3. ĠKĠNCĠ BÖLÜM
3.3 Toplumsal Belleğin Meydan Üzerinden Sürdürülmesi
se as variáveis de um conjunto de séries temporais não são estacionárias de ordem um, I(1), mas se uma série temporal que é estacionária de ordem zero, I(0), pode ser gerada através de combinações lineares daquelas variáveis, as variáveis serão consideradas cointegradas. Engle e Granger interpretam esta combinação linear como um equilíbrio de longo prazo e revelaram que a cointegração implica que este equilíbrio de longo prazo se sustente apesar das séries temporais apresentarem componentes de curto prazo com especificações dinâmicas e flexíveis.
As séries financeiras apresentam características de não estacionaridade, como a grande maioria das variáveis econômicas, exigindo a diferenciação de pelo menos a primeira ordem, de modo a induzir à estacionaridade, tornando-as integradas de ordem zero, ou seja, I(0).
Durante o processo de transformação das variáveis, para a estacionaridade, perdem-se consequentemente, todas as relações de longo prazo sugeridas pela teoria econômica. Uma possível solução para referido problema é a utilização do modelo de mecanismo de correção de erro desenvolvido por Engle e Granger (1987) e aprimorado por Johansen (1988), que compensa as relações perdidas com diferenciação.
O teste de cointegração é um procedimento bastante utilizado e difundido para analisar relações de longo prazo entre variáveis. O requisito básico para a realização do teste de cointegração é que as variáveis sejam estacionárias e integradas de mesma ordem. Deste modo, se faz necessária a realização de testes de raiz unitária nas séries de preços para definir a ordem de integração entre as variáveis (diferença do tipo , onde é o valor da variável x percebido no instante t e é o valor percebido no tempo t-1).
Engle e Granger (1987), definiram que uma série sem componente determinístico, com representação ARMA (Auto-regressivo de Média Móvel), estacionária e invertível, após d diferenças, é dita ser integrada de ordem d, denotada por ~ I(d). Desta forma, a ordem de integração diz respeito ao número de vezes em que uma série precisa ser diferenciada para tornar- se estacionária.
De acordo com Gujarati (2000), o processo gerador das séries de tempo é estacionário se suas características não se alteram com o tempo. Assim, um processo gerador de dados será estacionário se possuir média e variância constantes ao longo do tempo e a covariância entre os valores da série depender apenas da distância de tempo (t) que separa os dois valores e não dos tempos reais em que os valores da variável x são observados.
O teste inicial para a raiz unitária foi proposto por Fuller (1976), onde foi considerado um processo auto-regressivo de ordem um – AR (1) – descrito da seguinte maneira:
(61) Na demonstração (61) o é considerado como um white noise. A hipótese ou suposição nula é de que não é estacionária. Logo: : ρ =1 versus : ρ<1. O que de outro modo é equivalente ao teste: , a hipótese : ρ =1 versus : ρ<1.
Aceitando-se a hipótese nula indica-se que o processo tem uma raiz unitária e, portanto, não é estacionário. Para a aplicação do teste de hipótese já mencionado, utiliza-se normalmente para o processo de estimação o método MQO (Mínimos Quadrados Ordinários). Porém, em geral os testes de raiz unitária ou de estacionaridade não utilizam a distribuição padrão t de Student, mas sim os valores das distribuições classificadas como τ, contempladas por Fuller (1976).
Quando os modelos incorporam a tendência e o intercepto, têm-se as demonstrações (62) e (63):
(62) (63)
A estatística mais utilizada no caso de modelos com intercepto é denominada e, para testar a presença de tendência, aplica-se a estatística . Todavia, é possível testar de modo conjunto a presença de um termo de intercepto (e/ou tendência) e de raiz unitária, cujos testes são denominados ϕ se correspondem a um teste F.
No caso do teste abordado , testa-se a hipótese de ( , versus a hipótese de que ( , . No caso de , a hipótese nula é de que ( , , versus a hipótese alternativa de que ( , . Por fim, a estatística testa a hipótese nula de que ( , versus a hipótese alternativa de que ( , . Os valores críticos as distribuições citadas anteriormente foram tabulados por Dickey e Fuller (1981).
Nesta formulação o próximo passo é a definição da ordem do processo auto-regressivo p (número de defasagens estatisticamente significativas) que traduz o comportamento da série temporal na demonstração (64).
∑ (64) onde: ∑ e γ ∑ . Nesse exemplo, a presença de raiz unitária é testada através da hipótese : = 0. Este procedimento é conhecido por teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF).
As funções autocorrelação (ACF) e autocorrelação parcial (PACF) podem ser utilizadas como auxilio na identificação da estacionaridade das séries e dos termos auto-regressivos (nº de defasagens). Para a determinação do p (ordem do processo auto-regressivo que traduz o comportamento da série temporal) os critérios mais conhecidos são respectivamente, o AIC (Akaike Information Criterion) e o SBC (Schwartz Bayesian Criterion), que podem ser computados através das equações (65) e (66):
(65) (66) Além desses dois critérios, há também a metodologia ou estatística Q de Ljung e Box (1978) para verificar a existência de autocorrelação serial. A estatística Q é demonstrada na equação (67):
Q = ∑ / ( (67) Nas demonstrações matemáticas (65), (66) e (67) é o número de observações utilizáveis, SQR é a soma do quadrado dos resíduos do modelo com defasagem p, n é o número
de parâmetros estimados, é a autocorrelação para a defasagem k e s é o número de defasagens a serem analisadas.
O grande valor da análise de cointegração está no fato da aplicação de séries não estacionárias, pois, ao se retirar a tendência da série (por meio da diferenciação) os elementos de longo prazo entre as variáveis automaticamente são eliminados.
No caso de duas séries apresentarem estabilidade temporal (equilíbrio) de longo prazo, ainda sim com tendências estocásticas, elas tenderão a movimento conjunto no tempo e sua diferença permanecerá estável.
Para os exemplos de estimação de modelos do tipo VAR (Vetor Auto-regressivo) contendo variáveis não estacionárias, é possível que haja combinações lineares estacionárias para variáveis integradas de mesma ordem, ou seja, relações de equilíbrio de longo prazo que devem ser incluídas no modelo para evitar erros de estimação. Logo, pode-se utilizar a estabilidade de longo prazo das cointegrações entre as séries com finalidade de modelagem e previsão.
Se tomarmos duas séries e , com processos estocásticos com realizações independentes, para qualquer modelagem para fins de previsão de valores futuros baseado em valores passados, não terá relevância e significação se:
(68) (69) Todavia, se existir uma relacionamento estável no longo prazo entre as séries (equação 68 e 69), poderá se entender que elas são integradas de mesma ordem e cointegradas, onde a diferença entre elas será estável ao longo do tempo.
A diferença entre as séries pode ser expressa pela equação (70):
(70) O modelo em questão é exemplo simplório de sistema de cointegração em que a relação de cointegração é definida por uma combinação linear estacionária e pode ser representada pelo vetor: = β’ .
Neste modelo, o β é classificado como vetor de cointegração e o é o mecanismo de correção de erro, que traduz a sistemática da convergência das séries no longo prazo.
De acordo com Engle e Granger (1987), um conjunto de variáveis econômicas está em equilíbrio no momento em que:
Na demonstração (71), os coeficientes simbolizam os vetores ( , ,..., e . O modelo está em equilíbrio de longo prazo quando β = 0. Os desvios provenientes do equilíbrio desse modelo de longo prazo são conhecidos como erros de equilíbrio e podem ser representados pela equação (72):
(72) Considerando que os desvios dessa relação de equilíbrio de longo prazo são de caráter temporário e, portanto, será estacionário. Os elementos do vetor são cointegrados e de ordem b, d ou se todos os elementos do vetor forem integrados de ordem d e, existir um vetor = ( , ,..., de forma que exista uma combinação linear β = integrada de ordem (d-b) em que b>0, o que denota que a combinação linear resultante ( ) tem ordem de integração em menor escala que as variáveis originais.
Nessa situação, o vetor é denominado de vetor de cointegração. Os desvios das relações de longo prazo influenciam as variáveis cointegradas no curto prazo, desta forma fica difícil sem uma especificação dinâmica do modelo, determinar como será feito o ajuste. De acordo com Enders (2004), este problema poderia ser resolvido através da aplicação de um modelo de correção de erro, de forma que o desvio do período anterior seja corrigido.
Johansen (1988) desenvolveu um modelo para testar cointegração para sistemas compostos por mais de duas séries, integradas e de mesma ordem. O método de Johansen é uma versão multivariada do método de Engle e Granger para a verificação de relacionamento de equilíbrio de longo prazo para duas variáveis e consiste na utilização de estimadores de máxima verossimilhança para investigar a presença e estimar vetores de cointegração.
Pode-se demonstrar este método a partir da relação que há entre o posto de uma matriz π e suas raízes características de acordo com a equação (73):
= (73) = (
= π
Na equação (73), e são vetores (n x 1); é matriz de parâmetros (n x n); π é definido como ( e I é uma matriz identidade (n x n ).
O número de vetores de cointegração é igual ao posto π. Se π = 0, as combinações lineares de { não são estacionárias, e deste modo, as variáveis não serão cointegradas. A
partir da verificação da significância das raízes de π, os números de vetores de cointegração podem ser conhecidos. Em geral, aplicam-se duas metodologias de acordo com Johansen e Juselius (1990), para verificação do número de raízes características que não são significativamente diferentes de zero:
∑ ̂ (74) Onde:
= Tamanho da amostra = Auto-valores
Nesta metodologia (também conhecida como razão de verossimilhança) a hipótese nula é de que o número de vetores de cointegração é menor ou igual a r, com = 0, 1, 2, 3, 4, 5,... A hipótese alternativa (todas as séries são estacionárias) neste caso é genérica, de outro modo:
: r ≤ : r >
A segunda metodologia, conhecida como teste de autovalor máximo, pode ser visto como a diferença entre sucessivas estatística-traço ( ), e é apresentada por:
∑ ̂ (75) Onde a hipótese alternativa está explicita. Por exemplo, pode se testar a hipótese nula r = 0 versus a hipótese alternativa r = 1, seguida da hipótese nula r = 1 versus a alternativa r = 2 e assim por diante. Ou seja:
: r = : r = + 1
Nas equações (73) e (74), ̂ são os valores estimados das raízes características obtidas por meio da estimação da matriz π e T é o número de observações. Para a investigação do número de defasagens para o modelo descrito com várias equações pode-se aplicar o critério AIC. Quando determinado o número de vetores de cointegração e as defasagens pode-se estimar o modelo acrescentando ao processo de estimação um vetor de correção de erro. Recomenda-se, em geral, que o critério de seleção do modelo considere os resultados dos testes de estacionaridade e o número de relações de cointegrações encontradas.
Para previsões e estudo de cointegração, utilizam-se diversos modelos, mas para Wooldridge (2010), tem mais sentido fazer previsões utilizando um modelo que dependa somente de valores defasados de y e z, pois isto economizará uma etapa extra de ter de fazer a previsão de
uma variável do lado direito da equação ante da previsão de y. Para tal raciocínio, o autor apresenta o VAR como:
(76) E( |
em que contenha y e z datadas no instante t-1e em instantes anteriores. Deste modo, a previsão de no instante t é , mas se os parâmetros forem conhecidos, pode-se utilizar simplesmente os valores de e . É natural que no modelo (71), possam ser adicionadas mais defasagens de y ou z e outras defasagens de outras variáveis, especialmente em se tratando de previsão um passo à frente.
Importante lembrar que alguns pré-requisitos são necessários antes de se manipular e estimar o VAR. Requer-se, pois, a checagem das condições de estabilidade do sistema, com a realização de testes de estacionaridade e dos testes de estabilidade estrutural. Logo depois, verifica-se por meio do teste de cointegração, a possiblidade de ocorrência de relações de longo prazo entre as variáveis, caso se apresentem como não estacionárias.
De outro modo, Wooldridge (2010), afirma que se tivermos duas séries e , uma autorregressão vetorial consistirá de equações similares com:
(77) (78) Para esse conjunto de equações o método MQO é eficientemente indicado no aspecto de estimação, claro que, as defasagens de todas as variáveis necessárias sejam incluídas e a equação deve satisfazer a hipótese de homocedasticidade das regressões das séries de tempo.
As cointegrações advindas da estabilidade de longo prazo entre as séries podem gerar um Mecanismo de Correção de Erros (ECM) dos desvios aleatórios de curto prazo que precisa ser considerado no modelo. O novo modelo a ser estimado é um modelo VAR com Correção de Erro ou simplesmente VEC.
A necessidade de utilização do Vetor de Correção de Erros (VEC) é determinada com a presença de relações de longo prazo entre as variáveis do modelo econométrico a ser criado, por meio da análise de cointegração (JOHANSEN, 1988).
Conforme demonstrou Wooldridge (2010), o modelo VEC pode ser escrito sob a forma: (79) onde tem média zero, dados , , e defasagens adicionais.
Se e , apresentarem cointegração com parâmetro β, logo há variáveis I(0) adicionais que podem ser incluídas na equação (74). Assumindo que e tem média igual a zero, inclui-se um nova defasagem no modelo e tem-se:
(80)
Finalmente, a aplicação de um modelo VAR ou VEC permite analisar empiricamente qual a participação de cada uma das variáveis no entendimento das alterações ocorridas nas outras (análise de decomposição da variância) ou a resposta de uma variável em relação à concorrência de um choque ou inovação em outro componente (análise das funções resposta ao impulso) (BROOKS, 2002; LUTKEPOHL, 1993; SIMS, 1980).