V Maskesi Prosedürü

 ⁱ

j j

i x

S 1( 0) (26)

değerleri işaretlenerek CUSUM kontrol grafiği hazırlanır (Montgomery, 2005; Kasap, 2006). Eğer proses ortalamasındaki (x_j ₀)farkı pozitif yönde bir artış gösteriyorsa CUSUM grafiği pozitif bir eğilim gösterecektir, aynı şekilde negatif prosesteki ortalama giderek azalıyorsa negatif bir eğilim gösterecektir (Murdoch, 1979). Proses ortalamasında meydana gelen bu artış ve azalışların devamlılık arzetmesi proses ortalamasının kaydığının bir göstergesi olarak algılanmalı ve duruma ilişkin özel nedenler araştırılarak gerekli önlemler alınmalıdır.

1.3.2.2 V Maskesi Prosedürü

Bir süreçte hedeflenen belli bir değerden pozitif ve negatif yönde kaymalar meydana gelebilmektedir. CUSUM kontrol grafiğinde süreç ortalamasında meydana gelebilecek kaymaların kontrol dışı olup olmadığının tespiti için ilk kez 1959 yılında Barnard tarafından ortaya konulan “V maskesi” tekniği kullanılır (Demir ve Mirtagioğlu, 2016).

46

V maskesi, kontrol dışı noktaların tespit edilmesi amacıyla CUSUM grafiklerine tamamlayıcı olarak kullanılan bir yöntemdir. CUSUM grafiğindeki kümülatif toplam değerleri, V maskesinin kolları arasında kalıyorsa sürecin kontrol altında olduğu, eğer V maskesinin kollarının dışına kayan değerler varsa sürecin kontrol dışına çıktığı söylenebilir (Oktay ve Özçomak, 2001).

CUSUM kontrol grafiği parametreleri;

i

S_i  ’nci kümülatif değer, x_j  j’inci örneğin aritmetik ortalaması ve ₀ da hedeflenen değer olarak alınırsa,



 

 ⁱ

j j

i x

S 1( 0) (27)

şeklinde hesaplanır. Bu değerleri CUSUM grafiklerinde kullanmak için eşitlik;

1 0)

(   _

 _{i i}

i x S

S  (28)

şekline dönüştürülmektedir (Montgomery, 2005).

Şekil 7: Standart V maskesi.

Şekil 7’de tipik bir V maskesi görülmektedir. CUSUM çizelgesine V maskesini yerleştirmek için;

47

1) Son CUSUM değeri Si, O noktasına yerleştirilir.

2) Yatay eksene paralel olacak şekilde O noktasından d uzaklıkta bir P noktası belirlenir. Bu nokta V maskesinin tepe noktasını oluşturmaktadır.

3) O-P doğru parçasıyla θ açısı yapacak şekilde P noktasından başlayarak iki çizgi çizilir. Bunlara maskenin kolları denir.

4) Tüm S1,S2,....,Si kümülatif toplam değerleri V maskesinin iki arasında kalıyorsa süreç kontrol altındadır. Herhangi bir kümülatif toplam değeri V maskesinin kolları dışında kalırsa süreç kontrol dışıdır.

Genel kullanımda V maskesi grafiklendirilen her yeni noktaya uygulanır yani her yeni örneklem ilavesinde maske yeniden düzenlenir. V maskesinin performansı d uzaklığı ve θ açısı ile belirlenir (Çolak, 2007).

Eğerx ’nin standart sapmasını _i _x ile gösterirsek, süreç ortalamasında bir kayma yok iken bir kaymanın olduğu neticesine varma ihtimalini ve gerçekte bir kayma var iken bunu tespit edememe olasılığını ile gösterilirse ve her iki olasılığın da uygun bir düzeyde tutulması gerektiği kabul edilirse; değeri, süreç ortalamasında meydana gelen kaymayı gösterir (Oktay, 1998).

V maskesi parametreleri,







 



 



 2 1

2 In

d (29)

ve



 



 ^   A tan ¹ 2

 (30)

eşitliği ile hesaplanır. Formülde yer alan  ise;

x

  ^ (31)

48

şeklinde hesaplanır. Eğer değeri ihmal edilecek kadar küçük ise 29 nolu eşitlik;

2 2





d  In (32)

şeklinde yeniden düzenlenir (Montgomery, 2005).

Bu bilgilere göre;

4

şeklinde yazılabilir ve Eşitlik 33 ile Eşitlik 34’ten;

4

denklemi elde edilir (Ncube ve Woodall, 1984). Diğer bir ifade ile;

d

şeklinde yazılabilir. Buradan;

49

 tan . 2d

h (38)

hesaplanır veya;



 .tan 2d _x

H (39)

eşitliği elde edilir (Cavill ve Ricketts, 1974).

Yukarıdaki eşitliklerde;

α: Proses ortalamasında bir kayma yok iken bir kaymanın olduğuna karar verme ihtimali.

β: Gerçekte kayma var iken bunu tespit edememe ihtimali.

Δ: Proses ortalamasında meydana gelen kayma miktarı (k.).

A: Bir ölçek faktörüdür ve bu değer yatay eksen üzerindeki 1 birimlik uzunluğa dikey eksenüzerinde karşılık gelen değerdir. A değeri, _x ile 2_x arasında değişir ve bu değerin

x

2 olarak alınması tercih edilir.

δ: Araştırılmasına karar verilen proses seviyesindeki en küçük kayma miktarı (._x).

x: Örnek ortalamaları için standart hata 



 





  1

x n

  .

H: Prosedürün karar aralığı, OU veya OL uzunluğudur.

h: Kendisiyle örnek istatistiğinin çarpılması durumunda karar aralığını veren değerdir )

. (Hh_x .

K: V maskesi kollarının eğimidir.

k: Kendisiyle örnek istatistiğinin çarpılması durumunda V maskesi kollarının eğimini veren değerdir (Kk._x).

d: OP uzunluğunun değeridir.

θ: Orta çizgi ile kol arasındaki açıyı verir (Kartal, 1999; Demir, 2008).

50 1.3.3 EWMA Kontrol Kartları

EWMA (Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar) kontrol şemaları ilk olarak S.W. Roberts tarafından 1959 yılında geliştirilmiş ve Geometrik Hareketli Ortalama şemaları olarak da adlandırılmıştır. Roberts’ın çalışmalarını 1986 yılında J.S.Hunter, 1987 yılında S.V.

Crowder ve 1990 yılında J.M. Lucas ve M.S. Saccucci’nin çalışmaları takip etmiştir.

EWMA kontrol tekniği içinde karar, eski gözlemlere azalan bir şekilde ağırlık veren EWMA istatistiğine bağlıdır (Testik, 1999).

EWMA kontrol grafiğinin performansı, CUSUM kontrol grafiğine çok benzer olmakla birlikte, oluşturulması ve uygulanması CUSUM kontrol grafiğine göre daha kolay olan bir kontrol grafiğidir. EWMA kontrol grafiği Shewhart kontrol grafiği kadar kolay grafiklenebilir. Bu nedenle bu kontrol diyagramları süreçteki küçük kaymaları tespit etmede Shewhart kontrol diyagramlarına iyi bir alternatiftir. EWMA bazı durumlarda bir sonraki gözlemi tahmin etmede de kullanılabilir (Ege, 2000).

EWMA kontrol grafikleri, süreç kontrolünün dışında zaman serilerinin analizinde ve tahminlerde sıklıkla kullanılmaktadır. EWMA, tüm geçmişin ve mevcut gözlemin ağırlıklandırılmış ortalaması olarak düşünülebilmektedir. Bu nedenle normallik varsayımına karşı duyarsızdır ve alt örnek hacminin 1’e eşit olduğu durumlar için de idealdir (Yılmaz, 2012).

EWMA tahmin değerini hesaplamada;

n örneklem hacmini, i zamanı, x i zamandaki ölçülen değeri, _i z i zamandaki tahmini _i EWMA değerini, λ sabiti ise en son gözleme verilecek ağırlığı belirtmek üzere;

1 2

eşitliği ile hesaplanır. Grafik üzerinde işaretlenecek i=1 zamanında EWMA’nın tahmin değeri z₀ x olarak alınır. EWMA grafiğindeki ilk değer orta çizgi üzerinde bulunur (Vargas vd. 2004).

51

Burada , 0 1 olan bir düzeltme katsayısıdır. Bu değer 1’e yaklaştıkça son gözlem değerinin ağırlığı, 0’a yaklaştıkça eski gözlem değerlerinin ağırlıkları artmaktadır. Bu değerin en çok 0,050,25 değerleri arasında iyi çalıştığı görülmektedir.

literatürde en çok kullanılanlarıdır ve küçük değişimleri bulmada daha etkilidir.

şeklinde yeni ve daha açık bir EWMA formülü olarak elde edilir. Bu formül, daha genel bir yaklaşımla 𝑧_𝑖−𝑗 ve j 1,2,.., t olacak şekilde yeniden düzenlenirse,

formülü elde edilir. 𝜆(1 − 𝜆)^𝑗 ağırlıkları, örneklem ortalamasıyla orantılı olarak geometrik bir tarzda azalır. Bununla birlikte, ağırlıkların toplamı,

i değişkenler ise 𝑧_𝑖’nin varyansı,



ⁱ



formülü ile elde edilebilir. EWMA kontrol grafiğinin kontrol sınırları ise;

52



ⁱ



L x

ÜDS 1 (1 )²

) 2

( 



   

 

 x

MD (45)



ⁱ



L x

ADS 1 (1 )²

) 2

( 



   

 



şeklinde verilir. Burda L değeri kontrol limitlerinin büyüklüğü olup, genellikle yaygın kullanılan 3 seviyelerinde iyi çalıştığı görülmektedir (Montgomery, 2005).

EWMA metodunun uygun sonuçlar vermesi için kullanılan verilerin sürekli olması gerekir.

Durağan olmayan bir çevrede bir sonraki değeri tahmin etmek için de EWMA metodu uygulanabilir. İncelenmekte olan kalite karakteristiğinin dağılımı normal ise bu kontrol grafiği uygun sonuçlar verir. Zaman dilimi başına tek bir gözlem yapılması ve bu gözlemlerin normal dağılım göstermesi halinde bu grafik ideal sonuçlar elde etmeyi sağlar (Montgomery ve Johnson, 1976).

Belgede T.C. BARTIN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ORMAN ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI (sayfa 70-77)