3. ĠKĠNCĠ BÖLÜM
3.2 Türkiye’de GeçmiĢten Kalanı Korumada ÇeliĢkiler
4.1.1 Auto-regressivo Misto de Média Móvel (ARMA)
Os modelos ARMA podem ser entendidos como extensões dos modelos AR e MA. Para Nelson (1973), uma simples representação deste processo é:
(29) Depois da junção dos modelos AR e MA, tem-se o novo processo, cuja nomenclatura passa a ser processo auto-regressivo de médias móveis de ordem p e q, ou simplesmente ARMA (p,q). Geralmente, este tipo de processo é usado para poucos parâmetros, onde até mesmo um AR ou MA puro satisfaça as exigências das séries.
Utilizando um modelo ARMA(1,1) como exemplo para entendimento geral, de acordo com as premissas matemáticas de Nelson (1973), tem-se:
(30) que pode ser reescrito por um processo puro de média móvel expresso por:
( ) (31)
Se o processo for estacionário, a soma dos coeficientes ∑ deve convergir, então exige-se que | | , como no caso do processo AR(1).
A função de autocorrelação do processo ARMA(1,1) é dada por:
para j > 1. (32) A função de autocorrelação do ARMA(p,q) apresenta aspectos da função MA(q) para as defasagens j < q, em decorrência da memória do componente de médias móveis durar apenas q períodos. Enquanto que, se as defasagens forem maiores que j + 1, os aspectos são idênticos aos de um modelo AR(p).
Portanto, o ARMA(1,1) é um processo de média móvel com ordem infinita, Nelson (1973) recomenda que se deva aproximá-lo com um processo MA de ordem finita, acrescentando
coeficientes pontuais onde o termo , torna-se menor que algumas quantidades arbitradas.
4.1.2 Estocástico (SARIMA)
Fala-se em estocasticidade quando a relação entre as observações defasadas da série temporal não é pontualmente matemática e se orienta por processos controlados por leis probabilísticas. Um processo desta natureza é conhecido como estocástico ou simplesmente de natureza não determinística.
Os valores de uma série estocástica são resultantes de uma função de distribuição de probabilidade (em cada instante) e a série registrada apenas é uma sequência das realizações possíveis instantaneamente do processo estocástico.
Nesse contexto, se as realizações instantâneas são correlacionadas ao longo do tempo, existe uma probabilidade conjunta daquele grupo seleto de observações ocorrer formando uma das trajetórias possíveis (ENDERS, 2004, p.49)
Seguindo a concepção proposta por Nelson (1973) e considerando-se que num modelo estocástico auto-regressivo puramente sazonal SAR (P), de ordem P, uma série estacionária , é regredida nos seus valores anteriores defasados em múltiplos de s:
+ (44) Por sua vez, o modelo puramente sazonal de médias móveis SMA (Q) e de ordem Q, pode ser representado algebricamente por:
(45) Combinando-se os termos sazonais auto-regressivos e de médias móveis tem-se um SARMA (P, Q), expresso sob a forma:
+ (46) Do mesmo modo, que nos exemplos (modelos) regulares, pode-se demonstrar que:
Para um modelo SAR(P), tem-se:
e para o modelo SARMA(P,Q):
Além disto, os modelos sazonais auto-regressivos e de médias móveis, também podem ser manipulados para séries não estacionárias, no momento em que d-ésima diferença sazonal leva à estacionaridade da série transformada. Isto ocorrendo, o modelo é sazonalmente integrado de ordem d e será denominado SARIMA.
A combinação do produto de componentes estocásticos regulares com sazonais é representada no próprio modelo SARIMA(p, d, q) x (P, D, Q) e poderá ser sintetizado na seguinte forma:
d D
(47) Onde sabe-se que:
= operador dos coeficientes regulares de auto-regressão, cuja ordem é p. d = operador d-ésima diferença regular.
= operador dos coeficientes sazonais de auto-regressão, cuja ordem é P. D = operador D-ésima diferença sazonal, com periodicidade s.
= operador dos coeficientes regulares de média móvel, de ordem q. = operador dos coeficientes sazonais de média móvel, de ordem Q.
O processo de obtenção do modelo SARIMA segue os mesmos procedimentos da metodologia de Box-Jenkins utilizados para se encontrar o modelo ARIMA não sazonal. Isto indica que, no SARIMA, se considera a observância do comportamento da autocorrelação (AFC) e da autocorrelação parcial (PACF), porém, se observa as defasagens sazonais (em séries mensais, semanais, diárias, etc).
4.1.3 Modelo de Suavização Exponencial Sazonal de Holt-Winters (HW)
Os modelos sazonais são muitos utilizados em virtude das complexidades no padrão de comportamento de algumas séries temporais. O modelo de suavização exponencial sazonal de Holt-Winters surge como uma boa alternativa para se fazer previsões em séries sazonais.
Sua manipulação é simples e o único requisito é observância dos procedimentos de aplicação. De acordo com Morettin e Toloi (2006), tais procedimentos são baseados em três
equações com constantes de suavização diferentes, que são correlacionadas a cada uma das componentes da série (nível, tendência e sazonalidade).
O primeiro procedimento é o da série sazonal multiplicativa, onde e conforme demonstra Morettin e Toloi (2006), basta considerar o fator sazonal como sendo multiplicativo e tendência permanece aditiva, ou seja, + + , com t = 1,2,3,..., N. Desse modo, as equações de suavização podem ser representadas por
̂ ̅̅̅ ̂ (48) ̅ ̂
̂ ̂ (49) ̂ ̅ ̅ ̂ (50) e traduzem as estimativas do elemento sazonal, do nível e da tendência, respectivamente; com A, C e D sendo constantes de suavização.
O segundo procedimento é o da série sazonal aditiva, cujo requisito é apenas que o fator sazonal seja aditivo, desse modo:
+ + (51) Seguindo o raciocínio ainda dos autores, as estimativas do elemento sazonal, do nível e tendência, são dadas por:
̂ ̅ ̂ (52) ̅ ̂ ̅ ̂ (53) ̂ ̅ ̅ ̂ (54) com A, C e D sendo consideradas como constantes de suavização.
Após o procedimento, parte-se para as previsões com base no modelo de HW. De acordo com Morettin e Toloi (2006), as previsões dos valores futuros para os dois procedimentos são dadas por:
̂ ( ̅ ̂ ) ̂ (55) ̂ ( ̅ ̂ ) ̂ (56) onde ̅ , ̂ , ̂ são expressos por (49), (48) e (50), simultaneamente.
Atualizando os valores das previsões em (48), (49) e (50) com base em uma nova observação , tem-se:
̅ ̂ ̂ ̂ (52) ̂ ̅ ̅ ̂ (53)
Logo, a nova previsão para a observação será representada por:
̂ ( ̅ ̂ ) ̂ (54) ̂ ( ̅ ̂ ) ̂ (55) E por fim, se a série for sazonal aditiva, a nova previsão para o valor será dada por: ̂ ̅ ̂ ̂ (56) ̂ ̅ ̂ ̂ (57) O método HW apresenta várias vantagens, dentre elas a simplicidade na aplicação e adequação ao padrão de comportamento mais geral das séries. A sua limitação restringe-se a dificuldade na determinação mais precisa dos valores das constantes de suavização, bem como a construção do intervalo de confiança.
5 ANÁLISE DE COINTEGRAÇÃO
5.1 MODELO VETORIAL AUTO-REGRESSIVO (VAR) E DE CORREÇÃO DE ERRO (VEC)