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A resistência de qualquer elemento estrutural é função de determinadas variáveis aleatórias. A lei que relaciona essas variáveis e fornece o valor da resistência pode ser substituída na equação (2.4), procedendo-se então a determinação do índice de confiabilidade. Por exemplo, no caso de flexão simples na ruína e armadura apenas na borda tracionada (seção subarmada), a resistência nominal pode ser dada aproximadamente por: ) x 4 , 0 d ( f A M_res = _s⋅ _y ⋅ − ⋅ (2.27) onde: s A : área de aço; y

f : resistência ao escoamento do aço;

d: distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura (altura útil); x: profundidade da linha neutra.

Introduzindo-se um fator que considere a aproximação teórica imbutida no desenvolvimento da equação (2.27), as variáveis que a compõe podem fazer parte diretamente da função de estado limite. Em outra opção, mais comumente usada, a resistência se mantém como uma única variável, sendo representada pela sua média (valor nominal multiplicado pela bias) e pelo coeficiente de variação.

A capacidade portante de elementos estruturais depende basicamente da resistência do material empregado e das dimensões da peça. De acordo com Nowak (1999), as incertezas são basicamente de três tipos:

a) Material: resistência, módulo de elasticidade, tensão de fissuração e composição química;

b) Fabricação: geometria e dimensões;

c) Análise: método de análise aproximado, idealização da distribuição de tensões e deformações.

A resistência de elementos estruturais é então obtida a partir do produto da resistência nominal e três parâmetros:

P F M R R = _n ⋅ ⋅ ⋅ (2.28) onde: M: fator do material; F: fator de fabricação; P: fator de análise.

A bias (λ) e o coeficiente da variação (CV) de R são dados por:

P FM R =λ ⋅λ λ (2.29) 2 1 2 P 2 FM R (CV CV ) CV = + (2.30) onde: FM

λ : bias dos fatores de fabricação F e do material M combinados;

P

λ : bias do fator de análise P;

FM

CV : coeficiente de variação dos fatores F e M;

P

CV : coeficiente de variação do fator P.

Nowak (1999) afirma que as incertezas envolvidas na resistência vêm sendo modeladas através de ensaios, observação de estruturas existentes e julgamento de especialistas, com resultados disponíveis para materiais e elementos usuais. No entanto, peças de pontes são geralmente compostas de diversos materiais, que requerem métodos de análises especiais. O tamanho dessas peças, em geral considerável, torna onerosa a verificação do modelo analítico. Como alternativa, os modelos de resistência são desenvolvidos utilizando-se os dados disponíveis de ensaios de materiais e simulações numéricas. Os resultados das simulações possibilitam a determinação das bias e dos coeficientes de variação da resistência.

Alguns parâmetros estatísticos das propriedades dos materiais e das dimensões das peças fornecidos por diversos trabalhos são encontrados nas tabelas 2.7 a 2.10.

Tabela 2.7 – Parâmetros estatísticos da resistência à compressão do concreto. Variável Valor nominal Bias CV Tipo de distribuição Fonte 20,7 0,92* 0,18 Normal 34,5 0,805* 0,15 Normal Mirza et al. (1979) 20,7 1,35 0,10 Normal 24,1 1,21 0,10 Normal 27,6 1,235 0,10 Normal 31,0 1,14 0,10 Normal 34,5 1,15 0,10 Normal 41,3 1,12 0,10 Normal Nowak e Szerszen (2001) 20,7 1,33 0,145 Normal 24,1 1,24 0,115 Normal 27,6 1,21 0,155 Normal 31,0 1,19 0,160 Normal 34,5 1,22 0,125 Normal 41,3 1,22 0,075 Normal Nowak et al. (2005)

Valor médio Desvio-padrão σ ⋅ + 651, f_ck 4, 5,5 ou 7 Normal NB-1 (1978) c f (MPa) 8

fck + 5 Lognormal Vismann e Zilch

(1995) *

A ser comparado com 0,85⋅f_c σ: desvio-padrão

Tabela 2.8 – Parâmetros estatísticos da armadura passiva. Variável _nominal Valor Bias CV _{distribuição} Tipo de Fonte

199810 1,00 0,06 Lognormal Nowak, Yamani e _{Tabsh (1994)}

s

E (MPa)

200000 1,00 0,013 Lognormal Frangopol et al. (1996) Valor médio

nom , s

A 0,015 Normal Nowak, Yamani e

Tabsh (1994) s A (cm2) nom , s

A _{0,025 Normal} Vismann e Zilch

(1995) Desvio-padrão

y

f (MPa) f_yk+60 _{30 Lognormal} Vismann e Zilch

Tabela 2.9 – Parâmetros estatísticos da armadura de protensão. Variável _nominal Valor Bias CV _{distribuição} Tipo de Fonte

sp

A A_{sp,nom 1,00 0,0125 Normal Nowak, Yamani e} Tabsh (1994)

pu

f (MPa) 1860,3 1,04 0,025 Lognormal Siriaksorn2 (1980, apud Eamon, 2000)

y

f f _y 1,03 0,022 Lognormal Siriaksorn2 (1980, apud Eamon, 2000) Tabela 2.10 – Parâmetros estatísticos das dimensões.

Variável Bias CV _{distribuição} Tipo de Fonte

d (cm) 1,00 1,778/d Normal h (cm) 1,00 1,016/h Normal f h (cm) 1,00 1,016/h_f Normal Nowak, Yamani e Tabsh (1994) bviga (moldada no local) 1,01 0,04 Normal

dviga (concreto armado) 0,99 0,04 Normal dviga (concreto protendido) 1,00 0,025 Normal dlaje (moldada no local) 0,92 0,12 Normal dlaje (pré-moldada) 1,00 0,06 Normal dlaje (protendida) 0,96 0,08 Normal

Nowak e Szerszen (2001)

Desvio-padrão

h, b (cm) 1,00 0,5 Normal Vismann e Zilch

(1995)

A comparação entre os trabalhos de Mirza et al. (1979), Nowak e Szerszen (2001) e Nowak et al. (2005) mostra uma melhora na qualidade do concreto nos últimos 20 anos (menor coeficiente de variação). Portanto, destaca-se a necessidade de novos resultados acerca das diversas variáveis aleatórias, haja visto o progresso observado nos diversos ramos da construção civil. Vale ressaltar que esses dados foram obtidos para condições americanas. A coleta de dados para as condições brasileiras se faz necessária.

A partir desses dados é obtida a média do momento fletor último através da técnica de Monte Carlo para cada seção transversal de interesse, cuja divisão pela resistência nominal à flexão, fornece a bias dos fatores de fabricação F e do material M (λ_FM). Através do desvio-padrão, obtém-se o coeficiente de variação (CV_FM). Os parâmetros estatísticos do fator de análise são fornecidos em Ellingwood et al. (1980).

2 _{Siriaksorn, A. (1980). Serviceability and reliability analysis of partially prestressed concrete beams.} PhD dissertation, The University of Illinois at Chicago Circle.

A força cortante última e as relações entre força cortante e deformação por cisalhamento também podem ser obtidas por simulação. Maiores detalhes podem ser vistos em Nowak, Yamani e Tabsh (1994) e Nowak (1999).

Na tabela 2.8 estão os parâmetros estatísticos utilizados por Nowak (1999). A resistência R é considerada como uma variável aleatória lognormal.

Tabela 2.11 – Parâmetros estatísticos da resistência usados por Nowak (1999).

Elemento estrutural λ_FM CV_FM λ_P CV_P λ_R CV_R

Vigas de aço

Momento fletor (seção compacta*) 1,095 0,075 1,02 0,06 1,12 0,10 Momento fletor (não-compacta*) 1,085 0,075 1,03 0,06 1,12 0,10

Força cortante 1,12 0,08 1,02 0,07 1,14 0,105 Vigas compostas

Momento fletor 1,07 0,08 1,05 0,06 1,12 0,10 Força cortante 1,12 0,08 1,02 0,07 1,14 0,105 Vigas de concreto armado

Momento fletor 1,12 0,12 1,02 0,06 1,14 0,13 Força cortante (com estribos) 1,13 0,12 1,075 0,10 1,20 0,155 Força cortante (sem estribos) 1,165 0,135 1,20 0,10 1,40 0,17 Vigas de concreto protendido

Momento fletor 1,04 0,045 1,01 0,06 1,05 0,075 Força cortante (com estribos) 1,07 0,10 1,075 0,10 1,15 0,14

*_{A distinção entre seção compacta e não-compacta depende da esbeltez da alma e das flanges, além das} condições de contravetamento.

Nowak e Szerszen (2001), em um estudo para a revisão dos coeficientes de minoração da resistência do Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-99), utilizando-se de novos dados estatísticos das variáveis envolvidas no cálculo da resistência, chegaram aos seguintes valores (tabela 2.12):

Tabela 2.12 – Parâmetros estatísticos da resistência. (NOWAK e SZERSZEN, 2001)

Vigas de concreto armado Esforço λ_R CV_R

Moldada no local Momento fletor 1,190 0,089 Moldada no local Força cortante 1,230 0,109

Pré-moldada Momento fletor 1,205 0,081

Pré-moldada Força cortante 1,242 0,105

Vigas de concreto protendido

Pré-moldada Momento fletor 1,084 0,073

Moses e Verma (1987) fornecem bias e coeficientes de variação para elementos fletidos de aço e concreto protendido. Os valores, obtidos em relação à capacidade nominal especificada pela AASHTO, podem ser vistos na tabela 2.13. Ghosn et al. (1995) fornecem parâmetros para vigas de concreto protendido e vigas de concreto armado seção T (tabela 2.14), determinada pelo método das tensões admissíveis da AASHTO (1996).

Tabela 2.13 – Parâmetros estatísticos da resistência à flexão. (MOSES e VERMA, 1987)

Elementos Bias Coeficiente de variação

Aço (sem corrosão) 1,10 12 %

Aço (corrosão parcial) 1,05 16 % Aço (corrosão severa) 1,00 20 %

Concreto protendido 1,05 9%

Tabela 2.14 – Parâmetros estatísticos da resistência à flexão. (GHOSN et al., 1995) Elementos Bias Coeficiente de variação

Concreto protendido 1,15 8 %