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Na década de 80, a descoberta dos operadores morfológicos no domínio dos reticulados completos, foi o primeiro passo para a extensão da morfologia matemática em níveis de cinza. O uso de tons de cinza introduz complicação maior, tanto do ponto de vista conceitual como nas implementações. Um pixel pode agora ter qualquer valor inteiro, assim a facilidade de considerar a imagem como um conjunto desaparece. Algumas abordagens sobre a teoria da morfologia matemática para imagens em tons de cinza podem ser encontradas em [40, 44]

2.3.1

Os operadores elementares da morfologia matemática para

imagens em tons de cinza

Da mesma forma que imagens binária, os operadores elementares da morfologia matemática para o caso de imagens em níveis de cinza, a dilatação e erosão são definidos dualmente. No caso binário, apresentou-se a estrutura algébrica dos operadores morfológicos como reticulados completos, definidos de acordo com a álgebra das operações de Minkowiski e representados em uma grade do espaço Euclidiano bidimensional. Para o caso de tons de cinza, estes operadores possuem uma estrutura algébrica similar, estendido para o espaço euclidiano n-dimensional, satisfazendo também as características de um reticulado completo. Além disso satisfazem a várias propriedades correspondentes ao caso binário, tais como comutatividade, associatividade e distributividade.

Nesta seção, apresentam-se as definições básicas dos operadores dilatação e erosão e alguns dos principais operadores morfológicos tais como, abertura, fechamento, gradiente morfológico, filtros sequenciais e transformada top-hat.

Antes de definir estes operadores, necessita-se apresentar algumas definições básicas. Vale salientar que os resultados e definições apresentados nesta seção são baseados nas definições clássicas para o caso de imagens pontuais. ([27])

Na morfologia clássica, os modelos para imagens em tons de cinza são representados matematicamente pelo mapeamento f : E→

L

onde

L

é um reticulado completo.

L

é definido por um conjunto de valores de tons de cinza que pode ser dado por R= R ∪ {−∞,+∞} ou Z = Z ∪ {−∞,+∞}. Também

L

pode ser dado como sendo o intervalo [0, 1] ou o conjunto finito {0, 1, ...N}, para algum ∈ N

Definição 2.3.1 Dados duas funções f , g∈

L

. As operações de supremo e de ínfimo entre f e g, são definidas respectivamente por:

( f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x) (2.3.1)

de f por u, fu: E →

L

é definida por fu(x) = f (x − u) e the translação vertical de fx by v∈

L

is defined by( f + v)(x) = f (x) + v. Quando ambas as operações são aplicadas

juntas, obtemos a translação morfológica dada por

( fu+ v)(x) = f (x − u) + v (2.3.3)

Definição 2.3.3 Dado uma imagem g e x_{∈ E, A reflexão de g é definida por b}g(x) = g(−x)

Definição 2.3.4 (Operações de Minkowiski) Dada dois sinais f , g ∈

L

. A soma e a diferença Minkowski são definidas respectivamente por:

f⊖ g = ^ u∈E { fu− bg(u)} (2.3.4) f⊕ g = _ u∈E { fu+ g(u)} (2.3.5)

Definição 2.3.5 Dada duas imagens em níveis de cinzas f e g, então εg( f )(x) = ^ u∈E [ f (x − u) − bg(u)] (2.3.6) ∆g( f )(x) = _ u∈E [ f (x − u) + g(u)] (2.3.7)

εg( f ) = ( f ⊖ g)(x) e ∆g( f ) = ( f ⊕ g)(x) são uma erosão e uma dilatação, respectivamente. g é chamada de função aditiva estruturante

Efeitos gerais causados pelos operadores dilatação e erosão

No caso da dilatação, se todos os valores da função estruturante são positivos, a imagem de saída aumenta a luminosidade, em consequência, detalhes escuros ou são reduzidos ou são eliminados, dependendo de como os seus valores e formas estão relacionados om o elemento estruturante usado para a dilatação

No caso da erosão, se todos os elementos da função estruturante são positivos, a imagem de saída fica mais escura, consequentemente os detalhes claros na imagem de entrada ficam menores do que o elemento estruturante é reduzido. O grau de redução é determinado pelos níveis de cinza dos vizinhos e pela forma e amplitude do elemento estruturante.

A Figura 2.15 mostra imagens da Lena e os efeitos da dilatação e da erosão no caso de imagens em níveis de cinza. Observe que a dilatação em relação a imagem original, fica mais clara, enquanto que a erosão torna a imagem mais escura.

Figura 2.15: Imagem da Lena e os efeitos causados pelos operadores de dilatação e erosão

2.3.2

Outros operadores morfológicos

Tal como o caso binário, podemos definir outras operações morfológicas para imagens em tons de cinza onde as mais básicas são a abertura e o fechamento. Estas operações são consideradas os filtros básicos da morfologia matemática e são definidas respectivamente por:

f◦ g = ( f ⊖ g) ⊕ g (2.3.8) f• g = ( f ⊕ g) ⊖ g (2.3.9) Para extrair contornos da imagem em geral é utilizado a operação de gradiente

morfológico. Esta operação envolve três operações: dilatação, erosão e subtração e é

definida por:

Grad( f , g)(x) = ( f ⊕ g)(x) − ( f ⊖ G)(x) (2.3.10) Uma outra importante operação em imagens em tons de cinza é a transformada top

hat ou chapéu mexicano. O objetivo principal dessa operação é extrair componentes com

baixo contraste em relaçao ao fundo. É importante por exemplo, para realçar detalhes da imagem na presença de sombra. Esses filtros podem ser definidos de dois modos: claro e escuro e são dados respectivamente pelas equações:

H(F)+(x) = f (x) − ( f ◦ g)(x) (2.3.11) H(F)−(x) = ( f • g)(x) − f (x) (2.3.12) O próximo capítulo, apresenta suscitamente a Matemática Intervalar e os conceitos necessários para o desenvolvimento dessa discertação.

Uma Abordagem da Matemática

Intervalar

3.1

Introdução

A matemática intervalar busca dar suporte para resolver problemas em dois aspectos fundamentais da computação científica: Um deles é na criação de um modelo computacional que reflita com exatidão o controle e análise dos erros que ocorrem no processo computacional; o outro é na escolha de técnicas de programação adequadas para desenvolvimento de softwares científicos buscando no final do processo matemático- computacional, uma boa estimativa da evidência dos erros de entrada. Na literatura existem diferentes abordagens para a computabilidade nos números reais, mas, uma importante diferença entre estas abordagens está na maneira como é representado o número real [64].

A aritmética intervalar permite o cálculo de extremos seguros para as soluções de um problema . Operações aritméticas com máxima precisão são necessárias para se ter uma aritmética de alta exatidão. Elas são definidas de forma que só um arredondamento é aplicado nas operações aritméticas básicas, resultando que o valor calculado e o valor exato diferem por apenas um arredondamento. Uma aplicação da aritmética intervalar poderá levar a extremos confiáveis [55]. O uso desta aritmética, aliada a um controle rígido dos algoritmos, é objeto do atual estado da arte nesta área. Nesta

seção serão apresentados alguns conceitos da aritmética intervalar, fundamentais para o desenvolvimento dos principais resultados dessa tese.

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