir. Böylece gelecekte meydana gelebilecek şok politikalar neticesinde, diğer değişkelerin nasıl bir tavır içine girecekleri, ne şekilde tepki verecekleri kestirilecektir (Tarı, Bozkurt, 2006:5). VAR analizinde, incelenen değişkenler arasındaki dinamik etkileşimi belirlemede, simetrik ilişkileri tespit etmede, etki-tepki fonksiyonlarının büyük payı vardır (Sarı, 2008:4).

Brooks’un (2008) ifadesiyle, impulse-response VAR modelde yer alan bağımlı değişkenlerin, bu değişkenlerin her birine yönelik şoklar neticesinde oluşan tepkilerini takip etmektedir. Ayrı ayrı her bir denklemdeki her bir değişken için hata terimine bir birimlik şok uygulanmakta ve VAR sistemi üzerindeki etkileri zaman boyunca belirlenmektedir. Böylece sistemde eğer g sayıda değişken söz konusu ise, toplam g²kadar impulse-response meydana gelmektedir (Özcan, Arı, 2011:136).

VAR sistemindeki değişkenler durağan yapıya sahip olduklarından, başlangıçta verilecek bir şokun etkisi bir süre sonra sona erecektir. Değişkenlerin durağan olmaları bu nedenle önemlidir. Sistemdeki değişkenlerin durağan yapıda olmaları, belirli bir ortalama etrafında hareket ettiğinin göstergesidir. Eğer durağan yapıda değiller ise, verilecek şokun etkisi sürekli devam edecek ve şoka verilecek tepki sağlıklı ölçülemeyecektir.

Etki-tepki analizi, yapısal şoklar üzerine inşa edilmiş bir teknik olduğu için, değişkenler arasında Granger anlamında nedenselliğin olması önemlidir. Bir X değişkeni, bir Y değişkeninin nedeni değilse, X üzerine verilecek bir birimli şok (bir standart sapma kadar), Y üzerinde bir etki doğurmayacaktır. Bu nedenle değişkenler arasında önce nedensellik ilişkileri tespit edilir ve değişkenlerin içsel-dışsal tespitine göre hareket edilir.

(Bozkurt, 2007:94-98).

141 Standart VAR modelinden etki-tepki katsayılarını elde etmede en çok kullanılan yöntemlerden birisi, hataların Cholesky Ayrıştırması kullanılarak dikeyleştirilmesi ve elde edilen varyans-kovaryans matrisinin diagonal hale getirilmesidir (Hamilton, 1994:323). Bu yüzden değişkenlerin sırasının değiştirilmesi, etki-tepki fonksiyonlarında çok büyük değişmelere yol açabileceğinden, bu noktaya dikkat edilmelidir. Ayrıca etki-tepkiler, VAR modelinin katsayılarının doğrusal olmayan bir fonksiyonu olmalarından dolayı, bunların gerçek değerleri hesaplanamaz. Ancak etki-tepki fonksiyonlarının gerçek değerleri belirli bir olasılıkla güven aralıklarının içinde yer alırlar. Etki-tepki fonksiyonlarının katsayılarının güven aralıklarının hesaplanmasında, Monte Carlo ve bootstrap yöntemleri sıkça kullanılmaya başlanmıştır (Özgen, Güloğlu, 2004:7-8).

2.3.2. Varyans Ayrıştırması

Varyans ayrıştırma analizi etki-tepki analizi gibi VAR modeline dayanmaktadır.

Ancak burada dışsal bir şok nedeniyle herhangi bir değişkende meydana gelen değişmelerin hangi değişkenden ve ne ölçüde kaynaklandığı araştırılmaktadır (Aydoğuş, Çatık, 2006:68). Varyans ayrıştırması (variance decomposition), içsel değişkenlerden birisindeki değişimi, tüm içsel değişkenleri etkileyen ayrı ayrı şoklar olarak ayırmaktadır.

Bu anlamda varyans ayrıştırması, sistemin dinamik yapısı hakkında bilgi verir.

Varyans ayrıştırmasının amacı, her bir rassal şokun, gelecek dönemler için öngörünün hata varyansına olan etkisini ortaya çıkarmaktır. Öngörünün hata varyansı, h uzunluktaki bir dönem için, her bir değişkenin hata varyansına katkısı olarak ifade edilebilir. Daha sonra bu şekilde elde edilen her bir varyans, toplam varyansa oranlanarak, yüzde olarak nispi ağırlığı bulunur. Bir makroekonomik büyüklüğün üzerinde en etkili değişkenin hangisi olduğu varyans ayrıştırması ile bulunabilir (Bilgili, vd., 2007:144, Özgen, Güloğlu, 2004:9).

Belgede ENERJİ TÜKETİMİ VE EKONOMİK BÜYÜME İÇİN TÜRKİYE ÜZERİNE BİR MODELLEME (sayfa 148-154)