Termodinamik

dinˆamicos.

2.1

Redes Complexas

Nesta se¸c˜ao pretendemos revisar o r´apido e recente progresso no entendimento de redes utilizando id´eias e m´etodos da Mecˆanica Es- tat´ıstica [7]. Descreveremos algumas das propriedades mais comuns na caracteriza¸c˜ao de redes relacionadas `a F´ısica, Matem´atica e Ciˆencias Sociais [8].

2.1.1 Defini¸c˜ao e Propriedades dos Grafos

Um grafo (ou rede) G pode ser entendido como um conjunto de v´ertices V e por um conjunto de arestas A representando as conex˜oes estabelecidas entre esses v´ertices. Um grafo pode representar, por e- xemplo, uma rede de contatos sexuais [9], onde as pessoas s˜ao represen- tadas pelos v´ertices e as arestas representam as rela¸c˜oes sexuais prati- cadas entre elas. Grafos podem ser n˜ao-direcionados (como o grafo de rela¸c˜oes sexuais citado anteriormente), onde as arestas s˜ao sim´etricas, ou podem ser direcionados, onde ordem dos v´ertices incididos passa a ser relevante [8]. Um exemplo de um grafo direcionado ´e uma teia alimentar entre diferentes esp´ecies de um ecossistema, onde o fato de uma esp´ecie X ser predadora de uma esp´ecie Y n˜ao implica em Y ser predadora de X [8, 10].

Formalmente, podemos definir um grafo G como um conjunto de v´ertices V, diferente do vazio, um conjunto de arestas A e uma aplica¸c˜ao g : A → P (V ), que associa a cada aresta um subconjunto de dois e- lementos de V, interpretado como as extremidades da aresta1_{. Por}

constru¸c˜ao, existe um isomorfismo entre o conjunto de v´ertices V e 1_{Uma simples modifica¸c˜ao na aplica¸c˜ao g permite generalizar esta defini¸c˜ao para grafos} direcionados.

o conjunto imagem de g, Im(g), permitindo eventuais abusos de lin- guagem na identifica¸c˜ao dos mesmos [11].

Na Figura 2.1, ilustramos a representa¸c˜ao gr´afica de um grafo em que V = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {{1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}} e g ´e escolhida como a identidade2_.

1 2 3

4

5

Figura 2.1: Representa¸c˜ao gr´afica de um grafo com 5 v´ertices e 6 arestas. O grau de um v´ertice ´e o n´umero de arestas que incidem sobre ele3_.

No caso da Figura 2.1, por exemplo, o grau do v´ertice 1 ´e igual a 2, enquanto que o grau do v´ertice 2 ´e igual a 4.

Dois v´ertices s˜ao considerados vizinhos se existe uma aresta entre eles. No grafo acima, os v´ertices 2 e 5 s˜ao vizinhos do v´ertice 1, en- quanto que os v´ertices 3 e 4 n˜ao o s˜ao. A vizinhan¸ca de um v´ertice i ´e definida como o conjunto Γi de v´ertices adjacentes a ele. Em nosso

grafo-exemplo a vizinhan¸ca do v´ertice 1 ´e Γ1 = {2, 5}.

Denominamos de caminho a sequˆencia de v´ertices tal que, `a excess˜ao do ´ultimo, exista uma aresta entre cada um deles e o v´ertice seguinte4_.

O comprimento do caminho ´e definido como o n´umero de v´ertices que o 2_{Neste caso, o isomorfismo entre A e Im(g) ´e explorado na sua forma mais natural.} 3_{Para grafos direcionados, distingue-se entre grau de entrada (n´umero de aresta que} entram no v´ertice) e grau de sa´ıda (n´umero de v´ertices que saem do v´ertice).

2.1 Redes Complexas 34

constitui. Desta forma, podemos redefinir vizinhan¸ca de um s´ıtio i, de maneira equivalente `a anterior, como o conjunto de v´ertices que distam uma unidade deste v´ertice [11].

Esta nova abordagem do conceito de vizinhan¸ca permite facilmente a generaliza¸c˜ao de vizinhan¸ca para ordens superiores. Assim, definimos vizinhan¸ca de ordem k de um v´ertice i, Γ(k)_i , como o conjunto de v´ertices que distam k unidades deste v´ertice e que n˜ao perten¸cam a nenhuma vizinhan¸ca de ordem inferior. Em particular, a segunda vizinhan¸ca de um v´ertice i, Γ(2)i , ´e o conjunto de v´ertices que distam duas unidades

de i e n˜ao pertencem a sua primeira vizinhanca5_.

Al´em disso, grafos apresentam uma extensa classifica¸c˜ao quanto ao inter-relacionamento entre seus v´ertices e arestas. Vejamos algumas [11]:

• Grafos Simples e Multigrafos - Um grafo simples ´e um grafo n˜ao direcionado em que existe no m´aximo uma aresta entre quaisquer dois v´ertices. Em oposi¸c˜ao, multigrafos s˜ao aqueles que apresentam arestas m´ultiplas (arestas paralelas). Para um grafo simples, o n´umero de vizinhos de um v´ertice ´e igual ao seu grau (conectividade).

• Grafo Regular - ´e um grafo em que todos os v´ertices tem o mesmo grau.

• Grafo Completo - ´e o grafo simples em que, para cada v´ertice do grafo, existe uma aresta conectando este v´ertice a cada um dos demais, ou seja, todos os v´ertices do grafo possuem o mesmo grau, que ´e o m´aximo poss´ıvel. O grafo completo de N v´ertices ´e frequentemente denotado por KN. Ele tem N (N − 1)/2 arestas que correspondem a

todas as poss´ıveis escolhas de pares de v´ertices.

• Grafo Conexo - ´e o grafo em que ´e poss´ıvel estabelecer um caminho entre qualquer par de v´ertices dado. O grafo-exemplo da Figura 2.1 ´e

5_{Podemos definir vizinhan¸ca de ordem nula como o pr´oprio v´ertice, ou seja, Γ}(0) i = {i}.

do tipo conexo.

• Grafo Ac´ıclico - ´e o grafo que n˜ao apresenta c´ıclos. Por defini¸c˜ao, ciclo ´e um caminho que se inicia e termina no mesmo v´ertice. Em nosso grafo-exemplo, a sequˆencia (1, 2, 5, 1) ´e um ciclo de comprimento 3, portanto o grafo n˜ao ´e ac´ıclico.

• ´Arvore - ´e um grafo ac´ıclico e conexo. O exemplo cl´assico ´e a ´arvore geneal´ogica dos ascendentes de um indiv´ıduo. Entretanto, o exemplo mais not´avel em aplica¸c˜oes f´ısicas ´e a ´Arvore de Cayley [7].

Em geral, para redes que modelam situa¸c˜oes realistas, o n´umero de v´ertices e arestas tendem a ser muito grandes (da ordem de milh˜oes ou at´e mesmo bilh˜oes de v´ertices) e uma sistematiza¸c˜ao a partir de con- ceitos estat´ısticos passa a ser conveniente [8]. Destacamos, a seguir, al- gumas propriedades de grafos como o efeito de mundo pequeno (small- world), redes livres de escala (scale-free) e ´ındice de clusteriza¸c˜ao a- trav´es dos modelos mais utilizados em aplica¸c˜oes f´ısicas envolvendo grafos.